Инварианты характеристик гиперболических систем уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Заблуда Александр Владимирович

ИНВАРИАНТЫ ХАРАКТЕРИСТИК ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Красноярск — 2006

Работа выполнена в Институте вычислительного моделирования СО РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Капцов О.В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Андреев В.К., доктор физико-математических наук, профессор Сенатов С.И.

Ведущая организация:

Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 8 декабря 2006 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 212.099.03 в Красноярском государственном университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан « 31 » ОКт* 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Золотое О.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Дифференциальные уравнения в частных производных используются для описания разнообразных процессов реального мира. Несмотря на то, что развитие современной вычислительной техники позволяет применять эффективные численные алгоритмы для решения нелинейных систем уравнений, тем не менее, построение точных решений по-прежнему остается важной задачей. Эти решения позволяют не только глубже понять качественные особенности описываемых процессов и явлений, но также могут быть использованы в качестве тестовых примеров для асимптотических, приближенных и численных методов.

В настоящее время широкое распространение получили групповые методы исследования уравнений в частных производных. В рамках программы ПОДМОДЕЛИ школой Л.В. Овсянникова проводится систематическое изучение групповых свойств различных подмоделей газовой динамики, а также построение инвариантных и частично инвариантных решений.

Данная работа посвящена негрупповым подходам к интегрированию уравнений в частных производных. Хорошо известно, что в классических методах ключевую роль играют интегралы характеристик, которые определяются как функции, принимающие постоянные значения вдоль характеристических кривых. Метод Дарбу, включающий в качестве частного случая метод промежуточного интеграла, нашел основные приложения при интегрировании уравнений второго порядка. В последнее время вновь возросший интерес к уравнениям, интегрируемым по Дарбу, связан с исследованиями A.B. Жибера, В.В. Соколова, С.П. Царева и других ученых.

О.В. Капцовым были введены инварианты характеристик систем гиперболических уравнений первого порядка, как функции, сохраняющиеся вдоль характеристик. Эти функции могут включать независимые

и зависимые переменные системы, а также частные производные до некоторого порядка. Инварианты характеристик обобщают известные инварианты Римана. Они представляют самостоятельный интерес, а также могут использоваться для построения редукций и точных решений исходных систем уравнений.

В диссертационной работе также рассматривается метод, основанный на применении дифференциальных преобразований Дарбу, переводящих решения уравнения некоторого класса в решения другого уравнения того же класса. Современный интерес к преобразованиям Дарбу связан, в основном, с исследованиями в области теории солитонов и дифференциальной геометрии.

В данной работе метод преобразований Дарбу используется для построения точных решений уравнения Мутара и уравнения Эйлера-Дарбу, возникающего в исследованиях по газовой динамике и теории упругости.

Цель диссертационной работы состоит в нахождении инвариантов характеристик систем уравнений газовой динамики и уравнений магнитной гидродинамики, а также в применении полученных инвариантов для построения редукций и точных решений.

Основные результаты

1. Для уравнений одномерной газовой динамики в эйлеровых координатах с непостоянной энтропией найдены инварианты характеристик нулевого и первого порядков, а также некоторые инварианты высших порядков. С помощью инвариантов нулевого порядка построено решение, зависящее от двух произвольных функций. Указан способ сведения исходной системы к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, основанный на использовании инвариантов первого порядка.

2. Получены инварианты характеристик уравнений магнитной гидродинамики. В одномерном нестационарном случае исходная система сводится к одному уравнению второго порядка, для которого при

некоторых условиях построено общее решение.

3. Для уравнений одномерной газовой динамики в лагранжевых координатах получены все инварианты нулевого порядка, а также инварианты высших порядков. С помощью инвариантов нулевого порядка, а также нелокальных инвариантов, исходная система сводится к уравнению ЭйлерагДарбу и, далее, к уравнению Мутара. Представлены общие решения уравнений Мутара, получаемых из волнового уравнения с помощью последовательного применения трех преобразований Дарбу.

4. Разработан пакет аналитических вычислений ГпуСЬаг для нахождения инвариантов характеристик систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в среде Мар1е.

