Применение теории комплексного ростка в статистической физике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

^ #

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 530.19

Коваль Геннадий Васильевич

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНОГО РОСТКА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ.

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре квантовой статнстнкн н теории поля физического факультета Московского Государственного Университета имени МЛ. Ломоносова.

Научный руководитель: академик РАН

профессор В.П. Маслов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Е.Е. Тареева

кандидат физико-математических наук

Е.Р. Лубенец

Ведущая организация: Математический Инстшуг Российской Академии Наук имени В.А. Стеклова.

Защита диссертации состоятся .1998 г. в /<$ часов на

заседании Диссертационного Совета К dS3.05.18 при Московском Государственном Университете именн М.В. Ломоносова по адресу: 119899 г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд. С ФА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан

УИХ^Л 1998 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 053.05.18 —^^

д.ф.-м.н. сХ&йЛ*^^ ДА. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Исследование уравнений, описывающих модели статистической механики и квантовой теории поля, играет важную роль в теоретической физике. В частности, представляет интерес решение таких уравнений как уравнения Лиувилля, Шредингера, Вигнера. В виду значительной сложности нахождения точных решений этих уравнений актуально применение асимптотических методов для нахождения приближенных решений. В этой связи представляет интерес применение теории комплексного ростка, разработанной В.П. Масловым, для построения асимптотических решений. В частности оказывается, что теория комплексного ростка дает возможность для построения асимптотических решений уравнения Шредингера с малым параметром при производных и для построения асимптотических решений уравнения Лиувилля для большого числа частиц с малым параметром при взаимодействии.

Целями диссертационного исследования валается.

Исследование некоторых решений и отвечающего им спектра уравнения Лиувилля для систем нескольких частиц и построение асимптотических решений и асимптотических собственных значений уравнения Лиувилля для различных систем большого числа частиц с малым параметром при взаимодействии.

Построение асимптотической собственной функции для уравнения Шредингера для N фермионов с притягивающим потенциалом, которая отвечает основному состоянию.

з

Построение асимптотического решения уравнения для матрицы плотности. Исследование решения возникающего при этом уравнения типа уравнения Риккати.

Научная новизна и практическая ценность работы.

Впервые теория комплексного ростка применена для построения асимптотических собственных функций и асимптотических собственных значений многочастичного уравнения Лиувилля. Полученные результаты представляют интерес как для математики, так и для физики. Они могут быть применены для исследования реальных физических систем, кроме этого некоторые из полученных результатов могут быть использованы при изучении квантовых систем фермионов с сильным взаимодействием между частицами.

Апробаидя работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля и на семинарах отдела статистической механики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, а также на международном конгрессе "Нелинейный анализ и его приложения".

По теме диссертации опубликовано четыре работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 96 страниц, список цитированной литературы включает 52 работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан обзор литературы и описано современное состояние проблемы нахождения спектра оператора Лиувилля, приведен обзор

используемого в диссертации метода комплексного ростка для вторично кваятованныхзадач.

В главе 1 показано, что в квантовой статистической физике в квазиклассическом приближении возникает задача о нахождении спектра уравнения Лиувилля. Проблема нахождения спектра уравнения Лиувилля разбита на несколько задач, которые решаются в следующих главах.

В параграфе 1 главы 1 рассмотрено уравнение Шредингера вида ^ *

2

П

—^H^JV{xu...,xN) + VM{xi,...,xN)yf{xx,...,xM) = Ey/{x......дг*).

>i

Обсуждается известное свойство собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера

ыЕмт~Еит=ъ

»-л Ь

где Л-h -псевдоднфференцяальный оператор, который получается при квантовании символа A{xl,p1-,...-,xN,pN)eC", где Ддг,-»V./V)-слабый предел при ft -> 0 функций

* *

-¡Е'л е м

f\(.x%,p1\...\xN,pN) = yfum(x.....,xNW'Uim(pt.....pN)-y-

(2яft)J

Функция pi(xi,pl;...-,x„,pN) является решением уравнения Вигнеравида {£ j((Pj ~ д1дх!)2~Pj) + ^(x,.....)- М'f. - Л^/4»,.....й)

отсюда следует, что /^.р,;.является решением уравнения Лиувилля вида

*Р1

В параграфе 2 главы 1 рассмотрены решения уравнения Лиувилля (1) с П = 0 вида

Р(х\,Ръ~-,хц ,Рн) = /(£ - Нн(хкр1„..-,х„ ,ры)),

где = где /(•)-

у-! ^

дифференцируемая функция или дельта-функция <?(•). Из общей проблемы нахождения спектра и решений уравнения Лиувилля (1), которая является очень сложной, особенно в эргодическом случае, выделены задачи, которые решены в следующих главах диссертации.

