Геометрические методы в получении и решении уравнений типа Монжа-Ампера на компактных и некомпактных многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Кокарев Виктор Николаевич

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПОЛУЧЕНИИ И РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ТИПА МОНЖА-АМПЕРА НА КОМПАКТНЫХ И НЕКОМПАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 2 СЕН 2010

Новосибирск — 2010

004607643

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Самарского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Климентов Сергей Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор Миклюков Владимир Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор Фоменко Валентин Трофимович

Ведущая организация:

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Защита состоится 2 сентября 2010 г. в 76 часов на заседании дис сертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики имен! С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Акад Коптюга, 4, ауд. 417.

С диссертацией можно ознакомиься в библиотеке Института матема тики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 3 2010 г.

Ученый секретарь

Зе

диссертационного совета

Гутман А. Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Действительные уравнения типа Монжа - Ампера связаны с важнейшими проблемами геометрии: проблемой Минков-ского о нахождении выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной, проблемой Вейля о существовании замкнутой выпуклой поверхности с заданной метрикой, проблемой характеризации несобственных выпуклых аффинных сфер. К комплексному уравнению типа Монжа-Ампера приводит важнейшая в кэлеровой геометрии проблема Кала-би. Этими проблемами занимались А. Д. Александров, А. В. Погорелов, Е. Калаби, С. Т. Яу, Ш. Ш. Чжень и многие другие.

С 70-х годов XX века рассматриваются уравнения, содержащие смешанный дискриминант от гессиана неизвестной функции. Большинство таких уравнений возникает в задачах, связанных с восстановлением выпуклой поверхности по элементарной симметрической функции ее главных кривизн, радиусов кривизны или условных радиусов кривизны. Впервые такая задача была рассмотрена А. В. Погореловым Им было доказано существование замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией ее главных радиусов кривизны при некоторых ограничениях на эту функцию. H. М. Ивочкиной 2 найдены условия разрешимости краевой задачи, связанной с восстановлением выпуклой поверхности по элементарной симметрической функции ее главных нормальных кривизн. Л. Каффарелли, Л. Ниренберг, Дж. Спрук 3 получили условия разрешимости краевой задачи для уравнения, содержащего функцию от смешанных дискриминантов гессиана неизвестной функции.

Уравнения, содержащие смешанный дискриминант от гессиана неизвестной функции будем называть уравнениями Монжа-Ампера m -го порядка. В диссертации собраны результаты автора по геометрическим проблемам, приводящим к рассмотрению эллиптических уравнений типа Монжа-Ампера m -го порядка на многобразиях.

Цель работы. Целями работы являются:

1) доказательство теоремы о существовании замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией ее услов-

'Погорелов A.B. Многомерная проблема Минковского. - М.: Наука, 1975. - 96 с.

2Ивочкина Н.М. Решение задачи Дирихле для уравнений кривизны порядка тп// Матем. сб. -1989. - Т. 180, № 7. - С. 867 - 887.

3Caffarelli L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equatons. III. Functions of the eigenvalues of Hessian// Acta Math. - 1985. - V. 155, № 3, 4. - P. 261 -304.

ных радиусов кривизны,

2) доказательство существования кэлеровой метрики с заданной смешанной формой объема на компактных кэлеровых многообразиях положительной и нулевой голоморфной секционной кривизны,

3) исследование решений уравнений - аналогов уравнений несобственных аффинных сфер. Доказательство того, что класс уравнений, задающих несобственную аффинную сферу достаточно широк и не ограничивается простейшими уравнениями Монжа-Ампера.

Методы исследования. При доказательстве теорем о существовании замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией ее условных радиусов кривизны и о существования кэлеровой метрики с заданной смешанной формой объема используется метод продолжения по параметру, восходящий к С. Н. Вернштейну. Центральным моментом при использовании этого метода являетя получение априорной оценки решения. При изучении решений уравнений - аналогов уравнений несобственных аффинных сфер находится дифференциальное неравенство на решение уравнения и априорная оценка решения. Это позволяет доказать, что решениями таких уравнений является только квадратичные полиномы.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. Впервые получены достаточные условия существовании замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией ее условных радиусов кривизны и существования кэлеровой метрики с заданной смешанной формой объема. Впервые получено обобщение теоремы Ергенса-Калаби-Погорелова о полных выпуклых решениях уравнений близких к уравнению несобственной выпуклой аффинной сферы.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в работе имеют теоретический характер и могут быть использованы в исследованиях по геометрии "в целом", в кэлеровой геометрии, в аффинной дифференциальной геометрии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Восьмой Всесоюзной геометрической конференции (Одесса, 1984), на Всесоюзной конференции по геометрии "в целом" (Новосибирск, 1987), на IX Всесоюзной геометрической конференции (Кишинев, 1988), на Международном геометрическом семинаре им Н.И. Лобачевского (Казань, 1997), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2002, 2008), на Международных геометрических конференциях "геометрия в Одессе" (Одесса, 2007, 2009),

на геометрическом семинаре в ХГУ под руководством акад. РАН A.B. По-горелова (Харьков, многократно), на семинаре по геометрии и анализу в Институте математики СО РАН им. C.J1. Соболева под руководством акад. РАН Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2009), на геометрическом семинаре в Институте математики СО РАН им. C.J1. Соболева под руководством чл. кор. РАН И. А. Тайманова (Новосибирск, 2009), на геометрическом семинаре в МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. И.Х. Сабитова (Москва, 2008), на геометрическом семинаре в Южном федеральном университете под руководством проф. С.Б. Климентова (Ростов-на-Дону, 2009)

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 22 научных статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 133 страницах, состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 74 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении содержится обзор полученных ранее результатов, связанных с темой диссертации, приводится постановка задач, рассматриваемых в работе, дается краткое изложение содержания диссертации.

Глава 1. Замкнутые выпуклые поверхности с заданными функциями условных радиусов кривизны

Пусть fk = Ylij=iaijxixji{k = 1,--чШ) - положительно определенные квадратичные формы. Составим форму / = J2k=i и рассмотрим определитель матрицы квадратичной формы /: det / = det(AiaJj + ... + А тоЩ).

