Квазиклассические спектральные серии скалярных и матричных операторов квантовой механики, соответствующих неинтегрируемым гамильтоновым системам с симметриями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

РТ6 од

1 ' ' *' 7 '

1 " Волкова Юлия Львовна

УДК 517.95

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ СКАЛЯРНЫХ И МАТРИЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ НЕИНТЕГРИРУЕМЫМ ГАМИЛЬТОНОВЫМ СИСТЕМАМ С СИММЕТРИЯМИ

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1995

!>а6пт>| выполнена нн кафедре прикладной мдтемятили факультет» г-рм-ладиой ма; емглшда Московского тосуднрственного института »дггоронихи и тишшки (технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

Профессор В.В.Белов.

О филиальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.К).Доброхотов

доктор физико-математических наук, профессор Л. С. Вишяцея

Вздут« организация: Московский Энергетический Институт

Защита диссертации состоится

»/¿¿т ^ 1996 г.

1:___мин. на заседании диссертационного совета K-063.G8.05 в

Московском государственном институт;- электроники и математики (7 < хюгческом университете) по адресу: Б. Трехс.вятительский пер., д. 3/3 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ.

Автореферат разослан г

ый секретарь диссертационного совета: кандидат ф:;?.ико• иатеыапгческих наук, @

децокт П.В. Шнурков.

Общая характеристика работы.

В диссертации построены квазиклассичеекие спектральные серии для некоторых многомерных классически нсинтегрируемых гамильтонианов.

Актуальность темы.

Проблема построения серий асимптотических (А —» 0) собственных функций и собственных значений (квазиклассических спектральных серий) квантовых гамильтонианов - одна из основных при квазиклассическом подходе в квантовой механике.

Общая концепция построения квазиклассических асимптотик в этом случае для многомерных квантовых систем была создана в основополагающих работах В.П. Мае лова. Разработанный им метод канонического оператора (с вещественной фазой) связывает построение квазиклассических спектральных серий (квазимод) с геометрическими объектами в 2п-мерном фазовом пространстве. - п-мерными лагранже.выми многообразиями (в случае финитных условно-периодических движений классической системы -п-мерными лагранжевыми торами). Следует подчеркнуть, что этот метод предъявляет весьма жесткие требования к классической системе. А именно, требуется иметь не один, а целое г »-параметрическое семейство лагранжевых торов, что хто-существу эквивалентно полной интегрируемости классической системы.

В неинтегрируемом случае семейство »-мерных лагранжевых торов не существует. Тем не менее, неинтегрируемал система может обладать лагранжевыми торами размерности /.' меньшей, чем размерность п конфигурационного пространства (0 ^ к < п) - изотропными торами. При дополнительных условиях устойчивости инвариантных изотропных торов им также могут буть сопоставлены квазиклассические спектральные серии (квазимоды) с помощью комплексного метода ВКБ, основанного ка теории комплексного ростка В.П.Маслова.. При этом, асимптотики волновых функций почти везде аппроксимируются функциями вида Ф ~ ехр\Stfi, где, в отличие от обычного (вещественного) метода ВКБ, фаза 5 комплексна, причем 1тЗ(х) ^ 0. Это приводит к тому, что функции Ф обладают следующим характерным свойством: в пределе * и й —> 0 они локализованы в малой порядка Л1/2 окрестности области "света", где 1тЗ(х) = 0, представляющей собой проекцию изотропных торов Л* на конфигурационное пространство.

В случае к = 1 - замкнутых фазовых кривых без фокальных точек (орби-тально устойчивых в линейном приближении) - такого рода локализованные асимптотики были построены в работах В.М.Бабича, В.Ф.Лазуткина. Дж.Ральстона, А.Д.Крахнова. -Условия квантования эллиптических фазовых орбит изучались также В.Гийемином, Дж. Де.йс.терматом, А.Вороссм, И.Колин-де-Вердье и др. Общие конструкции квазиклассиче.ского приближения в "промежуточном" случае 1 5С к < и и соответс.твуюгвие формулы для квазимод - комплексный канонический оператор Маслова - были предложены в работах С.Ю.Доброхотов;; и В.В.Веловч. Геометрическим обобщением этих конструкций, е том числе и на нелинейные фазовые пространства, является интегральное представление для квазимод, получеп-

ное М.В. Карасевым.

