Квазигеодезические потоки и их морфизмы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Игошин Владимир Александрович

КВАЗИГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОТОКИ И ИХ МОРФИЗМЫ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора фшико-матемагггческих наук

Казань - 1996

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете имени Н.И. Лобачевского

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Аминова A.B.

доктор физико-математических наук,

профессор Евтушик JI.E.

доктор физико-математических наук,

профессор Солодовников A.C.

Ведущая организация -

Санкт-Петербургское отделение математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится " 5 » ИЮНЯ

А! 50

1996 г.в п~ ч.

на заседании диссертационного совета Д 053.29.07. Казанского государственного университета по адресу: 420008, Казань, ул. Ленина, 18, учебный корпус № 2, ауд. 215..

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета (г. Казань, ул. Ленина, 18).

Автореферат разослан " "4 " МАЯ_ 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета М.А. Малахальцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. В диссертационной работе изучаются квазигеодезические потоки и их морфизмы. Квазигеодезический поток (КП) Э = (М,0) на многообразии М - это поток, порождаемый обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) 2-го порядка - векторным полем специального вида на пространстве ТМ касательного расслоения к :ТМ М. Базовое многообразие М потока О в механике принято называть пространством обобщенных координат, или конфигурационным пространством; в теории дифференциальных .уравнений оно называется пространством_зависимых переменных~{нёизвестных функций). Произведение М = М х И (или его открытое подмногообразие) именуют пространством событий, или пространством зависимых и независимых переменных.

Исследуются морфизмы двух видов: траекторные и точечные. Траекторный (гомо)морфизм - это отображение базовых многообразий, переводящее траектории одного КП в траектории другого, вообще говоря, без сохранения параметра. Термин гомоморфизм употребляется в теории динамических систем (ДС) и в геометрии обычно по отношению к отображениям, сохраняющим вместе с траекториями и каноническую параметризацию на них; такие (гомо)морфизмы в работе называются тривиальными.

Точечный морфизм КП - это отображение пространств событий, переводящее интегральные кривые (графики решений) одного КП в интегральные кривые другого.

Теория траекторных морфизмов КП восходит к работам Мопертюи, Эйлера, Лагранжа, Якоби, Бельтрами, Аппеля, Пенлеве, Т. Леви-Чивиты; Дарбу, Дини и др. Для лагранжевых динамических систем проблема таких отображений была сформулирована Т. Леви-Чивитой в 1896 г. как проблема эквивалентности (траекторной изоморфности).

Систематическое изучение точечных изоморфизмов осуществлено С. Ли в ряде его классических работ. Из других авторов здесь следует отметить Альфана и Трессе.

Актуальность работы, естественность объекта и цели исследования обусловлены многочисленными связями с целым рядом

проблем, теорий, идей и принципов. К таковым относятся, например: проблема Т. Леви-Чивиты эквивалентности динамических систем, теория геодезических отображений римановых и аффинносвязных пространств, теория С. Ли точечных симметрий ОДУ, теория обобщенных пространств и их морфизмов (Финслер, Картан, Бервальд, Кнебельман, Б.Л. Лаптев, В.В. Вагнер, И.П. Егоров и др.), проблема квазигеодезических отображений и моделирования физических полей А.З. Петрова, принцип наименьшего действия Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби, идея Г. Герца бессиловой механики и др. Остановимся на этом несколько подробнее.

1. Леви-Чивита рассмотрел (с локальной точки зрения) диффеоморфизм Ф^М являющийся эквивалентностью динамических систем В = (М,Т,С)) иО = (М,Т,С)) (Т и Т - кинетические энергии, С} и 0 - обобщенные силы). Согласно нашей терминологии, Леви-Чивита изучал траекторные изоморфизмы потоков, соответствующих, указанным динамическим системам. Отметим, что работы Леви-Чивиты относятся - в основном - к случаю нулевых сил.

Изучение таких отображений представляет интерес с различных точек зрения: дифференциальных уравнений и классической механики, дифференциальной геометрии и современной математической физики. С точки зрения дифференциальных уравнений и механики открывается возможность исследования одной динамической системы В с помощью изоморфной ей (более "простой" ) системы О. Так, например, Леви-Чивита показал, что задачу интегрирования системы О можно считать решенной, если проинтегрирована изоморфная ей система Б: интегралы первой находятся с помощью интегралов второй квадратурой. Кроме того, очевидно, посредством изоморфной системы можно решать задачи о существовании (или отсутствии) периодических движений, двухконцевые задачи и т. п.

Следует отметить, что отображения, сохраняющие траектории, с успехом использовались (и используются до сих пор) в классической механике в форме принципа наименьшего действия Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби.

В дифференциальной геометрии указанная проблема известна как проблема геодезического соответствия (и проективного 4

преобразования) пространств аффинной связности и, в частности, римановых (что соответствует случаю Q = Q = 0). Ей посвящены многочисленные исследования, связанные с именами Бельтрами, Дини, Дарбу, Фубини, Луивилля, Леви-Чивиты, Томаса, Вейля, Эйзенхарта, П.А. Широкова, А.З. Петрова, A.C. Солодовникова, Н.С. Синюкова, ЯЛ Шапиро, И.П. Егорова, В.Р. Кайгородова, A.B. Аминовой, И.А. Ундаловой и других.

2. Конец прошлого и начало уходящего столетия ознаменованы интенсивным изучением различных обобщений пространств римановой и аффинной связности. Это объясняется внутренней логикой развития геометрии, . определяющим началом которого является активный процесс взаимного влияния дифференциально-геометрических и физических идей. К следствиям такого взаимодействия геометрии и физики относятся, например: а) тензорное исчисление (Риччи, Леви-Чивита), возникшее для удовлетворения потребностей механики и физики; б) общая теория относительности А. Эйнштейна, явившаяся триумфом римановой геометрии; в) геометрия пространств Вейля, объединяющая гравитационное и электромагнитное взаимодействия, и единая 5-мерная теория гравитации и электромагнетизма Калуцы-О.Клейна-Веблена; г) геометрия пространств Финслера, которые возникают уже при применении принципа наименьшего действия Мопертюи к лагранжевым системам квадратичным относительно скоростей.

Вслед за открытием обобщенных пространств начинается изучение их траекторных морфизмов - отображений, сохраняющих пути -геодезические обобщенных связностей, коэффициенты которых уже могут зависеть не только от точки, но и от направления.

3. Г. Герц в 1894 г. сформулировал идею бессиловой механики, согласно которой природа фундаментальных физических взаимодействий объясняется движением "скрытых" масс, наличием "скрытых", "внутренних" симметрии ■ "скрытых", "внутренних" степеней свободы. Другими словами, движение пробных частиц в том или ином силовом поле представляется в рамках концепции Г. Герца движением по инерции в некотором пространстве большего числа измерений. Эта идея Г. Герца перекликается с методом Рауса исключения циклических коорди-

5

нат, едиными теориями поля (калибровочными теориями) типа теории Калуцы-О.Клейна-Веблена, а также с квазиоптикой Ф. Клейна, В.А. Фока и Ю.Б. Румера.

В перечисленных построениях (явно или неявно) присутствует расслоение Ф:М->М, на базе которого реализуется движение под действием сил, а в тотальном пространстве -движение по инерции (по геодезическим некоторой связности). При этом первое движение моделируется (совпадает с) проекцией второго.

4. Э. Картан в 1924 г. ввел понятие пространства проективной связности и показал, что его геодезические линии локально можно рассматривать как интегральные кривые специального КП - ОДУ 2-го порядка, полиномиального 3-ей степени относительно первых производных. Картан ставит задачу так обобщить теорию, чтобы интегральные кривые любого КП можно было рассматривать как геодезические. Эта задача решена им для наиболее - по его же мнению - простого 2-мерного случая, т.е. для КП одного скалярного ОДУ 2-го порядка. Отметим, что картановское моделирование интегральных кривых ОДУ геодезическими- линиями в качестве своего атрибута содержит локальную субмерсию (проекцию) Ф: М —> М с одномерными слоями. Э. Картаном была также отмечена возможность моделирования траекторий (и путей) ОДУ посредством геодезических линий аффинной связности.

