Квантовый метод спектральной кривой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук

УДК 514.84, 512.77, 517.938 На правах рукописи

004603831

Талалаев Дмитрий Валерьевич

КВАНТОВЫЙ МЕТОД СПЕКТРАЛЬНОЙ КРИВОЙ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

по специальности геометрия и топология (01.01.04)

1 о ИЮН 2010

Москва 2010 г.

004603831

Работа выполнена на кафедре Высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (МГУ).

Официальные оппоненты:

• Доктор физико-математических наук, профессор A.M. Вершик

• Доктор физико-математических наук, профессор И.М. Кричевер

• Доктор физико-математических наук, профессор O.K. Шейнман

Ведущая организация:

Математический институт им. С.Л. Соболева СО РАН

Защита диссертации состоится „3" июня 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.03 при Математическом институте им. В.А. Стеклова по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН.

Автореферат разослан „29" апреля 2010 г.

Ученый секретарь совета Д 002.022.03, доктор физико-математических наук

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы

Главные результаты и основная идея работы имеют непосредственное отношение к двум важнейшим направлениям развития геометрии и топологии 20-го века, связанным с приложениями теории интегрируемых систем и приложениями квантовой физики. Наиболее ярким результатом первого направления является решение проблемы Шоттки [1], основанное на гипотезе С.П. Новикова. Задача характеризации Якобианов среди прочих главно-поляризованных абелевых многообразий была решена в терминах нелинейных уравнений: соответствующая ^-функция удовлетворяет уравнению КП тогда и только тогда, когда абелево многообразие является Якобианом некоторой кривой. Развитием этой деятельности явилось доказательство гипотезы Вельтерса [2], характеризующей Якобианы кривых в терминах тройных секущих соответствующих многообразий Куммера. Второй существенный пласт результатов связан с приложениями квантовой теории поля в задаче построения топологических инвариантов, в том числе в маломерной топологии. Теория инвариантов Джонса-Виттена, или более общо - квантовая топологическая теория поля, обобщает традиционные инварианты узлов: полином Александера и полином Джонса. Собственно инварианты строятся как корелляционные функции некоторой квантовой теории поля [3]. Также с идеями квантовой теории поля связана теория инвариантов Дональдсона [4] и ее развитие Зайбергом и Виттеном. Данный подход оказался исключительно эффективным и привел к таким важным результатам как доказательство гипотезы Тома о степени гладкого вложения кривой в СР2 [5]. Данное направление развития математики поднимает проблему нахождения эффективных методов решения квантовых задач.

Настоящая работа посвящена построению квантовых аналогов алгебро-геометрических методов, применимых при анализе и решении классических интегрируемых систем. Эти методы основаны на конструкции спектральной кривой и соответствующего отображения Абеля. Кроме приложений в топологии, явное описание решений квантовых интегрируемых систем непосредственно связано с такими геометрическими задачами, как вычисление когомологий 0-дивизора абелева многообразия [6], вычисление когомологий и характеристических классов пространств модулей стабильных голоморфных расслоений [7, 8], а также пространств модулей флагов голоморфных расслоений, в случае базы СР1 называемых пространствами Ломона [9].

1.2 Степень разработанности темы

В работе строится квантовый аналог метода спектральной кривой для рациональной и эллиптической системы Годена [10]. В классификации Хитчина

эти случае отвечают роду 0 и 1 базовой кривой. Главная задача работы, родственная нахождению топологических инвариантов квантово-полевого типа, а также тесно связанная с исследованием геометрических свойств разнообразных пространств модулей, состоит в описании спектров рассматриваемых квантовых интегрируемых систем. Полученные результаты, в том числе методологический подход построения квантовой спектральной кривой, позволили описать явно дискретную группу симметрии спектра рассматриваемых интегрируемых систем. Квантование системы Хитчина на кривой произвольного рода и решение соответствующей квантовой задачи потребует использования иной техники, однако, найденная в рассматриваемых случаях геометрическая аналогия может оказаться эффективной и в ситуации общего рода.

1.3 Цель и задачи исследования

Основной целью работы является построение квантового аналога метода спектральной кривой, в том числе эффективных квантовых аналогов методов построения и решения интегрируемых систем. Частными задачами являются

• Построение производящей функции коммутативной подалгебры квантовых гамильтонианов Годена в рациональном и эллиптическом случае в виде обобщения детерминантной формулы характеристического полинома оператора Лакса - квантового характеристического полинома.

• Описание спектров квантовых систем рассматриваемого типа в виде условия на монодромию некоторых Фуксовых уравнений.

• Построение семейства симметрий спектров квантовых систем рассматриваемого типа в виде перестроек Гекке на пространстве мероморфных связностей.

• Построение эффективной процедуры описания центра универсальной обертывающей аффинной алгебры Ли исги(51п) на критическом уровне.

• Исследование алгебраических и геометрических свойств квантового характеристического полинома, в том числе нахождение аналога тождества Гамильтона-Кэли для квантового оператора Лакса.

• Построение формализма системы Хитчина для кривых с особенностями типа двойная схемная точка.

1.4 Объект и предмет исследования

Основным объектом исследования являются интегрируемые системы Годена рационального и эллиптического типов. Предметом исследования являются методы квантования рассматриваемых систем, а также методы решения квантовых интегрируемых систем, обобщающие классический метод спектральной кривой. Кроме этого, исследуются некоторые приложения данных методов.

1.5 Теоретическая основа и методологическая база

В основе методологической базы работы лежит классический метод спектральной кривой, квантовый метод обратной задачи, теория квантовых групп, изомонодромных деформаций, а также методы, связанные с программой Ленглендса и деформационным квантованием. Кроме этого используются некоторые методы математической физики, в частности анзац Бете.

Классический метод спектральной кривой заключается в интерпретации фазового пространства интегрируемых систем в виде расслоения Якобианов. Ключевыми результатами в формировании этой концепции считаются: работа К. Якоби [11], работы 70-х годов прошлого века школы С.П. Новикова [12, 13], а также работа Н. Хитчина [14]. Алгебраическая составляющая метода спектральной кривой связана с методом обратной задачи, открытым в 60-х годах прошлого века в работе [15]. Оказалось, что исключительно эффективным с точки зрения решения динамических систем является так называемое изоспектральное представление динамики, или представление Лакса [16]. Именно представление Лакса позволяет ввести понятие спектральной кривой и использовать методы алгебраической геометрии для построения явных решений [17], решать динамические системы в алгебраических терминах методом проекции [18] или с помощью более общей конструкции грассманиана Сато и т-функции [19].

Основной метод теории квантовых интегрируемых систем, называемый квантовым методом обратной задачи (КМОЗ), был создан в 70-х годах 20-го века школой Л. Д. Фаддеева [20]. Во многом данный метод полагается на классический метод обратной задачи, в особенности в части гамильтоново-го описания. Он обобщает некоторые конструкции интегрируемых систем, в частности коммутативных подалгебр. Данный метод был в значительной степени обобщен теорией квантовых групп, введенной Дринфельдом [21]. Концепция алгебр Хопфа оказалась исключительно эффективной в задаче обобщения конструкции инвариантных полиномов на группе. Теория квантовых групп существенно используется в работе для построения квантования систем Годена. В работе также используется более общая конструкция АКС [22], которая, в частности, оказывается ключевой при описании спектра центра исгц(5С„) на критическом уровне.

1.6 Научная новизна диссертации

Новизна главным образом связана с конструкцией центрального объекта работы - квантовой спектральной кривой модели. Развитие теории квантовых интегрируемых систем в рамках КМОЗ не позволило существенно продвинуться в задаче описания решений квантовых интегрируемых систем на конечном масштабе. Благодаря введению понятия квантовой спектральной кривой в работе строится семейство геометрических симметрий множества решений квантовой задачи. Для построения этих симметрий используется традиционный метод анзаца Бете в альтернативной формулировке, а именно в терминах семейства специальных Фуксовых операторов с конечной монодромией. Такое описание квантовой задачи позволяет реализовать симметрии в терминах известных в теории изомонодромных деформаций преобразований Шлезингера [23] и применять известные решения уравнений изомонодромных деформаций, типа уравнений Пенлеве, для описания вариаций спектров квантовых систем при изменении параметров. В определенном смысле построенное семейство симметрий представляет собой аналог отображения Абеля, являющегося универсальным решением в теории классических интегрируемых систем.

Следует отметить, что постановка задачи нахождения аналога метода спектральной кривой в квантовом случае является новой, КМОЗ ограничивался обобщениями алгебраической теории интегрируемых систем, в то время как квантовый метод спектральной кривой обобщает некоторые алгебро-геометрические методы теории интегрируемых систем.

Новыми результатами являются также: явное построение центра универсальной обертывающей аффинной алгебры Ли исгц{5\п) на критическом уровне, и, как следствие, более эффективное описание геометрического соответствия Ленглендса над С на формальном диске с проколом. Кроме этого, получено обобщение тождества Гамильтона-Кэли для квантового оператора Лакса рациональной системы Годена.

