Функциональные инварианты в задачах локальной аналитической классификации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Воронин Сергей Михайлович

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ В ЗАДАЧАХ ЛОКАЛЬНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ КЛАССИФИКАЦИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 3 ИЮН 2011

ЧЕЛЯБИНСК - 2011

4850834

Работа выполнена на кафедре математического анализа Челябинского Государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Ильяшенко Юлий Сергеевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бибиков Юрий Николаевич доктор физико-математических наук, профессор Давыдов Алексей Александрович доктор физико-математических наук, профессор Закалюкин Владимир Михайлович Ведущая организация: Нижегородский Государственный

Университет им. Н.И. Лобачевского

Защита состоится „17 ноября"_ 2011 г. на заседании совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д. 8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан „ 02 __2011 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 002.022.02 ^

доктор физико-математических наук, '

профессор Ю. Н. Дрожжинов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Величайшим открытием Ньютона был тот факт, что огромное количество окружающих нас эволюционных процессов описывается дифференциальными уравнениями. Однако в первой половине девятнадцатого века стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений не решается в квадратурах. В 1880-х годах Пуанкаре 1,2 предложил двоякую стратегию преодоления этой трудности. Во первых, он поставил задачу исследования свойств дифференциального уравнения непосредственно по его правой части. Так возникла качественная теория дифференциальных уравнений. Во вторых, Пуанкаре сформулировал следующий принцип: дифференциальные уравнения нужно не решать (всё равно это в большинстве случаев невозможно), а выбирать систему координат, в которой уравнение имеет по возможности простой вид. Так родилась теория нормальных форм.

Предлагаемая работа относится к теории нормальных форм дифференциальных уравнений и отображений, а также приложениям этой теории к исследованию особенностей отображений и родственным задачам локального анализа.

Опишем кратко историю развития теории нормальных форм. Первый во-ipoc, поставленный этой теорией и сохранивший актуальность до наших (ней: в какой мере векторное поле или отображение в окрестности точки гокоя похоже на свою линейную часть в этой точке? Первые достаточные словия эквивалентности векторного поля своей линейной части дал Пуанка-ie 2 . Они состояли в отсутствии резонансов и малых знаменателей. Прошло 0 лет прежде чем были преодолены трудности, связанные с малыми зна-

1 Poincare H. Sur les courbes definies par une equation différentielle. C.r.Acad.sci., 1880, 90, 673-675. Oeuvres, .1. p. 1-2; C.r.Acad.sci., 1881, 93, 951-952. Oeuvres, t.l. p.85-86; C.r.Acad.sci., 1884, 98, 287-289. Oeuvres, t.l. .87-89: J. rnath. pures et appl. 4 ser., 1885, 167-244. Oeuvres, t.l. p.90-161; J. math, pures et appl. 4 ser., 1886, , 151-217. Oeuvres, t.l. p. 167-222.

2Poincaxe H. Sur les points singuliers des equations différentielles . C.r.Acad.sci., 1882, 94, 416-418. Oeuvres, XI, p.3-5.

менателями: Зигель 3 доказал, что седло аналитически эквивалентно своей линейной части, если её собственные значения образуют так называемый Диофантов набор . Дальнейшие крупные продвижения в этой задаче связаны с работами Брюно 4 и Йоккоза 5. Отметим, что статья Йоккоза 5 вошла в список работ, за которые он был удостоен Филдсовской медали в 1994 году.

Необходимым условием аналитической эквивалентности векторного ноля (отображения) своей линейной части является условие линейности формальной нормальной формы. В случае нелинейной формальной нормальной формы, аналитическая классификация векторных полей и отображений до начала 1970х годов не была развита даже в размерностях 1 для отображений и 2 для векторных полей.

Фундаментальный результат в аналитической теории нелинейных нормальных форм был получен Брюно 4. Брюно указал необходимые и достаточные условия на нормальную форму резонансного векторного поля (отображения), при выполнении которых формальная нормальная форма может быть выбрана сходящейся и нормализующее преобразование также аналитично. Тем самым была полностью решена задача о соотношении аналитической и формальной классификаций векторных полей и отображений. Однако вопрос об аналитической классификации резонансных векторных полей и отображений оставался открытым. Этот вопрос можно сформулировать так: при каких условиях ростки двух векторных полей (отображений) аналитически эквивалентны? Другими словами, какова полная система инвариантов, совпадение которых необходимо и достаточно для аналитической эквивалентности двух ростков?

В 1981 году ответ на этот вопрос для простейшего класса так называемых

З3игель К .Л. О иормлльнпй форме а ? шли тическ! lt, дифференциальных yjM.au.cuuii в ощнхгпиости положения равновесия. Математика, 5:2 (1961), 119-128.

4Бртоно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений // Труды MMO. Т.25. (1971). С.119-262, Т.26.(1972). С.199-239.

5Yoccoz J. -С. Linearisation des gcrmes de diffeomorphismes holomorphes de (с, 0), C. R. Acad. Sci. Paris 306. P.55-58.

одномерных параболических ростков отображений был дан независимо: автором [2], февраль; Экаллем 6, май; Мальгранжем 7, ноябрь. Оказалось, что аналитическая классификация ростков конформных отображений

z ь-> z + az2 + bz3 + ..., а ф 0 (1)

имеет функциональные модули. После этого функциональные модули были обнаружены во многих других классификационных задачах: в задаче о классификации особых точек голоморфных слоений (седлоузлы и резонансные седла на плоскости, Мартине-Рамис 8,э); в аналогичной задаче для векторных полей ; в задаче о классификации исключительных разрешимых конечно порожденных групп ростков одномерных голоморфизмов , и во многих других задачах.

Описанию функциональных модулей в задачах аналитической классификации резонансных векторных полей и отображений посвящены первые три главы диссертации. Одномерные отображения рассматриваются в первой главе; во второй главе изучаются многомерные отображения, а в третьей - векторные поля на плоскости.

В диссертации обсуждаются также приложения полученой классификации к задачам теории особенностей. В конце 1970х годов В.И.Арнольд заметил, что в ряде локальных задач присутствует „скрытая динамика". Это значит, по существует геометрические объекты, по которым инвариантным образом можно построить локальную динамическую систему. Арнольд указал ^сколько таких задач (задачу о парах инволюций, задачу о распаде симмет-)ии, задачу об огибающей плоской кривой, и др.), с которыми инвариантным образом связаны ростки отображений. Таким образом, в этих задачах анали-

бЕсаИе J. Sur les fonctions resurgentes. 1,11 - Orsay. 1981. - p. 1-250, 251-531.

7Malgrange B. Travoux d'Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systemes dinamique. Sem.Bourbaki, 34-e anne, 981/1982, n.582, Novembre 1981.

8J.Martinet and J.P.Ramis, Probl'eme de modules pour des 'equations dijj'erentielles non lin'eaires du remier ordre. Inst. Hautes 'Etudes Sci.PublMath.(1982 55,pp.63-164).

9Martinet 3., Ramis J.P. Classification analytique des équations différentielles non linéaires resonnantes du remier ordre. Ann. Sci. Ecole norm. supér., 1983, 16, №4, p. 571-621.

тическая эквивалентность геометрических объектов влечет аналитическую эквивалентность соответствующих „скрытых динамических систем". Автором были решены перечисленные выше задачи и, тем самым, найдены функциональные инварианты в задачах теории особенностей. Результаты эти излагаются во второй половине первой главы.

В.И.Арнольд указал также, что определенные инвариантным образом пары ростков (многомерных) инволюций встречаются и в других задачах теории особенностей, например, в задаче об обходе препятствия 10, или в так называемой задаче Дарбу-Уитни 11 (задаче об одновременной нормализации симплектической структуры и гиперповерхности с особенностями). В этих задачах, возникающих в случаях малой коразмерности, инволюции имеют общее зеркало, так что их композиция является ростком отображения, неподвижные точки которого образуют гладкую гиперповерхность. Систематическому исследованию таких „сильно вырожденных" ростков отображений посвящена вторая глава диссертации. Оказалось, что в этой классификационной задаче также возникают функциональные модули. В качестве приложения этих результатов, здесь же приводится решение задачи Дарбу-Уитни в аналитическом и гладком случаях (формальное решение было получено ранее В.И.Арнольдом п). В дальнейшем выяснилось, что полученные во второй главе диссертации результаты могут быть использованы и в других классификационных задачах, например, в задаче Биркхофа о классификации пар гиперповерхностей симплектического пространства 12 или (указано М.Я.Житомирским) при исследовании вырождений почти симплектических и почти контактных структур 13. Обширный список возможных приложений результатов второй главы приводится в Заключении диссертации.

10Арпольд В.И. Особенности в вариационном исчислении. - Итоги пауки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т.22. ВИНИТИ, М., 1983. С.3-55.

11 Арнольд В.И. Лаграпжевы многообразия с особенностями, асимптотические лучи и раскрытый ласточкин хвост // Функц. анализ и его прил. - 1981. - 15, №4. С. 1-14.

12Арпольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия . Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фупдаменталыше направления. Т.4. ВИНИТИ, М., 1985. С.7-139.

13Zhitomirskii М. Typical singularities of differential 1-forms and Pfaff equations. - AMS, Providence. - 1992.

Стандартный способ исследования особой точки векторного поля состоит в рассмотрении соответствующего ей преобразования монодромии (отображения Пуанкаре, отображения последования, first return map). Это позволяет понизить размерность задачи: орбиталыю эквивалентные векторные поля имеют эквивалентные преобразования монодромии, и наоборот (Елизаров, Ильяшенко 14). Именно с использованием этой схемы Мартине и Рамис (см. также ls) построили аналитическую классификацию седловых резонансных особых точек голоморфных слоений на плоскости. Однако для исследования аналитической (неорбитальной) классификации особых точек векторных полей информации о поле, которую содержит соответствующее полю преобразование монодромии, недостаточно. Автором было предложено вместо преобразования монодромии рассматривать „преобразование t-монодромии" (надстройку над классическим преобразованием монодромии, показывающую, за какое время точка из трансверсали возвращается на трансверсаль). Классификация таких „надстроек" (называемых ниже t-сдвигами) приводится в третьей главе. Эта классификация (в резонансном случае) также имеет функциональные модули (легко описываемые в терминах из первой главы). На основе этой классификации, в третьей главе получена аналитическая классификация (типичных) седловых резонансных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости. Тем самым, получен аналог результата Мартине-Рамиса (для седел). В этой же главе получен аналог и другого результата Мартине-Рамиса (для седлоузлов), но с использованием другой техники (дело в том, что не все „формально подходящие" t-сдвиги „подходят ана-штически"). По этой причине функциональные инварианты для седлоузлов ¡троятся с помощью так называемых „нормализующих атласов"; в частности, здесь доказана теорема о секториальной нормализации, обобщаюшая извест-

14Елизаров П.М., Ильяшенко Ю.С. Замечания об орбитальной аналитической классификации ростков ¡екторных полей Матем.сборник, 121(1983), С.111-126.

15Ильяшенко Ю.С. Особые точки и предельные циклы дифференциальных уравнений на вещественной 1 комплексной п-юскости НИВЦ АН СССР.: Пущипо, преприпт, 1982. 39с.

ный результат Хукухара, Кимура и Матуда 16.

В случае общего положения, (локальная) аналитическая и формальная классификации совпадают: типичное векторное поле (отображение) в окрестности его особой (неподвижной) точки эквивалентно линейному. При наличии резонансов, формальная нормальная форма, вообще говоря, нелинейна, а формальная и аналитическая классификации могут совпадать ( резонансы в области Пуанкаре) или не совпадать (появляются функциональные инварианты - в случае резонансов в области Зигеля). В случаях более высокой коразмерности (нулевой спектр линеаризации поля в особой точке, например) уже формальная классификация необозрима (имеет функциональные модули). Оказалось, что, удивительным образом, в этой вырожденной ситуации аналитическая и формальная классификации вновь, как правило, совпадают. Результаты такого рода (формальная эквивалентность влечет аналитическую) принято называть теоремами о жесткости. Первая (нетривиальная, т.е., с нетривиальной формальной классификацией) теорема о жесткости была доказана для неразрешимых групп ростков одномерных голоморфных отображений 17'18; топологическая жесткость была получена А.А.Щербаковым 19. Результатам о жесткости посвящена четвертая глава диссертации.

Цель работы. Целью работы является исследование функциональных инвариантов в задачах локальной аналитической классификации: параболических ростков одномерных голоморфизмов; пар одномерных инволюций; в задаче об огибающей; в задаче о классификации ростков голоморфизмов с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами (и ее „симметричных" вариантах); в задаче Дарбу-Уитни; в задаче о

16M.Hukuhara, T.Kimura and Т.Matilda Equations différentielles ordinaires du premier ordre d.ans le chomp complexe. Math.Soc. of Japah, Tokyo. 1961.

17Cerveau, D.; Moussu, R. Groupes d'automorphismes de (С,0) et equations différentielles ydy H----- 0.

(French) [Groups of automorphisms of (C, 0) and differential equations of the form ydy H----= 0]. Bull. Soc.

Math. France 116 (1988), no. 4, 459^188 (1989)

18J. -P. Ramis, Confluence et resurgence , J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect IA Math. 36 (1989), 706-716.

19Щербаков А. А. Тотиыогическля и аналитическая сопряженность некомму mamueitux групп конформных отображений. Тр. семинара им. И.Г.Петровского, 10 (1984), 170-192.

классификации резонансных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости, а также и исследование явления жесткости для вырожденных особых точек.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми, и состоят в следующем. В типичных случаях, для всех перечисленных в предыдущем пункте задач построены функциональные инварианты и доказаны соответствующие теоремы об аналитической классификации; доказана теорема о жесткости для типичных особых точек с нулевой струей заданного порядка.

Методы исследования. В работе используются традиционные методы теории динамических систем, теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, теории голоморфных слоений. Основные инструменты: теорема о сжимающих отображениях, операторы конечного порядка и метод последовательных приближений. В реализационных конструкциях использовались теорема Ныолендера-Ниренберга о почти комплексных структурах и теорема Грауэрта о схлопывании.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть полезны в теории дифференциальных уравнений с вещественным и комплексным временем, в теории голоморфных слоений, в комплексной динамике и в теории особенностей. Эти результаты также могут быть использованы при чтении спецкурсов по динамическим системам.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на конференциях Петровского (3,14,16 и 23-я сессии), на всесоюзных школах по теории операторов (Челябинск,1986; Куйбышев, 1988), на всесоюзных конфе-зенциях в Перми (февраль 1988) и Самаре (1996), на международных конференциях в Москве (август 1994, август 2002, декабрь 2003, февраль 2007, цзгуст 2007), в Челябинске (июнь 1994, 1999, 2002), Суздале (2000), Ленинграде (институт Эйлера, октябрь 1991), Тегеране (Иран, 25th Annual Iranian

Mathematical Conference, март 1994), Гуанохуато (Мексика, CIMAT, февраль 1991), Cuernavaca (Мексика, август 1996), Лумини (Франция, CIRM, июнь 2004, май 2009), Гронингене (Голландия, июнь 1995). По результатам работы прочитаны миникурсы и лекции: в Институте Теоретической Физики и Математики (Тегеран, Иран; июль 1993, март 1994), в CIMAT (Гуанохуато) и UNAM (Мехико, Мексика) (январь - март 1995, июль - сентябрь 1996, август 2010). Результаты докладывались: на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством Ю.С.Ильяшенко (неоднократно, 1978 -2008), на семинаре отдела дифференциальных уравнений МИРАН под руководством Д.В.Аносова и Ю.С.Ильяшенко (апрель 2005, март 2011), на семинаре А.М.Ильина в ЧелГУ, на заседании ММО (1992), на семинаре лаборатории топологии и геометрии университета Тулуза-3 (Франция; май 1992, апрель 1993, ноябрь 2001), на семинаре университета Бургундии (Дижон, Франция; май 1993, ноябрь 2001, февраль 2003, июнь 2004, январь 2005, май 2009), на семинарах в ENS (Лион, Франция; ноябрь 2001), в университетах: Морелия (Мексика, февраль 1995), Ренн-1 (Франция; декабрь 2001, июнь 2010), UNAM (Мехико, Мексика; декабрь 1998, декабрь 2002, январь 2005, июль 2006, июль 2007, июль 2009). Результаты работы отмечены премией ММО (1984).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах, список которых приводится в конце автореферата. Из совместных работ [7-16] в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 23 параграфа, Заключения и списка литературы, содержащего 149 наименований. Полный объем диссертации 330 страниц.

Основное содержание работы

В первой главе рассматриваются задачи, связанные, в основном, с одномерной динамикой.

В первом разделе главы 1 рассматривается задача об аналитической классификации ростков конформных отображений (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частью.

Пусть / : 2: н-> z + ... — росток голоморфного отображения (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частью, А — множество всех таких /. Ростки f,g G А будем называть эквивалентными, если найдется локальная замена координат h, сопрягающая их:

/ о h — h о д

Соответственно виду замены h будем различать аналитическую и формальную эквивалентность ростков из А. Формальная классификация ростков из А достаточно проста, и хорошо известна 20. Также довольно давно было известно что аналитическая и формальная классификации ростков из А не совпадают 21. Аналитическая классификация (типичных) ростков из А получена в настоящей работе.

Пусть Ач —класс всех ростков из А вида (1).

Пусть Ф±(£) = £ + J2k>o cke±27!lk^ РЯДЫ сходятся при некотором N > 0 в областях {£ : dblm£ > N} соответственно. Рассмотрим множество М.2 всевозможных наборов /г = (Ф+, Ф_) такого типа и отношение эквивалентности на Л42'. ц эквивалентно ß = (Ф+,Ф_), если и только если Ф±(£ + ci) = Ф±(£ + сг) для некоторых ci,c2 G С, ±Im£ > Ni, для некоторого Множество A42 классов эквивалентности т = [/х] наборов ß £ М2 и есть пространство модулей аналитической классификации ростков из Аг- Именно, справедлива следующая теорема:

Теорема 1.1.1 (об аналитической классификации ростков класса Д2-) Можно каждому / £ А2 таким образом сопоставить тп/ Е М2, что

1) (эквивалентность и эквимодальностъ) f эквивалентно g если и только если rrif = mg;

20Muckenhoupt В. Some results on analytic iteration and conjugacy. Amer.J.Math., 84(1962), p.I61-169.

21M.Kuczma Functional equations in a single variables. Monogr. Matem., v.46, PWN, Warsawa, 1968.

2) (реализация) для любого т Е М2 найдется f Е Ai такое, что т — т}.

Этот результат является основным результатом раздела. Соответствие / i—> тп} строится по следующей схеме. Вначале доказывается теорема о выпрямлении для одномерных отображений: конформное отображение F : U U на односвязной области U С С аналитически эквивалентно сдвигу на единицу (Основная лемма, п. 1.1.4 ). С помощью основной леммы далее для ростка / £ Д2 на проколотой окрестности его неподвижной точки строится выпрямляющий атлас (пара отображений Aj : ilj —> C,j — 1,2, сопрягающих / со сдвигом на единицу). Функции перехода выпрямляющего атласа и доставляют искомый представитель fij модуля т/ (необходимость дополнительной факторизации М2/ ~ объясняется неединственностью выпрямляющего атласа). Отметим, что соответствие / mj является непрерывным (и даже „аналитическим") в некотором естественном смысле.

Коротко утверждение теоремы можно сформулировать так: „Пространство М2 есть пространство модулей в задаче аналитической классификации ростков из А2"■ Ниже такие краткие формулировки будем понимать в том смысле, что справедливы утверждения об эквивалентности и эквимодально-сти, о реализации, а также и об аналитической зависимости.

В качестве простейшего приложения теоремы 1.1.1, в конце раздела рассматриваются три классические задачи теории функциональных уравнений одной переменной: задача о включении (отображения в поток), задача об извлечении (итерационного) корня и задача об описании централизатора (для ростков класса А2). Этими задачами (также как и „основной" задачей о классификации ростков класса А, или „задачей о сопряжении") занимались, в разное время, Абель, Фату, Сцзекер, Эрдёш, Жаботинский, Адамар, Бэкер, Кимура, Рэй, Ливерпуль, Кучма, Биркгоф, Лё, Бэбидж, и др. (так, задача об итерационных корнях рассматривалась в работе Бэбиджа 22 1815-го года...). Однако полное решение этих трех задач (причем достаточно простое) удается

22Babbage Essay Towards the calculus oj functions. Philosoph. Transact, 1815, 389-423.

получить только в терминах построенных в теореме 1.1.1 модулей.

Остальные разделы г.1 посвящены решению классификационных задач со „скрытой динамикой". Именно, рассматриваются следующие задачи:

1. Задача о парах инволюций. Росток конформного отображения / : (С, 0) -н (С, 0) называется инволюцией, если I ф id и I о I = id. Пусть 1 — множество всех инволюций и S = 1Г2. Две пары инволюций (I, J) и (I\, Jj) из S будем называть эквивалентными, если существует сопрягающаий их росток голоморфной замены координат Н : (С, 0) —> (С, 0):

hoH = HoI, Jl0H = HoJ

Требуется дать классификацию пар инволюций из S.

2. Задача о распаде симметрии. Пусть Iq(z) = — z — симметрия, F анали-тично в (С, 0), F(0) = F'(0) = 0, F"(0) 7¿ 0 и К — множество всех таких F. Спрашивается, к какой нормальной форме F можно привести отображение F аналитическими заменами К, Н:

KoF=FoH при условии, что замена Н сохраняет симметрию Iq:

Н о 10 = /0 о Я

3. Задача об огибающей семейства плоских кривых. Следуя Арнольду 23, семейством кривых на плоскости будем называть диаграмму

(С,0) (С2,0) (С2,0).

Семейства (g, F) и (51, F{) будем называть эквивалентными, если можно найти такие голоморфные замены h, Н и К что диаграмма (С,0) (С2,0) (С2,0)

I'

h н

к

(С, 0). (С2,0) (С2,0)

23Лрнольд В.И. О теории огибающих // Успехи мат. паук. - 1976. -31, №3. - С. 249.

коммутативна. Пусть Т> — множество семейств (g, F) таких, что F — складка, линейная часть отображения g невырождена и линия уровня р-1 (0) касается в нуле ядра отображения F*. Требуется дать аналитическую классификацию семейств из V.

Задача о парах инволюций есть простейший пример задачи о классификации так называемых исключительных (см. [10]) разрешимых неабелевых ко-нечнопорожденных групп ростков одномерных голоморфизмов. Полная классификация таких групп была получена позже (соавторами) в работе [10].

Задача о распаде симметрии является частным случаем (эквивалентным, впрочем, общему) задачи о классификации расходящихся диаграмм, исследованием которых занимался Дюфур 24.

Задача об огибающей поставлена В.И.Арнольдом 23.

В каждой из этих трех классификационных задач, в вещественном гладком (и, конечно, формальном) случае классификация „почти" тривиальна: все обшие элементы попарно гладко (формально) эквивалентны. Аналогичный результат несложно получить и в формальном комплексном случае. А вот в аналитическом случае, оказалось, классификация типичных элементов в каждой из этих задач - нетривиальна (и, в частности, не совпадает с формальной. Первым, по-видимому, предположил расходимость нормализующих рядов в задачах 2,3, а также и в других родственных задачах, Дж.П. Дюфур). Точная формулировка результата об аналитической классификации приводится ниже.

Пусть ¿>2, 72-2, ТЪ — подмножества "общих элементов"пространств S, И, V (требования общности положения состоят, фактически, в формальной эквивалентности некоторой простейшей нормальной форме, и явно указаны в соответствующих разделах).

Пусть ф±(£) = £ + Ylk>0Cke±2nk^' РЯДЫ сходятся для некоторого N в областях {£ : ±Im£ > TV} соответственно. Пусть Л4'2 — множество всех таких

24Dufour J.P. Sur la stabilité des diagrammes d'applications differentialles // Ann. scient. Ecole Norm. Super. - 1977. -10. №2 - p. 153-174.

пар (Ф+,Ф_), что Ф+(£) = -Ф!1^)- и (Ф+,Ф_) будем называть

эквивалентными в Л4'2: если Ф±(£) = Ф(£ + с) + с для некоторого с € С при всех таких, что ±Im£ > N для некоторого N. Пусть М2 — множество классов эквивалентности пар из Л4'2.

Пусть [5г], [^2], [2^2] ~~ множество классов эквивалентности элементов ¿>2, П2, Т>2. Тогда справедлива следующая классификационная теорема (сформулированная здесь в соответствии со сделанным выше замечанием ):

Теорема 1.2.3 Пространство М'2 есть пространство модулей в задачах об аналитической классификации для каэюдого из классов <S2j^-2 иТ>2: [<S2] =

[Щ = [Р2] = м'г.

Фактически здесь сформулированы три теоремы: для S2, 1Z2 и Т>2, доказываются они, соответственно, в разделах 1.2.1, 1.2.2, и 1.2.3 (теоремы 1.2.4, 1.2.5 и 1.2.6) по следующей схеме.

Задача о парах инволюций сводится к задаче о классификации ростков из Л2 естественным образом: каждой паре т = (I, J) £ S2 ставится в соответствие росток /т = / о J G Л2. Симметричность (т.е., принадлежность классу М2) соответствующего ростку /г инварианта т/т следует из симметричности пространства орбит ростка /т: инволюция I переставляет орбиты ростка /т- /о/т = /"1о/.

Задача о распаде симметрии легко сводится к задаче о парах инволюций: у нас уже есть инволюция 1о, а но одномерной складке F € 1Z2 инвариантно определяется вторая инволюция Jf, переставляющая прообразы точек при отображении F.

Редукция задачи об огибающей к задаче о парах инволюций несколько сложнее, и, геометрически, может быть описана гак. Пусть (<7, F) - семейство из Т>2. Для складки F инвариантно определена (двумерная) инволюция I = переставляющая прообразы точек при отображении F. Рассмотрим слоение J7 окрестности нуля на линии уровня ростка g, Т — {д — const}, и симметричное ему слоение Т = = {д ° I — const1}. Пусть кривая

I состоит из точек касания слоев слоения Т и слоев слоения ясно, что кривая I /—симметрична: 1(1) = I. Тогда на кривой I (инвариантно) определены две (одномерные) инволюции: первая из них есть просто сужение на I симметрии вторая переставляет точки касания с кривой I слоев слоения Р. Полное описание редукции (в несколько иной терминологии) см. в пункте 1.2.3; технически, задача оказалась достаточно тяжелой (редукция занимает 7 страниц текста).

Во второй главе рассматриваются задачи многомерной динамики. Основной объект исследования этой главы — ростки голоморфных отображений (С™, 0) —> (С",0), удовлетворяющие следующим двум условиям:

1°. Неподвижные точки ростка образуют гладкую гиперповерхность в (С", 0).

2°. Мультипликаторы (собственные значения линеаризации ростка в особой точке) постоянны вдоль гиперповерхности неподвижных точек.

Каждое из этих условий налагает на коэффициенты тейлоровского разложения ростка в нуле бесконечно много ограничений; однако, как это будет показано ниже, ростки указанного вида естественным образом возникают в некоторых геометрических задачах в случаях конечной коразмерности. Собственно говоря, именно ради этих приложений и было предпринято исследование классификации ростков отображений в рассматриваемом случае, имеющем бесконечную коразмерность.

Именно, В.И.Арнольд показал, как в простых геометрических задачах (например, в задаче о распаде симметрии, или в так называемой задаче о би-устойчивости полукубической параболы, см. [4]) возникает скрытая динамика (инвариантно определенная пара одномерных инволюций). В дальнейшем в этих задачах были обнаружены функциональные модули аналитической классификации. Далее, во время беседы с автором, Владимир Игоревич предположил, что аналогичное явление имеет место и в более сложных (многомерных) задачах. Одной из таких задач являлась исследовавшаяся им ранее так называемая задача Дарбу-Уитни. В этой задаче также возникает пара

инволюций (их, видимо, уместно будет называть инволюциями Арнольда). Композиция инволюций Арнольда как раз и удовлетворяет сформулированным выше двум жестким условиям (да еще является и резонансной: линейная часть композиции во всех её неподвижных точках тождественна). Так что в основе всех исследований этой главы , фактически, лежит упомянутое выше замечание В.И.Арнольда.

Аналитическая и формальная классификации ростков указанного вида рассматриваются в разделе 2.1.2 диссертации.

Пусть В — пространство обратимых ростков голоморфных отображений (С",0) —> (С™,0), п > 2, неподвижные точки которых образуют гладкую гиперповерхность в (С", 0), а мультипликаторы постоянны вдоль гиперповерхности неподвижных точек. Из теоремы Пуанкаре-Дюлака несложно получить, что каждый росток из В формально эквивалентен либо ростку линейного отображения, либо ростку вида

: (я, у, г) н-> (Ах, у + хч, г), х,у е С, г 6 С"2,? 6 М,А € С

такому, что \ч = 1.

Аналитическая классификация формально линеаризуемых ростков из В в точности аналогична одномерному случаю. Однако для приложений, о которых говорилось выше, более интересны формально нелинеаризуемые ростки.

Пусть В'дХ - класс ростков из В, формально эквивалентных ростку Fq\. Несложно проверить (см. лемма 2.1.1), что каждый росток из В'д Х голоморфной заменой координат можно привести к виду

(х, у, г) 1-> Ръх(х, у, г) + о{хч), х -> 0 (2)

Поэтому задача об аналитической классификации ростков класса В'д Х сводится к такой же задаче для класса Вд\, состоящего из ростков вида (2). Решение этой последней задачи дается следующей теоремой (и является основным результатом второй главы):

Теорема 2.1.5. Аналитическая классификация ростков класса Вч\ имеет функциональные модули: существуют бесконечномерное (функциональное) пространство и отображение Ф : Р тр £ такие, что:

1. ростки £ Вд^х аналитически эквивалентны, если и только если тр = та;

2. для любого т £ существует Р £ Д^л такой, что т = тр;

3. для любого ана~штического семейства ростков С ВЯу\ семейство тр1 является аналитическим.

Опишем коротко функциональное пространство а также и соответ-

ствие Р тр.

Полуформальным рядом (отображением) будем называть степенной ряд по переменной х, коэффициенты которого являются (вектор-) функциями, голоморфными в некоторой окрестности нуля в С"-1, одной и той же для всех коэффициентов. Оказывается, формальная нормализующая замена Н для ростка класса Вч\, нормированная условиями Н[х, 0) = (х, 0), БН{х, 0) = Е, существует, единственна, и являются полуформальным отображением (теорема 2.1.2).

Далее, область V вида

{х £ С : 0 < |х| < Я, а < шех < /3} х {ш £ С"-1 : |ш| < Я}

будем называть секториальной областью радиуса В., направления [ог, /3] и раствора ¡3 — а.

Полуформальное отображение Н(х,ю) = Х^о Н^(и])хк будем называть асимптотическим в {/ С С" для голоморфного отображения Н : II —> С", если 0 £ I/, и

т

Н{х, го)нк{т)хк = о{хт) к=0

для любого та £ N при (х, го) £ II, х —> 0.

В работе показано (теорема 2.1.4 о секториалыюй нормализации ), что для любого .Р & Вч%\ и любой секториальной области II данного направления, раствора, меньшего и достаточно малого радиуса найдется голоморфное в и отображение Н, сопрягающее (на II) отображение Р с его формальной нормальной формой .Р^а; при этом (полуформальное) нормированное нормализующее отображение Н является асимптотическим для Н на II.

Пространство модулей -Мд,д и соответствие Р >—> тр строится далее в соответствии со схемой, описанной выше (и уже использовавшейся в первой главе). Именно, возьмем конечное число секториальных областей малого радиуса и раствора, меньшего покрывающих окрестность нуля в (С™,0), из которой удалены неподвижные точки ростка Р £ На этих областях в соответствии с теоремой о секториальной нормализации построим нормализующие росток Р замены координат. Полученный объект назовем нормализующим атласом ростка Р. Система функций перехода этого атласа состоит из отображений, коммутирующих с ^д и имеющих тождественное отображение асимптотическим.

Назовем 1-коциклом любую систему отображений, обладающих этими двумя свойствами, и пусть Мч\ — пространство всех 1-коциклов. Назовем 0-коцепью произвольный нормализующий атлас формальной нормальной формы Отображения, составляющие 0-коцепь, коммутируют с РЯгд; пространство (ростков) 0-коцепей является группой с операцией суперпозиция. На пространстве 1-коциклов естественным образом определяется действие группы 0-коцепей. Орбиты этого действия и являются элементами пространства МчХ-> модуль тр ростка Р £ Вч\ есть орбита, содержащая систему функций перехода некоторого нормализующего атласа этого ростка.

Теорема о секториальной нормализации доказывается с использованием техники операторов конечного порядка. Доказательство теоремы о реализации модулей основано на теореме Ныолендера-Ниренберга о почти комплексных структурах.

Следует отметить, что пространство модулей Л4Ч\ из теоремы 2.1.5 выглядит намного сложнее по сравнению с пространством модулей Мг из теоремы 1.1.1. Однако оно действительно является „функциональным" (содержит подмножества, которые можно „отождествить" с пространством всех функций, голоморфных в некоторой области). Бесконечномерность пространства модулей Л4д,А (т.е., его „функциональность") доказывается в разделах 2.6 и 2.8 диссертации.

Отметим также, что в определениях 0-коцепей и 1-коциклов выше, все отображения коммутировали с формальной нормальной формой ^д. Поэтому естественным является желание профакторизовать все рассматриваемые там области по действию и работать на полученных фактор-пространствах. В результате мы получим другую, несколько более компактную, модель для пространства модулей. Т.к. теперь наши построения в точности сооветству-ют схеме построения когомологий со значениями в пучке некоммутативных групп 25, построенную таким образом модель для пространства модулей будем называть локальной группой когомологий-отображений на фактор-пространстве. Это ("пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков, формально эквивалентных данному ростку /о, совпадает с локальной группой когомологий-огображений фактор-нространства .Рас/0 окрестности нуля с удаленными из нее неподвижными точками ростка /о, по действию /о"), возможно, и есть универсальный ответ в задачах аналитической классификации.