Научная новизна и практическая ценность Результаты диссертации являются новыми, снабжены полными доказательствами, а также в частных случаях совпадают с результатами других авторов.

Приведенные в работе инварианты характеристик уравнений газовой динамики и магнитной гидродинамики представляют значительный интерес. Они могут быть использованы при интегрировании рассматриваемых систем уравнений. Особый теоретический интерес представляют нелокальные инварианты.

Частные и общие решения, полученные в диссертационной работе, являются новыми. Уравнения, интегрируемые методом преобразований Дарбу, выходят за рамки теоремы Овсянникова о классификации линейных уравнений второго порядка, что также позволяет говорить о новизне полученных решений.

Как сами инварианты характеристик, так и точные решения, построенные с их помощью, могут быть использованы для проверки корректности результатов работы различных численных алгоритмов, а также позволяют более полно судить о некоторых качественных особенностях процессов, описываемых системами дифференциальных уравнений в част-

ных производных.

Предложенная программная реализация алгоритма расчета характеристик и их инвариантов позволяет существенно упростить поиск инвариантов характеристик для произвольных систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Апробация. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

— Конференция молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск,.2004).

— Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004)

— Конференция молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2005).

— IV международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2005)

— Семинар Института вычислительного моделирования СО РАН «Математические модели и методы интегрирования» под руководством профессора О.В. Капцова (Красноярск, 2005).

— Конференция молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2006).

— Конференция молодых ученых Красноярского научного центра СО РАН (Красноярск, 2006).

— Семинар Института вычислительного моделирования СО РАН «Математическое моделирование в механике» под руководством профессора В.К. Андреева (Красноярск, 2006).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1-8], а также в статье О.У. Kaptsov, А.У. гаЫис!а

Characteristic invariants and Darboux's method, опубликованной в Internet no адресу http://arxiv.org/abs/nlin.SI/0410026.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 53 наименований и одного приложения. Общий объем работы составляет 95 страниц.

Содержание работы

Во введении дается обзор по теме диссертации и кратко излагаются основные результаты.

В первой главе рассматриваются инварианты характеристик уравнений движения идеального газа в эйлеровых координатах.

Вводный параграф 1.1 содержит основные определения. Для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

F(x,u,uXi,...,uXn) =0, (1)

где х = (хи...,х„), и = (u\...,um), uXi = (i4.,...,u£), F = (F1.....Fm), вводится понятие инвариантов характеристик, как функций, сохраняющихся вдоль характеристических направлений. Эти функции могут зависеть от переменных х, и, а также частных производных до некоторого порядка.

Определение. Функция 1(х, и, щ,... ,щ), где Uj означает набор частных производных порядка j от функций и1,..., ит, называется инвариантом характеристик системы (1), если

^»Ли = о,

Здесь [5] означает систему (1) и ее дифференциальные следствия. Lv — оператор дифференцирования вдоль характеристики системы (1).

В параграфе 1.2 рассматриваются уравнения, описывающие одномерные изоэнтропические течения политропного газа с уравнением состояния вида

-А2 7 р = —р\

где р — давление, р — плотность, 7 - показатель политропы, А € Я.

Используя общее определение, строятся известные инварианты характеристик нулевого порядка (инварианты Римана), а также приводятся условия, при которых существуют дополнительные инварианты нулевого и высших порядков.

"Утверждение 1.4. Инварианты характеристик нулевого порядка системы уравнений газовой динамики с постоянной энтропией в политропном случае имеют вид

,± , 2Л 3=1 I = и± --О 2 .

7-1

Здесь и — скорость.

Утверждение 1.5. При произвольном значении параметра 7 инвариантами характеристик нулевого порядка являются функции Н — 1+ и к = 1~ и только они. При 7 = 3 на каждую характеристику приходится по два инварианта к, х — £/г и к,х — Ьк соответственно. При 7 = 1 (случай кратных характеристик) имеется три инварианта Л, к и 2х — ¿(/г + к).

Инварианты характеристик одномерных уравнений газовой динамики с непостоянной энтропией и произвольным уравнением состояния рассматриваются в параграфе 1.3.

