Классификация уравнений Монжа-Ампера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 514.763.85+517.95

КУШНЕР Алексей Гурьевич КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ МОНЖА-АМПЕРА

Специальности: 01.01.04 — геометрия и топология, 01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Казань — 2010

003492492

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» ГОУ ВПО «Астраханский государственный университет»

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор

Лычагин Валентин Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Аминова Ася Васильевна

доктор физико-математических наук, профессор

Красильщик Иосиф Семенович

доктор физико-математических наук, профессор

Шелехов Александр Михайлович

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский государственный

университет им. М. В. Ломоносова»

Защита состоится «Ц» марта 2010 г. в ¿4 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ГОУ ВПО «Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина» по адресу: 420008 Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н. И. Лобачевского ГОУ ВПО «Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина» по адресу. 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 18.

Автореферат разослан « 2010 г. и размещен на

официальном сайте ГОУ ВПО «Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина» : www.ksu.ru

Учёный секретарь совета Д 212.081.10 к.ф.-м.н., доцент

Липачев Е. К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования Уравнение Монжа-Ампера имеет следующий вид:

Avxx 4- 2Bvxy + Cvyy + D(vxxvyy - v2xy) + E = 0, (1)

где А, В, C, D и E — функции от независимых переменных х, у, неизвестной функции V = v(x,y) и ее первых производных vx,vy. Далее мы полагаем, что функции А, В, C,D и Е принадлежат классу С00.

Класс уравнении Монжа-Ампера выделяется из уравнений второго порядка тем, что он замкнут относительно контактных преобразований и содержит квазилинейные уравнения. Этот факт был известен еще Софусу Ли, который в серии работ1 рассматривал проблему классификации гиперболических уравнений Монжа-Ампера и которую в современных терминах можно обобщить следующим образом: найти классы эквивалентности уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.

Важные результаты на пути к решению этой задачи были получены Дарбу 2 и Гурса3, которые, также как и Ли, преимущественно рассматривали гиперболические уравнения. В частности, Гурса занимался проблемой эквивалентности уравнений Монжа-Ампера, интегрируемых методом Дарбу. Его идеи были развиты Вессио4.

Сам Софус Ли сформулировал условия приведения гиперболических уравнений Монжа-Ампера к волновому уравнению vxy = 0 при наличии у них двух промежуточных интегралов. Напомним, что промежуточным интегралом уравнения Монжа-Ампера называется дифференциальное уравнение первого порядка, каждое решение которого является решением данного уравнения Монжа-Ампера.

Заметим, что не все уравнения Монжа-Ампера обладают промежуточными интегралами. Поэтому результаты Ли применимы не ко всем уравнениям Монжа-Ампера, а только к к тем из них, которые такими интегралами обладают. Кроме того, проверка наличия промежуточных интегралов

"См., напримор, Lie S. Begründung einer Invarianten-Theorie der Beruhrungs-Transformationen // Math. Ann. - 1874. -Vol. 8. - P. 215-303.

2Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. - Vol. I. - Paris.: Gauthier-Villars. - 1887. - vï+514 pp.

3Goursat, E. Leçon sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre a deux variables indépendantes. - Vol. 1. - Paris. - 1896. - viii+226 pp.

4 Vessiot E. Sur les équations aux dérivées partielle du second ordre intégrables par la methode de Darboux // J. Math Pures . Appl. - 1939. - Vol. 18. - P. 1—Gl; 1942. - Vol. 21- P. 1-GG. : \

у общего уравнения Монжа-Ампера, а тем более их построение, является не простой задачей. Доказательства полученных результатов Ли так и не опубликовал.

В 1978 году Лычагин5 предложил геометрическое описание широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка на гладких многообразиях. Если размерность многообразия равна двум, то этот класс совпадает с классом уравнений Монжа-Ампера (1).

Основная идея Лычагина заключается в представлении уравнений Монжа-Ампера и их многомерных аналогов дифференциальными формами на пространстве 1-джетов функций на гладком многообразии.

Преимуществом такого подхода перед классическим является редукция порядка пространства джетов: используется более простое пространство 1-джетов JXM вместо пространства 2-джетов J2M, в котором, будучи уравнениями второго порядка, ad hoc должны лежать уравнения Монжа-Ампера6. Такая интерпретация уравнений Монжа-Ампера позволила по-новому взглянуть на проблему их классификации и послужила толчком к появлению множества работ других авторов.

Степень разработанности проблемы В 1979 году Моримото7 применил методы теории G-структур для классификации уравнений Монжа-Ампера.

В 1983 году Лычагиным и Рубцовым8 был рассмотрен класс невырожденных уравнений (1) у которых коэффициенты А, В, С, D, Е не зависят от переменной v. Такие уравнения они назвали симплектическими. Оказалось, что если коэффициенты такого уравнения — аналитические функции, то локальным симплектическим преобразованием оно может быть приведено к квазилинейному виду, то есть к виду (1), где D = 0.

Кроме того, они нашли условия, при которых симплектические уравнения приводятся к уравнению Монжа-Ампера с постоянными коэффициентами и показали, что если эти условия выполняются, то гиперболические уравнения локально эквивалентны волновому уравнению vxy = 0, а эллиптические — уравнению Лапласа vxx+vvv — 0. Впоследствии Туницкий9 снял

5Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // ДАН СССР. - 1978. - Т. 238. - №5. - С. 273-276.

6Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М: "Наука", 1986. 336 с.

7Morimoto T. La géométrie des équations de Monge-Ampère // C. R. Acad. Sci. - 1979. - Paris. Sr. A-B. - Vol. 289. - #1. - P. A25-A28.

8Лычагин B.B., Рубцов В.H. О теоремах Софуса Ли для уравнений Монжа-Ампера // ДАН БССР. - 1983. - Т.27. -№5. - С. 396-398.

9Туницкий Д.В. О контактной линеаризации уравнений Монжа-Ампера // Изв. РАН. - 1996. - Серия матем. - Т. 60.

требование независимости коэффициентов уравнения (1) от переменной и и решил проблему приведения уравнений Монжа-Ампера к уравнениям с постоянными коэффициентами в общем виде.

Метод подвижного репера Картана применялся для классификации некоторых классов линейных и нелинейных уравнений Морозовым10 и другими авторами.

Проблема локальной эквивалентности симплектических операторов Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов была решена Крутиковым11.

Цель и задачи диссертационного исследования В настоящей работе рассматриваются задача классификации уравнений Монжа-Ампера (1) относительно псевдогруппы контактных преобразований. В частности, задача приведения таких уравнений к линейным уравнениям при помощи контактных преобразований.

Перечислим основные задачи исследования:

1) Построить дифференциальные инварианты для гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.

2) В терминах построенных инвариантов найти необходимые и достаточные условия локальной контактной эквивалентности гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера линейным уравнениям вида

vxx ± Vyy = а(х, y)vx + b{x, y)vy + с(х, y)v + д{х, у) (2)

и, в частности, линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

4) Найти необходимые и достаточные условия локальной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера переменного типа обобщенным уравнениям Трикоми и Келдыша.

4) Построить нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера.

5) Решить проблему локальной эквивалентности уравнений и операторов Монжа-Ампера общего положения гиперболического, эллиптиче-

- №2. - О. 195-220.

10Morozov O.I. Contact equivalence problem for nonlinear wave equations (Электронный ресурс] // Preprint arXiv: math-pli / 0306007vl. - 2003. - P. 1-13, URL: http://arxlv.org/abB/math-ph/0306007 (дата обращения 10.11.2009).

nKrughkov B.S. Classification of Monge-Ampöre equations with two variables // CAUST1CS'98 (Warsaw). Polish Acad. Sei. Warsaw. - 1999. - P. 179-194.

ского и переменного типов относительно контактной и симплектиче-ских псевдогрупп преобразований.

Объектом исследования являются уравнения Монжа-Ампера гиперболического, эллиптического и переменного типов.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют методы современной дифференциальной геометрии. При этом мы используем подход Лычагина к уравнениям Монжа-Ампера. Для построения дифференциальных инвариантов уравнений мы используем разложение комплекса де Рама на пространстве 1-джетов.

Для решения проблемы эквивалентности уравнений переменного типа мы строим е-структуру, однозначно определяющую уравнение Монжа-Ампера. Таким образом, задача эквивалентности уравнений сводится к задаче эквивалентности е-структур, которая решается известными методами.

Научная новизна исследования Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для невырожденных уравнений Монжа-Ампера построены тензорные дифференциальные инварианты относительно псевдогруппы контактных преобразований. В том числе — две дифференциальные 2-формы на пространстве 1-джетов М, которые мы называем формами Лапласа, и которые являются обобщениями классических инвариантов Лапласа и Коттона, построенных ими для линейных уравнений.

2) С помощью форм Лапласа для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера решается проблема их приведения к линейным уравнениям контактными преобразованиями. Указываются нормальные формы для таких уравнений.

3) Для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера решается проблема локальной контактной эквивалентности.

4) Для невырожденных уравнений и операторов Монжа-Ампера, коэффициенты которых не зависят от функции v, решается проблема локальной эквивалентности относительно симплектических преобразований. Построены нормальные формы для таких уравнений и операторов.

5) Для уравнений Монжа-Ампера переменного типа найдены необходимые и достаточные условия приведения их к уравнениям Трикоми и Келдыша, а так же к уравнениям, их обобщающим.

Теоретическая и практическая значимость исследования Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследований уравнений Монжа-Ампера, а также для изучения нелинейных эффектов типа ударных волн, для построения точных решений уравнений Монжа-Ампера и для упрощения процедуры нахождения симметрий уравнений. В диссертационной работе приведены примеры применения полученных результатов к нелинейным уравнениям математической физики: к уравнению Хантера-Сакстона, уравнению Борна-Инфсльда и к некоторым уравнениям газовой динамики. Результаты диссертационной работы позволяют по-новому взглянуть на классические инварианты Лапласа для линейных уравнений. На основе этих результатов составлены спецкурсы для студентов и аспирантов, которые читаются в Астраханском госуниверситете, Институте проблем управления РАН и на Международных научных молодежных школах ("Лобачевские чтения" в Казанском госуниверситете (2006, 2007 годы), I, II и III Международные молодежные школы по дифференциальной геометрии, дифференциальным уравнениям и управлению).

Исследования автора по контактной линеаризации уравнений Монжа-Ампера частично финансировались Российским Фондом Фундаментальных Исследований (грант 08-01-00601).

Апробация результатов исследования Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях:

— на семинаре по дифференциальной геометрии под руководством профессора В. В. Вишневского (Казань, КГУ им. В. И. Ульянова-Ленина, май 2006 г.);

— на семинаре по дифференциальной геометрии под руководством про-

фессора В. Ф. Кириченко (Москва, МПГУ, октябрь 2009 г.);

— на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора И. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, апрель-май 2006, октябрь 2008 г.);

— на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В. В. Лычагина (февраль-март 2002, Тромсе, Норвегия, Университет Тромсе);

— на семинаре "Топология и анализ" под руководством профессора A.C. Мищенко (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, ноябрь 2008 г.);

— на семинаре по математической физике и геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В.Н. Рубцова (Анжэ, Франция, Университет Анжэ, июнь-июль 2000 г.);

— на семинаре кафедры "Дифференциальная геометрия и приложения" под руководством академика А. Т. Фоменко (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, октябрь 2008 г.);

— на Международной конференции "Лаптевские чтения", посвященной 100-летию Г. Ф. Лаптева (МГУ им. М. В. Ломоносова — Тверской государственный университет, Москва-Тверь, 25-29 августа 2009 г.);

— на III Международном конгрессе "Симметрии: теоретический и методический аспекты" (Астрахань, Астраханский госунпверситет, 10-14 сентября 2009 г.);

— на Пятом абелевском симпозиуме ("Fifth Abel Symposium", Тромсе, Норвегия, 17-22 июня 2008 г.);

— на Международной конференции "X Белорусская математическая конференция" (Белорусский госуниверситет и Институт математики HAH Беларуси, Минск, 3-7 ноября 2008 г.)