Следующие три раздела первой главы имеют иллюстративный характер, и, фактически, посвящены „доказательству" актуальности рассматриваемой задачи. Именно, оказалось, что, помимо задачи Дарбу-Уитни, ростки отображений указанного вида естественным образом возникают (в случаях малой коразмерности!) и в других задачах аналитической классификации. Эти задачи (вместе со вспомогательной задачей об орбитальной классификации

2оОпищик А.Л. Методы теории пучков и пространства Штейна // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современ. пробл. матем. Фундам. направл. - 1986. - 10. - С. 5-73.

векторных полей, преобразованиями монодромии которых и являются ростки отображений рассматриваемого типа) рассматриваются в п. 2.1.3 - 2.1.5.

Далее, оказалось, что (как и в первой главе при исследовании пар инволюций) отображения класса Вдд, возникающие в прикладных задачах, обладают некоторыми дополнительными свойствами типа сохранения некоторых дополнительных структур (и классифицировать их надлежит также по действию группы замен координат, сохраняющих эти структуры). Поэтому, для нужд приложений, во второй главе приводятся также решения и соответствующих классификационных задач, отягощенных дополнительными структурами. Именно

1. Геометрической структурой в (С™,0) будем называть (при четном п) (почти) симплектическую структуру

ак = хк+1йх Л ¿у + ¿гх Л ¿г2 ... + <1гп_3 Л х, у £ С, г £ С"-2 (а также и а^ =

2. Симметрией (стандартной) будем называть инволюцию

/о •• (X, У, 2) «-> (-Х, у, г), х, у £ С, г £ С"-2;

3. Антиимметрией (стандартной) будем называть антиголоморфную инволюцию „комплексное сопряжение":

а : (х,у,г) (х,у,г), х,у £ С, 2 £ С"-2;

Эти три структуры будем называть элементарными структурами. Структурой будем называть любой набор элементарных структур.

Соответственно трем элементарным структурам определим пространства Вэя Л, состоящие из всех ростков .Р : (С™, 0) —> (С™, 0) класса Д^д, согласованных с соответствующей структурой в следующем смысле:

1. Р*ак = ак\

2. /0о,Р = ^о/0)гдее=(-1)9;

3. а о ^ = ^ о а.

Пусть, далее, группа О^5 состоит из всех локальных голоморфных замен координат Я в (С™,0), сохраняющих структуру я в следующем смысле:

1. Н*ак = ак;

2. /0 о Я = Я о /0

3. а о Н — Я о а.

Для неэлементарной структуры я, пространства В3Х и ^Ц3 определим как пересечения пространств, соответствующих элементарным структурам струкуры я.

Требуется: получить классификацию ростков класса В3 Л по действию группы О^3 (соответствующая формальная классификация тривиальна: любой росток из непустого класса В*х формально ^-эквивалентен см. раздел 2.8.5 диссертации).

Теорема 2.1.6 Классификация ростков класса ВдХ по действию группы ОЩ1* имеет (в случае В3Х функциональные модули.

Обозначим через М"д Л пространство модулей из теоремы 2.1.6. Это пространство строится точно так же, как и пространство -М9,а'- надо только дополнить определения 1-коциклов и 0-коцепей соответствующими условиями сохранения структуры е. Как и в теореме 2.1.5, пространство модулей в теореме 2.1.6 бесконечномерно (является „функциональным").

Последние три пункта второй главы посвящены так называемой задаче Дарбу-Уитни.

Ласточкиным хвостом называется поверхность (с особенностями) Г, состоящая из всех точек (А, В, С) £ К3, таких, что уравнение х4 + Ах2 + Вх + С — 0 имеет кратные корни; произведение Л = Г х М С I4 называется расширенным ласточкиным хвостом.

Симплектической структурой в (К4,0) называется росток в нуле невырожденной замкнутой 2 - формы с вещественно-аналитическими коэффициентами. Две симплектические структуры называют эквивалентными (гладко. аналитически, формально), если одну из них можно перевести в другую локальным диффеоморфизмом (соответственно гладким, аналитическим или формальным).

Теорема.(Формальная теорема Дарбу-Уитни, В.И.Арнольд 26.) Симплек-тическая структура общего положения (= невыроэ/сденная на плоскости В=С=0) приводится к стандартному виду

иа = ¿АьйБ + йС Ь йВ

формальным диффеоморфизмом, сохраняющим расширенный ласточкин хвост.

Этот результат можно понимать и как утверждение о возможности одновременной нормализации симплектической структуры ("по Дарбу") и гиперповерхности с особенностями ("по Уитни"), что и объясняет название задачи.

Пусть Сщу ~ пространство типичных симплектических структур из формальной теоремы Дарбу-Уитни. А - диффеоморфизмом будем называть росток замены координат Н : (К4,0) —► (К4,0), переводящий росток в нуле расширенного ласточкина хвоста в себя. Задачей Дарбу-Уитни будем называть задачу о классификации симплектических структур из по действию

группы А - диффеоморфизмов; при этом будем рассматривать формальный, "ладкий и аналитический варианты задачи (а также и её комплексную вер-:ию) .

Формальное решение задачи Дарбу-Уитни (в вещественном случае) дается ¡формулированной выше теоремой. Ясно, что аналогичный результат справедлив и в комплексном случае. Решение аналитической задачи Дарбу-Уитни дается следующими теоремами

Теоремы 2.9.9,2 и 2.9.10 (Аналитическая теорема Дарбу-Уитни.) Ана-

^Арпольд В.И. Лагранжевы многообразия с особенностями, асимптотические лучи и раскрытый ла-точкин хвост // Функц. анализ и его нрил. - 1981. - 15, №4. С. 1-14.

литическая задача Дарбу-Уитни имеет функциональные модули; пространством модулей является пространство .М^д, при <7 = 5, и структурами в — (1о,ао,ай) в вещественном (и в = (7о,ао) - в комплексном) случаях .

В качестве следствия вещественной версии этой теоремы (точнее, из существования соответствующих я—нормализующих атласов) легко получить, что в вещестенном случае все симплектические структупы из цг гладко Л-эквивалентны (теорема 2.9.9,1).

Схему редукции задачи Дарбу-Уитни к соответствующей классификационной задаче для классов предложенную В.И.Арнольдом, можно грубо описать так. Пусть 7 - линия самопересечения ласточкина хвоста Г (она состоит из точек (А, В, С), соответствующих уравнениям с двумя кратными корнями), и 7 = 7 х К - расширенная линия самопересечения Пересечение малой окрестности точки р 6 7,р ^ 0 с А состоит из двух „листов". Первая инволюция Арнольда переставляет эти листы (и действует она на пространстве 7 пар (точка из 7, „лист"в этой точке)). Далее, характеристики (= интегральные кривые поля ядер сужения симилектической структуры на Л) уходят с 7 по одному листу, и возвращаются на 7 по другому; это определяет на 7 вторую инволюцию Арнольда. Композиция инволюций Арнольда и есть соответствующее симилектической структуре отображение класса Вч.

В третьей главе исследуется аналитическая классификация резонансных седел и седлоузлов.

Пусть V - класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с невырожденной особой точкой 0. Два ростка из V называются аналитически (формально) эквивалентными, если один росток можно перевести в другой локальной голоморфной (формальной) заменой координат.

Два ростка из V называются аналитически (формально) орбиталъно эквивалентными. если один росток можно перевести в другой локальной голоморфной (формальной) заменой координат с последующим умножением на обратимый росток голоморфной функции (формальный степенной ряд с

ненулевым свободным членом).

Росток v £ V называется седловым (седловым резонансным), если отношение собственных значений его линеаризации в нуле есть отрицательное вещественное (отрицательное рациональное) число.

Через Vs и VSR обозначим класс седловых ростков из V и класс седловых резонансных ростков из V соответственно. Известно, что типичный росток из yS\ySR можно линеаризовать голоморфной заменой координат. Из теоремы Пуанкаре-Дюлака следует, что типичный росток класса VSR нелинеаризуем (даже формально), однако его можно значительно упростить формальной заменой координат. Более того, несложно проверить (см. п.3.2 диссертации), что типичный росток из VSR формально эквивалентен одному из ростков

д д vx,c = Aia:(l 4- u)— + Д2у(1 + cxu + с2«2)—,

где Л = (АьЛг), ^ = —р,q G N, | - несократимая дробь, и — х9ур, С - (сьс2) G С2, ci f 1.

Пусть Va,с _ класс формальной эквивалентности ростка v\c. В работе показано, что аналитическая классификация ростков класса V\ c имеет функциональные модули; описание их приводится ниже.

Пусть М. - пространство всех наборов {</>±, ф±} таких, что ip+ и голоморфны в (С, 0), </?+(0) = ¥>+(0) = 1р+{0) = 0; (р- и ф- голоморфны в (С, оо), tp-( оо) = ф-( оо) = 0.

Два набора {<р±, ф±} и ф±\ из ЛЛ назовем эквивалентными, если для некоторого с G С»

<P±{cz) = сф±(г),ф±(сг) = ф±(г).

Пусть M - пространство классов эквивалентности наборов из Л4.

Основным результатом первой части третьей главы является следующая теорема

Теорема 3.1.2 (Теорема об аналитической классификации резонансных

седел). Пространство M есть пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков класса Vx,c

Орбитальная аналитическая классификация резонансных седел была получена Мартине-Рамисом 27. Как это следует из построения (см. и.3.1.4), „(р-компонента" модуля из теоремы 3.1.2 является, фактически, модулем Мартине-Рамиса орбитальной аналитической классификации (мы только удалили у модулей Мартине-Рамиса их линейые компоненты - они определяются формальными параметрами). Т.о., видим, что аналитическая классификация (типичных) резонансных седел имеет в два раза больше модулей (как числовых, так и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической.

В теореме 3.1.2 автору принадлежит основной частный случай р = q = 1; в общем случае (а также и в случаях более высокой коразмерности) теорема доказана его соавтором А.Гринчий 28 ( см. также [16]).

Опишем коротко схему доказательства теоремы 3.1.2. Пусть v - росток класса V>;C. Л = (Ai, Аг) - спектр его линеаризации в нуле. Пусть Sv - его сепаратриса, соответствующая собственному значению Ai, и Г - трансверсаль к Sv в точке Po. Заметим, что все интегральные кривые ограничения v на Sv периодичны, с периодом io = Поэтому интегральная кривая ноля и, выходящая из точки Р 6 Г, близкой к Pq, через время t(P), близкое к ¿о, возвращается на Г (приходит в некоторую точку Q € Г). Назовем преобразованием t—монодромии ростка v отображение 6 : (P,t) н-> (Q,t + t(P)) (его первая компонента - обычное преобразование монодромии). Оказывается, преобразование t—монодромии при исследовании аналитической эквивалентности векторных полей играет в точности ту же роль, что классическое преобразование монодромии - при исследовании орбитальной эквивалентности.

Отождествляя (Г,Р0) с (С, 0), видим, что преобразование t—монодромии

27Martinet J.} Ramis J.P. Classification analytique des équations différentielles non linéaires resonnantes du premier ordre. Ann. Sei. École norm, supér., 1983, 16, Л'>4, p. 571-621.

28Гринчий A.A. Аналитическая классификация седловых резонансных особых точек на комплексной плоскости. Дец. в ВИНИТИ 24.05.96 , №1690 -В96, 24 С.

имеет вид

5:(2>*)1-»(Д(г),« + ф)), 6 : (С, 0) х С —> (С, 0) х С (3)

Назовем ¿—сдвигом любое (голоморфное) отображение вида (3); два ¿—сдвига будем называть эквивалентными, если их можно сопрячь некоторым ¿—сдвигом. Наконец, пусть Д\,с- класс всех ¿-сдвигов, формально эквивалентных преобразованию ¿-монодромии формальной нормальной формы г>д)С.

Теорема 3.3.1 (Теорема о редукции) Преобразование Ь-монодромии ростка из является Ь-сдвигом из 0\с. Два ростка из У\с аналитически эквива^гентны, если и только если аналитически эквивалентны их преобразования Ь-монодромии. Любой Ь-сдвиг из Д\,с является преобразованием 1-монодромии некоторого ростка из

Эта теорема аналогична „орбитальной" теореме о редукции из 9'15 . Эта теорема сводит задачу об аналитической классификации ростков класса У\ с к задаче об аналитической классификации ¿—сдвигов из Цх,с-

Аналитическая классификация ¿—сдвигов исследуется в п.3.4 третьей главы. Основным результатом этого пункта является следующая

Теорема 3.4.1 (Теорема об аналитической классификации ¿—сдвигов) Пространством модулей в задаче об аналитической классификации ¿—сдвигов из 0\ с является пространство М из теоремы 3.1.2.

Теорема 3.1.2 есть простое следствие теорем 3.3.1 и 3.4.1.

Остальная часть третьей главы посвящена аналитической классификации седлоузлов.

Пусть Уо — класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с изолированной вырожденной элементарной особой точкой 0 (т.е. таких, что линейная часть ростка в нуле вырождена, но не все ее собственные значения равны 0).

Как известно, каждый росток из Уо формально орбиталыю эквивалентен

одному из ростков вида

д д л „

= + ХеС■

Обозначим через УР)л — класс ростков, формально орбитально эквивалентных ростку

Также несложно проверить (см. н.3.5.1), что каждый росток из Ур>л формально эквивалентен одному из ростков вида

р

Ур,х,а = иР,А ■ а(у), где а(у) = ^сад*, а0 ф 0, ак £ С

к=О

Через Урха обозначим класс ростков из У0) формально эквивалентных ростку УрХа- Аналитическая классификация ростков класса УРХа дается приводимой ниже теоремой.

Пусть Мр,х ~ пространство всех наборов (с, ф, гр) таких, что с £ Ср: ф — (<Р1,..., <рр), ф = ('фи..., -фр), щ и -ф, голоморфны в (С, 0); <^(0) = ^(0) = 0, ^(0) = 1, Ук < р, ^(0) = ехр(2тггА).

Пусть ра - наибольший общий делитель р и всех тех к £ {1,... для которых ак ф 0; па — р/ра- Два набора (с, ф, ф) и (с, ф, ф) из Л4Р,\ будем называть эквивалентными, если для некоторого С £ С», С = (С\,..., Ср) и некоторого 5 £ 2, 0 < э < ра

С]+зпа = Сгс^ ф]+БПа(г) = С]+\+впа(р^(С} 1г), ^+«„„(¿0 = М (4)

(нумерацию считаем циклической).

Пусть МрХа ~ пространство классов эквивалентности из Л4Р^. Теорема 3.5.4 (Теорема об аналитической классификации ростков из Ур,\,а) Пространство Мр\а есть пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков ыасса Ур^а

Орбитальная аналитическая классификация седлоузлов была получена

Мартине-Рамисом 2Э. Как это следует из построения (см. п. 3.7.1),"с" и „ф" -компоненты модуля из теоремы 3.5.4 являются, фактически, модулем Мартине-Рамиса орбитальной аналитической классификации из 8 . Т.о., видим, что, как и в случае резонансных седел, аналитическая классификация седлоузлов имеет в два раза больше модулей (как числовых, так и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической.

В теореме 3.5.4 автору принадлежит основной частный случай р = 1; в общем случае теорема доказана его соавтором Ю.Мещеряковой, см. [7, 8].

Отметим также, что независимо и одновременно, классификационная теорема 3.5.4 была доказана Л.Тессье 30, но совершенно иным способом. Именно, Тессье классифицирует ростки, пропорциональные данному; вместе с теоремой Мартине-Рамиса это дает классификационную теорему 3.5.4. Мы же следуем традиционной (для данной работы) схеме построения функциональных инвариантов: строим нормализующий атлас, из функций перехода которого затем и изготавливаются модули аналитической классификации. Отметим, что доказанная при этом теорема о секториальной нормализации ростков класса Vp,A,a является обобщением аналогичной теоремы Хукухара, Кимура и Матуда, и имеет самостоятельное значение.

Теорема о секториальной нормализации доказывается в разделе 3.5 с помощью теоремы о сжимающих отображениях. Полное доказательство теоремы 3.5.4 приведено в п. 3.7; доказательство утверждения о реализации модулей проводится с помощью почти комплексных структур, и использует аналогичные результаты из второй главы работы.

В четвертой главе работы исследуются неэлементарные особые точки голоморфных векторных полей на плоскости.

Пусть V - класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с изолированной особой точкой 0. Пусть V„ - класс ростков из V с нулевой (п—1)-струёй

29J.Martinet and J.P.Ramis, РгоЫ'ете de modules pour des 'equations différentielles non lin'eaires du premier ordre. Inst. Hautes 'Etudes Sci.PublMath.(1982 55,pp.63-164).

30L.Teyssier Analytical classification of singular saddle-node vector fields. Journal of Dynamical and Control Systems . 2004, Vol.10, N. 4, P.577-605

в нуле, п > 2.

Основным результатом этой главы является следующая теорема

Теорема 4.1.1 (Теорема о жесткости для класса Vn)

Из формальной орбитальной эквивалентности типичных ростков класса V„ следует их аналитическая орбитальная эквивалентность.

При дополнительном предположении о существовании голоморфного семейства попарно формально орбитально эквивалентных ростков, содержащем два данных ростка ( и существенно менее обременительных ограничениях общности положения ) это утверждение доказано в работе 31.