Инварианты нулевого порядка 1{Ь, х, р, и,р), постоянные вдоль звуковых характеристик системы уравнений газовой динамики, существуют только тогда, когда скорость звука

= (2) где д — произвольная функция. Эти инварианты имеют вид

Полагая инвариант I =0, можно построить частное решение, зависящее от двух произвольных функций.

Утверждение 1.8. Если скорость звука задается формулой (2), то точное решение системы уравнений газовой динамики имеет вид

и — F, t = Р + R'F', х = R'(FF'+l/p)-R + j FP'dp,

где P = P{p) и R = R(r) — произвольные функции, г = f (F')2 dp + p'1, F^f(g(p))-4p.

Дальнейшая специализация вида функции с(р,р), дает условие существования инвариантов характеристик первого порядка. При этом вдоль каждой из характеристик системы сохраняется по два инварианта.

Теорема 1.9. Система уравнений одномерной газовой динамики интегрируема по Дарбу с помощью инвариантов нулевого и первого порядков тогда и только тогда, когда скорость звука задается формулой с(р, р) = (а + Ьр)2/Зр-1. гДе а, Ь € Я.

Применяя схему Дарбу, исходная система (трех) уравнений в частных производных сводится к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Теорема 1.10. Система уравнений одномерной газовой динамики сводится к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

Ыг(12 - h)

(hh

(hh = -

hVi - П)

2Ф'(Д) (А(/2 -/з) + 18)'

где /г и /3 выражаются из соотношений

г/2 - с2(/2) - Ьх + Ф(7Х) = о, г/3 - с3(/3) - Ьх + ф(Л) = о. Здесь (?2,Сз и Ф — произвольные функции.

Оставшаяся часть первой главы посвящена нахождению инвариантов характеристик высших порядков для одномерных уравнений газовой динамики, а также уравнений, описывающих двумерные и трехмерные

течения. Рассматриваются случаи нестационарного и установившегося движения газа. Приводятся известные инварианты характеристик — энтропия, интеграл Бернулли, инвариант Эртеля. Рассматриваются способы построения инвариантов высших порядков, в частности, с помощью операторов инвариантного дифференцирования.

Во второй главе рассматривается система уравнений идеальной магнитной гидродинамики (МГД). В параграфе 2.1, посвященном одномерным уравнениям, доказывается лемма:

Лемма 2.1. В общем случае система уравнений МГД обладает единственным инвариантом нулевого порядка Д = s, сохраняющимся вдоль векторного поля Dt + uDx. При В\ = 0 — пятью инвариантами:

т т т тВ2тВз

h - S, I2 = V, /3 = W, /4 = —, 1Ь = —.

9 P

где p — плотность, (u, v, w) — вектор скорости, s — энтропия, (B\, B2, Вз) — вектор магнитной индукции.

С помощью этих инвариантов, а также одного инварианта первого порядка, исходная система (семи) уравнений сводится к одному уравнению второго порядка — уравнению Монжа-Ампера. Налагая дополнительные условия на уравнение состояния так, чтобы характеристики уравнения Монжа-Ампера были кратными, и интегрируя его, получаем в итоге общее решение исходной системы в неявном виде.

Теорема 2.4. Решение системы уравнений одномерной магнитной гидродинамики при Bi — 0 и уравнении состояния

, . -, , F(sf + Ф(в)2 2

имеет вид

v = V(s), w = W(s), p = sjl(s), В2 = вяФ(з), Вз — sxF(s). Здесь ф, 'ф, V, W, П, Ф, F — произвольные функции.

Инварианты характеристик двумерных и трехмерных уравнений магнитной гидродинамики рассматриваются соответственно в параграфах 2.2 и 2.3. Ввиду значительной вычислительной сложности, ббльшая часть расчетов проводилась с помощью компьютера с использованием разработанного автором пакета аналитических вычислений.

В нестационарном случае показывается, что инварианты высших порядков можно получать с помощью оператора

ВХРХ + В2РУ + В3Рг

выбирая энтропию 5 в качестве «начального» инварианта. Кроме того, для двумерных уравнений МГД перечислены все инварианты до второго порядка включительно. В трехмерном случае полный анализ удается провести лишь до первого порядка, тем не менее в параграфе 2.3 указаны способы построения некоторых инвариантов второго и третьего порядков, а также бесконечных серий инвариантов высших порядков.

Расчет инвариантов характеристик стационарных уравнений МГД, как правило, представляет собой более сложную вычислительную задачу. В параграфе 2.2 приводятся инварианты нулевого порядка, сохраняющиеся вдоль линий тока в двумерном случае, а также показывается, что оператор Т> = {ир)~1Ру, является оператором инвариантного дифференцирования, и, следовательно, может быть использован для построения бесконечной инвариантов высших порядков.

Третья глава посвящена инвариантам характеристик уравнений одномерной газовой динамики в координатах Лагранжа

Щ+рд = 0, рь + /2(р, д)ия = 0, (3)

где и — скорость, р — давление, V ~ 1/р — удельный объем, й — энтропия, д — массовая лагранжева координата, функция /(р, д) определяет уравнение состояния газа. Два семейства характеристик системы уравнений (3) задают операторы

Ь± = Пь±1(р,д)Вх. и

Теорема 3.1. Система (3) обладает инвариантами характеристик нулевого порядка тогда и только тогда, когда .

1(р>д) = Р'(ар+ ЬдУ °»ЬеЯ Эти инварианты имеют вид

I* = аи - Ы ± F(ap + Ьд).

Полагая инвариант 1~ = 0, построится частное решение системы уравнений газовой динамики

и = - [Й + F(ap + Ьд)], а

Г'(ар + Ьд)д — t = ф(ар + Ьд), з = 5(д).

Это решение имеет место при следующем уравнении состояния

-р = У = - J [Г'(ар + ЬЗ-1(з))]^р + ф(з).

Переписывая исходные уравнения в инвариантах Римапа Н = /+, к = 1~, и выполняя преобразование годографа, осуществляется переход к уравнению Эйлера-Дарбу

и далее, к уравнению Мутара

*ь.к + Л(Л - к)г = 0. (4)

В параграфе 3.3 исследуются вопросы применения преобразований Дарбу

■ф = гь — — 2 [1п и(Н — А;)]' г

для интегрирования уравнения Мутара. В качестве простейшего уравнения вида (4) выбирается волновое уравнение г.ху — 0 с известным общим решением г(х,у) = Х(х) + У (у). Перечисляются более сложные виды

уравнения (4), получаемые с помощью последовательного применения трех преобразований Дарбу. Полный набор таких уравнений включает 47 случаев, для каждого из которых представлено соответствующее общее решение. Итоговые результаты сведены в таблицу 3.1 и сформулированы в виде теоремы З.б и следствия 3.7.

В конце параграфа в качестве примера приводится решение уравнения (4) с потенциалом А в виде рациональной функции.

Выполняя обратный переход к исходной задаче, получаем общее решение уравнений газовой динамики в неявном виде

,,, _Н"> + К>'> „Я"-к" , 1Г1Н' + К'

к) - (Л_*)3 - Ь(Н-ку +

я{Н, &)=[-(/!- к)г{Н'" - К'") + ЩН - к)2{Н" + К") - 60(Л - ЩН' - К') + 120(Я + #)] Со.

В параграфе 3.4 показывается, что уравнения газовой динамики могут быть сведены к уравнению Эйлера-Дарбу также с помощью нелокальных инвариантов

включающих потенциал Мартина д), удовлетворяющий условиям

= С? = и.

Это позволяет строить решения уравнений газовой динамики для других видов уравнения состояния, используя решения уравнения Мутара, полученные в предыдущем параграфе.

В заключительном параграфе 3.5 приводятся инварианты характеристик первого порядка. Эти инварианты имеют место при уравнении состояния специального вида. В число рассматриваемых случаев в частности входит политропный газ с постоянной энтропией и показателями

адиабаты 7 = 3 и 7 = 1/3,а также политропный газ с непостоянной энтропией и показателями 7 = —1, 7 = 3 и 7 = 3/5. Вычисления производились с помощью компьютера.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении дается описание программного пакета InvChar, разработанного автором для автоматизации основных шагов алгоритма вычисления инвариантов характеристик систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в среде Maple. Кроме описания функций и их входных аргументов, приводится также пример, иллюстрирующий возможности пакета.InvChar при нахождении инвариантов характеристик нулевого порядка одномерных уравнений газовой динамики.