Это однородный многочлен степени п по Ai,..., Am , то есть

т т

det / = £■■■£ А^Аь ... А knD(fk\ • • ■, /Ч кп=1 fci=1

Коэффициент при Ад^Ад^ ... Аkn) взятый симметричным по всем индексам, называется смешанным дискриминантом форм fk\ fk2,..., fkn или матриц (afj), (а*2),..., (а*;).

Пусть S - замкнутая выпуклая поверхность в (п + 1) -мерном евклидовом пространстве Еп+1, в котором введены декартовы координаты

х\,..., хп+1. Если 5 регулярна, по крайней мере дважды дифференцируема, и гауссова кривизна ее в любой точке положительна, то ее опорная функция Я обладает той же степенью регулярности . Обозначим д2Н тт „

——-— = Нц. Для замкнутой выпуклой поверхности Е с положитель-ахгах^

ной гауссовой кривизной обозначим опорную функцию через Я0 и ана-<92Я°

логично -—-— = Я?-. Пусть 5 и Е - регулярные замкнутые выпуклые

поверхности в (п + 1) -мерном евклидовом пространстве Еп+1 с положительной гауссовой кривизной. Тогда Б и Е имеют биективные сферические отображения на единичную сферу

которое сопоставляет всякой точке х поверхности 5 с внешней нормалью у точку у поверхности Е с той же внешней нормалью.

Дифференциалы указанных отображений устанавливают изоморфизмы между ТХ(£),ТУ(£) и Т„(5") — касательными пространствами к Я, Е и Яп в точках х, у и и. Пусть вектору (1и е Т^й1™) соответствуют векторы ¿х £ Та;(5) и ¿у & ТУ{Е).

Экстремумы отношения ——— по всему называются главными

ауаи

условными радиусами кривизны поверхности Б относительно поверхности Е в точке х с внешней нормалью и. Далее будем их называть условными радиусами кривизны поверхности 5 относительно поверхности Е и обозначать Иг,..., Яп. Тогда на единичной сфере Бп возникает функция ¡р(р) = ..., Дп(г^)), где а¡¡. -к-я элементарная симметрическая

функция.

Для к-й элементарной симметрической функции условных радиусов кривизны имеет место соотношение

дх^дх^ 13

1/д: Б-+£!",иЕ: Е->Зп.

Тем самым определено отображение

иЕ1 ог/5: 5 Е,

СкпО(Нц, • • •, Яу, Я°, ..., Я», 6ц) = П(П«

п

"----! Я?-, 6ц)(Тк,

к

(1)

При этом

Е

б

где (Ю,е~ элемент площади поверхности Е.

Следовательно, проблема существования замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией ее условных радиусов кривизны сводится к вопросу о разрешимости относительно функции Н уравнения

CknD(H{j,..., Hih Я°, ...,//£, Sij) = D{Hl..., Hl ¿ц)¥>,

v V ' 4 V '

к п

(i,j = 1,...,п + 1). (3)

при выполнении необходимого условия

J v<p{v)dttE = 0, (4)

Е

Разрешимость уравнения (3) доказывается методом продолжения по параметру. Для этого в уравнение (3) вместо функции ip вводится функция tip+ (1 — t)C* и доказывается, что полученное уравнение

Щ,..., Я°, Sij) = D{Hl..., Hl + (1 - t)Ck),

к n

(i,j = l,...,n + l). (5)

разрешимо при всех t € [0,1]. Необходимое условие (4) для функции tip+ (1 — t)Ck выполнено. Для доказательства разрешимости уравнения (5) достаточно доказать два предложения.

1. Множество тех t из отрезка [0,1] , при которых уравнение (5) разрешимо, открыто в [0,1].

2. Множество тех t из отрезка [0,1] , при которых уравнение (5) разрешимо, замкнуто в [0,1].

Доказательство предложения (1) сводится к исследованию соответствующего уравнения в вариациях и проводится стандартными методами как, например, в книге А.В Погорелова 4. Наиболее трудным является доказательство второго предложения. Здесь требуется наличие априорной С2'а - оценки решения. Известно (там же), что С2 - оценка решения может быть получена при наличии оценки сверху на радиус нормальной кривизны искомой поверхности.

4Погорелов A.B. Многомерная проблема Минковского. - М.: Наука, 1975. - 96 с.

Пусть - максимальные и минимальные ради-

усы нормальной кривизны в точках с внешней нормалью и для поверхностей Е и 5 , соответственно. Пусть для всех и выполняются условия

(Re с

V

2 (п-к)

< —Г» (6)

V rE{v) ) ^ П - Г R(v) 2п+1

r(v) 2п — 1 10

Пусть 7(s) - геодезическая на поверхности Е, проходящая через точку 7(0) с внешней нормалью v в направлении т/. Пусть kn(s) - нормальная кривизна этой геодезической. Обозначим

в(г>) = max т{у) = тах &Щ,

v as v as*

где максимумы берутся по всем направлениям в точке 7(0). Введем функции

вд.еЖИ, «м - АгШМ + + У^И-г'М.

Пусть /Се - гауссова кривизна поверхности Е в точке с внешней нормалью v. Обозначим

„ . RnE-k+2Kf A(v) = -^тг^,

ГЕ

„, х 1 /2П3№;-2 „, ,ч/ , s62Ke

= к V—+2(п ~ fc)(n " к -

+ rn-k +

ГЕ

+--l2^1 + —^—

где все величины в правых частях считаются в точке 7(0) или и. Доказана следующая

Теорема 1. Пусть S и Е — регулярные замкнутые выпуклые, удовлетворяющие условиям (6) и (7) поверхности в евклидовом пространстве Еп+1. Пусть <р(у) = а/с ..—k-я элементарная

симметрическая функция условных радиусов кривизны поверхности 5 относительно Е. Тогда для радиусов нормальной кривизны поверхности 5 справедлива оценка

1 / \ Я < та* - [^(1 + В) - 4}, где <рк = -

а дифференцирование выполняется по длине дуги большого круга на единичной сфере в точке V в направлении ц. Максимум берется по всем точкам сферы и всем направлениям в этих точках.

Отметим, что если поверхность Е является единичной сферой, то А{р) = 1, В(и) = 0, Ке№) = 1 и полученная оценка совпадает с оценкой А. В. Погорелова для радиусов кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией ее главных нормальных радиусов кривизны.

