Дифференциально-геометрические методы исследования уравнений Монжа-Ампера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

§1. Актуальность темы.

§2. Исторический обзор.

§3. Краткое содержание диссертации.

§4. Выводы.

Глава 1. Локальные решения задачи Коши для гиперболических уравнений Монжа-Ампера.

§1. Многозначные решения.

§2. Гиперболичность.

§3. Задача Коши и контактная эквивалентность.

§4. Диагональная система.

§5. Существование решения.

§6. Единственность решения.

Глава 2. Непродолжаемые решения задачи Коши для гиперболических уравнений Монжа-Ампера.

§1. Введение.

§2. Характеристические расслоения.

§3. Задача Коши.

§4. Формула Даламбера.

§5. Существование, единственность и полнота.

§6. Многозначные и обобщенные решения.

§7. Свойства характеристических расслоений.

§8. Характеристический диффеоморфизм.

§9. Доказательство существования.

§10. Доказательство единственности.

§11. Доказательство полноты.

Глава 3. Дифференциально-геометрическая интерпретация условий

Леви для уравнений Монжа-Ампера.

§1. Уравнения Монжа-Ампера на многообразиях.

§2. Характеристические расслоения.

§3. Условия Леви.

§4. Линейные характеристические связности.

§5. Инвариантность характеристических связностей.

§6. Контактные инварианты.

Глава 4. Контактная линеаризация уравнений Монжа-Ампера.

§1. Контактно эквивалентные уравнения Монжа-Ампера.

§2. Производные характеристических расслоений----.

§3. Формулировки основных результатов.

§4. Свойства характеристических расслоений и их производных.

§5. Линеаризация относительно вторых производных.

§6. Линеаризация относительно вторых и первых производных.

§7. Приведение к постоянным коэффициентам.

Глава 5. Контактная эквивалентность и характеристические аффинные связности уравнений Монжа-Ампера

§1. Уравнения Монжа-Ампера на контактных многообрази

§2. Характеристические расслоения.

§3. Контактная эквивалентность уравнений Монжа-Ампера

§4. Формулировки основных результатов.

§5. Свойства характеристических расслоений.

§6. Характеристические аффинные связности.

§7. Доказательства основных результатов.

§1. Актуальность темы.

Работа посвящена исследованию уравнений Монжа-Ампера посредством дифференциально-геометрических методов. Уравнения Монжа-Ампера - это широкий класс нелинейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. В частности, всякое квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными является уравнением Монжа-Ампера.

Общеизвестно, что большинство процессов, протекающих в окружающем нас мире, нелинейны. Поэтому математические модели, описывающие такие процессы с помощью дифференциальных уравнений, также нелинейны. Линейные модели в подобных случаях дают, как правило, весьма приближенное представление о реальном положении дел. Например, решение линейного одномерного волнового уравнения удовлетворительно описывает колебание струны лишь при малой амплитуде колебаний. В случае, когда амплитуда колебаний велика, это решение, вообще говоря, физического смысла не имеет. Уточненное же уравнение колебания струны, как известно, нелинейно.

Развитие современной науки и техники требует адекватного математического описания изучаемых явлений. В связи с этим большое значение приобретают вопросы строгого обоснования непротиворечивости и адекватности построенной математической модели, а также возможности ее сведения к более простой эквивалентной модели. Исследованию этих вопросов в отношении уравнений Монжа-Ампера посвящена данная диссертация.

Уравнения Монжа-Ампера встречаются при решении обширного класса задач, возникающих в естествознании и математике. Приведем несколько примеров.

По-видимому, первыми публикациями, в которых упоминаются уравнения рассматриваемого класса, являются мемуары Г. Монжа [Mnl] и [Мп2], связанные с решением геометрических задач. Приложению уравнений Монжа-Ампера к решению задач современной геометрии посвящено большое количество работ, в частности, ряд докладов на международных математических конгрессах: доклад Л. Ниренберга [N1] на конгрессе 74-го года в Ванкувере, С.Т. Яу LYa] на конгрессе 78-го года в Хельсинки и С. Ченга [Ch] на конгрессе 83-го года в Варшаве (см. также работы М. Козловского [Ко] и Ж. Хано, К. Номидзу [H-N]). Большое значение уравнения Монжа-Ампера имеют для решения задач изометрического погружения (см. обзоры Э.Г. Позняка, Е.В. Шикина [П-Ш], Е.В. ПМкина [Шк1], руководства A.B. Погорелова [Пг] и И.Я. Бакельмана, А.Л. Вернера, Б.Е. Кантора [БВК, с.196]).

При решении вариационных задач уравнения Монжа-Ампера возникают как уравнения Эйлера-Лагранжа для соответствующих функционалов. Вариационные задачи, приводящие к уравнениям Монжа-Ампера, исследуются в работах И.Я. Бакельмана [Ба], [Ва], П.П. Гиллиса [Gl] и др.

Уравнения Монжа-Ампера широко примененяются для описания движения газов и жидкостей: см. статьи Ю.С. Завьялова [За], Г.П. Черепанова [Че], Хабирова CXal] и [Ха2], Е. Голдхагена [Go], P.M. Гундерсена [Gu], Г.С. Ладфорда [Lu], М. Мартина [Mal], [Ма2] и К. Рожерса [Ro], а также руководства Л.В. Овсянникова [Ов, §22] и Б.Л. Рождественского, H.H. Яненко [Р-Я, гл.2, §9, разд.З].

Обширное применение уравнения Монжа-Ампера находят в гидрометеорологии (см. руководства П.Н. Белова [Бе], Л.С. Гандина, A.C. Дубова [Г—Д., с.40] и В. Эймса [As, с.403]). Соответствующим приложениям посвящены статьи Э.Р. Розендорна [Pol], [Ро2], [РоЗ], [Ро4], М. Куллена, Дж. Норбыори, Р. Пурсера [CNP] и др.

В статье Д.-Г. Эделена [Ed] уравнения Монжа-Ампера используются для исследования ряда задач теории упругости. Приложению уравнений Монжа-Ампера к оптике посвящены работы Ф. Брикелля [Вг], Э. Ньюмана, В. Олжера [N-0] и В. Оликера [01] (см. также пособие A.B. Гончарского, В.В. Попова, В.В. Степанова [ГПС, с.128]). К теории поля - статьи С. Чакраварти, С.Л. Кента, Э. Ньюмана [СМ], О.М. Мохова, И. Нутку [М-Ш и др.

Таким образом, область применения уравнений Монжа-Ампера весьма широка, и не удивительно, что на протяжении более чем двухсот лет они являются объектом исследования многих известных математиков .

В данной диссертации основное внимание уделено решению следующих задач.

1) Доказательство разрешимости задачи Коши для нестрого гиперболических уравнений Монжа-Ампера, удовлетворяющих условию Ле-ви, в классе локальных многозначных решений.

2) Доказательство разрешимости задачи Коши для строго гиперболических уравнений Монжа-Ампера в классе непродолжаемых многозначных решений. Доказательство эквивалентности полноты и непродолжаемости многозначных решений.

3) Дифференциально-геометрическая интерпретация условия нестрогой гиперболичности Леви для уравнений Монжа-Ампера. Установление равносильности условия Леви существованию линейной характеристической связности.

4) Локальная линеаризация уравнений Монжа-Ампера относительно производных посредством контактных диффеоморфизмов.

5) Построение дифференциально-геометрических структур (аффинных связностей), естественным образом ассоциированных с уравнениями Монжа-Ампера. Установление локальной и глобальной контактной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера.