Методы вычисления дифференциальных инвариантов и их приложения к исследованию дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Юмагужин Валерий Афтахович

Методы вычисления дифференциальных инвариантов и их приложения к исследованию дифференциальных уравнений

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск - 2010

003492488

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте программных систем им. А.К.Айламазяна РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Красильщик Иосиф Семенович,

доктор физико-математических наук, профессор

Сенатов Сергей Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор

Туницкий Дмитрий Васильевич.

Ведущая организация: Факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 2 апреля 2010 г. в час. на

заседании диссертационного совета ДМ 212.099.18 при Сибирском федеральном университете по адресу: 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26, корпус Ж, ауд. 1-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского федерального университета (г. Красноярск, ул. Киренского, 26).

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

К.А. Кириллов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ключевое положение в диссертации занимает разработка метода вычисления дифференциальных инвариантов произвольного естественного расслоения.

Методы вычисления дифференциальных инвариантов яв-лются одним из важных разделов теории дифференциальных инвариантов.

К середине прошлого века Э.Картан разработал общий метод решения проблемы эквивалентности геометрических структур, см. книгу Т.Ивея и Я.Ландсберга1.

Изложение метода Картана на языке современной дифференциальной геометрии привело к созданию общего подхода к вычислению дифференциальных инвариантов геометрических структур - теории G-структур. Наиболее развитая ее часть -это теория G-структур 1-го порядка, см. работы Д.Бернарда2 и И.Зингера и С.Стернберга3. Дифференциальные инварианты геометрической структуры, строящиеся в этой теории, -это структурные функции /, ..., принимающие зна-

чения в соответствующих когомологиях Спенсера. Первая из них / определена на G-структуре В над исходным многообразием, следующая /W определена на -структуре ВМ над многообразием В и т.д.

В настоящее время это единственный общий метод вычисления дифференциальных инвариантов геометрических структур. Очевидное неудобство его делает актуальной задачу разработки методов вычисления дифференциальных инвариантов геометрических структур непосредственно в их естественных расслоениях.

Первые результаты в этом направлении получены в недав-

1Ivey Т., Landsberg J., Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Differential Systems, Graduate Studies in Mathematics Vol. 61, AMS, Providence, Rhode Island, 2003, pp. 392.

2Bernard D. Sur la ¡/(xnnc.trir. diffinT.iUiidlr. ihts G-atiMctmv.it//Knii. Inst. Fourier, 10, I960, pp. 151-270.

3Singer I.M., Sternberg S., On the infinite groups of Lie and Carian,I // J. Analyse Math., V. 15, pp. 1-114, 1965.

них работах В.В.Лычагина и Б.С.Кругликова4 5 6.

Второе направление диссертации - это применение дифференциальных инвариантов к исследованию и нахождению явных решений дифференциальных уравнений.

Как известно, на решениях многих нелинейных дифференциальных уравнений естественным образом определены геометрические структуры. Например, характеристики системы дифференциальных уравнений адиабатического движения газа в пространстве R", п = 1,2,3, порождают, см. Л.В.Овсянников7, на каждом её решении геометрическую структуру, которая при п = 1 является 3-тканью, а при п = 2,3 состоит из конуса и плоскости в каждом кокасательном пространстве к решению. Другие примеры дают геометрические структуры на решениях нелинейных дифференциальных уравнений, порожденные символами этих уравнений.

Представляется весьма актуальным использовать дифференциальные инварианты геометрических структур на решениях дифференциальных уравнений для исследования самих решений и нахождения явных решений.

Первые результаты в этом направлении были получены для систем уравнений гидродинамического типа. Характеристики таких систем порождают на их решениях геометрические структуры n-ткани. Простейший дифференциальный инвариант этой структуры - кривизна n-ткани. Для различных таких систем Х.О.Кильп8, затем Е.Ферапонтов9 получили явные решения, кривизна n-ткани которых равна нулю.

Третье йаправление, затронутое в диссертации, - это проблема эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-

4Лычагик В.В. Однородные структуры на многообразиях// Мат. Заметки, 52 (1992),N4, с.54-68.

5Lydiagin V.V., Homogeneous geometric structures and homogeneous differential equations// AMS Translations, Advances in Math. Sei., Ser.2, v.167, (1995), p.143-164.

6Kruglikov В., Lychagin V.V., On equivalence of differential equations// Acta et Comment. Univ. Tartuensis Math. (1999), 3, pp. 7-29.

7Овсяшшков Л.В., Лекции no основам газовой динамики, Наука, М., 1981, 368 с.

8Кильп Х.О., Две квазилинейные системы S32 из механики с шестиугольной тритканъю характеристик (геометрическая теория)// Уч. зап. Тнртуск. гос. унта, 1975, Т.374, С. 63-78.

'Ферапонтов Е.В., Уравнения гидродинамического типа с точки зрения теории тканей// Мат. заметки, 1991, т. 50, вып. 5, 97-108.

Ампера общего положения и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно контактных преобразований.

Проблема эквивалентности является одной из важных проблем дифференциальных уравнений. Число публикаций на эту тему огромно и непрерывно увеличивается.

Уравнение типа Монжа-Ампера можно рассматривать как подмногообразие в расслоении J2M 2-джетов функций многообразия M независимых переменных. В.В.Лычагин10 показал для уравнений Монжа-Ампера, обладающих хотя бы одной контактной симметрией, что проблема эквивалентности для них относительно контактных преобразований сводится к проблеме эквивалентности эффективных форм на кокасательном расслоении Т* M относительно симплектических диффеоморфизмов.

Это позволило в начале 80-ых годов прошлого века В.В.Лы-чагину и В.Н.Рубцову11, получить при dim M = 2 строгие доказательства теорем С.Ли о приводимости уравнения Монжа-Ампера к квазилинейному уравнению, к линейному уравнению с постоянными коэффициентами и к параболическому и волновому уравнениям. Затем в работах 12 13 были получены обобщения этих теорем на большие размерности. Более общие результаты о контактной и симплектической классификации уравнений Монжа-Ампера были получены позже в серии работ Б.Кругликова, А.Кушнера и Д.Туницкого 14 15 16

10Лычапга В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка// Успехи Мат. Наук, 1979, том 34, № 1, стр. 101-171.

11Lychagin V.V. and Roubtsov V.N., On Sophus Lie theorems for Monge-Ampere equations// Dokl. Akad. Nauk BSSR 27:5 (1983), 396-398.

l2Lychagin V.V. and Roubtsov V.N., Local cltissifiaitum of Monge-Атрслт. iüljc.n:iíti/d equations// DokL Akad. Nauk SSSR 272:1 (1983), 34-38.

13Lychagin V.V., Rubtsov V.N., Chekalov I.V., A classification of Monge-Ampere equations// Ann. Sc. Ecole Norm. Sup. (4) 26 (1993), 281-308.

14Кругликов Б.С., Некоторые классификационные проблемы а четырехмерной геометрии: распределения, почти комплексные структуры, уравнения Монжа-Ампера// Мат. Сборник, 1998, том 189, № 11, стр. 61-74,

15Кругликов Б.С., Симлектические и контактные алгебры Ли с применением к уравнениям Монжа-Ампера //Труды мат. инст. имени В.А-Стеклова, 1998, том 221, стр.232-246.

lßKruglikov В., Classification of Monge-Ampere equations with two variables // in: Geometry and topology of caustics—CAUSTICS '98 (Warsaw); Banach Center

17 is 19 20 21^ КуЛьмииацией которых стала книга А.Кушнера В.В.Лычагина и В.Н.Рубцова22.

В работе Т.Моримото23 изложены в терминах G-структур результаты Дарбу и Гурса24, касающихся проблемы эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-Ампера в некоторых специальных случаях.

Исследование эквивалентности уравнений МонжагАмпера далеко от завершения. Например, открыта ключевая проблема - задача полного описания алгебры'скалярных дифференциальных инвариантов уравнений Монжа-Ампера. В частности, представляется актуальной проблема эквивалентности уравнений Монжа-Ампера общего положения.

Что касается линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, то Л.М.Беркович в серии своих работ, завершившихся монографией25, решил проблему эквивалентности этих уравнений порядка п > 3 относительно точечных преобразований. Осталась открытой проблема эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно контактных преобразований.

Следующее направление диссертации - это полное описание алгебр скалярных дифференциальных инвариантов дифференциальных уравнений и геометрических структур.

Publications, 50, 179-194 (1999).

"Kusliv.cr A., Clasñficatitm of mirt-A tyjie Мопда-Ащмтн rjpiatitms // GeometTy in Partial Differential Equations. (1993) pp. 173-188.

18Kushner A., Symplectic geometry of mixed type equations //in Amer. Matb. Soc. Transi., "The interplay between geometry and differential equations V.V.Lychagin Dds., ser. 2, 167 (1995) pp. 131-142.

"Kushner A., Monge-Ampere equations and estructures // Dokl. Akad. Nauk 361:5 (1998), 595-596.

20Tunitskii D.V., Contact equivalence of Monge-Ampere equations with transitive symmetries // In Differential Geometry and Applications, Brno, (1995), pp. 479-485.

21Tunitskii D.V., On the contact linearization of Monge-Ampere equations // Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. 60:2 (1996), 195-220.

22Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V., Contact Gometry and Non-linear Differential Equations Cambridge University Press, (2007) pp.496

"Morimoto T., La geometric des equations de Monge-Ampere// C. R. Acad. Sei. Paris A-B 289:1 (1979), A25-A28.

24Goursat E.Lecon sur l'intégration des equations aux dérivées partielles du second order a deux variables independent ts, I, //// Hermann, Paris, 18%, 1898.

25Беркович Л.М. Факторизация u преобразования дифференциальных уравнений. Методы и приложения. - Москва: НИЦ «Рагулирнан и хаотическая динамика», 2002, с. 464.

Знание образующих алгебры скалярных дифференциальных инвариантов дифференциального уравнения существенно облегчает нахождение симметрии этого уравнения, а дифференциальные соотношения между образующими этой алгебры дают условия интегрируемости в проблеме эквивалентности. Поэтому полное описание алгебр скалярных дифференциальных инвариантов является весьма актуальной задачей в изучении дифференциальных уравнений и геометрических структур.

В диссертации рассматриваются скалярные дифференциальные инварианты обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, правая часть которых является многочленом 3-ей степени от производной зависимой переменной. Эти инварианты исследовали многие математики, начиная от классиков прошлого века С.Ли, Р.Лиувилля и А.Трессе кончая современными математиками, но ни в одной из известных автору работ нет полного описания алгебры скалярных дифференциальных инвариантов для какого-нибудь класса таких уравнений.

В диссертации также рассматриваются скалярные дифференциальные инварианты линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3. Эти инварианты для га = 3,4 исследовали классики прошлого века Лагерр и Аль-фан, затем для п > 3 - Э.Вильчинский26, Л.М.Беркович25 и др., но до сих пор не было дано полного описания алгебры скалярных дифференциальных инвариантов этих уравнений.

Наконец, в диссертации исследуются скалярные дифференциальные инварианты 3-тканей общего положения на 2-мерном многообразии. Актуальность такого исследования обусловлена во-первых тем, что 3-ткани возникают естественным образом на решениях многих практически важных гиперболических систем дифференциальных уравнений, а во-вторых, 3-ткани играют важную роль в экономической модели Самуэль-

26Wilczynski E.J., Projective differential geometry of curves and ruled surfaces, B.'G. Teubner, Leipzig, 1906.

сона 27 28.

Актуальность данной работы в настоящее время обусловлена еще и тем, что методы вычисления дифференциальных инвариантов имеют большую вычислительную сложность, и последние достижения в этой области связаны с развитием систем компьютерной алгебры.

Цель работы. Получение методов и алгоритмов вычисления дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях, их программная реализация ав системах компьютерной алгебры и применение этих методов к

- исследованию геометрических структур на решениях дифференциальных уравнений,

- получению явных решений дифференциальных уравнений,

- решению проблемы эквивалентности дифференциальных уравнений, а также

полное описание алгебр скалярных дифференциальных инвариантов дифференциальных уравнений и геометрических структур.

Общие методы исследования. В работе применются методы геометрии нелинейных дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли, дифференциальной геометрии и методы программирования в системах компьютерной алгебры.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. Все основные результаты диссертации являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты:

1. Получены методы и алгоритмы вычисления дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях

Найдены достаточные условия существования линейных связностей на сечениях естественного расслоения.

27Debrcu G., Cardinal Utility for Even-Chance Mixtures of Pairs of Sure Prospects, Review of Economic Studies, Vol 71, (1959), 174-177.

28Debreu G., Topological Methods in Cardinal Utility Theory, Mathematical Methods in the Social Sciences 1959, Kenneth J. Arrow, Karlin S. and Suppe« P. ed., (1960), 16-26.

2. Вычислены структурные дифференциальные инварианты геометрических структур на решениях систем уравнений адиабатического движения газа в размерностях 1,2,3.

Построены линейные связности на решениях систем уравнений адиабатического движения газа в размерностях 1,2.

Исследованы решения систем уравнений адиабатического движения газа в размерности 2, со связностями без кручения.

Найдены явные решения этих систем для случая полит-ропного потока газа постоянного обьема в размерностях 2 и 3, структурные дифференциальные инварианты которых равны нулю.

3. Доказано, что символы уравнений Хохлова-Заболотской,. нестационарного трансзвукового потока газа и уравнения коротких волн порождают метрики на их решениях.

Вычислены явные решения этих уравнений при помощи классических дифференциальных инвариантов метрик.

4. Получены дифференциальные инварианты и алгоритмы их вычисления для гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения.

Получено решение проблемы контактной эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения.

5. Получено описание орбит действия диффеоморфизмов базы естественного расслоения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка вида у" = а(х, у)у'3+Ь(х, у)уг2+с(х, у)у'+<1{х, у) в расслоениях

¿-джетов его сечений, к = 0,1,2,3.

Получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов этих уравнений, 3-джеты которых лежат в орбите общего положения расслоения сГ37г.

6. Получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка > 3.

Получено решение проблемы эквивалентности для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка > 3 относительно контактных преобразований.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полуденные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях проблемы эквивалентности дифференциальных уравнений, а также для исследования решений дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях: на международной конференции "Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces" (Москва, 1994); на международной конференции "Secondary Quantized Calculus and Nonlinear Problems in Physics" (Vietry sul Mare, Italy, 1994); на международной конференции "New Computer Technologies and Control Systems"(Пересл-авль-Залесский, 1995); на международной конференции "Secondary Calculus and Cohomologous Physics"(Москва, 1997); на международной конференции "Differential Inclusions and Control" (Переславль-Залесский, 1998) на международной конференции "Problems and trends of contemporary geometry. Current Geometry"(Santo Stefano del Sole (Avellino), Italy, 2004); на международной конференции "Программные системы: теория и приложения"(Переславль-Залесский, 2004, 2006, 2009); на международной конференции "Differential Geometry and Its Applications" (Prague, Czech Republic, 2004); на международной конференции "Geometry in Odessa. Differential geometry and its applications" (Одесса, Украина, 2005, 2008, 2009); на международной конференции "Geometry of Vector Distributions, Differential Equations, and Variational Problems"(S.I.S.S.A. - I.S.A.S., Trieste, Italy, 2006); на всероссийской конференции "Герценов-ские чтения - 2006" (Санкт-Петербург, 2006); на международной конференции "Анализ и особенности" ( МИАН, Москва, 2007); на международной конференции "Differential Equations

and Topology" (Москва, 2008); на международной конференции "Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры" (Саратов, 2008); на международной конференции "Лаптевские чтения - 2009"(Москва-Тверь 2009) на международном научном семинаре "Современные проблемы дифференциальной геометрии"(Казань, 2009).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах: факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ под руководством академика В.А.Ильина, Независимого московского университета под руководством профессора И.С.Красилыцика, факультета математики и информатики университета Салерно (Салерно, Италия) под руководством профессора А.М.Виноградова, института математики Силезского университета (г.Опава, Чешская республика) под руководством профессора М.Марвана, исследовательского центра системного анализа ИПС РАН под руководством профессора А.М.Цирлина.

Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в 29 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Личный вклад. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав и приложения, разбитых на разделы. Диссертационная работа изложена на 248 страницах. Библиография включает 128 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Ввводная глава диссертации посвящена истории рассматриваемых вопросов (раздел 0.1), а также краткому изложению результатов работы (раздел 0.2).

В главе 1 кратко изложены все необходимые сведения из геометрии расслоения джетов и геометрии дифференциальных уравнений.

В главе 2 мы представляем общий подход к построению дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях.

В разделе 2.1 даются все необходимые определения связанные с естественными расслоениями.

В разделе 2.2 описываются поднятия диффеоморфизмов и векторных полей с базы естественного расслоения в расслоения джетов его сечений, определяются дифференциальные инварианты естественного расслоения и геометрических структур.

В разделе 2.3 приведены необходимые сведения о формальных векторных полях, продолжениях подпространств и кого-мологиях Спенсера.

В разделах 2.4 - 2.7 излагается метод построения структурных дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях. Суть его в следующем.

Пусть ж : Е —> М - естественное локально-тривиальное расслоение, Жк : Зк 7Г —► М, тг£ : _7р5 ь-+ р, к = 0,1,2,..., -расслоение к-джетов его сечений; jkS : р - сечение

расслоения щ, порожденное сечением 5 расслоения 7г; Ь^ -образ сечения ¿кБ.

Для любого векторного поля X на многообразии М (любого диффеоморфизма / многообразия М) через ХМ (/Ю) обозначим его естественное поднятие в ,/*7г.

Значение поднятого векторного поля Х^ в точке вк 6 /^тг определяется г + £-джетом поля X в точке р = п~к{вк), где г дифференциальный порядок расслоения я\

Формальной симметрией джета вк+1 = назовем

г + /с-джет зТр+кХ такого векторного поля X, что Х^ € 0С@к+1, где 0Сдк+1 - касательное пространство к образу сечения укБ в точке вк = ЗрБ. Через Авк+1 обозначим пространство формальных симметрий джета вк+ь Алгебра изотропии точки вк определяется формулой = { ]р+кХ \ Х^ =0}.

Доказывается, что скобка векторных полей порождает билинейное кососимметричное отображение

[',']: Лвм х Л*« Авк, Гр+кУ] = з^1[Х, Г].

Пусть Р1,т{]рХ) = 3™Х Для любых натуральных I > т> О и пусть ТРМ - касательное пространство к М в точке р.

Подпространство Н с Адк+1 называется горизонтальным, если рТ+к,о\н ■ Н —+ ТРМ - изоморфизм. Для любого горизонтального подпространства Н в Адк+1 имеет место разложение АЙк+1=Н

Каждое горизонтальное подпространство Н в Адк+1 определяет внешнюю 2-форму и>я на ТРМ со значениями в Адк:

шн(хр,ур) = и;+кх, гр+кг], чхр,ур е трм.

ЕЗё компонента нулевого порядка иРц = рг+к-1,о°^н принадлежит пространству ТРМ ® (Тр М А Т*М).

Положим д\к = Рг+*;д(0ок)- Алгебра д\к является подалгеброй алгебры ТРМ & Т*М. Она порождает комплекс Спенсера

о - Ю(1) - з1 ® т;м ^ трм 0 (т;м д т;м) - о,

где (<4)(1) = (д1 ®т;м)П (ТрМ®(Т;МоТ;М)) 1-ое продолжение алгебры ддк, а оператор д\ \ определяется формулой диШХ,, Ур) = - КУр)(Хр).

Доказывается, что класс смежности

не зависит от выбора горизонтального подпространства Н в Лвь+1. В результате, естественным образом построена функция на ^+17Г

и0 : вк+1 .—» ш°вк+1

со значениями в когомологиях Спенсера. Эта функция - дифференциальный инвариант порядка к + 1 расслоения ж. Мы называем его структурным инвариантом. Выбор дополнения в разложении

трм ® (Т;м А т;м) = свк © з1Д(50\ ® т;м)

позволяет считать, что является тензором из подпространства Сдк.

\

Выбор дополнений Сек инвариантным образом позволяет считать, что и>° является тензорным дифференциальным инвариантом (порядка к + 1) расслоения 7г.

Ограничение инварианта и>° на Ьдявляется дифференциальным инвариантом (порядка к + 1) геометрической структуры 5.

Далее в пункте 2.7.3 исследуются горизонтальные подпространства Н С Лв1+1, выделяемые дополнением Сдк. Это приводит в пункте 2.7.4 к нахождению достаточных условий существования линейных связностей на сечениях расслоения тг.

В разделе 2.8 в качестве примера вычисляется структурный тензорный дифференциальный инвариант 1-го порядка естественного расслоения почти-комплексных структур. Сравнение его с классическим дифференциальным инвариантом почти-комплексных структур - тензором кручения Ниенхей-са, показывает, что он равен нулю тогда и только тогда, когда равен нулю тензор Ниенхейса.

В этой главе изложен метод построения дифференциальных инвариантов геометрических структур, использующий компоненты нулевого порядка форм шд. Методы построения дифференциальных инвариантов, использующие следующие компоненты этих форм, изложены на примере естественного расслоения обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка в разделах 4.3.1 и 4.3.2 и на примере естественного расслоения 3*тканей в разделе 5.2.2.

Глава 2 заканчивается разделом 2.9, в котором изложен известный алгоритм вычисления скалярных дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях.

В главе 3 мы исследуем геометрические структуры на решениях системы уравнений адиабатического движения газа в пространстве К", п = 1,2,3.

В разделе 3.2 мы изучаем геометрические структуры на решениях системы уравнений 1-мерного адиабатического движения газа.

Как известно7, характеристческие ковекторы этой системы образуют на каждом её решении, рассматриваемом как

2-мерная поверхность, геометрическую структуру 3-ткань.

В пункте 3.2.1 рассматривается естественное расслоение

3-тканей на плоскости. В пункте 3.2.2 мы строим дифференциальные инварианты 3-тканей, используя подход к построению дифференциальных инвариантов главы 2. В результате получаем, что структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка расслоения ц равен нулю, а на каждом его сечении определена линейная связность без кручения. Для системы уравнений 1-мерной газовой динамики этот результат означает, что на каждом её решении определена линейная связность без кручения. Дальнейшее применение этого подхода приводит к построению дифференциального инварианта 2-го порядка, который на каждом решении системы уравнений 1-мерной газовой динамики совпадает с тензором кривизны линейной связности этого решения.

В пункте 3.2.3 для системы уравнений 1-мерного адиабатического движения газа при А(р, р) = р мы находим широкий класс явных решений этой системы, линейные связности на которых имеют нулевой тензор кривизны.

В дополнительном раздел 3.3 дается полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов 3-тканей общего положения. В пункте 3.3.1 мы исследуем алгебры изотропии точек из Зкц. Это позволяет нам в пункте 3.3.2 описать орбиты действия псевдогруппы Г диффеоморфизмов базы расслоения /х в расслоениях ^ц:

1. Расслоение к = 0,1, является орбитой действия Г.

2. Расслоение .72/х является объединение двух орбит: орбиты общего положения ОгЬц и вырожденной орбиты'.

3. При к > 3 расслоение является объединением непрерывных семейств вырожденных орбит.

В пункте 3.3.3 доказывается, что нетривиальные скалярные дифференциальные инварианты определены в при к > 3. Мы ограничиваемся исследованием алгебры А всех скалярных дифференциальных инвариантов, определенных в подрасслое-нии (/х0012)_1(ОгЬо) расслоения У00/^ С этой целью мы находим два инвариантных векторных поля на линейно-

независимых в каждой точке. С помощью них мы находим обе образующие алгебры А и дифференциальное соотношений 1-го порядка между ними, которое является полным семейством соотношений между этими образующими.

В разделе 3.4 исследуются геометрические структуры на решениях системы уравнений 2-мерного адиабатического движения газа.

Характеристческие ковекторы этой системы порождают7 на каждом ее решении, рассматриваемом как 3-мерная поверхность, геометрическую структуру, которая состоит из 2-мерной плоскости и 2-мерного конуса в каждом кокасатель-ном пространстве к этому решению, пересекающихся только в нуле. В пункте 3.4.1 мы рассматриваем естественное расслоение ¡л таких геометрических структур в пространстве К3. В пункте 3.4.2 исследуется структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка расслоения д. В пункте 3.4.3 мы доказываем, что на решениях системы уравнений 2-мерной газовой динамики этот структурный дифференциальный инвариант является векторнозначной дифференциальной 2-формой. Далее доказывается, что на каждом решении системы уравнений 2-мерного адиабатического движения газа определена линейная связность, для которой полученная 2-форма является тензором кручения. В пункте 3.4.4 мы показываем, что для всякого решения (и,у,р,р) со связностью без кручения скорость (и, V) потока газа является комплексно-аналитической функцией по переменным хну.

Наконец в этом пункте для случая политропного потока газа постоянного обьема вычисляется широкий класс явных решений со связностями без кручения.

В разделе 3.5 мы изучаем геометрические структурэ на решениях системы уравнений 3-мерного адиабатического движения газа.

Характеристческие ковекторы этой системы порождают7 на каждом ее решении, рассматриваемом как 4-мерная поверхность, геометрическую структуру, которая состоит из 3-мерной плоскости и 3-мерного конуса в каждом кокасательном

пространстве к этому решению, пересекающихся только в нуле. В пункте 3.5.1 рассматривается естественное расслоение /1 таких геометрических структур в ^пространстве К4. В пункте 3.5.2 исследуется структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка этих структур. В пункте 3.5.3 вычисляется структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка на произвольном решении системы уравнений 3-мерного адиабатического движения газа.

Наконец в пункте 3.5.4 для случая политропного потока газа постоянного обьема мы вычисляем широкий класс явных решений, для которых структурный инвариант 1-го порядка равен нулю.

Глава 4 посвящена уравнениям Хохлова-Заболотской, нестационарного трансзвукового потока газа и уравнению корот-. ких волн.

В разделе 4.1 мы приводим все необходимые сведения из дифференциальной геометрии, касающиеся метрик и их классических дифференциальных инвариантов.

В разделе 4.2 изучается уравнение Хохлова-Заболотской22

Щх ~ (иих)х -иуу-ихг = 0. (1)

В пункте 4.2.1 мы рассматриваем это уравнение как нелинейный дифференциальный оператор 2-го порядка Д, действующий на сечениях расслоения

тг: К4 хМ —> Е4, тг: Ц,х,у,г,и) (Ь,х,у,г).

по формуле А = уздо^'з, где функция на многообразии 2-джетов /27Г сечений расслоения п, определяемая левой частью уравнения.В пункте 4.2.2 исследуется символ БтЬЦ Д оператора Д в произвольной точке О2 € ^ж. Мы доказываем, что ЭтЫ^ Д естественным образом отождествляется с метрикой Минковского

д{в2) = 4исИ2 + ШЛх - йу2 - ¿г2

на касательном пространстве Тр к базе расслоения п в точке р = 712(62). Отсюда немедленно следует, что если 5 - решение

уравнения (1) и L^' - образ сечения j^S : р j^S расслоения 7Г2, то

gs = 4u(i, х, у, z)dt2 + 4dtdx — dy1 - dz2

является метрикой Минковского на многообразии L^, ассо-циированом с решением.

В пункте 4.2.3 мы используем классические дифференциальные инварианты метрик для нахождения явных решений уравнения (1). На этом пути мы находим:

1) решения с локально-плоскими метриками (локально-плоские решения), т.е. решения, метрики которых имеют нулевой тензор кривизны,

2) решения, метрики которых обладают нулевым тензором Риччи (Риччи-плоские решения),

3) решения с конформно-плоскими метриками (конформно-плоские решения), т.е. решения, метрики которых имеют нулевой тензор Вейля,

4) решения с проективно-плоскими метриками (проектив-но-плоские решения), т.е. решения, метрики которых обладают следующим свойством: в некоторой окрестности каждой точки решения существуют локальные координаты, в которых геодезические линии метрики являются прямыми.

5) решения, являющиеся многообразиями Эйнштейна, то есть решения, метрики которых пропорциональны их тензорам Риччи.

В разделе 4.3 мы исследуем точно так же, как уравнение Хохлова-Заболотской, уравнение нестационарного трансзвукового потока газа29

2щх + ихихх - Uyy — игг = 0.

Точно так же, как для уравнения (1), мы используем классические дифференциальные инварианты метрик Минковского на решениях этого уравнения для нахождения явных решений.

29Ibragimov N.II, (ed), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 1, Symmetries, exact solutions, and conservation laws, CRC Press, Boca Raton, 1994, pp. 429.

Наконец в разделе 4.4 мы исследуем уравнения коротких волн35,

2utx - 2(х + их)ихх + Uyy + 2ких = 0, к = 0,1

точно так же, как выше мы исследовали уравнение Хохлова-Заболотской и уравнение нестационарного трансзвукового потока газа.

Точно так же, как для этих уравнений, мы используем классические дифференциальные инварианты метрик на решениях уравнения коротких волн для нахождения явных решений.

Единственное отличие заключается в том, что решения уравнения коротких волн - 3-мерные. Поэтому за конформную плоскостность метрики в этом случае отвечает тензор Вейля-Схоутена30.

Глава 5 посвящена дифференциальным инвариантам и решению проблемы эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения относительно контактных преобразований.

Уравнением Монжа-Ампера называется следующее нелинейное уравнение в частных производных 2-го порядка

•AT [zxx Zyy z2xy) + Azxx + Bzxy + Czyy + D = 0,

где N, A, B,C,D- функциии от x, у, z, zx, zy.

Уравнение Монжа-Ампера можно рассматривать как подмногообразие £ в расслоении 2-джетов J2t сечений расслоения

r:|2Xl—>R2, T:(x,y,z)^(x,y).

В пункте 5.1.2 дается геометрическое определение понятиям гиперболическое, параболическое и эллиптическое уравнение. В пункте 5.1.3 мы выводим непосредственно из геометрии расслоения Рт известноный результат31, что каждое гиперболическое уравнение Монжа-Ампера £ естественным образом

30Новиков С.II., Тайианов И.А., Современные геометрические структуры и поля, Москва, Изд-во МЦНМО, 2005, 581 с.

31Lydiagin V.V., Lectures on geometry of differential equations, University "La SapienzaRoma, 1992,133 p.

отождествляется с парой 2-мерных, косоортогональных подраспределений Т)\ и Т>1 распределения Картана С на J1•г. Отсюда следует в частности, что проблема эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований сводится к проблеме эквивалентности пар 2-мерных, косоортогональных подраспределений распределения С относительно контактных преобразований.

В разделе 5.2 исследуется расслоение уравнений Монжа-Ампера. В пункте 5.2.1, исследуется расслоение 7г гиперболических уравнений Монжа-Ампера. В пункте 5.2.2 мы исследуем орбиты общего положения относительно действия контактных преобразований в расслоениях джетов ^тг, к = 2,3, и оцениваем число независимых образующих алгебры скалярных дифференциальных инвариантов в окрестности точки общего положения.

В разделе 5.3 мы строим дифференциальные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения. В пункте 5.3.1 доказывается, что для гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения имеет место разложение касательного расслоения к М = 31т в прямую сумму

где Т>\ = (Х>£)(1) П (®е)(1) и (Х>£)(1) 1-я производная распределения Ъ\, ¿ = 1,2.