— на Международной конференции "Geometry and Algebra of PDEs", посвященной 60-летию В. В. Лычагина (Тромсе, Норвегия, 12-17 августа 2007 г.)

— на Международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 70-летию В. И. Арнольда (Математический институт им. В. А. Стекло-ва РАН, Москва, 20-24 августа 2007 г.);

на Международном семинаре "Идемпотентная и тропическая математика и проблемы математической физики" (Москва, Независимый московский университет, 25-30 августа 2007 г.);

на Международной школе "Geometry of vector distributions, differential equations, and variational problems" (SISSA, Триест, Италия, 13-15 декабря 2006 г.);

на Международной школе "Formal theory of partial differential equations and their applications" (Университет Йонсу, Финляндия, 2-9 апреля 2006 г.);

на Международном коллоквиуме "Mathematics in Engineering and Numerical Physics" (University Politehnica of Bucharest, Бухарест, Румыния, 6-8 октября 2006 г.);

на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (МГУ-РГУ, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г.);

на Международной конференции "Лаптевские чтения" (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, июль 2006 г.);

на серии ежегодных Международных конференций "Геометрия в Одессе" (Одесса, Украина, 2005-2009 годы);

на серии ежегодных Международных конференций "Геометрия в Астрахани" (Астраханский государственный университет, Астрахань, 2007-2009 годы);

на IX Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" им. Е. С. Пятницкого (31 мая-2 июня 2006 г., Институт проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова, Москва);

на I Международном семинаре "Симметрии: теоретический и методический аспекты" (Астраханский государственный университет, Астрахань, 15-17 сентября 2005 г.);

на V конференции Европейского общества математической и теоретической биологии "Mathematical Modelling and Computing in Biology and Medicine" (Milano, Italy, 2002 г.);

на Международной конференции "Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces" (Москва, 1994 г.)

— на Международном коллоквиуме "International Geometrical Colloquium (UNESCO)" (Москва-Париж, 10-14 мая, 1993 г.);

— на Международном коллоквиуме Ли-Лобачевского (Lie-Lobachevsky Colloquium, Университет Тарту, Тарту, Эстония, 26-30 октября, 1992 г.)

Публикации Результаты, основные положения и выводы диссертационного исследования отражены в 29 публикациях в периодических изданиях и тематических сборниках, общим объемом 20,3 п. л., в том числе 7 статей опубликованы в журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований, и монография объемом 32,4 п.л.

Вклад автора в разработку избранных проблем Диссертация является самостоятельным исследованием автора. 24 опубликованных научных работа по теме исследования выполнены без соавторов, 6 работ написаны совместно, при этом вклад автора составляет от 40% до 75%.

Структура и объём работы Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), четырех глав, двух приложений и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 16 таблиц, 2 диаграммы и 2 рисунка. Библиографический список состоит из 101 наименования. Полный объём диссертации составляет 245 страниц машинописного текста.

Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов и подпунктов — тремя и четырьмя соответственно. Например, номером 3.2 обозначен второй параграф третьей главы, а номером 3.2.1 — первый пункт второго параграфа третьей главы.

Нумерация рисунков, диаграмм, таблиц и теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул в каждой главе своя.

Краткое содержание диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, формулируются основные результаты и приводится краткий исторический обзор по классификации уравнений Монжа-Ампера.

ю

В первой главе 'Уравнения Монжа-Ампера и ассоциированные с ними геометрические структуры" вводятся основные понятия, используемые в диссертационной работе. Кроме того, в ней разрабатывается математический аппарат для построения тензорных дифференциальных инвариантов структуры, обобщающей структуру почти произведения и почти комплексную структуру. Эту структуру мы называем структурой г-кратного почти произведения.

Остановимся более подробно на содержании первой главы.

В п. 1.1 "Операторы и уравнения Монжа-Ампера" мы описываем подход Лычагина12 к уравнениям Монжа-Ампера и приводим необходимые нам в дальнейшем определения и результаты.

Пусть М — 2-мерное гладкое многообразие и JlM — пространство 1-джетов гладких функций на М. Каждая дифференциальная 2-форма a) G Q2(J1Ai) может рассматриваться как нелинейный дифференциальный оператор

Ды : С°°(М) П\М), действующий на функцию v G С°° (М) по следующему правилу:

Здесь ji(v)(M) С JlM — график 1-джета функции v и uilj^v)^!) ~ ограничение дифференциальной формы и> на этот график. Оператор Дш называется оператором Монжа-Ампера, а соответствующее уравнение Еш = {Дш(«) = 0} — уравнением Монжа-Ампера.

Гладкое многообразие 1-джетов JlM, dim J1 М = 5, снабжено естественной контактной структурой, задаваемой распределением Картана С или дифференциальной 1-формой Картана U, которая в стандартных локальных координатах qi,q2,u,Pi,P2 на JXM имеет следующий канонический вид:

U = du — p\dqi - P2dq2.

Подпространство С (а) = kerWa касательного пространства Ta(JlM) называется подпространством Картана.

Диффеоморфизм ф : JlM —► JlM называется контактным, если он сохраняет распределение Картана.

12Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // Успехи математических наук. - 1979. - Т. 34. - № 1(205). - С. 137-165.

Дифференциальные формы на JXM, исчезающие на любом интегральном многообразии распределения Картана и, поэтому, порождающие нулевые дифференциальные операторы, образуют идеал во внешней алгебре Гr(JlM).

Элементы фактор-модуля

п? (.Iх м) = a2 (J'M) /I2

называются эффективными 2-формами. Здесь I2 — модуль дифференциальных 2-форм, исчезающих на распределении Картана.

Пусть ui — дифференциальная 2-форма на JlM. Отвечающую ей эффективную форму мы будем обозначать uje, то есть w€ = ui mod I2. Пусть X\ — контактное векторное поле с производящей функцией 1. В каждой точке а 6 JlM касательное пространство Ta(JlM) распадается в прямую сумму

Ta{JlM) = (Xha)®C{o).

Для любого элемента фактор-модуля fi2 (JXM) может быть выбран единственный представитель и € П2 {JlM), такой, что Х\\ш = 0 и ш Л Ш = 0.

Пусть ф — контактный диффеоморфизм на JlM. Тогда ф* сохраняет модуль I2 и, поэтому, определяет отображение эффективных 2-форм:

ф* : ш mod 12 ф*{ш) mod 12.

Определим действие ф* на эффективных формах следующим образом: ф*{и)£) = ф*{ш)е, а также действие ф на уравнения и операторы Монжа-Ампера, положив ф{Еш) = и ф(Дш) = Д

Два уравнения Монжа-Ампера EUi и ЕШ2 назовем локально контактно эквивалентными в точке а £ JlM, если существует такой локальный контактный диффеоморфизм ф некоторой окрестности этой точки, что ф(а) = а и ф(Еи1г) = ЕШ2. В терминах дифференциальных форм это означает, что (ф*{ш{))е = Нф{и>2)е для некоторой функции Нф, /гДа) ф 0.

Аналогично, контактная эквивалентность дифференциальных операторов Монжа-Ампера ДШ1 и Д^ означает, что существует локальный контактный диффеоморфизм ф некоторой окрестности этой точки, такой что ф{а) = а и = (w2)e.

Ограничение дифференциала формы Картана на подпространство Картана С(а) невырождено и определяет на нем симплектическую структуру

Qa. Определим ассоциированный с формой ш оператор Аш, действующий на векторных полях из распределении Картана13:

А„Х\ П = Х}и;. (3) Функцию Pf(w) € С00 (.ЯМ), определяемую равенством

Pf(w)fi А(1 = ыЛш, (4)

мы называем пфаффианом формы ш. Квадрат оператора скалярен и

^ + Pf(u,) = 0. (5)

Пусть ш — эффективная дифференциальная 2-форма. Уравнение Еш называется гиперболическим, параболическим или эллиптическим в точке a 6 J1M, если в этой точке пфаффиан формы ш отрицательный, нулевой или положительный соответственно. Если Pf(cj)(a) ф 0, то уравнение называется невырожденным в точке а. Если в некоторой области пфаффиан меняет знак, то соответствующее уравнение называется уравнением переменного типа. Если для уравнения Еш пфаффиан не обращается в нуль в некоторой области, то форму и можно нормировать так, чтобы Pf(w) = — 1 — в гиперболическом случае, или Pf(w) = 1 — в эллиптическом. Оператор Аш, отвечающий нормированной форме ш, мы будем обозначать А.

Таким образом, для гиперболических уравнений нормированный оператор порождает на подпространстве Картана С (а) структуру почти произведения = 1), а для эллиптических уравнений — комплексную структуру

(Аг = -1)-

Для гиперболических уравнений в каждой точке а € JlM касательное пространство к многообразию 1-джетов распадается в прямую сумму трех подпространств14:

Ta(JlM) = С+(а) ф 1(a) ® С_(а).

Здесь С±(а) ~ двумерные собственные подпространства нормированного оператора Аа, a 1(a) — одномерное подпространство, трансверсальное подпространству Картана. Поэтому гиперболическое уравнение Монжа-Ампера порождает на пространстве JlM набор из трех распределении V = (С+,1,С-). Такая структура является частным случаем структуры

"Лычагин В.П., Рубцов В.Н. О теоремах Софуса Ли для уравнений Монжа-Ампера // ДАН БССР. - 1983. - Т.27. -№5. - С. 396-398.

14Lychagin V.V. Lectures on geometry of differential equations. Vol. 1,2. Rome: "La Sapienza", 1993.

г-кратного почти произведения, тензорные инварианты которой строятся в п. 1.2. Распределения С+ и С- называются характеристическими. Для эллиптических уравнений мы получим аналогичную конструкцию, только вместо касательного пространства T0(J1M) нужно рассматривать его комплексификацию.

Невырожденное уравнение Монжа-Ампера мы называем регулярным, если производные С± \ (к = 1,2,3) характеристических распределений также являются распределениями.

В п. 1.2 "Дифференциальные тензорные инварианты структуры г-кратного почти произведения" изучается структура, которая является естественным обобщением структуры почти прямого произведения и почти комплексной структуры на гладких многообразиях.

Пусть N — гладкое многообразие и пусть V = (Р1,... ,7-V) — упорядоченный набор (действительных или комплексных) распределений на N. Будем говорить, что на N задана структура г-кратиого почти произведения V, если в каждой точке а многообразия N касательное пространство (для действительных распределений) или его комплексификация (для комплексных распределений) распадается в прямую сумму подпространств Т1{а),...,ТТ{а).

Разложения касательных пространств в прямую сумму подпространств влечет разложение в прямую сумму модуля дифференциальных 5-форм на Ы-.

= (6) |к|=8

где

Ак =

(7)

¿=1

а модули

П? = {а € П9(Л0| Х\а = О V X е А, з Ф О С П8(А0

состоят из внешних дифференциальных я-форм, вырождающихся на векторных полях О], j ф г. Здесь к = (кх,..., кг)— мультииндекс длины г, |к| = а А = ^(Тг) — модули векторных полей, лежащих в рас-

пределениях (г = 1,... ,г). Внешняя алгебра, тем самым, является градуированной алгеброй и внешний дифференциал распадается в прямую

сумму

й =

1*1=1

где ¿ь: —> Г2к+4. Здесь t — мультииндексы длины г.

Если мультииндекс для которого = 1, содержит одну отрицательную компоненту и она.равна —1, то 1 = + 1к — 18, где 5 ф Здесь в мультииндексе = (0,..., 0,1,0,..., 0) единица стоит на г-м месте. Только для таких мультииндексов операторы с^ являются С°°(Л^)-гомоморфнзма-ми. Этот дифференциал полностью определяется своими значениями на модуле Поэтому дифференциал определяет на N тензор-

ное поле типа (2,1), которое мы будем обозначать Единственная

нетривиальная компонента этого тензорного поля — его ограничение на модуль П1", причем ограничение т^+ц-х, : П1' —> О,1' А совпадает с

Тензорные поля позволяют определить дифференциальные 2-

формы, ассоциированные со структурой г-кратного почти произведения. Пусть Л, В € Г22 ® Б — тензорные поля на N. Здесь П2 = иВ =

.О^У). В силу естественного вложения

П2 ® И ® О? ® Б Д П1 ® Г21 ® О ® П1 ® П1 ® Б,

тензорное произведение А® В можно рассматривать как элемент пространства

Т = О1 ® П1 ® £> ® П1 ® Г21 ® О. Пусть С] — операция свертки элемента пространства Т по индексам г и л» = 3,6; .7 = 1,2,4,5). Тогда

(А, В)1У = о СЦь(А) ® и{В) - ь{В) ® 1(Л))

— внешняя дифференциальная 2-форма па N. Операцию (•, будем называть операцией косой свертки.

