Функциональные инварианты аналитической классификации вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

УДК 517.9

На правах рукописи

Мещерякова Юлия Игоревна

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК РОСТКОВ ГОЛОМОРФНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ - 2004

Р016-«

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Воронин Сергей Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Долгий Юрий Филиппович

кандидат физико-математических наук, доцент Елизаров Павел Михайлович

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет

Защита состоится " S " ьисмЛ' ' 2004 года в . S3 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.286.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Уральском государственном университете им. A.M. Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, а. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. A.M. Горького.

Автореферат разослан " & " 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических

наук, профессор .--'"^^^В.Г. Пименов

Актуальность темы. Основы теории нормальных форм были заложены А. Пуанкаре еще в конце 18 века. Значительный вклад в развитие этой теории внесли X. Дюлак, К. Зигель, К. Чень, Ф. Такенс, В.А. Кондратьев, B.C. Ca-мовол, Г.Р. Белицкий, Г. Селл, В.И. Арнольд, А.Д. Брюно, Ю.С. Ильяшенко, А.С. Пяртли и др.

Вопросы нормализации вещественных полей и отображений на инвариантном многообразии рассматривались в работах Ж,. Адамара, О. Перрона, В.А. Плисса, М. Хирша, К. Пью, М. Шуба, Ф. Дюмортье, Ю.Н. Бибикова, В.Ф. Лазуткина.

Как правило, в задачах аналитической классификации получали результаты двух типов: либо доказывали совпадение аналитической и формальной классификаций, либо находили условия, гарантирующие расходимость нормализующих рядов. Результаты принципиально иного характера были получены за последние 24 года. В 1980 г. в задаче об аналитической классификации ростков одномерных отображений с тождественной линейной частью были обнаружены функциональные инварианты (Ж. Экалль, С.М. Воронин). В дальнейшем функциональные инварианты были построены для ростков резонансных одномерных отображений, а также в задаче об орбитальной1 классификации резонансных особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости (Ж. Экалль, Б. Мальгранж, Ж. Мартине, Ж.-П. Рамис, Ю.С. Ильяшенко, С.М. Воронин, П.М. Елизаров, А.А. Щербаков, А.А. Гринчий).

Цель работы. Целью работы является построение полной системы инвариантов в задаче об аналитической класси-

1 Динамические системы-1. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. т.1.-М.:ВИНИТИ, 1985..

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

фикации вырожденных элементарных (седло-узловых) особых точек на комплексной плоскости.

Методы исследования. Основным методом исследования является метод, который условно можно назвать методом „нормализующих атласов". Состоит он в том, что нормализация исследуемого объекта проводится там, где ее удается провести. Построенный набор нормализующих отображений образует так называемый нормализующий атлас на некотором многообразии (области). Суть метода состоит в том, что функции перехода этого атласа обычно и дают список инвариантов аналитической классификации. Метод нормализующих атласов использовался ранее в работах Экалля, Мартине, Рамиса, Ильяшенко, Воронина, Гринчий и др.

Кроме того, в работе использовались: теорема о сжимающих отображениях и метод конструирования аналитических объектов, основанный на использовании техники почти комплексных структур.

Новизна полученных результатов. В работе получены следующие результаты:

- доказана теорема о секториальной нормализации седло-узловых особых точек;

- получена аналитическая классификация таких точек: она не совпадает с формальной и имеет функциональные модули;

- получено полное описание аналитической группы сим-метрий, найдены достаточные условия аналитической эквивалентности ростка седло-узлового векторного поля и его формальной нормальной формы.

Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Существенность полученных результатов заключается в том; что они позволяют почти полностью завершить так называемую „программу Пуанка-

ре" исследования особых точек векторных полей на плоскости: не до конца исследованными теперь остаются лишь сед-ловые особые точки с „плохим" отношением собственных значений линейной части. Полученные результаты могут найти применение во всех аналитических задачах теории динамических систем, в которых возникают вырожденные элементарные особые точки. Кроме того, данные результаты могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории динамических систем в университетах.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, были представлены на Воронежской зимней математической школе „Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1999г.), Всероссийской научно-практической конференции ,Дроблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе" (Магнитогорск, 1999г.), Воронежской зимней математической школе „Современный анализ и его приложения" (Воронеж, 2000г.), Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (Новосибирск, 2000г.), Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000г.), Международной конференции „Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002г.), Всеросссийской конференции „Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежит постановка задачи и основное направление исследования.

Структурами объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы.

Объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография содержит 100 наименований работ российских и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор литературы по теме диссертации. Здесь же обозначены цели и методы исследования, дается представление о содержании диссертации, приносятся благодарности научному руководителю, коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ, супругу и родителям автора.

Кроме того, во введении даны основные определения, используемые в диссертации:

Ростком векторного поля (отображения) в точке 0 называется класс всех векторных полей (отображений), совпадающих с ним в некоторой (зависящей от поля) окрестности этой точки.

Пусть. V — класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с изолированной вырожденной элементарной особой точкой 0 (т.е. таких, что линейная часть ростка в этой точке вырождена, но хотя бы одно собственное значение линейной части поля в этой точке отлично от нуля).

Два ростка векторных полей и в точке 0 называются аналитически (формально) эквивалентными, если существует росток в точке 0 аналитической замены координат Н, переводящий интегральные кривые поля V в интегральные кривые поля V ( если существует формальная замена координат Н, такая, что Н'у = уо Н).

Ростки «и V называются орбитально аналитически (формально) эквивалентными, если существует локальная, голоморфная замена координат, переводящая фазовый портрет одного ростка в фазовый портрет другого (если существует формальная замена координат Н и формальный степенной

ряд к с ненулевым свободным членом такие, что Н' • V = к • V о Н},

Первая глава посвящена исследованию формальной классификации вырожденных элементарных особых точек в (С2,0). Известно2, что росток из V формально орбитально эквивалентен одному из ростков вида

"рЛ = +

ур+г а

дх 1 + А уРду'

АеС.

Обозначим через — класс ростков, формально орбитально эквивалентных

Следующая теорема, по существу, равносильна результатам А.Д. Брюно (для двумерного случая), но дает более удобную для наших целей формальную нормальную форму седло-узловых особых точек.

Теорема 1 (о формальной классификации). Каждый росток из формально эквивалентен одному изростков

УрХа. - А ' а(у)

где а(у) = £ akyk, айф 0, ak е С, к = 0,1,... ,р.

Параграф 1.1 посвящен доказательству теоремы о формальной классификации. Класс формальной эквивалентности ростка называемого формальной нормальной формой, обозначим VPia,0-

2Martinet J., Ramis J.P. Probleme de modules pour des equations difierentielles non lineaires du premier ordre. Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 55, 1982.

Определение 1. Будем говорить, что наборы ц = (р, Л,о) и ¡л = (р,Х,а) эквивалентны, если р = р,Х = Л, наборы а = (ао, ар) и а = (оо,..., ор) удовлетворяют условию а& = ад;€р, Л = 0,... ,р, где ер — некоторый корень степени р из единицы.

Теорема 2. Две формальные нормальные формы и г>д формально эквивалентны тогда и только тогда, когда ц эквивалентно р,.

Доказательство теоремы 2 приведено в параграфе 1.2. В параграфе 1.3 доказана следующая

Лемма 1 (о предварительной нормализации). Для любого V е УР|л и любого N Е N существует росток V, такой, что V аналитически эквивалентен V и

Через обозначим класс ростков и^Дои да (*).

Пусть а € Для ^ € N (1 < ^ < 2р) рассмотрим

области — {(х,у) е С2 : |ж| < е, 0 < \у\ < е, +

щ — < а}. Систему областей Ц = 1,...,2р) будем называть хорошим покрытием области {[а;| < е,0 < |у| < е}; параметры аи е будем называть, соответственно, раствором и радиусом хорошего покрытия.

9

ии.

Определение 2. Пусть U — окрестность нуля в С, 5 С С — сектор конечного радиуса с вершиной в нуле. Область — 11 X. Б будем называть вектопиалъной областью.

Полуформальное о т о б р ^ = Е fk(x)ykг ГОЛОМОрф-

а^о

ными в U коэффициентами будем называть асимптотическим для голоморфного отображения Н : —> С2 на сек-

ториальной области й = У х 5, если для любой частичной п

суммы. имеем:

к=С\

Я(х, у) - Нп(х, у) = о(уп) при (ж, у) е Г2, у-* 0.

Теорема 3 (о секториальной нормализации). Для любого ростка V €. а и любого хорошего покрытия И = с заданным раствором и достаточно малым радиусом существует единственный набор голоморфных отображений ^ : ^ —* Я^(^) С С2, таких, что:

1°. сопрягает на росток V и его формальную нормальную форму ьр1х,а

Щ • Ур,\,а = V О Н] на П].

2°. Нормированная формальная нормализующая замена Н ростка v является асимптотической для Ну на

Теорема о секториальной нормализации доказана во второй главе.

В параграфе 2.1 приводится полное доказательство для частного случая р — 1, А = 0, со = 1, С1 = 0. Для общего случая несколько более компактное доказательство приведено в параграфе 2.2.

Отметим, что теорема о секториальной нормализации является обобщением аналогичной теоремы для орбитальной эквивалентности3.

Третья глава содержит основной результат диссертационной работы, здесь доказана теорема об аналитической классификации ростков класса VPiA,a и построены функциональные инварианты данной классификации. Именно, здесь мы строим нормализующий атлас для ростка v Е V и определяем инварианты аналитической классификации ростка v по функциям перехода этого атласа.

Пусть Мр>х — пространство всех н а б о {(а?^,^ к и х , что с е Ср; (р = ((pi,...,tpp), ф = (фъ...,фр), tpj и фj голоморфны в (<С,0); ipj(0) = ф6(0) = 0, <¿4(0) = 1 Vfc < р, ^(0) = ехр(2тггА)

Пусть ра - наибольший общий делитель р и всех тех к € {1,...,р}, для которых ojt ф 0, па ~ р/ра- Два набора (с, (р, ф) и (с, ф, ф) из -MPia будем называть эквивалентными, если для некоторого С 6 CS, С = (Ci,..., Ср) и некоторого seZ,o<s<pa

<Pj+Sna(Z) = Cj+l+SnaVjiCjiz) (1)

(нумерацию считаем циклической). Пусть MPiA,a — пространство классов эквивалентности из

Теорема 4 (об аналитической классификации). Существует такое отображение

m : Vpia>a —► MPja,û, m:uwm„

3Hukuhara Н., Kimura Т., Matuda Т. Equations differentialles ordinaires du premier ordre dans le champ complexe. Publ. Math. Soc. of Japan, 1961.

что справедливы следующие утверждения:

1°. Эквивалентность и эквимодальность. v ~ v mv =

тъ.7

2°. Реализация. Для любого m G Мр<\>а существует такое v € VPja,<z, что m = mv;

3°. Аналитическая зависимость. Для любого аналитического семейства ve ростков из Vp,A,a некоторые представители fi£ модулей ГПщ также образуют аналитическое семейство.

Эта теорема является точным аналогом известной теоремы об орбитальной аналитической классификации ростков-из VPia- Отметим, что количество модулей в задаче об аналитической классификации увеличилось вдвое по сравнению с задачей об орбитальной аналитической классификации. Действительно, орбитальная аналитическая классификация имеет р + 1 числовых (один формальный модули р модулей с — (ci,..., Ср) аналитической классификации),.ир функциональных модулей {^у}; аналитическая классификация имеет 2р + 2 числовых (р + 2 формальных мод у ^е-йор и р аналитических модулей набора с), и 2р функциональных модулей

Все три утверждения теоремы 4, для краткости, заменим одной фразой: Пространство Мрд)0 является пространством модулей аналитической классификации ростков класса V£Xa".

Наряду с аналитической эквивалентностью здесь рассматривается и строгая эквивалентность.

Определение 3. Ростки v,v € V^0 назовем строго эквивалентными, если они эквивалентны, причем сопрягающая

их замена координат имеет вид

Н(х,у) = (х + о{1),у + о(уР+1))

Замечание 1. Строгая эквивалентность удобнее эквивалентности в силу единственности формальной нормализующей замены. Каждый росток из а не только формально эквивалентен своей формальной нормальной форме , но и строго формально эквивалентен ей.

Тогда имеет место следующая

Теорема 5. Пространство Л4Р1х является пространством модулей строгой аналитической классификации ростков класса

Отмеченная выше неединственность нормализующей замены в задаче об аналитической классификации объясняет взаимосвязь пространств МР1\ и МРл\а: пространство Мр>л,а получается из пространства Л4Р)а факторизацией по отношению эквивалентности (1), происходящему из этой неединственности.

Четвертая глава — приложения теории нормальных форм.

Определение 4. Аналитической (формальной) группой симметрии ростка V £ V назовем группу Су (С^), состоящую из всех голоморфных (формальных) замен координат, сохраняющих .

Группа симметрии любого ростка V содержит подгруппу = {р£}чес, состоящую из всех сдвигов вдоль фазовых кривых ростка v за фиксированное время.

Фактор-группу (2^/(7+ (если она корректно определена) назовем главной частью группы симметрии ростка V.

Группой симметрии инварианта т € Мр \ а назовем подгруппу С* X ХРа (где ра - наибольший общий делитель р и всех тех индексов к, для которых а^ ф 0, а — (ао,ах,..., Ор)), состоящую из всех чисел таких, что для

некоторого представителя справедливы равенства

Теорема 6. 1. Формальная группа симметрии ростка класса изоморфна прямому произведению мультипли-

кативной группы С*, аддитивной группы С и группы вычетов ЪРа

2. Главная часть аналитической группы симметрии ростка V £ изоморфна группе симметрии его инварианта.

Следствием данной теоремы является следующее достаточное условие аналитической эквивалентности седло - узловой особой точки ростка голоморфного векторного поля и его формальной нормальной формы.

Следствие 1. Если главная часть аналитической группы симметрии ростка V из УР)д1а не является конечной, то росток v аналитически эквивалентен своей формальной нормальной форме Ур,\а

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мещерякова Ю.И. Формальные нормальные формы изолированных вырожденных элементарных особых точек // Деп. в ВИНИТИ №2848 - В98 от 23.03.1998г. 12 с.

2. Мещерякова Ю.И. Формальные нормальные формы изолированных вырожденных элементарных особых точек // Воронеж, зим. мат. школа "Современные методы в теории краевых задач "Тез. докл. Воронеж, 1999г.с. 136.