Доказательство теоремы 4.1.1 основано на теореме о жесткости для конеч-нопорожденных неразрешимых групп ростков одномерных голоморфизмов Серво-Муссю-Рамиса.

Проблемой Тома для задачи об аналитической классификации объектов данного класса называют задачу об отыскании минимальной системы инвариантов, однозначно определяющей аналитический тип объекта Для ростка v класса Vn, инвариантом орбитальной аналитической эквивалентности является класс [С?„] аналитической сопряженности его проективной группы монодромии Gv, а также и класс [5„] аналитической эквивалентности его се-паратрисного множества Sv. В течении некоторого времени считалось, что эта пара инвариантов (удовлетворяющих некоторым естественным условиям согласованности с классом V„) и является инвариантами Тома в задаче об орбитальной аналитической классификации (типичных) ростков из V„. И, хотя позже эта гипотеза и была опровергнута 32, вопрос о независимости этих двух инвариантов оставался актуальным. Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой

Теорема 4.1.3 (Теорема о реализации)

Для любой пары (G, S), удовлетворяющей естественным условиям со-

31L. le Floch Theorem de rigidité pour une famile a un paramétré d1 équations différentielles holomorphes, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 319, Serie I (1994), 1197-1200.

32J.F.Mattei and E.Salem Complété system of topological and analytical invariants for a generic foliation of (C2,0). Math.Res.Letters 4 (1997), No 1, 131-141.

гласованности, найдется росток v класса Vn, такой, что S = Sv uG = Gv

Эта теорема является усилением известной теоремы Л.Нето 33 о реализации монодромии. Доказывается теорема о реализации в и.4.3 диссертации. Доказательство реализуемости монодромии основано (как и в теореме Л.Нето) на теореме Грауэрта о „схлонывании". Однако необходимость одновременно реализовать и сепаратрисное множество потребовало довольно тонкой „хирургической" работы (отрезания и переклеивания) на построенном „по Грауэрту" многообразии.

Благодарности. Автор благодарен Ю.С.Ильяшенко за постановку задач, постоянное внимание к работе и многочисленные ценные обсуждения. Автор благодарен В.И.Арнольду и М.Я.Житомирскому - за постановку задач и ценные обсуждения. Автор благодарен своим младшим коллегам - Алене Гринчий, Юле Мещеряковой, Наташе Пазий и Алеше Воронину - за помощь в наборе текста.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 10-01-00587-а и ФЦП 02.740.110612.

Список публикаций по теме диссертации

1. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков конформных отображений в нуле с тоэюдественной линейной частью. Успехи математических наук, т.35 №4 (1980), 152-153.

2. Воронин С.М. Аналитическая к^шссификация ростков конформных отображений (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частью. Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 1, с. 1—17.

3. Воронин С.М. Три задачи ансыитической классификации. Депонированная рукопись, МГУ, М., 1981, 29 стр. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 8 июля 1981 г., №3333-81 Деп.).

33Lins-Nct,o, Л. Construction of singular holom.orphic foliations in dimension turn J. Diff. Gcom. 26 (1987), 1-31.

4. Воронин С.М. Аналитическая классификация пар инволюций и ее приложения // Функц. анализ и его прил. -1982. - 16, №2. - С. 21-29.

5. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков голоморфных отображений с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами, и ее приложения. Вестник ЧелУ, Сер. 3 Мат., Мех., 1999,2(5), с. 12-30.

6. Воронин С.М. Орбитальная аналитическая эквивалентность вырожденных особых точек голоморфных векторных полей на комплексной плоскости. Тр.Мат.Инст. им Стеклова.213 (1997), Дифференциальные уравнения с вещественным и комплексным временем, с. 35-55.

7. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация типичных вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей 7ia комплексной плоскости // Известия вузов. Математика, 2002, №1, С. 13-16.

8. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация сед-лоузлов. Тр.ММО, 66 (2005), с.93-113.

9. Воронин С.М., Л.Ортис-Бобадилла, Э.Росалес-Гонсалес Проблема Тома в задаче об орбитальной аналитической классификации вырожденных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости. ДАН 2010, т. 434, №4, с. 443-446.

10. Elizarov, Р.М; Ilyashenko, Yu.S; Shcherbakov, А.А. and Voronin, S.M., Finitely generated groups of germs of one-dimensional conformal mappings, and invarian for complex singular points of analytic foliations of the complex plane, In Adv. Soviet Math., 14, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993. pp. 57-105.

11. Ortiz-Bobadilla, L.; Rosales-Gonzalez,E.; Voronin,S.M. Rigidity theorem for degenerated singular points of germs of holomorphic vector fields in the complex plane. J. Dynam. Control Systems 7 (2001), no. 4, 553-599.

12. Ortiz-Bobadilla,L., Rosales-Gonzalez,E., Voronin,S.. Rigidity theorem, for degenera. singular points of germs of dicritic holomorphic vector fields in the complex plane. Mosc. Math. J. 5 (2005), no. 1, 171-206.

13. L.Ortiz-Bobadilla, E.Rosales-Gonzalez, S.M.Voronin. Extended Holonomy and Topological invariance of Vanishing Hlonomy Group. J. Dynam. Control Systems , Vol. 14, No.3, (2008), no. 4, pp. 299-358.

14. Ortiz-Bobadilla, L. ; Rosales-GonzFyiez, E.; Voronin, S. M. Analytic normal forms of germs of holomorphic dicritic foliations. Mosc. Math. J. 8 (2008), no. 3, 521-545, 616.

15. Ortiz-Bobadilla, L. ; Rosales-Gonzalez, E. ; Voronin,S.M. On Camacho-Sad's Theorem about the existence of a separatrix. Int. J.Math.,vol.21, 9, p.l-8.

16. Voronin S.M., Grinchii A.A. An analytic classification of saddle resonant singular points of holomorfic vector fields in the complex plane . J. Dynam. Control Systems, 1996. 2, №1. R 21-53.

17. Voronin S.M. Darboux-Whitney's Problem and Related Questions// Nonlinear Stokes Phenomena. - Il'yashenko Yu., editor. Adv. in Sov.Math., 14, Amer. Math. Soc., Providence, 1993. P.139-233.

L8. Voronin, S. M. Invariants for singular points of holomorphic vector fields on the complex plane. The Stokes phenomenon and Hilbert's 16th problem (Groningen, 1995), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1996. P.305-323,

0 Введение

1 Одномерная динамика

1.1 Аналитическая классификация ростков конформных отображений (С, 0) —>■ (С, 0) с тождественной линейной частью

1.1.1 Классы А и Лп. Теорема об аналитической классификации ростков класса Л2.

1.1.2 Формальная классификация

1.1.3 Квазиконформные отображения.

1.1.4 Основная лемма.

1.1.5 Аналитическая классификация отображений из Л2■ Построение модулей.

1.1.6 Аналитическая классификация отображений из Аг- Реализация

1.1.7 Простейшие следствия.

1.2 Скрытая динамика. Постановка задач. Результаты.

1.2.1 Пары инволюций.

1.2.2 Задача о распаде симметрии.

1.2.3 Огибающая семейства плоских кривых.

2 Многомерная динамика

2.1 Многомерная динамика: ростки отображений.

2.1.1 Содержание и структура раздела.

2.1.2 Ростки голоморфных отображений с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами

2.1.3 Орбитальная аналитическая классификация ростков голоморфных векторных полей с неизолированными особыми точками и постоянными характеристическими показателями

2.1.4 Гиперповерхности в симплектическом пространстве

2.1.5 Вырождения почти симплектических и почти контактных структур.

2.2 Формальная классификация ростков класса В\.

2.2.1 Ростки полуформальных отображений.

2.2.2 Теорема о формальной классификации ростков класса

2.2.3 Гомологическое и вспомогательное уравнения.

2.2.4 Существование формальной нормализующей замены

2.2.5 Единственность нормированной формальной нормализующей замены.

2.2.6 Теорема о формальной классификации ростков класса

Вд,х.Ш

2.3 Секториальные решения гомологического уравнения

2.3.1 Секториальные решения вспомогательного уравнения

2.3.2 Оценка ядра

2.3.3 Оценка секториального решения вспомогательного уравнения

2.3.4 Секториальные решения однородного вспомогательного уравнения.

2.3.5 Асимптотические ряды

2.3.6 Теорема о векториальных решениях гомологического уравнения.

2.3.7 Примеры

2.4 Теорема о секториальной нормализации для класса В\

2.4.1 Формулировка и схема доказательства.

2.4.2 Один шаг метода последовательных приближений

2.4.3 Доказательство теоремы 2.4.1.

2.4.4 Асимптотические ряды секториальной нормализующей замены.

2.5 Теорема о функциональных инвариантах для класса В\.

2.5.1 Нормализующий атлас.

2.5.2 Системы функций перехода.

2.5.3 Функциональные инварианты. Теорема В\.

2.5.4 Эквивалентность и эквимодальность.

2.5.5 Реализация функциональных инвариантов.

2.5.6 Аналитическая зависимость от параметра.

2.5.7 Локальное множество когомологий-отображений на фактор-пространстве

2.5.8 Класс покрытий

2.5.9 Замечания о терминологии.

2.6 Нетривиальность пространства модулей для класса В\

2.6.1 Субгармоническая лемма.

2.6.2 Лемма об аналитическом продолжении.

2.6.3 Простые и специальные склейки.

2.6.4 Примеры нетривиальных склеек.

2.6.5 Замечания.

2.7 Ростки отображений, сохраняющих дополнительные структуры

2.7.1 Структуры

2.7.2 Определения и обозначения.

2.7.3 s - нормализующие атласы.

2.7.4 Основная теорема В{.

2.7.5 Согласованные структуры и их комбинации.

2.7.6 Примеры нетривиальных s - склеек.

2.7.7 Замечания и дополнения

2.8 Пространства Bq, Bsq и BsqX (общий случай).

2.8.1 Класс Bq. Теорема Bq

2.8.2 Класс Bq\ примеры.

2.8.3 Класс Bsq.

2.8.4 Пары вещественно-аналитических инволюций, сохраняющих почти симплектическую структуру.

2.8.5 Классы Вд>д и BqX. Теоремы B4i\ и BqX

2.9 Теорема Дарбу-Уитни. Редукция к общей классификационной задаче. Формулировки результатов.

2.9.1 Постановка задачи.

2.9.2 Параметризованный расширенный ласточкин хвост Л и Л-диффеоморфизмы.

2.9.3 Л-формы.

2.9.4 Л-симплектические структуры и их А-эквивалентность.

2.9.5 След А-симплектической структуры на расширенной линии самопересечения.

2.9.6 Вещественные варианты теоремы Дарбу-Уитни.

2.9.7 Комплексный случай.

2.10 Внутренняя геометрия А и теоремы о продолжении с А.

2.10.1 Кольца и модули, связанные с А.

2.10.2 Основная лемма и ее следствия.

2.10.3 Доказательство теоремы 2.9.2.

2.10.4 Теоремы о продолжении А-форм.

2.10.5 Теоремы о А-симплектических стуктур.

2.11 Теоремы о следах Л-симплектических структур.

2.11.1 Полу нормализующие замены.

2.11.2 Доказательство леммы 2.9.1.

2.11.3 Доказательство теоремы 2.9.7.

2.11.4 Доказательство теоремы 2.9.8.

3 Векторные поля

3.1 Резонансные седла. Постановка задачи. Результаты.

3.1.1 Эквивалентность и орбитальная эквивалентность. Формальные нормальные формы и vp^a.

3.1.2 Орбитальная аналитическая классификация ростков класса Vp>q>a.

3.1.3 Аналитическая классификация ростков из Va,с.

3.1.4 Геометрическое описание модулей орбитальной аналитической эквивалентности.

3.1.5 Геометрическое описание модулей аналитической классификации.

3.1.6 Простейшие приложения.

3.1.7 Организация.

3.2 Формальная эквивалентность седловых резонансных ростков.

3.2.1 Доказательство теоремы 3.1.1.

3.2.2 Предварительная нормализация ростков класса V\jC аналитической заменой координат.

3.2.3 Формальная группа симметрий ростков класса У\)С.

3.3 Редукция задачи об аналитической классификации ростков векторных полей к задаче аналитической классификации преобразований t-монодромии.

3.3.1 Преобразование i-монодромии. Теорема о редукции.

3.3.2 Лемма об аналитическом продолжении. Оценки решений.

3.3.3 Лемма о пересечении с трансверсалью.

3.3.4 Отображение ¿-соответствия.

3.3.5 Доказательство первого утверждения теоремы 3.3.1.

3.3.6 Доказательство второго утверждения теоремы 3.3.1.

3.3.7 Реализация.

3.3.8 Аналитическая зависимость от параметра.

3.4 Аналитическая классификация ¿-сдвигов из пространства £>а,с

3.4.1 Предварительные сведения о резонансных ростках одномерных отображений.

3.4.2 Инварианты аналитической классификации ¿-сдвигов. Теорема об аналитической классификации.

3.4.3 Доказательство лемм 3.4.1 и 3.4.2.

3.4.4 Доказательство второго утверждения теоремы 3.4.1.

3.4.5 Доказательство третьего утверждения теоремы 3.4.1.

3.4.6 Преобразование Бореля. Доказательство леммы 3.4.3.

3.4.7 Сюрьективность отображения 6*.

3.4.8 Доказательство леммы 3.4.4.

3.4.9 Доказательство леммы 3.4.5.

3.5 Седлоузлы. Постановка задачи. Определения и формулировки.

3.5.1 Формальная классификация. Классы УР)л,о и • • • ^

3.5.2 векториальная нормализация.

3.5.3 Аналитическая классификация.

3.6 Доказательство теоремы о секториальной нормализации

3.6.1 Схема доказательства.

3.6.2 Гомологическое уравнение.

3.6.3 Редукция гомологического уравнения к вспомогательному уравнению

3.6.4 Существование и единственность решения вспомогательного уравнения.

3.6.5 Оценки решений вспомогательного уравнения

3.6.6 Свойства выпрямляющего отображения А. Стандартные области

3.6.7 Решение гомологического уравнения в области

3.6.8 Предварительные оценки.

3.6.9 Оценки оператора

3.6.10 Сжимаемость оператора Существование решения Ь системы (3.57)

3.6.11 Доказательство второго утверждения теоремы 3.5.

3.6.12 Окончание доказательства теоремы 3.5.3.

3.7 Доказательство теоремы об аналитической классификации седлоузлов.

3.7.1 Схема доказательства.

3.7.2 Нормализующий атлас и его функции перехода

3.7.3 Пространство модулей ИТ.

3.7.4 Построение биекции П2 : Ш7 —> М.р,\.

3.7.5 Доказательство теоремы 3.5.4.

4 Теорема о жесткости и Проблема Тома.

4.1 Определения и формулировки.

4.1.1 Классы Уп. Орбитальная аналитическая и орбитальная формальная эквивалентность.

4.1.2 Раздутия. Классы Е.

4.1.3 Оснащенные сферы. Классы Т,'п и Е(£о).

4.1.4 Группа монодромии ростка класса Е(¿о).

4.1.5 Сепаратрисные множества.

4.1.6 Теорема о жесткости.

4.1.7 Теорема о реализации.

4.2 Доказательство теоремы о жесткости.

4.2.1 Орбитальная эквивалентность невырожденнх особых точек.

4.2.2 Схема доказательства теоремы 4.1.2.

4.2.3 Доказательства лемм 4.1.1-4.1.6.

4.2.4 Вспомогательное слоение.

4.2.5 Структура слоений вблизи кривых касания.

4.2.6 Группы монодромии формально орбитально эквивалентных ростков.

4.2.7 Доказательство теоремы 4.1.2.

4.2.8 Доказательство леммы 4.2.6.

4.3 Доказательство теоремы о реализации.

4.3.1 Схема доказательства.

4.3.2 Редукция к лемме о факторизации.

4.3.3 Нормированные решения задачи о факторизации.

4.3.4 Доказательство леммы 4.3.1.

Величайшим открытием Ньютона был тот факт, что огромное количество окружающих нас эволюционных процессов описывается дифференциальными уравнениями. Однако в первой половине девятнадцатого века стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений не решается в квадратурах. В 1880-х годах Пуанкаре [123], [124] предложил двоякую стратегию преодоления этой трудности. Во первых, он поставил задачу исследования свойств дифференциального уравнения непосредственно по его правой части. Так возникла качественная теория дифференциальных уравнений. Во вторых, Пуанкаре сформулировал следующий принцип: дифференциальные уравнения нужно не решать (всё равно это в большинстве случаев невозможно), а выбирать систему координат, в которой уравнение имеет по возможности простой вид. Так родилась теория нормальных форм.

Предлагаемая работа относится к теории нормальных форм дифференциальных уравнений и отображений, а также приложениям этой теории к исследованию особенностей отображений и родственным задачам локального анализа.