Позднее Я.Л. Шапиро упомянутые результаты Э. Картана по геодезическому моделированию распространил на случай субмерсий с многомерными слоями. В результате им была создана теория проективных, или включаемых (иначе говоря, моделируемых геодезическими линиями аффинной связности) систем траекторий и путей, а также тесно с ней связанная теория римановых и аффинносвязных пространств с геодезическим (и торсообразующим) полем многомерных направлений. В дальнейшем эта теория траекторных (гомо)морфизмов Картана-Шапиро в ряде работ Я.Л. Шапиро и его учеников (В.А. Игошина и Е.И. Яковлева) была расширена до теории конечных траекторных (гомо)морфизмов полиномиальных по "скорости" КП.

5. Идея проектирования (и лифтирования) присутствует не только в теориях, упомянутых выше, она плодотворно использу-6

ется также в исследованиях А.Д. Александрова, A.M. Переломова, Б.Н. Шапукова, K.M. Егиазаряна, М.А. Малахальцева и других.

6. До сих пор возникают все новые и новые обобщения как понятия геодезической (геодезические Г. Буземана, квазигеодезические линии А.Д. Александрова и Ю.Д. Бураго, почти геодезические и р-геодезические Н.С. Синюкова, С.Г. Лейко и Й. Мике-ша, L-геодезические линии М.А. Малахальцева и др.), так и понятия траекторного морфизма обобщенных пространств - отображения, как правило, диффеоморфизма, переводящего кривые того или иного класса в кривые, вообще говоря', другого класса. К обобщениям такого сорта, например, относятся: квазигеодезические отображения и моделирование физических полей А.З. Петрова, почти геодезические, р-геодезические и квазипла-нарные отображения Н.С. Синюкова, С.Г. Лейко, Й. Микеша.

В последнее время к изучению пространств с геодезическими и траекториями стали активно привлекаться алгебраические методы. Здесь следует отметить работы В.В. Вишневского,

A.П. Широкова, В.В. Шурыгина, Л.В. Сабинина, O.A. Матвеева, A.B. Паншиной.

В.Е. Фоминым теория геодезических отображений распространяется на бесконечномерные пространства.

7. Большое количество исследований связано с проблемой геомегризации физики и механики. К ним относятся работы

B.В. Вагнера, A.B. Гохмана, Ю.Е. Гликлиха и других авторов. Это вполне согласуется с попытками физиков построить единую теорию фундаментальных взаимодействий с помощью калибровочных полей - полей Янга-Миллса, что оказалось (совершенно неожиданно для самих физиков) эквивалентным применению геометрической теории расслоенных пространств со связнос-тями.

8. Начиная с Э. Картана (см. также выше пункт 4), не прекращаются попытки геометризации (и алгебраизации) теории дифференциальных уравнений. К этому направлению относятся работы Л.Е. Евтушика и В.Б. Третьякова, В.И. Близникаса и З.Ю. Лупейкиса, A.M. Виноградова, И.С. Красильщика, В.В. Лы-чагина, Н.В. Степанова и многих других авторов.

9. Одним из великих открытий конца прошлого века являет-

7

ся создание С. Ли теории групп Ли, которая возникла как теория непрерывных групп точечных преобразований пространства зависимых и независимых переменных - пространства событий R х М ОДУ (или КП) на М. С. Ли ввел также понятие продолжения порядка Г точечного преобразования (как конечного, так и инфинитезимального), которое - выражаясь современным языком - действует в тотальном пространстве расслоения Г-струй. С помощью этого понятия им были получены так называемые определяющие уравнения (уравнения Ли), которые позволяют для фиксированного ОДУ находить допускаемую им локальную группу (алгебру Ли) точечных симмегрий. Изложение этих и обобщающих их результатов Ли и Беклунда по касательным (контактным) преобразованиям можно найти в ряде более поздних работ.

Изучению точечных симмегрий посвящены работы многих авторов: Альфана, Трессе, Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, И.С. Емельяновой, В.Ф. Зайцева и других.

После этого краткого и - в то же время - достаточно солидного списка исследований остается, наконец, сделать еще два замечания. 1) Диссертационная работа контактирует со многими перечисленными выше исследованиями. 2) Научные публикации последних лет свидетельствуют о том, что круг вопросов, изучаемых в диссертации, вплотную - на взгляд автора - примыкает к области научных интересов таких математиков, как С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, A.C. Солодовников, Л.Е. Евтушик. Л.В. Овсянников, Н.Х. Ибрагимов, A.B. Аминова, Б.Н. Шапуков, М.А. Улановский, A.B. Гохман.

Цель работы. Изучение дифференциально-геометрическими методами свойств КП, их траекторных и точечных морфизмов.

Методы исследования являются типичными методами дифференциальной геометрии и топологии. К ним относятся общеизвестные методы теории расслоенных пространств, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории пространств со связностью, теории групп и алгебр Ли и т.д. Большое влияние на автора оказали также результаты и методы других исследователей (С. Ли, Трессе, Э. Картана, Вейля, Томаса, Бервальда, Яно. А.Д. Александрова и Ю.Д. Бураго, С.П. Новикова, А.Т. Фоменко и A.B. Болсинова, Б.Л. Лаптева, А.З. Петро-8

ва, И.П. Егорова, A.B. Аминовой, JI.E. Евтушика, A.C. Солодов-никова, Б.Н. Шапукоза). Особую роль играют методы ЯЛ. Шапиро, получившие в работе непосредственное развитие. Центральное же место занимает принадлежащий автору метод пульверизационного моделирования КП. Это моделирование приводит, в частности, к полному решению актуальной проблемы Э. Картана построения теории обобщенной проективной связности, геодезические которой совпадают с интегральными кривыми наперед заданного КП.

Научная новизна. Все представляемые к защите результаты (список которых приведен ниже в заключении) являются новыми. Их новизна, в частности, характеризуется:

1) изучением траекторных (гомо)морфизмов динамических систем различной размерности, что означает отказ от (обычно предполагающейся) равноправности рассматриваемых систем в большей мере, чем это сделано, например, А.З. Петровым (глава

О;

2) теоремой о включении "электромагнитного поля" в рима-нову калибровочную структуру (глава 2);

3) изучением инфинитезимальных траекторных симметрий КП 2-ой степени по "скорости", вычислением их инвариантов и классификацией специальных КП 2-ой степени по их траекторией подвижности (глава 3);

4) построением новой геометрической теории КП, базирующейся на пульверизационном моделировании (главы 4-7).

Первый результат контактирует с гомоморфизмами М.А. Улановского пространств аффинной связности и с проектируемыми связностями Б.Н. ИГапужова и имеет важное значение в общей теории траекторных морфизмов КП. Второй - интересен связями с редукцией к меньшей размерности неабелевой калибровочной структуры и едиными теориями поля типа теории Калуцы-О.Клейна-Веблена. Третий - один из немногих ( после работы Т. Леви-Чйвиты 1896 г.) результатов, относящихся к траекторным симметриям динамических систем с ненулевыми силами и к проблеме их эквивалентности. Четвертый - можно оценить как новое перспективное направление в геометрической теории КП, возможности которого в достаточной степени продемонстрированы уже в диссертации.

Практическая значимость работы определяется, с одной стороны, ее актуальностью и новизной, с другой - связями полученных в ней результатов с различными вопросами механики, дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии. Поскольку основные результаты диссертации перечислены ниже (в заключении), то, избегая повторений, ограничимся здесь некоторыми замечаниями.