В настоящее время (в контексте общей проблемы квантования классических систем с хаотишч ки.м иокедешк-м) льччи тельное число публикаций посвящено исследованию конкретных классически неинтегрируемых моделей и их квантовых аналогов. Среди физически наиболее важных и чрезвычайно интересных с математической точки зрения анизотропная задача Кеплера, атом водорода в однородном магнитном поле, анизотропный атом водорода в магнитном поле, атом гелия: двумерные неинтегрируемые системы: пара связанных нелинейных осцилляторов, система с потенциалом Хенона - Хейлеса и ряд других.

Поэтому любая информация о спектре и волновых функциях таких систем чрезвычайно важна как с практической, тик и с теоретической точки зрения.

Примечательной особенностью всех этих моделей является наличие глобальных отражательных с.имметрий потенциала. Неподвижные точки соответствующих канонических дискретных преобразований определяют линейные инвариантные ошплектические многообразия соответствующих га-мильтоновых систем. Сужение исходной гамиль тонов ой динамики на эти многообразия оказывается вполне интегрируемым, что позволяет найти инвариантные изотропные многообразия размерности 1 и 2 (в случае трехмерных моделей с аксиальной симметрией), которым можно сопоставить квазиклассические серии собственных значений и собственных функций соответствующей квантовой задачи.

Цель работы.

Целью работы является построение на основе комплексного метода ВКБ новых квазиклассических спектральных серий скалярных и матричных операторов квантовой механики, соответствующих некоторым модельным Не-интегрируемым гамильтоновым системам с аксиальной и дискретной сим-метриями.

Научная новизна.

Найдены новые спектральные серии (оператора Шредингера) для классически неинтегрируемых моделей - системы двух связанных нелинейных осцилляторов и анизотропной задачи Кеплера в однородном магнитном поле. Л.ля последней модели впервые построены спектральные серии (операторов Паули, Клейна-Гордона и Дирака), учитывающие спин электрона, а также релятивистские эффекты.

Для пары связанных нелинейных осцилляторов построенные квазиклассические спектральные серии равномерны по классическому параметру задачи, входящему в потенциал. Показано, что соответствующие области значений этого параметра определяются индексом Гельфанда-Лидского -номером зоны устойчивости уравнения в нормальных вариациях.

Ценность результатов.

Полученные новые конкретные формулы для квазиклассических спектральных серий возбужденных состояний атома водорода в предельных случаях слабого и сильного магнитного поля представляют интерес в спектроскопии для интерпретации как лабораторных, так и астрофизических

данных по идентификации атомных спектров. В частности, получены явные формулы для расщепления энергетических уровней (с учетом спина электрона) и в промежуточной области, где магнитное и кулоновское взаимодействия одного порядка., наиболее трудной для исследования другими приближенными методами расчета.

Идея построения изотропных торов, пригодных для квантования, на осно ве дискретной отражательной симметрии потенциала может быть полезна при исследовании более сложных многочастичных квантовых систем с глобальной дискретной симметрией, таких, например, как атом гелия.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

1. V.V.Belov, J.L.Volkova Investigation of The Zeenian Effect in Quasicla-ssical Trajectory-Coherent Approximation, Preprint No.35. Tomsk Scientific Centre, USSR Academy of Sciences, Siberian Division, Tomsk, 1991. 29p.

2. V.V.Belov, J.L.Volkova The Zeenian Effect: A Semiclassical Trajectory-Coherent Approximation, Russian Journal of Mathematical Physics, vol.l(1993),N 4,p.409-427.

3. V.V.Belov, J.L.Volkova Quasicla-ssical spectral series of the Schrodinger and Klein-Gordon operators for hydrogen atoms in homogeneous magnetic, fields, "Particle physics,gauge fields and astrophysics'" Proceedings 5th and Gth Lomonosov conferences on Elementary Particles Physics, Accademia. Nazionale dei Liucei, Italy, 1994, p.60-70.

4. V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova The Zeeman effect for the "anisotropic hydrogen atom" in the complex WKB approximation: Quantization of closed orbits for the Pauli operator with spin-orbit interaction, J.Phys.A: Math. Gen. 28(1995) 5799-5810.