Определим дифференциальные 2-формы, ассоциированные со структурой г-кратного почти произведения:

(8)

Эти формы являются основным инструментом при классификации уравнений Монжа- Ампера.

Во второй главе "Классификация гиперболических уравнений Мон-жа-Ампера" рассматривается локальная классификация уравнений относительно псевдогруппы контактных преобразований. Мы строим две дифференциальные 2-формы, инвариантно связанные с уравнениями Монжа-Ампера. В терминах этих форм мы указываем условия приведения гиперболических уравнений Монжа-Ампера заменой переменных к линейным уравнениям, а также условия локальной контактной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера.

Мы приводим нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера, среди которых имеются хорошо известные телеграфное и уравнение Эйлера-Пуассона. Полученные результаты мы иллюстрируем на модельных примерах.

В п. 2.1 "Дифференциальные тензорные инварианты гиперболических уравнений" мы используем методы, развитые нами в первой главе.

Пусть Еш — гиперболическое уравнение Монжа-Ампера и С+ и С_ — его характеристические распределения. Эти распределения мы обозначим через "Р\ и Т>з соответственно, а одномерное распределение I — через "Рг-Таким образом, на пространстве 1-джетов 31М мы получаем структуру 3-кратного почти произведения V — ©¿=1 Рг. Построенные в первой главе тензорные дифференциальные инварианты, вычисленные для этой структуры, дают инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований.

Действие внешнего дифференциала представлено на Диаграмме 1. Согласно этой диаграмме, мы получаем четыре (остальные тензоры равны нулю) дифференциальных тензорных инварианта гиперболического уравнения Монжа-Ампера: т2,_1,о, то,-1,2, г-1,1,1 11 т1Д,-1-

Построим дифференциальные 2-формы (8) для структуры 3-кратного почти произведения, порожденного гиперболическим уравнением. В нашем случае таких форм две:

А+ = (то,-1,2,^1,1,-1)1^1 = (г2_1,о,т_1д!1)11/. (9)

Коэффициенты этих форм, вычисленных для линейных гиперболических уравнений, представляют собой классические инварианты Лапласа. Поэтому формы А+ и А_ мы называем формами Лапласа.

Инварианты Лапласа имеют давнюю историю. В 1769-1770 годах при

решении проблемы интегрирования линейных гиперболических уравнений

уХу = а(х, у)ьх + Ь(х, у)уу + с(х, у)ь (10)

Эйлер15 ввел функции ¡г = аЬ + с — ах и к = аЬ + с — Ьу. Эти функции являются относительными инвариантами при преобразованиях независимых переменных х, у и зависимой переменной V, которые сохраняют класс уравнений (10). Такие преобразования имеют следующий вид:

(Х,у,у) ^ (Х(х),¥(у),г(х,у)у), (11)

где -X", У, 2 — некоторые гладкие функции. Функции Ь и к при таких преобразованиях умножаются на Х'(х)У(у), то есть ведут себя как коэффициенты некоторой дифференциальной формы.

Позднее, в 1773 году, Лаплас16 существенно развил идеи Эйлера, создав так называемый "каскадный метод" интегрирования уравнений. Инварианты /г и к играют в нем ключевую роль.

аг,о,о ...

В 1890-х годах Дарбу усовершенствовал метод Лапласа и назвал функции h и к инвариантами Лапласа.

15Euler L. Calcvli integraHs. Vol.3. Petropoli: Impenfis Academiac Imperialis Scientiarium, 1770.

16Lap]ace P.S. Recherches sur le calcul intégrais aux différences partielles// Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris 23. - 1773. - Vol. 24.

Ибрагимов17 и Овсянников18 использовали инварианты Лапласа для классификации линейных гиперболических уравнений.

Построенные нами дифференциальные 2-формы А+ и А_ являются аналогами инвариантов Лапласа. Действительно, линейное гиперболическое уравнение (10) заменой переменных (11) приводится к волновому уравнению уху — 0 тогда и только тогда, когда инварианты Лапласа Ник — тождественные нули. Для уравнений Монжа-Ампера мы доказываем аналогичное утверждение (см. теорему 8 на с. 19).

В качестве примера укажем координатные представления форм Лапласа для уравнений вида

Уху = ! (ж, У, V, Ух, Уу).

Здесь

=/р2Р2 (/р1<% А с?и - йд 1 А ф2) +

(Л - Рг/а« + fp1fp2 - Р2/Р11р2р2 - !}рт - /№) Ф1 А

=/р1Р1 (Л>А А ф - а!д2 А Ф1) + ■

(~/и +Р1/р,и - /и/р2 +Р1/Р2/Р1Р1 + //р,р2 + Л1Р1) л ¿92-

В п. 2.2 "Контактная линеаризация гиперболических уравнений" мы приводим полное решение проблемы линеаризации для регулярных гиперболических уравнений Монжа-Ампера. Эта проблема, восходящая к Со-фуеу Ли, в современной формулировке звучит так: найти условия, при которых гиперболические уравнения Монжа-Ампера (1) контактно эквивалентны линейному уравнению вида

Уху = а{х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и + д(х, у), (12)

где а, Ь,с,д — гладкие функции.

Отметим, что процедура линеаризации уравнений, предложенная нами, конструктивна и требует только нахождения первых интегралов вполне интегрируемых распределений.

При решении вопроса о контактной линеаризации регулярных уравнений Монжа-Ампера нами рассматриваются три возможных случая:

— обе формы Лапласа равны нулю;

17Ибрагимов Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - Т. 45. - №2. - С. 11—21.

1вОвсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:"Наука", 1978. 399 с.

— одна из форм Лапласа равна нулю, а другая — нет;

— обе формы Лапласа не равны нулю.

Следующие три теоремы отвечают перечисленным выше случаям и дают полное решение проблемы контактной линеаризации для регулярных гиперболических уравнений.

Теорема 8. Гиперболическое регулярное уравнение Мопжа-Ампера локально контактно эквивалентно волновому уравнению vxy = 0 тогда и только тогда, когда обе его формы Лапласа равны пулю.

Теорема 10. Пусть для регулярного гиперболического уравнения Мошка-Ампера А_ = 0 и А+ ф 0. Уравнение локально контактно эквивалентно линейному уравнению (12) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) форма Лапласа А+ замкнута;

2) А+ A А+ = 0, то есть А+ = rj- А«?+, где т?_ 6 ft0'0'1 и ■&+ £ П1'0'0;

3) распределения F{r}-) и вполне интегрируемы.

Теорема 11. Пусть для регулярного гиперболического уравнения Мопжа-Ампера обе формы Лапласа не равны нулю в точке a G JlM. Уравнение локально контактно эквивалентно линейному уравнению (12) тогда и только тогда, когда формы Лапласа замкнуты, для них выполняются условия А_ Л А_ = А+ Л А+ = А_ Л А+ = 0, то есть то есть А+ = 77_ Л где rj- 6 О0,0,1 и г9+ € Г21,0,0, а распределения Т(г]~) и Р{г)+) вполне интегрируемы.

В качестве иллюстрации сформулированных теорем строится контактная линеаризация уравнение Хантера-Сакстона19, возникающего в теории жидких кристаллов, и уравнения нестационарного газового потока.

В п. 2.3 "Нормальные формы гиперболических уравнении Монжа-Ампера" приводятся условия локальной контактной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера следующим уравнениям:

• vxy = k(x, y)v;

• vxy — \v, A € К (телеграфное уравнение);

"Hunter J.K., Saxton R. Dynamics of director fields // SIAM J. Appl. Math. - 1991. - Vol. 51. - №6. - P. 1498-1521.

• Vxv = + úyvv ~ Tx+y?v (УРавненпе Эйлера-Пуассона).

В п. 2.4 "Контактная эквивалентность гиперболических уравнений Монжа-Ампера" строится e-структура, ассоциированная с уравнениями Монжа-Ампера, для которых тензорные поля пд и т_1дд не обращаются в нуль. Эта e-структура порождается набором пяти векторных полей, которые однозначно определяются уравнением. Следующая теорема сводит проблему локальной контактной эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-Ампера к проблеме эквивалентности соответствующих e-структур, решение которой известно.

Теорема 16. Два гиперболических уравнения Монжа-Ампера локально контактно эквивалентны тогда и только тогда, когда локально эквивалентны их соответствующие е-структуры.

В третьей главе "Классификация эллиптических уравнений Монжа-Ампера" мы решаем задачу локальной классификации эллиптических уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.

В п. 3.1 "Тензорные инварианты эллиптических уравнений" мы строим дифференциальные инварианты для эллиптических уравнений. Формы Лапласа А+ и А_ для эллиптических уравнений определяются так же, как и для уравнений гиперболических — по формулам (9). Но, в отличие от гиперболических уравнений, формы Лапласа здесь являются комплексными.

В частности, для линейного уравнения

Ухх + Vyy = а{х, y)vx + b(x, y)vy + с(х, y)v + g(x, у) (13)

формы Лапласа имеют вид:

А± = ~ (bq¡ - üq2 ± Q(ct2 + б2) + 2с - a,h - br¡.^j dqi A dq2.

Здесь l — мнимая единица. Коэффициенты действительных и мнимых частей этих форм представляют собой относительные инварианты Коттона20, найденные им для линейных уравнений вида (13) в 1900 году.

В п. 3.2 "Контактная линеаризация эллиптических уравнений" решается проблема линеаризации уравнений Монжа-Ампера в следующей формулировке: найти условия, при которых эллиптические уравнения Монжа-

20Cotton, Е. Sur les invariante diíTérentiels de quelques équations linearles aux dérivées partielles du second ordre // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 1900. - № 17. - P. 211-244.

Ампера (1) контактным преобразованием приводятся к линейному уравнению (13).

В отличие от гиперболического случая, для регулярных эллиптических уравнений либо обе формы Лапласа равны нулю, либо обе формы не равны нулю. Мы рассматриваем оба этих случая.

Теорема 17. Эллиптическое регулярное уравнение Монжа-Ампера локально контактно эквивалентно уравнению Пуассона

Ухх + иуу = ¡{х, у)

тогда и только тогда, когда обе его формы Лапласа равны нулю.

Теорема 18. Регулярное эллиптическое уравнение Монжа-Ампера, у которого обе формы Лапласа не равны нулю, локально контактно эквивалентно линейному уравнению (13) тогда и только тогда, когда формы Лапласа замкнуты, А_ЛА_ = А+ЛА+ = А+ЛА_ = 0, то есть А_ = Т7+Лг?_ и А+ = т?_ Л &+, где ??+,$+ € И1,0'0, € И0'0'1, и комплексные распре-

деления Т{г]+) и Т{т]-) вполне интегрируемы.

Для уравнений Монжа-Ампера, удовлетворяющих условиям последней теоремы, построены скалярные дифференциальные инварианты и приведены условия их контактной эквивалентности уравнению

иХх + % = к{х, у)у + /(х, у).

В п. 3.3 "Уравнение Гельмгольца" приведены условия контактной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера уравнению Гельмгольца

Ъхх + Ууу = ку + /(х, у), кеМ.

В четвертой главе "Классификация симплектических уравнений Монжа-Ампера" рассматриваются уравнения Монжа-Ампера, допускающие описание в терминах симплектической геометрии. Для таких уравнений вместо гладкого многообразия 1-джетов .У1 А/ мы используем кока-сательное расслоение Т*М.