Далее с помощью теоремы 7.2 из статьи Н.М. Ивочкиной 5 доказывается существование априорной С2'а - оценки на решение.

Для того, чтобы условие (7) выполнялось на каждом шаге при продвижении по параметру, функцию ¡р нужно подчинить некоторым условиям. В результате получаем теорему.

Теорема 2. Пусть максимальный и минимальный радиусы нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности Е в каждой точке удовлетворяют условию

/ДЛ2*"-4 2 п \гЕ) <2п-1'

Тогда для существования замкнутой выпуклой поверхности Б с данной к -ой элементарной симметрической функцией условных относительно Е радиусов кривизны а^Ях^),... ,Ё„(и)) = у>{у) достаточно выполнения условий

1.у и1р{и)<тЕ = о,

Е

( к \ / \ где ^ = + (1 - [0,1],

5Ивочкина Н.М. Решение задачи Дирихле для уравнений кривизны порядка т// Матем. сб. -1989. - Т. 180, № 7. - С. 867 - 887.

Л n-/t+1 '

в =

E

+

(fc - l)(n- k)4KE

krE

дифференцирование функции ip^ =

выполняется no длине

дуги большого круга на сфере Sn , исходящего из точки и в направлении г]. Максимум берется по всем точкам сферы и всем направлениям в этих точках.

Если поверхность Е принадлежит классу Ст+2'а(m ^ 2,0 < ао < 1), а функция <р(у) принадлежит классу Ст'а° , то поверхность S будет принадлежать классу Ст+2'а°.

Поверхность S единственна с точностью до параллельного переноса.

Глава 2. Кэлеровы многообразия с заданными смешанными

формами объема

Одна из эквивалентных формулировок проблемы Калаби такова (см., например, книгу А. Бессе 6 п.п. 2.101,11.33): пусть (M, g°) — компактное кэлерово многообразие комплексной размерности п. Любая ли 2/г-форма fi, индуцирующая ориентацию М, является формой объема некоторой кэлеровой метрики g на Ml При этом кэлеровы формы ц и ш метрик 5° и g должны быть когомологичны.

Проблема была решена С.Т. Яу 1. Ответ положителен при выполнении необходимого условия: объем формы ц должен равняться объему многообразия M относительно метрики g0.

6Бессе А. Многообразия Эйнштейна, т. 1, 2. - М.: Мир, 1990. - 704 с.

7Yau S.T. On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the complex Monge-Ampere equation, I// Comm. Pure Appl. Math. - 1978. - V. 31. - P. 339 - 411.

Начиная с работ Минковского в математике рассматриваются различные смешанные объекты: смешанные объемы, смешанные дискриминанты, смешанные поверхностные функции. Автор ввел в рассмотрение смешанные формы объема на кэлеровых многообразиях. Пусть д1,... ,дп - кэлеровы метрики на кэлеровом многообразии М, ..., соп - соответствующие кэлеровы формы. Так как формы четной степени при внешнем перемножении коммутируют, то wi А.. .Ашп/п\ является множителем при Ai Аг. •. Ап в выражении (Aiu>i +... + Апш„)"/п!. По аналогии со смешанными дискриминантами и смешанными объемами естественно называть Wi Л ... Л шп/п\ смешанной формой объема для метрик д1,..., дп или их кэлеровых форм ui,.. .,шп. В частности, ш"1 Л и/^"1 /п\ будем называть смешанной формой объема т -го порядка для метрик д1 и д2. Очевидно, локально wiA. ..Лш„/п! = гп D{gl,... ,gn)dzl Л... Л dzn Л dz1 Л.. .Л dzn, где D обозначает смешанный дискриминант форм д1,..., дп.

Сформулируем

обобщение проблемы Калаби.Пусть (М,д°) — компактное кэле-рово многообразие комплексной размерности п с заданной кэлеровой метрикой д°. Любая ли 2п - форма ¡1, индуцирующая ориентацию на М, является смешанной формой объема т - го порядка некоторой кэлеровой метрики g и данной метрики д° ? Кэлеровы формы метрик д и д° также должны быть когомологичны.

Форму ц можно представить в виде fj, = eFwo, а метрику g можно искать в виде дар = д^ + <р,ар, где <р - глобально определенная на М д2у

функция, ш,пя = ———Тогда рассматриваемая нами задача сводится к

^ OZaOZР

вопросу о разрешимости комплексной версии уравнения Монжа-Ампера то -го порядка на кэлеровом многообразии:

D{glp + ,• • ■>9°сф + <Р,ф9%,• • •,9%) = det(fl^). (1)

т

Из когомологичности кэлеровых форм метрик g и д() получаем необходимое условие разрешимости уравнения (1)

Volso(Ai) = J eFdVgo, (2)

м

где Yolgo{M) - объем многообразия М относительно метрики д°, dVgо -форма объема метрики д°. Для случая т = п (проблема Калаби) условие (2) является и достаточным. Для т <п это уже не так. Здесь также

как при обобщении проблемы Минковского нужно ввести условия, гарантирующие эллиптичнось решаемого уравнения.

Разрешимость уравнения (1) доказывается методом продолжения по параметру. Чтобы применить этот метод, доказываем существование априорных С2,а - оценок решения уравнения (1). Сначала рассматривается случай, когда голоморфная секционная кривизна многообразия М положительна.

Пусть голоморфная секционная кривизна К (а) многообразия М всюду удовлетворяет условиям

Здесь г £ М, Г] — такое векторное поле типа (1,0) в окрестности точки г, что для комплексно сопряженного поля т) скалярное произведение (т], г]) = 1. Максимум берется по всем точкам г £ М и всем таким векторным полям Г].

Тогда имеет место

Теорема 1. Пусть компактное кэлерово многообразие М удовлетворяет условям (3). Пусть ¡р — решение уравнения (1) при т > 1. Тогда при выполнении условий (4) <р допускает оценку в метрике С2'00, (0 < ао < а), зависящую только от М , заданной метрики д°, функции F и ее производных до второго порядка.

С помощью этой теоремы доказывается следующая теорема существования.