1) Теорема о включении "электромагнитного поля" в рима-нову калибровочную структуру является глобализацией и распространением широко известного в механике классического метода Рауса исключения циклических координат на случай неабелевой группы симметрий.

2) Найденные в работе инварианты траекторных изоморфизмов КП 2-ой степени могут быть использованы для получения новых классификационных теорем.

3) Осуществленное в главе 4 пульверизационное моделирование. КП приводит к полному решению актуальной проблемы Э. Картана о геодезическом моделировании КП.

4) В рамках этого моделирования полностью решена сложная проблема локальной точечной тривиальности КП произвольной размерности.

5) Результаты диссертации могут быть применены для изучения точечно-траекторных морфизмов КП.

Апробация диссертационной работы в целом состоялась (в 1995 г.): на геометрическом семинаре ПОМИ РАН под руководством Ю.Д. Бураго (с участием В.А.Залгаллера и A.JI. Вернера; в продолжившемся после семинара обсуждении принял участие А.Д. Александров); на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ под руководством А.Т. Фоменко; на геометрическом семинаре МГУ под руководством JI.E. Евту-шика и И.Х. Сабитова; на семинаре кафедры геометрии Казанского университета под руководством Б.Н. Шапукова (с участием В.В. Вишневского и А.П. Широкова); на расширенном семинаре кафедры геометрии (с участием преподавателей кафедры алгебры и кафедры математического анализа) Нижегородского педагогического университета под руководством H.A. Степанова.

Основные результаты диссертации, их частные случаи и не-

которые приложения также апробированы: на 7-ой всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии (Минск, 1979); на 9-ой всесоюзной геометрической конференции (Кишинев, 1988); на всесоюзной геометрической школе (Черновцы, 1987); на международной, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского, конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992); на международной, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, конференции "Алгебра и анализ" (Казань, 1994); на международном, посвященном 100-летию со дня рождения П.А. Широкова, геометрическом семинаре (Казань, 1995); на геометрическом семинаре МГУ под руководством П.К. Ра-шевского (1979 г., 1980 г.); на семинаре МГУ по векторному и тензорному анализу под руководством С.П. Новикова, А.Т. Фоменко, О.В. Мантурова, В.В. Трофимова (1988 г. - дважды, 1990 г.); на семинаре МГУ по классической дифференциальной геометрии под руководством Л.Е. Евтушика, В.Т. Базылева, Н.М. Остиану (1988 г. - дважды); на геометрическом семинаре Казанского ун-та под руководством А.П. Нордена, А.П. Широкова, Б.Н. Шапукова (1979, 81, 84, 87, 88, 90, 94, 95 гг.); на региональном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством Н.Ф. Отрокова (Горький, 1979 г.); на итоговых научных конференциях Горьковского ун-та (1981, 82, 83, 84, 85, 87 гг.); на научных конференциях молодых ученых механико-математического факультета Горьковского ун-та (1980, .81, 83, 84, 85 гг.); на геометрическом семинаре кафедры геометрии и высшей алгебры Горьковского ун-та (свыше 20 докладов в период с 1981 г. по 1988 г.); на семинаре кафедры геометрии Нижегородского педагогического ун-та под руководством Н.А. Степанова (1989 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации, их частные случаи и приложения опубликованы в 34 статьях, список которых приведен в конце автореферата. Общее число публикаций по теме диссертации - 47.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи глав (45 параграфов), заключения и списка литературы в алфавитном порядке (324 наименования). Кроме того, имеется состоящее из трех сравнительно небольших глав приложение:

11

"Геодезическое поле одномерных направлений с особенностями и клеточное псевдориманово многообразие". Общий объем диссертации - 360 страниц. Нумерация формул, теорем и т.п. - сквозная (и начинается с 1) внутри каждой главы. При ссылках возможно употребление двойного номера; например, теорема 3.10 является десятой в главе 3.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Пусть М - конечномерное многообразие, которое, как и все встречающиеся в работе объекты, будет предполагаться дифференцируемым достаточное число раз. Определены две последовательности расслоений:

Г—->ГЛ->...-► 1° = ЯхМ

Я-г.г-1 Я"г-1,г-2 Я1о

- последовательность расслоений струй, где = 1Г(Е.,М) - многообразие струй (джетов) порядка Г (Г-струй) локальных отображений из К в М ;

-> ТГ+1М-> ТГМ->...->Т1М-> М

Жх_ 1 Щ Лй = 7Г

- последовательность касательных расслоений над М.

Многообразия ^иЯх Т'М обычно отождествляются: I1 = Я х ТМ (ТМ н Т'М).

Обыкновенным дифференциальным уравнением порядка Г на многообразии М называется подрасслоение £сР(К,М). Его решениями являются отображения х :1 -» М'Л -» х = х(1) (I - открытый интервал в Я) Г-струи которых лежат в р ; иначе, решения £ - это интегральные многообразия распределения Картана, лежащие в £ и без вырождения проектирующиеся на базу И х М.

Всякая карта (и,*1), 1<1<п = сЗш1М, на многообразии М индуцирует карту (и^Д.-г'.х,1,...,.^) на Г, где I - каноническая координата на Я . 12

Распределение Картана задается при этом уравнениями Пфаффа:

ю' = бх1 — х^ск = 0, а[= 6x1 ~ = 0 ,... , со^., = 6х^ - х\б1 = 0.

В данной работе будут рассматриваться ОДУ £ с 1\ которые в указанных координатах могут быть представлены в виде, разрешенном относительно старших производных:

Локально имеющие такой вид ОДУ автоматически удовлетворяют всем условиям невырожденности (максимальности ранга) и однозначной разрешимости задачи Коши, выполнение которых обычно требуется в общих исследованиях по ОДУ. Нас будут интересовать уравнения 2-го порядка, которые естественным образом отождествляются со специальными (вообще говоря, зависящими от "времени" I ) векторными полями О на ТМ, иначе - с зависящими от I - сечениями Б: Я х ТМ -> Т2М второго касательного расслоения, для которых коммутативна диаграмма

Квазигеодезический поток О н (М,0) назван (§ 2) потоком

степени я, если Б представляется в виде суммы О = ]Г 05 слага-

х1, = ТУ{1,х\х>,. ..,<,).

Т2М

где тс^ - дифференциал проекции тс :ТМ М.

В автономном случае эта диаграмма упрощается:

Т2М

q

Я =о

емых = 05(л\л). однородных степени б по первым производным - "скоростям" л. = &с / ^ (л€М). Полиномиальные КП являются примерами таких КП. Выясняется (§ 2), что слагаемое Б2 определяет (собственную) пульверизацию на М, а В5#2 - отображение ТМ ТХМ со значениями в вертикальном подрассло-ении кег я, с: Т2М. В § 3 вводится понятие лифта КП (М,Б) по

отношению к субмерсии Ф:М -> М, как такого КП (М.Б), что диаграмма

- Т2М ф" >Т2М

5Т ТБ

ТМ ф' > ТМ

коммутативна (Ф, и Ф„ - первый и второй дифференциалы Ф).

Доказано (теорема 1.2), что произвольный КП В на многообразии М допускает Ф-поднятие по отношению к заданной субмерсии Ф:М М.

Установлены связи лифтирования КП с гомоморфизмами М.А. Улановского и проектируемыми связностями Б.Н. Шапуко-ва.