Проекторы: Рч ¡, г = 1,2,3, Рч ^ 3 = 1,2 и Рч с из ТЫ на распределения Ъ\, (Ю^/1) и С соответственно являются дифференциальными инвариантами 1-го порядка уравнения Мо-нжа-Ампера £. Их можно представлять как векторнозначные дифференциальные 1-формы:

Рч! = ш1 ® Хх + ш2 ® Х2, Рч 2 = ш3 ® Х3 + ш* ® ХА,

РЧ з = ш5 ® Х5} Рч<1} = Рч+ Рч з, Рч с = Рч! + Рч 2, где Х\, Х5 такие векторные поля, а и1, ..., ш5 такие дифференциальные 1-формы на М, что

Ъ\ = {ХъХ2), Ъ\ = {Хз,Х,>, Ъ1 = (Х5), и<(ХЛ = 6).

Формы кривизны 72-1, 72-г, ^ и К распределений (З)^1', (£>1)^ и С являются дифференциальными инвариантами 2-го порядка уравнений Монжа-Ампера:

Их = и1 Л ш2 ® Л"5, Тг2 = -о;3 Ли4® Х5, 7г[ = -(Ь^ш1 + Ь35ш2) Л ш5 ® Х3 - (Ь^ш1 + Ь^с;2) Лш5® Х4, = -(Ь^ш3 + Л ш5 ® Хх - (6з5ш3 + Ь25ш4) Л ш5 ® Х2, П = 11х+'Л2-

Далее, применяя естественные операции линейной алгебры и тензорного анализа к проекторам и формам кривизны, мы получаем множество новых дифференциальных инвариантов. В частности, применяя операцию свертки J , получаем в явном виде обе образующие 71 и I2 алгебры скалярных дифференциальных инвариантов 2-го порядка уравнений Монжа-Ампера:

I1 = Л12/Лх и /2 = Л И/Л2> где коэффициенты Лх, Л2 и Лх2 находятся из соотношений nx)J Кх) =2Л1ы1Л...Лы5®Х5, п2) J 7г2) = 2Л2ш1л...лш5®х5, J 7гх) J (7г} J 7г2) = А^о;1 Л ... Л и5 ® х5.

В пункте 5.3.5 мы показываем, что множество гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения естественным образом распадается на три подкласса аналогично тому, как множество всех уравнений Монжа-Ампера распадается на гиперболические, параболические и эллиптические уравнения. В пункте 5.3.6, применяя операции тензорной алгебры и анализа к полученным инвариантам, мы доказываем, что всякое гиперболическое уравнение Монжа-Ампера общего положения порождает естественным образом инвариантные дифференциальные 1-формы П1, П2, ..., О,5 на М линейно-незавсимые в каждой точке. В пункте 5.3.7, применяя операции тензорной алгебры и анализа к полученным инвариантам, находим

множество скалярных дифференциальных инвариантов 3-го порядка. Среди всех полученных скалярных инвариантов мы выбираем 5 функционально независимых инвариантов I1, I2, ..., I5. Эти инварианты порождают инвариантную систему координат I = (I1, ...,15)вМ.

Наконец, в последнем разделе мы мы доказываем, что класс эквивалентности уравнения Монжа-Ампера общего положения относительно контактных преобразований однозначно определяется выражениями инвариантных дифференциальных форм П', г = 1,2,..., 5 в инвариантной системе координат I.

В главе 6 мы представляем полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов для широкого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка вида

у" = а(х, у)у'3 + Ь(х, у)у'2 + с(х, у)у' + d(x, у) (2)

относительно точечных преобразований32. В разделе 6.1 мы отождествляем каждое уравнение £ вида (2) с сечением 5е : (ж, у) I—► (х, у, а(х, у),..., d(x, у)) тривиального расслоения

ж : R2 X R4 —► R2, ж : (х^х2,«1,... ,и4) (х\х2)

Это отождествление является биекцией множества всех рассматриваемых уравнений на множество всех сечений расслоения 7г. Поскольку всякое точечное преобразование переменных х и у преобразует каждое уравнение (2) в уравнение того же вида33, то в силу нашего отождествления, всякое точечное преобразование порождает преобразование сечений расслоения 7Г. Иными словами, всякое точечное преобразование / базы расслоения ж естественным образом поднимается до диффеоморфизма тотального пространства расслоения ж. Дифференциальный порядок этого естественного расслоения равен 2.

"Любые два таких уравнения локально контактно эквиваленты, си. СЬет S.-S., Projective geometry, contact transformations, and С R-structures/ / 1982, Arch. Math. Vol. 38, pp. 1 - 5

33 Арнольд В.И., Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Редакц. жури. "Регулярная и хаотическая динамика Удмуртский гос. ун-т, 2000, 400 с.

Диффеоморфизм естественно поднимается до диффеоморфизма /М расслоения всех &-джетов сечений расслоения 7г, к = 0,1,...,оо. Т.о., псевдогруппа Г всех точечных преобразований базы расслоения 7Г действуют на каждом расслоении Лг своими поднятыми преобразованиями

В раздел 6.2 мы описываем алгебры изотропии точек вк расслоения для к = 0,1,2,3. Это приводит к описанию орбит действия псевдогруппы Г на расслоениях В частности, получено следующее:

1. .Т*7г, к = 0,1, является орбитой действия Г,

2. .Ятг - объединение 2-х орбит: орбиты общего положения ОгЬо и вырожденной орбиты. -

3. ,/37г объединение 4-х орбит: одна из которых, ОгЬц орбита общего положения, остальные - вырожденные орбиты.

Отсюда ясно, что нетривиальные дифференциальные инварианты определены на при к > 2. В разделе 6.3.1, следуя общему методу главы 2, мы исследуем пространства формальных симметрий Ад, точек 02 € В частности, мы исследуем 2-форму и>н, определенную горизонтальным подпространством Н С Авг- Компоненты нулевого порядка форм шн порождают тривиальный структурный дифференциальный инвариант. Анализ компоненты первого порядка формы шн приводит к выделению естественного класса горизонтальных пространств в Ло2, для которых компоненты первого порядка форм ын равны нулю, а компоненты второго порядка не зависят от выбора горизонтального пространства Н из этого класса и определяют тензорный дифференциальный инвариант

ш2 = и>н = (¿161 4- £2^2) ® (¿я1 Л <&2)>

д д где ех = 2О (¿г1 О ¿х1) + д~2® © <&2)>

д д е2 = а, Ь\ и Ь2 - некоторые

С/Х с/х ...

многочлены от координат расслоения ./тт.

Дифференциальный инвариант и2 различает орбиты расслоения ,/27г и, в частности, является препятствием к линеа-

ризуемости уравнений (2) точечными преобразованиями.

Наконец в этом разделе, применяя операцию тензорной алгебры - свертки по верхнему и первому нижнему индексам к oj2, мы получаем тензорный дифференциальный инвариант а2 = (Litíx1 + L2di2) ® (dx1 Л di2), известный как форма Лиувилля34. Прообраз этой формы при той же операции дает тензорный дифференциальный инвариант /?2 = (Ь2(д/дх1) -Li{d/dx2)) ® (dx1 A dx2)2.

В пункте 6.3.2 мы строим тенз'орные дифференциальные инварианты на подрасслоении расслоения J37Г, которое является прообразом (7r3i2)-1(Orbo) орбиты общего положения ОгЬц. Анализ пространств формальных симметрий Адл точек вз из этого подрасслоения и 2-форм üj¡¡, определенных горизонтальными пространствами H С Ад3, приводит к выделению естественного класса горизонтальных пространств Я С Ад3, для которых компоненты первого порядка форм и!ц равны нулю, а компоненты второго порядка не зависят от выбора горизонтального прстранства из этого класса и порождают тензорный дифференциальный инвариант и2. Исследование компонент третьего порядка форм ид приводит к построению тензорного дифференциального инварианта на (7Гз,2)-1(ОгЬо)

и3 = (ф!е1 + Ф2е2) ® (di1 A dx2)3,

где Ф1, Ф1 - многочлены от стандартных координат ixl, и}, u)ih' иШз Расслоения J3ît.

Далее, применяя свертку по верхнему и первому нижнему индексам к ш3, мы получаем тензорный дифференциальный инвариант а3 = (Ф^х1 + Ф^х2) ® (dx1 Adx2)3. Свертка тензоров Р2 и а3 приводит к известному тензорному дифференциальному инварианту33 v = 01 j а3 = L¡(dx1 Adx2)5. Свертка тензоров 01 и ы3 приводит к тензорному дифференциальному инварианту 7 = 01 j ш3.

Инварианты ш2, и и 7 полностью описывают орбиты расслоения J37T.

^Liouville R., Sur les invariantes de certaines equationes différentielles// Jour, de l'Eml» Polilocliniqm:, Vol. 5<J, 1880, pp. 7 88.

Наконец, в этом разделе, применяя операции тензорной алгебры к полученным тензорным инвариантам, мы получаем известные дифференциальные инварианты 3-го порядка ^ и £2, которые являются векторными полями на подрасслоении (7Гоо,2)-1(ОгЪо) расслоения З^тх линейно-независимыми в каждой точке.

В разделе 6.4 мы изучаем алгебру А скалярных дифференциальных инвариантов на подрасслоении расслоения являющимся прообразом (тоо^)-1(ОгЬо) орбиты общего положения ОгЬд в ^37г. Вначале мы в явном виде находим семейство I1,I2, ..., Iе образующих алгебры А4 скалярных дифференциальных инвариантов порядка 4. Затем, используя независимые дифференцирования £1 и £2, мы находим среди 18 инвариантов

I1,Ы^иП-чШ6)

алгебры скалярных дифференциальных инвариантов порядка 5 все 14 её образующих. Отсюда следует, что образующие алгебры А,1 связаны 4-мя независимыми дифференциальными соотношениями 1-го порядка. Мы находим в явном виде эти соотношения. Наконец мы доказываем, что полученное семейство образующих алгебры А} является семейством образующих всей алгебры А, а найденные 4 независимых дифференциальных соотношения 1-го порядка образуют полное семейство дифференциальных соотношений между этими образующими.

В последнем разделе 6.5 мы решаем проблему эквивалентности для уравнений £, для которых 3-джеты соответствующих им сечений принадлежат орбите общего положения ОгЪц. Отметим, что среди этих уравнений находятся все уравнения (2) общего положения.

В глава 7 получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных ОДУ порядка п > 3, а также получено решение проблемы локальной эквивалентности этих уравнений относительно контактных преобразований35.

35 Все линейные ОДУ порядка п < 2 локально эквивалентны между собой, см.

В разделе 7.1 собраны необходимые предварительные сведения о линейных обыкновенных дифференциальных уравнениях.

В разделе 7.2 мы доказываем, что размерность алгебры точечных симметрий линейного ОДУ является инвариантом контактных преобразований линейных ОДУ.

Известно36, что размерность алгебры Pnt £ точечных симметрии линейного ОДУ п-го порядка равна либо п + 4, либо п + 2, либоп+1.

Т.о. проблема локальной эквивалентности линейных ОДУ распадается на три части, в соответствии с размерностью алгебры точечных симметрии.

Известно26, что всякое линейное ОДУ подходящим точечным преобразованием приводится к виду

У(п) = a„_3(z) y(n_3) + а„_4(х) ¡/"-4> + ...+ а0(х) у. (3)

В результате, проблема локальной эквивалентности линейных ОДУ сводится к проблема локальной эквивалентности линейных ОДУ вида (3).

В разделе 7.3 мы доказываем, что уравнение у^ = 0 является формой (3) для любого линейного ОДУ с п + 4 - мерной алгеброй точечных симметрий. Тем самым решаем проблему локальной эквивалентности для таких ОДУ.

В разделе 7.4 для линейных ОДУ с алгебрами точечных симметрий размерностей п+2 и п+1 доказывается, что всякое контактноё преобразование таких уравнений является точечным преобразованием. Это позволяет в разделе 7.5 свести проблему локальной контактной эквивалентности линейных ОДУ к проблеме локальной эквивалентности линейных ОДУ (3) относительно точечных преобразований вида

5 = y = y\f'\{n-1)/2,a,P,7,S,ceR (4)

7£ + о

Cartan Е., Sur les varietés a connexion projective// Bull. Soc. Math. France 52 (1924), 205-241.

36Leach P.G.L., Mahomed F.M., Symmetry Lie algebras of nth order ordinary differential equations!! Math. Analysis and Appl., 151, 80-107, 1990.

В разделе 7.6 мы отождествляем каждое уравнение £ вида (3) с сечением Si : х >-+ (ж, а„_з(а;),...,ао(а;)) тривиального расслоения

т : R1 х R"-2 -+ R1.

Это отождествление порождает естественное поднятие проективных преобразований

f = = det(!J (5)

базы Е1 расслоения г в тотальное пространство Е = К1 х Ж"-2 расслоения т. Последнее позволяет свести проблему локальной эквивалентности линейных ОДУ (3) относительно преобразований вида (4) к проблеме локальной эквивалентности сечений расслоения т относительно группы G проективных преобразований (5) базы R1 этого расслоения.

В пункте 7.G.2 мы исследуем алгебру Prj S проективных симметрий сечения S расслоения г и, в частности, получем, что dim Pnt £ = dim Prj + n + 1.

В пункте 7.6.3 доказывается, что тотальное пространство Е расслоения г является объединением инвариантных относительно преобразований непересекающихся подмножеств

Е = £„_з U Е„-4 U... U Е0 U JS-i,

где Ei = { (х, 0, ..., 0, (ц, ..., ао) <= Е \ а{ ф 0 }, = {(х, 0, ..., 0) S Е} ига — 3 > i > 0. В результате всякое сечение расслоения т является сечением какого-нибудь из инвариантных подрасслоений

тi = т\Е[: Ei —► К1.

Далее мы находим векторное поле на J°°t' инвариантное относительно подгруппы G+ С G, являющейся связной компонентой единицы группы G.

В пункте 7.6.4 дается полное описание алгебры А; скалярных дифференциальных инвариантов расслоения т* относительно подгруппы G+. Тем самым дается полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных

ОДУ порядка п > 3. Затем мы доказываем, что скалярные дифференциальные инварианты сечений расслоения т1, допускающих проективные симметрии, являются константами.

В пункте 7.6.5 мы сводим проблему локальной эквивалентности сечений расслоения т* относительно группы G к проблеме локальной эквивалентности этих сечений относительно подгруппы G+ и приводим ее решение.

В Приложении представлены в качестве примера программы в компьютерно-алгебраической системе REDUCE, с помощью которых получены дифференциальные инварианты уравнений Монжа-Ампера и вычислены пространства формальных симметрий и алгебры изотропии естественных расслоений, рассматриваемых в диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гусятникова В.Н., Виноградов A.M., Юмагужин В.А., Вторичные дифференциальные операторы// ДАН СССР, 1985, Т. 283, Вып. 4, стр. 801 - 805.

2. Gusyatnikova V.N., Vinogradov A.M., Yumaguzhin V.A., Secondary differential operators// Journ. Geometry and Phyzics, 1985, Vol. 2, No. 2, pp. 23 - 65.

3. Gusyatnikova V.N., Yumaguzhin V.A., Symmetries and conservation laws of Navier-Stokes equations// Acta Applicandae Mathematicae, 1989, Vol. 15, pp. 65 - 81.

4. Gusyatnikova V.N., Samokhin A.V., Titov V.S., Vinogradov A.M., Yumaguzhin V.A.. Symmetries and conservation laws of Kadomtsev-Pogutse equations// Acta Applicandae Mathematicae, 1989, Vol. 15, pp. 23 - 64.