5. V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova Tile Zeemaii effect for the "anisotropic hydrogen atom" in the complex WKB approximation: Quantization of two-dimensional Lagrangian tori (with focal points) for the Pauli operator with spin-orbit interaction, J.Phys.A: Math. Gen. 2S(1995) 5S11-5S29.

6. .V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova The Zeemaii effect for the "anisotropic hydrogen atom" in quasiclassical approximation, Part I: The Schrodinger operator, Preprint No.128, CINVESTAV, Mexico,1993, 25p.

7. V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova The Zeenian effect for the "anisotropic hydrogen atom" in quasiclassical approximation, Part II: The Pauli operator with spin-orbital interaction, Preprint No. 129, CINVESTAV, Mexico, 1993, lGp.

8. V.V.Belov, V.M. Olive, J.L.Volkova The Zeenian effect for the "anisotropic hydrogen atom" in quasiclassical approximation, Part III: Approximation of Quasi-classical Spectral Series for Strong and Weak Magnetic Fields (Schroedinger and Pauli operators), Preprint No.137. CINVESTAV. Mexico, 1993, 35p.

Апробация результатов. Материалы диссертации докладывались на пятой и шестой Ломоносовских Конференциях по физике элементарных частиц (Ярославль, 1992, Москва, 1993), научно-технической конференции, аспирантов и молодых специалистов МГИЭМ (Москва, 1994), Second International Workshop on Squeezed States and Uncertainty Relation (Москва, 1992).

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глаз, разбитых на 12 параграфов, приложения к главе II и списка литературы.

Содержание работы.

Во введении к диссертации дается краткий исторический обзор п» проблеме квазиклассического приближения в спектральных задачах квантовой механики, обосновывается актуальность тс мы диссертации и приводится аннотация полученных результатов. В главе I для спектральной задачи

(И - г,'

Я = —т Д + Г( П . < 7 /

изложена конструкция нвазимод, локализованных при А —» 0 в окрестности специального типа периодических движений соответствующей неиктегри-руемой классической системы - прямолинейных либрации. В §1-2 описана (локально) конструкция соответствующих асимптотических собственных функций. В §3 проведено кх "сшивание'" г целью получения глобальной асимптотики (кавонического оператора Маслова с комплексной фазой) и выведены условия квантования замкнутых фазовых орбит с фокальными точками, порожденных орПитально устойчивыми (в линейном приближении) прямолинейными либрациями. Исследована структура канонического оператора в окрестности фокальных точек. Теорема :

Пусть потенциал У(х1,х1) 6 С00(К2) неинтсгрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом И — 4 1'(.Г1,) удовлетворяет следующим условиям:

1) |£(*1.о)=о. ее'.

2) уравнение 4- У(х,,0) = Ей определяет невырожденную замкнутую кривую Л'(£а) С х , проекция которой на - отрезок Г^ {Еа) = [I,"(Ее),г+(£„)], где У(г±(£о),0) = £„.

3) уравнение Хилда (уравнение в нормальных вариациях)

дЧ'

= +-щ(Х(иЕ«)): =0

где Х{1,Ео) - периодическое решение уравнения

ЗУ

¿1 + -=—(*,,0)=0 5.Г,

сильно устойчиво.

4) оператор Шредингера ——Л + К(.£], хг) в существенном самосопряжен. Тогда

1) существуют квазимоды £„,„(/«)) спектральной задачи (1).

локализованные в окрестности отрезка Г^ (£ц): !ш1;.—а "ирр'Ь „,„(х, Я) = Кпн-о Е„^{И) = Еа.

2) асимптотические собственные значения Е„,„|/') - решения уравнения

11,1' 6 N. и < п. II. -~-.il-* 0.

/I

относительно спектрального параметра £ £ (£ц - Л. Е„ 4- Л), где <5 > 0 и не зависит от й, Н —> 0. Здесь ^¡(Е) - показатель флоке решения уравнения Хилла, а 7(Л1) = 2 - индекс Маслова кривой Л1.

3) асимптотические собственные функции .s-j.li) задаются каноническим оператором Маслова с комплексной квадратичной фазой.