Теорема 2. Пусть М - компактное кэлерово многообразие с кэлеро-вой формой ио и с голоморфной секционной кривизной К(сг), удовлетворяющей условиям 1 — £ ^ К{а) ^ 1,е < 1/2. Чтобы форма ц = ери>о являлась формой смешанного объема т - го порядка (1 < т < п) для единственной из того же класса, что и кэлеровой формы и и формы шо, достаточно выполнения условий

1 - е < К{а) < 1, £ < 1/2. Обозначим фт = . Пусть выполнено условие

(3)

(^ + е)^т-т{'Фгп)^<фт{х),Ух€М, (4)

м

771 \ 1/"» 2

М

< -4>ш{х)Ух е М,

где "фтг = + 1 — ¿)1/т,£ £ [0,1] , Т] — векторное поле типа (1,0) в окрестности точки г такое, что для г? — комплексно сопряженного векторного поля скалярное произведение (77,77) = 1. Максимум берется по всем точкам г £ М и всем таким векторным полям ту. Если а>о, Е £ Ск'а(М),к ^ 2,0 < а < 1, то и £ Ск'а, если ш0 и F вещественно аналитические, то форма ш вещественно аналитическая.

При т = 1 уравнение (1) линейное. В этом случае нам достаточно найти условия положительной определенности искомой метрики д. Пусть для всех точек г & М и всех полей г/ выполняется условие

(\-е)ер-щ(ер)> 0, (5)

где ту, ту означают то же, что и в теореме 2.

Тогда имеет место следующая

Теорема 3. Пусть компактное кэлерово многообразие М удовлетворяет условиям (3). Если ¡р — решение уравнения (1) при т = 1 , то при выполнении условия (5) метрика д с координатами дар = •^д+'Ла/З положительно определенная.

С помощью этой теоремы доказываем следующую теорему существования

Теорема 4. Пусть М - компактное кэлерово многообразие с кэле-ровой формой и/о и с голоморфной секционной кривизной К(ст), удовлетворяющей условиям 1 — е ^ К (а) ^ 1, £ < 1/2. Чтобы форма (1 = ершо являлась формой смешанного объема первого порядка для единственной из того же класса,что и шо кэлеровой формы ш и формы и)о, достаточно выполнения условий

1)! ери)0 = /.о, м м

2){\-е)ер-цЦ(ер)>Ъ,

где г] — векторное поле типа (1,0) в окрестности точки 2 такое, что для ту — комплексно сопряженного векторного поля скалярное произведение (ту, ту) = 1. Неравенство должно выполняться для всех точек г € М и всех таких векторных полей ту. Если Е € Ск'а(М), к ^ 2,0 < а < 1, то ш £ Ск,а, если и Е вещественно аналитические, то форма и! вещественно аналитическая.

Далее рассматриваем случай, когда многообразие М плоское. Так как любое плоское компактное кэлерово многообразие голоморфно накрывается комплексным тором , то без ограничения общности можно считать, что М комплексный тор, а метрика д° евклидова.

Сначала находим достаточные условия для существования нужных априорных оценок решения. Эти условия сформулированы в следующей теореме.

Теорема 5. Пусть М,д° — п-мерный плоский комплексный тор. Пусть <р - решение уравнения (1) при 1 < т < п. Тогда, если

1п

„ 1 / \ 1/т

П — 1 ' " 4 '

т 71 V 71 — 771

тах < тах \ --тах-4- > <

м V тп ' м тп — 11 8пЬ2У + Зт-2- 1/тп'

где Ь диаметр, а V объем М, то <р допускает оценку в метрике С2'а°, (0 < ао < о), зависящую только от М , функции Р и ее производных до второго порядка.

После этого методом продолжения по параметру доказывается Теорема 6. Пусть М — п-мерный плоский комплексный тор с кэле-ровой формой и>о. Чтобы форма р. = ег'и>о являлась формой смешанного объема т-го порядка (1 < т < п) для единственной из того же класса, что и и;о кэлеровой формы ш и формы Шц, достаточно выполнения условий

1) /е% = /о/0, м м

1п

71- 1 ' - \1/и

п \п — т

2) £*<

ЫЬ2У + Зт - 2 — 1/т'

/|Д 111^ + 1-01 + 1-01

где е* = тах < тах \ -, тах-> ,

1 м V тп м т-1 ]

4 € [0,1], Ь - диаметр, V - объем многообразия М. Если и>о, Р £ Ск,а(М), к ^ 2, 0 < а < 1, то ш € Ск,а, если и>о и ^ вещественно аналитические, то форма и вещественно аналитическая.

Глава 3. Уравнения несобственной выпуклой аффинной

сферы

В 1907 году Г. Чичейка рассмотрел очень интересный класс поверхностей — аффинные сферы. Аффинные сферы изучали С. Т. Яу, Ш. Ш. Чжень, Е. Калаби, А. В. Погорелов. В частности, так называемая несобственная выпуклая аффинная сфера в евклидовом пространстве Еп+1 это полная выпуклая поверхность, которая может быть задана уравнеием

хп+1 = г(хг, ■ ■ ■ ,хп), при = 1.

В 1954 году К. Ёргенс доказал, что при п = 2 всякая несобственная выпуклая аффинная сфера является эллиптическим параболоидом. В 1958 году Е. Калаби распространил этот результат на п = 3,4,5, а А. В. Погорелов в 1971 году на все п.

Уравнение с!е1; (.2^) = 1 можно записать в виде сгп = 1, где <т„ = А1•• • Ап ~~ произведение собственных значений матрицы гессиана (гг]). Естественно поставить вопрос: что можно сказать о полиых выпуклых решениях г(х1,.. - ,хп) "возмущенного" уравнения

<р(о-1,...,сг„_1),

(1)

где <ти.

тп — элементарные симметрические функции от собственных значений Ах,..., Ап матрицы (г^), то есть ак есть сумма всех главных миноров к - го порядка матрицы (2^), а <р — регулярная функция положительных переменных.

