Квазиклассическое квантование системы из N частиц с помощью метода комплексного ростка тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

61'

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени государственный университет им. М.В.Ломоносова

Физический факультет

На правах ^^Imicw" УДК 517.95

РУУГЕ Артур Эннович

Квазиклассическое квантование системы из N частиц с помощью метода комплексного ростка

01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, академик Мае лов В. П.

Москва - 1999 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

Глава 1. Литературный обзор б §1. Квазиклассический предельный переход и изотропные

подмногообразия б

§2. Комплексный росток в точке 10

§3. Комплексный росток над изотропным многообразием 14

§4. Метод комплексного ростка в задаче N частиц 20 §5. Некоторые факты из теории псевдодифференциальных

операторов 26

§6. Задачи диссертации 27

Глава 2. Уравнение Вигнера 29 §1. Уравнение Вигнера в I? 29 §2. Уравнение Вигнера в Ь2 для системы из N тождественных бозонов 32 §3. Гомологическое уравнение 39 §4. Связь между системами в вариациях 48

Глава 3. Классические квазичастицы 52 §1. Классические квазичастицы в одномерном случае 52 §2. Уравнения для квазичастиц в общем случае 59 §3. Уравнения на изоэнергетической поверхности, описывающие квазичастицы 61 §4. Симметрический вид уравнений для классических квазичастиц 64

Глава 4. Квазиклассические фермионы 70

§1. Постановка проблемы 70

§2. Основное антисимметрическое состояние 76

§3. Структура основного антисимметрического состояния 85 §4. Обобщение для нестационарного случая и для серий,

соответствующих изотропным торам 97 §5. Вариационный принцип для квазиклассических ферми-

онов 100

ВЫВОДЫ 103

Список литературы 104

ВВЕДЕНИЕ

Квазиклассическое квантование, изначально возникшее как математическая реализация принципа соответствия между квантовой и классической механикой, представляет в настоящее время самостоятельную интесивно развивающуюся концепцию. С одной стороны, квазиклассическое квантование может рассматриваться как мощный метод построения формальных асимптотических решений весьма широкого класса уравнений теоретической физики - уравнений типа уравнения Шредингера (стационарного или нестационарного), гамильтонианом которых является некоторый h - псевдодифференциальный оператор, где h —» 0 - малый параметр задачи. Подобные уравнения связаны, прежде всего, с большим числом прикладных задач кватовой механики, чем и обусловлена соответствующая терминология. Малым параметром в этих случаях является отношение постоянной Планка h к характерному значению некоторой классической динамической величины, имеющей размерность действия. С другой стороны, квазиклассические методы позволяют не только строить приближенные решения, но и имеют фундаментальное значение сами по себе, поскольку позволяют лучше понять "природу" квантовых уравнений исходя из алгебраических и геометрических свойств отвечающих им классических уравнений. Под квазиклассическим квантованием в широком смысле этого термина, понимается сопоставление классическим геометрическим объектам - подмногообразиям фазового пространства - формальных асимптотических решений квантовых уравнений, а также выяснение условий, которым должны удовлетворять эти геометрические объекты и гамильтонов фазовый поток классической динамической системы для того, чтобы указанные решения можно было построить.

Одним из возможных подходов к построению квазиклассических (h —> 0)

Typeset by Дм^-ТеХ

асимптотик является метод комплексного ростка. Его важным свойством является тот факт, что он допускает бесконечномерное обобщение и может быть применен к исследованию системы из N тождественных частиц, описываемой уравнением

г^1 = НФ(1), Ф(0еГ5(Х2(М")), (0.1)

где Г5(Х2 (!.")) - симметричное пространство Фока, оператор Н (гамильтониан) имеет вид

Н = I йхф+{х)Т{р,х)^р-(х) + £I

(0.2)

где 6 Кп, р = —¿/гУз, г} = -гкЧ^, К > 0, Т(р,х) и У(р,Х]Г],£) - достаточно гладкие действительные функции, проквантованные по Вейлю, 1р+(х) и (х) - операторы рождения и уничтожения, е —> 0 - малый параметр. Примерами уравнения (0.1) служат N - частичные уравнения Вигнера и Лиувилля для квадратного корня из плотности, а также уравнение Шредингера для системы тождественных бозонов. В Шредингеровском представлении, в котором вакуумному вектору пространства Фока соответствует функционал

Ф0 [£(•)] =ехр(-^д2(Ж)), (0.3)

а операторы рождения - уничтожения имеют вид

уравнение (0.1) принимает вид уравнения Шредингера с бесконечным числом степеней свободы и к нему применим метод комплексного ростка, рассматриваемый по параметру е. Асимптотические решения выражаются с помощью решений классических уравнений - системы уравнений Гамильтона и соответствующей ей системы уравнений в вариациях. В рамках такого подхода удается, в частности, получить геометрическую интерпретацию результатов Боголюбова по теории сверхтекучести на языке Гамильтонова формализма классической механики, а также получить новые, математически строгие, результаты из этой области.