1.7 Практическая значимость работы

Исследования квантового характеристического полинома для моделей типа Годена позволили систематизировать и существенно повысить эффективность методов решения квантовых интегрируемых систем. Построенные дискретные симметрии спектров рассматриваемых систем выполняют роль обобщенных угловых операторов, то есть позволяют строить семейства собственных векторов модели. Практическая значимость результатов в геометрии и топологии обусловлена возможностью обобщения данной техники на полевые модели, возникающие в топологических квантовых теориях поля, и в теориях поля, используемых при построении инвариантов Дональдсо-на и Зайберга-Виттена. Кроме этого, полученные результаты в проблеме

решения квантовых систем имеют непосредственные приложения в задаче описания колец когомологий пространств модулей голоморфных расслоений, пространств Ломона, а также аффинных Якобианов.

В работе были выявлены многочисленные связи и приложения данного подхода в других областях современной математики и математической физики. В теории представлений полупростых алгебр Ли роль полученных результатов заключается в возможности эффективизации таких классических задач, как формула кратностей. Приложения такого типа возникают благодаря наличию специальных пределов системы Годена, образующие коммутативной подалгебры для которых интерпретируются как центральные элементы некоторых подалгебр в U(sín)®N [24]. К этой же области приложений относится результат явного описания центра универсальной обертывающей аффинной алгебры на критическом уровне для алгебры Ли sí,,. Также следует отметить важность метода квантовой спектральной кривой в геометрическом обобщении соответствия Ленглендса над С [25], в математической физике и теории конденсированных сред.

1.8 Апробация работы

Результаты работы многократно использовались в качестве материалов для докладов на международных конференциях и школах:

• Конференция „Quantum integrable systems", Прага, июнь 2005. Доклад „Квантование системы Годена".

• Конференция „Classical and quantum integrable systems", Дубна, январь 2008. Доклад „Анзац Бете и изомонодромные преобразования".

• Конференция стипендиатов конкурса Делиня и фонда Династия, Москва, январь 2009. Доклад „Алгебро-геометрическое квантование интегрируемых систем".

• Конференция „Integrable systems and quantum symmetries", Прага, июнь 2009. Доклад „Квантовая эллиптическая система Годена".

• Школа и конференция „Geometry and quantization", Люксембург, сентябрь 2009. Курс лекций „Квантовые интегрируемые системы и программа Ленглендса".

• Конференция „Representation theory and quantization", Цюрих, январь 2010. Доклад „Bethe ansatz and isomonodromic deformations".

На основе результатов, представленных в работе, были сделаны доклады на Московском математическом обществе в 2007 году, в разные годы на семинарах в ИТЭФ, МГУ, НМУ, МИАН, Paris 6, LPTHE (Париж,

Франция), LAPTH (Анси, Франция), LAREMA (Анжэ, Франция). На основе программы алгебро-геометрического квантования были организованы некоторые коллективные научные проекты, одним из которых является действующий грант РФФИ 09-01-00239-а „Квантовые интегрируемые системы и геометрическое соответствие Ленглендса".

1.9 Структура работы и личный вклад соискателя

Раздел 1 посвящен исследованию обобщения конструкции Хитчина на случай кривых с особенностями, важность которого в рамках данной работы связана с определением геометрического контекста рациональной и эллиптической систем Годена. Материал основан на совместных работах с A.B. Червовым [S3], [S4], В разделе 2 описывается задача квантования интегрируемой системы, строится квантовый характеристический полином и устанавливается связь с традиционными в теории квантовых интегрируемых систем методами их решения. Основной результат получен в работе соискателя [S5], Анализ традиционного метода анзаца Бете частично основан на совместной работе с О. Бабелоном [S7], Эллиптическая версия в классической ситуации исследована в работе соискателя [S2], квантование получено в совместной работе с В.Н. Рубцовым и A.B. Силантьевым [S9], В работе [S1] исследуются основополагающие в теории квантовых интегрируемых систем Я-матричные структуры. В разделе 3 строится дискретное семейство симметрий на спектре квантовой системы Годена, позволяющее рассматривать рекурсионные соотношения на спектр. Материал основан на работе соискателя [S8], В разделе 4 описываются некоторые приложения метода квантовой спектральной кривой: конструкция центра универсальной обертывающей алгебры аффинной алгебры Ли sln на критическом уровне и ее роль в геометрическом соответствии Ленглендса, а также некоторые результаты некоммутативной геометрии, связанные со свойствами квантового оператора Лакса для системы Годена. Данные результаты получены в совместной работе с A.B. Червовым [S6],

2 Основные положения работы 2.1 Основные положения раздела 1

Данный раздел является вводным, он посвящен изложению классического метода спектральной кривой, а также разработке формализма систем типа Хитчина, отвечающих классу кривых с особенностями, называемыми "двойная схемная точка". Основополагающим в современной теории клас-

сических интегрируемых систем оказалось представление типа Лакса [16]:

L(z) = [M(z),L(z)},

(2.1)

здесь М(г),Ь(г) - некоторые матричнозначные функции формальной переменной г, матричные элементы которых являются функциями на фазовом пространстве системы. Спектральная кривая модели в этом случае определяется уравнением

и является инвариантом динамики. Оказывается, что уравнения, имеющие представление Лакса, допускают универсальное решение с помощью вспомогательной линейной задачи

Данное уравнение определяет линейное расслоения на спектральной кривой. Решение динамической системы, а именно переменные типа „угол", описывается в терминах линейных координат на пространстве модулей линейных расслоений на кривой, отождествляемом с ее Якобианом. Конструкция Хитчина [14] позволила интерпретировать фазовое пространство широкого класса интегрируемых систем в терминах пространств модулей расслоений на некоторой алгебраической кривой. В разделе 1 строится аналог конструкции Хитчина для кривых с особенностями. В том числе определяется система Годена, как система Хитчина на рациональной и эллиптической кривых с отмеченными точками; рассматривается классический метод спектральной кривой для этой системы и вводится аппарат разделенных переменных, существенным образом используемый в дальнейшем в разделе, посвященном квантованию.

Опишем более подробно класс особенностей, для которых строится обобщение конструкции Хитчина.

Класс особенностей. Рассмотрим кривую Eproj, получающуюся склейкой 2-х произвольных подсхем А(е),В(е) на CP1 (т.е. кривую, получающуюся добавлением одной гладкой точки оо к аффинной кривой = Spec{f е C[z] : f(A(e)) = f(B(e))}, где cN = 0 ). Рассматриваются примеры:

• нильпотентные элементы: А(е) = е, В(с) ~ 0;

• корни из единицы: А(е) — е,В(е) — ае, где ак = 1;

• геометрически отличные точки:

А{е) = а0 + сце + ... + В{е) - ba + he + ... + bN„ieN \

так что ao ф b0.

det(L(z) - A) = 0

(2.2)

ЦгЩг) = \V(z).

(2.3)

Расслоения. Описание пространства модулей голоморфных расслоений для особых кривых рассматриваемого класса производится на алгебраическом языке в терминах модулей над аффинной кривой. Модуль Мд ранга п в данном случае определяется подпространством в тривиальном модуле векторнозначных функций в(г) на С элементов, удовлетворяющих условию:

• нильпотентный случай: Ло = Ы;

• корень из единицы: А(е)А(ае)...А(ак~1е) = Ы;

• геометрически отличные точки: Ло обратим.

Открытая клетка пространства модулей голоморфных расслоений на ЕР™-7 получается при рассмотрении фактор-пространства по отношению к действию сопряжением на пространстве Л(е) общего положения.

Дуализирующий пучок и глобальные сечения. Глобальные сечения дуализирующего пучка на Ерго-? могут быть описаны в терминах мероморфных дифференциалов на С вида

при произвольном Ф(е) = Фг-^тг-

Эндоморфизмы модуля Мд описываются матричнозначными полиномиальными функциями Ф(г), удовлетворяющими следующему условию

Глобальные сечения Н°(Еги1(М\) ®/С) описываются выражениями:

(2.4)

Ф(А(е)) = А(еЩВ(е))А(е)~К

¿2 ,

(2.5)

где

Леве (Л(б)Ф(е)Л(е)-1 - Ф(е)) = О и Ф(е) = - матричнозначная функция.

Симплектическая форма на кокасательном расслоении к пространству модулей расслоений может быть описана в терминах гамильтоновой редукции относительно действия сопряжением GLn по симплектической форме на пространстве пар Л(е),Ф(е) заданной выражением:

Res€Trd(A(e)~1Ф(б)) А Ще). (2.6)

Интегрируемость. Система Хитчина на кривой описывается как

система на фазовом пространстве, реализуемом в виде гамильтонового фактора пространства пар А(е),Ф(е). Симплектическая форма задается формулой 2.6. Гамильтонианы задаются коэффициентами разложения функций Tr($(z)h) по некоторому базису голоморфных fc-дифференциалов (то есть сечений На{К.к)).

В первой части работы представлено доказательство интегрируемости системы Хитчина на особой кривой, основанное на технике г-матричных вычислений.