Показало, что в условиях Теоремы в окрестности проекции на фокальных точек (рГ1 = О,].»,, = 0,.г, = = 0} 0) = 0), структура асимптотик, даваемых каноническим оператором Маслова с комплексной фазой определяется произведением стандартной функции Эйри по переменной Х\ и гауссова пакета по переменной .г2. параметры которого зависят от х\ (Ленин. 3 ЦЗ).

В §4 рассмотрена спектральная задача для системы двух связанных нелинейных осцилляторов с потенциалом \:{г.у) = + "2У , е > 0, удовлетворяющим условиям теоремы. На основе общих формул §1-3 построены квазиклассические спектральные серии для специального типа замкнутых фазовых кривых, порожденных дискретной симметрией потенциала. Потенциал У(х,у) обладает глобальными дискретными отражательными симметриями

1 )х-*х,у->-у 2)с —> —г-у —* у

3)х -*у,у -* х 4).г —» —у. у —» х.

Соответствующие канонические преобразования имеют инвариантные ла-гранжевы плоскости

П, ={у = 0,р, =()}, Па = {^=0,/)г = 0} Пз = {у = Х,Ру = р,}, П4 = {у = -Х,Ру =

что позволяет найти специальны!- семейства замкнутых фазовых кривых ' = 1...4. В частности, пересечение компактной поверхности уровня энергии исходного гамильтониана {# = £} с П| определяет замкнутую фазовую кривую

Из результатов работы Х.Иошиды (Сс1е.чг..Мес11..\-.32(1984)р.73-86), следует, что показатель устойчивого решения Флокс уравнения в нормальных вариациях (уравнения Хилла)

Лт1 К* т

имеет вид

¡i} = 2(m + в). Щ < l.|0| = -,,rr,t>.-{sfho^s/l 4 Se)).

7Г 4

Здесь К(1/\/2) - полный эллиптический интеграл первого рода, сп(?*У г, l/\/f ) - эллиптический мк-инус Яьоби, m € N - номер зоны устойчивости уравнения Хилла. -в 6 [-;:: -] • главное значение, аргумента мультипликатора e,fl' первого рода При четных ш (ш = 2роь), в > О, при нечетных ш = '2}>сц, + 1 в < 0. Здесь € N индекс. Гельфанда-Лидского уравнения Хилла. В областях значений параметра г, fI,» = {г : m(2m4 1) < £ < l)("2in + 1)},ш € N это уравнение сильно устойчиво.

Квазимоды, отвечающие семейству Л[(£). равномерно пригодные по параметру £,£ 6 Um,m € N имеют вид:

асимптотические собственные значения

ЕпЛКе.

= / з,/, у/' 1 1

\ 25^K( 1/\/2) / 2 2тт 2"

Vf6filn,m€N >», i-eN, 1'<п, п.

Л

а асимптотические собственные функции вне окрестностей проекции фокальных точек i = ±а, у = 0, о- = (4Е)1^: |.i j < о, у = 0(\fh)

v'I ' 1Е=£„,„{''.<0

v/ft vh\z(r(x)\

Vf en,„..ire N

Здесь р(х,.Е) = у - с = г(г) - устойчивое решение Флоке уравнения Хилла, т(х) - гладкое решение уравнения х = — асп(2гК^/; 1/-/2) при г ф 0(то<1к), Т(Е) — _ период движения вдоль фазовой орбиты

А\(Е), N„(11) =

В главе II построены квазикласс.ические спектральные, серии операторов Шредингера и Паули для анизотропного атома водорода в однородном магнитном поле. Гамильтониан Шредингера в атом поле имеет вид

(2) 2т V 2с ,а) ^ + у2 + 7

Но ~ величина магнитного полл, с, »>, - заряд и масса электрона, с - скорость света в вакууме. При значении параметра анизотропии 7 = 1 эта

задача - расчет уровней анергии атома водорода в однородном магнитном поле (аффект Зеемана) - одна из наиболее старых и трудных задач квантовой механики. Ее точное решение известно лишь в двух случаях: при Н = О, т.е. для атома водорода в отсутствии магнитного поля, либо для электрона в однородном магнитном поле (последнее слагаемое в (2) равно 0).