Возможна ситуация, когда помимо параметра е в задаче имеется еще один малый параметр - параметр к (постоянная Планка). Гамильтониан (0.2) зависит, таким образом, от двух малых параметров, е и к, по каждому из которых можно применить метод комплексного ростка. В связи с этим возникает задача исследования асимптотики решений системы Гамильтона и системы в вариациях, отвечающих предельному переходу по одному из параметров, по оставшемуся второму параметру.

глава 1 ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

§1. Квазиклассический предельный переход и изотропные подмногообразия.

Квазиклассическому квантованию и смежным математическим вопросам посвящена обширная литература [15, 19, 24-29, 52, 61]. Существует огромное число работ, в которых квазиклассические методы применяются к различным физическим проблемам [4, 5, 10-13, 16, 18, 22, 33-36, 41, 44, 55-71]. Одним из направлений в теории квазиклассического квантования является метод комплексного ростка [25-27]. Этот метод продолжает активно развиваться в настоящее время.

Пусть Н(х>р), х,р 6 Кп, - достаточно гладкая, действительная, быстро убывающая на бесконечности функция. Н - псевдодифференциалъным оператором с вейлевским символом Н(х,р) называется оператор Н, действующий на функцию <р(х) 6 Со° по формуле (см. [19, 28, 20, 24, 26, 49])

Йф)=(2^ / ехр Ир{х - ^М^гЦ^0' (ы)

где к > 0. Здесь, как и всюду далее, принимается обозначение

п

рх = ^РЖ, (1.2)

¿=1

где х = {х\,..., жп), р = (рх,... ,рп). Оператор Н принято обозначать как

Н = (1.3)

где

дх

д / д д

(1.4)

дх \дх^ ''дх7

Typeset Ьу ДЛ/^-ТеХ

Уравнение Шредингера, описывающее квантово-механическую систему с гамильтонианом Н имеет вид

д <5

= н(х,-гП-^'ф(х,г,к), (1.5)

где £ £ М, •*/>(•,£,/г) 6 £2(®п), х - совокупность обобщенных координат системы. Параметр К ("внутренняя постоянная Планка") является безразмерным и представляет собой отношение постоянной Планка % = 1,05 • 10~27эрг/ сек к характерному значению некоторой динамической величины, имеющей размерность действия. Математическая реализация принципа соответствия между квантовой и классической механикой связана с построением асимптотических разложений решений уравнения (1.5) по параметру Н при к —» 0.

Помимо эволюционных задач, в квантовой механике рассматриваются также спектральные

Ще{х,К) = Е<ФЕ{Х,Ь). (1.6)

В уравнении (1.6), в отличие от (1.5), помимо параметра к присутствует еще один - спектральный параметр Е (энергия системы). В этом случае из рассмотрения квазиклассического предельного перехода /г. —> 0 возникает задача построения асимптотических серий [25, 66, 5] собственных функций и собственных значений, а также классификации функций и собственных значений внутри серии.

Формулы, определяющие конструкцию квазиклассических решений опираются на решения соответствующей классической к = 0 задачи. Именно, рассматриваемой квантовомеханической системе отвечает классическая (к — 0) динамическая система, фазовым пространством которой является = К™ х М™ с симплектичекой структурой [2]

п

ш = ф А (¿ж = ^ йру А йх], (1.7)

¿=1

а функцией Гамильтона - символ оператора Н при к — О. Классические уравнения движения - уравнения Гамильтона - имеют вид

<Й др ' & дх 1 ' ;

В методе комплексного ростка задача построения асимптотических решений уравнения Шредингера сводится к геометрической - к построению комплексного векторного расслоения [17] (комплексного ростка) над поверхностью в фазовом пространстве (изотропным подмногообразием). Закон изменения рассматриваемой поверхности со временем определяется как сдвиг вдоль траекторий системы (1.8), а эволюция слоев комплексного ростка определяется соответствующей системой уравнений в вариациях.