Также в данном разделе описывается система Годена как обобщенная система Хитчина, соответствующая рациональной кривой Е = CP1 с N отмеченными точками z\,...,zn- Поле Хиггса в данном случае представляется рациональным сечением типа Ф = L(z)dz, где

£ <2-7>

¿=I...jv 1

Вычеты оператора Лакса системы Годена Ф{ являются п х гг-матрицами, матричные элементы которых лежат в gln ф ... Ф 0(п. (Фсовпадает с kl-ым генератором г'-ой копии £jln. В данном случае генераторы алгебры Ли интерпретируются как функции на двойственном пространстве Симметрическая алгебра 5'(0[n)®iV ~ C[gt* © ... ф д(*] снабжена Пуассоновой структурой, задаваемой скобкой Кириллова-Костанта на двойственном пространстве к алгебре Ли:

{(Фг)ы, ($j)mn} = <M<W$i)fcn ~ ¿nk($i)ml)-

Интегралы движения могут быть получены как коэффициенты характеристического полинома

п

det(L(z) - А) = h{z)\n-k. (2.8)

к=0

Традиционные квадратичные Гамильтонианы могут быть получены следующим образом

Эта система описывает модель магнетика, состоящего из набора парно взаимодействующих частиц на прямой с внутренними спиновыми степенями свободы.

Спектральная кривая системы Годена S описывается уравнением

det(L{z) — Л) = 0. (2.9)

Для построения неособой компактификации кривой необходимо рассмотреть тотальное пространство расслоения, в котором лежат собственные значения оператора Лакса

Ф(г) = L(z)dz е H°(CP\End(On) ® Л),

где Л = К.{к) = О (к — 2). Слоение Хитчина позволяет сопоставить точке пространства модулей М спектральную кривую и линейное расслоение на ней С, строящееся как собственное подрасслоение в ж*Оп по отношению к действию оператора Лакса. В данном разделе, в частности, вычисляется род спектральной кривой

g(S)= -(n-1) (2.10)

и степень данного расслоения

deg(C) = д + п - 1 — v.

Также в разделе 1 излагается традиционная конструкция разделенных переменных для системы Годена

2.2 Основные положения раздела 2

Второй раздел работы является основным, в нем определяется центральный объект описываемого метода, а именно, квантовый характеристический полином, и исследуются некоторые его свойства. Прежде всего, ставится задача квантования в „строгом" смысле, при котором деформируется пара: Пуассонова алгебра + коммутативная подалгебра в ней, соответствующая некоторой интегрируемой системе. Строгая задача квантования предполагает также нахождение аналога спектральной кривой модели и соответствующих разделенных переменных. Квантование в указанном смысле далее называется алгебро-геометрическим.

Базовым примером Пуассонова многообразия работы является двойственное пространство к алгебре Ли g[„ с соответствующей классической алгеброй наблюдаемых S(gin). Квантованием в данном случае является универсальная обертывающая алгебра f/(gi„) с естественной процедурой классического предела, заданного отображением

lim : [/(0U - Gr(U(gln)) = = S(Sln). (2.11)

В случае рациональной системы Годена классическая пара определяется следующими объектами: Пуассонова алгебра и коммутативная подалгебра

Лы = 5(0У®ЛГ^С[01,>...Ф0[;];

НС1 — подалгебра порожденная Гамильтонианами Годена (2.8).

Алгебраическая часть задачи квантования сводится к построению пары, в которой квантовая алгебра наблюдаемых совпадает с тензорной степенью универсальной обертывающей алгебры:

А = и(Я1п)*к,

а коммутативная подалгебра Н является деформацией подалгебры, порожденной классическими Гамильтонианами Годена.

Для определения деформации подалгебры используется обобщение понятия определителя матрицы для пространства матриц с некоммутирующи-ми элементами, а именно полностью симметризованный определитель:

Далее определяется квантовый оператор Лакса:

N е(8) ».3 «=1

Ь(г) является рациональной функцией переменной г со значениями в Епй(Сп) ® ¿/(д^)®^. Квантовым характеристическим полиномом квантового оператора Лакса называется выражение

п

йе1{Ь{г) - ¿У = (2.12)

к=0

Следующая теорема говорит о том, что именно такая деформация классического характеристического полинома (2.8) позволяет строить производящую функцию квантовых Гамильтонианов.

Теорема 2.1. Коэффициенты С21к{г) коммутируют

[<Э1к{г),<21т(и)}= О

и квантуют классические Гамильтонианы Годена в следующем смысле

Ит(С}1к) = 1к.

Доказательство этого факта использует существенные результаты теории квантовых групп, такие как конструкция Янгиана, его подалгебры Бете и в общем укладывается в концепцию квантового метода обратной задачи. Строится предел подалгебры Бете, при этом существенным оказывается рассмотрение квантового характеристического полинома для Янгиана, именно его коэффициенты оказываются однородными выражениями в рассматриваемом пределе и ведут себя контролируемым образом. В разделе 2 вводятся необходимые определения и приводится набросок доказательства теоремы квантования системы Годена.

Далее излагается традиционный для квантовых интегрируемых систем метод анзаца Бете и квантовый метод разделения переменных и описывается эквивалентная форма анзаца Бете в терминах свойств монодромии некоторой Фуксовой системы, непосредственно связанной с квантовым характеристическим полиномом модели.

В зЬ случае для системы Годена известно, что если - общий собственный вектор Бете в представлении У\ = где конечномерное неприводимое представление старшего веса А^, с собственными значениями Яр, тогда уравнение

(«Че^-Е^) «2,3,

имеет решение вида

« 3

где набор параметров щ удовлетворяет системе уравнений Бете.

Рассмотрим квантовый характеристический полином:

г 4 7 г

Пусть Н - алгебра, порожденная коэффициентами квантового характеристического полинома. Назовем х - характер алгебры Н - допустимым, если на центральных элементах он совпадает с центральным характером данного представления: = + Ниже приводится теорема Варченко,

Мухина и Тарасова, демонстрирующая связь квантового характеристического полинома и задачи описания спектра квантовой системы.

Теорема 2.2 ([26]). Имеется взаимнооднозначное соответствие между множеством допустимых характеров для которых дифференциальное уравнение

х(<Ш(Ь{г)-дх)) Ф(г)=0

имеет монодромию ±1, и множеством общих собственных векторов системы Годена в представлении VV

В заключении раздела 2 описывается процедура, аналогичная представленной выше, квантования эллиптической системы Годена. Классическая система в данном случае отвечает пространству модулей голоморфных полустабильных расслоений с тривиальным детерминантным расслоением на эллиптической кривой с набором отмеченных точек. Модули расслоений параметризуются набором точек эллиптической кривой Л = {Ai,...,A„}, удовлетворяющим условию ^ Ai = 0. Соответствующее сечение расслоения эндоморфизмов или оператор Лакса представляется выражением вида:

п

£{z; А) = Eij ® eji(z; А), ij=1

где

eu(z; А) eij (z; А)

В данных формулах используются обозначения А у = А* — Aj, а также обозначения нечетных 0-функций Римана на эллиптической кривой: пусть т 6 С, Imr > 0 параметр эллиптической кривой С/Г, где Г = Z + тЪ решетка периодов, нечетная 0-функция 9(z) = —9(—z) определяется соотношениями

e(z+l) = -d(z), 9{z + T) = -e~2niz-nire{z), 0'(О) = 1. (2.16)

Для построения квантового характеристического полинома используется модифицированная подлежащая алгебраическая структура, а именно д\п динамическое эллиптическое RLL уравнение, соответствующее представлению „динамической эллиптической квантовой группы" g[n), определенной в [27]. Квантовая алгебра наблюдаемых в данном случае задается тензорным произведением ® Dif f(Tn), где под Diff(Tn) понимается алгебра дифференциальных операторов на n-ой степени эллиптической кривой Тп с мероморфными коэффициентами. Коммутативность в динамическом случае подразумевается по модулю диагональной подалгебры Картана f) с Для получения интегрируемой системы требуется ограничить построенное семейство на пространство нулевого веса в представлении относительно диагонального действия алгебры Ли.

= Е

ri Ф - Zs)

N

E

9(z - zs + Ajj) (S)

(2.14)

(2.15)

Теорема 2.3. Введем обозначение:

к

Тогда коэффициенты выражения

/ д \ / д \ п~т

Q(z, дх) = det (jL-Dx + C{z; A) J = ]Г sm{z) (—)

m=0

коммутируют в следующем смысле

sm{z)si(u) = si(u)sm(z) mod f).

2.3 Основные положения раздела 3

Данный раздел посвящен исследованию роли квантового характеристического полинома в проблеме решения квантовых интегрируемых систем. Традиционные методы решения конечных квантовых интегрируемых систем позволяют сводить задачу диагонализации квантовых гамильтонианов к задаче исследования системы алгебраических уравнений Бете. Однако, сама система уравнений допускает явные решения только в специальных случаях, например, в случае термодинамического предела. Основой метода, изложенного в этом разделе, является эквивалентная формулировка квантовой спектральной задачи в терминах Фуксовых систем со специальными представлениями монодромии. В случае алгебры ли 5(2 исследуются симметрии множества операторов Штурма-Лиувилля типа 2.13.