Опишем кратко историю развития теории нормальных форм. Первый вопрос, поставленный этой теорией и сохранивший актуальность до наших дней: в какой мере векторное поле или отображение в окрестности точки покоя похоже на свою линейную часть в этой точке? Первые достаточные условия эквивалентности векторного поля своей линейной части дал Пуанкаре [124]. Они состояли в отсутствии резонансов и малых знаменателей. Прошло 60 лет прежде чем были преодолены трудности, связанные с малыми знаменателями: Зигель доказал, что седло аналитически эквивалентно своей линейной части, если её собственные значения образуют так называемый Диофантов набор, [36]. Дальнейшие крупные продвижения в этой задаче связаны с работами Брюно [16] и Иоккоза [147]. Отметим, что статья [147] вошла в список работ, за которые Йоккоз был удостоен Филдсовской медали в 1994 году.

Необходимым условием аналитической эквивалентности векторного поля (отображения) своей линейной части является условие линейности формальной нормальной формы. В случае нелинейной формальной нормальной формы, аналитическая классификация векторных полей и отображений до начала 1970х годов не была развита даже в размерностях 1 для отображений и 2 для векторных полей.

Фундаментальный результат в аналитической теории нелинейных нормальных форм был получен Брюно [16]. Брюно указал необходимые и достаточные условия на нормальную форму резонансного векторного поля (отображения), при выполнении которых формальная нормальная форма может быть выбрана сходящейся и нормализующее преобразование также аналитично. Тем самым была полностью решена задача о соотношении аналитической и формальной классификаций векторных полей и отображений. Однако вопрос об аналитической классификации резонансных векторных полей и отображений оставался открытым. Этот вопрос можно сформулировать так: при каких условиях ростки двух векторных полей (отображений) аналитически эквивалентны? Другими словами, какова полная система инвариантов, совпадение которых необходимо и достаточно для аналитической эквивалентности двух ростков?

В 1981 году ответ на этот вопрос для простейшего класса так называемых одномерных параболических ростков отображений был дан н«^зависи мо: автором [20], февраль; Экаллем [80], май; Мальгранжем [101], ноябрь. Оказалось, что аналитическая классификация ростков конформного: отоб-раэюений г I-)- я -1- аг2 + Ъг2, + ., а ф 0 имеет функциональные модули. После этого функциональные модули были обнаружены во многих других классификационных задачах: ^ задаче о классификации особых точек голоморфных слоений (седлоузлы [104] и резонансные седла [105]) на плоскости, Мартине-Рамис; в аналогично^ задаче для векторных полей([144], [30], [25], [26], [141]); в задаче о классис^>икации исключительных разрешимых конечно порожденных групп ростков одномерных голоморфизмов [83], [149], и в других задачах (см. [22], [45], [74],.).

Описанию функциональных модулей в задачах аналитической кл;о,ссифи кации резонансных векторных полей и отображений посвящены пер>^ые ТрИ главы диссертации. Одномерные отображения рассматриваются ^ первой главе; во второй главе изучаются многомерные отображения, а в третьей -векторные поля на плоскости.

В диссертации обсуждаются также приложения полученой классификации к задачам теории особенностей. В конце 1970х годов В.И.Арнольд заметил, что в ряде локальных задач присутствует „скрытая динамика". Это значит, что существует геометрические объекты, по которым инвариантным образом можно построить локальную динамическую систему. АрнолЬд указал несколько таких задач (задачу о парах инволюций, задачу о распаде симметрии, задачу об огибающей плоской кривой, и др.), с которыми инвариантным образом связаны ростки отображений (1). Таким образом, в этих задачах аналитическая эквивалентность геометрических объектов влечет аналитическую эквивалентность соответствующих „скрытых Динамических систем". Автором были решены перечисленные выше задачи и, тем самым, найдены функциональные инварианты в задачах теории особенностей. Результаты эти излагаются во второй половине первой главы.

В.И.Арнольд указал также, что определенные инвариантным образом пары ростков (многомерных) инволюций встречаются и в других задачах теории особенностей, например, в задаче об обходе препятствия [11], или в так называемой задаче Дарбу-Уитни (задаче об одновременной нормализации симплектической структуры и гиперповерхности с особенностями), см.[11], [4], [3]. В этих задачах, возникающих в случаях малой коразмерности, инволюции имеют общее зеркало, так что их композиция является ростком отображения, неподвижные точки которого образуют гладкую гиперповерхность. Систематическому исследованию таких „сильно вырожденных" ростков отображений посвящена вторая глава диссертации. Оказалось, что в этой классификационной задаче также возникают функциональные модули. В качестве приложения этих результатов, здесь же приводится решение задачи Дарбу-Уитни в аналитическом и гладком случаях (формальное решение было получено ранее В.И.Арнольдом [4]). В дальнейшем выяснилось, что полученные во второй главе диссертации результаты могут быть использованы и в других классификационных задачах (см. [9]), например, в задаче Биркхофа о классификации пар гиперповерхностей симплектическо-го пространства. На возможность приложения этих результатов при исследовании вырождений почти симплектических и почти контактных структур (см. [146]) указал автору М.Я.Житомирский. Обширный список возможных приложений результатов второй главы приводится в Заключении диссертации.

Стандартный способ исследования особой точки векторного поля состоит в рассмотрении соответствующего ей преобразования монодромии (отображения Пуанкаре, отображения последования, first return шар). Это позволяет понизить размерность задачи: орбитально эквивалентные векторные поля имеют эквивалентные преобразования монодромии, и наоборот, см. [33]. Именно с использованием этой схемы Мартине и Рамис [105] (см. также [42]) построили аналитическую классификацию седловых резонансных особых точек голоморфных слоений на плоскости. Однако для исследования аналитической (неорбитальной) классификации особых точек векторных полей информации о поле, которую содержит соответствующее полю преобразование монодромии, недостаточно. Автором было предложено вместо преобразования монодромии рассматривать „преобразование ^монодромии" (надстройку над классическим преобразованием монодромии, показывающую, за какое время точка из трансверсали возвращается на трансверсаль). Классификация таких „надстроек" (называемых ниже ^сдвигами) приводится в третьей главе. Эта классификация (в резонансном случае) также имеет функциональные модули (легко описываемые в терминах из первой главы). На основе этой классификации, в третьей главе получена аналитическая классификация (типичных) седловых резонансных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости. Тем самым, получен аналог результата Мартине-Рамиса (для седел). В этой же главе получен аналог и другого результата Мартине-Рамиса (для седлоузлов, [104]), но- с использованием другой техники (дело в том, что не все „формально подходящие" ^-сдвиги „подходят аналитически"). По этой причине функциональные инварианты для седлоузлов строятся с помощью так называемых „нормализующих атласов"; в частности, здесь доказана теорема о секториальной нормализации, обобщающая известный результат Хукухара, Кимура и Матуда [90].

В случае общего положения, (локальная) аналитическая и формальная классификации совпадают: типичное векторное поле (отображение) в окрестности его особой (неподвижной) точки эквивалентно линейному. При наличии резонансов, формальная нормальная форма, вообще говоря, нелинейна, а формальная и аналитическая классификации могут совпадать ( резонансы в области Пуанкаре) или не совпадать (появляются функциональные инварианты - в случае резонансов в области Зигеля). В случаях более высокой коразмерности (нулевой спектр линеаризации поля в особой точке, например) уже формальная классификация необозрима (имеет функциональные модули). Оказалось, что, удивительным образом, в этой вырожденной ситуации аналитическая и формальная классификации вновь, как правило, совпадают. Результаты такого рода (формальная эквивалентность влечет аналитическую) принято называть теоремами о жесткости. Первая (нетривиальная, т.е., с нетривиальной формальной классификацией) теорема о жесткости была доказана для неразрешимых групп ростков одномерных отображений (см. [74],[125]; этот результат можно также получить из свойств нормализующих атласов, см. [83]; топологическая жесткость доказана в [58] ). Результатам о жесткости посвящена четвертая глава диссертации.

Перейдем теперь к подробной формулировке результатов.

В первой главе, как уже говорилось выше, рассматриваются задачи, связанные, в основном, с одномерной динамикой.

В первом разделе главы 1 рассматривается задача об аналитической классификации ростков конформных отображений (С, 0) —У (С, 0) с тождественной линейной частью.

Пусть / : г 1-» г+. — росток голоморфного отображения (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частью, Л — множество всех таких /. Ростки /, д е Л будем называть эквивалентными, если найдется локальная замена координат /г, сопрягающая их: о к = Н о д

Соответственно виду замены Н будем различать аналитическую и формальную эквивалентность ростков из Л. Формальная классификация ростков из Л достаточно проста, и хорошо известна (см. [113], [94]). Также довольно давно было известно (это следует, например, из результатов работы [122], опубликованной в 1916 году), что аналитическая и формальная классификации ростков из Л не совпадают. Аналитическая классификация (типичных) ростков из Л будет получена ниже.

Пусть Л2 —класс всех ростков из Л вида (1).

Пусть Ф±(£) = £ + *52к>0Ске±2тк^1 ряды сходятся при некотором N > О в областях {£ : ±1т£ > Л7"} соответственно. Рассмотрим множество М2 всевозможных наборов /2 = (Ф+, Ф) такого типа и отношение эквивалентности на М.2'. М эквивалентно Д = (Ф+, Ф-), если и только если Ф±(£ + с\) = Ф±(£ + сг) для некоторых С2 6 С, ±1т£ > N1, для некоторого N1. Множество Мч классов эквивалентности т = [/х] наборов ц 6 М2 и есть пространство модулей аналитической классификации ростков из Л2■ Именно, справедлива следующая теорема:

Теорема 1 (теорема 1.1.1) (об аналитической классификации ростков класса Л2.) Можно каждому / £Е Л2 таким образом сопоставить т/ € М2, что

1) (эквивалентность и эквимодальностъ) / эквивалентно д если и только если — гпд;

2)(реализация) для каждого т е М2 найдется / 6 .А2 такое, что т = т/.

Этот результат является основным результатом раздела. Соответствие / га/ строится в пп. 1.1.4, 1.1.5 по следующей схеме. В п. 1.1.4 доказывается теорема о выпрямлении для одномерных отображений: конформное отображение Р : XI —Ь V на односвязной области I/ С С аналитически эквивалентно сдвигу на единицу (Основная лемма, п. 1.1.4). С помощью основной леммы в п. 1.1.5 для ростка / € Л2 на проколотой окрестности его неподвижной точки строится выпрямляющий атлас (пара отображений А3 : 0,3 —ь С, 2 = 1,2, сопрягающих / со сдвигом на единицу). Функции перехода выпрямляющего атласа и доставляют искомый представитель щ модуля га/ (необходимость дополнительной факторизации М.2/ ~ объясняется неединственностью выпрямляющего атласа). В этом же пункте доказывается первое утверждение теоремы (теорема 1.1.5). Второе утверждение доказано в п. 1.1.6 (теорема 1.1.6).

Замечание 0.0.1. Из построений разделов 1.1.4 и 1.1.5 следует, что соответствие / т/ является непрерывным (и даже „аналитическим", см. замечание 1.1.7) в некотором естественном смысле.

Замечание 0.0.2. Коротко утверждение теоремы можно сформулировать так: „Пространство Мч есть пространство модулей в задаче аналитической классификации ростков из Из". Ниже такие краткие формулировки будем понимать в том смысле, что справедливы утверждения об эквивалентности и эквимодалыюсти, о реализации, а также (см. предыдущее замечание) и об аналитической зависимости. В? качестве простейшего: приложения теоремы 1, в конце раздела рассматриваются три классические; задачи теории функциональных уравнений одной; переменной: задача; о включении (отображения в поток), задача об извлечении (итерационного) корня и задача об описании централизатора (для ростков класса Д2)• Этими задачами (также как и „основной" задачей о классификации ростков класса Л, или „задачей" о сопряжении") занимались, в разное время; Абель, Фату, Сцзекер, Эрдёш, Жаботинский, Адамар, Бэкер, Кимур>а, Рэй,. Ливерпуль, Кучма, Биркгоф, Лё, Бэбидж, и др. (так, задача об итерационных корнях рассматривалась в работе Бэбиджа [63| 1815-го года.:.), см: обзор- результатов в монографии [94]; Однако полное решение этих трех задач (причем достаточно простое, см. п.1.1.7) удаемся; получить только в терминах построенных в теореме 1 модулей.

Остальные: разделы г.Г. посвящены решению классификационных задач, со „скрытой динамикой". Именно, рассматриваются следующие задачи: . 1Задача о парах: инволюций. Конформное отображение / : (С, 0) —> (С, 0); называется инволюцией'у если I ^ 1(1и1о1== 1с1. Пусть X - множество всех инволюций и с> = X2. Две пары, инволюций (/, 7) и (Д, Л) из <5. будем называть эквивалентными, если, существует сопрягающая их голоморфная замена координат Н : (С, 0) —> (С, 0):

1 о Я = Я о 7, 71оЯ = Яо7

Требуется дать классификацию пар инволюций из «5.

2. Задача о распаде симметрии. Пусть — —г — симметрия, 71 апали-тично в (С, 0), 7X0) = 71/(0) = 0, 71//(0) ф 0 и П — множество всех таких 7\ Спрашивается, к какой нормальной форме Ё можно привести отображение 71 аналитическими заменами К, Я:

КоР=РоН при условии, что замена Я сохраняет симметрию 7о:

Я о 70 = 70 о Я

3. Задача об огибающей семейства плоских кривых. Следуя [5], семейством кривых на плоскости будем называть диаграмму

С, 0) (С2,0) (<С2,0).

Семейства (<7, 71) и (<71,71) будем называть эквивалентными, если можно найти такие голоморфные замены /г, Я и К что диаграмма

0) 4г±- (С2,0) (С2,0) я к

С,0) (С2,0) (С2,0) коммутативна. Пусть Т> — множество семейств (д, 71) таких, что Р — складка, линейная часть отображения д невырождена и линия уровня <7-1(0) касается ядра отображения 71*. Требуется дать аналитическую классификацию семейств из Т>.

Задача о парах инволюций есть простейший пример задачи о классификации так называемых исключительных (см. [83], [149]) разрешимых (неа-белевых) конечнопорождепных групп ростков одномерных голоморфизмов. Полная классификация таких групп была получена позже в работе [83].

Задача о распаде симметрии является частным случаем (эквивалентным, впрочем, общему) задачи о классификации расходящихся диаграмм, см. [78] или п. 1.1 ниже.

Задача об огибающей поставлена В.И.Арнольдом, и рассматривалась в работе [5].

Бьшо известно (см. [78], [5]), что в каждой из этих трех классификационных задач, в вещественном гладком (и, конечно, формальном) случае классификация „почти" тривиальна: все обшие элементы попарно гладко (формально) эквивалентны. Аналогичный результат несложно получить и в формальном комплексном случае. А вот в аналитическом случае, оказалось, классификация типичных элементов в каждой из этих задач - нетривиальна (и, в частности, не совпадает с формальной. Первым, по-видимому, предположил расходимость нормализующих рядов в задачах 2,3, а также и в других родственных задачах, см. п. 1.1, Дж.П. Дюфур). Точная формулировка результата об аналитической классификации приводится ниже.

Пусть ¿>25 7^-2) — подмножества "общих элементов "пространств <5, Т> (требования общности положения состоят, фактически, в формальной эквивалентности некоторой простейшей нормальной форме, и явно указаны в разделах 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 соответственно).

Пусть Ф±(£) = С + о ряды сходятся для некоторого N в областях {£ : ±1т£ > ЛГ} соответственно. Пусть Л42 — множество всех таких пар (Ф+,Ф), что Ф+(£) = —Ф!1^)- (Ф+>Ф-) и (Ф+>Ф-) будем называть эквивалентными в М!2, если Ф±(£) = Ф(£ + с) + с для некоторого с Е С при всех таких, что ±1т£ > N для некоторого N. Пусть М2 — множество классов эквивалентности пар из Л42.

Пусть [¿>2], ['Л2], [Т>2] — множество классов эквивалентности элементов ¿>2, 72-2, Тогда справедлива следующая классификационная теорема (сформулированная здесь в соответствии с замечанием 0.0.2):

Теорема 2 (теорема 1.2.3) М2 есть пространство модулей в задачах об аналитической классификации для каждого из пространств <S2,7^2 и Т>2;

И = Ш = ру - Mi.

Фактически здесь сформулированы три теоремы: для ¿>2, и Т>2; доказываются они, соответственно, в разделах 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 (теоремы 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6).

Задача о парах инволюций сводится к задаче о классификации ростков из Лг естественным образом: каждой паре т = (I, J) € ¿>2 ставится в соответствие росток /т = / о J G Л- Симметричность (т.е., принадлежность классу М^) соответствующего ростку /т инварианта ш/г следует из симметричности пространства орбит ростка /т: инволюция I переставляет орбиты /т:/о/т = /-1о/.

Задача о распаде симметрии легко сводится к задаче о парах инволюций: у нас уже есть инволюция /о, а по одномерной складке F ЕЖ2 инвариантно определяется вторая инволюция Jp, переставляющая прообразы точек при отображении F.

