Симметрии геодезического потока на гладких многообразиях с аффинной связностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Диссертация относится к активно развивающемуся направлению, связанному с изучением бесконечномерных пространств, возникающих в дифференциальной геометрии. Примерами таких пространств служат группы диффеоморфизмов гладких многообразий, пространство векторных полей, тензорных полей и связностей на гладком многообразии.

Создатели теории Ли рассматривали группу Ли как группу сим-метрий алгебраического или геометрического объекта; соответствующая алгебра Ли рассматривалась как множество инфините-зимальных преобразований. Поскольку группа симметрий такого объекта не обязательно конечномерна, Софус Ли рассматривал не только проблему классификации подгрупп группы 0Ьп, но также проблему классификации бесконечных групп преобразований. В начале 20-го века Э. Картан классифицировал простые бесконечномерные алгебры Ли векторных полей на конечномерном пространстве.

Однако работы Картана были практически забыты до середины шестидесятых годов. Интерес к этой области начал возрождаться с работ Гийемина и Стернберга, которые развили соответствующий алгебраический язык и технику фильтрованных и градуированных алгебр Ли. Им удалось доказать классификационную теорему Картана аналитически, а позже Вейсфейлер привел ее алгебраическое доказательство.

В настоящее время нет общей теории бесконечных групп и ал2 гебр Ли и их представлений. Имеется некоторый набор классов бесконечномерных групп и алгебр, которые подвергались более или менее интенсивному исследованию. Прежде всего это алгебры Ли векторных полей и соответствующие группы диффеоморфизмов многообразия.

Рассмотрим, например, группу И(М) всех диффеоморфизмов гладкого многообразия М. Пространство инфинитезимальных автоморфизмов— это пространство всех гладких векторных полей Х(М). Если М не компактно, то о О(М) и Х(М) практически ничего не известно (см. [1]). Одна из трудностей в наделении В(М) структурой бесконечномерной группы Ли (в каком- либо смысле) заключается в отсутствии соответствующей алгебры Ли. Так как векторные поля не полны, то Х(М) слишком обширна для того, чтобы быть алгеброй Ли группы £>(М). С другой стороны, подмножество в Х(М), состоящее из полных полей, не является даже линейным подпространством в Х(М). Пале [2] привел пример двух полных векторных полей, сумма которых не является полным векторным полем.

Не все геометрические структуры, выражаясь словами Кобая-си, созданы равными в смысле строения ее группы автоморфизмов. Однако обширность объектов не умаляет их значимости. Так в 1966 году В. И. Арнольд ввел в рассмотрение группу гладких диффеоморфизмов многообразия, сохраняющих элемент объема, и показал, что геодезические на этой группе представляют собой потоки идеальной несжимаемой жидкости. Эта работа в значительной ме3 ре стимулировала изучение групп диффеоморфизмов, сохраняющих тот или иной геометрический объект на многообразии.

Одной из мало изученых в силу своей обширности является группа автоморфизмов векторного поля на многообразии. Если поле нулевое, то ее группа симметрии это уже упомянутая группа диффеоморфизмов многообразия. В 1970 году X. Омори [3] определил на этой группе так называемую структуру ШЬ-группы Ли, рассматривая ее как обратный предел банаховых многообразий. В 1984 году в продолжение работ В. И. Арнольда Н. К. Смоленцев [4] показал, что если гладкое векторное поле X на компактном многообразии М бездивергентно и нигде не обращается в ноль, то группа диффеоморфизмов, сохраняющих объем и поле X, является 1НЬ-группой и ее алгебра Ли состоит из бездивергентных векторных полей на М, коммутирующих с X.

Для случая вещественно-аналитического многообразия М2п в 1995 году М. А. Паринов [5] доказал, что если А— ковекторное поле, чей дифференциал задает симплектическую структуру, то группа автоморфизмов А является конечномерной группой Ли и ее размерность не превосходит 2п2 + п. Отмечено, что для неаналитического случая утверждение не имеет места.

Гамильтоновы поля на кокасательном расслоении Т*М С00-многообразия М2 были изучены в работах В. В. Козлова [6, 7, 8]. Изучая динамические системы, порождаемые гамильтоновым полем Уд с гамильтонианом Н, В. В. Козлов пришел к изучению полей симметрии {11\[?/, Уя] = 0}. Оказывается, что наличие и вид полей 4 симметрии существенно зависит от топологии М2. Разлагая поле симметрии в окрестности равновесия, В. В. Козлов вводит понятие однородного поля степени к, по степени однородности полиномов, являющихся компонентами разложения. Показывается, что если поле II является полем симметрии, то и каждое однородное поле из разложения является таковым, что сводит изучение полей симметрии к полям выделенного типа. Основные результаты исследования выражаются в формулировании топологических препятствий к полному интегрированию геодезических потоков на двумерных замкнутых поверхностях. Этот вопрос для больших размерностей затрагивается в работе И.А.Тайманова [9].

При исследовании однородных полей симметрии естественным образом возникают симметричные тензорные поля. Следует отметить, что математический анализ кососимметрических тензорных полей на многообразиях имеет давнюю историю и глубокие результаты. Большая часть из них относится к оператору дифференцирования. Совершенно иная ситуация наблюдается в анализе симметричных тензорных полей. Здесь, за исключением младших степеней 1 и 2, нет сколько-нибудь общих результатов и даже не выделены диференциальные операторы, представляющие интерес для исследования. В работе В. А. Шарафутдинова [10] предпринято систематическое исследование структуры пространства симметрических тензорных полей на римановом С°°-многообразии М в связи с решением некоторого уравнения на ТМ, задаваемого геодезическим векторным полем и имеющего приложение в геодезии. 5

Как аналог оператора дифференцирования рассматривается симме-тризованый оператор ковариантного дифференцирования, вводится в рассмотрение алгебра симметричных тензоров с симметричным умножением. Все указанные понятия, хотя и отличаются простотой и естественностью, по всей видимости, введены автором впервые (см. обзор [11]).

Оперирование с симметрическими тензорами высоких рангов естественным образом приводит к необходимости введения удобных обозначений для проведения доказательств и записи результатов. На возникающем в ходе исследования пространстве симметрических тензоров, следуя общей идеологии [10], в §2 Гл. I вводятся симметризованный дифференциал и операция дифференцирования вдоль поля. Отличие от [10] состоит лить в том, что объектом настоящего исследования являются поля типа (1,к), а не (0,к). Это вносит свою специфику в рассуждения. Большой объем прямых вычислений, приводимых в Приложении А, приходится на доказательство основных соотношений между введенными операциями. Однако в дальнейшем это компенсируется простотой доказательства основных результатов.

Рассматривая наиболее общую постановку задачи об исследовании симметрии геодезического поля аффинной связности на касательном расслоении, следует иметь в виду, что из общих соображений, не затрагивающих тонких вопросов полноты инфинитезималь-ных симметрии поля или глобальных свойств движений, не удается сформулировать сколько-нибудь содержательный результат, каса6 ющийся структуры группы симметрий. Этот тезис, в частности, подтверждается всей предыдущей историей вопроса. В настоящей диссертации сделан первый шаг в этом направлении. Наличие послойной гомотетии касательного расслоения позволяет построить внутренний гомоморфизм группы симметрий, деформирующий непрерывно в смысле компактно-открытой топологии любую симметрию к симметрии особого вида— дифференциалу некоторого диффеоморфизма самого многообразия. Последние, в свою очередь, образуют группу преобразований, для которой введено обозначение Т~С. Глава I посвящена исследованию свойств этих преобразований. Основным результатом исследования является

Теорема 1.5. Группа Л является группой Ли преобразований Мп в компактно-открытой топологии и имеет размерность сИт'Н < п2 + п.

Идея доказательства теоремы 1.5 состоит в естественной изоморф-ности группы И. группе автоморфизмов аффинной связности на многообразии, и, тогда, сама теорема есть прямое следствие известной теоремы Фубини. Результаты этой главы опубликованы в работе автора [1].