5. Виноградов A.M., Юмагужин В.А., Дифференциальные инварианты тканей на 2-мерных многообразиях// Мат. заметки, 1990, Т. 48, Вып. 1, стр. 46 - 68.

6. ГусятниковаВ.Н., Юмагужин В.А., Точечные преобразования и линеаризуемостпь обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка// Мат. заметки, 1991, Т. 49, Вып. 1, стр. 146 - 148.

7. Гусятникова В.Н., Юмагужин В.А., Проблема эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка, Российская академия наук. Институт программных систем. Теоретические и прикладные основы программных систем. Сборник трудов, стр. 423 -433, Переславль-Залесский, 1994.

8. Yumaguzhin V.A., Gusyatnikova V.N., Aplication of computer algebra methods to linearisation problem for ODEs, Proc. of International Workshop on New Computer Technologies and Control Systems, 13 - 19 August, Pereslavl-Zalessky, Russia, 1995, pp. 65 - 67.

9. Yumaguzhin V.A., Point transformations and classification of 3-order linear ODEs// Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 4, No. 3, pp. 403-410, 1996.

10. Yumaguzhin V.A. Classification of 3-rd order linear ODEs up to equivalence// Journal of Differential Geometry and its Applications Vol. 6, No. 4, pp. 343350, 1996.

11. Yumaguzhin V.A., Differential invariants, webs and ordinary differential equations// Proc. of III International Workshop on Differential Inclusions and Control, Pereslavl-Zalessky, Russia, 1998, pp. 49 - 52.

12. Yumaguzhin V.A., Gusyatnikova V.N., Contact transformations and local reducibility of ODEs to the form y"'—0// Acta Applicandae Mathematicae, 1999, V. 56, No. 2,3, pp. 155-179.

13. Юмагужин B.A., Локальная классификация линейных обыкновецных дифференциальных уравне-

ний// Доклады Академии Наук, Том. 377, No. 5, 2001, стр. 605 - 607.

14. Юмагужин В.А., Классификация линейных обыкновенных дифференциальных уравнений I / / Дифференциальные уравнения, 2002, Том. 38, No.8, стр. 1063-1070.

15. Юмагужин В.А., Классификация линейных обыкновенных дифференциальных уравнений IIЦ Дифференциальные уравнения, 2002, Том. 38, №.12, стр.1627-1632.

16. YumaguzhiriV.A., Contad classification of linear ordinary differential equations// Acta Applicandae Ma-thematicae, Vol. 72, No. 1/2, June 2002, pp. 155-181.

17. В.А.Юмагужин, В.Н.Юмагужина, Интегрируемые структуры конечного типа, ИПС РАН, Программные системы: теория и приложения. Тр. межд. конф., г. Переславль-Залесский, май, 2004, том 2, стр. 409-422.

18. Yumaguzhin V.A., Оп the obstruction to linearizabi-lity of 2-order ordinary differential equations// Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 83, No. 1-2, 2004. pp.133-148.

19. Юмагужин B.A., Интегрируемые структуры конечного типа// Фундаментальная и прикладная математика, Том. Í0, No. 3-4, 2004, стр.255-269.

20. Yumaguzhin V.A., Finite-type integrable structures// Journal of Mathematical Sciences, Vol.136, No. 6, 2006, pp.44014410.

21. Виноградов A.M., Марван M., Юмагужин В.А., Дифференциальные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения// Доклады Академии Наук, Том. 405, No. 3, 2005, стр. 299-301.

22. Юмагужин В.A., REDUCE—программа для вычисления дифференциальных инвариантов гиперболических уравнений Монжа-Ампера!7 ИПС РАН, Программные системы: теория и приложения. Тр. межд. конф., г.Переславль-Залесский, октябрь, 2006, т. 2, стр. 353-363.

23. Юмагужин В.А., Юмагужина В.Н., Алгоритм вычисления алгебр изотропии уравнений y"=a(x,y)y'i+b(x,y)y'1+ +c(x,y)y'+d(x,y)ll Программные системы: теория и приложения Тр. межд. конф., г. Переславль-Залесский, октябрь, 2006, т. 2, стр. 365-377.

24. Marvan М., Vinogradov A.M., Yumaguzhin V.A., Differential invariants of generic hyperbolic Monge-Ampere equationsII Central European Journal of Mathematics, 5(1) 2007 105-133.

25. Yumaguzhin V., On the obstruction to integrability of almost-complex structures!7 (2008), http://lanl.arxiv:0804.0690v I.

26. Yumaguzhin V., Differential invariants of 2-order ODEs, I // Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 109, No. 1, 2010, pp. 283-313.

27. Юмагужин В.А., Юмагужина B.H., Скалярные дифференциальные инварианты уравнений y"=a}(x,y)y'i+ +a?(x,yjy'2+a/(x,yjy'+a(fx,yj, Программные системы: теория и приложения Тр. межд. конф., г. Переславль-Залесский, Май, 2009, т. 1, стр. 105-121.

28. Lychagin V., Yumaguzhin V., Minkowski metrics on solutions of the KhokMov-Zabolotskaya equation/! Lobachevskii Journal of Mathematics, 2009, Vol. 30, No. 4, pp. 333-336.

29. Lychagin V., Yumaguzhin V., On geometric structures of 2-dimensional gas dynamics equations!1 Lobachevskii Journal

Юшгужнн Валерий Афтахович .Методы вычисления дифференциальные; инвариантов и их приложения к исследованию дифференциальных уравнении

Лвтореф. дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. нау Подписано в печать 24.11.2009. Заказ № 12 Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,8. Тираж 100 экз. Отпечатано в пзд-ве Университета города Переславля 152020, г. Переславль-Залесский, ул. Советская, д. 2. тел. (48535) 98-141

0 Введение 1 0.1 Обзор результатов по дифференциальным инвариантам и их применению к исследованию дифференциальных уравнений.

0.2 Краткое содержание диссертации.

1 Предварительные сведения

1.1 Расслоения джетов

1.1.1 Джеты сечений.

1.1.2 Распределения Картана.

1.1.3 Преобразования Ли.

1.1.4 Поля Ли

1.2 Дифференциальные уравнения

1.2.1 Уравнения и их решения.

1.2.2 Продолжения уравнений.

1.2.3 Символы.

1.2.4 Характеристические ковекторы.

1.2.5 Классические симметрии.

2 Дифференциальные инварианты

2.1 Естественные расслоения.

2.2 Расслоения джетов сечений.

2.2.1 Поднятия диффеоморфизмов

2.2.2 Дифференциальные инварианты

2.2.3 Поднятие векторных полей.

2.3 Формальные векторные поля.

2.4 Пространства формальных симметрий.

2.5 Алгебра изотропии.

2.6 Горизонтальные подпространства.

2.7 Структурные дифференциальные инварианты.

2.7.1 Структурные функции.

2.7.2 Тензорные инварианты.

2.7.3 Выделенные горизонтальные подпространства.

2.7.4 Линейные связности на сечениях.

2.8 Пример. Почти-комплексные структуры.

2.8.1 Расслоение почти-комплексных структур.

2.8.2 Пространства формальных симметрий.

2.8.3 Инвариантное дополнение.

2.8.4 Тензорный дифференциальный инвариант.

2.9 Скалярные дифференциальные инварианты.

2.9.1 Скалярные дифференциальные инварианты порядка к

2.9.2 Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов.

2.10 Заключительные замечания.

3 Уравнения газовой динамики

3.1 Уравнения адиабатического движения газа

3.2 Одномерная газовая динамика.

3.2.1 Расслоение 3-тканей.

3.2.2 Дифференциальные инварианты

3.2.3 Локально-плоские решения.

3.3 Дополнение. Скалярные инварианты 3-тканей.

3.3.1 Алгебры изотропии при к > 2.

3.3.2 Орбиты.

3.3.3 Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов

3.4 Двумерная газовая динамика

3.4.1 Расслоение геометрических структур.

3.4.2 Дифференциальные инварианты

3.4.3 Дифференциальные инварианты на решениях.

3.4.4 Решения без кручения.

3.5 Трехмерная газовая динамика.

3.5.1 Расслоение геометрических структур.

3.5.2 Дифференциальные инварианты

3.5.3 Дифференциальные инварианты на решениях.

3.5.4 Решения с тривиальными структурными инвариантами.

4 Метрики на решениях

4.1 Предварительные сведения.

4.1.1 Линейная связность.

4.1.2 Метрики

4.2 Уравнение Хохлова-Заболотской.

4.2.1 Нелинейный дифференциальный оператор.

4.2.2 Символы оператора Д.

4.2.3 Метрики Минковского на решениях.

4.2.4 Явные решения

4.3 Уравнение трансзвукового поток газа.

4.3.1 Метрика на решениях.

4.3.2 Явные решения

4.4 Уравнения коротких волн.

4.4.1 Метрика на решениях.

4.4.2 Явные решения

5 Уравнения Монжа-Ампера

5.1 Геометрия уравнения Монжа-Ампера.

5.1.1 Расслоение джетов.

5.1.2 Гиперболичность.

5.1.3 Косоортогональные распределения.

5.2 Расслоение уравнений Монжа-Ампера.

5.2.1 Расслоение гиперболических уравнений

5.2.2 Орбиты.

5.3 Дифференциальные инварианты.

5.3.1 Проекторы.

5.3.2 Координатное описание проекторов.

5.3.3 Формы кривизны

5.3.4 Скалярные инварианты на </27Г

5.3.5 Подклассы уравнений общего положения.

5.3.6 Абсолютный параллелизм.

5.3.7 Слалярные инварианты на 737г

5.4 Проблема эквивалентности.

6 Нелинейные ОДУ 2-го порядка

6.1 Естественное расслоение уравнений.

6.1.1 Поднятия диффеоморфизмов

6.1.2 Поднятие векторных полей.

6.2 Алгебры изотропии и орбиты

6.2.1 Алгебры изотропии.

6.2.2 Орбиты.

6.3 Тензорные инварианты.

6.3.1 Инварианты на 727г.

6.3.2 Инварианты на ,/37Г.

6.4 Скалярные дифференциальные инварианты.

6.4.1 Образующие и соотношения.

6.5 Проблема эквивалентности.

6.5.1 Уравнение преобразований.

6.5.2 Скалярные инварианты уравнений.

Теория дифференциальных инвариантов - один из важных и востребованных разделов как теоретической, так и прикладной математики. Применение дифференциальных инвариантов в исследовании дифференциальных уравнений активно развивается в нашей стране и за рубежом, см. книги Л.В.Овсянникова [77], Ж.Поммаре [81], П.Олвера [76], Д.Крупки и И.Янишки [42], Д.В.Алексеевского, А.М.Виноградова и В.В.Лычагина [1], Р.Гарднера [15], И.Колара, П.Михора и И.Словака [33], Л.М.Берковича [4], Т.Ивея и Я.Ландсберга [26], А.Г.Кушнера, В.В.Лычагина и В.Н.Рубцова [49].

Данная диссертация посвящена центральным вопросам теории дифференциальных инвариантов и их применению к исследованию дифференциальных уравнений: методам вычисления дифференциальных инвариантов, проблеме полного описания алгебр скалярных дифференциальных инвариантов, проблеме эквивалентности дифференциальных уравнений и применению дифференциальных инвариантов к исследованию решений дифференциальных уравнений.

Опишем основные направления работы.

Введение посвящено истории рассматриваемых вопросов и краткому изложению результатов диссертации.

В первой главе кратко изложены все необходимые сведения из геометрии расслоений джетов и геометрии дифференциальных уравнений.

Вторая глава «Дифференциальные инварианты в естественных расслоениях» посвящена структурным, тензорным и скалярным дифференциальным инвариантам в естественных расслоениях. Цель этой главы - разработка методов вычисления диффе ренциальных инвариантов в естественных расслоениях.

Третья глава «Геометрические структуры на решениях уравнений газовой динамики» носвящена системе уравнений адиабатического движения газа в пространстве К", п = 1,2,3. Характеристики этой системы порождают на её решениях геометрические структуры. В этой главе исследуются дифференциальные инварианты этих структур. Полученные инварианты применяются для исследования решений и вычисления явных решений этой систем.

В четвертой главе «Метрики на решениях нелинейных дифференциальных» исследуются уравнение Хохлова-Заболотской, уравнение нестационарного трансзвукового движения газа и уравнению коротких волн. Здесь доказывается, что символы этих уравнений порождают на их решениях метрики. Цель этой главы получение явных решений этих уравнений с помощью классических дифференциальных инвариантов метрик.

Пятая глава «Гиперболические уравнения Монжа-Ампера» посвящена исследованию дифференциальных инвариантов гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения и решению проблемы локальной эквивалентности этих уравнений относительно контактных преобразований.

Шестая глава «Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка» посвящена дифференциальным инвариантам естественного расслоения обыкновенных дифференциальных уравнений вида вида у" — ¡{х, у, у'), где /(х, у, у') - многочлен 3-го порядка от у', коэффициенты которого зависят от х и у. В пей на примере этого расслоения развиваются дальше методы вычисления дифференциальных инвариантов. Одна из первых задач, возникающих при исследовании дифференциальных инвариантов естественного расслоения - это описание орбит действия псевдогруппы диффеоморфизмов базы в расслоениях джетов сечений. В этой главе для расслоения рассматриваемых уравнений получены тензорные дифференциальные инварианты, различающие орбиты в расслоениях А;-джетов сечений для /с = 0,1,2,3. Основной результат четвертой главы - полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов этого расслоения, определенных над орбитой общего положения расслоения 3-джетов.

В седьмой главе «Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения» получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3 относительно псевдогруппы точечных преобразований сохраняющих множество линейных уравнений. Кроме того в ней решается проблема локальной эквивалентности этих уравнений относительно контактных преобразований.

0.1 Обзор результатов по дифференциальным инвариантам и их применению к исследованию дифференциальных уравнений

Начало теории дифференциальных инвариантов было положено С.Ли [53]. Теорема о конечности системы образующих алгебры скалярных дифференциальных инвариантов, принадлежит А.Трессе [89]. Е.Вессио [97], используя дифференциальные инварианты, исследовал условия интегрируемости системы дифференциальных уравнений и, в частности, получил общее решение задачи о групповом расслоении.

Современное изложение решения задачи о групповом расслоении системы дифференциальных уравнений представлено в книге Л.В.Овсянникова [77]. Там же представлено современное изложение теоремы Трессе. См. так же книгу П.Олвера [76], работы А.Кумперы [43], Б.Кругликова и В.В.Лычагина [39].

Э.Картан, используя метод подвижного репера и свой метод внешних форм, разработал общий подход к решению проблемы эквивалентности. Его современному изложению посвящены книги Т.Ивея и Я.Ландсберга [26] и Р.Гарднера [15].

Дальнейшее развитие этого метода привело к созданию теории б'-структур, см. работы Д.Бернарда [5], И.Зингера и С.Стернберга [84] и книги С.Стернберга [85], Д.В.Алексеевского, А.М.Виноградова и В.В.Лычагина [1].

Во второй главе мы представляем общий подход к вычислению дифференциальных инвариантов геометрических структур, который является результатом нашей попытки перенести конструкцию построения структурных функций (^-структур в естественные расслоения.

В работах В.В.Лычагина [59,60,62], Б.С.Кругликова и В.В.Лычагина [38] развивается общий подход к исследованию проблемы эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений. Они рассматривают дифференциальные уравнения как подмногообразия в соответствующих расслоениях джетов. Ограничения распределений Картана и метасимлектических структур на уравнения порождают дифференциальные инварианты - "тензоры"Вейля. Условия эквивалентности дифференциальных уравнений формулируются в терминах этих инвариантов.