В § 4 вводится понятие гомоморфизма потока 1-го порядка в КП и, на этой основе, гомоморфизма одного КП в другой КП. Коротко говоря, гомоморфизм (траекторный) КП (М,Б) в КП (М,Б) - это, субмерсия Ф:М -> М, переводящая траектории первого в траектории второго.' В случае, когда Ф сохраняет вместе с траекториями и канонический параметр на них, гомоморфизм называется тривиальным. В § 5 получены основные уравнения гомоморфизмов. В § 6 выделено 5 типов КП 2-ой степени по "скорости" и найдены критерии гомоморфизмов КП степени q в КП 2-ой степени. Аналогичная типизация встречается в работах Я.Л. Шапиро и Е.И. Яковлева. В§ 8 введено понятие КП, включаемого в структуру ((М,02),Ф,М) расслоения Ф:М-> М,_на тотальном пространстве М которого задана пульверизация являющееся естественным обобщением проективных (включаемых в пространство аффинной связнос-14

ти систем траекторий Я.Л. Шапиро. Найдены условия включения для ряда КП специального вида.

Глава 2. Основным понятием данной главы является моноквазигеодезическое отображение и специальный его случай

- "включение электромагнитного поля в риманову калибровочную структуру". Дадим необходимые определения. Пусть М. -многообразие с аффинной связностью V (или с римановой метрикой I). Субмерсию Ф: М ->• М назовем аффинным (или римановым) квазигеодезическим отображением, если существует подсемейство семейства Ф-проекций геодезических связности V (или метрики §), образующее систему траекторий некоторого КП - ОДУ 2-го порядка Б на М. Если при этом для каждой траектории (I е Г) КП Б, любого ({0 е1) и произвольной точки г0 € Ф~'(х(1:0)) существует единственная ( с точностью до параметризации) проходящая через г0 геодезическая (б е1), образ которой Фг совпадает с х, то Ф будем называть моноквазигеодезическим отображением. Относительно КП Б в этом _случае будем говорить, что он включается в структуру ((М,У),Ф,М) (или ((М,1),Ф,М). Под включением электромагнитного поля будет пониматься включение КП, определяемого уравнением

в котором х е М, V - ковариантное дифференцирование на базе римановой метрики § на М, а правая часть - "сила Лоренца": Р#

- такая линейная форма на М со значениями в ТМ, что

(ЗеГ

Р(Х,У) = %(Х,¥#(У)) - "магнитное поле" - является внешней замкнутой 2-формой, Г - потенциал "электрического поля" -функция на М.

Основной результат главы 2 - теорема 2.3 - содержит необходимое и достаточное условие включения электромагнитного поля в калибровочную структуру, определяемую главным расслоением с инвариантной метрикой.

Пусть ае = ((М,1),Ф,М,С) - риманова калибровочная

15

структура, т.е. главное расслоение с проекцией Ф:М -> М, на тотальном пространстве М которого задана не вырождающаяся на слоях риманова метрика g, инвариантная относительно (правого) действия структурной группы G; L - алгебра Ли группы G, L'- ее производный идеал. Определено дополнительное по ортогональности к слоям горизонтальное распределение Н на М, являющееся связностью расслоения.

Теорема 2.3. Для включения электромагнитного поля (т.е. уравнения ЭМ) вриманову калибровочную структуру дв необходимо и достаточно, чтобы dim AnnL > 1. При этом для каждого фиксированного уровня Q € AnnL' первого интеграла момента на римановом многообразии (М ,g - <P,gB ), где gH - горизонтальная составляющая метрики g, определено включаемое электромагнитное поле - уравнение ЭМ, систему траекторий которого образуют Ф -проекции всех тех геодезических метрики g, вдоль которых значение первого интеграла момента равно Q.

. Согласно теореме 2.3 риманово моноквазигеодезическое отображение имеет место в любой "единой теории поля" типа теории Калуцы-О.Клейна-Веблена, включающей электромагнитное поле, калибровочной группой которого традиционно считается группа U(l). В частности, в модели Вайнберга-Салама G = SU(2) х U(l), и условие dim AnnL' > 1 очевидным образом выполнено.

Для абелевой группы L'= [L,L] — 0, dim AnnL' = dimG и электромагнитное поле включено в калибровочную структуру при любом Q.

Результаты главы можно рассматривать также как обобщение и глобализацию редукции Рауса (метода исключения циклических координат) для механической системы с неабелевой группой симметрий; в абелевом случае редукция Рауса обобщена и глобализована М.П. Харламовым.

Следует отметить, что неудачная попытка нахождения уравнения проекций на базу геодезических инвариантной рима-новой метрики в случае полупростой группы G предпринята Р. Кернером - известным физиком-теоретиком и геометром.

В § 11 и § 12 подробно рассматривается случай абелевой калибровочной структуры; устанавливаются контакты траектор-16

ных морфизмов КП, с одной стороны, с абелевой теорией калибровочных полей и редукцией Рауса-Харламова механических систем с симметрией, с другой.

Глава 3. Результаты этой главы относятся к проблеме траекторией изоморфности (эквивалентности) КП - динамических систем 2-го порядка. Для механических систем она сформулиро-. вана Т.Леви-Чивитой в 1896 г. и при отсутствии сил сводится к теории геодезических (проективных) отображений. Изучаются изоморфизмы полиномиальных КП (М,Л 2-ой степени: Г = {2 + ^ + Г0 . При этом выделяется три типа КП: 1) КП ( типа А, характеризующиеся тем, что сНтМ>3 и 3-вектор Я л Г0 а Г, ф 0 в каждой точке х е М как квадратичная функция от X е М^; 2) КП Г типа В^ для которых бивектор л л Г0 * О всюду на М, ^ = 0; 3) КП Г типа В2, для которых бивектор "к а 0 всюду на М, а Г0 н 0.

Выясняется, что изоморфизм возможен лишь между однотипными КП (§ 17). В §§ 18-20 вычислены некоторые инварианты траекторных изоморфизмов КП указанных типов, которые являются аналогами проективных параметров Томаса, хорошо известных в классической теории геодезических отображений. В § 21 найдены критерии инфинитезимальных траекторных симмегг-рий КП каждого из указанных выше типов (теоремы 3.8-3.11). Из этих критериев следует (теорема 3.12), что всевозможные инфи-нитезимальные симметрии КП образуют алгебру Ли. В § 23 получена классификация двумерных КП 2-ой степени типа В2 с кососимметричнЫм невырожденным аффинорным (магнитным) полем по степени их траекгорной подвижности (теоремы 3.15, 3.16 и 3.17). Эта классификация проведена для случая не инвариантного магнитного поля Она базируется на классификации (с точностью до подобия) С. Ли всевозможных алгебр векторных полей на плоскости. Доказано (теорема 3.16), что лишь 17 алгебр (в классификации С. Ли всего 36 алгебр) могут служить алгебрами траекторных симметрий указанных выше КП; при этом полными (т.е. максимальномерными) алгебрами являются 11 алгебр. Для каждой из 17 алгебр найден вид коэффициентов связности Г2 и координат аффинора ^ (в той же системе координат, в которой алгебры заданы своими образующими).

Глава 4. В этой главе заложены основы геометрической тео-

17

рии КП (или - что одно и то же - ОДУ 2-го порядка), а именно: для произвольного, вообще говоря, неавтономного КП (М.Б) в пространстве М = М х К событий этого КП строится пульверизация О, геодезические которой являются интегральными кривыми КП О. Другими словами, в пространстве М строится обобщенная аффинная связность Г типа связности Бервальда, которая может зависеть от направления, и геодезические линии которой "моделируют" интегральные кривые КП О. Эта связность названа (в главе 5) связностью КП (М,Ц). Если

с! х'

&2

= Б1

х'Л,

- координатная запись КП (М,Р), (1 < ] < п -1 = сНтМ), то моделирующая пульверизация Б в пространстве событий М = МхЯ КП (М,0) в естественных координатах (ха) з (х'Д) (1 < а < п,х° = X) имеетвид :

ха = Оа(хр,хр),

где О' = / {), В" == 0 , а точкой обозначен оператор

дифференцирования с1/ сЬ.