3. Воронин СМ., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация ростков голоморфных векторных полей на С с типичными вырожденными особыми элементарными точками // Проблемы физ.-мат. образ, в пед. вузах России на совр. этапе: Матер. Всерос. научн.-практ. конф. 4.2. Тез. докл. Магнитогорск: МГПИ, 1999г.

4. Воронин СМ., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация типичных вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) // Воронеж, зим. мат. школа "Современный анализ и его приложения "Тез. докл. Воронеж, 2000г., С. 60-61.

5. Воронин СМ., Мещерякова Ю.И. Преобразования t-монодромии типичных вырожденных элементарных особых точек голоморфных векторных полей // Четв. сиб. конгресс по прикладн. и индустриальн. мат. (ИНПРИМ-2000), посвящ. пам. М.А. Лаврентьева. Тез. докл. Новосибирск, 2000г.

6. Воронин СМ., Мещерякова Ю.И. Функциональные инварианты вырожденных элементарных особых точек голоморфных векторных полей в ( ) // Международн. конф. по диф. уравнениям и динамич. системам. Тез. докл. Суздаль, 2000г., С. 120-121.

7. Воронин СМ., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация типичных вырожденных элементарных

особых точек ростков голоморфных векторных полей на комплексной плоскости // Известия вузов. Математика, 2002, №1, С. 13-16.

8. Воронин СМ., Мещерякова Ю.И. Уголки Елизарова для одного класса вырожденных элементарных особых точек // Международн. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"Тез. докл. Челябинск, 2002г., с. 22.

9. Мещерякова Ю.И. Симметрии ростков типичных вырожденных элементарных особых точек // Международн. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"Тез. докл. Челябинск, 2002г., с. 70.

10. Мещерякова Ю.И. Формальная классификация вырожденных элементарных особых точек / / Уравнения соболевского типа: Сб. науч. работ. Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2002г., С. 197-206.

11. Воронин СМ., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация ростков голоморфных векторных полей с вырожденной элементарной особой точкой / / Вестник Челябинского университета. Серия 3. Математика. Информатика. Механика. №3, 2003г., С. 16-41.

Подписано в печать #£¡05.04. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ /7у . Бесплатно.

Челябинский государственный университет 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576

Введение

1 Формальная классификация вырожденных элементарных особых точек

1.1 Доказательство теоремы о формальной классификации

1.2 Эквивалентность формальных нормальных форм.

1.3 Предварительная нормализация ростков класса Уд,р аналитическими заменами.

2 Секториальная нормализация вырожденных элементарных особых точек

2.1 Доказательство теоремы о секториальной нормализации. Случай ао = р = 1, = X = 0.

2.1.1 Исследование системы гомологических уравнений

2.1.2 Существование и единственность решений системы гомологических уравнений.

2.1.3 Обсуждение вопроса сходимости.

2.1.4 Оценки функций Ах и Дг.

2.1.5 Определенность подынтегральных выражений

2.1.6 Оценки 112 и дч.

2.1.7 Оценки производных невязки.

2.1.8 Инъективность секториальных нормализующих нормированных отображений.

2.1.9 Обратимость отображений Н±.

2.2 Общий случай

2.2.1 Схема доказательства.

2.2.2 Гомологическое уравнение.

2.2.3 Редукция гомологического уравнения к вспомогательному уравнению.

2.2.4 Существование и единственность решения вспомогательного уравнения.

2.2.5 Оценки решений вспомогательного уравнения

2.2.6 Свойства выпрямляющего отображения А. Стандартные области

2.2.7 Решение гомологического уравнения в области

2.2.8 Решение второго уравнения системы гомологических уравнений.

2.2.9 Решение первого уравнения системы гомологических уравнений

2.2.10 Оператор Ф = Сг1.

2.2.11 Оценки функций, определяемых параметрами формальной нормальной формы.

2.2.12 Оценки для невязки.

2.2.13 Оценки оператора %.

2.2.14 Сжимаемость оператора 5. Существование решения Ь системы (2.22).

2.2.15 Доказательство второго утверждения теоремы

2.2.16 Окончание доказательства теоремы 3.

3 Аналитическая классификация ростков класса

3.1 Схема доказательства теоремы об аналитической классификации

3.2 Нормализующий атлас и его функции перехода

3.3 Пространство модулей ЛТ

3.4 Построение биекции П2 : Т1Т -» А4Р,\.

3.4.1 Модули Мартине - Рамиса.

3.4.2 Построение „временной части" ф инварианта

3.4.3 Биективность отображения Щ.

3.5 Окончание доказательства теоремы 5.

3.6 Доказательство теоремы 4.

4 Простейшие приложения.

4.1 Симметрии ростков с вырожденными элементарными особыми точками.

Постановка задачи

Рассмотрим голоморфное векторное поле (1) где (х, у) е (С2,0), 0 — особая точка (г>(0) = 0).

Особую точку векторного поля на плоскости назовем вырожденной, если линейная часть ростка в этой точке вырождена.

Особую точку векторного поля на плоскости назовем элементарной, если хотя бы одно собственное значение линейной части поля в этой точке отлично от нуля.

Ростком векторного поля (отображения) в точке 0 называется класс всех векторных полей (отображений), совпадающих с ним в некоторой (зависящей от поля) окрестности этой точки.

Пусть V — класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с изолированной вырожденной элементарной особой точкой 0.

Два ростка векторных полей г> и г> в точке 0 называются аналитически (топологически, формально) эквивалентными, если существует росток в точке 0 аналитической (гомеоморфной, формальной) замены координат Н, переводящий интегральные кривые поля V в интегральные кривые поля у: Н'у = у о Н.

В настоящей работе исследуется аналитическая классификация ростков из V (т.е., классификация вырожденных элементарных особых точек голоморфных векторных полей в (С2,0)); такие особые точки называют седлоузлами.

Историография вопроса

Дадим краткий обзор основных результатов, полученных ранее в области аналитической классификации особых точек. Заметим, что проблема аналитической классификации ростков векторных полей естественным образом распадается на три части:

1. Получение формальной классификации.

2. Связь формальной и аналитической классификаций.

3. Получение полной системы инвариантов аналитической классификации.

Случай особой точки типа фокус исследован А. Пуанкаре (А. Ротсаге, [42]). Формальная и аналитическая классификации здесь совпадают; собственные значения (Лх, Л2) определяют систему инвариантов аналитической классификации.

Достаточно прост и случай особой точки типа узел. А. Пуанкаре и X. Дюлак (Н. Би1ас, [42], [56-58]) получили совпадение формальной и аналитической классификаций при наличии трех инвариантов: собственных значений (А1, А2) и (иногда) еще одного параметра.

В случае же особых точек типа седло и седло-узел возникли сложности, поэтому рассмотрим более подробно перечисленные выше составные части аналитической классификации.

Первая часть проблемы аналитической классификации — исследование действия группы формальных замен — была исследована А. Пуанкаре: основным результатом его диссертации стала теорема, утверждавшая, что нерезонансные ростки векторных полей с особой точкой 0 формально эквивалентны своей линейной части ([42], см. также [3]).

В резонансном случае существенно осложняется даже формальная классификация.