Известно, что характеристические ковекторы системы дифференциальных уравнений гидродинамического типа порождают естественным образом на каждом решении этой системы геометрическую структуру - п-ткань. Простейший дифференциальный инвариант этой структуры - кривизна п-ткани. Для различных таких систем Х.О.Кильп [28], затем Е.Ферапонтов [11-13] исследовали и получили явные решения, кривизна п-ткани которых равна нулю.

Характеристические ковекторы системы дифференциальных уравнений 2-мерного адиабатического движения газа порождают, см. Л.В.Овсянников [78], на каждом её решении геометрическую структуру состоящую из конуса и плоскости в каждом кока-сательном пространстве к решению. Дифференциальный инвариант 1-го порядка этой структуры является линейной связностью, см. работу автора и В.В.Лычагина [127]. В этой же работе исследованы решения со связностями без кручения, а для полит-роиного движения газа постоянного обьёма получен класс явных решений с такими связностями.

Символы уравнения Хохлова-Заболотской порождают на каждом его решении метрику Минковского, см. работу автора и В.В.Лычагина [126]. Здесь же классические дифференциальные инварианты метрик использованы для нахождения классов явных решений уравнения Хохлова-Заболотской.

В 1874 году С.Ли [52] поставил задачу: найти классы эквивалентности нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка относительно группы контактных преобразований. Он сформулировал теоремы, [51,54], о приведении дифференциальных уравнений типа Монжа-Амиера контактными преобразованиями к квазилинейному виду, к линейному виду с постоянными коэффициентами и при наличии промежуточных интегралов - к параболическому и волновому уравнениям. Затем Дарбу и Гурса [17] получили при некоторых ограничениях ряд результатов, касающихся проблемы эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований.

С геометрической точки зрения уравнение типа Монжа-Ампера можно рассматривать как подмногообразие в расслоении J2M 2-джетов функций многообразия M независимых переменных. В.В.Лычагин [58,61] заметил, что уравнения типа Монжа-Ампера естественным образом отождествляются с эффективными дифференциальными ¿-формами на расслоении 3ХМ 1-джетов функций на М. Это редуцирует проблему эквивалентности уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований к проблеме эквивалентности соответствующих эффективных форм относительно этих преобразований. Далее он заметил, что наличие хотя бы одной контактной симметрии у уравнения Монжа-Ампера позволяет рассматривать соответствующую ему эффективную ¿-форму как ¿-форму на кокасательном расслоении Т*М и таким образом свести проблему эквивалентности уравнений Монжа-Ампера к проблеме эквивалентности эффективных ¿-форм относительно симплектических диффеоморфизмов.

Этот подход позволил впервые получить, В.В.Лычагин и В.Н.Рубцов [63], строгие доказательства при dim M = 2 теорем С.Ли о приводимости уравнения Монжа-Ампера к квазилинейному виду в аналитическом случае, к линейному виду с постоянными коэффициентами и к параболическому и волновому уравнениям.

В работах В.В.Лычагин и В.Н.Рубцов и И.В.Чекалова [64,65] получены обобщения теоремы о приводимости уравнения Монжа-Ампера к квазилинейному виду и к линейному с постоянными коэффициентами на случай dim M > 2 и на случай гладких уравнений, кроме того теоремы о приводимости уравнения Монжа-Ампера к параболическому и волновому уравнениям обобщены на случай dim M — 3. Более общие результаты о контактной и симплектической классификации уравнений Монжа-Ампера были позже получены В.В.Лычагиным, Б.Кругликовым, А.Кушнером и Д.Туницким [35-37,45-48,61,91,92]. Эти работы основаны на редукции преоблемы эквивалентности уравнений Монжа-Ампера общего положения к проблеме эквивалентности е-структур. Промежуточный итог этому направлению подводит книга А.Кушнера В.В.Лучагина и В.Н.Рубцова [49].

Современное изложение и развитие результатов Дарбу и Гурса в терминах G-струк-тур получено в работе Т.Моримото [68].

Впервые построены дифференциальные инварианты и решена проблема эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения в работах автора, А.М.Виноградова и М.Марвана [119,122].

Вычислению дифференциальных инвариантов параболических уравнений Монжа-Ампера общего положения посвящены работы А.М.Виноградова и Д.Каталано [8,94].

Впервые проблему описания классов эквивалентности нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка относительно точечных преобразований поставил С.Ли [55,56].

Первые результаты в решении проблемы эквивалентности для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка вида получил Р.Лиувилль [57]. Он вычислил некоторые тензорные дифференциальные инварианты, нашел несколько бесконечных серий скалярных дифференциальных инвариантов и решил проблему классификации с точностью до эквивалентности некоторых классов этих уравнений. В частности Р.Лиувилль нашел условия приводимости обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка к линейному виду точечными преобразованиями.

А.Трессе [89,90] получил полное описание относительных инвариантов обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и на этой основе получил классификацию этих уравнений с точностью до эквивалентности.

М.Бабич и Л.Бордаг [3] устранили небольшой пробел в классификации А.Трессе.

Современный взгляд на упомянутые работы А.Трессе, а так же другой подход к решению проблемы эквивалентности обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка представлен в работе Б.Кругликова [41].

Э.Картан [7] показал, что всякое уравнение (0.1) эквивалентно некоторой проективной связности, и её дифференциальный инвариант - тензор кривизны, является препятствием к линеаризуемости этого уравнения точечным преобразованием.

Ряд классификационных результатов для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка получен методом эквивалентности Э.Картана в работах Гарднера [14], Г.Томпсона [87], Камрана, К.Лэмба и В.Шадвика [27], С.Гриссома, Г.Томпсона

У" = а(х, у)у'3 + Ь(х, у)у'2 + с(х, у)у' + с1(х, у)

0.1)

7 1' и Г.Уилкенса [19], Л.Шу и Н.Камрана [21].

В работах [116,124] автор исследовал действие псевдогруппы точечных преобразований базы естественного расслоения уравнений вида (0.1) в расслоениях /е-джетов сечений этого расслоения, к = 0,1, 2,3. В этих работах получены тензорные дифференциальные инварианты, различающие орбиты этого действия. В работе [124] впервые получено полное описание алгебры всех скалярных дифференциальных инвариантов этого расслоения, определенных над орбитой общего положения расслоения 3-джетов, то есть получено семейство образующих этой алгебры и полное семейство дифференциальных соотношений между ними.

Проблема локальной эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных уравнений впервые была поставлена Лагерром [50] и Альфаном [20]. Они же получили первые результаты, касающиеся локальной эквивалентности этих уравнений 3-го и 4-го порядков.

Л.М.Беркович в серии своих работ исследовал полуинварианты линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3 и получил решение проблемы локальной эквивалентности для них относительно точечных преобразований. Эти результаты изложеы в его книге [4].

Ф.Мохамед и П.Лич [66] вычислили алгебру классических симметрий линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3.

Опираясь на этот результат, автор [111-114] получил семейство образующих алгебры скалярных дифференциальных инвариантов этих уравнений и доказал, что между образующими нет дифференциальных соотношений. Кроме того, в этих работах получено решение проблемы локальной эквивалентности линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3 относительно контактных преобразований.

0.2 Краткое содержание диссертации

В главе 1 кратко изложены все необходимые сведения из геометрии расслоения дже-тов и геометрии дифференциальных уравнений.

В главе 2 мы представляем общий подход к построению дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях.

В разделе 2.1 даются все необходимые определения связанные с естественными расслоениями.

В разделе 2.2 описываются поднятия диффеоморфизмов и векторных полей с базы естественного расслоения в расслоения джетов его сечений, определяются дифференциальные инварианты естественного расслоения и геометрических структур.

В разделе 2.3 приведены необходимые сведения о формальных векторных полях, продолжениях подпространств и когомологиях Спенсера.

Разделы 2.4 - 2.7 составляют основное содержание второй главы. Здесь излагается общий подход к построению дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях. Суть его в следующем.

Пусть 7г : Е —> М естественное локально-тривиальное расслоение.

Через 7ть : М, тгк '■ ]рЭ —»■ р к = 0,1, 2,. обозначим расслоения к-джетов сечений расслоения тт. Всякое сечение 5 расслоения 7Г порождает сечение ^й1: р —> ^Б расслоения тгк

Для любого векторного поля X на многообразии М (любого диффеоморфизма / многообразия М) через Х^ обозначается его естественное поднятие в Зкж.

Значение поднятого векторного поля Х^ в точке 0к е Зкгк определяется г + к-джетом поля X в точке р = тгк{вк), где г является дифференциальным порядком расслоения 7г.

Формальной симметрией джета вк+1 = ]р+18 назовем г + к-джет ]р+кХ такого векторного поля X, что Х^ € %-вк+1, где гХок+1 - касательное пространство к образу сечения jkS в точке 9¡. — т1ерез Адк+1 обозначим пространство формальных симметрий джета 6к+\,

Лек+1 = {з1+кХ \Х^е%0к+1}.

Алгебра изотропии точки вк определяется формулой

Ясно, что 2вк С Авк+1 ■

Теорема 2.4. Операция коммутирования векторных полей порождает, билинейное кососимметричное отображение

•■]: Ао^ х Л0)с+1 —» А„к, [з^Х, /р+кУ ] = ^ [ Х,¥].

Для любых натуральных I > т положим р^тЦрХ) = 3РХХ < через ТРМ обозначим касательное пространство кМв точке р.

Подпространство Н С Адк+1 назовем горизонтальным, если проектирование

Рг+Ын : Н —> ТРМ , рг+к,о\н : /р+кХ -> УГр+кХ 6 Я является изоморфизмом. Если Н - горизонтальное подпространство в Авк , то имеет место разложение

Авк+1 =Н®5вк ■

Каждое горизонтальное подпространство Н в Авк+1 определяет внешнюю 2-форму шц на ТРМ со значениями в Авк\ сон(Хр,Ур) = [?Р+кХ, СкУ], \/Хр,Ур е ТРМ.

Компонента нулевого порядка этой формы иРн = рг+ь-\$ о и>И принадлежит пространству трм ® (т;м л т;м).

Положим дд = Рг+м(0вк)- Алгебра д\к является подалгеброй алгебры ТРМ ®Т*М. Она порождает комплекс Спенсера о - Ю(1) - 9вк ® т;м ^ трм ® (т;м д т;м) о.

Теорема 2.8. Класс смежности

1 + 0т;м) е трм® (т;млт;м)/д1А(д1к ®т;м) не зависит от выбора горизонтального подпространства Н в Адк+1.

В результате мы построили естественным образом функцию на со значениями в когомологиях Спенсера 9к+1 I—► ш°9к+1.

Эта функция - дифференциальный инвариант порядка к + 1 расслоения 7Г. Мы называем его структурным инвариантом. Всякое разложение трм ® (т;м л т;м) = с\ е д1Л(9ок ® т;м) позволяет считать, что (¿>вк+1 является тензором из подпространства С$к.

Следствие 2.1. Пусть дополнения Сдк выбраны инвариантным образом. Тогда структурный дифференциальный инвариант является инвариантным тензорным полем на ,1к+1тт, то есть тензорным дифференциальным инвариантом (порядка к + 1 расслоения -к).

Ограничение тензорного инварианта а;0 на образ сечения ¿¡¿Б является тензорным дифференциальным инвариантом (порядка к + 1) геометрической структуры в (следствие 2.2).

В качестве примера в разделе 2.8 мы вычисляем структурный тензорный дифференциальный инвариант 1-го порядка естественного расслоения почти комплексных структур. Сравнивая его с классическим дифференциальным инвариантом почти-комплексных структур - тензором кручения Ниенхейса, мы получаем, что структурный дифференциальный инвариант, так же, как тензор Ниенхейса, отвечает за интегрируемость почти комплексных структур.

Далее мы доказываем следующее утверждение

Теорема2.9. Выбор дополнения Сдк выделяет класс [Н]вк+1 таких горизонтальных подпространств Н С Аек+1, что ш°И = ^ .

Проекции рг+кл(Н) этих выделенных подпространств образуют класс [Н]дк+1 горизонтальных подпространств в пространстве 1-джетов ^Х всех векторных полей Х1 проходящих через точку р — кк+1(^+1)

Следствие 2.3. Если (ддк)^ — {0}, то [Н]д содержит единственное горизонтальное подпространство.

Применение этого следствия к произвольному сечению расслоения тт приводит к следующему утверждению.

Теорема 2.10. Пусть 5 -сечение расслоения тг. Предположим, что выполнены условия:

1) дополнения Сдк выбраны инвариантным образом,

2) (д1к)Ю = {0} для всех вк в Ь^.

Тогда:

1) на образе сечения jk+lS определена естественным образом линейная связность,

2) тензорный дифференциальный инвариант Шд является тензором кручения этой связности.

В этой главе мы изложили метод построения дифференциальных инвариантов геометрических структур, используя компоненты нулевого порядка форм шц.

Как строить дифференциальные инварианты, используя следующие компоненты этих форм, мы демонстрируем на примере естественного расслоения обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка в разделах 6.3.1 и 6.3.2 и на примере естественного расслоения 3-тканей в разделе 3.2.2.

Глава 2 заканчивается разделом 2.9, в котором изложен известный алгоритм вычисления скалярных дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях.

В главе 3 исследуются геометрические структуры на решениях системы уравнений адиабатического движения газа в пространстве Кп, п = 1,2,3.

В разделе 3.2 мы изучаем геометрические структуры на решениях системы уравнений 1-мерного адиабатического движения газа.

Как известно, см. [78], характеристческие ковекторы этой системы образуют в каждом кокасательном пространстве к решению, рассматриваемому как 2-мерная поверхность, три таких 1-мерных подпространства, что любые два из них трансверсальны. Такая геометрическая структура называется 3-тканью, см. [6].

Мы рассматриваем в разделе 3.2.1 естественное расслоение /л 3-тканей на плоскости.

В разделе 3.2.2 мы строим дифференциальные инварианты 3-тканей, используя подход к построению дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях, изложенный в главе 2. В результате мы получаем (раздел 3.2.2), что структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка расслоения ¡л равен нулю, а на каждом его сечении определен дифференциальный инвариант - линейная связность (теорема 3.1). Из равенства нулю структурного инварианта 1-го порядка следует, что эта линейная связность без кручения.

Для системы уравнений 1-мерной газовой динамики этот результат означает, что на каждом её решении определен дифференциальный инвариант - линейная связность без кручения (следствие к теореме 3.1 и теорема 3.2).

Дальнейшее применение этого подхода приводит к построению дифференциального инварианта 2-го порядка, который на каждом решении системы уравнений 1-мерной газовой динамики совпадает с тензором кривизны линейной связности этого решения (теорема 3.3).

В разделе 3.2.3 для системы уравнений 1-мерного адиабатического движения газа при А(р,р) = р находится широкий класс явных решений этой системы, линейные связности на которых имеют нулевой тензор кривизны.

В дополнительном раздел 3.3 мы даем полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов 3-тканей общего положения.

В разделе 3.3.1 исследуются алгебры изотропии точек из Зкр (теорема 3.4). Это позволяет нам в разделе 3.3.2 описать орбиты действия псевдогруппы Г диффеоморфизмов базы расслоения р в расслоениях (теорема 3.5):

1. Расслоение Зкц, к = 0,1, является орбитой действия Г.

2. Расслоение ^р является объединение двух орбит: орбиты общего положения (коразмерности 0) ОгЬр и вырожденной орбиты коразмерности 1 ОгЬ^

3. При к > 3 расслоение ^р является объединением непрерывных семейств вырожденных орбит.