Четверка ((М,Б),Ф,М) - пульверизационная модель КП (М,0); В не определена,_вообще говоря, на "изотропном" распределении сИ = 0 на М = М х Я и, тем самым, область определения 1)_состоит из двух связных компонент, на которые разбивается ТМ распределением ск = 0 (для одной - <11 > 0, для другой - Л < 0 ). Все исходные пространства, как обычно, предполагаются связными.

__Пусть О - область определения глобального _потока

р:0 -» ТМ:(у,т) = (х,А.,т) -> р (хД,т) пульверизации О. Как известно, О открыто в ТМ х К и Р - дифференцируемое отобра- ? жение (О также_состоит из_двух компонент связности). В § 26 доказано, что ТМ|= О п (ТМ х {1}) * 0, открыто в ТМ и состоит из _двух_ связных компонент; при этом_ пересечение М*| = ТМ|пМ5 (для каждого хеМ) открытое в М подмножесг-18

во, получающееся из некоторой звездной, открытой (в топологии М; ) окрестности нулевого вектора 0- е Mr выбрасыванием гиперплоскости "изотропных" векторов X € Ms, т.е. таких, что

dt(i) = ¡\.° = 0. _ _

Определено экспоненциальное отображение Ехр:ТМ|—> M:v -» Exp(v) = тф (v,x = 1) пульверизации D. Определение 4.3. Экспоненциальным отображением для

def

KIT D будет называться композиция :Ехр = ExpD -

def __ _____

= <PExp:TM\->M:v=(x,l) = (x,t,A,AO-> &p(v) =

= ф!ф(у, г = 1).

Предложение 4.5. Exp(х0,t0,Х0,At) =

= xj}(xaft0,lo / At J. +At) , где]3(хдМ/Л1}( t) *

s f}(x0,tg,k0 / At,t) интегральная кривая КП D (на TM) с начальным значением v, = (х0,Х0) — v(t — tg) - (х0,Х0 / At), At ф 0.

Необходимо иметь в виду, что - в отличие от стандартных экспоненциалов (для всюду определенных пульверизаций,' рима-новых и аффинных, в частности) - отображение Ехр не обладает рядом "хороших" свойств, имеющих место в стандартных случаях и связанных с тем, что обычные Ехр определены и регулярны на нулевых сечениях соответствующих касательных расслоений. Не имеют, вообще говоря, смысла общеизвестные теоремы о существовании нормальных и выпуклых окрестностей Уайтхеда.

Тем не менее, отображения Ехр (для D) и Ехр (для D), как показано в главе 4, так же важны для изучения КП, как и в стандартных случаях.

Основные результаты главы 4 базируются на следующей

фундаментальной теореме. _____

Теорема 4.5. Для любых х0 = (xa,tQ) е М,Ло = (Х0,лЦ) е Мх0 j

существует limjЕхр- ),xj0 — id: М~Хо ~> Мх0. Дифференцируемое отображение

def

Ехр<£"л>(А.) - icp(*o,t0,X.,t = t0 + At) = Елр(х0Д0Д At,At)

названо (определение 4.4) тонким экспоненциальным отображе-

19

нием КП Б в точке х0 (в момент "времени" 10 и за время АХ ф 0).

Тонкие экспоненциалы определены и при АХ - 0; тонкий экспоненциал за "нулевое время" Ехр('0, = % :ТМ -> М,

Классический экспоненциал для стандартной пульверизации Б является тонким: Ехр = Ехр('0'Л=1\ При этом, т.к. величина 10 не имеет значения, обычно полагают = 0.

В качестве примера сформулируем две теоремы прикладного характера, доказанные в главе 4.

Теорема 4.15. Пусть х(Т) = х0(1 е Л) - положение равновесия КЛ0й =(М,0) и тонки хд = х(10) и = х(Г0 не сопряжены на траектории х(/), тогда существуют такие окрестности IV с МХо и V С М нулевого вектора в МХди,

соответственно, точки х0 в М, что Ехр(£ - диффеоморфизм IV на V, причем окрестность № можно считать звездной.

Эта теорема обобщает классический результат о. существований нормальной окрестности точки аффинносвязного и, в частности, риманова пространства. Однако, "квазинормальная" пара окрестностей ,"\У и V не обладает, вообще говоря, обычными "хорошими" свойствами: лучи в "испускаемые" ( или "поглощаемые" при АХ <0) центром звезды - нулевым вектором, не обязаны переходить в отрезки траекторий КП В; кроме того, хотя каждая точка х £ V и соединена с ха единственной траекторией КП Б с начальной "скоростью" из >У, пробегаемой за "время" АХ, траектория эта не обязана целиком лежать в V.

При выполнении условий теоремы 4.15 имеет место

Теорема 4.16. Для любой окрестности V а М положения равновесия х0 КП (М ,0) найдется такая окрестность IV/) с ТМ нулевого вектора у0 = (х0,0) с МХд и окрестность У1 а М точки х0, что при некоторых е> 0 и 8>0 любые две точки р еУ0 = жЖ0 и 4 для наперед заданных

С0 е[70-+ и АГ' е[АГ-8,А1 + 3] (А1ф0л 0 -г ¿\) соединены в V единственной траекторией

у(/) КПП, проходящей через р при 1-Х0 с начальной "скоростью" йу / Л|(=(- е М р п ¡Уд и пробегаемой за "время" А?.

В частности, для р = д е У0 Г\ \\ теорема гарантирует существование двухпараметрического семейства петель-траекторий КП Б с началом в р; если р не является положением равновесия, то это семейство, в известном смысле, невырождено.

Пульверизационное моделирование главы 4 приводит к ряду других результатов по двухконцевой задаче для КП, контактирующих с аналогичными результатами Ю.Е. Гликлиха и Е.И. Яковлева.

Следует отметить, что первое сообщение о результатах главы 4 сделано автором на итоговой научной конференции Горь-ковского университета в 1982 г.

Глава 5. В этой главе на базе пульверизационного моделирования развивается геометрическая теория КП. В частности, вводится ряд дифференциально-геометрических характеристик КП (МД), таких, например, как: связность КП; ковариантное дифференцирование, определяемое КП (МД) в пространстве событий М = МхЯ; тензоры кривизны и проективные тензорные инвариа_нты_КП; проективные параметры КП и др.

Если ((М,Б),Ф,М) - пульверизационная модель КП (М,0, то коэффициенты связности Г^ КП (МД) определяются равенствами

-Цу(х\х5) = ^дуОл(х5,х&), где д?=д/ дхК

Не приводя здесь формул для других дифференциально-геометрических характеристик КП, отметим, что они, как и коэффициенты связности Гру КП (МД) выражаются в терминах правых частей ОДУ (МД).

Введенный дифференциально-геометрический аппарат оказался эффективным и тонким инструментом исследования точечных изоморфизмов КП. В отличие от классической теории С. Ли становится возможным, во-первых, благодаря присутствию в пространстве М = М х К событий КП (МД) связности этого КП, различать аффинные и проективные точечные изоморфизмы КП и, во-вторых, из-за наличия "изотропного" распределения сЛ = 0 в М, всевозможные точечные изоморфизмы КП подразде-

21

лить на собственные, т.е. сохраняющие распределение сИ = 0, и несобственные, т.е. произвольные квазиизоморфизмы (см. § 31). Классическое же толкование точечного изоморфизма совпадает -в нашей терминологии - с понятием проективного несобственного изоморфизма, т.е. проективного квазиизоморфизма. В рамках осуществленной в главах 4 и 5 геометризации теории КП найдены инвариантные геометрические критерии различных точечных конечных (дискретных) изоморфизмов КП (теоремы 5.3 и 5.4). Кроме того, полностью решена проблема как аффинной, так и проективной точечной тривиальности КП (теоремы 5.6 - 5. Ю).

Для примера приведем некоторые теоремы.

Теорема 5.7. Для того, чтобы КП (М, /) был локально

аффинно квазиизоморфен тривиальному КП й2х1 / Ж2 = 0, необходимо и достаточно, чтобы правые части ОДУ (М) - функции /' удовлетворяли условиям:

1) /'- полиномы 2-ой степени относительно "скоростей" /У = с!х' / Л:

Г = -Гпп(х,1) - 2Г)п(х,1)Х - Г)к(х,1))>£ ;

2) = + =

где 1<1,]\к,$<п-1\1<р,у,8<п.

В случае п=2, т.е. когда КП (М,П определяется одним скалярным уравнением ё2х / сИ:2 = Д-эсД,дх / (И) теорема 5.7 принимает следующий вид.

. Теорема 5.8. Одномерный КП (М, /) тогда и только тогда аффинно квазиизоморфен тривиальному, когда:

1) / = А(х,1) + 2В(х,Т)(с1х/Л) + С(х^)(Ох/Л)2;

2) = ° 2

Теорема 5.9 дает необходимые и достаточные условия локальной проективной квазиизоморфности КП (М,Г) тривиальному КП. 22

В качестве следствия теоремы 5.9 получаются известные условия Трессе-Картана локальной точечной тривиальности одномерных КП.

Представляют также интерес некоторые следствия найденных в главе 5 общих условий (теорем 5.10 и 5.11) тривиальности квадратичных по "скорости" КП (M,f = f2 + fi + f0). В координатах:

f1 = -Г]к(У,О^Ак - 2Ц{х',Х)Х} - АЧ-*',0,

где 1 <i, j, к ; / < п -1 = dimМ ; X = dx / dt.

Следствие 1. Для того, чтобы автономный КП (М,f) при dimM > 2-й при Bj = 0 был проективно эквивалентен тривиальному, необходимо и достаточно: a) R'jk / -0,6) Vy/j' = a Sj , где R']k J - тензор кривизны, a Vy- - оператор ковариантлого_ дифференцирования связности r'jk.

Можно отметить, что условие а) означает аффинную евкли-довость связности Г'к, а условие б) является условием геодезич-ности в смысле Я.Л. Шапиро ( или конциркулярности в смысле К. Яно) векторного поля А.

Не приводя здесь условий тривиальности КП (М, f = f2 + f(), отметим, что проективно тривиальным является КП на евклидовой плоскости Е2 с уравнением х = Шу ,у = -Fix (Н = const). Траектории - ларморовы окружности, по которым движется электрон в постоянном магнитном поле, перпендикулярном Е2. Этот КП не является аффинно тривиальным.

В то же время, демпфированный гармонический осциллятор

х + 2кх + со2х = 0 (к = const, со = const)

при к2 = га2 является аффинно тривиальным; при к2 Ф ©2 он, как следует из условий Трессе-Картана, проективно тривиален.

Глава 6. В этой главе геометрическая теория КП получает дальнейшее развитие. Найдены критерии точечных инфинитези-мальных симметрии произвольных КП. Основные же результаты относятся к одномерным КП. В частности: введено понятие КП, взаимного (двойственного) по отношению к заданному; получена классификация по степени проективной подвижности пар взаим-

23

ных одномерных КП, связность которых как проективно эквивалентна аффинной (теорема 6.7), так и, наоборот, не является таковой (теорема 6.9). Оба этих результата - новые. Из теорем 6.7 и 6.9 в качестве содержательного приложения и примера получается известная еще С. Ли классификация всех одномерных КП; при этом использованы результаты Дж. Ливай-на. Наоборот, все результаты Дж. Ливайна, относящиеся к проективным коллинеациям двумерных обобщенных пространств ( и аффинносвязных в том числе), могут быть получены методом пульверизационного моделирования из классификации С. Ли одномерных КП.

Теорема 6.7. Одномерный КП (М = R,f ), связность которого проективно эквивалентна аффинной и - одновременно - двойственный ему КП (МдВ = Я,/дв.) могут допускать четыре типа полных локальных групп (алгебр) Gr инфинитезимальных проективных квазисштетрий с генераторами Ха, 1 < а < г :

1)G1:X1 = (0,1)

2)GZ:X1 = (0,1), Х2 = (x,t)

3) G3:Xj = (0,1), X2=(x,2t),X3 = (xt,t2)

4) G8:Xj - (0,1), X2=(1,0), X3=(t,0), X4 = (0,x),

X5 = (x,0), X6 = (0,t), X7 = (xt.t2), X8 = (x2,xt)

При этом правая часть f (x,t,Л), Л = dx / dt, уравнения КП (M ,f) тогда и только тогда имеет вид:

1) f = А(х)Л3 +В(х)Л2 + С(х)Л + D(x),

где А, В, С, D - произвольные функции от х, не удовлетворяющие условиям Трессе-Картана, когда КП (M,f) допускает группу

2) f = (l /х)(АЛ3 + ВЛ2 + CA + D),

где А, В, С, D - произвольные постоянные, a f не удовлетворяет условиям Трессе-Карпшна, когда КП (M,f) дотекает группу в*

3)/ = Ь/х3,

где константа b ф 0, когда КП (M,f) допускает группу G3\ 24

4) / s 0, когда КП (М ,f) допускает группу Gs. Кроме того, правые части /дВ - /дВ (t ,х,т]) (r] — dt '/dx) двойственных КП имеют в соответствующих случаях вид:

П /дв. = -D(x)rf ~C(x)rf - B(x)ij- А(х);

2) /дв. =а/ x)(-Drf - Crf - Brj~A);

3) /дВ.=-(Ъ/х3)гГ;

-t) /дв. = О-

Не формулируя здесь теорему 6.9, отметим, что она дает девять классов КЛ (M,f), два из которых (допускающие 3-мерные алгебры точечных симметрий) отсутствуют в сводной классификационной таблице, приведенной в известной работе Н.Х. Ибрагимова "Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений" (М.: Знание, 1991.-48 е.).

Из полученных ранее (в частности, И.П. Егоровым) классических результатов о размерностях полных локальных • групп (алгебр) аффинных и проективных движений общих пространств путей и из результатов главы 5 и главы 6 вытекают следующие теоремы.

Теорема 6.10. Максимальная размерность алгебры аффинных квазиегьмметрий (А КС) (п -1)-мерного КП(М,/) равна

г = п2 + п.

Теорема 6.11. Для того, чтобы (п-1) -мерный КП (М,/) допускал полную алгебру Gr А КС максимальной размерности г ~ п~ + п, необходимо и достаточно, чтобы КП (M,f) был аффинно квазиизоморфен тривиальному КП. В частности, одномерный КП допускает б-мерную алгебру АКС, если и только если он удовлетворяет условиям теоремы 5.8.

Теорема 6.12. Максимальная размерность алгебры проективных квазисимметрий (ПКС) (п -1) -мерного КП(М,/) равна г — п2 + 2п.

Теорема 6.13. КП (Mn_i, /) тогда и только тогда допускает алгебру Gr ПКС максимальной размерности г = п2 + 2п, когда (Mn_j, /) проективно квазиизоморфен тривиальному КП. В частности, одномерный КП допускает 8-мерную алгебру ПКС в том и только в том случае, когда он удовлетворяет условиям

25

Трессе-Картана.

Теорема 6.14. Если КП (Mn^,f) допускает алгебру Gr АКС с г >п2, то f аффиино квазиизоморфен тривиальному КП.

Теорема 6.15. Если КП (МпА,/) допускает алгебру Gr АКС с г> п2 -п + 1, то (стандартная) связность КП f аффин-но квазиизоморфна аффинной связности.

Теорема 6.16. Если связность КП (Mn_j,f) не является аффинно кеазиизоморфной аффинной связности, то размерность г максимальной алгебры АКС потока / удовлетворяет неравенству г <п2 -И+ 1.