К понятию изотропного многообразия можно прийти следующим образом. Пусть Л С К^р - гладкая поверхность рамерности к ^ п, определяемая локально уравнениями

где а = (а.\- некоторые локальные координаты на Л. Определим скобки Лагранжа

Непосредственным дифференцированием, можно убедится, что скобки Лагранжа сохраняются вдоль траекторий (1.8):

Это означает, что если Л сохраняется под действием фазового потока, ассоциированного с Н(х,р), и на Л имеется траектория, наматывающаяся на нее всюду плотно, то скобки Лагранжа постоянны на Л. Поверхность Л, на которой скобки Лагранжа обращаются в нуль называется изотропной, если к < п, и лагранжевой, если к = п. На бескоординатном языке эти понятия вводятся следующим образом.

Определение 1 [51,52,21]. Подмногообразие симплектического многообразия (М., и) называется изотропным, если dim А < п — dim М./2 и сужение сим-плектической формы ш на Л равно нулю. Если dim Л = п, то подмногообразие называется лагранжевым.

х = Х(а), р = Р(а)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

Примером лагранжевой поверхности Л является совместная поверхность уровня п первых интегралов г — 1,п динамической системы, находящихся по-

парно в инволюции:

где {•,•} - скобки Пуассона. Можно показать [51], что если многообразие Л компактно, то оно гомеоморфно тору.

Классификация квазиклассических собственных функций и собственных значений порождается классификацией движений соответствующей классической динамической системы. В работах [27, 25] в основу такой классификации были положены семейства инвариантных лагранжевых подмногообразий. Если имеется п - параметрическое семейство таких подмногообразий Л, то из него с помощью условий квантования Бора - Зоммерфельда

где интеграл берется по й-му базисному циклу С8 многообразия, в = 1, йо, 5о -одномерное число Бетти, 1а - индекс Маслова [27, 26], выделяется дискретное подмножество, порождающее серию. Асимптотические собственные функции выражаются с помощью канонического оператора Маслова.

Из общих физических соображений следует [23], что квазиклассическое приближение в спектральных задачах применимо для "больших" квантовых чисел. Вместе с тем, для многих конкретных примеров известно, что квазиклассический спектр дает достаточно хорошое приближение и там, где условия квазиклассичности формально не выполняются. Таким образом, можно сказать, что область применимости квазиклассического приближения на самом деле шире, чем область "больших" квантовых чисел.

Случай, когда некоторая область фазового пространства системы расслаивается семейством инвариантных лагранжевых подмногообразий, не является единственно возможным. Часто приходится сталкиваться с неинтегри-руемыми динамическими системами, которые, как правило, не обладают п-параметрическими семействами лагранжевых инвариантных торов, но достаточно часто обладают семействами торов меньшей размерности. В этих слу-

(1.12)

тос! 4,

(1.13)

чаях используется метод комплексного ростка, позволяющий сопоставить таким семействам серии асимптотических собственных функий и собственных значений.

Асимптотические собственные фукнции обладают следующими свойствами. гр(х, И) сосредоточена при /г —> 0 вблизи проекции Л на конфигурационное подпространство. Сужение я}){х,Ь) на жхК является быстро осцилирующей функцией, где кх - оператор проектирования на конфигурационное подпространство. Вне малой трубчатой /¿■^"^-окрестности пхА функция экспоненциально быстро затухает.

В следующих трех параграфах описыватся конструкция асимптотик, соответствующих комплексному ростку. Кроме конечномерного случая, описывается также его бесконечномерное обобщение для вторично- квантованных уравнений статистической физики. Для того, чтобы охватить как спектральные, так и эволюционные задачи, конечномерный вариант теории излагается для спектральных задач, а бесконечномерный - для эволюционных.

§2. Комплексный росток в точке.

Простейший вариант теории комплексного ростка - комплексный росток в точке. Пусть Л - невырожденная особая точка гамильтонова векторного поля

Определение 2. Точка Л называется устойчивой в линейном приближении, если матрица из вторых производных

где Нхх — \\д2H/дxiдxj\\, и т.д., невырождена в этой точке.

Определение 3 [3, 50, 14]. Квазимодой оператора Н, сосредоточенной в точке я^Л называется пара (гр(х, к), Е(к)), где 1р(-, Ь) - функция, Е{Ь) - число, такие, что выполнены условия:

(1) Если х 0 7Гд.Л, то 1р(х, Н) —> 0, Н -*■ 0.

(1.14)

(1.15)

(2) E{h) - #|л, h-*0.

(3) (B-F(h))i/>(x,h) =o(h), ip(x,h) = 0( 1).