В главе 2 рассмотрен случай Т = О, где Г-температура. Найдены решения уравнения Лиувилля и спектр, которые отвечают точкам покоя гамильтониана Нм(х„р1;...;хк,р„).

В параграфе 1 главы 2 рассмотрено уравнение Лиувилля для

р2 + х2

одномерного осциллятора, гамильтониан которого имеет вид Н(х,р) = —^—. Получено, что обобщенные функции вида

Р„(х,Р) = (*/& - < ¿/Ф)т +1 <?/Ф)л д(х)д{Р), (2)

где п,т £ 0 - целые числа, являются решениями уравнения д д

где П_ = т-п. Показано, что обобщенные функции (2) а*(*.р) и Р-о(^.Р) являются слабым пределом функций Вигнера для осциллятора

1 е*

А. (*./>) =

h1

1 e ***

Pmo(x.P) =

Л2

где //.v^O-целые числа, такие что v-p = m, с(у,р)-некоторые постоянные, y/v (х, h), фр (р. К) -собственные функции осциллятора соответственно в координатном и импульсном представлениях. Показано также, что и

являются пределом обобщенных функций, сосредоточенных на

г

изоэнергетическом многообразии —^— = s, при энергии s стремящейся к нулю.

= im-V si 2 - *) >

в2 е2

где <р - угловая переменная на фазовой плоскости (д:,р), В(т) - некоторые постоянные.

В параграфе 2 главы 2 рассмотрен общий случай гамильтониана " Р2

HN(xi,pi\...-,xN,pN) = ^l-^-+VN(xu...,x/l), где .....х„) имеет глобальный

j-1

- —- 1 >0. Для этого случая

минимум при х1 = о, такой что 6а ^^ рассмотрена асимптотика при А-»0 собственных функций и собственных

значений уравнения Шредингера, которая отвечает комплексному роспсу в точке. Рассмотрены функции типа Вагнера

1 . е'Я""

..........Рлг.л)-тг> (3)

Л~ (2

отвечающие построенной асимптотике ..,х„;П), где .....

N I

мультаиндекс, = Найден слабый предел при А->0 функций

(3). Доказано, что при й->0 функции (3) слабо сходятся к следующим обобщенным функциям

ню р%р(х1>р1,..,-,хц,р1{)= X ... £

где (сг,, ^;...; , ^ ) -некоторые постоянные, (с,, ) -дифференциальные операторы, которые выражаются следующим образом

1, о-у = ч,

n

£ (С„ <?м, + Дд <?/Ф, < Ч]

V

2 (с; + в; <

где ВЛ,СЛ являются решением системы уравнений в вариациях и удовлетворяют условиям

И N

X ВцСи - ВиСц) = О, X вчс» - вис») = 2/^,.

Показано, что обобщенные функции (4) являются решениями уравнения

n

Лиувилля (1), соответствующий спектр имеет вид =2 -//,).

>1

Полученные решения уравнения Лиувилля сосредоточены в точке покоя, которая является основным состоянием классического гамильтониана Н„(хир1„..\х„,р,1). Эти решения, таким образом, отвечают случаю, когда температура равна нулю.

В параграфе 3 главы 2 исследована асимптотика при Л-»о основного состояния многофермионной задачи с симметричным потенциалом

Уы(х,.....х„). При этом были использованы результаты предыдущего

параграфа Полученная асимптотика волновой функции Ы-фермионов является точным решением уравнений нового вариационного принципа предложенного Масловым.

В глазе 3. следуя современным тенденциям квантовой теории поля и квантовой статистической физики, рассмотрено уравнение Лиувилля па решетке, получена асимптотика при N-»<0 собственных функций и собственных значений этого уравнения.

В параграфе 1 главы 3, исходя из разностной аппроксимации уравнения Лиувилля (1) с потенциалом вида

1 *

где У{х,у) - симметричная функция, потенциал парного взаимодействия, и(х) - внешнее поле, вводится уравнение Лиувилля на решетке. Это уравнение имеет вид

им х

где )„к,1 принадлежат шеспшериой кубической решетке с конечным числом узлов Ы, Тр и в явном ввде приведены в диссертации.