Теорема 6.12 и 6.13 известны (они доказаны A.B. Аминовой и С. Ли), однако у нас они получены в качестве приложения метода пульверизационного моделирования КП. Теоремы 6.10, 6.11, 6.14-6.16 являются, по-видимому, новыми.

Глава 7. Как и в предыдущих главах, геометрический аппарат пульверизационного моделирования используется здесь для изучения точечных симметрии КП, на сей раз, пульверизации. В качестве приложения дана классификация двумерных пространств аффинной связности по допускаемым ими алгебрам точечных собственных аффинных симметрий (§ 42) и по алгебрам точечных собственных проективных симметрий (§ 44). Кроме того, на основе пульверизационного моделирования решена проблема Э. Картана моделирования интегральных кривых произвольного КП геодезическими линиями обобщенной проективной связности (§ 45).

Приложение. Оно состоит из трех глав (12 параграфов) и посвящено изучению псевдориманова пространства (М, dS2), допускающего геодезическое поле (термин Я.Л. Шапиро) одномерных направлений с изолированными особенностями. Предполагается, что указанное одномерное распределение глобально задано векторным полем А. Доказано, что Ф = id:M -> М - тра-екторный морфизм потока 1-го порядка А в КП - геодезический поток метрики dS2. На этом траекторном морфизме базируется определение зоны особой точки поля А - одного из центральных понятий "Приложения", с помощью которого конструируется "клетка" и "клеточное" псевдориманово многообразие.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К защите представляются следующие результаты диссертации.

1. Теоремы о лифтировании КП по отношению к заданной субмерсии (теоремы 1.2 - 1.4), обобщающие аналогичные результаты М.А. Улановского и Б.Н. Шапукова по аффинным связнос-тям.

2. Критерии траекторных (гомо)морфизмов потока 1-го порядка в КП (теорема 1.5) и КП в КП (теоремы 1.6 - 1.13) как обобщение и развитие известных ранее результатов Т.Леви-Чивиты, А.З Петрова, Я.Л. Шапиро, Е.И. Яковлева и др. о траекторных морфизмах геодезических и полиномиальных потоков.

3. Результаты о включаемых КП (теорема 1.14, предложения 1.9,1.10 и § 9), обобщающие и уточняющие исследования Э. Кар-тана и Я.Л. Шапиро по включаемым (моделируемым аффинной связностью) системам траекторий и путей.

4. Теорема о включении электромагнитного поля в римано-зу калибровочную структуру (теорема 2.3), которую можно рассматривать, с одной стороны - как приложение и обобщение геодезического (моно)моделирования КП Э. Картана, А.З. Петрова, Я.Л. Шапиро, а с другой - как обобщение на случай неабелевой калибровочной группы метода Рауса-Харламова редукции к меньшей размерности.

5. Результаты , относящиеся к проблеме траекторной изо-морфности (эквивалентности) КП; в частности, критерии изо-морфности двумерных КП 2-ой степени типа В2 (теоремы 3.3 и 3.4) и вычисление инвариантов траекторных изоморфизмов КП 2-ой степени (теоремы 3.1, 3.2, 3.5 - 3.7), в том числе инвариантов - аналогов проективных параметров Томаса.

6. Критерии инфинитезимальных траекторных симметрий полиномиальных КП 2-ой степени (теоремы 3.8 - 3.11), являющиеся новыми и, по-видимому, первыми результатами по инфини-тезимальным траекторным симметриям КП с ненулевыми "силами".

7. Классификация (с точностью до подобия) двумерных полиномиальных КП (M,f = f2-bf1) типа В2 по допускаемым ими локальным группам (алгебрам) Ли траекторных симметрий

27

для случая кососимметричного, невырожденного и не инвариантного аффинорного (магнитного) поля ^ (теоремы 3.14 - 3.17).

8. Построение пульверизационной модели произвольного КП (теорема 4.1), иначе говоря, доказательство того замечательного факта, что произвольный КП (М,Ю) (или,что одно и то же, ОДУ 2-го порядка) может быть отождествлен с обобщенной (вообще говоря, зависящей от направления) связностью Г в пространстве М = М х Я событий КП (М,0).

9. Определение экспоненциальных и тонких экспоненциальных отображений для КП и их применение в двухконцевой задаче (теоремы 4.5, 4.7,4.10-4.12,4.14-4.19).

10. Разработка геометрической теории КП, базирующейся на пульверизационном моделировании и, в частности, определение ряда дифференциально-геометрических характеристик КП, таких, например, как связность КП, ковариантное дифференцирование в пространстве событий КП, тензоры кривизны КП, проективные параметры КП и другие (тензорные) проективные инварианты КП (глава 5).

11. Геометрические критерии точечных конечных (как аффинных, так и проективных) изморфизмов КП (теоремы 5.2 -5.5).

12. Решение средствами пульверизационного моделирования проблемы точечной, как аффинной, так и проективной, тривиальности КП, приводящее в одномерном случае к классическим результатам Трессе и Картана, а в многомерном (и в аффинном одномерном) - к новым результатам (теоремы 5.6 -5.9).

13. Геометрические инвариантные критерии точечных инфинитезимальных проективных квазисимметрий (ПКС) КП, эквивалентные определяющим уравнениям С. Ли, полученным классическим "методом продолжения" (теорема 6.4).

14. Инвариантные критерии точечных инфинитезимальных собственных симметрий, как аффинных (АС), так и проективных (ПС), и критерии аффинных квазисимметрий (АКС) (теоремы 6.3, 6.4 и предложение 6.5), по отношению к которым методы классической теории С. Ли "не работают".

15. Уточнение - средствами развиваемой в диссертации геометрической теории КП - классификации одномерных КП по 28

допускаемым ими действительным алгебрам проективных квази-симметрий, известной в комплексном случае еще С. Ли (теоремы 6.7 и 6.9).

16. Результаты о размерностях максимальных (полных) алгебр Ли симметрий КП (теоремы 6.10 - 6.16), часть из которых (теоремы 6.12 и 6.13) другим способом получены ранее С. Ли и A.B. Аминовой. Теоремы 6.10, 6.11 и 6.14 - 6.16 являются, по-видимому, новыми.

17. Применение методов геометрической теории КП (пуль-веризаиионного моделирования) к изучению точечных инфини-тезимальных симметрий пульверизации (теоремы 7Л ' - 7.4). Теорема 7.3, в частности, обобщает соответствующий результат A.B. Аминовой, относящийся к аффинной связности (не зависящей от направления).

18. Приложение траекторных морфизмов к исследованию геометрии псевдоримановых пространств с геодезическим полем одномерных направлений с изолированными особыми точками. Полученные здесь (в "Приложении") теоремы распространяют соответствующие результаты A.C. Солодовникова и Н.Р. Камы-шанского по аналитическим псевдоримановым пространствам с полюсами на не аналитический случай.

Актуальность, научная новизна, достоверность, практическая и теоретическая значимость диссертационной работы тщательно проверены сопоставлением с известными результатами Ли, Трессе, Картана, Томаса, А.З. Петрова, Я.Л. Шапиро, М.А. Улановского, Б.Н. Шапукова, A.C. Солодовникова, A.B. Аминовой и др. Они подтверждены опубликованием результатов диссертации в печати и итогами их многочисленных обсуждений на геометрических семинарах Казанского. Московского и Нижегородского университетов, а также на всесоюзных, международных и других научных конференциях и семинарах.

Выносящиеся на защиту результаты, перечисленные в пунктах 1 - 3, 5, 6, 8 - 15, получены и опубликованы без соавторов в работах [1], [2], [4], [7], [10], [11], [16], [17], [18], [21 - 34]. Результаты 7, 16 и 17, которые также получены без соавторов, представлены к опубликованию.