В §§1-5 третьей главы доказывается

Теорема 1. Пусть функция ..., а„-{) задана в области

> Сп(1 —е)к1п, к = 1,..., п—1; принадлежит классу С3'", 0 < а < 1, и удовлетворяет в этой области условиям

д<р

даг д2<р

Сг

ди^до^ д3<р

<Р

да ¡да, да к

<Р

(2)

(3)

(4)

(5)

где г, j, fc = 1,... ,n — 1, а e < --ттг;-rr—7. Тогда всякое полное

1210 (п — 1 у(п + 3 )пь

выпуклое решение z(xl,... ,хп) уравнения (1) является квадратичным

полиномом.

Доказательство этой теоремы состоит из следующих этапов. В §2 доказывается существование априорной С2 - оценки выпуклого решения уравнения (1) в ограниченной области.

В §3 из геометрических соображений доказывается, что можно получить глобальные оценки сверху для вторых производных выпуклого решения уравнения (1). Тогда, если выпуклое решение уравнения (1) полное, то оно задано на всей плоскости xn+l = 0.

В §4 на плоскости xn+l = 0 вводится метрика с контравариантны-

d{an-ip)

ми координатами метрического тензора gJ = —--. Из оценок §3

OZij

получается, что эта метрика положительно определенная и полная. Из третьих производных z^k функции 2 строится аффинный инвариант Р = galgbjgckzl]kzabc. Для доказательства теоремы 1 достаточно доказать, что Р = 0.

Доказано, что в области где Р ф- 0, выполняется неравенство

Д (б)

с любым S > 0. Здесь Д - оператор Лапласа-Бельтрами относительно введенной метрики, модуль градиента вычисляется для той же метрики.

А = л - (72п1 + 1167п6 + 815п2)£! - 230,5п6е2,

4 п\п — 1]

£1 = (п- е2 = (п - 1)2£. В §5 исследуется неравенство (6). Пусть выполнено условие.

_1_

£ 1210(n- 1)2(п + 3)п6' Тогда, если существует точка О, в которой Р(0) > 0, то на конечном расстоянии от нее найдется точка 0\, для которой lim Р(х) = +оо. Это

x->Ot

противоречит полноте введенной метрики. Теорема 1 доказана.

В §6 рассматривается еще один аналог для уравнения несобственной выпуклой аффинной сферы. Возникает естественный вопрос: что можно сказать о полных выпуклых решениях уравнения

spurm(zy) = 1, (7)

где в левой части стоит сумма всех главных миноров ш-го порядка (2 < т < п) матрицы из вторых производных функции г(х1..... хп)? Здесь нельзя, конечно, надеяться доказать, что графиком решения всегда будет эллиптический параболоид. Например, уравнение цилиндра

г = -----Ьят2) является решением уравнения (7). Поэтому на функцию г(х1,..., хп) накладываются дополнительные ограничения. Обозначим через \(х),..., \п(х) собственные значения матрицы гессиана (г^) в точке х. Пусть существует такая константа е, что для всех точек х и всех г, у выполняется условие

+ е (8)

Обозначим

Мп, ттг, е) = - с2((Х + еГ - 1) + е)бт +

+20(п - 1)гг5(1 4- е)7т~2 +—п6(п - 1)(1 + е)12^1^ -5с2(п - 1)3(т - 2)п5(1 + е)8т-3((1 + е)Ът~х - 1)

{т — 1)(п — 2)

О)

Ст-2 п-2

ГД6С" (С-11)2'

По такой же схеме, что и теорема 1 доказывается Теорема 3.Всякое полное, выпуклое решение уравнения (7), удовлетворяющее условию (8) с таким е, что А^п, т, е) > 0, ^е < ^^-1

является квадратичным полиномол1.

Публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ

1. Кокарев В.Н. Условно минимальные поверхности// Сиб. мат. ж. - 1985. - Т. 26, № 2. - С. 220.

2. Кокарев В.Н. Нормальный образ полной условно минимальной поверхности// Матем. сб. - 1992. - Т. 183, № 2 - С. 112 - 120.

3. Кокарев В.Н. О полных выпуклых решениях уравнения кригт(гу) = 1// Математическая физика, анализ, геометрия. - 1996. - Т. 3, № 1/2. -С. 102 - 117.

4. Кокарев В.Н. Об уравнении несобственной аффинной сферы: обобщение теоремы Ёргенса// Матем. сб. , 2003. - Т. 194, № 11. - С. 65 - 80.

5. Kokarev V.N. On Complete Convex Solutions of Equations Similar to the Improper Affine Sphere Equation// J. of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2007. - V. 3, № 4. - P. 448 - 467.

6. Кокарев В.Н. Точная оценка радиуса нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности// Вестник Самарского государственного университета. - Самара: 2009. - Т. 68, № 2. - С. 33 - 50.

7. Кокарев В.Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на торе// Вестник Самарского государственного университета. - Самара: 2009. - Т. 74, № 8. - С. 35 - 43.

8. Кокарев В.Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Известия РАН. Серия математическая, 2010. - Т. 74, № 3. - С. 65 -78.

Статьи в прочих изданиях

9. Кокарев В.Н. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Украинский геометрический сборник. - 1980. - Вып. 23. - С. 65 - 74.

10. Кокарев В.Н. Априорная оценка радиуса нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией условных радиусов кривизны// Восьмая Всесоюзная научная конференция по современным проблемам дифференциальной геометрии. Тезисы докладов. - Одесса: 1984. - С. 74.

11. Кокарев В.Н. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией условных радиусов кривизны// Украинский геометрический сборник. - 1986. - Вып. 29. - С. 82 - 92.

12. Кокарев В.Н. Об обобщении проблемы Минковского// Всесоюзная научная конференция "Классические и неклассические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения. Тезисы докладов. - Куйбышев: 1987. - С. 81 - 82.

13. Кокарев В.Н. Условная площадь и условно минимальные поверхности// Всесоюзная конференция по геометрии "в целом." Тезисы докладов. - Новосибирск: 1987. - С. 61.

14. Кокарев В.Н. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны// Исследования по теории поверхностей в многообразиях знакопостоянной кривизны. - Ленинград: 1987. -С. 28 - 37.

15. Кокарев В.Н. Оценки главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности по функциям ее условных радиусов кривизны// Украинский геометрический сборник. - 1988. - Вып. 31. - С. 62 - 73.

16. Кокарев В.Н. Замкнутые выпуклые поверхности с заданными функциями условных радиусов кривизны// IX Всесоюзная геометрическая конференция. Тезисы докладов. - Кишинев: 1988. - С. 156 - 157.