Росток векторного поля в (Сп,0), спектр линейной части которого в нуле есть А = (Ах,., Ап), будем называть:

1) резонансным, если для некоторого ;б{1,.,п} выполняется соп отношение = (А,к), где к = (&х,.,кп) £ Щ., \к\ = >2, г=1

- множество целых неотрицательных чисел и нерезонансным в противном случае;

2) ростком типа Пуанкаре, если выпуклая оболочка векторов Ах,., А„ на комплексной плоскости не содержит нуля, и ростком типа Зигеля в противном случае;

3) ростком с линейной частью типа (С, р) (С > 0), если для любого 5 выполняется неравенство |А5 — (А, к)\ > С|&|1/ при всех целочисленных векторах к с неотрицательными компонентами к{, таких, что \к\ > 2.

Вектор-моном хше^, где хт = х™1. х™п - моном от координат • • • > хп в собственном базисе ех,., еп, будем называть резонансным, если Х/с = (А, т), |т| > 2.

А. Пуанкаре и X. Дюлак [41, 42] показали, что резонансный росток V(х) = Ах + /(х) векторного поля с особой точкой 0, где А - матрица линейной части ростка V и ряд /(ж) содержит мономы степени не меньше 2, формальной заменой можно привести к так называемой предварительной нормальной форме v(y) = Ау + ш(у), где ряд ш(у) состоит только из резонансных мономов.

Вторая часть проблемы аналитической классификации — сходимость нормализующих рядов, при вычислении которых приходится делить на выражения типа (Л, к) — Xj. Здесь (k,j) G «/, где j = {(k,j)\k е ZJ, |&| = £ ki >2, j G {1,.,п}}. Эти выражения обращаются в нуль для резонансных наборов. Для нерезонансного набора Л множество чисел (Л, к) — Xj имеет предельную точку нуль только в том случае, если выпуклая оболочка векторов Ai,., Лп на комплексной плоскости содержит нуль (т.е. в случае Зигеля). Числа из этого множества называются малыми знаменателями, появление которых значительно затрудняет сходимость нормализующих рядов.

Для нерезонансных ростков типа Пуанкаре сходимость нормализующих рядов была получена А. Пуанкаре [72, 3]. X. Дюлак установил сходимость нормализующих рядов для резонансных ростков типа Пуанкаре [56, 3], К. Зигель - для ростков с линейной частью типа (С, v) [28, 3]. Позже результаты К. Зигеля усилили А.Д. Брю-но [9, 10, 15, 16] и Ж.-К. Йоккоз (J.-C. Yoccoz, [89]).

Первые результаты о расходимости нормализующих рядов получили JI. Эйлер (L. Euler, [65]) и А. Пуанкаре [73]. Также расходящиеся нормализующие ряды исследовали X. Дюлак [57], Г.А. Пфей-фер [74], К. Зигель [78, 79,80], А.Д. Брюно [14,17] и В.А. Плисс [45]. Причины расходимости изучались в работах В.И. Арнольда [1, 2, 5, 6], A.C. Пяртли [43, 44], Ю.С. Ильяшенко [29, 30, 35].

Топологическую классификацию особых точек вещественных векторных полей и отображений исследовали Гробман, Ф. Хартман,

Ф. Такенс ([23], [38], [81, 82, 83]). Инвариантные многообразия и вопросы нормализации вещественных полей и отображений на инвариантном многообразии рассматривались в работах Ж. Адамара, О. Перрона, В.А. Плисса, М. Хирша, К. Пью, М. Шуба, Ф. Дюмор-тье, Ю.Н. Бибикова, В.Ф. Лазуткина, А.Д. Брюно ([11], [53], [59], [60]), см. также [3, 7].

Гладкая классификация вещественных полей исследовалась К. Ченем, Ф. Такенсом, В.А. Кондратьевым, B.C. Самоволом, Г.Р. Бе-лицким, Г. Селлом ([37], [46], [55], [77]). Топологическая классификация особых точек на комплексной плоскости рассматривалась в работах Ю.С. Ильяшенко, H.H. Ладиса, К. Камачо, Ж. Пэйлиса, Н. Кейпера, Дж. Гукенхеймера, М. Шаперона (см. [54, 7, 3]).

Наконец, переходим к третьей, и основной, части проблемы аналитической классификации — построению полной системы инвариантов аналитической классификации ростков голоморфных векторных полей. Один из традиционных методов решения данной проблемы заключается в следующем:

- строится система инвариантов формальной классификации,

- исследуется сходимость соответствующих формальных замен, и, если они сходятся - проблема решена, если расходятся — исследования прекращаются. С помощью данного метода была получена аналитическая классификация особых точек в следующих случаях: в нерезонансном случае - при отсутствии малых знаменателей; в резонансном случае - для ростков типа Пуанкаре, а также для седловых ростков при выполнении очень жесткого так называемого условия А Брюно [11]. В оставшихся случаях были доказаны лишь частные результаты о расходимости нормализующих рядов, однако задача об аналитической классификации оставалась открытой.

В дальнейшем были предприняты попытки исследования более грубой, так называемой орбитальной аналитической классификации особых точек.

Ростки v и v называются орбиталъно аналитически (формально) эквивалентными, если существует локальная голоморфная замена координат, переводящая фазовый портрет одного ростка в фазовый портрет другого (если существует формальная замена координат Н и формальный степенной ряд к с ненулевым свободным членом такие, что Н' • v = к • v о Н).

Оказалось, что, как правило, задачу об орбитальной классификации векторных полей удается свести к задаче о классификации ростков отображений (а именно, преобразований монодромии исходных ростков векторных полей, [7]). Поэтому усилиями многих исследователей была построена теория нормальных форм отображений, которая во многом параллельна теории нормальных форм векторных полей (см. [7, 3]).

В 1982 - 83 гг. Ж. Мартине и Ж.-П. Рамис (J. Martinet, J -Р. Ramis, [69, 70, 75]) получили аналитическую орбитальную классификацию резонансных седел и седло-узлов. Были построены функциональные инварианты орбитальной аналитической классификации. Оказалось, что орбитальная аналитическая и орбитальная формальная классификации не совпадают.

Одновременно и независимо аналогичные результаты для резонансных седел получены Ю.С. Ильяшенко, С.М. Ворониным и П.М. Елизаровым [31](см. также [20, 25, 26, 27, 63]). Первые результаты в решении задачи аналитической классификации ростков одномерных отображений были получены Ж. Экаллем (J. Ekalle, [61, 62]) и С.М. Ворониным [18, 19]. Они одновременно и независимо показали, что аналитическая классификация ростков одномерных отображений с тождественной линейной частью вида z f—> z -f- az2 + ., а ф О, не совпадает с формальной и имеет функциональный модуль - так называемый "модуль Экалля-Воронина". Исследования в этом направлении были продолжены Б. Мальгранжем (В. Malgrange, [68]), JIM. Мархашовым [39], A.A. Щербаковым [48 - 50], П.М. Елизаровым и Ю.С. Ильяшенко [64]. Ж. Мартине, Ж.-П. Рамис, Ю.С. Илья-шенко и С.М. Воронин обобщили эти результаты, получив аналитическую классификацию ростков одномерных отображений с резонансной линейной частью вида z н» \z + ., где А = ехр(—27гг|), q,p - взаимно простые натуральные числа, и впоследствии, использовали их при решении задачи об аналитической орбитальной классификации седловых резонансных особых точек [31, 71, 75]. (Напомним, что росток голоморфного векторного поля с особой точкой О называется седловым резонансным, если отношение собственных значений его линеаризации в нуле есть отрицательное рациональное число.)