Рассматриваются симметричные решения уравнения (5). Доказано, что, если функция уг(ди...,да)е1}(11а) является решением уравнения Шредингера вида

является симметричным решением уравнения Лиувилля на решетке (5).

В параграфе 2 главы 3 методом комплексного ростка строится асимптотика при N-+ <а некоторых серий собственных значений и собственных функций уравнения (6). Показано, что соответствующие функции вида (7) являются асимптотическими собственными функциями уравнения Лиувилля на решетке (5) с точностью 0(1/N). Таким образом, построена асимптотика спектральных серий уравнения Лиувилля на решетке, причем в общем случае собственные значения серии имеют порядок N, то есть очень далеки от нуля.

(6)

то функция

(7)

В главе 4 рассмотрен спектр уравнения Лиувилля (1) с потенциалом 1 и

УА*......**>= » отвечающий мальш отклонениям от

" /=\

состояния равновесия, в том числе температурного состояния равновесия при Т* 0. Показано, что симметричные решения, принадлежащие ]}, уравнения Лиувилля (1) выражаются через собственные функции оператора

<8)

где В1 (х, р) -операторы рождения и уничтожения в бозонном пространстве Фока, е = ум. При 0 гамильтониану (8) отвечает классическая гамильтонова система уравнений

Уравнение (9) имеет решение вида <Цх,р,1) = /(рг/2+Щх)), где /(•) еС~ убывает на бесконечности быстрее любой степени аргумента и Ц <Ыр^(р2/2 + Щх)) = \, адеЛ, где 1У(х) определяется из уравнения для «одетого» потенциала

\У{х) = и{х~)+\\ ¿у&У(х,у)/\к2/2 + 1У(у))

С помощью теории комплексного ростка построена асимптотика собственных функций и спектра уравнения Лиувилля (1), которая отвечает заданной

п

функции /(•). Рассмотрен частный случай /(£) = Аехр^-^/кТ), который отвечает температурному состоянию равновесия.

В главе 5 рассмотрено уравнение Вигнера, которое при й-»0 сходится к уравнению Лиувилля. Рассмотрена матрица плотности в координатном представлении, которая имеет вид

I"

где р(х„рх\...,хК,рн) является решением уравнения Вигнера Матрица плотности р(х1,у1',...,хи,у11) симметрична относительно переменных (х,,у,), в фермиогаюм случае она также антисимметрична по переменным х и по переменным у. В фермионном случае матрица плотности удовлетворяет уравнению

)-1 (10)

))}р(хиу1-,...-,х/1,уы) = Яр{хиу1;...;хм,у>1,

где Р,^ -оператор перестановки переменных х1 и хк, е=Щ. Показано, что симметричные относительно переменных решения уравнения (10),

которые принадлежат 1}, выражаются через собственные функции оператора

где £*(х,у) -операторы рождения и уничтожения в бозонном пространстве Фока Показано, что отвечающая гамильтониану (11) в пределе при е-»0

классическая гамильтоиова система уравнений имеет решение вида

I N _

*(*.>)—лг?1 ФАх)<р'.{у), где <р,(х) j = являются решениями системы

уравнений типа уравнений Хартрн-Фока й2 1 я

Найдены асимптотические собственные функции уравнения для матрицы плотности (10). Найденные асимптотические собственные функции выражаются через Ф(*,у) и Я(хиу1,х2,у2), где Щх1гу„хг,у2)-симметричная относительно перестановки (д^.у,) и (х2,у2) функция, которая является решением уравнения вида

(-£«*.-»А -А х

Исходя из уравнения (12) и явного вида функции <Цх,у) исследованы свойства функции /*(*,,.у,;*,,у,). В пределе при й->0 полученным

асимптотическим функциям отвечает решение уравнения для «одетого»

потенциала с /(£) = где в - тета-функция Хевисайда

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ.

1. Найдены решения и соответствующий им спектр уравнения Лиувилля, сосредоточенные в точке, которая является точкой покоя гамильтониана. Доя уравнения Шредингера для N фермионоз с притягивающим потенциалом построена асимптотическая при собственная функция, которая отвечает основному состоянию.