17. Кокарев В.Н. Обобщение проблемы Калаби// Международный геометрический семинар имени Н. И. Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей". Тезисы докладов. - Казань: 1997. - С. 68.

18. Кокарев В.Н. Обобщение теоремы Калаби-Погорелова// Труды участников Международной школы - семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. - Ростов-на-Дону: 2002. - С. 33 - 34.

19. Кокарев В.Н. Комплексное уравнение Монжа-Ампера в Сг"// Геометрия "в целом". Преподавание геометрии в вузе и школе. Материалы Всерос. науч.-метод. конф. - Великий Новгород, 2004. - С. 45 - 46.

20. Кокарев В.Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение Монжа-Ампера на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Международная конференция "Геометрия в Одессе - 2007". Тезисы докладов. - Одесса: 2007. - С. 63 - 64.

21. Кокарев В.Н. Нелинейные эллиптические уравнения на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Труды участников Международной школы - семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. - Ростов-на-Дону: 2008. - С. 227 - 228.

22. Кокарев В.Н. Комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на торе/ / Международная конференция "Геометрия в Одессе - 2009". Тезисы докладов. - Одесса: 2009. - С. 50.

Подписано в печать 18 мая 2010 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Объем 1,25 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ №/857 г. Самара, ул. Академика Павлова, 1. Отпечатано УОП СамГУ

Введение

Глава 1. Замкнутые выпуклые поверхности с заданными функциями условных радиусов кривизны.

§1. Основные понятия и уравнения

§2. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны

§3. Существование замкнутой выпуклой поверхности с заданной элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны

Глава 2. Кэлеровы многообразия с заданными смешанными формами объема.

§1. Обобщение проблемы Калаби

§2. Необходимое условие разрешимости уравнения (1)

§3. Единственность решения уравнения (1)

§4. Априорные оценки решения уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии положительной кривизны

§5. Условие положительной определенности искомой метрики при т = 1 для кэлеровых многообразий положительной кривизны.

§6. Доказательство разрешимости уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии положительной кривизны

§7. Априорные оценки решения уравнения (1) на компактном кэлеровом многообразии нулевой кривизны

§8. Доказательство разрешимости уравнения (1) на торе

Глава 3. Уравнения несобственной выпуклой аффинной сферы

§1. Обобщение уравнения (1)

§2. С2 - оценки решения уравнения (7) в ограниченной области

§3. Глобальная оценка для вторых производных решения уравнения (7)

§4. Дифференциальное неравенство для решения уравнения (7)

§5. Доказательство теоремы о полных выпуклых решениях уравнения (7)

§6. О полных выпуклых решениях уравнения

8ригт(гу) =

Геометрия — естественная область возникновения и применения уравнений Монжа-Ампера: уравнений, содержащих действительный опера

Л ! / З2"11 \ ТГ тор Монжа-Ампера det( .—г] . К таким уравнениям приводят, наохгохЭ пример, задачи о нахождении выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной (проблема Минковского), с заданной метрикой (проблема Вейля), а также задачи, связанные с классификацией аффинных сфер. Ряд задач в геометрии приводит к комплексным версиям уравнения Монжа-Ампера: уравнениям, содержащим комплексный оператор д2и

Монжа-Ампера ск^^ Такое уравнение возникает при решении проблемы Калаби.

Заметим, что указанные проблемы были поставлены не локально, а в рамках геометрии "в целом". Это позволило при их исследовании сочетать аналитические и геометрические методы. Здесь были получены классические результаты Г. Минковским, Г. Вейлем, Г. Леви, А. Д. Александровым, А. В. Погореловым, Е. Калаби, Ш. Ш. Чженем, С. Т. Яу и многими другими.

Г. Минковский доказал существование и единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной гауссовой кривизной [18]. Решение Г. Минковского не содержит информации о регулярности этой поверхности и поэтому называется обобщенным решением. А. Д. Александров доказал единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной к -й элементарной симметрической функцией главных радиусов нормальной кривизны [26]. А. В. Погорелов дал регулярное решение проблемы Минковского и ее обобщения для к -й элементарной симметрической функции главных радиусов нормальной кривизны [18]. С. Т. Яу доказал существование кэлеровой метрики на компактном кэлеровом многообразии с заданной формой Риччи [52]. В работах К. Ёргенса, Е. Калаби, А. В. Погорелова было доказано, что всякая несобственная выпуклая аффинная сфера является эллиптическим параболоидом [50, 42, 18].

Помимо уравнений, содержащих действительный или комплексный операторы Монжа-Ампера, большой интерес представляют также уравнения, содержащие смешанный дискриминант О(II,., С/, V,., V) от матрицы Гессе и = (. .) неизвестной функции и и какой-нибудь дхгдхэ другой матрицы V либо известной, либо образованной из производных функции и первого порядка. Мы будем оператор И(II,., £7, V,., V) называть оператором Монжа-Ампера т -го порядка. Естественным образом уравнения, содержащие такие операторы также возникают в геометрии: в задачах, связанных с восстановлением поверхностей по т -м элементарным симметрическим функциям их главных кривизн, радиусов кривизны или условных радиусов кривизны [35, 18, 61].

В предлагаемой работе рассмотрены геометрические задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим действительный или комплексный оператор Монжа-Ампера т - го порядка.

Диссертация разбита на три главы. Первая глава посвящена обобщению многомерной проблемы Минковского в рамках "относительной дифференциальной геометрии". Пусть 5 и Е - регулярные замкнутые выпуклые поверхности в евклидовом пространстве Еп+1. Минковский ввел понятие главных условных радиусов кривизны Я\(у),., Ёп^) поверхности относительно поверхности Е (условной сферы) в точке с внешней нормалью V. Тогда возникает функция от единичной внешней нормали (р(р) = 1(^)4 ■ • •, где - к- я элементарная симметрическая функция. В работе рассматривается вопрос о существовании т д2и замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией (р{у). Найдены достаточные условия существования замкнутой выпуклой поверхности с заданной к -й элементарной симметрической функцией условных радиусов кривизны. Отметим, что полученная в процессе доказательства априорная оценка на радиус нормальной кривизны искомой поверхности в случае, когда условная сфера является обычной сферой £п , превращается в известную оценку А. В. Погорелова.

Во второй главе диссертации рассматривается обобщение проблемы Калаби. Автор вводит понятие смешанной формы объема на кэлеровом многообразии и ставит задачу о нахождении кэлеровой метрики по заданной смешанной форме объема. Эта задача является обобщением проблемы Калаби. Она сводится к вопросу о разрешимости на кэлеровом многообразии уравнения, содержащего комплексный оператор Монжа-Ампера т -го порядка. В случае, когда компактное кэлерово многообразие имеет положительную или нулевую голоморфную секционную кривизну, получены достаточные условия разрешимости этого уравнения.

Третья глава посвящена вопросу о характеризации несобственных выпуклых аффинных сфер. В подходящей системе координат несобственная выпуклая аффинная сфера в Еп+1 задается уравнением хп+1 — . ,хп)> где с1е1;(0у) = 1. Естественным является вопрос о полных выпуклых решениях уравнения ап — <р(сг1,. ■, сг/г1), где сг^ - к -я элементарная симметрическая функция от собственных значений гессиана (%). Доказывается, что при достаточной близости функции <р к тождественно единичной всякое решение последнего уравнения является квадратичным полиномом. В этой же главе изучается уравнение ат — 1, (т < тг). Доказывается, что при некоторых условиях на решение оно также является квадратичным полиномом.

Каждая из рассмотренных в диссертации задач приводит к некоторому уравнению Монжа-Ампера т -го порядка. Центральным моментом при рассмотрении этих задач является получение априорной оценки решения соответствующего уравнения. При нахождении априорных оценок применяются наглядные геометрические идеи и методы. Эти методы основаны на системе понятий, идей и результатов геометриии "в целом", развитых в работах А. Д. Александрова и А. В. Погорелова.

Каждая глава работы имеет свою нумерацию параграфов, формул и теорем.

1. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях. 1.- М.: ИЛ: 1962. - 205 с.

2. Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию "в целом". М.: Наука, 1973. - 440 с.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. - 352 с.

4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. - 352 с.

5. Бессе А. Многообразия Эйнштейна, т. 1, 2. М.: Мир, 1990. - 704 с.

6. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. М.: Фазис, 2002. -224 с.

7. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии, т. 1, 2. М.: Мир, 1982. - 864 с.

8. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. II, М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - 407 с.

9. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т. II. М.: Наука, 1981. - 416 с.

10. Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М.: Наука, 1985. - 376 с.

11. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1969. - 576 с.

12. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971. - 288 с.

13. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

14. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. - 336 с.

15. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970. - 400 с.

16. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957. - 256 с.

17. Погорелов A.B. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969. - 760 с.

18. Погорелов A.B. Многомерная проблема Минковского. М.: Наука, 1975. - 96 с.

19. Погорелов A.B. Многомерное уравнение Монжа-Ампера det(zij) = <p(zi,., zn, z, xi,., xn). M.: Наука, 1988. - 96 с.

20. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987. - 736 с.

21. Blaschke W. Vorlesungen über Differentialgeometrie, II, Affine Differentialgeometrie. Berlin : Springer-Verlag, 1923. - 257 s.Статьи

22. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Расширение некоторых понятий теории выпуклых тел// Матем. сб. 1937. -Т. 2, № 5. - С. 947 - 972.

23. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Новые неравенства между смешанными объемами и их приложения// Матем. сб. 1937.- Т. 2, № 6. - С. 1205 - 1238.

24. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Распространение двух теорем Минковского о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела// Матем. сб. 1938. - Т. 3, № 1. -С. 27 - 46.

25. Александров А.Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы// Матем. сб. 1938. - Т. 3, № 2. - С. 227 - 251.

26. Александров А.Д. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". I// Вестн. ЛГУ. 1956. - № 19. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 4. - С. 5 - 17.

27. Александров А.Д. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". II// Вестн. ЛГУ. 1957. - № 7. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 2. - С. 15 - 44.

28. Александров А.Д. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". III// Вести. ЛГУ. 1958. - № 7. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 2. - С. 14 - 26.

29. Александров А.Д., Волков Ю.А. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". IV// Вестн. ЛГУ. 1958. - № 13. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 3. - С. 27 - 34.

30. Александров А.Д. Теоремы единственности для поверхностей "в целом". V// Вестн. ЛГУ. 1958. - № 19. - Сер. математики, механики и астрономии. - Вып. 4. - С. 5 - 8.

31. Бакельман И.Я., Понарядова P.C. Замкнутые поверхности с заданной суммой условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия и топология. -Ленинград: ЛГПИ, 1974. Вып. 2. - С. 22 - 34.

32. Бакельман И.Я., Сапожников Б.Д. Существование опорной функции замкнутой гиперповерхности с заданной суммой условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1977. - Вып. 6. -С. 4 - 14.

33. Dubnow J. Uber Tensoren mit nichtskalaren Komponenten// Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1933. - Т. 1. -С. 196 - 212.

34. Загускин В.Л. Об описанных и вписанных эллипсоидах экстремального объема// УМН. 1958. - Т. 13, № 6. - С. 89 - 92.

35. Ивочкииа Н.М. Решение задачи Дирихле для уравнений кривизны порядка тЦ Матем. сб. 1989. - Т. 180, № 7. - С. 867 - 887.

36. Кокарев В.Н. Оценка радиуса кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еа по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1975. - Вып. 3. - С. 73 - 85.

37. Кокарев В.Н. Оценка радиуса кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1975. - Вып. 4. - С. 83 - 94.

38. Кокарев В.Н. Существование замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 с заданной к -й элементарной симметрической функцией ее условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия. Ленинград: ЛГПИ, 1976. -Вып. 5. - С. 60 - 68.

39. Кордес Г.О. О первой краевой задаче для квазилинейных дифференциальных уравнений второго порядка более чем с двумя переменными// Сб. переводов "Математика". 1959. - Т. 3, № 2.

40. Понарядова P.C. Условие выпуклости замкнутой поверхности с заданной суммой главных условных радиусов кривизны// Сб. Геометрия.- Ленинград: ЛГПИ, 1976. Вып. 5. - С. 101 - 105.