Многомерные аналоги этих задач рассматривались в работах [21, 86].

В 1997 г. С.М. Ворониным и A.A. Гринчий [22, 87, 88] получена аналитическая классификация резонансных седел.

Современное состояние проблемы

Здесь приводится краткое описание всех известных результатов, полученных в задаче исследования седлоузлов (т.е вырожденных элементарных особых точек).

Формальная нормализация ростков класса V

Нормальные формы орбитальной эквивалентности получены в [70] (см. также [67]). Приводимость к некоторой полиномиальной формальной нормальной форме формальными заменами следует из результатов Г.Р. Белицкого [8], и была также получена А.Д. Брю-но [11].

Аналитическая нормализация

Аналитическую орбитальную нормализацию струй конечного порядка (в точках центрального многообразия орбитальной формальной нормальной формы) использовал уже X. Дюлак [58]. Аналитическая орбитальная нормализуемость на областях типа „прямого произведения диска на сектор" была получена в работе X. Хукуха-ра, Т. Кимура и Т. Матуда (Н. НикиЬага , Т. Клтига, Т. Ма1;ис1а, ее]).

Аналитическая орбитальная классификация и отображение модулей

Аналитическая орбитальная классификация ростков класса V была получена Ж. Мартине и Ж.-П. Рамисом. Производная отображения модулей (отображения, ставящего в соответствие ростку его модуль орбитальной аналитической классификации) исследовалась П. М. Елизаровым [63]. В частности, им была вычислена производная отображения модулей в формальной нормальной форме и, с ее помощью, построены обширные классы попарно (орбитально аналитически) неэквивалентных ростков.

Неорбитальная) аналитическая нормализуемость

Отметим, что все результаты об орбитальной эквивалентности ростков из V можно трактовать как результаты об эквивалентности ростков класса V1/2, состоящего из ростков класса V с нормализованной (т.е. такой же, как у орбитальной формальной нормальной формы) первой компонентой. Поэтому можно считать доказанной теорему о секториальной нормализации для ростков класса V1/2. Результаты Мартине - Рамиса, соответственно, дают аналитическую (неорбитальную) классификацию ростков класса V1/2.

Методы исследования

Основным методом исследования является метод, который систематически используется в задачах аналитической классификации последние 25 лет, и который условно можно назвать методом „нормализующих атласов11. Состоит он в том, что нормализация исследуемого объекта проводится там, где ее удается провести. Построенный набор нормализующих отображений образует так называемый нормализующий атлас на некотором многообразии (области). Суть метода состоит в том, что функции перехода этого атласа обычно и дают список инвариантов аналитической классификации.

Кроме того, в работе использовались: теорема о сжимающих отображениях (для доказательства теоремы о секториальной нормализации, т.е. при построении карт нормализующего атласа); метод конструирования аналитических объектов, основанный на использовании техники почти комплексных структур ([67, 86]).

Актуальность темы исследования

В настоящей работе исследуется аналитическая классификация вырожденных элементарных особых точек. Доказана теорема об аналитической классификации, являющаяся аналогом результатов Ж. Мартине и Ж.-П. Рамиса об орбитальной аналитической классификации вырожденных элементарных особых точек. Существенность этого результата заключается в том, что он позволяет почти полностью завершить программу Пуанкаре исследования особых точек векторных полей на плоскости: не до конца исследованными теперь остаются лишь седловые особые точки с „плохим" отношением собственных значений линейной части.

Отметим, что метод нормальных форм является одним из основных методов современной качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а программа Пуанкаре и составляет основу этого метода. Поэтому полученные результаты могут найти применение во всех аналитических задачах теории динамических систем, в которых возникают вырожденные элементарные особые точки. Так, например: при исследовании особых точек голоморфных векторных полей в С3 с резонансной линейной частью (соответствующие фактор-системы имеют вырожденные элементарные особые точки); при исследовании неэлементарных особых точек на плоскости (при раздутии такой особенности могут появиться вырожденные элементарные особые точки, см. [76]).

О высокой актуальности данной тематики говорит также и интерес к ней зарубежных исследователей: орбитальная аналитическая классификация впервые была построена французами Мартине и Рамисом.

Наконец, отметим, что недавно в точности такой же результат получил Л. Тессье (Ь. ТеуБ81ег, [84, 85]), однако другим методом. Именно, в указанных статьях для каждого ростка г> из V исследуется аналитическая классификация ростков, пропорциональных г>; с учетом известных результатов [70] об орбитальной аналитической классификации ростков из V это позволяет получить аналитическую классификацию ростков всего класса V.

В настоящей же работе основной является теорема о сектори-альной нормализации ростков из V. С ее помощью строится нормализующий атлас (см. [67]) для ростка V Е V. По возникающим в пересечении областей функциям перехода (отображениям, сохраняющим нормальную форму ростка) мы определим инварианты аналитической классификации ростка V.

Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена исследованию формальной классификации вырожденных элементарных особых точек в (С2,0).

Пусть V — класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с вырожденной элементарной особой точкой 0, т.е. таких, что линейная часть ростка в нуле вырождена, но не все ее собственные значения равны нулю.

В работах [70], [67] было показано, что росток из V формально орбитально эквивалентен одному из ростков вида д ур+1 д х ^

Ур'х = + Т+Х^ду' ХеС

Обозначим через УР)л — класс ростков, формально орбитально эквивалентных

Теорема 1 (О формальной классификации) Каждый росток из УР)\ формально эквивалентен одному из ростков

Ър,\а = 1>р,А • о (у), р где а(у) = £ «ЛУ , ^о Ф 0, ак е С, к = 0,1,. ,р. к=0

Параграф 1.1 посвящен доказательству теоремы о формальной классификации. Класс формальной эквивалентности ростка ур^а, называемого формальной нормальной формой, обозначим ^доопределение 1 Будем говорить, что наборы д = (р, а, А) и Д = (р, а, Л) эквивалентны, если р — р, А = Л, наборы а — (ао,., ар) и а = (ао,. •, ар) удовлетворяют условию = а\-ер, к = 0,. ,р, где бр — некоторый корень степени р из единицы.

Теорема 2 Две формальные нормальные формы у^ и г>д формально эквивалентны тогда и только тогда, когда ц эквивалентно Д.

Доказательство теоремы 2 приведено в параграфе 1.2. В параграфе 1.3 доказана следующая

Лемма 1 (о предварительной нормализации) Для любого V Е Ур,А и любого N Е N существует росток V, такой, что V аналитически эквивалентен V и

V = ( х £ акук + ум(р(х, у) ] £ + V / м ад' + у™^*,»)) где <р(х,у), ф(х,у) - голоморфные в (С2,0) функции. Через УрХ а обозначим класс ростков из вида (*).

Пусть а Е Для з Е М, 1 < з < 2р рассмотрим области {(®,у) е с2 : |х| < е, 0 < \у\ < е, |аг§2/ + § - < а}. Систему областей {£!/} {] — 1, • • •, 2р) будем называть хорошим покрытием (см. [67]) области {|ж| < е, 0 < \у\ < е}; параметры а и е будем называть, соответственно, раствором и радиусом хорошего покрытия.

Определение 2 Пусть и — окрестность нуля в С, 5 С С — сектор конечного радиуса с вершиной в нуле. Область О, — и х 5 будем называть секториалъной областью. Полуформальное отоб-00 ражение Н = ^ 1к{х)ук с голоморфными в 17 коэффициентами л=о будем называть асимптотическим для голоморфного отображения Н : О, —Ь С2 на секториальной области VI = II х 5, если для п любой частичной суммы Нп= ^ ¡к{х)ук имеем: к=о у) - Нп(х, у) = о(уп) при (х, у) у 0.

Теорема 3 (о секториальной нормализации) Для любого ростка V Е и любого хорошего покрытия П = {Ц/} с заданным раствором и достаточно малым радиусом существует единственный набор голоморфных отображений Н^ : —>■ #¿(£2^) С С2, таких, что:

1°. Нсопрягает на ^ росток V и его формальную нормальную форму

Щ ' Ур,\,а = V О Н] на Г^-. л

2°. Нормированная формальная нормализующая замена Н ростка V является асимптотической для Hj на Ц7.

Теорема о секториальной нормализации доказана во второй главе.

В силу громоздкости доказательства теоремы, параграф 2.1 посвящен доказательству важного частного случая. Полное доказательство общего случая теоремы приводится в параграфе 2.2.

Отметим, что теорема о секториальной нормализации является обобщением аналогичной теоремы для орбитальной эквивалентности (см. [66, 67, 70]).

Третья глава содержит основной результат диссертационной работы, здесь доказана теорема об аналитической классификации ростков класса Ур,л,а и построены функциональные инварианты данной классификации. Именно, здесь мы строим нормализующий атлас для ростка V £ V и определяем инварианты аналитической классификации ростка V по функциям перехода этого атласа.

Пусть Л4р<х — пространство всех наборов (с, (р,ф) таких, что с е Ср; (р = (срг,., (рр), ф = .,фр), щ и ф] голоморфны в (С,0); ^(0) = ^(0) = 0, = 1, Vк< р, <4,(0) = ехр(2тггЛ).

Пусть ра - наибольший общий делитель р и всех тех к 6 {1,., р}, для которых аь ^ 0, па = р/ра• Два набора (с, (р, ф) и (с, (р, ф) из Л4р,л будем называть эквивалентными, если для некоторого С € С*, С = (Сь ., Ср) и некоторого 5 € 0 < в < ра

8Па = С] ' С? >

Фз+8па{г) = Сз+1+вПа(рз(С^1г)} (2) нумерацию считаем циклической). Пусть МР)\,а ~ пространство классов эквивалентности из Л4Р}\.

Теорема 4 (об аналитической классификации) Существует такое отображение т : Ур,л,а -> МР)А)а, т : V т„,

-что справедливы следующие утверждения:

1°. Эквивалентность и эквимодальность. V ~ г; ту = 2°. Реализация. Для любого т Е Мр^а существует такое V £ что т = ту;

3°. Аналитическая зависимость. Для любого аналитического семейства у£ ростков из Ур,А,а некоторые представители ¡х£ модулей тщ также образуют аналитическое семейство.

Эта теорема является точным аналогом известной теоремы об орбитальной аналитической классификации ростков из УР)а ([70]; [67], §3, с.33). Отметим, что количество модулей в задаче об аналитической классификации увеличилось вдвое по сравнению с задачей об орбитальной аналитической классификации. Действительно, орбитальная аналитическая классификация имеет р + 1 числовых (один формальный модуль Лир модулей с = (с\,., ср) аналитической классификации), и р функциональных модулей {<£>./}; аналитическая классификация имеет 2р-\-2 числовых (р + 2 формальных модулей Л,ао, .,ар и р аналитических модулей набора с), и 2р функциональных модулей {у?;-},

Все три утверждения теоремы 4, для краткости, заменим одной фразой: „Пространство Мр^а является пространством модулей аналитической классификации ростков класса

Наряду с аналитической эквивалентностью здесь рассматривается и строгая эквивалентность.

Определение 3 Ростки V, V 6 а назовем строго эквивалентными, если они эквивалентны, причем сопрягающая их замена координат имеет вид Н(х,у) = {х + о(1),у 4- о(ур+1)).

Замечание 0.1 Строгая эквивалентность удобнее эквивалентности в силу единственности формальной нормализующей замены. Каждый росток из УрХа не только формально эквивалентен своей формальной нормальной форме ур>\,а: но и строго формально эквивалентен ей.

Тогда имеет место следующая

Теорема 5 Пространство ЛЛР,\ является пространством модулей строгой аналитической классификации ростков класса

Доказательству теоремы 5 посвящены параграфы 3.1.-3.5. Теорема 4 получается из теоремы 5 и доказывается в параграфе 3.6.

Отмеченная выше неединственность нормализующей замены в задаче об аналитической классификации объясняет взаимосвязь пространств Мр>\ и Мр^а: пространство Мр>\>а получается из пространства Л1Р)л факторизацией по отношению эквивалентности (2), происходящему из этой неединственности.

Четвертая глава — приложения теории нормальных форм.

Определение 4 Аналитической (формальной) группой симметрий ростка г> 6 V назовем группу (Оу), состоящую из всех голоморфных (формальных) замен координат, сохраняющих

V.

Группа симметрий любого ростка V содержит подгруппу = состоящую из всех сдвигов вдоль фазовых кривых ростка V за фиксированное время.

Фактор-группу <7^/Ст„ (если она корректно определена) назовем главной частью группы симметрий ростка V.

Группой симметрий инварианта т 6 Мр^а назовем подгруппу С* х ЪРа (где ра - наибольший общий делитель р и всех тех индексов к, для которых аь ф 0, а = (ао, ^ь • • •, ар))-> состоящую из всех чисел (С, в) е С* х Zpo таких, что для некоторого представителя {с, у?, ф} справедливы равенства

С] = С] ' С3+8Па > С^+ЗП^З+ВПаМ, Фз+впЛ*)

Теорема 6 1. Формальная группа симметрий ростка класса Ур,\,а изоморфна прямому произведению мультипликативной группы С*, аддитивной группы С и группы вычетов ЖРа, где ра - наибольший общий делитель р и всех тех индексов к, для которых а>к ф 0, а — (а0) «ь • • • ,Ор).

2. Главная часть аналитической группы симметрий ростка V Е корректно определена и изоморфна группе симметрий его инварианта.

Следствием данной теоремы является следующее достаточное условие аналитической эквивалентности седло-узловой особой точки ростка голоморфного векторного поля и его формальной нормальной формы.

Следствие 0.1 Если главная часть аналитической группы симметрии ростка V из УР)л,а не является конечной, то росток V аналитически эквивалентен своей формальной нормальной форме УрХа

Апробация

Результаты, изложенные в диссертационной работе, были представлены в работах [90, 96, 99, 100] на Воронежской зимней математической школе „Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1999г.) [91], Всероссийской научно-практической конференции „Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе" (Магнитогорск, 1999г.) [92], Воронежской зимней математической школе „Современный анализ и его приложения" (Воронеж, 2000г.) [93], Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (Новосибирск, 2000г.) [94], Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000г.) [95], Международной конференции „Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002г.) [97, 98].

Благодарности

В заключение выражаю огромную благодарность научному руководителю Сергею Михайловичу Воронину за ценные советы и консультации; коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ за внимание к работе; моему мужу Мещерякову Константину Борисовичу за понимание и поддержку, а также нашим родителям Павловым Светлане Павловне и Игорю Николаевичу, Мещеряковым Марии Алексеевне и Борису Кузьмичу за безграничное терпение и заботу.

1. Арнольд В. И. Замечания об особенностях конечной коразмерности в комплексных динамических системах // Функ.анализ и его приложения, Т. 3, вып. 5, 1969. С. 1-6.

2. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // Успехи мат. наук, XXVII, вып. 5, 167, 1972, с. 119— 184.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. 432 с.

5. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. I. М.: Наука, 1982.

6. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, 1985, I. С. 7149.

7. Белицкий Г.Р. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения. Киев: Наукова думка, 1979, 176 с.

8. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды Моск. мат. общества. Т. 25, 1971. С. 119-262.

9. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды Московского математического общества, Т. 26, 1972. С. 199-238.

10. Брюно А.Д. О локальных инвариантах дифференциальных уравнений // Матем. заметки, Т. 14, вып. 4, 1973. С. 499-507.

11. Брюно А.Д. Аналитические интегральные многообразия // Доклады АН СССР, Т. 216, вып. 2, 1974. С. 156-253.

12. Брюно А.Д. Нормальная форма вещественных дифференциальных уравнений // Матем. заметки. Т. 18, вып. 2, 1975. С. 227-241.

13. Брюно А.Д. О расходимости вещественного нормализующего преобразования // Препринт Ин-та прикладной математики АН СССР.- М., 1978, №112, 12 с.

14. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 с.

15. Брюно А.Д. О локальной эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений // Препринт Ин-та прикладной математики АН СССР.- М., 1980, №15, 27 с.

16. Брюно А.Д. Расходимость вещественных нормализующих преобразований // Мат. заметки, 1983. 31, №3. С. 403-410.

17. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков конформных отображений в нуле с тождественной линейной частью // Успехи мат.наук. Т. 35, вып. 4, 1980. С. 152-153.

18. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков конформных отображений (С, 0) —>• (С, 0) с тождественной линейной частью // Функц. анализ и его прил., 1981. Т. 15, вып. 1, с. 1-17.

19. Воронин С.М. Орбитальная аналитическая эквивалентность вырожденных особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости. Труды МИАН, 1996, вып. 213, 25 с.

20. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков голоморфных отображений с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами и ее приложения. // Вестник ЧелГУ, Челябинск, 1999. 19 с.

21. Воронин С.М., Гринчий А.А. Аналитическая классификация ¿-сдвигов // Деп. в ВИНИТИ 24.05.19996. №1689 В96. 33 с.

22. Гробман Д.М. Топологическая классификация окрестностей особых точек в п мерном пространстве // Матем.сб.(н.с.) -Т. 56, №1, С. 77-94.

23. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 395 с.

24. Елизаров П.М. Орбитальная аналитическая неэквивалентность седловых резонансных векторных полей в (М2,0) // Мат. сб., 1984. 123, №4. С. 534-548.

25. Елизаров П.М. Орбитальная топологическая классификация аналитических дифференциальных уравнений в окрестности вырожденной элементарной особой точки на двумерной комплексной плоскости // Тр. Сем. им. И.Г. Петровского. МГУ, 1988. №13. С. 137-165.

26. Елизаров П.М., Ильяшенко Ю.С. Замечания об орбитальной аналитической классификации ростков векторных полей // Мат. сб., 1983. 121, Ж. С. 111-126.

27. Зигелъ K.JI. О нормальной форме аналитических дифференциальных уравнений в окрестности положения равновесия. Математика, 5:2(1961), С. 119-128.

28. Ильяшенко Ю. С. Расходимость рядов, приводящих аналитическое дифференциальное уравнение к линейной нормальной форме в особой точке // Функц. анализ и его прил., 1979. Т. 13, вып. 3. С. 87-88.

29. Ильяшенко Ю.С. В теории нормальных форм аналитических дифференциальных уравнений при нарушении условий А.Д. Брюно расходимость правило, сходимость - исключение. Вестник Моск. ун-та, сер. I, 2, 1981. С. 10-15.

30. Илъяшенко Ю.С. Особые точки и предельные циклы дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости // Препринт, Компьют. центр АН СССР, Пущино, Москов. обл., 1982.

31. Илъяшенко Ю.С. Окончательные теоремы для предельных циклов // Успехи мат. наук, 1990. 45, №2, С. 143-200.

32. Илъяшенко Ю.С. Аналитическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений // Мат. сб., 1976. 99, №. С. 162-175.

33. Илъяшенко Ю.С. Мемуар Дюлака "О предельных циклах'^ смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук, 1985. 40, №6. С. 49-78.

34. Илъяшенко Ю. С., Пяртли А. С. Материализация резонансов Пуанкаре и расходимость нормализующих рядов // Труды семинара им. И.Г. Петровского, вып. 7, 1981. С. 3-49.

35. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.:"Факториал", 1999, 766 с.

36. Кондратьев В.А., Самовол B.C. О линеаризации системы в окрестности особой точки типа "узел"// Матем. заметки, Т. 14, вып. 5, 1973. С. 833-842.

37. Ладис H.H. Топологическая эквивалентность линейных потоков // Дифференц. уравнения, Т. 9, вып. 7,1973. С. 2123-2135.

38. Мархашов JI.M. О симметриях гамильтоновых систем// Препринт Ин-та прикладной механики АН СССР, М., 1976, №67, 15 с.

39. Мархашов Л. М. Задачи групповой классификации уравнений динамики// Изв. АН СССР, Механика тв. тела, 1977, №6.

40. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. M.-J1.: ГИТЛ, 1947. 392 с.

41. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, 1974. Т. 3. 772 с.

42. Пяртли A.C. Рождение комплексных инвариантных многообразий вблизи особой точки векторного поля, зависящего от параметра // Функ.анализ и его приложения, Т. 6, вып. 4, 1972. С. 95-96.

43. Пяртли А. С. Циклы системы двух комплексных дифференциальных уравнений в окрестности неподвижной точки // Труды Московского мат. общества, Т. 37, 1978. С. 95-106.

44. Плиес В А. О приведении аналитической системы дифференциальных уравнений к линейной форме // Диф. уравнения, 1965. №2, С. 153-161.

45. Самовол В. С. О линеаризации системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки // Докл. АН СССР, Т. 206, вып. 3, 1972. С. 542-548.

46. Совместные заседания семинара И.Г.Петровского и Московского математического общества. 6-я сессия, 18-21 января 1983 // Успехи мат.наук. 1983. Т. 38. вып.5.

47. Щербаков А.А. Топологическая классификация конформных отображений с тождественной линейной частью // Вестник Моск. гос. ун-та, Серия I, Математика и механика, 3, 1982, с. 55-57.

48. Щербаков А.А. Топологическая и аналитическая сопряженность некоммутативных групп ростков конформных отображений // Тр. Сем. им. И.Г. Петровского. МГУ, 1984. №10. С. 170-195.

49. Щербаков А.А. Преобразования ростков, аналитически неэквивалентных их формальной нормальной форме // Функц. анализ и его приложения, 1982. 16, №2, С. 94-95.

50. Arnold V.I. Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1988.

51. Baker I.N. Zusammensetzungen ganzer Functionen, Math. Zeitschr., 69, 1958, p. 121-163.

52. Bibikov Yu.N. Local theory of nonlinear analytic ordinary differential equations // Springer Verlag, Lect. Notes Math., 1979, 702, 147 p.