В п. 4.1 "Симплектические уравнения Монжа-Ампера" рассматриваются симплектические аналоги конструкций, описанных в первой главе. Если коэффициенты уравнения Монжа-Ампера не зависят от неизвестной функции V явным образом, то вместо контактной геометрии можно рассматривать симплектическую. Действительно, пусть коэффициенты А, В, С, Б и

Е уравнения (1) — функции от х, у и их, ьу. Это означает, что производная Ли вдоль контактного векторного поля Х1 от эффективной формы и) равна нулю. Это свойство не инвариантно относительно контактных преобразований, так как векторное поле Хх не сохраняется, вообще говоря, при таких преобразованиях. Но если мы ограничимся контактными преобразованиями, которые сохраняют одномерное распределение 3-{Х\), то мы можем использовать четырехмерное многообразие Т*М вместо пятимерного многообразия 1-джетов 3х М. Действительно, в этом случае ш = тг*(о;) для некоторой дифференциальной 2-формы<2 € П2(Г*М), где7г : РМ -*Т*М — естественная проекция. Симплектическая структура на Т*М порождается универсальной дифференциальной 1-формой р: О, = —¿р. Уравнения Монжа-Ампера (1), коэффициенты которого не зависят от V, называются симплектическими.

Дифференциальную 2-форму ш € 0?(Т*М) будем называть эффективной, если п*(ш) е — эффективная форма.

Пусть Еш — симплектическое дифференциальное уравнение. Пфаффиан Р^) € С°°(Т*М) дифференциальной 2-формы ш мы определим формулой (4), а оператор Аш : 0(Т*М) -> П{Т*М) — формулой (3). Он наследует основные свойства "неголономного" поля эндоморфизмов, определенного в главе I. Тип симплектического уравнения (эллиптический, гиперболический, параболический, переменный) определяется так же, как и в главе I.

Если симплектическое уравнение Монжа-Ампера невырождено, то в каждой точке а € Т*М касательное пространство к Т*М или его ком-плексификация раскладывается в прямую сумму собственных пространств У±(а) оператора АШа. Распределения У+ и мы также будем называть характеристическими.

Если симплектическое уравнение Еш невырождено, то эффективную 2-форму ш можно нормировать так, чтобы Р^) = ±1. В силу формулы (5) это означает, что гиперболические симплектические уравнения определяют структуры почти произведения на Т*М, а эллиптические — почти комплексные структуры.

Два симплектических уравнения Еш и Ев (оператора Аш и Ад) будем называть локально симплектически эквивалентными в точке а е Т*М, если существует локальный симплектический диффеоморфизм ф, сохраняющий точку а, и такой, что ф{Еш) = Ед {ф(Аш) = Ад).

Пусть Еш — симплектическое невырожденное уравнение Монжа-Ампера. Разложение касательного пространства к Та(Т*М) (или его комплексифи-кации) в прямую сумму У+(а) ф У_(а) порождает разложение комплекса де Рама на Т*М.

Форму Лапласа спмплектического уравнения мы определим как косую свертку тензорных полей: А = (т-х^,

Пусть Еш — симплектическое уравнение Монжа-Ампера, для которого хотя бы одно из тензорных полей Т-х$ или Т2-х не обращается в нуль. Тогда формула

(П А П) = 2с&и,

однозначно определяет ненулевое векторное поле \УШ на Т*М. Применив к векторному полю \Уи1 оператор мы получим векторное поле = АиШы. Пусть — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом ^ = Р^ш), то есть Хи] П = Нами показано, что векторное поле

является дифференциальным инвариантом уравнения: = Уы для любой функции /г. Проекции этого векторного поля на характеристические распределения дают два векторных поля € и V- € Для

гиперболических уравнений эти векторные поля — вещественные, а для эллиптических уравнений — комплексные. Две дифференциальные 1-формы = Г2 и = \7_] П, также являются абсолютными дифференциальными инвариантами симплектических уравнений.

В п. 4.2 "Уравнения с интегрируемыми распределениями" рассматривается случай, когда распределения и З7^-) вполне интегрируемы. Симплектическое гиперболическое уравнение Монжа-Ампера, у которого распределения и _) вполне интегрируемы, симплектически эквивалентно уравнению вида

Ъху = /(х,у,ьх,ьу), (14)

где / — некоторая гладкая функция. В этом случае формула

определяет два скалярных дифференциальных инварианта д+ и д- уравнения Монжа-Ампера, а формула = доЦ+ — дифференциальный

инвариант Для уравнения (14) эти инварианты имеют вид:

„ _ Г „ _ тт П — ^Рг^Р'Р!

90 — -/р 1Р2, 5+ — -7- И —----.

/Р2 /Р1

Если в точке а€Т'М функция не обращаются в нуль, то для уравнения Монжа-Ампера Еы в некоторой окрестности этой точки однозначно определен набор из четырех линейно независимых дифференциальных 1-форм в = (ву,..., 64) на Т*М, таких, что

П = 01Л02 + 03 Л04 и ш = 0! Л 02 - 0з А 04. (15)

Представление (15) позволяет свести вопрос о симплектнческой эквивалентности уравнений к вопросу об эквивалентности е-структур.

Теорема 23. Пусть для каждого из симплектических гиперболических уравнения Монжа-Ампера Е\ и Е2 распределения и вполне

интегрируемые, а функции д+д~ в точке не обращаются в нуль. Уравнения Е\ и Е2 локально симплектически эквивалентны тогда и только тогда, когда эквивалентны соответствующие е-структуры ©1 и ©2.

Следующие две теоремы дает классификацию уравнений Монжа-Ампера, у которых инварианты до, д+ и являются постоянными.

Теорема 25. Пусть для уравнения Монжа-Ампера распределения и Т(ц-) вполне интегрируемы.

Уравнение локально симплектически эквивалентно линейному уравнению вида

иху = а(х, у)ьх + Ь(х, у)уу + с(х, у),

тогда и только тогда, когда его скалярные дифференциальные инварианты д+, д_ и до равны пулю.

Теорема 26. Пусть для уравнения Монжа-Ампера распределения и ^{¡л-) вполне интегрируемы и скалярные дифференциальные инварианты д+, д~ и до — постоянные.

1. Если д+ ф 0, а = до = 0, то уравнение локально симплектически эквивалентно уравнению вида

ьху = а(х, у)их + Ь(х, у) ехр у + с(х, у) {аф 0).

а[х, у)

2. Если <7_ ф 0, а д+ = до = 0, то уравнение локально симплектически эквивалентно уравнению вида

rVx

vxy = а(х, y)vv + 6(ж, у) ехр х + с(х, у) ((3 ф 0).

d\X, у)

3. Если д- = д+ = 0, а до ф 0, то уравнение локально симплектически эквивалентно уравнению вида

Vxy = 7 vxvy + а(х, y)vx + b(x, y)vy + c{x, у) {чфО).

4- Если ф 0, g+ ф 0 и до ф 0, то уравнение локально симплектически эквивалентно уравнению вида

Vxy = 4а(д у)(2а(х' У)1"* + ТЫ? + Ь(х> У)(2а(х' + 7vy) + с(х>

Здесь а,Ь,с — некоторые гладкие функции.

Заметим, что при постоянных g+, д_ ц до другие возможности реализоваться не могут.

Мы также рассматриваем случай, когда распределения и

не являются вполне интегрируемыми. Для таких уравнений нами также построено представление вида (15) и решена проблем а локальной эквивалентности. В качестве примера мы рассматриваем уравнение вида

Vxx - f(x, У, vx, Vy)Vyy = 0

и строим для него указанную е-структуру.

В п. 4.3 "Эллиптические уравнения" строится аналог теории, развитой в п. 4.2. Для уравнений, у которых комплексные распределения Т{ц+) и ^(¡л-) вполне интегрируемы, нами построены скалярные дифференциальные инварианты второго порядка So> «ъ s2- Для уравнения

vxx + vyy = f(x,y,vx,v.y)

эти инварианты имеют вид: so = —fPlPl — /р2р2;

' fp2)fpip2 fPi fpi( fpm IpiPi))

Si ="

f2 + f2

J Pi ~ J P:

jpi ' jp2

t1 _ W

__(fpi /pi)(/pipi /ргрг) ^fpifpifpm

32 ~ f2 , p Jp 1 Г Jp2

Следующая теорема указывает критерий симплектической линеаризации эллиптических уравнений.

Теорема 32. Пусть для эллиптического уравнения Монжа-Ампера комплексные распределения и jF(ft-) вполне интегрируемы.

1. Уравнение локально симплектически эквивалентно уравнению Лапласа vxx + Vyy = 0 тогда и только тогда, когда его форма Лапласа равна пулю.

2. Пусть форма Лапласа уравнения не обращается в нуль в точке ао G Т*М. Уравнение локально симплектически эквивалентно линейному уравнению vxx + vyy = а(х, y)vx + b(x, y)vy + c(x, у) тогда и только тогда, когда Sq = Si = s2 = 0.

Кроме того, при выполнении некоторых условий общего положения, нами построен набор линейно независимых дифференциальных 1-форм 01,... ,04 на Г*М, таких, что

ft = 0! Л 02+ 03 Л 04 И W = 03 Л 02 + 04 А 01.

Также как для гиперболических уравнений, последнее представление позволяет свести вопрос о снмплектической эквивалентности эллиптических уравнений к вопросу об эквивалентности е-структур. В качестве примера мы рассматриваем уравнение вида

Vxx + f(x, у, vx, vy)vyy = 0.

В п. 4.4 "Уравнения переменного типа" рассматривается задача классификации симплектическпх уравнений Монжа-Ампера Еи в окрестности гиперповерхности {Pf (из) = 0} с Т*М перемены типа уравнения. Предполагается, что эта гиперповерхность является гладким подмногообразием.

Для уравнений переменного типа общего положения построен набор инвариантных линейно независимых дифференциальных форм © = (01,..., 04) на Т*М, таких, что

ft = 0! А 02+ 0з А 04 и w = 0з А 02 + i%4 А 01-

Здесь F — скалярный инвариант уравнения Монжа-Ампера (нормированный пфаффиан), а ш — инвариантная дифференциальная 2-форма, порождающая уравнение Еш, то есть Ец = Еш. Таким образом, как и для невырожденных уравнений Монжа-Ампера общего положения, вопрос о снмплектической эквивалентности уравнений сводится в вопросу об эквивалентности соответствующих е-структур.

Нами рассматриваются уравнения Монжа-Ампера переменного типа, локально эквивалентные уравнению Трикоми

ухх + XV,л + аух + Рьу + /(х, у) = О (16)

и уравнению Келдыша:

хухх + иуу + аух + (Зпу + ¡(х, у) = 0, (17)

Здесь а и Р — постоянные, а / — гладкая функция. Обобщением этих уравнений является уравнения

ухх + хУуу = Н(х, у, ух, уу) (18)

п

= 1{х,У,Ух,Уу). (19)

соответственно. Здесь Н — гладкая функция.

Сформулируем условия локальной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера переменного типа уравнениям (16)—(19).

Пусть Еш — уравнение Монжа-Ампера переменного типа, причем дифференциал пфаффиана формы ш не обращается в нуль в точке ао € {РГ (а;) = 0}. Тогда локальным симплсктическим преобразованием, сохраняющим точку ао, функцию Р = Р1 (со) можно перевести в функцию д\. Поэтому без ограничения общности можно считать, что Р1 = и рассматривать далее спмплектпчсскпе преобразования, сохраняющие функцию Р.

Определим векторное поле 2 = А^Хр, где Хр — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом Р.

Теорема 36. Уравнение Еш в точке ао локально еимплектически эквивалентно уравнению (18) тогда и только тогда, когда векторное поле 2 гамильтоново и не обращается в нуль в точке ао.

Если, кроме того, выполняется равенство + + /ЗХр = 0 для некоторых постоянных а и(3, то уравнение Еш локально еимплектически эквивалентно уравнению Трикоми (16).

Заметим, что уравнение (19) отличается от уравнения (18) тем, что векторное поле Z, ограниченное на гиперповерхность смены типа, — нулевое. Поэтому мы введем в рассмотрение векторное поле У =

г

Теорема 37. Уравнение Еш в точке ао локально еимплектически эквивалентно уравнению (19) тогда и только тогда, когда векторное поле У гамильтоново и не обращается в пуль в точке ац.