Результаты 4 и 18 получены совместно с Я.Л Шапиро и анонсированы в кратких сообщениях [20], [13], [14]. Ихподроб-

29

ное изложение содержится в диссертации (см. §13 - §16 и "Приложение"). Работы [3], [5], [6], [8], [9], [12], [15], [19], совместные с Я.Л. Шапиро, содержат теоремы либо являющиеся частными случаями и приложениями основных результатом диссертации, либо непосредственно к ним примыкающие. Все результаты, полученные с Я.Л. Шапиро, принадлежат соавторам в равной мере.

В заключение необходимо сказать следующее. Работа над диссертацией никогда не была бы закончена, а возможно, даже и начата, если бы автор не ощущал постоянную поддержку близких ему людей, друзей и коллег. Искренне их всех благодарю.

Благодарю также руководителей и участников многочисленных семинаров и конференций за их внимательное и доброжелательное участие в обсуждении как диссертации в целом, так и ее отдельных результатов.

Выражаю особую признательность и глубокую благодарность моему, ныне покойному, учителю Я.Л. Шапиро - блестящему геометру, много лет тому назад направившему научные интересы автора в русло изучаемых проблем и стимулировавшему своим вниманием работу над ними.

ОСНОВНЫЕ РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. ИгошинВ.А. Теоремы разложения для пульверизаций//Материалы 3-ей научной конференции молодых ученых механико-математического факультета ГГУ. - Горьков. ун-т. - Горький, 1978. -Деп. в ВИНИТИ. 1978, № 2515-78 Деп. - С. 45-62.

2. Игошин В.А. Субмерсии, сохраняющие траектории квазигеодезических потоков // Материалы 4-ой научной конференции молодых ученых механико-математического факультета ГТУ. -Горьков. ун-т. - Горький, 1979. - Деп. в ВИНИТИ. 1979, № 2856-79 Деп. - С. 34-43.

3. Шапиро Я.Л., Игошин В.А. Гомоморфизмы квазигеодезических потоков // Седьмая всесоюзная конференция по современным проблемам геометрии. Тезисы докладов. - Минск, 1979.

- С.224.

4. Игошин В.А. Об одном классе дифференциальных уравнений 2-го порядка на многообразиях II Дифференциальные и интегральные уравнения. - Горький: Изд-во Горьков. ун-та. 1979. --Вып. 3.-С. 190-191.

5. Шапиро Я.Л., Игошин В.А. Гомоморфизмы квазигеодезических потоков // ДАН СССР, 1980. - Т. 252, № 2. - С. 303-306.

6. Игошин В.А., Шапиро Я.Л. Стабильность слоев слоения с совместимой с ним римановой метрикой // Матем. заметки, 1980.

- Т. 27, Вып. 5. - С. 767-778.

7. Игошин В.А. Теоремы разложения для двуслоений, совместимых с пульверизацией // Матем. заметки, 1980. - Т. 28, Вып. 6.

- С. 923-934.

8. Шапиро Я.Л., Игошин В.А. Мономорфизмы квазигеодезических потоков// Изв. вузов. Матем.,1980. - № И. - С. 85-87.

9. Шапиро Я.Л., Игошин В.А. Теорема стабильности для слоев римановых параллельных слоений // Изв. вузов. Матем., 1980.

- № 7. - С. 74-76.

10. Игошин В.А. Поднятие динамической системы 2-го порядка II Материалы 5-ой научной конференции молодых ученых механико-математического факультета и НИИ механики ГГУ. -Горьков. ун-т. - Горький, 1980. - Ч. 2 - Деп. в ВИНИТИ. 1981, № 1836-81 Деп.-С. 173-177.

11. Игошин В.А. О двуслоениях, совместимых с дифференциаль-

31

ным уравнением 2-го порядка // Материалы 6-ой научной конференции молодых ученых механико-математического факультета и НИИ механики ГГУ. - Горькое, ун-т. -Горький, 1981,- Ч. 3 - Деп. в ВИНИТИ. 1982, № 202-82 Деп. - С. 380-383.

12. Шапиро Я.Л., Игошин В.А. Отображения, сохраняющие траектории квазигеодезических потоков // Изв. вузов. Матем., 1983,-№2.-С. 72-79.

13. Шапиро Я.Л., Игошин В.А. Особые точки геодезического поля И Изв. вузов. Матем., 1984. - № 9. - С. 79-82.

14. Шапиро Я.Л., Игошин В.А. Геодезическое поле с особенностями и клеточное многообразие// Изв. вузов. Матем., 1984. -№ 11.-С. 74-77.

15. Шапиро Я.Л., Игошин В.А. Геодезическое поле направлений в общей теории относительности //Изв. вузов. Матем., 1987. -№ 6. - С. 72-76.

16. Игошин В. А. Включение электромагнитного поля в риманову калибровочную структуру // Горьков. ун-т. -Горький, 1987. -29 с. - Деп. в ВИНИТИ, 1987, № 4343-В87.

17. Игошин В.А. Абелево-калибровочная структура с инвариантной метрикой, редукция Рауса-Харламова и моногеодезическое моделирование// Горьков. ун-т. - Горький, 1987.- 15 с. -Деп. в ВИНИТИ, 1987, № 4402-В87.

18. Игошин В.А. Проективное аффинно-геодезическое моделирование обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и 2-ой степени // Горьков. ун-т. - Горький, 1988. - 13 с.-Деп. в ВИНИТИ, 1988, № 3548-В8"8.

19. Игошин В.А., Шапиро Я.Л. Геодезическое моделирование и экспоненциальное отображение // Девятая всесоюзная геометрическая конференция. Тезисы докладов,- Кишинев, 1988. - С. 132-133.

20. Игошин В.А., Шапиро Я.Л. Квазигеодезическое отображение и риманова калибровочная структура // ДАН СССР, 1989-, - Т. 305, №5.-С. 1035-1038.

21. Игошин В.А. О квазигеодезических потоках // Горьков. ун-т. -Горький, 1989. - 67 с. - Деп. в ВИНИТИ, 1990, № 392-В90.

22. Игошин В.А. О пульверизационном моделировании // Горьков. ун-т. - Горький, 1989. - 36 с.-Деп. в ВИНИТИ, 1990, № 1238-В90.

23. Игошин В.А. Гомоморфизмы квазигеодезических потоков 2-ой степени// Изв. вузов. Матем., 1990. - № 9. - С. 14-21.

24. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование квазигеодезических потоков //ДАН СССР, 1991. -Т. 320, № З.-С. 531-535.

25. Игошин В.А. Проективная связность Картана и геодезическое моделирование // "Лобачевский и современная геометрия" Международная научная конференция. Тезисы докладов. Ч. 1. -Казань, 1992.-С. 35-36.

26. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование. 1.//Изв. вузов. Матем., 1992. - № 6. - С. 63-70.

27. Игошин В.А. Проективная связность Картана и геодезическое моделирование// Изв. вузов. Матем., 1994. - № 2. - С. 2729.

28. Игошин В.А. Об автоморфизмах квазигеодезических потоков // Алгебра и анализ. Тезисы докладов международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. - Ч. 1. - Казань, 1994. - С. 42.

29. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование. II. // Изв. вузов. Матем., 1994. - № 10. - С. 26-32.

30. Игошин В.А. Геометрия квазигеодезических потоков. I. // Нижегородский университет. - Нижний Новгород, 1994. - 18 с.-Деп. з ВИНИТИ, 1994. № 1991-В94.

31. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование. III.//Изв. вузов. Матем., 1995. - № 5. - С. 39-50.

32. Игошин В.А. Проблема тривиальности для квазигеодезических потоков /У Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - Калининград: Изд-во Калининградского ун-та, 1995. - Вып. 26. - С. 49-54.

33. Игошин В.А. Изоморфизмы квазигеодезических потоков и их инварианты II Доклады РАН, 1995. - Т. 345, № 6.

34. Игошин В.А. Об одной проблеме Э. Картана // Доклады РАН, 1996.-Т. 346, №1.