Редукция задачи об огибающей к задаче о парах инволюций несколько сложнее, и, геометрически, может быть описана так. Пусть (g, F) - семейство из Т>2. Для складки F инвариантно определена (двумерная) инволюция I = переставляющая прообразы точек при отображении F. Рассмотрим слоение Т окрестности нуля на линии уровня ростка g, Т = {д = const}, и симметричное ему слоение Т = = {д о I = const'}. Пусть кривая

I состоит из точек касания слоев слоения Т и слоев слоения ясно, что кривая I 7—симметрична: 1(1) = I. Тогда на кривой I (инвариантно) определены две (одномерные) инволюции: первая из них есть просто сужение на I симметрии /; вторая переставляет точки касания с кривой I слоев слоения Т. Полное описание редукции (в несколько иной терминологии) см. в пункте 1.2.3; технически, задача оказалась достаточно тяжелой (редукция занимает 7 страниц текста).

Во второй главе рассматриваются задачи многомерной динамики. Основной объект исследования этой главы — ростки голоморфных отображений (Сп, 0) —> (Сп, 0), удовлетворяющие следующим двум условиям:

1°. Неподвижные точки ростка образуют гладкую гиперповерхность в

Сп,0).

2°. Мультипликаторы (собственные значения линеаризации ростка в особой точке) постоянны вдоль гиперповерхности неподвижных точек.

Каждое из этих условий налагает на коэффициенты тейлоровского; разложения- ростка в нуле бесконечно много ограничений; однако, как это будет показано ниже, ростки указанного вида естественным ¿образом,; возникают, в некоторых геометрических задачах в случаях конечной коразмерности. Собственно говоря; именно» ради этих приложений и было предпринято исследование классификации ростков отображений в рассматриваемом случае, имеющем бесконечную коразмерность. Именно, В.И.Арнольд показал , как в простых геометрических задачах (см.' 1.1) возникает: скрытая динамика (инвариантно определенная-,пара одномерных инволюций). В дальнейшем- в этих задачах были? обнаружены функциональные модули аналитической классификации: Далее, во время беседы с автором; Владимир Игоревич предположил, что аналогичное явле-, ние имеет место и в более сложных (многомерных) задачах. Одной из таких задач являлась исследовавшаяся им ранее так называемая задача Дарбу-Уитни (см. ниже п. 2.1.4). В этой задаче также возникает пара инволюций: (их, видимо, уместно будет называть инволюциями Арнольда). Композиция-инволюций Арнольда как раз и удовлетворяет сформулированным выше двум жестким условиям (отягощенным еще и „резонансностью": линейная /часть композиции во всех её неподвижных точках тождественна). Так что в основе всех исследований этой главы , фактически, лежит упомянутое выше замечание В.И.Арнольда.

Аналитическая и формальная классификации ростков указанного вида рассматриваются в разделе 2.Г.2.

Пусть В — пространство обратимых ростков голоморфных отображений (Сп, 0) —> (Сп,0), п > 2, неподвижные точки которых образуют гладкую гиперповерхность в (Сп,0), а мультипликаторы постоянны вдоль гиперповерхности неподвижных точек. Из теоремы Пуанкаре-Дюлака [2] несложно получить (см. пп. 2.1.2, 2.2), что каждый росток из В формально эквивалентен либо ростку линейного отображения, либо ростку вида

А : (х, у, г) (Аж, у + я?9, г), х,у Е С, г е С71"2, ? £ М, А € С такому, что А9 = 1.

Аналитическая классификация формально линеаризуемых ростков из В в точности аналогична одномерному случаю, см. 2.1.2, теорема 2.1.3. Однако для приложений, о которых говорилось выше, более интересны формально нелинеаризуемые ростки.

Пусть В'ъ д - класс ростков из В, формально эквивалентных ростку Несложно проверить, (см. лемма 2.1.1), что каждый росток из В'дХ голоморфной заменой координат можно привести к виду ж, у, г) ^ у, г) + о(хд) (2)

Поэтому задача об аналитической классификации ростков класса В'д Х сводится к такой же задаче для класса Вд,д, состоящего из ростков вида (2). Решение этой последней задачи дается следующей теоремой (и является основным результатом второй главы):

Теорема 3 ( теорема 2.1.5) Аналитическая классификация ростков клас-саВд^х имеет функциональные модули: существуют бесконечномерное (функциональное) пространство и отображение Ф : ^ тр £ -М^л такие, что:

1. ростки £ Вд>\ аналитически эквивалентны, если и только если тр — то;

2. для любого т £ существует Р £ такой, что т — тр;

3. для любого аналитического семейства ростков С Вд7\ семейство тр1 является аналитическим.

Опишем коротко функциональное пространство Л4Ч,\ и соответствие .Р тр.

Полуформальным рядом (отображением) будем называть степенной ряд по переменной х, коэффициенты которого являются (вектор-) функциями, голоморфными в некоторой окрестности нуля в Сп1, одной и той же для всех коэффициентов. Оказывается, формальная нормализующая замена Н ч. /»ч для ростка класса Вч,д, нормированная условиями Н(х, 0) = (ж, 0), ИН(х, 0) = Е, существует, единственна, и являются полуформальным отображением (теорема 2.1.2).

Далее, область V вида х 6 С : 0 < |ж| < Д, а < aтgx < /3} X {ю е Сп-1 : \ю\ < В.} будем называть секториальной областью радиуса Я, направления [о;,/3] и раствора (3 — а.

Полуформальное отображение Н(х,и;) = Х^о Нь{и))хк будем называть асимптотическим в II С С" для голоморфного отображения Н : и —>• Сп, если 0 £ II, и

771

Н{х, Нк(™)хк = °{хт) к=0 для любого т £ N при (х, ги) £ 17, х 0.

В работе показано (теорема о секториальной нормализации 2.1.4), что для любого Р £ Вд,\ и любой секториальной области и данного направления, раствора, меньшего и достаточно малого радиуса найдется голоморфное в и отображение Я, сопрягающее (на II) отображение Р с его формальной нормальной формой Рд^ при этом (полуформальное) нормированное нормализующее отображение Н является асимптотическим для Н на С/.

Пространство модулей Л4д>\ и соответствие 71 н->- тр строится далее в соответствии со схемой, описанной выше (и уже использовавшейся в первой главе). Именно, возьмем конечное число секториалЁных областей малого радиуса и раствора, меньшего покрывающих окрестность нуля в (Сп, 0), из которой удалены неподвижные точки ростка ^ Е На этих областях в соответствии с теоремой о секториальной нормализации построим нормализующие росток ^ замены координат. Полученный- объект назовем пор-атласом*ростка-.Р. Система функций» перехода этого атласа; состоит из отображений, коммутирующих с Ед^х и имеющих тождественное отображение асимптотическим. " .

Назовем 1-коциклом любую систему отображений, обладающих этими двумя 'свойствами, и; пусть~ пространство всех 1-коциклов. Назовем 0-коцепъюпроизвольный нормализующий атлас формальной нормальной формы,Отображения, составляющие 0-коцепь, коммутируют, с .Р^д; пространство (ростков) 0-коцепёй является группой с операцией суперпозиция; На пространстве 1-коциклов естественным образом определяется действие: группы 0-коцепей. Орбиты этого действия и являются элементами; пространства Л4д,х', модуль гпр ростка 71 Е Вдгх есть, орбита,! содержащая; систему функций перехода некоторого нормализующего атласа; этого ростка;

Доказательство;теоремы 3 (т.е., теоремы 2.1.5) приведено; в разделе 2.5 (для случая д — А = 1, Теорема В±) и в пунктах 2.8.1 (Теорема Вд), 2.8.5 (ТеоремаЩ,х )• Теорема о секториальной нормализации доказывается с использованием техники операторов конечного порядка из [2]. Доказательство теоремы о реализации модулей основано на теореме Ньюлендера-Ниренберга [115] о почти комплексных, структурах.

Замечание 0.0.3. Пространство модулей ЛЛ,их из теоремы 3. выглядит намного сложнее по сравнению с пространством модулей М2 из теоремы 1.1.1. Однако оно действительно является „функциональным" (содержит подмножества, которые можно „отождествить" с пространством всех функций, голоморфных в некоторой области). Бесконечномерность пространства, модулей Л4qíx (т.е., его „функциональность") доказывается в разделе 2.6 (для случая д = Л = 1) и пунктах 2.8.2 и 2.8.5 (общий случай).

Замечание 0.0.4. В определениях 0-коцепей и 1-коциклов выше, все отображения коммутировали с формальной нормальной формой Поэтому естественным является желание профакторизовать все рассматриваемые там области по действию .^д, и работать на полученных фактор-пространствах. В результате мы получим другую, несколько более компактную, модель для пространства модулей, см. п. 2:5.7. Т.к. наши построения в точности сооветствуют схеме построения когомологий со значениями в пучке некоммутативных групп (см. [48], с.40), построенную таким образом модель для пространства модулей будем называть локальной группой когомологий-отображений на фактор-пространстве.Зто (пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков, формально эквивалентных данному ростку /о, совпадает с локальной группой когомологий-отображений фактор-пространства окрестности. нуля с удаленными из нее^неподвижными точками ростка /о, по действию /о), возможно, и есть универсальный ответ в задачах аналитической классификации. Отметим, наконец, что (обычную, см.[53]) (первую) группу когомологий на фактор-пространстве л можно трактовать как „касательную" к построенной нами локальной группой когомологий-отображений, см. замечания в п. 2.5.9. Т.к. на многообразиях Штейна первая группа когомологий тривиальна, то нетривиальность аналитической классификации следует ожидать в задачах, для которых соответствующее пространство .Рас/0 не штейново. Во всяком случае, для рассматриваемых здесь задач это так: в задаче о классификации параболических ростков из г. 1 для фактор-пространства Рас/0, /о 6 А-2 нарушается условие голоморфной отделимости (оно даже не хаусдорфово!), а Расрч Х не является псевдовыпуклым, см.замечание 2.6.5.

Следующие три раздела первой главы имеют иллюстративный характер, и, фактически, посвящены „доказательству" актуальности рассматриваемой задачи. Именно, оказалось, что, помимо задачи Дарбу-Уитни, ростки отображений указанного вида естественным образом возникают (в случаях малой коразмерности!) и в других задачах аналитической классификации. Эти задачи (вместе со вспомогательной задачей об орбитальной классификации векторных полей, преобразованиями монодромии которых и являются ростки отображений рассматриваемого типа) рассматриваются в п. 2.1.32.1.5.

Далее, оказалось, что (как и в первой главе при исследовании пар инволюций) отображения класса В,ь\, возникающие в прикладных задачах, обладают некоторыми дополнительными свойствами типа сохранения некоторых дополнительных структур (и классифицировать их надлежит также по действию группы замен координат, сохраняющих эти структуры). Поэтому, для нужд приложений, во второй главе приводятся также решения и соответствующих классификационных задач, отягощенных дополнительными структурами. Именно

1. Геометрической структурой в (С", 0) будем называть (при четном п) (почти) симплектическую структуру ак = хк+1(1х А ¿у + <¿^1 А йг2 . + ^п-3 А йгп-2 х, у 6 С, г Е С71-2 (а также и а^ = ±а^)

2. Симметрией (стандартной) будем называть инволюцию

0 : (х, у, г) (-х, у,г), х, у Е С, г € Сп~2;

3. Антиимметрией (стандартной) будем называть антиголоморфную инволюцию „комплексное сопряжение": и : (ж, у, г) М- (х, у,г), х, у Е С, я € Сп~2;

Эти три структуры будем называть элементарными структурами. Структурой будем называть любой набор элементарных структур.

Соответственно трем элементарным структурам определим пространства Ву Х, состоящие из всех ростков ^ : (Сп, 0) —>• (Сп, 0) класса Вд,\, согласованных с соответствующей структурой в в следующем смысле:

1. Е*ак = схк\

2. /00^ = ^0/0, где с =(-1)9;

3. а о ^ = Р о а.

Пусть, далее, группа состоит из всех локальных голоморфных замен координат Н в (С",0), сохраняющих структуру 5 в следующем смысле:

1. Н*ак = ак\

2. /0 о Н = Н о 70

3. а о Н = Н о сг.

Для неэлементарной структуры б, пространства В^х и определим как пересечения пространств, соответствующих элементарным структурам струкуры е.

Требуется: получить классификацию ростков класса В^х по действию группы (соответствующая формальная классификация тривиальна: любой росток из непустого класса В^х формально я-эквивалентен ^а, см. пункт 2.8.5 ).

Теорема 4 (Теорема 2.1.6) Классификация ростков класса В^х по действию группы имеет (в случае В^ х ф 0) функциональные модули.

Обозначим через М.въ\ пространство модулей из теоремы 4. Это пространство строится точно так же, как и пространство Л4д>\: надо только дополнить определения 1-коциклов и 0-коцепей соответствующими условиями сохранения структуры Как и в теореме 3, пространство модулей в теореме 4 бесконечномерно (является „функциональным").

Полное доказательство теоремы 4 (2.1.6) проводится, в случае д = А = 1, в разделе 2.7, и в общем случае - в пунктах 2.8.3 и 2.8.5.

Последние три пункта второй главы посвящены так называемой задаче Дарбу-Уитни.

Ласточкиным хвостом называется (см. [4]) поверхность с особенностями Г, состоящая из всех точек (А, В, С) €Е М3, таких, что уравнение х4 + Ах2 + Вх + С = 0 имеет кратные корни; произведение А = Г х Ж С Ж4 называется расширенным ласточкиным хвостом.

Симплектической структурой в (М4,0) называется росток в нуле невырожденной замкнутой 2 - формы с вещественно-аналитическими коэффициентами. Две симплектические структуры называют эквивалентными (гладко, аналитически, формально), если одну из них можно перевести в другую локальным диффеоморфизмом (соответственно гладким* аналитическим или формальным).

Теорема.(Формальная теорема Дарбу-Уитни, [4, 11]) Симплектическая структура общего положения (— невырожденная на плоскости В=С=0) приводится к стандартному виду и)0 = йА/\ (10 +¿С А с1В формальным диффеоморфизмом, сохраняющим расширенный ласточкин хвост.

Замечание 0.0.5. Этот результат можно понимать и как утверждение о возможности одновременной нормализации симплектической структуры ("по Дарбу") и гиперповерхности с особенностями ("по Уитни"), что и объясняет название задачи.

Пусть Оццг — пространство типичных симплектических структур из формальной теоремы Дарбу-Уитни. А - диффеоморфизмом будем называть росток замены координат Н : (Ж4, 0) —> (М4, 0), переводящий росток в нуле расширенного ласточкина хвоста в себя. Задачей Дарбу-Уитни будем называть задачу о классификации симплектических структур из по действию группы А - диффеоморфизмов; при этом будем рассматривать формальный, гладкий и аналитический варианты задачи, (а также и её комплексную версию) .

Формальное решение задачи Дарбу-Уитни (в вещественном случае) дается сформулированной г выше теоремой: Ясно, что аналогичный результат справедлив (и в комплексном случае. Решение аналитической задачи Дарбу-Уитии' дается следующей теоремой ■■•■■■

Теорема 5 (Теорема 2.9.9,2; теорема 2.9.10) (Аналитическая теорема Дарбу-• Уитни.) Аналитическая\ задача Дарбу- Уитниимеет функциональные модули; пространством модулей является пространство при и структурами в — (То, ац ) в вещественном (и в = (/о, сио) - в комплексном) случаях . ' Замечание ОЮ^б; В качестве следствия вещественной версий!этой теоремы(точнее; из существования соответствующих 5—нормализующих атласов) легко получить, что: в вещестенном случае все симплектические структупы из Орцг гладко А-эквивалентньт, см. теорему 2.9.9,1.

Схему редукции задачи Дарбу-Уитни к соответствую! I |;ей классифи каци-онной задаче для классов >5® л, предложенную В. И. Арнольд ом, можно грубо, описать так. Пус ть 7 - линия самопересечения зтсточкшт хвостя, Г (она состоит из точек (А, В, С), соответствующих уравнениям с двумя кратными корнями),' и.7 = 7 х М - расширенная линия самопересечения Пересечение малой окрестности точки р £ 7,р ^ 0 с А состоит из двух -„листов". Первая инволюция Арнольда переставляет эти листы (и действует она на пространстве 7 пар (точка из 7, зглист"в этой точке)). Далее, характеристики (= ин-г тегральные кривые поля ядер сужения симплектической структуры на А) уходят с 7 по одному листу, и возвращаются на 7 по другому; это определяет на 7 вторую инволюцию Арнольда. Композиция инволюций Арнольда и есть соответствующее симплектической структуре отображение класса Вч.

Точное описание редукции и полная схема решения задачи Дарбу-Уитни приводятся в п. 2.9, „доказательной „ части посвящены последние два раздела главы.

В третьей главе исследуется аналитическая классификация резонансных седели седлоузлов. Пусть V - класс ростков голоморфных векторных; полей в (С2, 0) с невырожденной? особой точкой 0. Два ростка из V называются аналитически (формально) эквивалентными,.если один росток можно перевести в другой локальной голоморфной (формальной) заменой координат. . :. Дна ростка из V называются аналитически (формально) орбитальное эквивалентными, если один росток можно перевести в другой локальной голоморфной (формальной) заменой координат с последующим; умножением на обратимый росток голоморфной;функции- (формальный степенной ряд с ненулевым свободным членом). • ! Росток V € V называется седловым (седловым резонансным), если отношение собственных значений его линеаризации; в нуле есть отрицательное.; вещественное (отрицательное, рациональное) число:

Через № и V.обозначим : класс седловых . ростков из V. и класс сед- ; ловых резонансных ростков из У, соответственно. Известно, что типичный росток из можно линеаризовать голоморфной заменой координат.