Если, кроме того, выполняется равенство Wu + {pt — l)Y+ßXp = 0 для некоторых постоянных а и ß, то уравнение Еш локально симплектически эквивалентно уравнению Келдыша (17).

В качестве приложения теорем 36 и 37 мы рассматриваем уравнение потока многокомпонентной газовой смеси

(vx + ß)vxx -vvy = Q (ß- const) (20)

и уравнение Максвелла-Эйнштейна в форме Эрнста21, описывающее аксиально симметричное стационарное гравитационное поле:

((*а-1Ы, + ((1-уа)Ч = °-

Первое из них в окрестности точек смены типа эквивалентно уравнению (16) с а = /? = 0 и / = 0, а второе — уравнению (17) с а = -1, ß = 0 и / = 0.

Мы также указываем необходимые и достаточные условия приводимости уравнений Монжа-Ампера переменного типа уравнениям вида

vxx -f xnvyy + avx + ßvy + f(x, у) = 0

и

xnvxx + Vyy + avx + ßvy + f(x, y) = 0, которые обобщают уравнения (16) и (17).

В п. 4.5 "Классификация операторов Монжа-Ампера переменного типа" строятся четыре инвариантных векторных поля, образующие е-структуру на кокасательном расслоении. В случае, когда эти поля порождают алгебру Ли, получены восемь нормальных форм операторов.

Как приложение полученного результата мы рассматриваем уравнение потока многокомпонентной газовой смеси22, обобщающее уравнение (20):

(bvx + a)vxx - c2vVy + kvx = 0. (21)

Здесь a, b,c,k — некоторые постоянные параметры. Построено симплекти-ческое преобразование, переводящее это уравнение в уравнение

Vyy + vxvxx + \vx = 0.

Заметим, что последнее уравнение, в отличие от уравнения (21), содержит только один параметр.

21Ernst F.J. Black holes in a magnetic Universe // J. Math. Phys. - 1976. - Vol. 17. - P. 54-56.

22Ларькин H.A. Гладкие решения уравнений трансзвуковой газовой динамики. - Новосибирск: "Наука", 1991. - 143 с.

В приложении I приводятся структуры алгебр Ли, отвечающих операторам Монжа-Ампера переменного типа, а в приложении 2 — листинг компьютерной программы для вычисления инвариантов Лапласа уравнений вида vxy = f(x, у, V, v,x, vy), написанной на языке системы компьютерной алгебры Мар1е-13._

Публикации по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК РФ

1. Кушнер, А.Г. Нормальные формы Чаплыгина и Келдыша уравнений Мопжа-Ампера [Текст] / А.Г. Кушнер // Математические заметки. - 1992. - Т.52. - №5. - С. 63-67. -0,31 п.л.

2. Кушнер, А.Г. Уравнения Монжа-Ампера и е-структуры [Текст] / А.Г. Кушнер // ДАН.

- 1998. - Т. 361. - №5. С. 595-596. - 0,13 п.л.

3. Кушнер, А.Г. Сиыплектическая классификация гиперболических операторов Монжа-Ампера [Текст] / А.Г. Кушнер // Вестник Астраханского государственного технического университета. - 2007. - Т. 1. - №36. - С. 15-18. - 0,25 п.л.

4. Кушнер, А.Г. Приведение гиперболических уравнений Монжа-Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами [Текст] / А.Г. Кушнер // ДАН. - 2008. - Т. 423.

- №5. - С. 609-611. - 0,19 и.л.

5. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация уравнений Монжа-Ампера и инварианты Лапласа [Текст] / А.Г. Кушнер // ДАН. - 2008. - Т. 422. - № 5. - С. 597-600. - 0,25 п.л.

6. Kushncr, A.G. A contact linearization problem for Monge-Ampere equations and Laplace invariants (Текст] / A.G. Kuslmer // Acta Appl. Math. - 2008. - Vol. 101. - # 1-3. P. 177189. - 0,81 п.л.

7. Kushncr, A.G. On contact equivalence of Monge-Ampere equations to linear equations with constant coefficients |Текст] / A.G. Kushner // Acta Appl. Math. - 2010. - Vol. 109. - # 1. P. 198-210. - 0,81 п.л. Online First: DOI 10.1007/sl0440-009-9447-z (2009)

Публикации в других изданиях

8. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера [Текст] / А.Г. Кушнер. - В сб. "Движения в обобщенных пространствах". - Пенза: Изд-во ПГПУ. - 2005. - С. 56-65. - 0,63 п.л.

9. Кушнер, А.Г. Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема Софуса Ли контактной линеаризации [Текст] / А.Г. Кушнер. - Сборник научных трудов I Международного семинара "Симметрии: теоретический и методический аспекты". - 2005. - Астрахань. С. 20-23 (2005) - 0,25 п.л.

10. Кушнер, А.Г. Гиперболические уравнения Мопжа-Ампера: проблема контактной эквивалентности [Текст! / А.Г. Кушнер // Естественные науки. - 2005. - №10. - С. 101-104. -0,25 п.л.

11. Кушнер, А.Г.: Тензорные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера [Текст] / А.Г. Кушнер // Естественные науки. - 2005. - №10. - С. 143-146. - 0,25 п.л.

12. Кушнер, А.Г.: .ДР-структуры и тензор Хаантьеса [Текст] / А.Г. Кушнер. - Сб. трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. "Лаптевские чтения-2006", 2007. - Пенза: Изд-во ПГПУ. - С. 57-62. - 0,38 п.л.

13. Кушнер, А.Г. Контактная геометрия уравнений Монжа-Ампера и структура почти произведений |Текст] / А.Г. Кушнер. - Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г. -С. 51. - 0,06 п.л.

14. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация нелинейных уравнений в частных производных [Текст] / А.Г. Кушнер. - Труды Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва, ИПУ, 31 мая - 2 июня 2006 г. - 0,13 п.л.

15. Кушнер, А.Г. Контактная классификация уравнений Монжа-Ампера [Текст] / А.Г. Кушнер. - In: G.L. Litvinov, V. P. Maslov (ed). Proceedings of the International Workshop "Idempotent and Tropical Mathematics and Problems of Mathematical Phisics" (Moscow, August 25-30, 2007). - 2007. - Vol. 2. - P. 99-104. - 0,38 п.л.

16. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера [Текст] / А.Г. Кушнер // Изв. ВУЗов. Математика. - 2008. - №4. - С. 43-58. - 1 п.л.

17. Кушнер, А.Г. Симплектическая классификация гиперболических уравнений Монжа-Ампера [Текст] / А.Г. Кушнер, Е.Н. Манжосова. - Proceedings of the International Geometry Center. - 2008. - Vol. 1. - #1-2. - P. 41-70. - 1,9 п.л.

18. Кушнер, А.Г. О приведении уравнений Монжа-Ампера к уравнению Эйлера-Пуассона |Текст] / А.Г. Кушнер // Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки - 2009. - Том 151. - №4. - С.60-71. - 0,75 п.л.

19. Кушнер, А.Г. Нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца [Текст] / А.Г. Кушнер. - Гольдберг, В.В., Кузаконь, В.М., Кушнер, А.Г., Лычагин, В.В., Шарко В.В. (ред.) "Геометр1я, тополопята Ух застосуваня". 36ipHHK Праць 1н-ту математики НАН Украши. - 2009. - Т.6. - №2 - С. 91-122. - 2 п.л.

20. Кушнер, А.Г. Контактные инварианты и линеаризация уравнения Хантера-Сакстона [Текст] / А.Г. Кушнер, Е.Н. Манжосова // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - № 3. - С. 536-537. - 0,13 п.л.

21. Kushner, A.G. The problem of equivalence of non-linear partial differential equations of mixed type [Текст] / A.G. Kushner. - In: "Proceedings of the Lie-Lobachevsky Colloq.". Tartu, Estonia, 26 - 30 October 1992. - 0,13 п.л.

22. Kushner, A.G. Classification of mixed type Monge-Amp£re equations [Текст] / A.G. Kushner. - In: Prastaro, A., Rassias, Th.M. (ed) "Geometry in Partial Differential Equations". Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 1993. - P. 173-188. - 1,13 п.л.

23. Doubrov, B. The Morimoto problem [Текст] / В. Doubrov, A. Kushner. - In: Prastaro, A., Rassias, Th.M. (ed) "Geometry in Partial Differential Equations". Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 1993. - P. 91-99. - 0,56 п.л.

24. Kushner, A.G.: Symplectic geometry of mixed type equations [Текст] / A.G. Kushner. -In: Lychagin, V.V. (ed) "The Interplay beetween Differential Geometry and Differential Equations". Amer. Math. Soc. TVansl. Ser. 2. - 1995. - Vol. 167. - P. 131-142. - 0,75 п.л.

25. Kovalenko, I.B. Symmetries and exact solutions of nonlinear diffusion equation [Текст] / I.В. Kovalenko, A.G. Kushner. - In: Proceedings of the 5th conference of the European society of the mathematical and theoretical biology "Mathematical Modelling & Computing in Biology and Medicine". Milano, Italy - 2002. - P. 239-243. -0,31 п.л.

26. Kovalcnko, I.В. The nonlinear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions [Текст] / I.B. Kovalenko, A.G. Kuslmer // Regular and Chaotic Dynamics.

- 2003. - Vol. 8. - #2. - P. 8-31. - 1,5 и.л.

27. Kuslmer, A.G. Almost product structures and Monge-Ampere equations [Электронный ресурс] / A.G. Kushner // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2000. - Vol. 23. - P. 151-181.

- 2 п.л. URL: http://ljm.ksu.ru (дата обращения 10.11.2009)

28. Kushner, A.G. Symplectic classification of elliptic Monge-Ampere operators (Текст] / A.G. Kushner. - In: Proceedings of the 4th International colloquium "Mathematics in Engineering and Numerical Physics" October 6-8 , 2006, Bucharest, Romania. Balkan Society of Geometers.

- 2007. - Geometry Balkan Press. - P. 87-94. - 1 п.л.

29. Kushner, A.G. Contact geometry and nonlinear differential equations [Текст] / A.G. Kushner, V.V. Lychagin, V.N. Rubtsov. - Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 101.

- Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - xxii+496 pp. - 32,38 п.л.

30. Kushner, A.G. Classification of Monge-Ampere equations [Текст| / A.G. Kushner. - In: B. Kruglikov, V. Lychagin, E. Straurne (ed) ''Differential Equations: Geometry, Symmetries and Integrability". Proceedings of the Fifth Abel Symposium, Tromso, Norway, June 17-22, 2008.

- P. 223-256. - 2 п.л.

Подписано к печати «И» ноября 2009 г. Формат 60x90/16 . Бумага писчая. Печать цифровая. Усл. печ. л. 2. Тираж 120 экз. Заказ 13594. «Астраханская цифровая типография» 414040, г. Астрахань, пл. К. Маркса, 33. Тел./факс (8512) 54 G3 95 Издательский дом «Астраханский университет» 414056 г. Астрахань, ул. Татищева, 20а.

Введение

0.1 Общая характеристика работы.

0.1.1 Актуальность темы исследования

0.1.2 Цель работы

0.1.3 Основные задачи исследования.

0.1.4 Научная новизна.

0.1.5 Методы исследования.

0.1.6 Теоретическое и прикладное значение.

0.1.7 Апробация работы.

0.1.8 Публикации автора по теме диссертации

0.1.9 Структура диссертации.

0.2 Обзор содержания диссертации.

1 Уравнения Монжа-Ампера и ассоциированные с ними геометрические структуры

1.1 Операторы и уравнения Монжа-Ампера.

1.1.1 Нелинейные дифференциальные операторы и эффективные дифференциальные формы.

1.1.2 Неголономное поле эндоморфизмов

1.1.3 Характеристические распределения.

1.1.4 Действие контактных диффеоморфизмов на операторы и уравнения Монжа-Ампера.