В разделе 3.3.3 доказано, что нетривиальные скалярные дифференциальные инварианты определены в ^р, при к > 3 (теорема 3.6). Мы ограничиваемся исследованием алгебры А всех скалярных дифференциальных инвариантов, определенных в подрас-слоении (//0012)1(ОгЬо) расслоения С этой целью мы находим два инвариантных векторных поля на (/¿ОО)2)~1(0гЬц) линейно-независимых в каждой точке. С помощью них строится семейство образующих этой алгебры и полное семейство дифференциальных соотношений между образующими (теорема 3.7).

В разделе 3.4 изучаются геометрические структуры на решениях системы уравнений 2-мерной газовой динамики.

Характеристческие ковекторы этой системы порождают, см. [78], на каждом ее решении, рассматриваемом как 3-мерная поверхность, геометрическую структуру, которая состоит из 2-мерной плоскости и 2-мерного конуса в каждом кокасательном пространстве к этому решению, пересекающихся только в нуле.

В разделе 3.4.1 мы рассматриваем естественное расслоение р таких геометрических структур в пространстве Е3.

В разделе 3.4.2 строятся дифференциальные инварианты этих структур при помощи подхода к построению дифференциальных инвариантов, изложенного в главе 2.

В результате мы получаем, что на J1 ¡л определен структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка (раздел 3.4.2).

В разделе 3.4.3 доказывается, что на решениях системы уравнений 2-мерной газовой динамики этот структурный инвариант является векторнозначной дифференциальной 2-формой, определяемой формулой (3.45). Далее мы доказываем, что на каждом решении системы уравнений 2-мерной газовой динамики определен дифференциальный инвариант - линейная связность, для которой полученная форма является тензором кручения (теорема 3.12).

Далее, в разделе 3.4.4, показано (теорема 3.13), что для всякого решения со связностью без кручения (u,v,p,p) системы уравнений 2-мерной газовой динамики скорость (u,v) потока газа является комплексно-аналитической функцией по х и у.

Наконец, в этом разделе для случая политропного потока газа постоянного обьема вычисляется широкий класс явных решений со связностями без кручения.

В разделе 3.5 изучаются геометрические структуры на решениях системы уравнений 3-мерной газовой динамики.

Характеристческие ковекторы этой системы порождают, см. [78], на каждом ее решении, рассматриваемом как 4-мерная поверхность, геометрическую структуру, которая состоит из 3-мерной плоскости и 3-мерного конуса в каждом кокасателыюм пространстве к этому решению, пересекающихся только в нуле.

В разделе 3.5.1 рассматривается естественное расслоение ц таких геометрических структур в пространстве К4.

В разделе 3.5.2 строятся дифференциальные инварианты этих структур с помощью подхода к построению дифференциальных инвариантов, изложенного в главе 2. В результате мы получаем (раздел 3.5.2), что на J1^ определен структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка.

Этот инвариант порождает на каждом решении системы уравнений 3-мерной газовой динамики структурный дифференциальный инвариант 1-го порядка (раздел 3.5.3, формула (3.65)).

Наконец, в разделе 3.5.4 для случая политропного потока газа постоянного обьема вычисляется широкий класс явных решений, для которых структурный инвариант 1-го порядка равен нулю.

Глава 4 посвящена уравнениям Хохлова-Заболотской, нестационарного трансзвукового потока газа и уравнению коротких волн.

В разделе 4.1 мы приводим все необходимые сведения из дифференциальной геометрии, касающиеся метрик и их классических дифференциальных инвариантов. В разделе 4.2 исследуется уравнение Хохлова-Заболотской, см. [49],

Щх ~ (иих)х - иуу -uzz — 0. (0.2)

В разделе 4.2.1 мы рассматриваем это уравнение как нелинейный дифференциальный оператор 2-го порядка А, действующий на сечениях расслоения тг : R4 х R —> R4, тг : (t,x,y,z,u) -> (t,x,y,z). по формуле

А = ¥>д о 32 , где </?д - функция на многообразии 2-джетов J2ir сечений расслоения 7г, определяемая левой частью уравнения (0.2) ip&(t,x,y,z,u,ut,. ,uzz) = utx — иихх — uvy — uzz — u2x) a j-2 - линейный дифференциальный оператор, действующий из сечений расслоения 7Г в сечения расслоения 7Гг : J27Г —> R4, 7Г2 : —> р, по формуле j^Sij)) = j2S, где S -сечение расслоения п.

Всякое решение u(t,x,y,z) уравнения Хохлова-Заболотской можно отождествить с сечением S : (t,x,y,z) i—> (t,x,y,z,u(t,x,y,zj) расслоения 7Г. В результате множество решений уравнения (0.2) совпадает с множеством таких сечений S расслоения 7Г, что A(S) = 0.

В разделе 4.2.2 исследуются символы оператора Д. Мы доказываем (теорема 4.1), что Smblo2 Д естественным образом отождествляется с метрикой Минковского д(в2)= Audt2 + Adtdx - dy2 - dz2 на касательном пространстве Тр к базе расслоения 7г в точке р = ^2(62)-В результате, мы получили поле горизонтальных метрик на J27r д : J2-k -—► Т* 0 Г*, д:д2^д(92).

Пусть S произвольное решение уравнения (0.2). Через L^ обозначим образ сечения J2S : р jpS расслоения П2- Тогда ограничение

9s — d\г (2) = 4u(t, х, у, z)dt2 + 4dtdx — dy2 — dz2 является метрикой Минковского на многообразии Lg\ ассоциированом с решением (теорема 4.2). Поскольку проекция tt2 отображает многообразие L^ на область определения сечения S диффеоморфно, то можно считать, что метрика gs определена на этой области.

В разделе 4.2.4 мы используем классические дифференциальные инварианты метрик для нахождения явных решений уравнения (0.2). На этом пути получены:

1) решения с локально-плоскими метриками (локально-плоские решения), т.е. решения, метрики которых имеют нулевой тензор кривизны,

2) решения, метрики которых обладают нулевым тензором Риччи (Риччи-плоские решения),

3) решения с конформно-плоскими метриками (конформно-плоские решения), т.е. решения, метрики которых имеют нулевой тензор Вейля,

4) решения с проективно-плоскими метриками (проективно-плоские решения), т.е. решения, метрики которых обладают следующим свойством: в некоторой окрестности каждой точки решения существуют локальные координаты, в которых геодезические линии метрики являются прямыми.

5) решения, являющиеся многообразиями Эйнштейна, т.е. решения, метрики которых пропорциональны их тензорам Риччи.

В разделе 4.3 точно так же, как уравнение Хохлова-Заболотской, исследуется (теоремы 4.3 и 4.4) уравнение нестационарного трансзвукового потока газа, см. [23],

2 V>tx tl'x'U'zx

- иуу — uzz — 0.

Точно так же, как для уравнения (0.2), мы используем классические дифференциальные инварианты метрик Минковского на решениях этого уравнения для нахождения явных решений.

Наконец в разделе 4.3 исследуется (теоремы 4.5 и 4.6) уравнение коротких волн, см. [23],

2utx - 2{х + их)ихх + uyv 4- 2ких = 0 , к = 0,1 точно так же, как выше мы исследовали уравнение Хохлова-Заболотской и уравнение нестационарного трансзвукового потока газа.

Точно так же, как для этих уравнений, мы используем классические дифференциальные инварианты метрик на решениях уравнения коротких волн для нахождения явных решений.

Единственное отличие заключается в следующем. Решения уравнений Хохлова-Заболотской и нестационарного трансзвукового потока газа являются, как многообразия, 4-мерными, в то время как решения уравнения коротких волн - 3-мерные. Поэтому тензор Вейля на всех решениях уравнения коротких волн равен тождественно нулю. За конформную плоскостность метрики в этом случае отвечает тензор Вейля-Схоутена, см. [74]. Этот тензор является дифференциальным инвариантом 3-го порядка в отличие от тензора Вейля, который является дифференциальным инвариантом 2-го порядка.

Глава 5 посвящена дифференциальным инвариантам и решению проблемы эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения относительно контактных преобразований.

Уравнением Монжа-Ампера называется следующее нелинейное уравнение в частных производных 2-го порядка хххгуу - г2ху) + Агхх + Вгху + Сгуу + В — 0 .

Уравнение Монжа-Ампера можно рассматривать как подмногообразие £ в расслоении 2-джетов 32т сечений расслоения г:Е2хК—т : (х,у,г) -» (х,у) .

В разделе 5.1.2 представлено геометрическое определение понятиям гиперболическое, параболическое и эллиптическое уравнение.

В разделе 5.1.3 мы выводим (предложения 5.1 и 5.2) непосредственно из геометрии расслоения У2г, известноный результат (см. [61]), что каждое гиперболическое уравнение Монжа-Ампера £ естественно отождествляется с парой 2-мерных, косоор-тогональных подраспределений и Х>| контактного распределения (распределения Картана) С на ,/1г. Отсюда следует в частности, что проблема эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований сводится к проблеме эквивалентности пар 2-мерных, косоортогональных подраспределений распределения С относительно контактных преобразований.

В разделе 5.2 исследуется расслоение 7Г гиперболических уравнений Монжа-Ампера, естественное относительно контактных преобразований. Мы исследуем орбиты общего положения (теорема 5.1) относительно действия контактных преобразований в расслоениях джетов к — 2,3, и оцениваем число независимых образующих алгебры скалярных дифференциальных инвариантов в окрестности точки общего положения (теорема 5.2).

В разделе 5.3, получено известное (см. [61]) разложение касательного расслоения к ,]гт в прямую сумму подраспределений

Т(^т) = ъ\ е е т>\, где является 1-мерным распределением па 3х т и (Т)^1) - 1-я производная распределения 1>£. Это позволяет рассмотривать проекторы:

Рхи-ПМ) —¿=1,2,3, на распределения и 2)| а также на производные распределения (Ф^1), и на распределение Картана С:

Рц^гГСМ)—>В'ефФ3£, ¿ = 1,2, Рц с '■ т{м) —> с = ® ъ\.

Эти проекторы можно представить как векторнозначные дифференциальные 1-формы:

Рц ! = со1 <8> XI + и1 ® Х2, Рг] 2 = и3 <8> Х3 + ш4 ® Х4, Рц з = ш5 <8> Хь, Рц V = Рц+ Рг] з , з = 1, 2 , Рц с = Рц! + Рц 2 , где Х\, Х2, ■ ■ ■, Хъ - векторные поля, а си1, ш2, ., ш5 - дифференциальные 1-формы на г такие, что

Ъ\ = (ХиХ2), Ъ1 = (Х3,Х4), Т>3г = (Х5),

Это формы являются дифференциальными инвариантами 1-го порядка уравнения Монжа-Ампера £.

Затем в разделе 5.3.3 мы рассматриваем векторнозначные дифференциальные 2-формы, являющиеся формами кривизны распределений Т)\, 2)|, (З)^1), и С:

Пх = и1 Дш2 ®ХЪ, П2 = -о;3 Л со4 0 Х5, П\ = — (Ь^ш1 + Ь\ъи2) Л ш5 ® - {Ъ^ш1 + Ъ\ьи2) Л юъ ® Х4, П\ = ~{Ь\ьи? + Ъ\ъ а;4) Аш5®^ - (Ь^3 + Ь^4) Да;5® Х2,

П = тг2 + 7г2, где коэффициенты Щк определяются из формулы [X,-, = ^¿=1 Щк^-х- Это формы кривизны являются дифференциальными инвариантами 2-го порядка уравнения Мон-жа-Ампера.

Далее в разделе 5.3.4, применяя естественные операции линейной алгебры и тензорного анализа к проекторам и формам кривизны, мы получаем множество новых дифференциальных инвариантов. В частности, применяя операцию свертки Л , получаем в явном виде обе образующие I1 и I2 алгебры скалярных дифференциальных инвариантов 2-го порядка уравнений Монжа-Ампера (теорема 5.3 и предложение 5.3):

11 = А12/А1 и I2 = Л12/Л2 , где коэффициенты Лх, Л2 и Лх2 находятся из соотношений п\ J 7га) л (тг\ J тг.а) = 2Л1 ш1 л. л шъ ® хъ, (п\ J тг2) J (п\ J п2) = 2Л2 ш1 л . л ш5 ® ,

П\ J Их) J (тг{ J П2) = А^и1 А . А и5 ® Х5 .

В разделе 5.3.5 показано (теорема 5.4), что множество гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения естественным образом распадается на три подкласса аналогично тому, как множество всех уравнений Монжа-Ампера распадается на гиперболические, параболические и эллиптические уравнения.

В разделе 5.3.6, применяя операции тензорной алгебры и анализа к полученным инвариантам, мы доказываем (формулы (5.35), (5.38)), что всякое гиперболическое уравнение Монжа-Ампера общего положения порождает естественным образом инвариантный абсолютный параллелизм на «Яг, то есть инвариантные дифференциальные 1-формы П1, С12, ., О,5, на 3хт линейно-незавсимые в каждой точке.

В разделе 5.3.7, применяя операции тензорной алгебры и анализа к полученным инвариантам, мы находим множество скалярных дифференциальных инвариантов 3-го порядка (формулы (5.39), (5.40)). Мы находим (теорема 5.5) среди всех полученных скалярных инвариантов 5(= dim JV) функционально независимых инвариантов I1, Г2, ., /5. Эти инварианты порождают инвариантную систему координат I — (J1,., I5) в JV.

Наконец, в последнем разделе решается проблема эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения относительно контактных преобразований. А именно, доказывается (теорема 5.6), что уравнения Монжа-Ампера общего положения £ и £ локально контактно эквивалентны тогда и только тогда, когда выражения соответствующих инвариантных дифференциальных форм Q1 и Пг, г — 1, 2,., 5, порождающих абсолютные параллелизмы для этих уравнений, в инвариантных системах координат I и I совпадают.

В главе 6 мы исследуем дифференциальные инварианты нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка у" = а(х, у)у'3 + Ь(х, у)у'2 + с(х, у)у' + d(x, у) (0.1) относительно точечных преобразований.

В разделе 6.1 мы отождествляем каждое уравнение £ вида (0.1) с сечением Sz

Sz : (xty) (х,у, а°(х, у), а1 (ж, у), а2(х,у), а3(х,у)) тривиального расслоения

7Г: R2 х ]R4 -—> R2 , 7Г : (ж1, х2, и1,., и4 ) -> (хх,х2)

Это отождествление является биекцией множества всех рассматриваемых уравнений на множество всех сечений расслоения 7Г. Поскольку всякое точечное преобразование переменных х и у преобразует каждое уравнение (0.1) в уравнение того же вида, см. [2], то в силу нашего отождествления, всякое точечное преобразование порождает преобразование сечений расслоения 7г. Иными словами, всякое точечное преобразование / базы расслоения 7г естественным образом поднимается до диффеоморфизма тотального пространства расслоения 7Г. Таким образом, расслоение тг уравнений (0.1) является естественным. Дифференциальный порядок этого расслоения равен 2.

Диффеоморфизм естественно поднимается до диффеоморфизма расслоения Зк,к всех /с-джетов сечений расслоения 7г, к — 0,1,.,оо. Таким образом, псевдогруппа Г всех точечных преобразований базы расслоения 7Г естественным образом действуют на каждом расслоении «7*7Г своими поднятыми преобразованиями

В раздел 6.2 мы описываем алгебры изотропии точек 9 к расслоения 7к7г для к = 0,1,2,3, см., в частности, теоремы 6.1 и 6.2). Это приводит (теорема 6.3) к описанию орбит действия псевдогруппы Г на расслоениях в терминах алгебр изотропии. В частности получено следующее:

1. «7*71", к = 0,1, является орбитой действия Г,

2. 727г - объединение двух орбит: орбиты общего положения ОгЬд и вырожденной орбиты ОгЬ2 коразмерности 2. Вырожденная орбита состоит из 2-джетов таких сечений, что соответствующие им уравнения линеаризуются точечными преобразованиями. 1

3. 737г - объединение 4-х орбит: орбиты общего положения ОгЬд и вырожденных орбит ОгЬ3, ОгЬ>2 и ОгЬе коразмерностей 1, 2, 6 соответственно.