Можно показать, что условие невырожденности стационарной точки Л обеспечивает существование квазимоды оператора Н, сосредоточенной вблизи 7гжЛ имеющей вид

ip(x,h) = c(h)<p(x)exp{iS(x)/h], (1.16)

где <р(х) и S(x) - некоторые функции, с (/г) - нормировочный множитель. Для этого достаточно рассмотреть в уравнении (1.6) подстановку (1.16), где

S(x) = р(х-х°) + \(х-х°,М(х-х0)) (1.17)

Zt

где (•, •) - вещественное скалярное произведение, ж0 и р° - координаты точки Л, р = (рю и р° - координаты точки Л, р = (р1}... ,рп) - постоянный вектор, М - некоторая симметрическая п х п матрица. Построение такой квазимоды сводится в итоге к рассмотрению матричнозначного уравнения типа Риккати:

Нхх + НхрМ + МНрх + МНРРМ = 0. (1.18)

Для выполнения условия сосредоточенности при /г —> 0 фукнции ip(x,h) вблизи проекции ттхА необходимо потребовать положительную определенность мнимой части матрицы М:

ImM > 0. (1.19)

Имеет место

Теорема 1 [50]Пустъ Л - невырожденная особая точка гамилътонова ве-торного поляд/дт (1.14), устойчивая в линейном приближении. Тогда существует решение уравнения (1.18), удовлетворяющее условию (1.19), и пара

•ф{х, Ь) = Л_тг/4 ехр {%- (У, х - х°) + Ьх - х°,М(х - х0)}) ),

IAV 2 J i ^^

ih

E(h) = H(x°,p°) - ^Тт{Нрр{х\р*)М + Нрх{х\р°)}, (1.21)

является квазимодой оператора Н, сосредоточенной вблизи 7гхА.

Решению уравнения (1.18) можно придать следующую геометрическую интерпретацию [25]. Пусть (г, ад) - координаты в комплесифицированной касательной плоскости сТлМдр к фазовому простанству М^™ в точке Л, индуцированные каноническими координатами (х,р). Тогда матрице М ставится в соответствие плоскость г (комплексный росток) в определяемая урав-

нением

ги = Мг. (1.22)

Условиям симметричности и положительной определенности матрицы М соответствуют условия на г, которые удобно представить в следующем виде. В слоях касательного расслоения ТК^™ фазового пространства симплектическая структура и = йр А йх индуцирует операцию кососкалярного произведения [•, •] двух касательных веторов, которой, в свою очередь, отвечает невырожденная эрмитова форма

(а,Ь) = 1[аД (1.23)

где черта обозначает комплексное сопряжение. Условие симметрии матрицы М переходит в условие лагранжевости г:

[а, Ь] = 0, Уа,Ьег, (1.24)

а условие 1т М > О переходит в условие положительности плоскости г относительно эрмитовой формы (•,•):

(о, а) > 0, Уабг, а ф 0. (1.25)

Уравнение (1.18) переходит в условие инвариантности комплексной плоскости г относительно действия оператора линеаризации гамильтонова векторного поля д/дг:

6 г =>- А(г,и))т 6 г, (1.26)

где А имеет вид (1.15).

Определение 4. Плоскость г с '"ГдМ^ комплексной размерности п, удовлетворяющая условиям (1.24-1.26), называется инвариантным комплексным ростком в точке Л.

Существование симметрической матрицы М, удовлетворяющей условиям (1.18,1.19) эквивалентно существованию в точке Л инвариантного комплексного ростка. Таким образом, для того, чтобы построить квазимоду (1.20,1.21), необходимо построить в точке Л инвариантный комплексный росток.

Квазимоду (1.20, 1.21) принято называть вакуумной квазимодой. Помимо нее, инвариантному комплексному ростку г в точке Л, можно поставить в соответствие другие квазимоды, назваемые возбужденными. Эти квазимоды строятся с помощью так называемых операторов рождения на комплексном ростке, определяемых следующим образом.

Определение 5. Оператором рождения на комплексном ростке г, соответствующим вектору С = {г,и))Т € г, называется линейный дифференциальный оператор

а+[С] = £ {^Щ - - -*?)}•

Коммутатор двух операторов рождения на комплексном ростке, соответствующих векторам £ и равен нулю.

Можно показать [25], что на комплексном ростке г можно выбрать базис Съ • • •) Сп) таким образом, что, будучи пополненным комплексно сопряженными элементами ... он превращается в ортонормированный базис �