1.1.5 Многозначные решения уравнений Монжа-Ампера . 55 1.2 Дифференциальные тензорные инварианты структуры г-кратного почти произведения

1.2.1 Алгебры, ассоциированные со структурой г-кратного почти произведения.

1.2.2 Тензорные инварианты структуры г-кратного почти произведения.

1.2.3 Дифференциальные 2-формы, ассоциированные со структурой г-кратного почти произведения.

1.2.4 Интегрируемость частичных сумм распределений

1.2.5 Комплексные структуры г-кратного почти произведения.

1.2.6 Тензор Хаантиеса.

2 Классификация гиперболических уравнений Монжа-Ампера

2.1 Дифференциальные инварианты гиперболических уравнений

2.1.1 Дифференциальные тензорные инварианты гиперболических уравнений.

2.1.2 Координатные представления тензорных инвариантов

2.1.3 Формы Лапласа для гиперболических уравнений.

2.1.4 Координатные представления форм Лапласа.

2.2 Контактная линеаризация гиперболических уравнений.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Уравнения, у которых обе формы Лапласа равны нулю

2.2.3 Уравнения, у которых одна из форм Лапласа равна нулю, а другая — нет.

2.2.4 Уравнения, у которых обе формы Лапласа не равны нулю

2.2.5 Примеры контактной линеаризации уравнений.

2.2.6 Скалярные дифференциальные инварианты гиперболических уравнений.

2.3 Нормальные формы гиперболических уравнений Монжа-АмпераЮЗ

2.3.1 Уравнение vxy = k(x,y)v.

2.3.2 Телеграфное уравнение.

2.3.3 Уравнение Эйлера-Пуассона

2.4 Контактная эквивалентность гиперболических уравнений Монжа-Ампера.

3 Классификация эллиптических уравнений Монжа-Ампера

3.1 Дифференциальные инварианты эллиптических уравнений

3.1.1 Тензорные инварианты эллиптических уравнений

3.1.2 Координатные представления тензорных инвариантов

3.1.3 Формы Лапласа для эллиптических уравнений.

3.1.4 Координатные представления форм Лапласа.

3.2 Контактная линеаризация эллиптических уравнений

3.2.1 Уравнения, у которых обе формы Лапласа равны нулю

3.2.2 Уравнения, у которых обе формы Лапласа не равны нулю

3.2.3 Скалярные дифференциальные инварианты эллиптических уравнений.

3.3 Нормальные формы эллиптических уравнений Монжа-Ампера

3.3.1 Структура преобразований, сохраняющих вид уравнений

3.3.2 Уравнение vxx + vyy — к(х, y)v + /(ж, у).

3.3.3 Уравнение Гельмгольца.

4 Классификация симплектических уравнений Монжа-Ампера

4.1 Симплектические уравнения Монжа-Ампера.

4.1.1 Проекция 7г : JYM —» Т*М и симплектические эффективные формы.

4.1.2 Поле эндоморфизмов Аш.

4.1.3 Многозначные решения, симметрии и симплектическая эквивалентность операторов и уравнений.

4.1.4 Тензорные инварианты симплектических уравнений

4.1.5 Векторные инварианты симплектических уравнений

4.2 Гиперболические уравнения.

4.2.1 Уравнения с интегрируемыми распределениями.

4.2.2 Уравнения с неинтегрируемыми распределениями

4.2.3 Уравнение vxx — f2vyy = О.

4.3 Эллиптические уравнения.

4.3.1 Уравнения с интегрируемыми распределениями.

4.3.2 Уравнения с неинтегрируемыми распределениями.

4.3.3 Уравнение vxx + / vyy = 0.

4.4 Уравнения переменного типа.

4.4.1 Классификация уравнений переменного типа.

4.4.2 Уравнения Монжа-Ампера переменного типа, приводящиеся к линейным уравнениям.

4.5 Классификация операторов Монжа-Ампера переменного типа

4.5.1 Абсолютный параллелизм.

4.5.2 Нормальные формы.

4.5.3 Уравнение потока многокомпонентной газовой смеси

0.1 Общая характеристика работы 0.1.1 Актуальность темы исследования

Уравнение Монжа-Ампера имеет следующий вид:

АУхх + 2Вуху + СУуу + 0{уххууу - у1у) + Е = 0, (1) где А, В, С, И и Е — функции от независимых переменных х, у, неизвестной функции у = у(х,у) и ее первых производных ух,уу.г

Класс уравнений Монжа-Ампера выделяется из уравнений второго порядка тем, что он замкнут относительно контактных преобразований и содержит квазилинейные уравнения.

Этот факт был известен еще Софу су Ли, который в серии работ [82, 83] рассматривал проблему классификации гиперболических уравнений Монжа-Ампера и которую в современных терминах можно обобщить следующим образом: найти классы эквивалентности уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.

Важные результаты на пути к решению этой задачи были получены Дарбу [45, 46, 47] и Гурса [53, 55], которые, также как и Ли, преимущественно рассматривали гиперболические уравнения.

1Далее мы полагаем, что функции А, В, С, И и Е принадлежат классу С°°.

В частности, Гурса занимался проблемой эквивалентности уравнений Монжа-Ампера, интегрируемых методом Дарбу [54]. Его идеи были развиты Вессио [100]. Современный подход к проблеме интегрируемости нелинейных уравнений методом Дарбу изложен в работе Андерсона и Журас [37].

Сам Софус Ли сформулировал условия приведения гиперболических уравнений Монжа-Ампера к волновому уравнению vxy = 0 при наличии у них двух промежуточных интегралов. Напомним, что промежуточным интегралом уравнения Монжа-Ампера называется дифференциальное уравнение первого порядка, каждое решение которого является решением данного уравнения Монжа-Ампера.

Заметим, что не все уравнения Монжа-Ампера обладают промежуточными интегралами. Поэтому результаты Ли применимы не ко всем уравнениям Монжа-Ампера, а только к к тем из них, которые такими интегралами обладают. Кроме того, проверка наличия промежуточных интегралов у общего уравнения Монжа-Ампера, а тем более их построение, является не простой задачей. Доказательства полученных результатов Ли так и не опубликовал.

В 1978 году Лычагин предложил геометрическое описание широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка на гладких многообразиях [29]. Если размерность многообразия равна двум, то этот класс совпадает с классом уравнений Монжа-Ампера (1).

Основная идея Лычагина заключается в представлении уравнений Монжа-Ампера и их многомерных аналогов дифференциальными формами на пространстве 1-джетов функций на гладком многообразии.

Преимуществом такого подхода перед классическим является редукция порядка пространства джетов: используется более простое пространство 1-джетов JXM вместо пространства 2-джетов J2M, в котором, будучи уравнениями второго порядка, ad, hoc должны лежать уравнения Монжа-Ампера см. [3]). Такая интерпретация уравнений Монжа-Ампера позволила по-новому взглянуть на проблему их классификации и послужила толчком к появлению множества работ других авторов (см., например, [9, 11, 35, 43, 70, 88]).

В 1983 году Лычагиным и Рубцовым был рассмотрен класс невырожденных уравнений (1) у которых коэффициенты А, В, С, D, Е не зависят от переменной v [31]. Такие уравнения они назвали силтлектическими. Оказалось, что если коэффициенты А, В, С, D, Е такого уравнения — аналитические функции, то локальным симплектическим преобразованием оно может быть приведено к квазилинейному виду, то есть к виду (1), где D = 0.

Кроме того, они нашли условия, при которых симплектические уравнения приводятся к уравнению Монжа-Ампера с постоянными коэффициентами А, В, С, D, Е и показали, что если это условие выполняется, то гиперболические уравнения локально эквивалентны волновому уравнению vxy = 0, а эллиптические — уравнению Лапласа vxx + vyy = 0. Впоследствии Туницкий снял требование независимости коэффициентов уравнения (1) от переменной v и решил проблему приведения уравнений Монжа-Ампера к уравнениям с постоянными коэффициентами в общем виде [35].

В 1979 году Моримото применил методы теории (j-структур для классификации уравнений Монжа-Ампера [91].

Метод подвижного репера Картана применялся для классификации некоторых классов линейных и нелинейных уравнений Морозовым [93, 94, 95, 96] и The [98].

В 1992 году автор данной диссертационной работы, используя подход Лычагина, решил проблему приведения уравнений Монжа-Ампера переменного типа к обобщенным уравнениям Трикоми и Келдыша [9]. Позднее, в 1998 году, им также была решена проблема эквивалентности уравнений переменного типа для симплектических уравнений общего положения [11]. Для этого был построена e-структура (абсолютный параллелизм), ассоциированная с уравнением Монжа-Ампера.

Проблема локальной эквивалентности симплектических операторов и уравнений Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов была решена в работах Кругликова [68, 69, 70] и Кушнера [11]. Позднее нами было найдено решение этой проблемы для уравнений общего вида [75, 80], а также проблемы приведения уравнений Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов контактным преобразованием к линейным уравнениям [77].

Классификационные результаты для частных классов параболических уравнений Монжа-Ампера были представлены в работе Blanco, Manno и Pugliese [43].

0.1.2 Цель работы

В настоящей диссертационной работе рассматривается задача классификации уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований. В частности, задача приведения уравнений (1) к линейным уравнениям при помощи контактных преобразований.

0.1.3 Основные задачи исследования

1) Построить дифференциальные инварианты для гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.

2) В терминах построенных инвариантов найти необходимые и достаточные условия локальной контактной эквивалентности гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера линейным уравнениям вида vxx ± vyy — а(х: y)vx + Ь(ж, y)vy + с(.т, y)v + д(х, у) (2) и, в частности, линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

4) Найти необходимые и достаточные условия локальной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера переменного типа обобщенным уравнениям Трикоми и Келдыша.

4) Построить нормальные формы для некоторых классов уравнений Монжа-Ампера.

5) Решить проблему локальной эквивалентности уравнений и операторов Монжа-Ампера общего положения гиперболического, эллиптического и переменного типов относительно контактной и симплектической псевдогрупп преобразований.

0.1.4 Научная новизна

Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Для невырожденных уравнений Монжа-Ампера построены тензорные дифференциальные инварианты относительно псевдогруппы контактных преобразований. В том числе — две дифференциальные 2-формы па пространстве 1-джетов гладких функций, которые мы называем формами Лапласа, и которые являются обобщениями классических инвариантов Лапласа и Коттона, построенных ими для линейных уравнений.

2) С помощью форм Лапласа для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера решается проблема их приведения к линейным уравнениям контактными преобразованиями. Указываются нормальные формы для таких уравнений.

3) Для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера общего положения решается проблема локальной контактной эквивалентности.

4) Для симплектических невырожденных уравнений и операторов Монжа-Ампера решается проблема локальной эквивалентности относительно симплектических преобразований. Построены нормальные формы для таких уравнений и операторов.

5) Для уравнений Монжа-Ампера переменного типа найдены необходимые и достаточные условия их приведения к уравнениям Трикоми и Келдыша, а так же к уравнениям, их обобщающим.

0.1.5 Методы исследования

Для решения поставленных задач мы применяем методы современной дифференциальной геометрии. Мы используем подход Лычагина [29], согласно которому с уравнением (1) связывается дифференциальная 2-форма на пространстве 1-джетов гладких функций.

Для построения дифференциальных инвариантов уравнений Монжа-Ампера мы используем разложение комплекса де Рама на пространстве 1-джетов.

Для решения проблемы эквивалентности уравнений переменного типа мы строим е-структуру, однозначно определяющую уравнение Монжа-Ампера. Задача эквивалентности уравнений сводится к задаче эквивалентности е-структур, которая решается известными методами.

0.1.6 Теоретическое и прикладное значение

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследований уравнений Монжа-Ампера, а также для изучения нелинейных эффектов типа ударных волн, для построения точных решений уравнений Монжа-Ампера и для упрощения процедуры нахождения симметрий уравнений. В диссертациоиной работе приведены примеры применения полученных результатов к нелинейным уравнениям математической физики: к уравнению Хантера-Сакстона, уравнению Борна-Инфельда и к некоторым уравнениям газовой динамики. Результаты диссертационной работы позволяют по-новому взглянуть на классические инварианты Лапласа для линейных уравнений. На основе этих результатов составлены спецкурсы для студентов и аспирантов, которые читаются в Астраханском госуниверситете, Институте проблем управления РАН и на Международных научных молодежных школах ("Лобачевские чтения" в Казанском госуниверситете, I, II и III Международные молодежные школы по дифференциальной геометрии, дифференциальным уравнениям и управлению).