2. Для уравнения Лиувилля на решетке методом комплексного ростка найдены асимптотические собственные функции и приближенные собственные значения.

3. Для уравнения Лиувилля найдены асимптотические собственные функции и приближенные собственные значения, которые отвечают различным решениям уравнения для "одетого" потенциала.

4. Построены асимптотические собственные функции уравнения дня матрицы плотности, которые выражаются через решите гамильтоновой системы и решение бесконечномерного уравнения типа уравнения Риккати. Исследовать свойства решения бесконечномерного уравнения типа уравнения Риккати.

ПУБЛИКАЦИИ.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

(1)Г.В. Коваль. О свойствах бесконечномерного уравнения Риккати, возникающего в многофермионной задаче. Математические заметки т.60, №2,1996.

(2) G.V. Koval'. On the exact solution of a many-fermion problem in the form of Maslov pairs. Russian Journal of Mathematical Physics, vol.5, no.4,1997.

(3) Г.В. Коваль. Об асимптотическом пределе матричных элементов канонического оператора для комплексного ростка в точке. Математические заметки т.63, №3,1998.

(4) В.П. Маслов, ГЛ. Коваль. Отклонения от состояния температурного равновесия для классических бозонов в классической статистической физике. Доклады Академии наук, т.360, №2,1998.

Подписано в печать Ц од.98 У .-печ.л Тираж 100 эка. Закао

Отпечатано в фото множительной мастерской Геологического факультета МГУ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА _

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ кафедра квантовой статистики и теории поля

На правах рукописи УДК 530.19

КОВАЛЬ Геннадий Васильевич

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНОГО РОСТКА В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ.

(01.04.02 - теоретическая физика)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель академик РАН Маслов В.П.

Москва 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ.....................................................................................................4

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ............................................................23

1.1 Связь решений уравнения Лиувилля и

решений уравнения Шредингера.............................................................23

1.2 Различные постановки задачи для уравнения Лиувилля........................31

ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ЛИУВИЛЛЯ И ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНОГО РОСТКА...........................36

2.1 Новые решения уравнения Лиувилля

для одномерного гармонического осциллятора..........................................................36

2.2 Новые решения уравнения Лиувилля

для гамильтонианов с точкой покоя.........................................................42

2.3 Точно решаемый пример для системы фермионов

и новый вариационный принцип Маслова.................................................49

ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ НА РЕШЕТКЕ.......................................53

3.1 Разностная аппроксимация для уравнения Лиувилля. Сведение задачи к уравнению типа

уравнения Шредингера..........................................................................53

3.2 Построение асимптотических решений

для уравнения Лиувилля на решетке.......................................................60

ГЛАВА 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ЛИУВИЛЛЯ. КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.............................66

ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ ХАРТРИ-ФОКА КАК УРАВНЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В ЗАДАЧЕ

ДЛЯ ФЕРМИОННОЙ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ..................................79

ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................85

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...............................................................................87

ВВЕДЕНИЕ

Уравнение Лиувилля играет важную роль в классической статистической физике. Это уравнение описывает эволюцию во времени состояния классической статистической системы [3,8,48]. Для системы одинаковых N частиц, которые находятся во внешнем поле и(х) и попарно взаимодействуют друг с другом с потенциалом взаимодействия У( хь Х2) = У( Х2, X]) уравнение Лиувилля имеет вид

— (t;x1,p1;...;xN,pN) + 2.—"X-(t;x1,p1;...;xN,pN)-2J

ОС j=l Ш OX j j=i

f \ ш, » av, л

\ k*j J

X

X — (t;x1,p1;...;xN,pN) = 0, (0.1)

где m - масса частиц, t - время, Xj, pj е 913 - координата и импульс j-й частицы, где введено обозначение типа = для производных по трехмерным

¿Ъ а=1

переменным, везде далее будем считать, что ш=1. В статистической физике функции p(t; x!,pi;...; xn.Pn) придают смысл плотности вероятности в фазовом пространстве [3,8]. Это означает, что величина p(t;х°,р°;...;x^,,pN)dx1dp1...dxNdpN является вероятностью того, что в момент времени t система находится в области фазового пространства х°а < х" < х30а + dXja, р°а < Pja < pja + dpJVa = 1, 2, 3, j = 1, ..., N. В

силу тождественности частиц друг другу (хотя в классической физике они различимы) обычно рассматривают симметричные решения уравнения (0.1). Это значит, что функция p(t; x1(pi; ...; xN,pN) в любой момент времени t не изменяет своего значения при перестановке (xj, -pj) и (xj0 р^). Легко убедиться, что если это условие выполнено в какой-то момент времени to, то оно выполняется для

произвольного момента времени t. Симметрия функции p(t; xbpi; •••; xn>Pn) позволяет применять к уравнению (0.1) метод вторичного квантования, что и было сделано в [29,30,32,45,46] . Мы остановимся подробнее на этом обстоятельстве в

главе 4.