53. Camacho C., Sad P. Topological classification and bifurcations of holomorphic flows with resonances in C2. Invent, math., 1982, 67, p. 447-472.

54. Chen L., Wang M. The relative position and number of limit cycles if the quadratic differential systems. Acta math, sinica, v. 22, 6, 1979. P. 751-758.

55. Duîac H. Solutions d'un systeme d'équations differetielles dans le voisinage des valeurs singulierse. Bull. Soc. Math, de France, v. 40, p. 324-383.

56. Dulac H. Recherches sur les points singuliers des equations differetielles. J.de l'Ecole polytechnique, Paris, ser. 11, v. 9, p. 1125.

57. Duîac H. Sur les cycles limites, Bull. Soc. Math. France 51 (1923), p. 45-188 (1923).

58. Dumortier F. Singularities of vectorfields on the plane // Jour.Diff.Equa., 23, 1977. P. 53-106.

59. Dumortier F. Singularities of vector fields. IMPA, Rio de Janeiro, 1978, 191 p.

60. Ekalle J. Theorie des invariants-holomorfes. Publ. Math. d'Orsay, Université de Paris-Sud, Orsay, 1974.

61. Ekalle J. Sur les fonctions resirgentes, I,II,III, Publ. Math. d'Orsay, Université de Paris-Sud, Orsay, 1981, 1985.

62. Elizarov P.M. Tangents to Moduli Maps // Nonlinear Stokes Phenomena, Yu.S.Il'yashenko, editor, Adv. in Sov. Math., v. 14, 1993, pp. 107-138.

63. Euler L. De seriebus divergentibus. Opera omnia. Ser. I, v. 14, 1754, Leipzig-Berlin, 247, p. 585-617.

64. Hukuhara H., Kimura T., Matuda T. Equations differentialles ordinaires du premier ordre dans le champ complexe. Publ. Math. Soc. of Japan, 1961, 155 p.

65. Il'yashenko Yu. Nonlinear Stokes PhenomenaNonlinear Stokes Phenomena, Yu.S.Il'yashenko, editor, Adv. in Sov. Math., v.14, 1992, pp. 1-56.

66. Malgrange B. Travaux d'Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques. Semin. Bourbaki, 1981, 582, November, p. 1-16.

67. Martinet J. Normalisation des champs de vecteurs holomorfes (d'après A.D. Brjuno). Seminaire Bourbaki, 1980/1981, Lecture Notes in Math., v. 901, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1981, p. 55-70.

68. Martinet J., Ramis J.P. Problème de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre. Publ. Math. Inst. Hautes Étud. Sei., 1982, 55, p. 63-164.

69. Martinet J., Ramis J.P. Classification analytique des equations différentielles non linéaires resonnantes du premier ordre. Ann. Sei. Ecole norm, supér., 1983, 16, №4, p. 571-621.

70. Poincare H. Sur les propriétés des functions, defifies par des equations aux différentielles partielles, These, 1879, Oevres, t. I, 1928.

71. Poincare H. Sur le probleme des trois corps et les equations de la dinamique. Acta math., 13, 1890, p. 1-72.

72. Pfeifer G.A. Existeme of divergent solutions of the functional equations <pg(x)] = a<p(x), f[f(x)] = g{x), where g(x) is a given analytic function, in the irrational case, Bull. Math. Soc., 22, 1916, p. 163.

73. Ramis J. P. Confluence et resurgence. (French) Confluence and resurgence] J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 36, 1989, Ж 3, p. 703-716.

74. Seidenberg A. Reduction of singularities of the differential equation Ady = Bdx. Amer. J. Math., 1968, 90, p. 248-269.

75. Sell G.R. Smooth linearisation near a fixed point. Preprint IMA, 1983, №16, 69 p.

76. Siegel C.L. On the integrals of canonical systems. Ann. Math., v. 42, 3, 1941, p. 806-822. (Русский перевод: Математика, 5:2(1961), С. 103-117.)

77. Siegel C.L. Iteration of analytic functions. Ann. Math., v. 43, 1942, p. 607-612.

78. Siegel C.L. Uber die Existenz einer Normalform analytischer Hamiltonischer Differentialgleichungen in der Nahe einer Gleichgewichtslosung. Ann. Math., v. 128,1954, p. 144-170. (Русский перевод: Математика, 5:2(1961), с. 129-155.)

79. Takens F. Normal form for cerain singularities of vector fields. Ann.Inst. Fourier, v. 23, 2, 1974, p. 163-165.

80. Takens F. Singularities of vector fields. Publ. Math. Inst, hautes etud. sei., 1974, 43, p. 47-100.

81. Takens F. Moduli of singularities of vector fields. Topology, v. 23, 1, 1984, p. 67-70.

82. Teyssier L. Equation holomologique et cycles asymptotiques dune singularité neoud-col. Preprint I.R.M.A. Lille, vol. 55, ch. III, 2001.

83. Teyssier L. Analytical classification of singular saddle-node vector fields // Journal of Dynamical and Control Systems (в печати).

84. Voronin S. M. The Darboux Whitney Theorem and Related Questions // Nonlinear Stokes Phenomena, Yu.S.Il'yashenko, editor, Adv. in Sov. Math., v. 14, 1993, pp. 139-234.

85. Voronin S.M. Invariants for Singular Points of Holomorphic Vector Fields on the Complex Plane // The Stokes Phenomenon and Hilbert's 16th Problem, editors B.L.J. Braaksma, G.K. Immink, M. van der Put, World Scientific, 1996. P. 305-324.

86. Voronin S.M., Grinchii A.A. Analitic classification of seddle resonant singulsr points of golomorfic vector fields on the complex plane // Journal of Dynamical and Control Sistems, 1996. 2, №1. P. 1-15.

87. Yoccoz J.-C. Theoreme de Siegel, nombres de Bruno et polynomes quadratiques. Preprint, Centre Math, de l'Ecole Polytechnique, Palaiseau, 1988.

88. Мещерякова Ю.И. Формальные нормальные формы изолированных вырожденных элементарных особых точек // Деп. в ВИНИТИ №2848 В98 от 23.03.1998г. 12 с.

89. Мещерякова Ю.И. Формальные нормальные формы изолированных вырожденных элементарных особых точек // Воронеж. зим. мат. школа "Современные методы в теории краевых задач"Тез. докл. Воронеж, 1999г. с. 136.

90. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Функциональные инварианты вырожденных элементарных особых точек голоморфных векторных полей в (С2,0) // Международн. конф. подиф. уравнениям и динамич. системам. Тез. докл. Суздаль, 2000г., С. 120-121.

91. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация типичных вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей на комплексной плоскости // Известия вузов. Математика, 2002, №1, С. 13-16.

92. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Уголки Елизарова для одного класса вырожденных элементарных особых точек // Международн. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"Тез. докл. Челябинск, 2002г., с. 22.

93. Мещерякова Ю.И. Симметрии ростков типичных вырожденных элементарных особых точек // Международн. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"Тез. докл. Челябинск, 2002г., с. 70.

94. Мещерякова Ю.И. Формальная классификация вырожденных элементарных особых точек // Уравнения соболевского типа: Сб. науч. работ. Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2002г., С. 197-206.

95. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация ростков голоморфных векторных полей с вырожденной элементарной особой точкой // Вестник Челябинского университета. Серия 3. Математика. Информатика. Механика. №3, 2003г., С. 16-41.