Гладкая классификация векторных полей и их деформации на окружности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

___ . .,—1П11-:-

2-2 На правах рукописи

БЫКОВ Николай Алексеевич

ГЛАДКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ИХ ДЕФОРМАЦИИ НА ОКРУЖНОСТИ

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени -кандидата физико-математических наук

ХАРЬКОВ 1993

Работа выполнена в Физико-техническом институте низких температур им. Б.Е. Веркина АН Украины , г. Харьков

Научный руководитель - ТКАЧЕНКО Вадим Александрович,

доктор физ.-мат. наук, профессор;

Официальные оппоненты: ЧУЕШОВ Игорь Дмитриевич,

доктор физ.-мат. наук, профессор;

ГОМОЗОВ Евгений Павлович, кандидат физ. -мат. наук, доцент;

Ведущая организация - Ростовский государственный

университет;

Защита диссертации состоится " " марта 1993 года в 15 — часов на заседании специализированого совета К 053. 06. 02. при Харьковском государственном университете С 310077, Харьков, пл. Независимости, 4, ауд. 6 ).

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке ХГУ.

Автореферат разослан " " февраля 1993 года.

/5>/ У

Ученый секретарь А'С' Сохин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи классификации и приведения к нормальной форме динамических систем, заданных на многообразии в целом, и в особенности на окружности, восходят к классическим результатам Пуанкаре и Данжуа, в которых дана полная топологическая классификация транзитивных диффеоморфизмов окружности. Интерес к задачам гладкой классификации возник позднее и особенно возрос с появлением теорем Колмогорова и Эрмана об аналитической и гладкой приводимости отображения к повороту.

Рассматривая диффеоморфизмы с невырожденными периодическими точками, В. И. Арнольд*, высказал гипотезу о том, что в отличие от транзитивных диффеоморфизмов, для которых число вращения является инвариантом отображения в целом, локальные инварианты -мультипликаторы особенностей - являются единственными инвариантами гладкой эквивалентности.

Эта гипотеза была неявно опровергнута уже в работе М. И. Брина**. В дальнейшем, функциональные модули гладкой классификации диффеоморфизмов окружности и прямой с п гиперболическими периодическими точками были получены Г. Р. Белиц* Арнольд В. И. ,Малые знаменатели 1,Изв. АН СССР,1961,25,3,. 21-37.

хх Брин М.И.,0 включении диффеоморфизма в поток,Изв. Вузов, 1972,123,8,19-25.

3

КИМ*.

Общая идея приводимости ограничений отображения или векторного поля в инвариантных областях к нормальным формам, имеющим жесткую стационарную группу, и возникновения отображений склейки на пересечении этих областей известна как явление Стокса в нелинейном анализе.

Эта идея была развита в ряде работ, в которых изучалась локальная эквивалентность вырожденных динамических систем.■ Аналитическая классификация ростков ГС г) = г + ао2г+ ... конформных отображений окрестности нуля в С1 привела к открытию С.М. Ворониным функциональных модулей. К этой же задаче сводится и классификация пар инволюций прямой. Обобщение полученных результатов на случай ростков вида Иг) = г + аогк+ ... получено Экалем. На этом же пути были обнаружены функциональные инварианты локальных классов гладкой эквивалентности ростков векторных полей, имеющих пару чисто мнимых собственных значений линейного приближения в особой точке.

В отличие от диффеоморфизмов окружности, для которых явное вычисление функциональных инвариантов крайне затруднительно, возникла задача явного нахождения инварианта для векторных полей . с произвольным набором особенностей конечной коразмерности, который имеет в этом случае естественную интегральную природу.

После описания полной системы инвариантов гладкой эквивалентности векторных полей естественно возникает задача описания их гладких деформаций в терминах полученных

* Белицкий Г.Р. .Гладкая классификация диффеоморфизмов с гиперболическими неподвижными точками, Сиб. мат. журн. ,1386,27,6,21-24. 4

инвариантов. Локальные нормальные формы семейств векторных полей изучались во многих работах: линейные нормальные формы А(<е)хс)/сЬс нерезонансных ростков получены Г.Р. Белицким, локальные нормальные формы и версальные деформации одномерных вырожденных бесконечногладких ростков были получены Ю. С. Ильяшенко и С. Ю. Яковенко, аналогичные результаты в аналитическом случае были доказаны В. П. Костовым*.