Уравнение Лиувилля (0.1) описывает полную эволюцию системы N частиц. Если N очень велико решить уравнение (0.1) даже с помощью ЭВМ практически невозможно. Кроме того, часто это не является необходимым, необходимую информацию можно получить из функций распределения [3,8,48]. Эти функции вводятся следующим образом для системы, которая находится в объеме V

Fs(t; xt, pt;...; xs, ps) = Vs J... J dxs+1dps+1... dxNdpNp(t; xt, pt;...; xN, pN ), (0.2)

где s = 1, 2, ... . Для функций Fs из уравнения (0.1) в термодинамическом пределе,

N 1

то есть когда N -» оо, V -» оо, — -> — = const, получается цепочка уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона:

л ^ Pi ^ • ч л Л

(t;x1,p1;...;xs,ps) + 2J~^(t;x1,p1;...;xN,pN)-2JV—(xj) + 2J^—(xj(xk);

dt U;x1)Pl,...,xs,ps; + ^m & .....................ttSXj

k*j

^jp | g SF

x"^r^t;xi'Pi;---;xN>PN)-~ff dxs+idPs+i Z (xs+i> xs) ^r1^; X1( Pl;...; xN, pN ) = 0 .

(0.3)

Из цепочки уравнений (0.3) получают кинетические уравнения Власова, Больцмана, Ландау. Наиболее строгий вывод этих уравнений дал в своей монографии [8] Боголюбов H.H., помимо уравнений (0.3) он использовал физический условия ослабления корреляций для функций (0.2) [8]. Заметим, что другой вывод кинетических уравнений без перехода к цепочке уравнений ББГКИ для функций

распределения был дан в работах [3,4,48]. В этих работах непосредственно к уравнению Лиувилля применялась теория возмущений, строилась диаграммная техника для уравнения Лиувилля и проводилось суммирование диаграмм.

В настоящей диссертации метод комплексного ростка Маслова [22] также применяется непосредственно к уравнению Лиувилля, но записанному не в виде (0.1), а к уравнению, которое имеет вид

(

Н.р. ф N

Х.р(х1,р1;..:;хы,рм) = + 0С

¡ 4 ГО (Ж] н

ф

(х1> Р1! • • • > хы> Ры) >

эи » ЗУ

аГ ' ',х

. J к^ . У

(0.4)

где \ - мнимая единица, I2 = -1. Уравнение (0.4) мы будем также называть уравнением Лиувилля и уравнением Лиувилля на собственные значения. Постановка задачи о нахождении собственных функций и отвечающего им спектра уравнения Лиувилля (0.4) является довольно необычной и, возможно, новой для статистической физики. По-видимому, впервые эта задача была поставлена Масловым В.П. (смотри работу [40]). Отметим, что эта задача несомненно представляет интерес для статистической физики, причем как для классической, так и для квантовой. В первую очередь заметим, что функция

р(х1,р1;...;хм,рн) = ехр

( . С „2

N

Е

\\

+ I У(х,,хк)

(0.5)

где 8 - температура в энергетических единицах, является решением уравнения (0.4) с нулевым собственным значением, эта функция (0.5) является ненормированным распределением Гиббса [18] для классической статистической системы и играет важнейшую роль в статистической физике. Кроме этого собственные значения

уравнения Лиувилля (0.4) связаны с разностями собственных значений уравнения Шредингера в квазиклассическом пределе, мы остановимся на этом подробно в главах 1 и 2. Также эти собственные значения можно интерпретировать как частоты колебаний около положения равновесия статистической системы, в теории плазмы это частоты плазменных колебаний [4,12], подробное обсуждение этого вопроса будет дано в главе 4.