Как уже было отмечено, без углубленного исследования инфи-нитезимальных симметрий и, в последующем, их взаимоотношений с группой симметрий, не представляется возможным сделать дальнейшие шаги. Как и в работе [6], ставится задача изучения векторных полей X на касательном расслоении ТМ, коммутирующих 7 с геодезическим полем [X, Я] = 0. Задача содержательна либо в окрестности точек равновесия системы, порождаемой геодезическим векторным полем 5, либо во всем пространстве вцелом. Действительно, рассматривая уравнение [X, 5] = 0 вне нулевого сечения касательного расслоения, т.е. там, где геодезическое поле не обращается в ноль, мы легко можем указать все локальные решения. Как следует из теоремы о выпрямлении векторного поля существует карта на ТМ, в которой геодезическое поле запишется в виде Б = д^-, и потому, ее локальные решения— это все поля, не зависящие от первой координаты Х(у2, ■ ■ ■, У2п)- Препятствия к построению глобального решения носят чисто топологический характер, связанный с поведением геодезических. Например, если существует геодезическая в ТМ, вдоль которой найдется инвариантная относительно потока 5 трубчатая окрестность, вложенная в ТМ, с локальным трансверсальным сечением Е, то вдоль нее корректно распространяется поле Х(у%,., у га)-, заданное на сечении Е, такое, что носители его компонент лежат во внутренности Е. Продолжив полученное поле нулями на все ТМ, мы получим глобальное решение уравнения на ТМ. Таким образом, удается построить вложение Уе^ К24"1 в алгебру инфинитезимальных симметрии, и, в частности, потоки этих полей задают полные инфинитезимальные автоморфизмы поля. Это означает, что группа симметрии, вообще говоря, весьма обширна. Такая конструкция возможна, например, в евклидовом пространстве со стандартной связностью. 8

1. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии: Пер. с англ.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.

2. Пале P. A global formulation of the Lie theory of transformation groups— Mem. Amer. Math. Soc., #22, 1957.

3. Omori H. Infinite dimensional Lie transformations groups.— Lect. Notes math., 1974, v. 427.

4. Смоленцев H.K. О группе диффеоморфизмов, оставляющих неподвижным векторное поле.— Сиб. мат. журн., 1984, т.25, № 2, 180-185.

5. Паринов М.А. О группах диффеоморфизмов сохраняющих невырожденное аналитическое ковекторное поле. Мат. сб., 1995, Т.186, № 5, с.115-126.

6. Козлов В.В. О группах симметрии динамических систем//ПММ, 1988, т.52, вып.4.

7. Козлов В.В. О полиномиальных интегралах динамических систем //Мат. зам., 1989, т.45, вып.4, с.46.68

8. Козлов B.B. О группах симметрии геодезических потоков на замкнутой поверхности. //Мат. зам., т.48, вып.5, 1990.

9. Тайманов И.А. О топологических свойствах интегрируемых геодезических потоков. //Мат. зам., 1988, т.44, вып.2, с.283.

10. Шарафутдинов В.А. О симметричных тензорных полях на ри-мановом многообразии. Препринт, 1984.

11. Широков А.П. Геометрия касательных расслоений и пространств над алгебрами //Проблемы геометрии.— М.: ВИНИТИ, 1981, с.61.

12. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.

13. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

14. Vranceanu G. Sur le groupe de stabilité d'unespace a connexion affine. Bull. Math. Soc. Sei. math, et phys. RPR, 1957, 1, № 1, pp. 121-124.

15. Бессе A. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. T. I, M.: Мир, 1990,—318 с.

16. Лоос О. Симметрические пространства. М., Наука, 1985.

17. Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. М., Наука, 1979.

18. Гайшун И.В. Линейные уравнения в полных производных. Минск, Наука и техника, 1989.69

19. Шадыев X., Об инфинитезимальных гомотетиях в касательном расслоении римановых многообразий. Изв. Вузов. Математика, 1984, № 9, с. 77.

20. Ферзалиев А.С. Дифференцирование Ли и автоморфизмы присоединенной связности. Изв. Вузов. Математика, 1990, № 8, с 93-96.

21. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. М., 1982, 414 с.

22. Егоров И.П. Движения в обобщенных диффернциально-геометрических пространствах //Алгебра. Топология. Геометрия. (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР). М., 1965, с. 375-414.

23. Moser J. On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus//Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.: Phys. Kl. 1962. Vol. 11a, N 1. P. 11-20.

24. Арнольд В.И. Малые знаменатели. 1. Об отображениях окружности на себя //Изв. АН СССР, 1961. т. 25, № 25, с. 21-86.

25. H.W. Broer, G.B. Huitema, М.В. Sevruk. Quasi-periodic motions of dynamic systems; Lecture Notes in Math. Springer-Verlag, 1996; 195 p.

26. Бибиков Ю.Н. Дифференциальные уравнения на гладких многообразиях. СПбГУ, 1995. 172 с.70