Работы автора по теме диссертации

[1] Капцое О. В., Заблуда А. В. Инварианты характеристик // Вестник Красноярского государственного университета. — 2004. — № 3. — С. 57-61.

[2] Заблуда А. В. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. — Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2004. - С. 35-39.

[3] Заблуда А. В. Инварианты характеристик уравнений магнитной газовой динамики // Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», тезисы докл. — Новосибиск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2004. — С. 63.

[4] Заблуда АЖВ. Пакет аналитических вычислений для определения ин-вариантовисарактеристик систем дифференциальных уравнений // Вычислитгтлъные технологии. — 2004. — Т. 9. — С. 207-214.

[5] Kaptsov С® V., Zabluda А. V. Characteristic invariants and Darboux's method /MJ. Phys. A: Math. Gen. - 2005. - Vol. 38. - Pp. 3133-3144.

[6] Заблуда, пласа дд териалы ярск: С. 27-30.;

В. Применение инвариантов характеристик и метода Ла-янтегрирования уравнений в частных производных // Ма-энференции молодых ученых ИВМ СО РАН.— Красно-гитут вычислительного моделирования СО РАН, 2005.—

[7] Заблуда Ш. В. Метод Дарбу и его приложения к уравнениям газовой динаники //IV международная конференция «Лаврентьевские чтения гв математике, механике и физике», тезисы докл.— Ново-сибиск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН,

2005. - <| 46-47.

[8] ЗаблудаЛ. В. Уравнения газовой динамики в лагранжевых координатах. Инварианты характеристик и точные решения // Вестник Крас-ноярскоф государственного университета. — 2006. — № 1. — С. 125— 132.

Работа выяшнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00130).

ЛР К» 040943 от 02.03.99 Подписано в печать 30.10.06 Формат бумаги 60 х 84

Усл. печ. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ 12

Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036, Красноярск, Академгородок

Введение

Глава 1. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах

1.1 Основные понятия и утверждения.

1.2 Одномерная нестационарная газовая динамика. Политропный газ с постоянной энтропией

1.2.1 Построение точных решений.

1.3 Неполитропный газ с переменной энтропией

1.3.1 Инварианты нулевого порядка и их применение

1.3.2 Инварианты высших порядков.

1.3.3 Двумерная газовая динамика.

1.3.4 Трехмерная газовая динамика.

Глава 2. Инварианты характеристик уравнений магнитной гидродинамики

2.1 Одномерный нестационарный случай

2.2 Двумерная магнитная гидродинамика.

2.3 Трехмерная магнитная гидродинамика.

Глава 3. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах

3.1 Инварианты нулевого порядка.

3.2 Точные решения.

3.3 Интегрирование уравнения Мутара с помощью преобразований Дарбу

3.4 Нелокальные инварианты.

3.5 Инварианты первого порядка.

Дифференциальные уравнения в частных производных используются для описания разнообразных процессов реального мира. Несмотря на то, что развитие современной вычислительной техники позволяет применять эффективные численные алгоритмы для решения нелинейных систем уравнений, тем не менее, построение точных решений по-прежнему остается важной задачей. Эти решения позволяют не только глубже понять качественные, особенности описываемых процессов и явлений, но также могут быть использованы в качестве тестовых примеров для асимптотических, приближенных и численных методов.

Данная работа посвящена методам интегрирования нелинейных гиперболических систем уравнений в частных производных первого порядка. Рассматриваются уравнения, описывающие движения идеального газа в эйлеровых и лагранжевых координатах, а также уравнения магнитной гидродинамики.

Можно сказать, что в настоящее время уравнения классической газовой динамики изучены достаточно хорошо, в то время как магнитная гидродинамика является сравнительно новой областью математический физики. Известно не так много точных решений для уравнений магнитной гидродинамики, поэтому развитие аналитических методов редукции и интегрирования этих систем представляет дополнительный интерес.