Значительную часть диссертации составляет нахождение точных и асимптотических при N -» со решений уравнения Лиувилля на собственные значения (0.4) с помощью методов теории комплексного ростка. Небольшая часть диссертации посвящена исследованию квантовой фермионной задачи, которое также связано теории комплексного ростка. По этой причине дадим краткое изложение этой теории, применение которой в статистической физике является темой данной работы. Отметим, что теория комплексного ростка применялась уже в статистической физике для нахождения асимптотики при N —> оо симметричных решений уравнения Лиувилля (0.1) в работах [29,30,32,45,46]. В этих работах была опровергнута гипотеза о сохранении хаоса [13] в статистической физике (смотри подробно в

Теория комплексного ростка разработана в работах Маслова В.П. и его учеников [5,6,20-23]. Эта теория является существенным развитием известного в квантовой механике квазиклассического приближения (метода ВКБ) [11,17]. Теория применима для нахождения асимптотики решений при Й -» Оуравнений вида

где хе9Р, % > 0 - малый параметр, который в конкретных физических задачах

[32,45]).

д_ ах

(0.6)

определяется соотношением параметров задачи, Н(х, р, й) е С°°(Ш2п+1),

1

н(х,-!й—;й) - й - псевдодифференциальный оператор [20,21,26], числа над

дх

операторами обозначают порядок их действия [23]. Уравнения квантовой механики имеют вид (0.6), если постоянную Планка можно считать малой. Если Н(х, р, й) при Й —» 0 зависит от Й аналитически, то функция Н(х, р) = Н(х, р; 0) является классическим гамильтонианом, который отвечает рассматриваемой квантовой задаче. На заре зарождения квантовой механики в работах Бора, Зоммерфельда, Эйнштейна и других возник принцип соответствия [11,17]. Согласно этому принципу некоторым инвариантным множеством классического гамильтониана Н(х,р) могут быть сопоставлены последовательности асимптотических собственных функций и собственных значений уравнения (0.6) (понятие инвариантного множества классической гамильтоновой системы смотри, к примеру, в [1,47]). Такими инвариантными множествами могут быть, например, точки покоя гамильтониана Н(х, р), или замкнутые траектории, одномерные торы, в фазовом пространстве, или к-мерные торы в фазовом пространстве, к < п. Собственные значения могут быть сопоставлены не каждому тору, а только тем, для которых выполняются условия квантования. Впервые такого рода условия были получены Бором и Зоммерфельдом для замкнутых траекторий в задачах квантовой механики атома водорода [11,17]. В теории комплексного ростка эти условия обобщены на общий случай к-мерных торов и называются теперь условиями Бора-Зоммерфельда-Маслова. Теория комплексного ростка Маслова дает возможность построить асимптотику собственных значений и собственных функций уравнения (0.6), отвечающих инвариантным многообразиям гамильтониана Н(х, р) в явном виде [5,6,21,22] с помощью комплексного

канонического оператора Маслова. При этом требуется, чтобы для инвариантного тора не только выполнялись условия квантования, но также чтобы для этого тора существовал инвариантный комплексный росток [5,6,21,22]. Если эти условия выполнены и известен комплексный росток, отвечающий инвариантному тору, то можно написать явный вид асимптотической собственной функции х|/(х, й) уравнения (0.6). Отметим, правда, что задача построения комплексного ростка в явном виде в общем случае очень сложна. Методы решения этой задачи разработаны в настоящее время для случаев, когда инвариантный тор является точкой покоя (нульмерный тор) или замкнутой траекторией, для других случаев не существует пока общего способа решения задачи построения инвариантного комплексного ростка, это проделано только для некоторых частных случаев [5,6]. Отметим еще, что функция \|/(х, Н), построенная с помощью комплексного канонического оператора сосредоточена в малой при Й —0 окрестности проекции инвариантного тора из фазового пространства на координатное подпространство .