Из теоремы Пуанкаре-Дюлака; следует, что типичный росток.: класса нелинеаризуем (даже формально), однако его можно значительно упростить формальной заменой координат (см. [2]). Более того,'несложно проверить (см. п.3.2), что типичный росток из У'"311 формально эквивалентен одному из ростков • .■■; ' : д д у\,с = Ага;(Ц- и)— + Х2у{1 + схи + с2и2)—, где А = (ЛЬЛ2), ^ = р,д е К, ^ несократимая дробь, и = х(]ур,

C= (ci,c2) Е С2, с\ Ф 1.

Пусть V\jC - класс формальной эквивалентности ростка v\)C. В работе показано, что аналитическая классификация ростков класса V\fi имеет функциональные модули.

Пусть Л4 - пространство всех наборов {</?±, ф±} таких, что (р+ и ф+ голоморфны в (С,0), <¿>+(0) = <р+(0) = Ф+{0) = 0; ip- и ф голоморфны в (С, оо), ср-(оо) = ^(оо) = 0.

Два набора {<р±,ф±} и {ф±,ф±} из Л4 назовем эквивалентными, если для некоторого с £ С*

P±(cz) = сф±(г),ф±(сг) =

Пусть М - пространство классов эквивалентности наборов из Л4.

Основным результатом первой части третьей главы является следующая теорема (формулировка которой приводится здесь в соответствии с замечанием 0.0.2):

Теорема 6 (Теорема 3.1.2) (Теорема об аналитической классификации резонансных седел). Пространство М есть пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков класса V\¡c

Замечание 0.0.7. Орбитальная аналитическая классификация резонансных седел была получена Мартине-Рамисом в [105] (см., впрочем, также препринт [42]). Как это следует из построения (см. п.3.1.4), „^-компонента" модуля из теоремы 6 является, фактически, модулем Мартине-Рамиса орбитальной аналитической классификации из [105] (мы только удалили у модулей Мартине-Рамиса их линейые компоненты - они определяются формальными параметрами). Т.о., видим, что аналитическая классификация (типичных) резонансных седел имеет в два раза больше модулей (как числовых, так и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической.

Замечание 0.0.8. В теореме 6 автору принадлежит основной частный случай р = q = 1; в общем случае (а также и в случаях более высокой коразмерности, см. [30]) теорема доказана его соавтором А.Гринчий, см. [144]).

Опишем коротко схему доказательства теоремы 6. Пусть V - росток класса А = (АьЛг) - спектр его линеаризации в нуле. Пусть - его сепаратриса, соответствующая собственному значению Лх, и Г - трансверсаль к5„в точке Ро- Заметим, что все интегральные кривые ограничения V на б'и периодичны, с периодом ¿о = ^ХГ- Поэтому интегральная кривая поля V, выходящая из точки Р Е Г, близкой к Ро, через время ¿(Р), близкое к ¿о, возвращается на Г (приходит в некоторую точку (5 Е Г). Назовем преобразованием Ь—монодромии ростка V отображение 8 : (Р, ¿) 1-> (ф,£-М(Р)) (его первая компонента - обычное преобразование монодромии). Оказывается, преобразование ¿—монодромии при исследовании аналитической эквивалентности векторных полей играет в точности ту же роль, что классическое преобразование монодромии - при исследовании орбитальной эквивалентности.

Отождествляя (Г, Ро) с (С, 0), видим, что преобразование ¿—монодромии имеет вид 1-» (Д(*), 4+ а(*)), ¿:(С,0) х С(С, 0) хС (3)

Назовем Ь—сдвигом любое (голоморфное) отображение вида (3); два сдвига будем называть эквивалентными, если их можно сопрячь некоторым ¿—сдвигом. Наконец, пусть -Од,с- класс всех ¿-сдвигов, (формально) эквивалентных преобразованию ¿-монодромии формальной нормальной формы г?д)С.

Теорема 7 (Теорема 3.3.1) (Теорема о редукции) Преобразование Ь-моно-дромии ростка из У\)С является Ь-сдвигом из Д\>с. Два ростка из аналитически эквивалентны, если и только если аналитически эквивалентны их преобразования Ь-монодромии. Любой 1-сдвиг из Од1С является преобразованием Ь-монодромии некоторого ростка из Уд)С.

Эта теорема аналогична „орбитальной" теореме о редукции из [33, 105]. Эта теорема сводит задачу об аналитической классификации ростков класса

Ух,С к задаче об аналитической классификации сдвигов из £>а,с- Доказывается теорема о редукции в п.3.3.

Аналитическая классификация Ь—сдвигов исследуется в п.3.4 третьей главы. Основным результатом этого пункта является следующая

Теорема 8 (Теорема 3.4-1) (Теорема об аналитической классификации Ь—сдвиг Пространством модулей в задаче об аналитической классификации сдвигов из £>д)С является пространство М из теоремы 6.

Замечание 0.0.9. Теорема 6 есть простое следствие теорем 7 и 8.

Остальная часть третьей главы посвящена аналитической классификации седлоузлов.

Пусть Уо — класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с изолированной вырожденной элементарной особой точкой 0 (т.е. таких, что линейная часть ростка в нуле вырождена, но не все ее собственные значения равны 0).

Как известно (см. [104, 91]) каждый росток из Уо формально орбитально эквивалентен одному из ростков вида д ур+1 д

Обозначим через УР;а — класс ростков, формально орбитально эквивалентных ростку Ур>\.

Также несложно проверить (см. п.3.5.1), что каждый росток из УР)а формально эквивалентен одному из ростков вида р

Ур,х,а = Ур,х ■ а(у), где а(у) = ^ акук, а0 ф 0, ак е С к=о

Через УРгх,а обозначим класс ростков из Уо, формально эквивалентных ростку уРгх,а- Аналитическая классификация ростков класса УР,х,а дается приводимой ниже теоремой.

Пусть Л4Р,\ — пространство всех наборов (с,ф,ф) таких, что с € Ср; ф = ((/?!,., (рр), ф = (фъ .,фр), щ и Фз голоморфны в (С, 0); <£¿(0) = ^•(0) = 0, ^(0) = 1, V*; < р, ^(0) = ехр(2тггЛ).

Пусть ра - наибольший общий делитель р и всех тех к € {1,. ,р}, для которых ак ф 0; па = р/ра- Два набора (с, ф, и (с, ф) из А4Р,\ будем называть эквивалентными, если для некоторого С 6 С*, С = (С\,., Ср) и некоторого в € 0 < 8 < ра с^'+впа = с, ■ с,-, £,-+вПв(г) = Фз+8па(г) = ф{С]~1г) (4) нумерацию считаем циклической).

Пусть МР)х,а ~ пространство классов эквивалентности из А4Р)\.

Теорема 9 (Теорема 3.5.4)[Теорема об аналитической классификации ростков из Ур^а/ Пространство Мр^а есть пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков класса Ур^а

Замечание 0.0.10. Орбитальная аналитическая классификация седло-узлов была получена Мартине-Рамисом в [104]. Как это следует из построения (см. 3.7.1),"с" и „ф" - компоненты модуля из теоремы 9 являются, фактически, модулем Мартине-Рамиса орбитальной аналитической классификации из [104]. Т.о., видим, что, как и в случае резонансных седел, аналитическая классификация седлоузлов имеет в два раза больше модулей (как числовых, так и функциональных) по сравнению с орбитальной аналитической.

Замечание 0.0.11. В теореме 9 автору принадлежит основной частный случай р = 1; в общем случае теорема доказана его соавтором Ю.Мещеряковой, см. [25, 26].

Замечание 0.0.12. Независимо и одновременно, классификационная теорема 9 была доказана Л.Тессье ([140, 141]), но совершенно иным способом.

Именно, Тессье классифицирует ростки, пропорциональные данному; вместе с теоремой Мартине-Рамиса это дает классификационную теорему 9. Мы же следуем традиционной (для данной работы) схеме построения функциональных инвариантов: строим нормализующий атлас, из функций перехода которого затем и. изготавливаются модули аналитической классификации. Отметим, что доказанная при этом теорема о секториальной нормализации ростков класса Ур,А,а является обобщением аналогичной теоремы из [90], и имеет самостоятельное значение. . ' Теорема о секториальной нормализации доказывается ¿ разделе 3:5;2 с помощью теоремы о сжимающих отображениях. Полное доказательство теоремы 9 приведено в п. 3.7; доказательство утверждения о реализации модулей проводится, с помощью почти комплексных структур, и - использует аналогичные результаты; из второй главы работы. В четвертой главе работы исследуются неэлементарные особые точки голоморфных.векторных полей на плоскости.

Пусть V - класс ростков голоморфных векторных полей в (С2, 0) с изолированной особой точкой 0. Пусть Уп - класс ростков из V с нулевой (п — 1)-струёй в нуле, 71 > 2. , : , : . Основным результатом этой главы; является следующая^ теорема

Теорема 10 (Теорема 4-1-1) (Теорема о 'жесткости для класса \?п)

Из формальной орбитальной эквивалентности типичных ростков классамиследует их аналитическая^ орбитальная эквивалентность.

•.',. Замечание 0.0.13. При дополнительномпредположении, о существовании голоморфного семейства попарно формально орбитальио эквивалентных ростков, содержащем два данных ростка ( и существенно менее обременительных, ограничениях общности положения ) это утверждение доказано в [86](см. также [107]). . . . . ' .

Доказательство теоремы 10 приводится в п.4.2. Оно основано на теореме о жесткости для конечнопорожденных неразрешимых групп ростков одномерных голоморфизмов Серво-Муссю-Рамиса [74]. О связи теорем о жесткости с проблемой функциональных инвариантов в задачах аналитической классификации см. [91].

Проблемой Тома для задачи об аналитической классификации объектов данного класса называют задачу об отыскании минимальной системы инвариантов, однозначно определяющей аналитический тип объекта (см. [83],р.98; [149], р.411). Для ростка г? класса Уп, инвариантом орбитальной аналитической эквивалентности является класс [Сь] аналитической сопряженности его проективной группы монодромии бч,, а также и класс [5^] аналитической эквивалентности его сепаратрисного множества В течении некоторого времени считалось, что эта пара инвариантов (удовлетворяющих некоторым естественным условиям согласованности с классом Уп, см. п. 4.1.7) и является инвариантами Тома в задаче об орбитальной аналитической классификации (типичных) ростков из Уп. И, хотя позже эта гипотеза и была опровергнута (см. [110]), вопрос о независимости этих двух инвариантов оставался актуальным. Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой

Теорема 11 (Теорема 4-1-3) (Теорема о реализации)

Для любой пары ((7,5), удовлетворяющей естественным условиям согласованности, найдется росток V класса такой, что Б = и (7 =

Замечание 0.0.14. Эта теорема является усилением известной теоремы Л.Нето [114] (см. также [83]) о реализации монодромии.

Доказывается теорема о реализации в п.4.3. Доказательство реализуемости монодромии основано (как и в теореме Л.Нето) на теореме Грауэр-та о „схлопывании" [89]. Однако необходимость одновременно реализовать и сепаратрисное множество потребовало довольно тонкой „хирургической" работы (отрезания и переклеивания) на построенном „по Грауэрту" многообразии.

Благодарности. Автор благодарен Ю.С.Ильяшенко за постановку задач, постоянное внимание к работе и многочисленные ценные обсуждения. Автор благодарен В.И.Арнольду и М.Я.Житомирскому - за постановку задач и ценные обсуждения. Автор благодарен своим младшим коллегам - Алене Гринчий, Юле Мещеряковой, Наташе Пазий и Алеше Воронину - за помощь в наборе текста.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 10-01-00587-а и ФЦП 02.740.110612.

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М. "Мир", 1969.

2. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1978. 304 с.

3. Арнольд В.И. Перестройки особенностей потенциальных потоков в бесстолкновительной среде и метаморфозы каустик в тр^ссмерном пространстве 11 Тр. семинара им. И.Г.Петровского, 1982. 8. —С. 21-57.

4. Арнольд В.И. Лагранжевы многообразия с особенностями, (Асимптотические лучи и раскрытый ласточкин хвост // Функц. аналтиз и его прил. 1981. - 15, №4. С. 1-14.

5. Арнольд В.И. О теории огибающих // Успехи мат. наук. 1976. -315 №3. - С. 249.

6. Арнольд В.И. Замечания об особенностях конечной коразмерности в комплексных динамических системах. Функциональный анализ и его приложения, т.З, вып.1 (1969). 1 6.

7. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. 1. М.гНаука, 1982. 304 с.

8. Арнольд В.И. , Васильев В.А., Горюнов В.В., Ляшко О.В. Особенности. П. Классификация и приложения // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. 1989. - 39. -С. 5-254г.

9. Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия . Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.4. ВИНИТИ, М., 1985. С.7-139.

10. Арнольд В.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах. Успехи математических наук, 27, вып.5 (167), 1972, с 119-184- ■

11. Арнольд В.И. Особенности в вариационном исчислении. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения;/ Т.22. ВИНИТИ, М., 1983. С.3-55.

12. Арнольд В.И., Ильяшенко ТО.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.1. ВИНИТИ, М., 1985. С.7-150:

13. Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск, "Наука", 1974. ' ■

14. Белицкий Г.Р. Нормальные формы, инвариант,ы и локальные: отображения. „Наукова Думка", Киев. 1979.

15. Б ере Л:, Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М., "Мир", 1966.

16. Брюно А.Д. Аналитическая форма , дифференциальных уравнений // Труды ММО. Т.25. (1971). С. 119-262, Т.26.(1972). С.199-239.

17. Брюно А.Д:, Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука,1979. 256с.

18. Владимиров B.C. Методы теории: функций многих комплексных neper манных. М. : Наука, 1964.

19. Воронин ОМ. Аналитическая классификация ростков конформных отображений в нуле с тождественной линейной частью. Успехи математических наук, т.35 №4 (1980), 152-153.

20. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков конформных отображений (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частью. Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 1, с. 1—17.

21. Воронин С.М. Три задачи аналитической классификации. Депонированная рукопись, МГУ, М., 1981, 29 стр. (Рукопись депонирована в ВИНИТИ 8 июля 1981 г., №3333-81 Деп.).

22. Воронин С.М; Аналитическая классификация пар инволюций-и* ее при-ложенйя // Функц: анализ-игвго прил.-1982^- С.; 21-29^

23. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков голоморфных отобраэюений с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами, и ее приложения^ Вестник Чел У, Сер. 3 Мат., Мех., 1999,2(5), с. 12-30.

24. Воронин С.М. Орбитальная аналитическая эквивалентность вырожденных особых точек голоморфных векторных полей, на комплексной плоскости. Тр.Мат.Инст. им Стеклова.213 (1997), Дифференциальныеуравнения с вещественным и комплексным временем, с. 35-55.

25. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И; Аналитическая классификация типичных вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей на комплексной плоскости // Известия вузов. Математика, 2002, №1, С. 13-16.

26. Воронин С.М., Мещерякова Ю.И. Аналитическая классификация сед-лоузлов. Тр.ММО, 66 (2005), с.93-113.

27. Воронин С.М., Л.Ортис-Бобадилла, Э.Росалес-Гонсалес Проблема Тома в задаче об орбитальной аналитической классификации вырожденных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости.ДАН 2010, т. 434, №4, с. 443-446.

28. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексные*^: переменных. М.:Мир, 1969. 395 с.

29. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображении и их oco6e.sr-ni,o-сти. М.: Мир, 1977.

30. Гринчий A.A. Аналитическая классификация седловых резонанс озхгных особых точек на комплексной плоскости. Деп. в ВИНИТИ 24.05 , №1690 -В96, 24 С.

31. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления ций в комплексной области. М., 1966.

32. Дюлак А. О предельных циклах. М.Наука, 1980, 160с

33. Елизаров П.М., Ильяшенко Ю.С. Замечания об орбитальной сь'г-е^сгли-тической классификации ростков векторных полей Матем.сбо^>1ник, 121(1983), С.111-126

34. Житомирский М.Я. Особенности и нормальные формы уравт-е, gtluu Пфаффа // XIII Всесоюзн. школа по теории операторов и функцио:^з:еи1ь-ных пространствах. Тез. докл. Куйбышев , 1988. - С. 69-70.

35. Зигель K.J1. Лекции по небесной механике. М., 1959.

36. Зигель K.J1. О нормальной форме аналитических дифференциауг-^>'н,ых уравнений в окрестности положения равновесия. Математика,-, 5:2 (1961), 119-128.

37. Ильяшенко Ю.С. Предельные циклы полиномиальных векторнъе^с полей с невырожденными особыми точками на вещественной плоск:с^> сти. Функц. анализ и его приложения, Т.18, ВЫП.1(1984), С.1-17.

38. Ильяшенко Ю.С. Слоения на аналитические кривые. Мат.сб., 1972 т.88, с.558-577.

39. Ильяшенко Ю.С. Расходимость рядов, приводящих аналитическое дифференциальное уравнение к линейной нормальной форме в особой точке. Функциональный анализ и его приложения, т.13, вып.З (1979), 87-88.