41. Сапожников В.Д. Поверхности с заданной суммой условных радиусов кривизны в Е3 // Современный анализ и геометрия. Сб. трудов ЛГПИ.- 1972.

42. Calabi Е. Improper affine hyperspheres of convex type and a generalizations of a theorem by K. Jörgens// Michigan Math. J. 1958. - V. 5, № 2. -P. 105 - 126.

43. Calabi E. An extension of E. Hopf's maximum principle with an applicationto Riemannian geometry// Duce Math. J. 1958. - V. 25. - P. 45 - 56. •

44. Calabi E. Complete affine hyperspheres I// Istituto Nazionale di Alta Matematica, Symposia Mathematica. 1972. - V. 10. - P. 19 - 38.

45. Caffarelli L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equatons. III. Functions of the eigenvalues of Hessian// Acta Math. 1985. - V. 155, № 3, 4. - P. 261 - 304.

46. Cheng S.Y. On the real and complex Monge-Ampere Equation and its geometric applications// Proc. Int. Congr. Math. Warszawa, 1983. -P. 533 - 539.

47. Cheng S.Y., Yau S.T. On the Regularity of the Monge-Ampere Equation det(d2/dxidxj) = F(x,u) //Comm. on pure Appl. Math. 1977. - V. 30. -P. 41 - 68.

48. Cheng S.Y., Yau S.T. The real Monge-Ampere equation and affine flat structures //Proceedings of the 1980 Beijing Sumposium on Differential Geometry and Differ. Equations. Beijing, New York: 1982. - P. 339 - 370.

49. Cheng S.Y., Yau S.T. Complete Affine Hypersurfaces. Part I. The Completeness of Affine Metrics // Comm. on pure Appl. Math. 1986. -V. 39. - P. 839 - 866.

50. Jôrgens K. Uber die Lôsungen der Differentialgleichung rt — s2 = 1 // Math. Ann. 1954. - V. 127. - P. 130 - 134.

51. Tzitzeika G. Sur one nouvelle classe de surfaces// Comtes Rendus Acad. S ci. Paris. 1907. - V. 145. - P. 132 - 133; 1908. - V. 146. - P. 165 - 166.

52. Yau S.T. On the Ricci curvature of a compact Kàhler manifold and the complex Monge-Ampere equation, I// Comm. Pure Appl. Math. 1978. -V. 31. - P. 339 - 411.Публикации автора по теме диссертации Статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ

53. Кокарев В.Н. Условно минимальные поверхности// Сиб. мат. ж. -1985. Т. 26, № 2. - С. 220.

54. Кокарев В.Н. Нормальный образ полной условно минимальной поверхности// Матем. сб. 1992. - Т. 183, № 2 - С. 112 - 120.

55. Кокарев В.Н. О полных выпуклых решениях уравнения spur= 1// Математическая физика, анализ, геометрия. 1996. - Т. 3, № 1/2. -С. 102 - 117.

56. Кокарев В.Н. Об уравнении несобственной аффинной сферы: обобщение теоремы Ёргенса// Матем. сб. , 2003. Т. 194, № 11. - С. 65 - 80.

57. Kokarev V.N. On Complete Convex Solutions of Equations Similar to the Improper Affine Sphere Equation// J. of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2007. - V. 3, № 4. - P. 448 - 467.

58. Кокарев В.Н. Точная оценка радиуса нормальной кривизны замкнутой выпуклой поверхности// Вестник Самарского государственного университета. Самара: 2009. - Т. 68, № 2. - С. 33 - 50.

59. Кокарев В.Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на торе// Вестник Самарского государственного университета. Самара: 2009. - Т. 74, № 8. - С. 35 - 43.

60. Кокарев В.Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Известия РАН. Серия математическая, 2010. Т. 74, № 3. -С. 65 -78.Статьи в прочих изданиях

61. Кокарев В.Н. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности в Еп+1 по второй элементарной симметрической функции ее условных радиусов кривизны// Украинский геометрический сборник. 1980. - Вып. 23. - С. 65 - 74.

62. Кокарев В.Н. Оценка главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией условных радиусов кривизны// Украинский геометрический сборник. 1986. - Вып. 29. - С. 82 - 92.

63. Кокарев В.Н. Условная площадь и условно минимальные поверхности// Всесоюзная конференция по геометрии "в целом." Тезисы докладов. Новосибирск: 1987. - С. 61.

64. Кокарев В.Н. Оценки главных радиусов кривизны замкнутой выпуклой гиперповерхности по функциям ее условных радиусов кривизны//Украинский геометрический сборник. 1988. - Вып. 31. - С. 62 - 73.

65. Кокарев В.Н. Замкнутые выпуклые поверхности с заданными функциями условных радиусов кривизны// IX Всесоюзная геометрическая конференция. Тезисы докладов. Кишинев: 1988. - С. 156 - 157.

66. Кокарев В.Н. Обобщение проблемы Калаби// Международный геометрический семинар имени Н. И. Лобачевского "Современная геометрия и теория физических полей". Тезисы докладов. Казань: 1997. -С. 68.

67. Кокарев В.Н. Обобщение теоремы Калаби-Погорелова// Труды участников Международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. - Ростов-на-Дону: 2002. - С. 33 - 34.

68. Кокарев В.Н. Комплексное уравнение Монжа-Ампера в <Сп// Геометрия "в целом". Преподавание геометрии в вузе и школе. Материалы Всерос. науч.-метод. конф. Великий Новгород, 2004. - С. 45 - 46.

69. Кокарев В.Н. Смешанные формы объема и комплексное уравнение Монжа-Ампера на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Международная конференция "Геометрия в Одессе 2007". Тезисы докладов. - Одесса: 2007. - С. 63 - 64.

70. Кокарев В.Н. Нелинейные эллиптические уравнения на кэлеровых многообразиях положительной кривизны// Труды участников Международной школы семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. - Ростов-на-Дону: 2008. - С. 227 - 228.

71. Кокарев В.Н. Комплексное уравнение типа Монжа-Ампера на торе// Международная конференция "Геометрия в Одессе 2009". Тезисы докладов. - Одесса: 2009. - С. 50.