Для построения данного семейства преобразований в первую очередь находится „матричная" форма Фуксовой системы. Оказывается, что для любого оператора типа 2.13 с монодромией ±1 может быть найдена Фуксова система

(дг - А(г))Ф(г) = 0 (2.17)

с монодромией ±1, определяемая связностью в тривиальном расслоении ранга 2 на диске с проколами вида:

(2.18)

w V 021(2) a22(z) J friz-Zi' вычеты которой удовлетворяют условиям

Тг(А{) = 0; Det(Ai) = -d?; Ai = ( 0 -к)' {2Щ

N

В компонентах эта система может быть представлена следующим образом

Ф[ = ап-ф1 + а 12^2, ф'2 = а2\'ф1 +а221р2-

Связь между матричной и скалярной задачами в одну сторону тривиальна: выражение Ф = гДе X — удовлетворяет уравнению Штурма-

Лиувилля

ф" + £/Ф = О, в котором потенциал определяется формулой

+ ,2.20,

(г - и)Л2 (г- ¿¿)2 г - и); ^ г -

7 = 1 4 г=1 4 ' 7 = 1 г=1

дополнительные полюса тявляются нулями а^-г), а коэффициенты разложения задаются формулами

— «11

V-2 / у 1и1 ¿г—*]

Обратное соответствие строится столь же явно. А именно, по скалярному еЬ-оперу, имеющему тривиальную монодромию в смысле уравнений Бете, строится связность ранга 2 вида (2.17) также с монодромией в 2/22.

Теорема 2.4. Ясли набор чисел 7*, где г = 1,...,М, удовлетворяет системе уравнений Бете для набора полюсов {гг,..., -гь^ь... и набора старших весов {2зг - 1,...,2вк — 1,1,..., 1}, то вектор

где

м

Ф\ =

5=1 м

л = 1 Ъ

а коэффициенты а^ задаются выражениями

а*=п!ъ~2г\' (2-2з)

Пг(Ъ-Щ)

решает матричную линейную задачу (2.17), для которой

«12 =

П tfiiZi-Zj)'

Предъявленное соответствие позволило построить дискретную группу преобразований, которые сохраняют форму связности (2.17) и, более того, не меняют класс представления монодромии. Тем не менее, эти преобразования меняют характеристические экспоненты уравнений в особых точках на полуцелые значения специфическим образом. В терминах соответствующей квантовой модели возникает семейство рекурсионных операторов, действующих на множестве собственных векторов семейства моделей Годе-на, меняющих значения параметров неоднородности, а также старшие веса представлений.

Такие преобразования называются преобразованиями Шлезингера, Гек-ке или Бэклунда в зависимости от контекста. Они имеют простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим кривую С, F - голоморфное расслоение на ней, Т - соответствующий пучок сечений, дополнительный набор данных: точка кривой х е С и точка двойственного пространства к слою расслоения F в точке х I € F*. „Нижнее" преобразование Гекке определяется подпучком Т' = {5 е Т: (s(x),l) = 0}.

Действие преобразований Гекке на классах расслоений может быть продолжено на множество пар: (расслоение, связность с дополнительными условиями совместности). Опишем подробнее индуцированное действие. Связностью называется отображение пучков модулей, удовлетворяющее тождеству Лейбница, по отношению к операции умножения на функцию:

Д : Т-* JFgifi1.

Преобразования Гекке могут быть определены на пространстве связностей, которые сохраняют Апщ = {v € Тх :< l,v >= 0}

Дж : Апгц —> Апщ <S> fi*.

В работе явно вычисляется действие таких преобразований в терминах связности ранга 2. Локальные рассмотрения в окрестностях полюсов показывают, что собственные значения вычетов А* преобразуются по сле-

дующим 4-правилам в зависимости от выбора верхнего или нижнего преобразования Гекке и выбора разных собственных направлений вычета:

(..., Aj,..., Aj,...) i—> (..., A¿ + 1,..., \j — 1,...),

(..., Ai,..., Aj,...) i—> (..., A¿ + 1,..., Aj + 1,...), (• • •, A¿,..., Xj,...) i ► (..., Xi — 1,..., Aj — 1,...),

(..., A¿,..., Xj,...) i—► (..., A¿ — 1,..., Aj-f 1,...).

Полученный результат позволяет рассматривать рекурсионные соотношения на множестве решений уравнений Бете для семейства систем Годена. Последовательным применением таких преобразований, в частности, можно понизить старшие веса до нулевого значения, которое соответствует тривиальному представлению квантовой алгебры, и, соответственно, тривиальной задаче диагонализации квантовых гамильтонианов.

В эллиптическом случае системы Годена также существует семейство операторов, действующих на множестве собственных векторов семейства моделей. Центральным оказывается соответствие между эллиптическими операторами Штурма-Лиувилля с тривиальной монодромией и связностями в расслоении ранга 2 на эллиптической кривой с тривиальной монодромией.

В эллиптическом случае также имеется подход Бете к описанию собственных векторов квантовой системы. Собственный вектор соответствует решению эллиптического уравнения Штурма-Лиувилля

- i>p(u - Ui) - ^ = 0 (2-24)

частного вида:

гР(и)=Цв-А^(и~щ)11в(и-Ъ). * Í

Это условие эквивалентно следующей системе уравнений: d = Л?/4 + Ai/2,

* - MLSS-x:

зфг

в'{щ - 7j) _ ул Ajffjui - щ)

- Ъ) 2в(и< ~

Последнее семейство уравнений называется эллиптической системой Бете. По скалярной задаче строится матричная Фуксова система вида

(ди - А(и))Щи) = 0, (2.26)

где

Л1,Л-{ап^ «12(«Л _ { {;~[а21(и) г,22(п) I - [ Г а* вы-ч+л) Таг

Связь скалярной и матричной формы Фуксовых систем выражается условием, что функция -из = ф\/\/с&т2) полученная по решению матричной формы, решает скалярное уравнение 2.24 с потенциалом, старший член которого дается формулой:

и(и) = - 2(1/4 + <Ш(Аг))р(и - 24) + 3/4р(и - «»<) + ... Здесь точки ги^ определяются условием

\\eiu~wi)

а\2 (и)

' П- «о •

В свою очередь А{ являются вычетами А(и) в точках г{.

Оказывается, что метод построения матричной задачи по оператору Штурма-Лиувилля также является явным.

Теорема 2.5. Рассмотрим скалярную задачу 2.24, соответствующую набору отмеченных точек {гь ..., г;, гоь..., и;;}, набору старших весов 2$1 — 1,..., 2вк — 1,1,.. •, 1} и набору корней Бете {71,... ,7^}. В этом случае 1-вектор функция Ф с компонентами:

к р 1=1

, сх]6{и - 7з + А) коэффициенты а$ которой заданы формулой

3 ПАъ-чУ

удовлетворяет матричному уравнению 2.26.

Данная теорема также используется для построения семейства преобразований на множестве решений эллиптических уравнений Бете. Как и в рациональном случае, эти преобразования меняют параметры системы: набор отмеченных точек и набор старших весов в представлении.

2.4 Основные положения раздела 4

Раздел 4 посвящен двум основным приложениям метода спектральной кривой. Первое приложение связано с геометрическим соответствием Лен-глендса и главным образом состоит в эффективном описании центра Ucrit{$n) который, в свою очередь, имеет ключевую роль в конструкции Бейлинсона и Дринфельда квантования системы Хитчина. Заметим, что данная задача имеет непосредственное отношение к теории представлений аффинных алгебр Ли. Опишем сначала конструкцию центра ^cr¿i(0l„)- Прокомментируем обозначение Ucrit(gln), которое соответствует локальному пополнению U(gln)/{C — crit}, где С-центральный элемент, a crit = —hv = — п критическое значение, обратное дуальному числу Кокс-тера алгебры Ли sín. В работе [29] было доказано, что Ucrit(gln) имеет центр, изоморфный как линейное пространство алгебре полиномов от подалгебры Картана. Не смотря на наличие геометрического описания центра, отсутствовала явная конструкция семейства генераторов этой коммутативной подалгебры. Для решения этой задачи в настоящей работе используется схема Адлера-Костанта-Сима. Определим производящие функции Ф^ для генераторов алгебры токов е^ = eijtk выражением

ij

Введем следующие операторы Лакса:

L(z) = ]Г Ф**-*-1, Lfull(z) = £ Фкг~к~\

к> О к

Рассмотрим естественную проекцию <р : исги(д1п)) —> í7(í0ln[í]) и ограничим ее на центр }{Ucrit(Qln)). В 4-й части работы доказывается следующая

Теорема 2.6. Коммутативная подалгебра в £/(£fl[„[í]), определенная с помощью квантового характеристического полинома det(L(z) — dz), совпадает с подалгеброй, полученной из з(Усн<(01п)) с помощью проекции

ч> •• исг«ш - U(tBln[t})-

Аналогичным рассуждением доказывается более общее утверждение, связанное с разложением алгебры Ли токов в сумму положительных и отрицательных компонент.

Теорема 2.7. Центр Ucrit(gln) изоморфен как коммутативная подалгебра подалгебре в í/(0ln[í_1]©í0l£PM) определенной формулой det(Lfuii(z) -дг). Изоморфизм определяется отображением

/rf/foljr1])®^^^^*), I:h1®h2-+híh2 (2.28)

Заметим, что благодаря данному описанию центра, геометрическое соответствие Ленглендса на проколотом диске над С [30] выражается следующей диаграммой:

FF BD л СТ

.D-модуль Хитчина Характер х на ¡{Ucrit(5)) xdet(Lfuii - dz),

устанавливая соответствие между £>-модулями Хитчина с автоморфной стороны и представлениями монодромии плоской связности, ассоциированной с дифференциальным оператором xdet(Lfuu — dz) со стороны Галуа.

Во второй половине части 4 работы исследуются некоторые свойства квантового оператора Лакса, находящиеся в области некоммутативной геометрии. Пусть L(z) € Matn <g> ® Fun(z) - квантовый оператор Лакса модели Годена, здесь Fun(z) означает пространство рациональных функций параметра Обозначим ¿W(z) квантовые степени оператора Лакса, определяемые следующими формулами:

¿И = Id,

L[i] = L^L + dzL^l

Теорема 2.8. Выражение G(z) € Matn®U(gln)®N®Fun(z), определенное формулой

(

C(z) =

v

vL

\

(2.29)

^ J

где у е С" - вектор общего положения, задает следующее калибровочное преобразование

C{z)(L(z) - дх) =

( о

0 \ \

0

W QHn

о

QHn

1

QH1 }

-dz

C(z). (2.30)

/

Коэффициенты нижней строки правой части определяются квантовым характеристическим полиномом

det(L(z) — dz) = TrAn(Ll(z)-dx)...(Ln(z)-dx) = (-1

(2.31)

Данная теорема позволяет установить очевидную связь уравнения

Ы{Ь{г) - дх)Ч(г) = 0 и уравнения Книжника-Замолодчикова (КЗ):

(2.32)

Теорема 2.9. Пусть Б (г) решает уравнение КЗ

(Цг) - = О

где в (г) - функция переменной г со значениями в С™ ® где - конечномерное представление С/(д[„)®л'. Тогда любая компонента по пространству С" решения Б ¡(г) решает уравнение Бакстера 2.32.

Важным следствием данной теоремы является тождество Гамильтона-Кэли для квантового оператора Лакса:

Следствие 2.9.1. Квантовые степени оператора Лакса удовлетворяют квантовому тождеству Гамильтона-Кэли

п

= Е QHi(z)Ыn-i\z). (2.33)

г=1

3 Публикации по теме диссертации

[51] Talalaev D., Universal R-matrix formalism for the spin Calogero-Moser system and its difference counterpart, IMRN 2000, No. 11.

[52] Талалаев Д., Эллиптическая система Годена со спином, Теоретическая и Математическая Физика (ТМФ), 2002, 130:3, 426-441.

[53] Талалаев Д., Червов А., Система Хитчина на особых кривых, Теоретическая и Математическая Физика (ТМФ), 2004, 140:2, 179-215.

[54] Chervov A., Talalaev D., Hitchin systems on singular curves II. Gluing subschemes, Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys.4:751-787,2007.

[55] Талалаев Д., Квантовая система Годена, Функциональный Анализ и его приложения 40 No. 1 pp.86-91 (2006).

[56] Талалаев Д., Червов А., Уравнение КЗ, G-оперы, квантовая редукция Дринфельда-Соколова и квантовое тождество Гамильтона-Кэли, Записки Научных семинаров ПОМИ, Выпуск 360, «Теория представлений, Динамические системы, Комбинаторные методы. Часть 16», стр. 246-260.

[57] Babelon О., Talalaev D., On the Bethe Ansatz for the laynes-Cummings-Gaudin model, J. Stat. Mech. (2007) P06013.

[58] Талалаев Д., Анзац Бете и изомонодромные преобразования, Теоретическая и математическая физика, ТМФ, 2009, том 159, номер 2, стр. 252-265.

[S9] Rubtsov V., Silantiev A., Talalaev D., Manin Matrices, Quantum Elliptic Commutative Families and Char-acteristic Polynomial of Elliptic Gaudin model, SIGMA 5 (2009), 110-131.

Список литературы

[1] Shiota Т., Characterization of Jacobian varieties in terms of soliton equations, Invent. Math., 83(2):333-382, 1986.

[2] Krichever I., Integrable linear equations and the Riemann-Schottky problem, in: Algebraic Geometry and Number Theory, Birkháuser, Boston, 2006.

Krichever I., Characterizing Jacobians via trisecants of the Kummer Variety, arXiv:math/0605625.

[3] Атья M., Геометрия и физика узлов. М. Мир 1995.

[4] Donaldson S., An application of gauge theory to four- dimensional topology, J. Differential Geometry 18 A983, 279-315.

[5] Kronheimer P.B., Mrowka T.S., The genus of embedded surfaces in the protective plane, Math. Research Letters 1 A994, 797-808.

[6] Nakayashiki, A., On the cohomologies of theta divisors of hyperelliptic Jacobians, Contemporary Math. 309 (2002), 177-183.

Nakayashiki, A. and Smirnov, F., Euler characteristics of theta divisors of Jacobians for spectral curves, CRM Proc. and Lect. Notes 32, Vadim B. Kuznetsov, ed. (2002), 239-246.

[7] Thaddeus M. Conformal field theory and the cohomology of the moduli space of stable bundles, J. Differential Geom. 1992. V. 35, № 1. P. 131-149.

[8] Барановский В.Ю., Кольцо когомологий пространства модулей стабильных расслоений с нечетным детерминантом, Изв. РАН. Сер. матем., 1994, том 58, выпуск 4, страницы 204-210.

[9] Feigin В., Finkelberg М., Negut A., Rybnikov L., Yangians and cohomology rings of Laumon spaces, arXiv:0812.4656.

Feigin В., Finkelberg M., Frenkel I., Rybnikov L., Gelfand-Tsetlin algebras and cohomology rings of Laumon spaces, arXiv:0806.0072.

[10] Gaudin M., La Fonction d' Onde de Bethe, Masson, Paris (1983).

[И] Якоби К., Лекции по динамике. Москва 1936.

[12] Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Вриза, конечнозонные линейные операторы и Абелевы многообразия. УМН, 31, 1, 56-136 (1976).

Кричевер И.М., Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений, УМН 1977 32 №4 180-208.

[13] Веселов А.П., Новиков С.П., О скобках Пуассона, совместимых с алгебраической геометрией и динамикой КдФ на множестве конеч-нозонных потенциалов,— Докл. АН СССР, 1982, 266, № 3.

[14] Hitchin N., Stable bundles and integrable systems. Duke Math. Journal 1987 V 54 N1 91-114.

[15] Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M., Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.

[16] Lax Р., Integráis о/ nonlinear equations of evolution and solitary waves, Comm. Puré Appl. Math. 1968. V. 21. № 5. P. 467-490.

[17] Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П., Интегрируемые системы, I. Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, том 4.

[18] Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры JIu, М. Наука, 1990.

[19] Демидов Е.Е., Иерархия Кадомцева-Петвиашвили и проблема Шоттки, Фундаментальная и прикладная математика 1998, т. 4, выпуск 1, стр. 367-460.

[20] Склянин Е. К., Фаддеев Л. Д. Квантовомеханический подход к вполне интегрируемым моделям теории поля ДАН СССР.—1978.— Т. 243, № 6-С. 1430-1433.

Склянин Е. К. Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шредингера ДАН СССР.—1978.—'Т. 244, № 6,—С. 1337- 1341.

Склянин Е. К., Тахтаджян JI. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи. Теор. и мат. физика.—1979.— Т. 40, №2,— С. 194-220.

[21] Дринфельд В.Г., Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Ян-га-Бакстера ДАН СССР. 1985. Т.283, №5.

[22] Adler M., On a trace functional for formal pseudodifferential operators and the symplectic structure for the KdV type equations, Invent. Math. (1979) 50, 219-248.

Kostant B., Quantization and Representation Theory, in: Representation Theory of Lie Groups, Proc. SRC/LMS Res. Symp., Oxford 1977. London Math. Soc. Lecture Notes Series, 34, 287-316, 1979.

Symes W.W., Systems of Toda type, inverse spectral problems, and representation theory. Invent. Math. 59, 13-51 (1980).

[23] Iwasaki K., Kimura H., Shimomura S., Yoshida M., From Gauss to Painleve, A modern theory of special functions, 1991.

[24] Chervov A., Falqui G., Rybnikov L., Limits of Gaudin Systems: Classical and Quantum Cases, arXiv:0903.1604vl [math.QA],

[25] Chervov A., Talalaev D., Quantum spectral curves, quantum integrable systems and the geometric Langlands correspondence, hep-th/0604128.

[26] Mukhin E., Tarasov V., Varchenko A., The B. and M. Shapiro conjecture in real algebraic geometry and the Bethe ansatz, math.AG/0512299.

[27] Felder G., Conformal field theory and integrable systems associated to elliptic curves. Proc. ICM Zürich 1994, 1247-55, Birkhäuser (1994); Elliptic quantum groups, Proc. ICMP Paris 1994, 211-8, International Press (1995).

[28] Talalaev D., Bethe ansatz and Isomonodromic deformations, Theor. Math. Phys. 2009, Vol 159, 2, pp. 252-265, math-ph:0802.0383v2.

[29] Feigin B„ Frenkel E„ Int. J. Mod. Phys. A7, Suppl. 1A 1992, 197-215.

[30] Frenkel E., Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, hep-th/0512172.

Подписано в печать 28.04.2010 г. Печать лазерная цифровая Тираж 110 экз.

Типография Aegis-Print 115230, Москва, Варшавское шоссе, д. 42 Тел.: 543-50-32 www.autoref.ae-print.ru

Введение

1 Классический метод спектральной кривой

1.1 Представление Лакса.

1.2 Описание Хитчина.

1.2.1 Спектральная кривая.

1.2.2 Линейное расслоение.

1.3 Система Хитчина на особых кривых.

1.3.1 Обобщения.

1.3.2 Схемные точки

1.4 Система Годена.

1.4.1 Оператор Лакса.

1.4.2 Д-матричная скобка.

1.4.3 Интегралы.,

1.4.4 Алгебро-геометрическое описание.

1.5 Разделенные переменные.

1.5.1 в12-система Годена.

2 Задача квантования

2.1 Деформационное квантование.

2.1.1 Соответствие.

2.1.2 Квантование интегрируемой системы.

2.1.3 Задача квантования системы Годена.

2.2 Квантовая спектральная кривая.

2.2.1 Некоммутативный определитель.

2.2.2 Квантовая спектральная кривая.

2.2.3 Янгиан.

2.2.4 Подалгебра Бете.

2.2.5 Доказательство коммутативности.

2.3 Традиционные методы решения

2.3.1 Анзац Бете.

2.3.2 Квантовые разделенные переменные.

2.3.3 Монодромия Фуксовых систем.

2.4 Эллиптический случай

2.4.1 Обозначения.

2.4.2 Алгебра Фельдера.

2.4.3 Коммутативная алгебра.

2.4.4 Характеристический полином

2.4.5 Предел и система Годена.

2.4.6 Явный вид з!2 эллиптической системы Годена

3 Решение квантовых интегрируемых систем

3.1 Монодромная формулировка.

3.1.1 Скалярное и матричное Фуксовы уравнения

3.1.2 Двойственное уравнение.

3.1.3 Подъем.

3.2 Преобразования Шлезингера.

3.2.1 Действие на расслоениях.

3.2.2 Действие преобразований на связностях.

3.3 Эллиптический случай

3.3.1 Разделенные переменные.

3.3.2 Анзац Бете.

3.3.3 Матричная форма уравнений Бете.

3.3.4 Преобразования Гекке.

Главные результаты и основная идея работы имеют непосредственное отношение к двум важнейшим направлениям развития геометрии и топологии 20-го века, связанным с приложениями теории интегрируемых систем и приложениями квантовой физики. Наиболее ярким результатом первого направления является решение проблемы Шоттки [1], основанное на гипотезе С.П. Новикова. Задача характеризации Якобианов среди прочих главно-поляризованных абелевых многообразий была решена в терминах нелинейных уравнений: соответствующее ^-функциональное выражение удовлетворяет уравнению КП тогда и только тогда, когда абелево многообразие является Якобианом некоторой кривой. Развитием этой деятельности явилось доказательство гипотезы Вельтерса [2], ха-, рактеризующей Якобианы кривых в терминах тройных секущих соответствующих многообразий Куммера. Второй существенный пласт результатов связан с приложениями квантовой теории поля в задаче построения топологических инвариантов, в том числе в маломерной топологии. Теория инвариантов Джонса-Виттена, или более общо - квантовая топологическая теория поля, обобщает традиционные инварианты узлов: полином Александера и полином Джонса. Собственно инварианты строятся как корелляционные функции некоторой квантовой теории поля [3]. Также с идеями квантовой теории поля связана теория инвариантов Дональдсона [4] и ее развитие Зайбергом и Виттеном. Данный, подход оказался исключительно эффективным и привел к таким важным результатам как доказательство гипотезы Тома о степени гладкого вложения кривой в СР2 [5]. Данное направление развития математики поднимают проблему нахождения эффективных методов решения квантовых задач.

Настоящая работа посвящена построению квантовых аналогов алгебро-геометрических методов, применимых при анализе и решении классических интегрируемых систем. Эти'методы основаны на конструкции спектральной кривой и соответствующего отображения Абеля. Кроме приложений в топологии, явное описание решений квантовых интегрируемых систем непосредственно связано с такими геометрическими задачами, как вычисление когомологий 0-дивизора абелева многообразия [6], вычисление когомологий и характеристических классов пространств модулей стабильных голоморфных расслоений [7, 8], а также пространств модулей флагов голоморфных расслоений, в случае базы СР1 называемых пространствами Ломона [9].

Следует также отметить связь метода спектральной кривой и теорию интегрируемых систем в целом с Эрлангенской программой Ф. Клейна [10], согласно которой исследование геометрических свойств эквивалентно исследованию соответствующих групп симметрий. Теория интегрируемых систем-позволяет расширить понятие симметрии с „главной группы" до пучка алгебр Ли на некоторой алгебраической кривой, тем* самым: обогащая геометрические конструкции комплексной алгебраической' геометрией и теорией специальных функций не групповой природы.

В'работе:строится-квантовый аналог метода.спектральной кривой.для.: рациональной и эллиптической системы Годена [11]. В классификации Хитчина эти случае отвечают роду 0 и: 1 базовой кривой. Главная задача работы, родственнаяшахождению топологических инвариантов.квантово-полевого типа, а также-тесно связанная с исследованием геометрических свойств, пространств - модулей, состоит в описании спектров* рассматриваемых квантовых интегрируемых систем. Полученные; результаты, в том числе методологическийшодход построения квантовой спектральной: кривой, позволили описать явно дискретную группу симметрии спектра рассматриваемых интегрируемых систем: Квантование системы Хитчина на кривой произвольного рода и решение соответствующей квантовой задачи потребует использования иной техники, однако, найденная в рассмат--риваемых случаях; геометрическая аналогия может оказаться эффективной и в ситуации общего рода;

Классические интегрируемые системы.

Существуют многочисленные исключительно важные примеры интегрируемых систем, описывающие специальные семейства физических процессов, к которым относятся многие уравнения гидродинамики [12], спиновые цепочки, интегрируемые волчки (в частности случаи Лагранжа, Эйлера, Ковалевской [13]). Тем не менее, в основе данной работы лежит структурная теория интегрируемых систем, опирающаяся на алгебраическую геометрию и теорию алгебр Ли.

Связь теории интегрируемых систем и алгебраической геометрии проявилась довольно рано, и имеет своей причиной определенную концепцию конечномерности в обоих случаях. Пионерской работой, устанавливающей связь между данными областями математики, можно считать работу К. Якоби [14], в которой решение задачи о геодезических на эллипсоиде было дано в терминах преобразования Абеля для некоторой алгебраической кривой: Связь в более полном смысле, а именно в виде описания фазового пространства интегрируемой системы как расслоения Якобианов, была понята в 70-х годах прошлого века в работах школы С.П. Новикова [12, 15]. В последствии в работе Н. Хитчина [16] было найдено универсальное геометрическое описание фазового пространства широкого класса конечномерных интегрируемых систем как кокасатель-ного расслоения к некоторому пространству модулей расслоений на алгебраической кривой.

Параллельно развивался алгебраический взгляд на интегрируемые системы, в основе которого лежат принципы Гамильтоновой динамики и Пуассоновой геометрии, позволяющие описывать динамику в терминах структуры алгебры Ли на пространстве функций на рассматриваемом многообразии. Существенный прогресс в теории классических интегрируемых систем был связан с открытием метода обратной задачи в 60-х годах прошлого века начиная с работы [18]. Оказалось, что исключительно эффективным с точки зрения решения динамических систем является так называемое изоспектральное представление динамики, или представление Лакса [19]. Данное представление устанавливает связь Гамильтоновых потоков с присоединенным действием соответствующей алгебры Ли, которая является конечномерной для широкого класса примеров. Заметим, что как и в отношении с алгебраической геометрией, специфичность интегрируемых систем на Гамильтоновом уровне характеризуется определенной конечномерностью: бесконечномерная алгебра Ли функций на многообразии описывается в терминах конечномерной алгебры Ли, в частном случае - алгебры Ли матриц фиксированного размера. Именно представление Лакса позволяет* ввести понятие спектральной кривой* и использовать методы алгебраической геометрии для построения явных решений [20], решать динамические системы в алгебраических терминах методом проекции [21] или с помощью более общей конструкции грассманиана Сато и т-функции [22].

Далее под методом спектральной кривой будем, понимать метод решения интегрируемых систем, допускающих представление Лакса, в терминах отображения Абеля для кривой, определенной характеристическим полиномом оператора Лакса.