Для эффекта Зеемана хорошо известные приближенные методы расчета, такие как теория возмущений, метод усреднения или адиабатическое приближение, дают результат только либо для сильного,, либо для слабого магнитного поля. Однако, для всех этих методов область #о ~ 10е — 101оС, где магнитное, и кулоновгкое взаимодействия одного порядка, наиболее трудна для исследования. В случае у ф I, неясно Даже, как использовать теорию возмущений, например, в слабом магнитном поле, поскольку соответствующая квантовал невозмущеннал система (при Н ф 0) также не-интегрируема.

Получение детальной информации о зависимости спектра энергии от величины магнитного поли осложняется еще и тем. что уже на уровне классического описания в систем«* существует область значений параметров, в частности, окрестность I = 0, отвечающая хаотическому движению электрона. При Н — 0,7 ф 1 задача (2) есть квантовый аналог анизотропной задачи Кеплера.

Отвечающая (2) неинтегрируемнл классическая система с гамильтонианом Я, (в полярных координатах)

Н.{Ре,Рх,Р? = = + 1'г- + -0 +

^ л Р тЛ,/)' с ¡5

допускает специальные семейства инвариантных лагранжевых торов Л*, к = 1,2,. лежащих в плоскости : = 0, перпендикулярной направлению магнитного поля. Они, как и в §4 гл.1 порождены глобальной дискретной отражательной симметрией г —> — г потенциала \'/(/>. :). коммутирующей с аксиальной симметрией вращения относительно оси г. Канонически сопряженная к ру — I проекция орбитального момента на ось г) координата <р является циклической, что позволяет выделить специальное семейство Л'(/) замкнутых траекторий - окружностей радиуса. Дц(/) ( определяемого условием — о) лежащих в плоскости ; = 0. Они являются стационарными движениями или относительными положениями равновесия на приведенном фазовом пространстве с координатами (1'Р,р^,р, В §1 построены квазиклассические спектральные серии, отвечающие семейству Лг(1). В частности, квазиклаесические уровни энергии имеют вид

(4) £(..,.,,(*) = + >'¿1' .'.„С') + М1)

где - энергия электрона на равновесной орбите, проквантованная

условием I = /Л

а НЕ/'^ „ {И) - анергия милых, колебаний с- частотами и>}{1),] = 1,2 при I = около равновесных значений /I = Лц (/) и г = 0 соответственно

I

Соответствующие асимптотические собственные (функции предъявлены в §1-

Подчеркнем, что при любых значениях I ф 0, Ни >0 траектория Л1(1) орбитально устойчива в линейном приближении. Следовательно, формулы квазиклассических спектральных серий, отвечающих замкнутым фазовым кривым Л1 (Г), оказываются пригодными 'при любых величинах магнитного поля, в том числе и в промежуточной области Нп ~ 10* — 101(,<7. Этот же факт позволяет рассмотреть предельные случаи Яц —> 0, Яо —» оо и получить простые явные формулы квазиклассического спектра анизотропного атома водорода в сильных и слабых магнитных полях (§4).

В §2 получены квазиклнссичес.кие спектральные серии оператора (2), отвечающие двумерным инвариантным лагранжевым торам \г(1,Е), (£ -анергия классической системы), лежащим в плоскости г = 0,рг = 0 вблизи одномерных торов Л'{/). В силу аксиальной симметрии, позволяющей "отделить" угловую переменную, построение глобальных квазимод, отвечающих семействам Л2(/. Е) проводится по формулам §1-3 главы I.

Приведем лишь результат для квазиклассичес.ких уровней энергии Е — отвечающие семейству устойчивых двумерных лагранжевых торов А2(1,Е). Они находятся из-условий квантования семейства Л2(1,Е) с комплексным ростком, которые, оказываются эквивалентными уравнению

(5) ^Сил = *''<"> +

/£2, 1>„.ге N. • »„.|/|~ 1//Л.Л — о

относительно спектрального параметра Е. Здесь ,ЦГ,Е) - вещественный показатель Флоке сильно устойчивого уравнения Хилла

гдеь периодическое решение уравнения Ньютона мЁ + ^ У/(Я,0) ~ 0, потекциа.лУ/(р, г)опр«,.деленв(3).