В последнее время в работах Маслова и Шведова разработаны методы применения теории комплексного ростка в задачах квантовой механики систем большого числа бозонов [27-32]. Малым параметром при этом служит не параметр Й, который стоит при "обычных" производных по координатам частиц, а е = 1 /М, если гамильтониан зависит от е подходящим образом. А именно, пусть для какой-либо бозонной системы возникло уравнение вида

1 ( 2 1 ^

— Н \фг(+чл/ё, \|/"(х)л/е Ф = ЕФ, (0.7)

8 V У

где Ф - элемент бозонного пространства Фока [7], \(/±(х) - бозонные операторы рождения и уничтожения [7,10], е > 0, 8 = 1/Ы, причем

I сЫ|/+ (х)у~(х)Ф = N3),

то есть Ф является элементом пространства Фока, которому отвечает определенное число частиц N. Перейдем к представлению пространства Фока аналитическими функционалами от действительных функций С^(х) [29,30], в котором операторы \{/±(х) имеют следующий вид 1

у±(х) = п== д(х) + е л/2е V

5<2 (х))

В этом представлении уравнение (0.7) имеет вид Г 2 1

1

Н

л/2

д(х) - е

бОСх)/ л/2

1 5 Л

80(хУ

Ф[0(х)] = ЕФ[0<х)], (0.8)

где Ф[0(х)] - функционал от д(х), скалярное произведение между такими функционалами задается континуальным интегралом [29,30]. Уравнение (0.8) в случае, если Н(ф*(х), ф(х)) зависит от ср*(х), ф(х) полиномиально можно привести к виду, который будет бесконечномерным аналогом уравнения (0.6). Для такого уравнения соответствующая система уравнений Гамильтона бесконечномерна, в конкретном примере - уравнение Шредингера для N бозонов - оказалось [27], что эта система может быть записана в виде уравнения Хартри

1 ^ (х, 0 = - ^ Дф(х, о + | с!уУ(х - у)| Ф(у, 1)|2 ф(х, О ,

_1 2т

(0.9)

где импульс и координата определяются следующим образом

1

д(х,0 = -^(ф(х,0 + ф*(х,т,

Р(х,0 = т^(ф(х, 0 -фЧх,0).

Если удастся найти точку покоя или периодическую траекторию бесконечномерной

гамильтоновой системы (типа уравнения (0.9)), отвечающей гамильтониану н(-т=(0(х) - ¡Р(х)),-4=(р(х) + 1Р(х))), то можно попытаться применить формулы

у2 л/2

конечномерной теории комплексного ростка [20-23] к бесконечномерному случаю. После того как будет построено возможное асимптотическое решение (0.7) его надо подставить в уравнение (0.7) и убедиться, что

— н(л/е\|/2+ (х),л/еу1 (х))фа5(е) - Е^(е)®^(е) = 0(ем),

где М > 0, ||0|| - норма в бозонном пространстве Фока, задаваемая скалярным произведением [7]. Эта программа для некоторых конкретных задач была реализована в [27,29,30], где также была рассмотрена задача Коши для

гамильтониана — н( у[г\\1+ (х), л/ё\|/

"(х)) . Отметим также, что в работах [28-30] метод

8

комплексного ростка применялся и непосредственно в фоковском пространстве без перехода в представление аналитических функционалов.

Как было сказано, последовательное применение теории комплексного ростка в многочастичных задачах было проведено в работах [27-30]. Получим здесь формулы, которые содержатся в этих работах, для бозонной задачи общего вида. Автор даст свой, как ему кажется довольно оригинальный вывод, который, впрочем, близок к соображениям, содержащимся в [9,27,31]. Рассмотрим для простоты конечномерный случай. Пусть надо найти решение уравнения

" (0.10)

при И-» оо, где оператор Нк, имеет вид мм м м м м

3=1 к=1 '¡=1 к=1 1=1 т=1

где Ф^ имеет вид

м м

где Ь* - операторы, которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

= |Ь:,К] = 0, (0.13)

коммутатор операторов здесь и далее А и В есть

[А, В] = АВ - ВА , (0.14)

8 |к - символ Кронекера

[1, при } = к, ^ _ [0 при j ф к,

1 < М < со - фиксированное число, где в (0.11) е = 1/И, Т^, - такие, что

> =т;, у]к1га = у,;1к] = уЧт1, (о. 15)

где в (0.12) ФкОъ ..., ]м) - функция дискретных аргументов ..., ^ такая, что она

не меняется при перестановке и }р 5, р = 1, ..., N (симметричная функция), ^о -

"вакуумный" вектор гильбертова пространства состояний такой, что

Ь^0 = 0, л = 1, М, ОР0, Ч>0) = 1, (0.16)

(Ч", Т) - скалярное произведение в гильбертовом пространстве состояний.