Цель работы состоит в получении полной классификации аналитических и бесконечногладких векторных полей на окружности, не имеющих особенностей коразмерности бесконечность, относительно действия группы преобразований окружности класса Сг , О < г < т, А , а также в построении гладких нормальных форм таких полей и их семейств.

Общая методика работы. В диссертации используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, нормальных форм и инвариантов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

а) явно описана полная система инвариантов гладкой сопряженности векторных полей на окружности;

б) построены полиномиальные нормальные формы для векторных полей на З1;

в) дана полная классификация гладких деформаций грубых векторных полей на $' , явно указаны их версальные деформации, и доказана теорема версальности-,

* Костов В. П..Версальные деформации дифференциальных форм степени а на прямой,Функц. анализ и его прил.,1984,18,4, 81-82.

г) доказано существование конечнопараметрической гладко версальной деформации для векторных полей на $';

д) построены аналитические нормальные формы семейств для некоторых, классов векторных полей.

Теоретическая и практическая ценность результатов.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в качественной теории дифференциальных уравнений и теории возмущений.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Всесоюзной школе по нелинейной динамике С Одесса 1990г. ) , Конференции молодых ученых МГУ С 1991г. ) , Конференциях молодых ученых ФТИНТ АН Украины С 1988,1989г. ) , были приняты в качестве тезисов Международного Конгресса "Особенности" С Лилль 1990г. ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-51.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав. Общий объем диссертации 126 страниц машинописного текста и два рисунка. Список литературы содержит 44 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В §1 определяются локально конечно-определенные векторные поля с особыми точками { г^ , являющиеся предметом изучения в данной работе, а также приводятся их локальные аналитические С Сш ) нормальные формы в окрестности особых точек .

В §2 рассматриваются векторные поля НС у) = ЬСуЗд'ду на

конечном или бесконечном инвариантном интервале I = СА , В) с П? ,

имеющие на I единственную особую точку- уо конечного порядка к. Таковыми являются сужения на интервалы С ъ^ 1 , ) , £ = 1,...,т рассматриваемых нами локально конечно-определенных полей на окружности.

Далее вводятся гладкие нормальные формы поля НС у) на I : топологическая, С0-нормальная форма ИтСхЭЗ/Зх , Сг-гладкая нормальная форма ^СхЭЗ/дх при 1 < г < к-1 и Сг-гладкие нормальные формы И^СхЭд/дх при к < г < оо,А , служащие обобщением локальных нормальных форм С +ук +

аугк"' )3/(3у, даваемых леммой Таккенса из §1 .

Далее, в основной лемме доказывается, что поле НС у) на интервале I в любом классе гладкости приводится к соответствующей нормальной форме Жх)<3/<3х на О?1 , причем всякий приводящий диффеоморфизм ГСу) однозначно задается неявным соотношением

Ж РСу) ) =

ЬСу) + /У ЩМ? + Ъ* , у е С у , В ) с 0

.СИ)

ЬСу) + /У ЩЭс!? + Ь- , у 6 С А , у 3 с 0

л

где - Жх) некоторая фиксированная первообразная функции

л

1/ Жх) , ЬСу.) - некоторая фиксированная первообразная главной части лорановского разложения функции 1 / Му) в точке уо ,

Иу) =1 / ЬСу) - ЬСу) , с - фиксированная постоянная из интервала

С А , у ) , Ь. , Ь 6 0?.

о + -

Класс гладкости сопряжения зависит не только от выбора

нормальной формы ЖхЗ<Э/Зх , но и от "свободных констант" Ь+ ,Ь_ . Всякий СкС13-диффеоморфизм ЕСу) , сопрягающий НС у) на I и Жх)(?/<Эх = ИкСх)5/йх на О?1, , задается формулой

Ж ГС у) 3 = ЬСуЗ + /У И?3с1? + Ь , у € С А , В 3 СШ)

с

где Ь - некоторая вещественная константа . Обратно, при любом Ь е 0? формула Соднозначно задает С00, аналитический диффеоморфизм, сопрягающий НС у) на I и ЖхЭЗ'Зх = ЫКС хЗ на И?.