40. Ильяшенко Ю.С. В теории нормальных форм аналитических дифференциальных уравнений при нарушении условий А.Д.Брюно расходимость правило, сходимость - исключение. Вестник Московского университета, серия 1, №2 (1981), 10-15.

41. Ильяшенко Ю.С. Топология фазовых портретов аналитических дифференциальных уравнений на комплексной проективной плоскости. Труды семинара имени Петровского, вып.4 (1978), 83-136.

42. Ильяшенко Ю.С. Особые точки и предельные циклы дифференциальных уравнений на вещественной и комплексной плоскости НИВЦ АН СССР.: Пущино, препринт, 1982. 39с.

43. Картан Э. Геометрия римановых пространств. М. - Л., 1936.

44. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. - 304с.

45. Лазуткин В.Ф.Аналитические интегралы полустандартного отображения и распад сепаратрис // Алгебра и анализ. 1989. - I, №2. - С. 116-131.

46. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968. - 564с.

47. Мещерякова Ю.И. Формальная классификация вырожденных элементарных особых точек // Уравнения соболевского типа: Сб. науч. работ. Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 2002г., С. 197-206.

48. Онищик А.Л. Методы теории пучков и пространства Штейна // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современ. пробл. матем. Фундам. направл. 1986. - 10. - С. 5-73.

49. Привалов И.И. Субгармонические функции. -М. -Л., 1937.

50. А. О. Ремизов, Геодезические на двумерных поверхностях с псевдори-мановой метрикой: особенности смены сигнатуры Матем. сб., 2009, 200:3, 75-94

51. Рохлин В.А., Фукс Д.В. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М., "Наука", 1977.

52. В.И.Савельев Вложения нулевого типа сферы в комплексную поверхность, Вестник МГУ, Сер.1 Мат.Мех.,1982, "№4,28-32,85.

53. Хейман, Уолтер, Кеннеди. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980.

54. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. - 279с.

55. Шабат Б.В .Введение в комплексный анализ. П. М.: Наука, 1976. - 400с.

56. Щербаков А. А. О ростках отображений, аналитически не эквивалентных своей нормальной форме. Функц. анализ, 1982, т. 16, вып. 2, с. 94-95.

57. Щербаков А. А. Топологическая классификация ростков конформных отображений с тождественной линейной частью. Вестник МГУ, серия 1 (Мат. Мех.), 37,(1982), №3, 52-57.

58. Щербаков А. А. Топологическая и аналитическая сопряженность некоммутативных групп конформных отображений. Тр. семинара им. И.Г.Петровского, 10 (1984), 170-192.

59. Экалль Ж.П. Решение двух задач, связанных с теорией итерации. Вестник Ленинградского государственного университета, Серия Математика-механика-астрономия, №13, вып.З (1973), 166-167.

60. Ahern Р., Gong X. A Complete Classification for Pairs of Real Analytic Curves in the Complex Plane with Tangential Intersection. J.Dyn. and Control Syst., 11,1, 2005. P.l-71.

61. Ahern P. and J.P.Rosay Entire function, in the classification of germs tangent to identity, in one and two variables. Transaction AMS, 347(1995), p. 543-72

62. Arnol'd V.I. Wave front evolution and equivariant Morse lemma. Comm. pure and appl. Math., 1975, v. 29, p. 557—581.

63. Babbage Essay Towards the calculus of functions. Philosoph. Transact, 1815, 389-423.

64. Baker I.N. Permutable power series and regular iteration. Journal Australian Math. Soc., v.2, N 3 (1962), p.265-294.

65. Baker I.N. Zusammensetzungen ganser Functionen. Math. Zeitschr., 69 (1958), p.121-163.

66. Baker I.N. Fractional iteration near a fixpoint of multiplier 1. Journal Australian Math. Soc., 1964, v.4, p. 143-148.

67. Bricman L., Thomas E.S. Conformal Equivalence of Analytic Flows. Journal of Differential Equations, v.25 (1974), p.310-324.

68. Bendicson I. Sur les courbes definies par des equations differentielles. Acta Math. 25 (1901), 1-88.

69. Bibikov Yu.N. Lokal theory of nonlinear analytic ordinary differential equations. Lecture Notes in Mathematics, vol. 702, Springer-Verlag, Berlin, 1979.

70. Birkhoff G.D. On the periodic motions of dynamical systems. Acta Math. 1927. p.48

71. G.D.Birkhoff Deformations analytiques et fonctions auto-equivalentes. Annales 9 (1939), 51-122.

72. Bochner S. Compact groups of differentiate transformations. Ann. Main., Ser. 2, 1945, v. 46 .V 3, p. 372-381.

73. C. Camacho and P. Sad, Invariants varieties through singularities of holo-morphic vector fields , Ann. of Math. (2) 115 (1982), 579-595.

74. Cremer H. Uber die Häufigkeit der Nichtzentren. Math.Ann., v.H5,(1938), 573-580.

75. Dumortier F. Singularities of vector fields in the plane. J. Diff. Equat. 23 (1977), 53-106.

76. Dufour J.-P. Bi-stabilité des fronces. Analyse differ. Univ. du Montpellier, France, 1977.

77. Dufour J/P/ Sur la stabilité des diagrammes d'applications differentialles // Ann. scient. Ecole Norm. Super. 1977. -10. №2 - p. 153-174.

78. Dufour J.-P. Diagrammes d'applications differentiates. Tese. Univ. du Montpellier, France, 1979.

79. Ecalle J. Sur les fonctions resurgentes. 1,11 Orsay. 1981. - p. 1-250, 251-531.

80. Ecalle J. Theorie iterative. Introduction á la theorie des invariants holomorphes. J. Math, pures et appl., 1975, v.54, p. 183-258.

81. Ecalle J. Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Actualités Mathématiques, Herman, Paris, 1992.

82. Erdos P., Jabotinsky E. On analytic iteration. J.Analuse Mathe,8, (1960/1961), p.361-376.

83. P.Fatou Sur les equations fonctionelles. Bull.Soc.Math.France 47 (1919),p. 161-271; 48 (1920),p. 33-94; 48 (1920), p. 208-314/

84. L. le Floch Theorem de rigidité pour une famile a un paramétré d'équations différentielles holomorphes, C. R. Acad. Sei. Paris, t. 319, Serie I (1994), 1197-1200.

85. Genzmer Y.; Paul, E., Normal forms of foliations and curves defined by a function with a generic tangent cone. arXiv:0907.3140.Gr. Granger, J.M., Sur un espace de modules de germe de courbe plane, Bull. Sc. Math., 2 série, 103 (1979), p.3-16.

86. A. A. Glutsuk Stokes Operators via Limit Monodromy of Generic Perturbation. J. Dynam. Control Systems, 5 (1999), no. 1, p. 101-135

87. Grauert, H .¡Uber modificationen und exzeptionelle analytishe Mengen, Math. Ann., 1962, vol 146, p.331-368.

88. M.Hukuhara, T.Kimura and T.Matuda Equations différentielles ordinaires du premier ordre dans le champ complexe. Math.Soc. of Japah, Tokyo, 1961.

89. Yu.S. Il'yashenko, Nonlinear Stokes Phenomena // Nonlinear Stokes Phenomena. -Adv. in Sov.Math., 13, Amer. Math. Soc., Providence, 1992. P.l-55.

90. Yu.S. Il'yashenko Finetness theorem for limit cycles. AMS, Providence,RI, 1991.

91. Koenigs G. Recherches sur les intégrales de certaines equations fonctionnelles. Ann.Sci.Ecole Norm.Sup.(3), v.l(1884), Supplement, p.3-41.

92. M.Kuczma Functional equations in a single variables. Monogr. Matem., v.46, PWN, Warsawa, 1968.

93. M.Kuczma Functional equations in a single variables. Monogr. Matem., v.46, PWN, Warsawa, 1968.

94. L.Leau Etude sur les equations fonctionelles a une ou plusieurs variables. Ann. Fac. Sci. Touluse 11 (1897), 1-110.

95. Loray, F. Analytic normal forms for non-degenerate singular points of planar vector fields, Preprint, Institute Estudis Catalaus, 2003.

96. Loray, F. A preparation theorem for codimension-one foliations. Ann. of Math. (2) 163 (2006), no. 2, 709-722.

97. F.Loray and R.Meziani, Classification des certaines feuilletages associes a un cusp, Bol.Soc.Bras.Mat. 25 (1994),93-106.

98. B.Malgrange, Travaux d'Ecalle et de Martinet-Ramis sur les syst'emes dynamiques, S'eminaire Bourbaki,vol. 1981/1982, Ast'erisque, vol.92-93, Soc.Math. France, Paris,1982,pp.59-73.

99. Malgrange B. Travoux d'Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dinamique. Sem.Bourbaki, 34-e anne, 1981/1982, n.582, Novembre 1981.

100. P. Mardesic, R. Roussarie, and C. Rousseau. Modulus of Analytic Classification for Unfoldings of Generic Parabolic Diffeomorphisms Mose. Math. J. 4 (2004), no. 2, 455-502.

101. Marin,D.; Mattei, J.F.Incompressibility of leaves of singular holomorphic foliation germs. Annales scientifiques de TENS, série 441, fasc.6, 2008.

102. J.Martinet and J.P.Ramis, Probl'eme de modules pour des 'equations différentielles non lin'eaires du premier ordre, Inst. Hautes 'Etudes Sei.PublMath.(1982 55,pp.63-164).

103. Martinet J., Ramis J.P. Classification analytique des équations différentielles non linéaires resonnantes du premier ordre. Ann. Sei. École norm, supér., 1983, 16, №4, p. 571-621.

104. Mattei,J.F. Modules de feuilletages holomorphes singuliers. I. Équisingularité. (French) Moduli of singular holomorphic foliations. I. Equisingularity] Invent. Math. 103 (1991), no. 2, 297-325.

105. Mattei J .F., Quasi-homogénéité et équiréductibilité de feuilletages holomorphes en dimension 2. Astérisque No.261, (2000), 253-276.

106. Mattei,J.-F.; Moussu,R. Holonomie et intégrales premières. (French) Holonomy and first integrals] Ann. Sei. École Norm. Sup. (4) 13 (1980), no. 4, 469-523.

107. Mattei, J.F; Salem, É. Classification formelle de feuilletages singuliers de (C2, 0). (French) Formal classification of singular foliations of (C2, 0)] C. R. Acad. Sei. Paris Sér. I Math. 325 (1997), no. 7, 773-778.

108. J.F.Mattei and E.Salem Complete system of topological and analytical invariants for a generic foliation of (C2,0). Math.Res.Letters 4 (1997), No 1, 131-141.

109. Melrose R. Equivalence of glancing hypersurfaces // Invent. Math. 37. -1976. - P.165-191.

110. Moussu,R., Holonomie evanescente des equations différentielles dégénerées transverses, in "Singularities and Dynamical Systems" (S.N. Pnevmaticos, ed.) North-Holland, Amsterdam, 1985, p. 161-173.

111. Muckenhoupt B. Some results on analytic iteration and conjugacy. Amer.J.Math., 84(1962), p.161-169.

112. Lins-Neto, A. Construction of singular holomorphic foliations in dimension two J. Diff. Geom. 26 (1987), 1-31.

113. Newlander A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds // Ann. of Math. 65 (1957). - P.391-404.

114. Ortiz-Bobadilla, L.; Rosales-Gonzalez,E.; Voronin,S.M. Rigidity theorem for degenerated singular points of germs of holomorphic vector fields in the complex plane. J. Dynam. Control Systems 7 (2001), no. 4, 553-599.

115. Ortiz-Bobadilla,L., Rosales-Gonzalez,E., Voronin,S. Rigidity theorem for degenerated singular points of germs of dicritic holomorphic vector fields in the complex plane. Mosc. Math. J. 5 (2005), no. 1, 171-206.

116. L.Ortiz-Bobadilla, E.Rosales-Gonzalez, S.M.Voronin. Extended Holonomy and Topological invariance of Vanishing Hlonomy Group. J. Dynam. Control Systems , Vol. 14, No.3, (2008), no. 4, pp. 299-358.

117. Ortiz-Bobadilla, L. ; Rosales-González, E. ; Voronin, S. M. Analytic normal forms of germs of holomorphic dicritic foliations. Mosc. Math. J. 8 (2008), no. 3, 521-545, 616.

118. Ortiz-Bobadilla, L. ; Rosales-GonzFyiez, E. ; Voronin,S.M. On Camacho-Sad's Theorem about the existence of a separatrix. Int.J.Math.,vol.21, 9, p.1-8.

119. Paul, E. Formal normal forms for the perturbations of a quasi-homogeneous hamiltonian vector field. Journal of Dynamical and Control Systems, Vol.10 ,N.4 ,2004, p.545-575.

120. Pfeifer G.A. Existeme of divergent solutions of the functional equations ipog(x) = a-(p(x), f°f(x) = g(x) , where g(x) is a given analytic function, in the irrational case. Bull.Amer.Math.Soc., 22(1916), p.163.

121. Poincare H. Sur les points singuhers des equations differentielles . C.r.Acad.sci., 1882, 94, 416-418. Oeuvres, t.XI, p.3-5.

122. J. -P. Ramis, Confluence et resurgence , J. Fac. Sci. Univ. Tolcyo Sect IA Math. 36 (1989), 706-716.

123. J. Ribon. Modulus of Analytic Classification for Unfoldings of Resonant Diffeomorphisms. Mosc. Math. J. 8 (2008), no. 2, 546-588/

124. C. Rousseaua, The root extraction problem J. of Diff. Equations, Vol. 234 (2007), Issue 1/ P. 110-141

125. C. Rousseaua, C. Christopher Modulus of analytic classification for the generic unfolding of a codimension 1 resonant diffeomorphism or resonant saddle. Annales de l'institut Fourier, 57 no. 1 (2007), p. 301-360

126. C. Rousseaua Modulus of analytic classification for a family unfolding a saddle-node, Moscow Mathematical Journal, 5, (2005), 245-268.

127. C. Rousseaua and L. Teyssier. Analytical Moduli for Unfoldings of Saddle-Node Vector Fields . Mosc. Math. J. 8 (2008), no. 3, 547-614

128. C. Rousseaua The moduli space of germs of generic families of analytic diffeomorphisms unfolding of a codimension one resonant diffeomorphism or resonant saddle, J. Differential Equations, 248 (2010), 1794-1825.

129. Seidenberg A. Reduction of singularities of differential equation Ady=Bdx. Amer. J. Math., 1986, 90, 1, 248-269.

130. Siegel C.L. Iteration of analytic functions. Ann. Math., v.43, 1942, 607-612.

131. Schroder E. Uber iterierte Functionen. Math.Ann., 3,1871, 296-322.

132. Szeker G. Fractional iteration of entire and rational functions. J.Austr.Math.Soc. 4(1964), 129-142.

133. E.Strozyna and H.Zoladek, The analytic and formal normal forms for the nilpotent singularity, J.Diff.Equat.179 (2002),479-537.

134. Teixeira M. A. Local and simaltaneous structural stability of certain diffeomorphisms. Univ. Estadual de Campinas, Brasil, Rel. Int., 1978, №164, Novembro.

135. Teixeira M. A. Generic singularities of discontinuous vector fields. Univ. Estadual de Campinas, Brasil, Rel. Int., 1979, №139, Abril.

136. L.Teyssier Equation holomologique et cycles asymptotiques dune singularité neoud-col. Preprint I.R.M.A. Lille, vol. 55, ch. Ill, 2001.

137. L.Teyssier Classification analytique des champs de vecteurs noeud-cols. C.R.Acad.Sci.Paris, Ser. 1 336 (2003), No 8, 619-624.

138. L.Teyssier Analytical classification of singular saddle-node vector fields. Journal of Dynamical and Control Systems . 2004, Vol.10, N. 4, P.577-605

139. Voronin S.M. Darboux-Whitney's Problem and Related Questions // Nonlinear Stokes Phenomena. Il'yashenko Yu., editor. Adv. in Sov.Math., 14, Amer. Math. Soc., Providence, 1993. P. 139-233.

140. Voronin, S. M. Invariants for singular points of holomorphic vector fields on the complex plane. The Stokes phenomenon and Hilbert's 16th problem (Groningen, 1995), World Sei. Publ., River Edge, NJ, 1996. P.305-323,

141. Voronin S.M., Grinchii A.A. An analytic classification of saddle resonant singular points of holomorfic vector fields in the complex plane . J. Dynam. Control Systems, 1996. 2, №. P. 21-53.

142. M.Zhitomirskii, "Local normal forms for constrained systems on 2-manifolds", Bol. Soc. Bras. Mat. 24 (1993), 211-232.

143. Zhitomirskii M. Typical singularities of differential 1-forms and Pfaff equations. AMS, Providence. - 1992.

144. Yoccoz J. -C. Linearisation des germes de diffeomorphismes holomorphes de (C, 0), C. R. Acad. Sei. Paris 306. P.55-58.

145. J.-C.Yoccoz Theoreme de Siegel, nombres de Briuno et polynômes quadratiques. Asterisque 231 (1995), 3-88.

146. Zoladek, H. The Monodromy Group, Monografîe Matematyczne, Vol 67, New Series,(2006) Birkhauser, Basel, Boston, Berlin, pp.580.