Произвольный вектор гильбертова пространства состояний в данном примере можно

представить в виде

< \ м м

5=о л/5!,1=1 1 =1

где -Ф^ь ..., ]8) " такие, что они не меняются при перестановке }р и jp, р, q = 1, ..., э (симметричны), а кроме этого

00 М М 5=0 ],=! )5=1

Для (0.12) ФзОь ..., ]5) отлична от нуля только для б = N. состоянию (0.12) отвечает фиксированное число частиц, оно является собственным вектором оператора

числа частиц

м

N = 2 ЬГЬ: (0-17) и

который коммутирует с гамильтонианом (0.11). Выразим теперь гамильтониан Нч через "новые" бозонные операторы Ь^ такие, что

М Мл

м

I .

к=1 к=1

м л м

к=1 ■ к=1.

Ь: = I лук , Ц Лк]Ьк , ] = М, к=1 к=1

где Л^к - коэффициенты МхМ унитарной матрицы, то есть

мм.

ЕлА = 2>,кл'.к=51Г, * у. =1..... м.

к=1 к=1

(0.18)

(0.19)

Из (0.18) следует, что для 3 = 1, ..., М выполняется соотношение (0.16). Из (0.18) и (0.11) получим, что

ММ ММММ.~^££

н„=1Ет,ьь^+еЕЕЕЕЧиЛККь-„, (0.20)

3=1 к=1 .¡=1 к=1 1=1 т=1

где

"М М

п=1 р=1 ■

М м м м

Узк1т-Е11Е^чгел;л;кА,,л5т. (0.21)

п=1 4 = 1 г=1 5=1

Из определения (0.21) следует, что Тjk, Vjklm удовлетворяют соотношениям (0.15).

Оператор числа частиц в терминах операторов Ь* записывается аналогичным (0.17)

образом. Не будем пока конкретизировать Л]ф будем считать, что это коэффициенты произвольной унитарной матрицы МхМ. Решая уравнение (0.10), мы рассматриваем его на подпространстве гильбертова пространства состояний, которое состоит из собственных векторов оператора числа частиц (0.17) с собственным значением N. Любой элемент указанного подпространства представим в виде

n м м (b+iN~s 1 л

ф-.....''''ет5:-^1 (0-22)

где cps(ji, ..., js) s = 0, ..., N не меняется при перестановке jp и jq, р, q = 1, ..., s. Рассмотрим следующее представление векторов рассматриваемого подпространства: вектору (0.22) поставим в соответствие следующий вектор

N М М л s=0j,=2 js=2 V S !

где (0.23) является элементом бозонног о фоковского пространства, которое порождается операторами (3*, j = 2, ..., М и "вакуумным" вектором фо:

= ЩМ} = 0, j, к = 2, ..., М,

Р-Фо=0. (Фо. Фо) = 1- (0.24)

В этом представлении квадратичные комбинации операторов Ь* имеют следующий

вид

~ л ~ ~ м

ЦК = prpk, j, k = 2, ..., М, b^b-

J=2

I М ~ ~ I М л /ч л

. Щ ^м-Еэад. ; = 2,.... м.

(0.25)

Операторы рт, ) = 2, ..., М выражаются через операторы Ьк, к = 1, ..., М следующим образом

] = (0.26)

Оператор НК (0.20), учитывая (0.25), запишем в этом представлении в виде

ММ, Л _Л _ _ --/Ч ,---

¡=2 к=2

. М М М Л____,--\

+ 2е(У]11к +У,к1)р;рк:(М-Ю) + 28ЕЕ1(^шР;л/Й::йРкРГ +У11к^Рк-«:) +

1=2 к=2 1=2

+ (0-27)

1=2 к=2 1=2 т=2

где введено обозначение м

(0.28)

1=2

Будем искать решение уравнения (0.10) с гамильтонианом (0.27) при N->00. Учитывая, что 8 = 1 /Ы перепишем (0.27) в следующем виде

Ны = ЖТи + У1Ш) + +Т^р:. + 2У,11р; +2У1113р:) + ЕЕ<тзкР1Рк +

1=2 к=2

++ +2(\и +у№,)р;р1)-(т„ +2У„„)Й- У1Ш +0Щ , «к»)

где (0.29) получено из (0.27) путем разложения выражений УЫ - п в ряд по п

степеням —, это можно делать, если значения п гораздо меньше N. Предположим

теперь, что таковы, что выполн