В §3 особенности конечно-определенного векторного поля на окружности вместе с множеством их локальных г инвариантов используются для определения типа поля

л^ = {с з , с чз }." , .

где к^ - кратности особенностей, а^ - отвечающие им локальные

инварианты, М= тах к,- , а параметр г определяет гладкость 1<£<т 1

поля - г = оо либо г = А.

Далее, вводится понятие эквивалентности типов в классе Сг , соответствующее локальной эквивалентности полей в окрестности каждой особой точки.

Так как не всякий набор Л^ задает тип некоторого векторного поля на окружности, то определяются топологически совместные наборы Л^ , и доказывается возможность реализации произвольного совместного типа, как типа некоторого полиномиального векторного поля С лемма о реализации совместного типа 3. 8

В §4 реализуется общая схема построения коциклов и приводящих наборов для произвольного поля УС г!) типа Л^ .

Обозначим через У^Сг) ограничения УС г) на дуги

и1 =с ' * =

Для полей У^Сг) по основной лемме в любом классе гладкости определены нормальные формы иЧхЭд/дх на К1 и приводящие гомеоморфизмы ^¿Сг) > и^ ч К1 , составляющие приводящий набор

•С^Сг)}^ класса Сг .

Набор отображений

V

6,-Сх) = уГ^ о щ СхЗ , х е К* , I = 1,... ,т ,

называется коциклом класса Сг , отвечающим приводящему набору {у. Отображения б^Сх) склеивают поле УС г) из его нормальных форм на дугах и,- .

Набор Сг -гомеоморфизмов 0? - СБ^Сх))^ , принадлежащих стационарным группам полей иЧхЭ^/дх называется симметрией Б класса Сг , отвечающей типу Л^ .

Теорема 1 устанавливает, что сопряженность в классе Сг векторных полей эквивалентных типов приводит к двусторонней эквивалентности произвольных коциклов, отвечающих данным полям, которая осуществляется с помощью некоторой Сг-симметрии Б . И обратно, существование . Сг-эквивалентных коциклов гарантирует сопряженность самих векторных полей.

Тип Л^ вместе с коциклом можно рассматривать как

альтернативный способ задания локально конечно-определенного векторного поля на окружности. В заключение §4 дается

9

независимое от приводящего набора, и тем самым от самого векторного поля VCz3 , определение коцикла Gr и доказывается возможность реализации произвольного коцикла.

Таким образом, поскольку эквивалентность полей сводится к равенству коциклов, то, выписывая для последних . явные представления, можно получить числовой инвариант эквивалентности.

В §5 показано, что для полей произвольного типа Ajj правильно регуляризованный интеграл Jv = § является

классифицирующим инвариантом. Мы полагаем

J") = Jv = I { J RtC?Dd? ♦ Li+iCci+i) - LtCct+i) } , CivD i=' cu, л

где функции RtCz) , ЦСг) ,' отвечающие полю V^CzO , те же, что были определены в основной лемме для поля НС у) , Cj-6 n Uj-, i = l,...,m - некоторые фиксированные точки на окружности.

Другой формой представления инварианта JCV) является

j(V) = Hm { f -gj- ♦ I { Lj-CZj- - - Lj-CZj- + rf > }, % ut

где S' = С0,2я1/ i ü ( z, - £ , z, ts ) ) .

e ia 1 1

При доказательстве теоремы 2 показано, что, если класс

гладкости сопряжения невысок по сравнению с М = max к,- -

1 <i<m 1

- 1<г<М-1, то запаса "свободных констант" Ь+ ,Ь хватает, 10

цля того, чтобы уравнять коциклы полей, и в этом случае никаких инвариантов сопряженности кроме локальных не возникает.

Если же, г > М , то Ь+ = Ь_ , и существуют неравные коциклы полей УС г) и , причем условием их равенства является

соотношение ЯУ) = .КТО .

В §6 с помощью доказанной в §5 классификационной теоремы строятся гладкие нормальные формы векторных полей на 5' .