Построенные спектральные серии описывают возбужденные состояния квантовой системы, обусловленные быстрым вращением электрона (|1| 1) и его радиальными колебаниями большой амплитуды >• 1) в плоскости с = 0. Квантовое число I' = 0,1.2,... определяет амплитуду малых аксиальных (вдоль направления поля) колебаний: // -С пр, и <С |/|.

В §3 главы II для анизотропного атома водорода в однородном магнитном поле построены квазикласс.ичес.кие спектральные серии задачи

для оператора Паули со спин-орбитальным взаимодействием

Я,, = Я, + V'w, ,

Н, = - -Л? ~ ■---

2т с + yJ + "

отвечающие семействам Л1 (/), \!([,Е), найденным в §1.2 этой главы. Здесь оператор взаимодействия спина с внешним полем, а = (ci,<72,i7.3) матрицы Паули, еЕ = Н = rot.А.

Квазиклассичсские спектральные серии спектральной задачи (б] с матричным гамильтонианом Н,, имеют

*«,<(?,Л) = (Л'д» Д-)(7.Л). ¿Г„л(Л) = £•„(/!) + Л(1С +0(Л2)

Здесь Etl(/>) квазикласснчесыи- уровни энергии скалярного оператора Шрсдингера (2), отвечающие <■<■ мействгш инвариантных торов Л*, к = 1,2. построенным в §1,2, Л'дь соответствующий комплексный канонический оператор Мас.лова на Л*, /'о./с - решение спектральной задачи для уравнения поляризации на Л*

-j/c. + П|Д.Л = I'cfo к ■ А' - С-

где 2x2 матрица поляризации П = #(</) — j^:[■£(?) х р])- Спино-

вая поправка к энергии щ и векторная часть волновой функции /<;, для семейств Л1,2 найдены в §3.

В-§4 проведено исследование квнзиклассических уровней энергии (4).(5) оператора Шредингера (2) и получены явные расчетные формулы в предельных случаях слабого и сильного магнитных полей как в случае одномерных, так и в случае двумерных торов.

Для периодического движения электрона (вдоль траектории А'(/)) в атоме водорода (7 = 1) в слабом магнитном поле коэффициенты регулярного разложения энергетических уровней (4) по степеням Щ <S 1. совпадают с. результатами работы ТурПинерм (УФ11. 1 У81.Т.М-).C.35-7S) вплоть до членов порядки Н{) включительно, если их экстраполировать на область больших квантовых чисел N -С 1. где „V = / + 1 главное квантовое число для крайних компонент кулоновского мультиплети с нулевым радиальным квантовым числом пр — О, т = ±I. В сильном магнитном поле Hq 00 (при 7 = 1) найденный спектр энергии совпадает <■ результатами работы Жили-ча и Монозона (ФТТ, 19GG.T.S.C.3539-35GG). полученными адиабатическим методом для 1 = 0.

При получении асимптотических разложений (по магнитному полю) квазиклассического спектра энергии, отвечающего условно-периодическому движению электрона (семейство Л1!I. Е)). основная трудность состоит в

1J

приближенном вычислении показателя Флокс li[I,E). В случае сильного поля ее удалось преодолеть, используя результаты метода Крылова-Боголюбова в теории нелинейных колебаний для решения уравнения Ньютона и метода усреднения в теории линейных гамильтоновых систем с высокочастотным параметрическим возбуждением для уравнения Хилла.

Отметим, что при На — 0, -у ф \ (для аномальной квантовой проблемы Кеплера) формулы квазиклас.сичсского спектра энергии (4),(5) совпадают с результатами В.В.Белова. С.Ю.Доброхотова, В.М.Оливе (ДАН, 1993, т.331, с.150-154) При Но —> 0, = 1 (для эффекта Зеемана) - с формулами в области слабого поля и больших квантовых чисел, полученными недавно квантовым методом усреднения в работе М.В. Карасеваи Е.М. Новиковой (ТМФ, т.108 N3,1996, в печати).

В глазе III исследуетс я релятивистский анизотропный атом водорода б однородном магнитном поле. В >jl доказана Теорема о редукции построения квазиклассических спектральных серий для оператора Клейна-Гордона к построению квазиклаешческих спектральных серий для псевдодифференциального оператора Шредингера с релятивистской функцией ГгАмильтона.