0.1.7 Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях: на семинаре по дифференциальной геометрии под руководством профессора В. В. Вишневского (Казань, КГУ им. В. И. Ульянова-Ленина, май 2006 г.); на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора И. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, апрель-май 2006, октябрь 2008 г.); на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В. В. Лычагина (февраль-март 2002, Тромсе, Норвегия, Университет Тромсе); на семинаре "Топология и анализ" под руководством профессора А. С. Мищенко (Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, ноябрь 2008 г.); на семинаре по математической физике и геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В. Н. Рубцова (Анжэ, Франция, Университет Анжэ, июнь - июль 2000 г.); на семинаре кафедры "Дифференциальная геометрия и приложения" под руководством академика А. Т. Фоменко (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, октябрь 2008 г.); на Пятом абелевском симпозиуме ("Fifth Abel Symposium", Тромсе, Норвегия, 17-22 июня 2008 г.); па Международной конференции "Лаптевские чтения", посвященной 100-летию Г. Ф. Лаптева (МГУ им. М.В. Ломоносова — Тверской государственный университет, Москва-Тверь, 25-29 августа 2009 г.); на III Международном конгрессе "Симметрии: теоретический и методический аспекты" (Астрахань, Астраханский госуниверситет, 10-14 сентября 2009 г.); на Международной конференции "X Белорусская математическая конференция" (Белорусский госуниверситет и Институт математики HAH Беларуси, Минск, 3-7 ноября 2008 г.) на Международной конференции "Geometry and Algebra of PDEs", посвященной 60-летию B.B. Лычагипа (Тромсе, Норвегия, 12-17 августа 2007 г.) на Международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 70-летию В. И. Арнольда (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Москва, 20-24 августа 2007 г.); на Международном семинаре "Идемпотентная и тропическая математика и проблемы математической физики" (Москва, Независимый московский университет, 25-30 августа 2007 г.); на Международной школе "Geometry of vector distributions, differential equations, and variational problems" (SISSA, Триест, Италия, 13-15 декабря 2006 г.); на Международной школе "Formal theory of partial differential equations and their applications" (Университет Йонсу, Финляндия, 2-9 апреля 2006 г.); на Международном коллоквиуме "Mathematics in Engineering and Numerical Physics" (Бухарест, Румыния, 6-8 октября 2006 г.); на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (МГУ-РГУ, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г.); на Международной конференции "Лаптевские чтения" (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, июль 2006 г.); на серии ежегодных Международных конференций "Геометрия в Одессе" (Одесса, Украина, 2005-2009 годы); на серии ежегодных Международных конференций "Геометрия в Астрахани" (Астраханский государственный университет, Астрахань, 20072009 годы); на IX Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" им. Е. С. Пятницкого (31 мая-2 июня 2006 г., Институт проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова, Москва); на I Международном семинаре "Симметрии: теоретический и методический аспекты" (Астраханский государственный университет, Астрахань, 15-17 сентября 2005 г.); на V конференции Европейского общества математической и теоретической биологии "Mathematical Modelling and Computing in Biology and

Medicine" (Milano, Italy, 2002 г.); на Международной конференции "Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces" (Москва, 1994 г.) иа Международном коллоквиуме "International Geometrical Colloquium (UNESCO)" (Москва-Париж, 10-14 мая, 1993 г.); на Международном коллоквиуме Ли-Лобачевского (Lie-Lobachevsky Colloquium, Университет Тарту, Тарт}^, Эстония, 26^30 октября, 1992 г.)

0.1.8 Публикации автора по теме диссертации

По теме диссертации автором опубликовано 29 работ и одна монография:

1. Кушнер, А.Г.: Нормальные формы Чаплыгина и Келдыша уравнений Монжа-Ампера. Математические заметки, 52(5) 63-67, (1992).

2. Кушнер, А.Г.: Уравнения Монжа-Ампера и е-структуры. ДАН, 361(5), 595-596 (1998).

3. Кушнер, А.Г.: Приведение гиперболических уравнений Монжа-Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. ДАН, 423(5), 609-611 (2008)

4. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация уравнений Монжа-Ампера и инварианты Лапласа. ДАН, 422(5), 597-600 (2008)

5. Kushner, A.G.: A contact linearization problem for Monge-Ampere equations and Laplace invariants. "Acta Appl. Math." 101(1-3), 177-189 (2008)

6. Kushner, A.G.: On contact equivalence of Monge-Ampere equations to linear equations with constant coefficients. "Acta Appl. Math."; Online First: DOI 10.1007/sl0440-009-9447-z (2009)

7. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера. "Изв. ВУЗов, Математика", №4, 43-58 (2008)

8. Кушнер, А.Г.: Симилектичеекая классификация гиперболических операторов Монжа-Ампера. Вестник Астраханского государственного технического университета, 1(36), 15-18 (2007)

9. Kushner, A.G., Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N.: Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101, Cambridge University Press, Cambridge, 2007, xxii+496 pp.

10. Kushner, A.G.: Classification of Monge-Ampère equations. In: "Differential Equations: Geometry, Symmetries and Integrability". Proceedings of the Fifth Abel Symposium, Tromso, Norway, June 17-22, 2008 (Editors: B. Kruglikov, V. Lychagin, E. Straume) 223-256.

11. Kushner, A.G.: Symplectic geometry of mixed type equations. In: Lychagin, V.V. (ed) The Interplay beetween Differential Geometry and Differential Equations. Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 167, 131-142 (1995)

12. Kushner, A.G.: Classification of mixed type Monge-Ampère equations. In: Pràstaro, A., Rassias, Th.M. (ed) "Geometry in Partial Differential Equations". Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 173188 (1993)

13. Doubrov, В., Kushner, A.: The Morimoto problem. In: Pràstaro, A., Rassias, Th.M. (ed) "Geometry in Partial Differential Equations". Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 91-99 (1993)

14. Kushner, A.G.: Almost product structures and Monge-Ampère equations. "Lobachevskii Journal of Mathematics", http://ljm.ksu.ru 23, 151-181 (2006)

15. Kushner, A.G.: Symplectic classification of elliptic Monge-Ampère operators. Proceedings of the 4th International colloquium "Mathematics in Engineering and Numerical Physics" October 6-8 , 2006, Bucharest, Romania, pp. 87-94. Balkan Society of Geometers, Geometry Balkan Press (2007)

15. Kovalenko, I.В., Kushner, A.G.: Symmetries and exact solutions of nonlinear diffusion equation. Proceedings of the 5th conference of the European society of the mathematical and theo-retical biology "Mathematical Modelling & Computing in Biology and Medicine", Milano, Italy, 239-243 (2002)

17. Kovalenko, I.В., Kushner, A.G.: The nonlinear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions. "Regular and Chaotic Dynamics" 8(2), 8-31 (2003)

18. Кушнср, А.Г.: Контактная классификация уравнений Монжа-Ампера. Proceedings of the International Workshop "Idempotent and Tropical Mathematics and Problems of Mathematical Phisics" (Moscow, August 2530, 2007) Eds. G.L. Litvinov, B.P. Maslov, 2, 99-104 (2007)

19. Кушнер, А.Г.: Нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца. "Геометр1я, тополопя та ïx застосуваня", Зб1рник Праць 1н-ту математики НАН Украши Т.6, №2, 91-122 (2009)

20. Кушнер, А.Г., Манжосова, Е.Н.: Симплектическая классификация гиперболических уравнений Монжа-Ампера. "Proceedings of the International Geometry Center", Odessa, 1(1-2), 41-70 (2008)

21. Кушнер, А.Г., Манжосова, E.H.: Контактные инварианты и линеаризация уравнения Хантера-Сакстона. "Обозрение прикладной и промышленной математики" №3, 536-537 (2009).

22. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера. В сб. "Движения в обобщенных пространствах", Изд-во ПГПУ, Пенза, 56-65 (2005)

23. Кушнер, А.Г.: Контактная геометрия уравнений Монжа-Ампера и структура почти произведений. Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г., стр.51.

24. Кушнер, А.Г.: ДР-структуры и тензор Хаантиеса. "Лаптевские чтения-2006", Сб. трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. Пенза, 57-62 (2007)

25. Кушнер, А.Г.: Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема Со-фуса Ли контактной линеаризации. Сборник научных трудов I Международного семинара "Симметрии: теоретический и методический аспекты", Астрахань, 20-23, (2005)

26. Кушнер, А.Г.: Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений и проблема Софуса Ли. Труды конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения", Рязань, РГПУ, 17-22 июня, 1996, 31-34.

27. Кушиер, А.Г.: Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема контактной эквивалентности. Естественные науки, №10, 101-104 (2005)

28. Кушнер, А.Г.: Тензорные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера. Естественные науки, №10, 143-146 (2005)

29. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация нелинейных уравнений в частных производных. Труды Международной конференции "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, ИПУ, 31 мая - 2 июня 2006 г. стр. 146

30. Kushner, A.G.: The problem of equivalence of non-linear partial differcntial equations of mixed type. "Proceedings of the Lie-Lobachevsky Colloq.", Tartu, Estonia, 26 - 30 October 1992, 28-30.

В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора составляет от 40% до 75%.

0.1.9 Структура диссертации

Диссертация изложена на 245 страницах, состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 101 наименование. Диссертация содержит 16 таблиц, 2 диаграммы и 2 рисунка.

1. Алексеевский, Д.В., Виноградов, A.M., Лычагин В.В.: Основные понятия дифференциальной геометрии. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". - Т. 28. М.: ВИНИТИ, 1988, 297 С.

2. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: "Наука". 1981. - 336 С.

3. Виноградов, A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: "Наука". 1986. -336 С.

4. Ибрагимов, Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // Прикладная механика и техническая физика. 45(2). - С. 11—21 (2004)

5. Имшенецкий, В.Г. Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными 1-го и 2-го порядков. М.: Издание Московского матем. общества. 1916. - 412 С.

6. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // ДАН СССР. 77(2). - С. 181-183 (1951)

7. Кошляков, Н.С., Глинер, Э.Б., Смирнов, М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: "Высшая школа". 1970. - 710 С.

8. Курант, Р. Уравнения с частными производными. М.: "Мир". 1964. -830 С.

9. Кушнер, А.Г. Нормальные формы Чаплыгина и Келдыша уравнений Монжа-Ампера // Математические заметки. 52(5) С. 63-67. - (1992)

10. Кушнер, А.Г. Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема контактной эквивалентности // Естественные науки. №10. - С. 101-104 (2005)

11. Кушнер, А.Г. Тензорные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера // Естественные науки. №10. - С. 143-146 (2005)

12. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера // В сб. "Движения в обобщенных пространствах". Пенза: Изд-во ПГПУ. - С. 56 65 (2005)

13. Кушнер, А.Г. Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема Софуса Ли контактной линеаризации // Сборник научных трудов I международного семинара "Симметрии: теоретический и методический аспекты". Астрахань. - С. 20-23. - (2005)

14. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация нелинейных уравнений в частных производных // Труды Международной конференции "Устойчивостьки колебания нелинейных систем управления". Москва, ИПУ, 31 мая -2 июня 2006 г. - С. 146

15. Кушнер, А.Г. Контактная геометрия уравнений Монжа-Ампера и структура почти произведений // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г. С. 51.

16. Кушнер, А.Г. Симплектическая классификация гиперболических операторов Монжа-Ампера // Вестник Астраханского государственного технического университета. 1(36). - С. 15-18 (2007)

17. Кушнер, А.Г. ЛР-структуры и тензор Хаантиеса // "Лаптевские чтения-2006" Сб. трудов Международного геометрического семинара им. Г.Ф. Лаптева. Пенза. - С. 57-62 (2007)

18. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера // Изв. ВУЗов. Математика. №4. - 43-58 (2008).