Поскольку расслоения ,/07г и ^тг являются орбитами действия псевдогруппы Г, то нетривиальных дифференциальных инвариантов на этих расслоениях нет. Поскольку расслоение </27г разбито на две орбиты, то первые нетривиальные дифференциальных инварианты определены на </27г. Поэтому далее (раздел 6.3.1), следуя общему подходу к построению дифференциальных инвариантов, изложенному в главе 2, мы исследуем пространства формальных симметрий Ад2 точек € ./2тг. В частности, исследуется 2-форма и>н, определенная горизонтальным пространством Н С Ад2 (см. формулу (2.21)). Компоненты нулевого порядка форм шц порождают тривиальный структурный дифференциальный инвариант на 727Г (следствие 6.2). Анализ компоненты первого порядка (теоремы 6.4 и 6.5) формы шц приводит к выделению естественного класса горизонтальных пространств в Ле2, для которых компоненты первого порядка форм шн равны нулю, а компоненты второго порядка форм и>ц не зависят от выбора горизонтального прстранства Н из этого класса (теорема 6.6) и определяют тензорный дифференциальный инвариант и>2 = сон на 727г.

В стандартных координатах расслоения </27г этот инвариант определяется формулой ш2 = ( Ьг в! + Ь2 е2 ) <8> (йх1 Л йх2), где д д е\ = 2— <8) {¿х1 О д.х1) 4- — (8) (¿ж1 О йх2), аж1 <9ж2

9 д е2 = 2— ® (с1х2 О ¿о;2) + — ® (<1х1 О ¿ж2), ах2 ох1 а коэффициенты £1 и Ь2 определяются формулами (6.19).

Дифференциальный инвариант и2 различает орбиты расслоения 32ъ (теорема 6.8) и, в частности, является препятствием к линеаризуемости уравнений (6.1) точечными преобразованиями (предложение 6.3).

Наконец в этом разделе, применяя операцию тензорной алгебры - свертки по верхнему и первому нижнему индексам к и2, мы получаем тензорный дифференциальный инвариант а2 = {Ь^х1 + Ь2йх2) <8> (¿х1 А (1х2), известный как форма Лиувилля [57]. Прообраз этой формы при той же операции дает тензорный дифференциальный инвариант

Р2 = (^(^¿т - ® № Л с^х2)2 .

В разделе 6.3.2 мы строим тензорные дифференциальные инварианты на подрас-слоении расслоения </37г, которое является прообразом (7Гз)2)1(ОгЬц) орбиты общего положения ОгЬд. Анализ пространств формальных симметрий Аол точек вз из этого подрасслоения и 2-форм шц, определенных горизонтальными пространствами Н с Л^, приводит к выделению естественного класса горизонтальных пространств Н С Авг, для которых компоненты первого порядка форм шц равны нулю (теорема 6.9), а компоненты второго порядка форм и>н не зависят от выбора горизонтального прстранства из этого класса и порождают тензорный дифференциальный инвариант ш2 (предложение 6.5). Исследование компонент третьего порядка форм шц (лемма 6.1, теорема 6.10) приводит к построению тензорного дифференциального инварианта со3 на (7Гз)2)1(ОгЬо) и3 = (Ф^! + Ф2е2) ® {йх1 А йх2)3 , где коэффициенты Ф1 и Ф1 определяются формулами (6.39)

Далее, применяя свертку по верхнему и первому нижнему индексам к и3, мы получаем тензорный дифференциальный инвариант а3 = (Ф1^1 + Ф2dx2) ® (dx1 Л dx2)3.

Свертка тензоров ß2 и а3 приводит к известному тензорному дифференциальному инварианту, [57], и = ß2 J а3 = L3{dxl Л dx2f, где коэффициент L3 определяется формулой (6.21). Свертка тензоров ß2 и w3 приводит к тензорному дифференциальному инварианту

7 = /?2 J а;3.

Инварианты w2, и и 7 полностью описывают орбиты расслоения J37г (теорема 6.11). Наконец, в этом разделе, применяя операции тензорной алгебры к полученным тензорным инвариантам, мы получаем известные дифференциальные инварианты 3-го порядка ¿ц и £2, которые являются векторными нолями на подрасслоении (7Гос;2)1(ОгЬо) расслоения J°°ir линейно-независимыми в каждой точке

6 = " LlD2)' 6 = " ф1Дг)'

В разделе 6.4 изучается алгебра А скалярных дифференциальных инвариантов на подрасслоении расслоения J°°ty, являющимся прообразом (71-00,2)-1(Orbo) орбиты общего положения Orb3 в J3тт. Вначале мы в явном виде находим семейство I1, /2, ., /6 образующих алгебры А4 скалярных дифференциальных инвариантов порядка 4 (теорема 6.12 и формулы (6.48)). Затем, используя независимые дифференцирования и £2, находим (теорема 6.13) среди 18 инвариантов алгебры скалярных дифференциальных инвариантов порядка 5 все 14 её образующих. Отсюда следует, что образующие алгебры A4 связаны 4-мя независимыми дифференциальными соотношениями 1-го порядка. Эти соотношения находятся в явном виде(формулы (6.51)). Наконец, мы доказываем (теорема 6.14), что полученное семейство образующих алгебры A4 является семейством образующих всей алгебры А, а найденные 4 независимых дифференциальных соотношения 1-го порядка образуют полное семейство дифференциальных соотношений между этими образующими, т.е. любое другое дифференциальное соотношение между образующими I1, /2, ., I6 является (дифференциальным) следствием найденных дифференциальных соотношений 1-го порядка.

В последнем разделе 6.5 мы решаем проблему эквивалентности для уравнений £, для которых 3-джеты соответствующих им сечений ¿а принадлежат орбите общего положения ОгЬд (теоремы 6.15, 6.16 и 6.17). Отметим, что среди этих уравнений находятся все уравнения (0.1) общего положения.

В глава 7 получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3, а также получено решение проблемы локальной эквивалентности этих уравнений относительно контактных преобразований.

Известно см., например, [7], что все линейные ОДУ порядка п < 2 локально эквивалентны между собой. Для линейных ОДУ порядка п > 3 существует бесконечное множество различных классов эквивалентности.

В разделе 7.1 собраны необходимые предварительные сведения о линейных обыкновенных дифференциальных уравнениях.

В разделе 7.2 Мы доказываем (теорема 7.1), что размерность алгебры точечных симметрий линейного ОДУ является инвариантом контактных преобразований линейных ОДУ.

Известно, см. [66], что размерность алгебры Р^ £ точечных симметрий линейного ОДУ п-го порядка равна либо п + 4, либо п + 2, либо п + 1.

Т.о. проблема локальной эквивалентности линейных ОДУ распадается на три части, в соответствии с размерностью алгебры точечных симметрий.

Известно, см. [25], [72] и [98], что всякое линейное ОДУ подходящим точечным преобразованием приводится к виду

У{п) = ап-3(х) у^ + ап,(х) у^ + . + а0(х)у, (0.3) который называется формой Лагерра-Форсайта исходного уравнения.

В результате проблема локальной эквивалентности линейных ОДУ сводится к проблема локальной эквивалентности линейных ОДУ в форме Лагерра-Форсайта.

В разделе 7.3 мы доказываем (теорема 7.2), что уравнение у^ — 0 является формой Лагерра-Форсайта для любого линейного ОДУ с п + 4 - мерной алгеброй точечных симметрий. Тем самым решаем проблему локальной эквивалентности линейных ОДУ с п + 4 - мерной алгеброй точечных симметрий.

В разделе 7.4 для линейных ОДУ с алгебрами точечных симметрий размерностей п + 2 и п + 1 доказывается (теорема 7.3), что всякое контактное преобразование таких уравнений является точечным преобразованием. Это позволяет в разделе 7.5 свести (теорема 7.4) проблему локальной эквивалентности линейных ОДУ к проблеме локальной эквивалентности линейных ОДУ в форме Лагерра-Форсайта относительно точечных преобразований вида х = /(х) = --У = У\1\ , р, 7,сек, 0.4

7 х + о 11

Далее в разделе 7.6 мы отождествляем каждое уравнение £ Лагерра-Форсайта (0.3) с сечением

5е : х I—> (ж, а„3(ж), ап3(ж), ., а0(ж), ) тривиального расслоения г:КхК""2—т : (х, а„3, а„4, ., о0) х, п > 3.

Это отождествление порождает естественное поднятие проективных преобразований

5 =/(я) = , а,/?,7,¿6М, йеьГ (0.5)

7 х + о \гу $ I базы Е1 расслоения т в тотальное пространство Е = №.х К"-2 этого расслоения.

Т.о. мы сводим (теорема 7.5) проблему локальной эквивалентности линейных ОДУ (0.3) относительно преобразований вида (0.4) к проблеме локальной эквивалентности сечений расслоения т относительно группы С проективных преобразований (0.5) базы М1 этого расслоения.

Далее мы вычисляем (предложение 7.5) алгебру Рц в проективных симметрий сечения 5 расслоения т. Оказывается, что размерность алгебры Р^ 5 равна либо 3, либо 1, либо 0, а размерности алгебр Pnt £ и Prj Sg связаны уравнением dimPnt £ = dim Prj Sg + n + 1.

Далее в разделе 7.6.3 мы доказываем, что тотальное пространство Е расслоения т является объединением инвариантных относительно преобразований непересекающихся подмножеств

Е = Епз U £п4 U . U Е0 U , где Ei = { (ж, 0, ., О, аи ., о0) G £ | а{ ф 0 }, = {(ж, 0, ., 0) е Е} и п - 3 > г > 0. В результате всякое сечение расслоения т является сечением какого-нибудь из инвариантных подрасслоений т1 = t\ei :Е{ —> R1 .

Мы доказываем (теорема 7.6), что симметричная дифференциальная (п-г)-фориа u>i = ai{dx)n~l\Et является дифференциальным инвариантом расслоения тг. С помощью этой формы доказывается (теорема 7.7), что векторное поле = Dx на J°°t1 является дифференциальным инвариантом расслоения т1 относительно подгруппы G+ С G, являющейся связной компонентой единицы группы G.

Далее находим (теорема 7.8) полное описание алгебры Ai всех скалярных дифференциальных инвариантов расслоения тг относительно подгруппы G+, то есть мы находим семейство образующих /г, ., этой алгебры и показываем, что между ними нет дифференциальных соотношений. Тем самым мы даем полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно точечных преобразований.

Затем мы доказываем (теорема 7.9), что если S - сечение расслоения т1 такое, что dim Prj S — 1, и / £ Ai, то ограничение Is инварианта / на образ сечения j^S : р —> j^S являются константой.

В разделе 7.6.5 проблема локальной эквивалентности сечений расслоения тг относительно группы G сводится (предложение 7.8) к проблеме локальной эквивалентности этих сечений относительно подгруппы G+. Последняя решается следующим образом (теорема 7.10 и следствие 7.5).

Пусть р и р - точки из областей определения сечений

S : х —» (ж, 0,., 0, Oj( ж),----ао(ж)) и S : х —» (ж,0,., 0, щ(х),., а0( ж)) соответственно. Тогда:

1. Если dimPrj S = dimPrj S = 1, то S и S эквивалентны в окрестностях точек р и р тогда и только тогда, когда ai(p) • <к(Р) > 0 , и = m = i,i- 1,.,0.

2. Если dimPrj S =■ dimPrj S — 0, то S и 5" эквивалентны в окрестностях точек р и р тогда и только тогда, когда аг(р) ■ (ц{р) > 0 и решение / задачи Коши = >, т=р в некоторой окрестности точки р удовлетворяет уравнениям

I$of = I™, m = г, г — 1,., 0 .

В Приложении представлены в качестве примера некоторые программы в компьютерно-алгебраической системе REDUCE, с помощью которых получены дифференциальные инварианты уравнений Монжа-Ампера, вычислены пространства формальных симметрий и алгебры изотропии в главе 6 и других главах.

1. Алексеевский Д.В., Виноградов A.M., Лычагин В.В., Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 28 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР) М., 1988, 289 с.

2. Арнольд В.И., Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика Удмуртский государственный университет, 2000, 400 с.

3. Babich M.V. and Bordag L.A., Projective differential geometrical structure of the Painleve equations// J. Dif. Equations, V.157, No.2, pp.452-485, (1999).

4. Веркович Л.М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений. Методы и приложения. Москва: НИЦ «Рагулярная и хаотическая динамика», 2002, с. 464.

5. Bernard D. Sur la geometrie differentielle des G-structures// Ann. Inst. Fourier, 10, 1960, pp. 151-270.

6. Бляшке В., Введение в геометрию тканей, Физматгиз, Москва, 1959, 144 с.

7. Cartan Е. Sur les varietes a connexion projective// Bull. Soc. Math. France 52 (1924), 205 241.

8. Catalano Ferraioli D. and Vinogradov A. M., Differential invariants of generic parabolic Monge-Ampere equations// The Diffiety Inst. Preprint Series DIPS 3/2008, November, 26, 2008, pp. 24.

9. Chern S.-S., The geometry of differential equation y'" = F(x,y,y',y")// Sci. Rep. Nat. Tsing Hua Univ. 4 (1950) 97-111.

10. Chern S.-S.,Projective geometry, contact transformations, and СR-structures// 1982, Arch. Math. Vol. 38, pp. 1 5

11. Ферапонтов E.B.,Системы трех дифференциальных уравнений гидродинамического типа с шестиугольной 3-тканъю характеристик на решениях// Функци-он. анализ и его прил. 1989, т. 23, вып. 2, с. 79-80.

12. Ферапонтов Е.В., Интегрирование слабонелинейных полугамилътоновых систем гидродинамического типа методами теории тканей// Мат. сборник, 1990, т. 181, № 9, 1220-1235.

13. Ферапонтов Е.В., Уравнения гидродинамического типа с точки зрения теории тканей!I Мат. заметки, 1991, т. 50, вып. 5, 97-108.

14. Gardner R.B., Differential geometric methods interacting control theory// pp.117-180, in Brockett R.W. et al., Eds., Differential geometry control theory, Birkhauser, Boston, (1983).

15. Gardner R.B., The Method of Equivalence and Its Application, Society for industrial and applied mathematics, Philadelphia, Pennsylvania, 1989, pp. 127.

16. Goursat E., Leçon sur l'intégration des equations aux derivees partielles du second order a deux variables independentes, I, II// Hermann, Paris, 1896, 1898.

17. Guillemin V., Sternberg S., An algebraic model of transitive differential geometry// Bulletin of the AMS, Vol. 70, No. 1, pp. 16 47, 1964.

18. Grissom C., Thompson G., and Wilkens G., Linearization of second order ordinary differential equations via Cartan's equivalence method// J. Differential Equations, Vol. 77, pp.1—15, (1989).

19. Halphen G.-H. Mémoires sur la reduction des equations différentielles linéaires aux formes integrables// Mémoires présentes par duvers savants a l'Acad. des sci. de l'inst. math, de Prance, Vol. 28, No. 1, pp. 1-301, 1884.

20. Hsu L. and Kamran N., Classification of second-order ordinary differential equations admitting Lie groups of fiber-preserving point symmetries// Proc. London Math. Soc., Vol. 3, No. 58, pp.387-416, (1989).

21. Ибрагимов H.X., Группы преобразований в математической физике — М.: Наука, 1983, 280 е.,

22. Ibragimov N.H. (ed), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 1, Symmetries, exact solutions, and conservation laws, CRC Press, Boca Raton, 1994, pp. 429.