В качестве нормальных форм произвольного типа Л^ рассмотрено семейство векторных полей

РСг.э) = ОСгЭ С 1 - зОСг) )д/дг , б е П с О? ,

где ОСг) - произвольный тригонометрический полином, такой что векторное поле ОСгЭЗ/Зг является полем типа Л^ , П - некоторый

интервал в 0? , зависящий от свойств типа Л^.

Любое поле УСг) типа Л^ СМС 5')-приводится к полю РСг.э) при некоторм б , функция ЛСэ) = ЛС РСг.э) ) монотонно пробегает всю прямую, когда б пробегает П , и тем самым отображение -I: Л^ О? , 1 = .КУСг)) сюръективно.

В §7 рассмотрены некоторые частные случаи и примеры, такие как классификация грубых векторных полей, полей с единственной особой точкой и др. Здесь показано, что, в отличие от случая окружности, некомпактность К1 приводит к тому, что константы, определяющие коциклы, всегда могут быть уравнены С отсутствие соотношения цикличности).

Основные - результаты главы 1 , содержащиеся в теоремах 2,3 диссертации, можно сформулировать в следующем виде

Теорема 1. Для эквивалентности двух локально

11

конечно-определенных векторных полей на окружности V , V типов

г г

Лм* , ®м в классе СГС5*) необходимо и достаточно, чтобы

1) при. г = 0 типы лм' , @кг были топологически эквивалентны;

1 г

г г

И) гщи 1 < г < М - 1 типы Лм' , ©м2 были эквивалентны в

1 г

классе СГ;

г г

111) при г > М типы Лм* , 6М2 были эквивалентны в классе

1 г

См , и ЛУ) = лею .

Отображение 1: Л^ •» К1 , Л = ЛСУСгЗЭ , сюръективно. Для любого поля УСг) типа Л^ существует такое вещественное 5 , что УСг) эквивалентно Р(г,5) в классе См(51) С в классе (Лз1) щи г = оо и аналитически при г = А ) .

Вторая глава диссертации посвящена нахождению гладких версальных деформаций векторных полей на 5' .

В §1 главы 2 мы приводим локальные нормальные формы локально конечно-определенных полей, локальные версальные и инфинитезимально версальные деформации, и обсуждаем их свойства.

В §2 полностью решается задача описания гладко версальных деформаций грубых векторных полей на окружности.

Пусть УоСгЭ = Уд(г)д/дг - грубое -векторное поле класса СЬС5') , 2 < Ь < оо, А , на окружности с мультипликаторами а .

I ш

Поскольку при малых с поля УС с) остаются грубыми, то для произвольной Сн-де$ормацйй УС г) поля У0Сг) определено СН~'С1К0))

отображение 11С0) Г+\ 1уСс) = Са Се).....а/е), Ля)).

Отображение Ке) - является полным инвариантом

С'-сопряженности, а следовательно, при каждом е е 1!(0) деформации У(е) и W(£) С1-эквивалентны, если только существует локальное решение Р(гО уравнения

1у(Р(е)) = 1¥Сс). (V)

Пользуясь явными формулами для сопрягающего диффеоморфизма, полученными в §7 гл. 1 , и локальной версальностью деформаций а^СгОг оказывается возможным выбрать семейство приводящих

диффеоморфизмов $С г гладко зависящим от параметра с , если решение ГСе) имеет достаточную гладкость.

Таким образом, в грубом случае эквивалентность деформаций сводится к гладкой разрешимости уравнения Су) . Как следствие этого получаем, что любая деформация грубого векторного поля на 51 эквивалентна семейству тригонометрических полиномов, а для гладкой версальности деформации УСе) поля У0Сг) необходимо и достаточно выполнение условия

гд 1^С0) = т + 1 . Иными словами, минимальное число параметров гладко версальной деформации в типе Л[ равно т + 1 .

Вычислив производную 1уС0) , получаем, что соотношение

гд С ,) .

■> 1=1 ,т+1

= гд

у'Чгу) ТЛгЛ

Г,-'(2,0 - --2—-—

1 1

у.р. $ < (г) - Ь,(г)у Чг) - Г,Сг) >

г * ] о J о ]

ёг

у (г)

о

13

= т + 1 ,

где ^(г) - начальные скорости деформации, а Ь^Сг) -некоторые гладкие функции на 5' , зависящие лишь от шевелений особых точек, является критерием гладкой версальности.