19. Кушнер, А.Г. Контактная линеаризация уравнений Монжа-Ампера и инварианты Лапласа // ДАН. 422(5). - С. 597-600 (2008)

20. Кушнер, А.Г. Приведение гиперболических уравнений Монжа-Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами // ДАН. -423(5). С. 609-611 (2008)

21. Кушнер, А.Г. Нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца // ТеометрЬт, тополопята1. застосуваня". 36ipnnK Праць 1н-ту математики НАН Украши Т.6,№2 (2009). - С. 91-122.

22. Кушиер, А.Г., Маижоеова, Е.Н. Симилектическая классификация гиперболических уравнений Монжа-Ампера // "Proceedings of the International Geometry Center". Odessa. - 1(1-2). - C. 41-70 (2008)

23. Кушнер, А.Г., Манжосова, Е.Н. Контактные инварианты и линеаризация уравнения Хантера-Сакстона // "Обозрение прикладной и промышленной математики" № 3 С. 536-537(2009)

24. Ларькин, Н.А., Новиков, В.А., Яненко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: "Наука". 1983.

25. Ларькин, Н.А. Гладкие решения уравнений трансзвуковой газовой динамики. Новосибирск: "Наука". 1991.

26. Лычагин, В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // ДАН СССР 238(5). С. 273-276 (1978)

27. Лычагин, В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // УМН. -34(1 (205)). С. 137-165 (1979)

28. Лычагин, В.В., Рубцов В.Н. О теоремах Софуса Ли для уравнений Монжа-Ампера // ДАН БССР 27(5). С. 396-398 (1983)

29. Лычагин, В.В., Рубцов В.Н. Локальная классификация уравнений Монжа-Ампера. ДАН СССР 272(1). С. 34-38 (1983)

30. Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: "Наука". 1978. 399 С.

31. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат.- 1947.

32. Туницкип Д.В. О контактной линеаризации уравнений Монжа-Ампера // Изв. РАН. Серия матем. 60(2). С. 195-220 (1996)

33. Чаплыгин, С.А. О газовых струях // Ученые записки Московского университета. Отделение физмат наук. 21 (1904)

34. Anderson, I.M., Juras, M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke J. Math. 89. C. 351-375 (1997)

35. Alekseevskij D. V.,Lychagin V. V and Vinogradov A. M., Basic Ideas and Concepts of Differential Geometry. Geometry-I. - P. 1-264. - Berlin: Springer Verlag (1991)

36. Banos, B. Nondegenerate Monge-Ampère structures in dimension 3 // Lett. Math. Phys. 62(1). P. 1-15 (2002)

37. Banos, B. On symplectic classification of effective 3-forms and Monge-Ampère equations // Differential Geom. Appl. 19(2). P. 147-166 (2003)

38. Bers, L. Mathematical Aspects of Subsonic and Transonic Gas Dynamics. -John Wiley and Sons (1958)

39. Born M., Infeld L. Foundation of a New Field Theory // Proc. Roy. Soc. 144.- P. 425-451 (1934)

40. Blanco, R.A., Manno, G., Pugliese, F. Contact relative differential invariants for non generic parabolic Monge-Ampère equations // Acta Appl. Math. -101(1-3).-P. 5-19 (2008)

41. Cotton, E. Sur les invariants différentiels de quelques équations linearies aux dérivées partielles du second ordre // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 17. P. 211—244 (1900)

42. Darboux, G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. Vol. I. Paris, Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. 1887. - vi+514 P.

43. Darboux, G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. Vol. II. Paris, Gauthier-Villars, 1915. 579 P.

44. Darboux, G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. Vol. III. Paris, Gauthier-Villars at fils, Imprimeur- Libraire. 1894. - viii-j-512 P.

45. Doubrov, B., Kushner, A. The Morimoto problem // In: Pràstaro, A., Rassias, Th.M. (ed) Geometry in Partial Differential Equations. Singapore New-Jersey London Hong-Kong. World Scientific. - P. 91-99 (1993)

46. Ernst, F.J. Black holes in a magnetic Universe // J. Math. Phys. 17. P. 5456 (1976)

47. Euler, L. Calcvli integralis. Vol.3. Petropoli, Impenfis Academiac Imperialis Scientiarium. 1770.

48. Forsyth, A.R. Theory of differential equations. Part 4. Partial differential equations. Vol.6. Cambridge University Press. - 596 P. (1906)

49. Frôlicher A., Nijenhuis A. Theory of Vector Valued Differential Forms. Part 1: Derivations in the Graded Ring of Differential Forms // Indag. Math. 18. P. 338-359 (1956)

50. Goursat, E. Leçon sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre a deux variables indépendantes. Vol. 1. Paris. 1896. -viii+226 P.

51. Goursat, E. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre // Annales de la Faculté de Toulousé (deuxième serie) 1. P. 31-78 (1899)

52. Goursat, E. Sur les équations du second ordre à n variables analogues à l'équation de Mongc-Ampère // Bull. Soc. Math. France 27. P. 1-34 (1899)

53. Haantjes, A. On Xni-forming sets of eigenvectors // Indagat.iones Mathematical 17(2). - 158-162 (1955)

54. Hunter, J.K., Saxton, R. Dynamics of director fields // SIAM J. Appl. Math. 51(6). P. 1498-1521 (1991)

55. Hurt, N. Geometric Quantization in Action: Applications of Harmonic Analysis in Quantum Statistical Mechanics and Quantum Field Theory. D.Reidel Pub. Co. Dordrecht-Boston (1983)

56. Ibragimov, N.H. Group classification of second order differential equations // Doklady Akademii Nauk SSSR 183(2). P. 274-277 (1968) (Russian); English translation in Soviet Math. Dokl. 9(6). - P. 1365-1369 (1968)

57. Ibragimov, N.H. Equivalence groups and invariants of linear and nonlinear equations // Archives of ALGA. Blekinge Institute of Thechnology. Karlskrona, Sweden 1. - P. 9-65 (2004)

58. Jakobsen, P., Lychagin, V., Romanovsky, Y. Symmetries and non-linear phenomena I. Preprint. - Tromsô Univ. (1997)

59. Jakobsen, P., Lychagin V., Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena II. Applications to Nonlinear Acoustics. Preprint. - Tromsô Univ. (1998)

60. Karman, T. The similarity law of transonic flow // Journal of Math, and Phys. 26. P. 182-190 (1947)

61. Kovalenko, I.В., Kushner, A.G. The nonlinear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions // Regular and Chaotic Dynamics 8(2). P. 8-31 (2003)

62. Krasilshchik, I.S. Some new cohomological invariants for nonlinear differential equations // Differential Geom. Appl. 2(4). P. 307-350 (1992)

63. Krasilshchik, I.S., Lychagin, V.V., Vinogradov, A. M. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. New York: Gordon and Breach. (1986)

64. Кругликов, B.C. О некоторых классификационных задачах в четырехмерной геометрии: распределения, почти комплексные структуры и обобщенные уравнения Монжа-Ампера // Матем. сб. 189(11). Р. 61-74 (1998)

65. Kruglikov, В.S. Symplectic and contact Lie algebras with application to the Monge-Ampère equations // Tr. Mat. Inst. Steklova 221. P. 232-246 (1998)

66. Kruglikov, B.S. Classification of Monge-Ampère equations with two variables // CAUSTICS'98 (Warsaw), Polish Acad. Sci. Warsaw. - P. 179-194 (1999)

67. Kruglikov, B.S., Lychagin, V.V. Mayer Brackets and PDEs solvability I. // Differ. Geom. Appl. 17(2-3). - P. 251-272 (2002)

68. Kushner, A.G. Classification of mixed type Monge-Ampère equations // In: Pràstaro, A., Rassias, Th.M. (ed) Geometry in Partial Differential Equations. Singapore New-Jersey London Hong-Kong:"World Scientific". P. 173-188 (1993)

69. Kushner, A.G. The problem of equivalence of non-linear partial differential equations of mixed type // Proceedings of the Lie-Lobachevsky Colloq. -Tartu, Estonia, 26-30 October 1992. P. 28-30.

70. Kushner, A.G. Symplectic geometry of mixed type equations // In: Lychagin, V.V. (ed) The Interplay beetween Differential Geometry and Differential Equations. Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 167. P. 131-142 (1995)

71. Kushner, A.G. Almost product structures and Monge-Ampère equations // Lobachevskii Journal of Mathematics. http://ljm.ksu.ru 23. - P. 151181 (2006)

72. Kushner, A.G. A contact linearization problem for Monge-Ampère equations and Laplace invariants // Acta Appl. Math. 101(1-3) P. 177-189 (2008)

73. Kushner, A.G. On contact equivalence of Monge-Ampère equations to linear equations with constant coefficients // Acta Appl. Math. 109(1) P. 197-210. Online First: DOI 10.1007/sl0440-009-9447-z (2009)

74. Kushner, A.G., Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101. Cambridge: Cambridge University Press. - 2007. -xxii+496 P.

75. Lie, S. Ueber einige partielle Differential-Gleichungen zweiter Orduung // Math. Ann. 5. P. 209-256 (1872)

76. Lie, S. Begründung einer Invarianten-Theorie der Beruhrungs-Transformationen // Math. Ann. 8. P. 215-303 (1874)

77. Lie, S. Classification und integration von gewöhnlichen differentialgleichungen zwischen x, y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten // Math. Ann.32. P. 213-281 (1888)

78. Lychagin, V.V. Lectures on geometry of differential equations. Vol. 1,2. "La Sapienza". Rome. - 1993.

79. Lychagin, V. V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differential equations and nonlinear Phenomena // Acta Appl. Math. 3. P. 135-1731985)

80. Lychagin, V. V. Differential Equations On Two-Dimensional Manifolds // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 5. - P. 43-57 (1992)

81. Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N., Chekalov, I.V. A classification of Monge-Ampère equations // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. (4) 26(3). P. 281-308 (1993)

82. Malakhaltsev, M.A. De Rham cohomology // In: Handbook of Global Analysis (Eds. D.Krupka, D.Saunders). Elsevier. - 2008. - P. 953-982.

83. Morimoto, T. La géométrie des équations de Monge-Ampère // C. R. Acad. Sci. Paris Sr. A-B 289(1). P. A25-A28 (1979)

84. Morimoto, T. Open Problem in Str. Theory of Non-Linear Integrable Differential and Difference Systems // The 15 International Symposium Held at Katata. P. 27-29 (1984)

85. Morozov, O.I. Contact equivalence problem for linear parabolic equations // Preprint arXiv: math- ph / 0304045vl. P. 1-19 (2003)

86. Morozov, O.I. Contact equivalence problem for nonlinear wave equations. // Preprint arXiv math- ph / 0306007vl. P. 1-13 (2003)

87. Morozov, O.I. Contact equivalence of the generalized Hunter-Saxton equation and the Euler-Poisson equation // Preprint arXiv: matli-ph / 0406016. P. 1-3 (2004)

88. Morozov, O.I.: Contact equivalence problem for linear hyperbolic equations // Journal of Mathematical Sciences 135(1). P. 2680-2694 (2006)

89. Newlender, A., Nirenberg, L. Complex analitic coordinates in almost complex manifolds // Ann. Math. 65. P. 391-404 (1954)

90. The, D. Contact geometry of hyperbolic equations of generic type // SIGMA. -4(058).- 52 P. (2008)

91. Tricomi, F. Sulle equazioni lineari aile derivate parziali di secondo ordine di tipo misto // Rendiconti Atti dell' Accademia Nazionale dei Lincei 5(14). -P. 134-247 (1923)

92. Vessiot, E. Sur les équations aux dérivées partielle du second ordre intégrables par la méthode de Darboux // J. Math Pures Appl. 18. P. 1-61 (1939) and 21. - P. 1-66 (1942)

93. Vinogradov, A.M., Krasil'shchik, I.S., Lychagin, V.V. Geometry of jet spaces and nonlinear partial differential equations. Advanced Studies in Contemporary Mathematics. 1. - New York: Gordon and Breach Science Publishers. - 1986. - xx+441 P.