23. Ibragimov N.H. (ed), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 3, New trends in theoretical developments and computational methods, CRC Press, Boca Raton, 1996, pp. 536.

24. Ivey Т., Landsberg J., Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Differential Systems, Graduate Studies in Mathematics Vol. 61, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2003, pp. 392.

25. N. Kamran, K.G. Lamb, and W.F. Shadwick, The local equivalence problem .for d?y/dx2 = F(x,y,dy/dx) and the Painleve transcendents// J. Dif. Geometry, Vol. 22, 139-150, (1985).

26. Кильп X.O., Две квазилинейные системы S^ из механики с шестиугольной три-тканыо характеристик (геометрическая теория)// Уч. зап. Тартуск. гос. ун-та, 1975, Т.374, С. 63-78.

27. Кириллов А.А., Лекции по методу орбит, Новосибирск: Научная книга, 2002.

28. Кобаяши Ш., Группы преобразований в дифференциальной геометрии, Москва, «Наука», 1981, с.224.

29. Кобаяши Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, Том I, II, Москва, «Наука», 1981, 344 е., 414 с.

30. Kolar I., Michor P., Slovak J. Natural operations in differential geometry, Springer, 1993, pp.437.

31. Киряков П.П., Сенатов С.И., Яхно А.Н., Приложение симметрии и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений, Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2001, 192 с.

32. Кругликов B.C., Некоторые классификационные проблемы в четырехмерной геометрии: распределения, почти комплексные структуры, уравнения Монжа-Ампера// Мат. Сборник, 1998, том 189, № 11, стр. 61-74, e-print: http://xxx.lanl.gov/abs/dg-ga/9611005.

33. Кругликов B.C., Симлектические и контактные алгебры Ли с применением к уравнениям Монжа-Ампера// Труды мат. инст. имени В.А.Стеклова, 1998, том 221, стр.232-246, e-print: http://xxx.lanl.gov/abs/dg-ga/9709004.

34. Kruglikov В., Classification of Monge-Ampere equations with two variables// in: Geometry and topology of caustics—CAUSTICS '98 (Warsaw); Banach Center Publications, 50, 179-194 (1999)

35. Kruglikov В., Lychagin V.V., On equivalence of differential equations// Acta et Comment. Univ. Tartuensis Math. (1999), 3, pp. 7-29.

36. Kruglikov B.S., Lychagin V.V., Invariants of pseudogroup actions: Homological methods and Finiteness theorem// Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. V.3, No. 5-6, (2006), 1131-1165.

37. Kruglikov B.S., Lychagin V.V., Geometry of Differential equations// prep. IHES/M/07/04; in: Handbook of Global ANalysis, Ed. Krupka D., Saunders D., Elsevier (2008), 725-772.

38. Kruglikov В., Point classification of 2nd order ODEs: Tresse classification revisited and beyond, arXiv:0809.4653vl.

39. Krupka D., Janyska J., Lectures on differential invariants, Univerzita J.E. PurkynE v BrnË, 1990, pp. 193.

40. Kumpera A., Invariants différentiels d'un pseudogroupe de Lie. 1-Й// J. Differential Geometry 10 (1975), no. 2, 289-345; 10 (1975), no. 3, 347-416.

41. Курант Р., Уравнения с частными производными, Москва, «Мир», 1964, 830 с.

42. Kushner A., Classification of mixed type Monge-Ampere equations// Geometry in Partial Differential Equations. (1993) pp. 173-188.

43. Kushner A., Symplectic geometry of mixed type equations/ / in Amer. Math. Soc. Transi., "The interplay between geometry and differential equations V.V.Lychagin Dds., ser. 2, 167 (1995) pp. 131-142.

44. Kushner A., Monge-Ampere equations and e-structures// Dokl. Akad. Nauk 361:5 (1998), 595-596.

45. Kushner A., Almost product structures and Monge-Ampere equations// Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 23, 2006, pp. 151-181.

46. Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V., Contact Gometry and Non-linear Differential Equations Cambridge University Press, (2007) pp.496

47. Laguerre E., Sur les equations différentielles linéaires du troisième ordre// Comptes Rendus. Acad. Sei. Paris, Vol. 88, pp. 116-119, 1879.

48. Lie S., Uber einige partielle Differential-Gleichung en zweiter Orduung/ / Math. Ann. 5 (1872), 209-256.

49. Lie S., Begründung einer Invarianten-Theorie der Вeruhrungs-Transformationen// Math. Ann. 8 (1874), 215-303.

50. Lie S., Über Differentialinvarianten// Math.Ann. 24, No. 1 (1884)

51. Lie S., Classification und integration von gewohnlichen Differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten// Math. Ann. 32 (1888), 213-281.

52. Lie S., Vorlesungen über continuierliche gruppen, Teubner, Leipzig, (1893).

53. Lie S., Theorie der transformations gruppen, Vol. III, Teubner, Leipzig, (1930).

54. Liouville R., Sur les invariantes de certaines equationes différentielles// Jour, de l'Ecole Politechnique, Vol. 59, 1889, pp. 7-88.

55. Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка// Успехи Мат. Наук, 1979, том 34, № 1, стр. 101-171.

56. Лычагин В.В. Геометрическая теория особенностей решений нелинейных дифференциальных уравнений// Итоги Науки и Техники, Сер. Проблемы геометрии, ВИНИТИ, т. 20 (1988), с.207-247

57. Лычагин В.В. Однородные структуры на многообразиях// Мат. Заметки, 521992),N4, с.54-68

58. Lychagin V.V., Lectures on geometry of differential equations, Universita "La Sapienza Roma, 1992, 133 p.

59. Lychagin V.V., Homogeneous geometric structures and homogeneous differential equations// AMS Translations, Advances in Math. Sci., Ser.2, v.167, (1995), p.143-164

60. Lychagin V.V. and Roubtsov V.N. , On Sophus Lie theorems for Monge-Ampere equations// Dokl. Akad. Nauk BSSR 27:5 (1983), 396-398.

61. Lychagin V.V. and Roubtsov V.N., Local classification of Monge-Ampere differential equations// Dokl. Akad. Nauk SSSR 272:1 (1983), 34-38.

62. Lychagin V.V., Rubtsov V.N., Chekalov I.V., A classification of Monge-Ampere equations// Ann. Sc. Ecole Norm. Sup. (4) 26 (1993), 281-308.

63. Mahomed F.M., Leach P.G.L., Symmetry Lie algebras of nth order ordinary differential equations// J. Math. Analysis and Appl., 151, 80-107, 1990.

64. Mahomed F.M., Symmetry Lie algebras of nth order ordinary differential equations, Ph.D thesis, Faculty of science, University of the Witwatersrand, Johannesburg, 1989.

65. Morimoto Т., La geometric des equations de Monge-Ampere// C. R. Acad. Sci. Paris A-B 289:1 (1979), A25-A28.

66. Morimoto Т., Geometric structures on filtred manifolds// Hokkaido Math. J. 22,1993) 263-347.

67. Morimoto Т., Мопде-Атрёге equations viewed from contact geometry, in: Symplectic Singularities and Geometry of Gauge Fields, 105-121, Banach Center Publ., 39, Polish Acad. hSci., Warsaw, 1997.

68. Munoz J., Muriel F.J., Rodriguez J., On the finiteness of differential invariants// J. Math. Anal. Appl. 284 (2003), no. 1, 266-282.

69. Neuman F., Global properties of linear ordinary differential equations, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.

70. Newlander A. and Nirenberg L., Complex analytic coordinates in almost complex manifolds// Ann. of Math., Vol. 65, pp. 391-404 (1957).

71. Новиков С.П., Тайманов И.А., Современные геометрические структуры и поля, Москва, Изд-во МЦНМО, 2005, 581 с.

72. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений, Москва, «Наука», 1978, 400 е.,

73. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики, Москва, «Наука», 1981, 368 с.

74. О л вер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям, Москва, «Мир», 1989, 639 с.

75. Olver Peter J., Equivalence, Invariants, and Symmetry, Cambridge University Press, 1995, 525 pp.

76. P. Пале, Семинар no теореме Атьи-Зингера об индексе, Москва, «Мир», 1970, 359 с.

77. Palais R., Terng C.L., natural bundles have finite order// Topology, 16 (1977), 271-277.

78. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли, Москва, «Мир», 1983, 398 с.

79. Рашевский П.К., Риманова геометрия и тензорный анализ, Москва, «Наука», 1967, 664 с.

80. Sharipov R., Effective procedure of point classification for the equationy" = P+3Qy' + 3Ry'2 + ¿У3// Preprint, 1998, arXiv: http://xxx.lanl.gov/abs/math.DG/9802027.

81. Singer I.M., Sternberg S., On the infinite groups of Lie and Cartan,I// J. Analyse Math. Vol. 15, pp. 1-114, 1965.

82. Стернберг С., Лекции no дифференциальной геометрии , Москва, «Мир», 1970, 412 с.

83. Tchij O.P., Contact geometry of hyperbolic Monge-Ampere eqquations// Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 4, 1999, 109-162.

84. Thompson G, Cartan's method of equivalence and second-order equation fields// Letter to the editor, J. Phys. A.: Math. Gen. Vol.18 , L1009-L1015, (1985).

85. Thomsen G., Uber die topologischen Invarianten der Differentialgleichung y" = f{x,y)y'3 + g(x,y)y'2 + h(x,y)y' + k(x,y)// Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. Vol. 7, pp.301-328, (1930).

86. Tresse A., Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations// Acta Math. Vol. 18, pp. 1-88, (1894).

87. Tresse A., Détermination des Invariants ponctuels de VEquation différentielle ordinaire du second ordre: y" = u(x,y,y')// pp. 88, Bei S. Hirzel, 'Leipzig, (1896).

88. Tunitskii D.V., Contact equivalence of Monge-Ampere equations with transitive symmetries// In Differential Geometry and Applications, Brno, (1995), pp. 479-485.

89. Туницкий Д.В., О контактной линеаризации уравнений Монжа—Ампера/ / Известия РАН Сер. Математическая, Т. 60, № 2, (1996), стр. 195-220.

90. Туницкий Д.В., Эквивалентность и характеристические связности уравнений Монжа-Ампера// Математический сборник, Том 188, № 5 (1997) стр. 131-157.

91. Туницкий Д.В., Уравнения Монснса-Ампера и функторы характеристической связности// Известия РАН Сер. Математическая, Т.65, № 6, (2001), стр. 173-222.

92. Туницкий Д.В., Уравнения Mонснса-Ампера и тензориальные функторы// Известия РАН Сер. Математическая, Т.73, № 6, (2009), стр. 145-194.

93. Вагнер В.В., Теория геометрических объектов и основания дифференциальной геометрии. Дополнение к кн. О.Веблен и Дж.Уайтхед, Основания дифференциальной геометрии, Москва, «Иностранная литература», 1949, 230 с.

94. Виноградов A.M., О геометрии параболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными// Доклады Академии Наук, Том. 423, No. 5, (2008), с. 588-591

95. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М., «Наука», 1986, 336 с.

96. Виноградов A.M., Красильщик И.С. ред. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики.- М.: Факториал, 1997, 464 с.

97. Vessiot Е. Sur l'intégration des sistem différentiels qui admittent des groupes continus de transformations// Acta Math., 28, (1904), pp. 307-350.

98. Wilczynski E.J., Projective differential geometry of curves and ruled surfaces, B. G. Teubner, Leipzig, 1906.

99. Гусятникова В.H., Виноградов A.M., Юмагужин В.А., Вторичные дифференциальные операторы// ДАН СССР, 1985, Т. 283, Вып. 4, стр. 801 805.

100. Gusyatnikova V.N., Samokhin A.V., Titov V.S., Vinogradov A.M., Yumaguzhin V.A. Symmetries and conservation laws of Kadomtsev-Pogutse equations// Acta Applicandae Mathematicae, 1989, Vol. 15, pp. 23 64.

101. Виноградов A.M., Юмагужин В.А., Дифференциальные инварианты тканей на 2-мерных многообразиях// Мат. заметки, 1990, Т. 48, Вып. 1, стр. 46 68.

102. Гусятникова В.Н., Юмагужин В.А., Точечные преобразования и линеаризуемостъ обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка// Мат. заметки, 1991, Т. 49, Вып. 1, стр. 146 148.

103. Yumaguzhin V.A., Point transformations and classification of 3-order linear ODEs// Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 4, No. 3, pp. 403-410, 1996.

104. Yumaguzhin V. A. Classification of 3-rd order linear ODEs up to equivalence// Journal of Differential Geometry and its Applications Vol. 6, No. 4, pp. 343-350, 1996.

105. Yumaguzhin V.A., Differential invariants, webs and ordinary differential equations// Proc. of III International Workshop on Differential Inclusions and Control, Pereslavl-Zalessky, Russia, 1998, pp. 49 52.

106. Yumaguzhin V.A., Gusyatnikova V.N., Contact transformations and local reducibility of ODEs to the form y"'=0// Acta Applicandae Mathematicae, 1999, Vol. 56, No. 2, 3, pp. 155 179.

107. Юмагужин В.А., Локальная классификация линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Докл. Акад. Наук, Том. 377, No. 5, 2001, стр. 605 607.

108. Юмагужин В.А., Классификация линейных обыкновенных дифференциальных уравнений /// Дифференциальные уравнения, 2002, Том. 38, No.8, стр. 1063-1070.

109. Юмагужин В.А., Классификация линейных обыкновенных дифференциальных уравнений II/ / Дифференциальные уравнения, 2002, Том. 38, №.12, стр. 1627-1632.

110. Yumaguzhin V.A., Contact classification of linear ordinary differential equations// Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 72, No. 1/2, June 2002, pp. 155-181.

111. Юмагужин В.А., Юмагужина B.H., Интегрируемые структуры конечного типа, ИПС РАН, Программные системы: теория и приложения. Труды международной конференции, г. Переславль-Залесский, май, 2004, том 2, стр. 409-422.

112. Yumaguzhin V. A., On the obstruction to linearizability of 2-order ordinary differential equations// Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 83, No. 1-2, 2004. pp.133-148.

113. Юмагужин В.А., Интегрируемые структуры конечного типа// Фундаментальная и прикладная математика, Том. 10, No. 3-4, 2004, стр.255-269.

114. Виноградов A.M., Марван М., Юмагужин В.А., Дифференциальные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения// Доклады Академии Наук, Том. 405, No. 3, 2005, стр. 299-301.

115. Yumaguzhin V.A., Finite-type integrable structures// Journal of Mathematical Sciences, Vol. 136, No. 6, 2006, pp. 4401-4410

116. Marvan M., Vinogradov A.M., Yumaguzhin V.A., Differential invariants of generic hyperbolic Monge-Ampere equations// Central European Journal of Mathematics, 5(1), 2007, pp. 105-133.

117. Yumaguzhin V., On the obstruction to integrability of almost-complex structures, (2008), arXiv:0804.0690vl

118. Lychagin V., Yumaguzhin V., Minkowski metrics on solutions of the Khokhlov-Zabolotskaya equation!I Lobachevskii Journal of Mathematics, 2009, Vol. 30, No. 4, pp. 333-336.

119. Lychagin V., Yumaguzhin V., On geometric structures of 2-dimensional gas dynamics equations// Lobachevskii Journal of Mathematics, 2009, Vol. 30, No. 4, pp. 327-332.

120. Lychagin V., Yumaguzhin V., Minkowski metrics on solutions of the equation of nonstationary transonic gas flow// Proc. International Geometric Center, Vol. 21,2009), pp. 27-34.

121. Yumaguzhin V., Differential invariants of 2-order ODEs, I// Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 109, No. 1, 2010, pp. 283-313.