Если теперь Т^Сг) , ■] = 1.....т - полиномы на такие,

что Т.Сг.) = <5 - . , 1,7 = 1,...,т , то для любого грубого поля V С г?) на окружности т + 1-параметрическая деформация

ОСг.с) = V Сг) ( 1 + ^ с, Т,Сг) + с V (г)

о ¿, ] } т+1 о

является миниверсальной.

При доказательстве теоремы версальности мы получаем критерий разрешимости инфинитезимального уравнения

относительно неизвестной функции е СгС5'3 и констант

при любой гладкой функции на окружности т(гЗ .

Объединяя формальные и интегральные инварианты уравнения СVI) , получаем, что для разрешимости инфинитезимального уравнения в целом необходимо и достаточно выполнение условия

гд С Ь( 0 .

<--> 1=1 ,т

= гд

V "(г,) 1\Сг,:> Г /Сг.О - —2-±-

•] ""Г ^

V. р. # { бСг)у Сг) - <5,Сг)у Чг) - ГСг!) > -—

з ° л у сг)

= ш + 1,

причем можно положить Сг5 = Ь^Сг) , ) = 1.....п .

Отсюда следует утверждение теоремы версальности.

Таким образом, в случае одномерных грубых векторных полей версальность как локально, так и в целом определяется на линейном уровне.

В §3 доказывается факт существования конечно параметрической Сю-версальной деформации для произвольного локально конечно-определенного поля.

Согласно теореме ¡0. С. Ильяшенко и С. Ю. Яковенко о С^-приводимости, в некоторой малой окрестности каждой особой точки поля УоСг) - ъ^ существует локальная версальная (Я-деформация п^Сг.а^З , 2 е , а^- е 0? 1, где к,- - кратность особой точки , I = 1,...,т.

Мы продолжаем локальные семейства п^Сг.а^) до С°°-семейства векторных полей 11оСг,а) на $1 и полагаем

= КоСг,а) С 1 - ^ И^т^гЗ ) , 1=1

г , ^ 6 , где - некоторые окрестности точек в О?1 , тСг) - некоторые фиксированные С°°-функции на 51 .

Показано, что для любой 1-параметрической С°°-деформации УС г) поля У0Сг) найдутся Сш-замены параметров Са,и координаты г , приводящие семейство УСггЗ к семейству NCa.fi).

В §4 решается задача построения полиномиальных нормальных форм с минимальным числом параметров для типичных деформаций полей типа , имеющих единственную особенность.

Основные результаты главы 2 диссертации, содержащиеся в

15

теоремах 6,8,11 , теореме версальности и предложении 7 могут быть сформулированы в следующем виде.

Теорема 2. Деформации VCe) и WCs) грубого векторного поля на $' С'-эквивалентны. если и только если существует локальное гладкое решение FCs) уравнения Cv3.

Инфинитезимально версальная деформация грубого векторного поля на окружности гладко версальна.

Для любого локально-конечно определенного векторного поля на S1 существует (Я-версальная конечнопараметрическая деформация.

Для любого локально-конечно определенного векторного поля на S1 с единственной особой точкой существует полиномиальная миниверсальная деформация.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Быков H.A..Гладкая классификация грубых векторных полей на окру жности.Теор. функ. ,функц. ан. и их прил.,Выща шк.,1989,110-113.

2.Быков H.A. .Гладкая эквивалентность векторных полей на окружности, ДАН УССР,Сер. "А",Физ.-мат. и техн. науки,1991,3,5-7.

3.Быков H.A. .Гладко версальные деформации грубых векторных полей на окружности,Мат. заметки,1991,49,5,26-31.

4.Быков H.A. .Гладкая классификация векторных полей на окружности. Динамические системы и комплексный анализ.Киев,1992.

5. Bykov N.,0n the smooth classification of singular vector fields

on the circle,proceed. "Intern. Congr. Singularities",Lille,1991.

Ответственный за выпуск M.B. Гончаренко_

Подписано к печати 15.01.1993 Физ. п. л. 1

Уч.-изд. л. 1. Заказ N 20 Тираж 100 экз._

Ротапринт ФТИНТ АН Украины. 310164, Харьков, пр. Ленина, 47.

16 ■