Первая часть работы посвящена построению обобщений описания типа Хитчина интегрируемых систем на случай кривых с особенностями и отмеченными точками. Важность этого обобщения в рамках данной работы связана с возможностью интерпретации системы Годена с алгеброгеометрической точки зрения. Актуальность задачи построения замкнутого формализма типа Хитчина на кривых с особенностями объясняется тем, что большая часть известных интегрируемых систем имеют именно такую природу. Кроме того, граничные точки пространства модулей кривых, представленные кривыми с особенностями, получаемыми обобщением особенности типа „двойная точка" при склейке схемных точек, допускают явное описание как самих фазовых пространств, так и решений соответствующих моделей. К моделям, допускающим описание типа Хитчина на кривых с особенностями относятся многие известные примеры теории интегрируемых систем типа Годена, Калоджеро-Мозера для разных типов взаимодействий. В первой части работы строится согласованный формализм систем типа Хитчина на кривых с особенностями, поясняется, каким образом система Годена получается в рамках этого формализма, а также описывается классический сюжет разделения переменных в этом случае.

Квантование.

Квантовые интегрируемые модели, также как и классические, часто связаны с важными физическими феноменами. Обсуждаемые здесь примеры спиновых цепочек имеют самостоятельное физическое значение, как квантово-механические системы, описывающие одномерные магнетики. В ряду наиболее актуальных физических приложений полученных здесь результатов можно считать область квантовых вычислений.

Тем не менее, основным акцентом работы является исследование структурной роли интегрируемых систем в том числе на квантовом уровне, на котором также проявляется роль интегрируемых моделей, как симметрий более сложных объектов. В частности, спиновые цепочки, описывающие исключительно одномерные физические системы, оказываются связанными с двумерными задачами статистической физики с помощью метода трансфер-матрицы [11]. Основной метод квантовых интегрируемых систем, называемый квантовым методом обратной задачи (КМОЗ) был создан в 70-х годах 20-го века школой Л. Д. Фаддеева [23]. Во многом данный метод полагается на классический метод обратной задачи, в особенности в части гамильтонового описания. С помощью квантового метода обратной задачи были построены в частности следующие модели: квантовое нелинейное уравнение Шредингера, магнетик Гейзенберга и модель синус-Гордон (эта модель эквивалентна массивной модели Тирринга). Для этих моделей были найдены асимптотики корреляционных функций [49]. Многие из полученных в рамках КМОЗ результатов относительно асимптотик были известны ранее в, рамкам метода анзаца Бете, открытым в 1931 году в работе [24].

КМОЗ был в значительной степени обобщен теорией квантовых групп, введенной Дринфельдом [25]. Язык, алгебр Хопфа оказывается исключительно удобным* для обобщения алгебраических структур, фигурирующих в теории квантовых интегрируемых систем, главным образом для обобщения пространства инвариантных полиномов на группе. Можно считать, что с помощью КМОЗ находится квантовый аналог алгебраической составляющей в теории интегрируемых систем. Вместе с этим, роль спектральной кривой и методов алгебраической геометрии в КМОЗ оставалась непонятой. Именно этой задаче в основном посвящена настоящая работа. Во второй части работы строится квантовый метод спектральной кривой, центральной конструкцией которого, является квантовый характеристический полином для квантового оператора Лакса. Он построен для систем типа Хитчина, соответствующих случаю базовой кривой рода 0 и 1 и набору отмеченных точек. Системы этого типа включают sin систему Годена с рациональным и эллиптическим видом зависимости от параметров, эллиптическую систему Калоджеро-Мозера со спином. Квантовый характеристический полином представляет собой производящую функцию для квантовых гамильтонианов системы. В основе конструкции лежат методы теории квантовых групп, в частности используются результаты построения коммутативных подалгебр в Янги-ане и динамической эллиптической квантовой алгебре Фельдера. Также в разделе 2 описана роль квантового характеристического полинома в задаче нахождения квантовых разделенных переменных.

Как было отмечено выше, методы КМОЗ не позволили существенно продвинуться в задаче описания спектров квантовых интегрируемых систем на конечном масштабе. Напомним, что именно эта задача является ключевой в программе унификации методов интегрируемых систем и квантовой теории поля с целью нахождения новых топологических инвариантов. Несмотря на то, что в некоторых моделях были найдены разделенные переменные, аналога отображения Абеля, как перехода от дивизора линейного расслоения к точке Якобиана, в квантовом случае найдено не было. В части 3 работы строится семейство геометрических симметрий решений квантовой задачи, описание которых также существенно использует конструкцию квантового характеристического полинома модели. Для построения этих симметрий используется традиционный метод анзаца Бете в альтернативной формулировке, а именно в терминах семейства специальных Фуксовых операторов с ограниченной монодромией. В свою очередь данные операторы возникают как скалярный аналог квантового характеристического многочлена. Такое описание квантовой задачи позволяет реализовать симметрии в терминах известных в теории изомонодромных деформаций преобразований Шлезингера [26] и применять известные решения уравнений изомонодромных деформаций, типа уравнений Пенлеве, для описания вариаций спектров квантовых систем при изменении параметров. В определенном смысле построенное семейство симметрий представляет собой аналог отображения Абеля.

Квантовый метод спектральной кривой и другие направления современной математики.

Исследования квантового характеристического полинома для моделей типа Годена позволили систематизировать и существенно повысить эффективность методов решения квантовых интегрируемых систем. Построенные дискретные симметрии спектров рассматриваемых систем выполняют роль обобщенных угловых операторов, то есть позволяют рекурентно строить семейства собственных векторов модели. Практическая значимость результатов в геометрии и топологии обусловлена возможностью обобщения данной техники на полевые модели, возникающие в топологических квантовых теориях поля, и в теориях поля, используемых при построении инвариантов Дональдсона и Зайберга-Виттена. Кроме этого, полученные результаты в проблеме решения квантовых систем имеют непосредственные приложения в задаче описания колец когомологий пространств модулей голоморфных расслоений, пространств Ломона, а также аффинных Якобианов.

В работе были выявлены многочисленные связи и приложения данного подхода в других областях современной математики и математической физики. В теории представлений полупростых алгебр Ли роль полученных результатов заключается в возможности эффективизации таких классических задач, как формула кратностей. Приложения такого типа возникают благодаря наличию специальных пределов системы Годена, образующие коммутативной подалгебры для которых интерпретируются как центральные элементы некоторых подалгебр в U(sln)®N [27]. К этой же области приложений относится результат явного описания центра универсальной обертывающей аффинной алгебры на критическом уровне для алгебры Ли s[n изложенный в разделе 4. Также следует отметить важность метода квантовой спектральной кривой в геометрическом обобщении соответствия Ленглендса над С [28], в бурно развивающейся области некоммутативной геометрии, а также в математической физике и теории конденсированных сред. К области некоммутативной геометрии относятся изложенные в разделе 4 результаты, в том числе тождество Гамильтона-Кэли для квантовых операторов Лакса системы Годена, полученные в [29].

Благодарности Автор глубоко признателен коллективу кафедры Высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова за плодотворную атмосферу и ценные замечания при подготовке диссертации. Автор благодарен сотрудникам групп 170 и 197 Института теоретической и экспериментальной физики за стимулирующее общение. Особую благодарность автор выражает О. Бабелону, В.М. Бухштаберу, А.П. Веселову, A.M. Левину, С.А. Локтеву, М.А. Ольшанецкому, Т.Е. Панову, В.Н. Рубцову, A.B. Силантьеву, A.B. Червову, Г.И. Шарыгину. Данная работа выполнена при частичной поддержке фонда „Династия" и гранта РФФИ 09-01-00239.

1. Shiota Т., Characterization of Jacobian varieties in terms of soliton equations, 1.vent. Math., 83(2):333-382, 1986.

2. Krichever I., Integrable linear equations and the Riemann-Schottky problem, in: Algebraic Geometry and Number Theory, Birkhauser, Boston, 2006.Krichever I., Characterizing Jacobians via trisecants of the Kummer Variety, arXiv:math/0605625.

3. Атья M., Геометрия и физика узлов. М. Мир 1995.

4. Donaldson S., An application of gauge theory to four- dimensional topology, J. Differential Geometry 18 A983, 279-315.

5. Kronheimer P.B., Mrowka T.S., The genus of embedded surfaces in the protective plane, Math. Research Letters 1 A994, 797-808.

6. Thaddeus M. Conformal field theory and the cohomology of the moduli space of stable bundles, J. Differential Geom. 1992. V. 35, № 1. P. 131-149.

7. Барановский В.Ю., Кольцо когомологий пространства модулей стабильных расслоений с нечетным детерминантом, Изв. РАН. Сер. матем., 1994, том 58, выпуск 4, страницы 204-210.

8. Feigin В., Finkelberg М., Negut A., Rybnikov L., Yangians and cohomology rings of Laumon spaces, arXiv:0812.4656.Feigin В., Finkelberg M., Frenkel I., Rybnikov L., Gelfand-Tsetlin algebras and cohomology rings of Laumon spaces, arXiv:0806.0072.

9. Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований (,£)рлангенская программа"), 1872.

10. Gaudin М., La Fonction d' Onde de Bethe, Masson, Paris (1983).

11. Kowalevski S., Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. Acta Mathematica 12 (1889),177-23.

12. Якоби К., Лекции по динамике. Москва 1936.

13. Веселов А.П., Новиков С.П., О скобках Пуассона, совместимых с алгебраической геометрией и динамикой КдФ на множестве конечнозонных потенциалов.— Докл. АН СССР, 1982, 266, № 3.

14. Hitchin N., Stable bundles and integrable systems. Duke Math. Journal 1987 V 54 N1 91-114.

15. Кричевер И.M. О рациональных решениях уравнения Кадомцева-Петвиашвили и об интегрируемых системах N частиц на прямой Функц. анализ и его прил., 1978, 12, 1, стр. 76-78

16. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M., Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.

17. Lax P., Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Comm. Pure Appl. Math. 1968. V. 21. № 5. P. 467-490.

18. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П., Интегрируемые системы, I. Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, том 4.

19. Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, М. Наука, 1990.

20. Демидов Е.Е., Иерархия Кадомцева-Петвиашвили и проблема Шоттки, Фундаментальная и прикладная математика 1998, т. 4, выпуск 1, стр. 367-460.

21. Bethe H., Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linear en Atomkette. (On the theory of metals. I. Eigenvalues and eigenfunctions of the linear atom chain), Zeitschrift fur Physik A, Vol. 71, pp. 205-226 (1931).

22. Дринфельд В.Г., Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Ян-га-Бакстера ДАН СССР. 1985. Т.283, №5.

23. Iwasaki К., Kimura Н., Shimomura S., Yoshida М., From Gauss to Painleve, A modern theory of special functions, 1991.

24. Chervov A., Falqui G., Rybnikov L., Limits of Gaudin Systems: Classical and Quantum Cases, arXiv:0903.1604vl math.QA].

25. Chervov A., Talalaev D., Quantum spectral curves, quantum integrable systems and the geometric Langlands correspondence, hep-th/0604128.

26. Babelon О., Bernard D., Talon М., Introduction to classical integrable systems, Cambridge University Press 2003.

27. Рейман А.Г., Семёнов-Тян-Шанский M.A., Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход. Современная математика. Ижевск 2003.

28. Ramanan S., The moduli space of vector bundles over an algebraic curve, Math. Ann. 200 (1973) 69-84.

29. Kodaira K., Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures 1986 by Springer-Verlag.

30. Nekrasov N., Holomorphic bundles and many-body systems. PUPT-1534, Comm. Math. Phys.,180 (1996) 587-604; hep-th/9503157.

31. Талалаев Д., Червов А., Система Хитчина на особых кривых, Теоретическая и Математическая Физика (ТМФ), 2004, 140:2, 179-215.Chervov A., Talalaev D., Hitchin systems on singular curves II. Gluing subschemes, Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys.4:751-787,2007.

32. Krichever I., Babelon O., Billey E., Talon M., Spin generalization of the Calogero-Moser system and the Matrix KP equation, arXiv:hep-th/9411160.

33. Кассель К., Квантовые группы, (Библиотека математика, вып. 5) М. 1999.

34. Krichever I., Phong D., Symplectic forms in the theory of solitons, hep-th/9708170.D'Hoker E., Krichever I., Phong D., Seiberg-Witten Theory, Symplectic Forms, and Hamiltonian Theory of Solitons, hep-th/0212313.

35. Sklyanin E., Separation of variables in the Gaudin model. J.Sov.Math. 47: 2473-2488, 1989, Zap.Nauchn.Semin. 164: 151-169, 1987.

36. Gutt S., An explicit *-product on the cotangent bundle of a Lie group, Lett. Math. Phys. 7 (1983), 249-258.

37. Kontsevich M., Deformation quantization of Poisson manifolds, Lett. Math. Phys. 66 (2003), 157-216.

38. Fedosov B.V., A simple geometrical construction of deformation quantization, J. Differential Geom. 40 (1994), 213-238.Fedosov B.V., Deformation quantization and index theory, Mathematical Topics, Vol. 9, Akademie Verlag, Berlin, 1996.

39. Талалаев Д., Квантовая система Годена, Функциональный Анализ и его приложения 40 No. 1 pp.86-91 (2006).

40. Sklyanin Е., Separations of variables: new trends. Progr. Theor. Phys. Suppl. 118 (1995), 35-60. solv-int/9504001.

41. Kulish P., Sklyanin E., Quantum spectral transform method. Recent developments, Lect. Notes in Phys. 151 (1982), pp. 61-119.

42. Kirillov A., Reshetikhin N., The Yangians, Bethe Ansatz and combinatorics, Lett. Math. Phys. 12, 3 (1986), pp. 199-208.

43. Molev A.I., Yangians and their applications. math.QA/0211288.

44. Боголюбов H., Изергин А., Корепин В., Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи 1992.

45. Mukhin Е., Tarasov V., Varchenko A., Schubert calculus and representations of general linear group arXiv:0711.4072.

46. Rubtsov V., Silantiev A., Talalaev D., Manin Matrices, Quantum Elliptic Commutative Families and Char-acteristic Polynomial of Elliptic Gaudin model, SIGMA 5 (2009), 110-131.

47. Felder G., Conformal field theory and integrable systems associated to elliptic curves. Proc. ICM Ziirich 1994, 1247-55, Birkhauser (1994); Elliptic quantum groups, Proc. ICMP Paris 1994, 211-8, International Press (1995).

48. Tarasov V., Varchenko A., Small Elliptic Quantum Group eTj7(si/v), Mosc. Math. J., 1, no. 2, (2001), 243-286, 303-304.

49. Enriquez В., Feigin В., Rubtsov , Separation of variables for Gaudin-Calogero systems, Compositio Math. 110, no. 1, (1998), 1-16.

50. Felder G., Schorr A., Separation of variables for quantum integrable systems on elliptic curves, math.QA/9905072, J. Phys., A 32, (1999), no. 46, 8001-8022.

51. Gould M. D., Zhang Y.-Z., Zhao S.-Y., Elliptic Gaudin models and elliptic KZ Equations nlin/0110038.

52. Талалаев Д., Анзац Бете и изомонодромные преобразования, Теоретическая и математическая физика, ТМФ, 2009, том 159, номер 2, стр. 252-265.

53. Болибрух А.А., Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения. М: МЦНМО, 2000

54. Mugan U., Sakka A., Schlesinger transformations for the Painleve VI equation, J. Math. Phys. 36 (3) 1995.

55. Griffiths Ph., Harris J., Principles of Algebraic Geometry, Wiley-Interscience, 1994, ISBN 0-471-05059-8.

56. Schorr A., Separation of variables for the 8-vertex SOS model with antiperiodic boundary conditions, PhD Thesis, ETH, Zurich, 2000.

57. B. Feigin, E. Frenkel, Int. J. Mod. Phys. A7, Suppl. 1A 1992, 197-215.

58. Rybnikov L., Uniqueness of higher Gaudin hamiltonians, archiv:math/0608588.

59. Tarasov A.A., Uniqueness of the lifting of maximal commutative subalgebras of the Poisson-Lie algebra to the enveloping algebra. Sb. Math. 194, No.7, 1105-1111 (2003); translation from Mat. Sb. 194, No.7, 155-160 (2003).

60. Rybnikov L., Centralizers of some quadratic elements in Poisson-Lie algebras and a method for the translation of invariants. Russ. Math. Surv. 60, No.2, 367-369 (2005); translation from Usp. Mat. Nauk 60, No.2, 173-174 (2005) math.QA/0608586.

61. Ochiai, H., Oshima, Т., and Sekiguchi, H. Commuting families of symmetric differential operators , Proc. of the Japan Acad. 70, Ser. A 2 1994 62-68.

62. Beilinson A., Drinfeld V., Quantization of Hit chin's integrable system and Heche eigensheaves. Preprint 1991.

63. Cepp, Ж., Алгебраические группы и поля классов. Мир, 1968.

64. Ивасава К., Локальная теория полей классов Мир, 1983.

65. Frenkel Е., Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, hep-th/0512172.

66. Vergne M., All what I wanted to know about the Langlands program and was afraid to ask, math.GR/0607479.

67. Lafforgue L., Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands, Inv. Math. 147 1-241 (2002).

68. Talalaev D., Chervov A., Universal G-oper and Gaudin eigenproblem hep-th/0409007.

69. Knizhnik V.G., Zamolodchikov A.B., Nucl.Phys.B 247, (1984) 83-103.

70. Диксмье Ж., Универсальные обертывающие алгебры, М. Мир 1978.

71. Molev A.I., preprint math.QA/0211288.

72. Kirillov A.A., Moscow Math. Journal, 1, No 1, (2000) 49-63.

73. Gelfand I., Krob D., Lascoux A., Leclerc B., Retakh V.S., Thibon J.-Y., preprint hep-th/9407124.

74. Frenkel E., Affine Algebras, Langlands Duality and Bethe Ansatz, q-alg/9506003.