В книге [28] Курант отмечал ключевую роль интегралов характеристик при интегрировании уравнений с частными производными:

Самым важным фактом теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является эквивалентность задан интегрирования дифференциального уравнения с частными производными и характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Под интегралами характеристической системы понимаются функции, принимающие постоянные значения вдоль характеристических кривых. Утверждение Куранта носит более общий характер, и применимо не только к уравнениям первого порядка.

Так один из первых методов интегрирования нелинейного уравнения в частных производных второго порядка

Р(х, У, и, их, Щ, ихх, иху, Чуу) =0 (1) был предложен Монжем, а позднее улучшен Ампером. Чтобы воспользоваться методом Монжа-Ампера, необходимо найти уравнение первого порядка ${х,у,и,их,иу)=с, се Я (2) такое, что каждое его решение удовлетворяло бы уравнению (1) при любом с. При этом функцию / называют первым интегралом уравнения (1). Для построения первых интегралов необходимо искать функции, постоянные вдоль направлений характеристик уравнения (1). Если имеется два первых интеграла /х и /2 для данного семейства характеристик, то интегрирование уравнения (1) сводится к решению уравнения первого порядка где С — произвольная гладкая функция.

В 1870, Г. Дарбу представил обобщение метода Монжа-Ампера. Он предложил строить дополнительные дифференциальные уравнения в частных производных второго (и более высоких) порядков д(х. у. и, их, Иу, иХХ) иХу, Чуу) = с. (3)

Функция д также должна сохраняться вдоль характеристик уравнения (1), и в этом случае она называется инвариантом характеристик уравнения (1). Подробное описание этого метода, с большим числом примеров, имеется в книге [44], другое изложение метода можно найти в монографии [43].

Несмотря на то, что уравнения, интегрируемые по Дарбу, возникают сравнительно редко, тем не менее они представляют значительный интерес. Е. Вессио [52,53] классифицировал уравнения вида интегрируемые методом Дарбу, и нашел общее решение для каждого из полученных уравнений.

Основную роль в развитии этого метода играли французские математики. Российскими и советскими исследователями также были получены интересные результаты [6,24]. В последнее время вновь появились публикации, посвященные данному методу [7,8,19,34,36,37,39,51].

О.В. Капцовым [18] были введены инварианты характеристик систем гиперболических уравнений первого порядка, как функции, сохраняющиеся вдоль направлений характеристик. Эти функции могут включать независимые и зависимые переменные системы, а также частные производные до некоторого порядка. Классическими примерами инвариантов характеристик для трехмерных стационарных уравнений газовой динамики с произвольным уравнением состояния р = р(р, в) являются энтропия, инвариант Бернулли где и = (и,у,и)) — вектор скорости, р — плотность, р — давление, 5 — энтропия.

Инварианты характеристик обобщают известные инварианты Рима-на. Они представляют самостоятельный интерес, а также могут использоваться для построения редукций и точных решений исходных систем а также инвариант Эртеля УЙ, гсЛ И) Р уравнений. Уравнения, обладающие достаточным количеством инвариантов характеристик, могут быть сведены к обыкновенным.

В данной работе также рассматривается метод, основанный на применении дифференциальных преобразований первого порядка (преобразований Дарбу). В третьем томе «Интегрального исчисления» Л. Эйлер [35] исследовал задачи интегрирования линейных уравнений с частными производными. Он нашел, в частности, дифференциальные преобразования, переводящие решение одного уравнения в решение уравнения того же вида.

Дарбу [42] использовал преобразования вида для интегрирования гармонических уравнений вида иху = [ф{х - у) + ф(х + у)]и.

Мутар [48] применял преобразования вида (4) при построении решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Кроме того, Мутар выписал условие, при выполнении которого уравнение (5) интегрируется в явном виде. Это условие формулируется в виде нелинейного дифференциального уравнения на функцию Л. Он указал также способ интегрирования этого нелинейного уравнения.