В §2.3 построены квазиклнссические положительно-частотные спектральные серии задачи

¿Ь-£Е(. г.«.-,/)) = 0 для оператора Клейна-Гордона

(7) Ьв= (е+-_4==У -"'V' -r*(-ihV+^A(q))\

V \АТ+ у- + -)---/ V <■ /

описывающего релятивистский электрон без учета спина. Здесь A(q) =

¿[Я,т]. Построены квазимоды, отвечающие как периодическому (§2), так к условно-периодическому (§3) движению электрона. Приведены явные формулы для квазиклассических уровней энергии, отвечающих периодическому движению электрона, в предельном случае слабого магнитного поля. При значениях параметра релятивизма v/r. —» 1 эти уровни переходят в соответствующие уровни энергии оператора Шредингера, полученные в §4 гл.Н.

В §4 построены положительно-частотные квазиклассические спектральные серии (отвечающие семействам Л1./.- = 1,2. найденным в 52,3 главы III), задачи

(8) Нп$ = EV, Ф € х С' для оператора Дирака

HD = HD(-ihV,<j) = cn(-iW - -Äf + Ai»«:2 + /У,(9),

С

с'2

sjs1 + y* + f;'

описывающего релятивистский эж-ьтрон с учетом его едина. Здесь А = ^Ч-у,3,0) векторный потенциал однородного магнитного поля, а - (а1,Л2,«з). рз матрицы Дирака. I единичная 4x4 матриц;!.

Квазиклассические серии собственных значений определяются форму- Л лой

£„,<;(/»> = £„(Л) + Л,Ч- +0('»'■').

а асимптотические собственные функции Ф„. ,;('/, Л) ({Но— £ц.<(А))Фп.с(<7, Л) = представимьг в виде

где главный член Ф" .(г/./>) асимптотической соПственной функции равен

Здесь П(г) - 4 х 2-матрица. составленная из нормированных собственных векторов символа Нц(1'-Ч) оператора Дирака - матрицы Но(р<д), отвечающие "положительному" собственному значению А + (у, ч) — +

£ = ^т2с4 4 {]>— ^.4(7))'. Е„{Ь) квазикллссическиг уровни энергии скалярного оператора Клейна Гордона (7). отвечающие семействам инвариантных торов А*1, к = 1,2, ■ комплексный канонический оператор Маслова на Л*, - решение спектральной задачи для уравнения поляризации

на Л*

А* ПН'£

! Л =1.2

Здесь зу - оператор дифференцировании на классической траектории движения электрона q = СЦ1). Т координаты на торе Л*. е:Е —

Основные результаты диссертации.

1. Изложена конструкция квазиклассичсских спектральных серий (канонический оператор Маслова : оператора Шредингерн. отвечающих семейству замкнутых фазовых кривых с фокальными точками, порожденных прямолинейными либрациями двумерных неинтегрируемых гамильтоно-вых систем.

2. Исследована структура асимптотик, даваемых комплексным методом ' ВКБ, в окрестности фокальных точек.

3. Построены квазимоды оператора Шредингера для системы двух связанных нелинейных осцилляторов, соответствующие прямолинейным ли-брациям, порожденным дискретной симметрией потенциала.

4. Исследована равномерность построенных квазимод относительно классического параметра задачи, входящего в потенциал. Показано, что соответствующие облает значений этого параметра определяются номером зоны устойчивости уравнения в нормальных вариациях.

5. Для анизотропного атома водорода в однородном магнитном поле - неинтегрируемой системы с аксиальной и дискретной симметриями построены квазиклассические спектральные серии (оператора Шредингера), отвечающие периодическому и условно-периодическому движению классического электрона в плоскости, перпендикулярной полю.

6. Для анизотропного атома водорода в однородном магнитном поле построены спектральные серии (операторов Паули. Клейна-Гордона и Дирака), учитывающие спин электрона, а также релятивистские эффекты.

7. Проведено исследов.шие квазиклассичссього спектра энергии для анизотропного атома водорода в однородном магнитном поле в предельных случаях слабого и сильного магнитных полей. Как следствие, получены явные расчетные формулы для расщепления спектра атома водорода в магнитном поле, т.е. для эффект« Зеемлна. в полис.ти как слабого, гак и сильного магнитных полей и больших квантовых чисел.