В данной работе метод преобразований Дарбу используется для построения точных решений уравнения Мутара

2 = М{х)(их + з(х)и)

4) у" + {к + и(х))у' + \(х)у = 0.

5) гху + А(ж -у)г = О

6) получаемого из уравнения Эйлера-Дарбу иху + д(х - у)(их - иу) = О с помощью замены ¿(ж, у) = а(х — у)г(х, у), где а1 — ад.

Со времен Эйлера хорошо известны решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу ихх + С(х)их = иуу, (7) соответствующие функции х) = пег. х£

Дарбу [42] несколько расширил список уравнений, приводимых к (7) точечными преобразованиями и допускающих общее явное решение.

Уравнение (7) возникает в исследованиях по газовой динамике и теории упругости [2,28]. Все линейные дифференциальные подстановки первого порядка, соответствующие указанной функции 6?. получены в [1]. Групповой анализ произвольного линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными выполнен академиком Овсянниковым в [27]. В настоящее время интересы школы Л.В. Овсянникова сместились в сторону досконального изучения подмоделей газовой динамики [29]. В работе [30] методы группового анализа применяются для исследования уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах.

Современный интерес к преобразованиям Дарбу связан, в основном, с исследованиями в области теории солитонов и дифференциальной геометрии [47,50]. В последние годы ведется поиск многомерных аналогов преобразований вида (4), переводящих решения одних линейных уравнений в другие. Также следует отметить работы [38,40,41], посвященные уравнению Шредингера и его обобщениям.

Цель диссертационной работы состоит в нахождении инвариантов характеристик систем уравнений газовой динамики и уравнений магнитной гидродинамики, а также в применении полученных инвариантов для построения редукций и точных решений.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех основных глав, заключения и одного приложения.

Заключение

1. Для уравнений одномерной газовой динамики в эйлеровых координатах с непостоянной энтропией найдены инварианты характеристик нулевого и первого порядков, а также некоторые инварианты высших порядков. С помощью инвариантов нулевого порядка построено решение, зависящее от двух произвольных функций. Указан способ сведения исходной системы к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, основанный на использовании инвариантов первого порядка.

2. Получены инварианты характеристик уравнений магнитной гидродинамики. В одномерном нестационарном случае исходная система сводится к одному уравнению второго порядка, для которого при некоторых условиях построено общее решение.

3. Для уравнений одномерной газовой динамики в лагранжевых координатах получены все инварианты нулевого порядка, а также инварианты высших порядков. С помощью инвариантов нулевого порядка, а также нелокальных инвариантов, исходная система сводится к уравнению Эйлера-Дарбу и, далее, к уравнению Мутара. Представлены общие решения уравнений Мутара, получаемых из волнового уравнения с помощью последовательного применения трех преобразований Дарбу.

4. Разработан пакет аналитических вычислений InvChar для нахождения инвариантов характеристик систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в среде Maple.

1. Ганжа Е. И. Каскадный метод Лапласа. Методические рекомендации. Красноярск: РИО КГПУ, 2000. - 36 с.

2. Гурса, Э. Курс математического анализа, часть 1,— М.: ГТТИ, 1933.-Т. 3.

3. Дьяконов В. П. Maple 7. Учебный курс,- С.Пб.: Питер, 2001. — 672 с.

4. Жибер А. В., Соколов В. В., Старцев С. Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Докл. РАН,— 1995. Т. 343, № 6. - С. 746-748.

5. Заблуда А. В. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. — Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН,2004. С. 35-39.

6. Заблуда А. В. Пакет аналитических вычислений для определения инвариантов характеристик систем дифференциальных уравнений // Вычислительные технологии. — 2004. — Т. 9. — С. 207-214.

7. Заблуда А. В. Применение инвариантов характеристик и метода Лапласа для интегрирования уравнений в частных производных // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. — Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2005. — С. 27-30.

8. Заблуда А. В. Применение преобразований Мутара-Дарбу к интегрированию уравнений газовой динамики // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. — Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2006.

9. Заблуда А. В. Уравнения газовой динамики в лагранжевых координатах. Инварианты характеристик и точные решения // Вестник

10. Красноярского государственного университета. — 2006.— № 1,-С. 125-132.

11. Завьялов Ю. С. О некоторых интегралах одномерного движения газа // ДАН СССР. 1955. - Т. 103, № 5. - С. 781-782.

12. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. — 576 с.

13. Капцов 0. В. Инварианты характеристик систем уравнений с частными производными // Сибирский математический эюурнал. — 2004. Т. 45, № 3.

14. Капцов О. В. Системы уравнений с частными производными первого порядка: характеристики и их инварианты, — Красноярск, 2004. — 26 с. — (Препринт/РАН. Сиб. Отд-ние. Институт вычислительного м оде,; I и ро ван и я: № I).

15. Капцов О. В. Применение преобразований Мутара-Дарбу к интегрированию дифференциальных уравнений. — Красноярск, 2005. — 15 с. — (Препринт/РАН. Сиб. Отд-ние. Институт вычислительного моделирования: № 3).

16. Капцов О. В., Заблуда А. В. Инварианты характеристик // Вестник Красноярского государственного университета. — 2004. — № 3,-С. 57-61.22| Куликовский А. Г. Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматгиз, 1962.

17. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.24| Куренский М. К. Дифференциальные уравнения. Книга вторая. Дифференциальные уравнения с частными производными,— Ленинград: Артиллерийская академия РККА им. Дзержинского, 1934.

18. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988.

19. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. — М.: Изд-во ин. лит., 1961. 588 с.

20. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 400 с.

21. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. — М.: Наука, 1981.

22. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. - Т. 58, № 4. - С. 30-55.

23. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. — Новосибирск: Наука, 1984. 272 с.

24. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1981. — Т. 4.

25. Царев С. П. О нелинейных уравнениях с частными производными интегрируемыми по Дарбу // Труды математического ин-та им. В.А. Стеклова. 1999. - Т. 225. - С. 389-399.

26. Эйлер Л. Интегральное исчисление. М.: ГИФМЛ, 1958. - Т. 3.

27. Anderson I. М., Juras М. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. 1997. - Vol. 89, no. 2. -Pp. 351-375.

28. Anderson I. M., Kamran N. The variational bicomplex for hyperbolic second-order scalar partial differential equations in the plane // Duke Math. J. 1997. - Vol. 87, no. 2. - Pp. 265-319.

29. Berest Y., Veselov A. On the structure of singularities of intereble Schroedinger operators ,// Lett. Math. Phys.— 2000.— no. 52.— Pp. 103-111.

30. Bryant R., Griffiths P., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems and their conservation laws. II // Sel. Math. — no. 2. — Pp. 265-323. — New Ser. 1.

31. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. — Paris: Gauthier-Villars, 1915. — Vol. II.

32. Forsyth A. R. Partial differential equations. — Cambridge, 1906. — Vol. VI of Theory of differential equations.

33. Goursat E. Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second order a deux variables indépendantes.— Paris: Librairie scientifique A.Hermann, 1898. — Vol. II.

34. Kaptsov 0. V., Zabluda A. V. Characteristic invariants and Darboux's method // J. Phys. A: Math. Gen. 2005. - Vol. 38. - Pp. 3133-3144.

35. Martin M. H. The propagation of a plane shock into a quiet atmosphere // Canad. J. Math. 1953.-Vol. 3.-Pp. 165-187.

36. Matveev V. B., Salle M. A. Darboux transformations and solitons. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1991. — 65 pp.

37. Moutard M. Note sur les équations différentielles linéaires du second ordre // Comptes Rendus. 1875. - Vol. LXXX. - Pp. 729-733.

38. Reid G. J., Boulton A. Reduction,of systems of differential equations to standard form and their integration using directed graphs // Proceedings of ISSAC '91. New York: ACM Press, 1991, - Pp. 308-312.

39. Rogers C., Schief W. K. Bâcklund and Darboux transformations: geometry and modern applications in soli ton theory. — Cambridge University Press, 2002.

40. Vessiot E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order f(x,y,u,p,q,r,s,t) = 0 intérgable par la méthode de Darboux // J. Math. Pure Appl. 1941. - Vol. 21. - Pp. 1-66.