Единственность и динамика гиббсовских случайных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Единственность предельных гиббсовских полей

§ I. Гиббсовские поля со случайным взаимодействием

§ 2. Единственность предельного гиббсовского распределения со случайным взаимодействием

§ 3. Построение кластерного разложения

§ 4. Экспоненциально регулярное кластерное разложение

§ 5. Доказательство единственности и аналитичности предельного гиббсовского распределения

§ 6. Единственность предельного гиббсовского поля с неограниченным спином

§ 7. Рост граничных условий .•.

ГЛАВА 2. Динамики классического газа

§ I. Идеальный классический газ

§ 2. Полиномы Шарлье

§ 3. Спектральное разложение свободной динамики

§ 4. Локальное возмущение классического газа

§ 5. Кластерные свойства возмущенной динамики

§ 6. Морфизмы Меллера на фазовом пространстве

§ 7. Метрический изоморфизм идеальной и локально возмущенной систем

В диссертации рассматривается ряд задач теории вероятностей и статистической механики, сочетающих в себе методы теории вероятностей и функционального анализа.

Диссертация посвящена изучению проблем равновесной статистической механики гиббсовских случайных полей, таких, как существование предельного гиббсовского распределения, его единственности и аналитической зависимости от параметров, и неравновесной статистической механики: свойствам динамик классического газа.

В первой главе диссертации исследуются гиббсовские по

I ^^ ля на решетке . Общее определение распределения Гиббса появилось в работах Р.Л.Добрушина , [э]), О.Ланфорда и Д.Рюэля ([34"]), различным проблемам гиббсовских систем посвящены монографии Д.Рюэля ([17]) и Я.Г.Синая (["18]).

В диссертации рассматриваются две модели гиббсовского поля на решетке с парным потенциалом ближайших соседей: гиббсовское поле со случайными взаимодействиями и гиббсовс-кое поле с некомпактным пространством конфигураций спинов системы. Для первой модели исследуется вопрос о единственности предельного гиббсовского поля для почти всех параметров случайного взаимодействия относительно довольно произвольного вероятностного распределения, а для второй - единственность предельного гиббсовского поля при растущих вместе с объемом граничных условиях в некоторых классах случайных полей на решетке. Обе задачи объединяет метод выделения случайного объема, в первом случае объем зависит от значений параметра случайного взаимодействия, а во втором - от конфигурации спинов. Обе задачи также объединяет метод кластерных разложений корреляционных функций.

В первой модели множеством конфигураций спинов системы является множество а множеством параметров случайного взаимодействия системы

П' - { со : со = (со^) , Сй^ъо , ¡¿-¿'[ = 1 Парный потенциал взаимодействия имеет вид К + (о.1) где jB> называется обратной температурой, А > О - параметром внешнего поля. Пусть на и, ■= { к ; х^О) задано вероятностное распределение Р0 . Тогда г^г О ж

-Р -^о у где - множество ребер решетки является вероятностным распределением на при котором и)±±, будут независимыми одинаково распределенными случайными величинами.

Пусть }Л о есть вероятностная мера на , относительно которой &± - независимые случайные величины, принимающие значения ±1 с вероятностью ^. Данная модель является гиббсовским полем со случайным взаимодействием.

Активное изучение гиббсовских полей со случайным взаимодействием началось с работ С.Эдвардса и Р.Андерсона([29]) и Д.Шеррингтона и С.Киркпатрика( ¡40]). Ими, в частности, был введен параметр порядка системы со случайным взаимодействием и определены термодинамические фазы. Возникшей при этом проблеме существования фазового перехода для почти всех параметров взаимодействия посвящены работы Я.Г.Синая и К.М.Ханина([*19], [зз]), где рассматривались одномерные модели с дальнодействующим потенциалом, Ж.Аврона, К.Рапшторфа и А.Шульмана([22], [зэ]), в которой изучались системы с конкурирующими ферромагнитным и антиферромагнитным взаимодействиями, и ряд других работ ([31], ¡41]). Существованию предельной свободной энергии, которая не является случайной величиной, и другим задачам, возникающим при исследовании гиббсовских систем со случайным взаимодействием, посвящены работы А.Энтера, Р.Гриффитса, А.Шуто, П.Вуиллермонта и других ( [28] , [31], [41 - 43]).

В диссертации исследуется гиббсовская система с неограниченным параметром случайного взаимодействия на решетке любой размерности. При этом изучаются свойства гиббсовского поля,соответствующего данному параметру взаимодействия, но присущие с вероятностью I всем гиббсовским поля со случайным взаимодействием (0.1). В параграфах 3-5 первой главы диссертации доказывается

Теорема I. Для любого вещественного I\о>0 и произвольного вероятностного распределения Ро на К , не сосредоточенного в нуле, существует > 0 , зависящее только от Р0 и /?0 , такое, что при ] ^ для почти всех по Р па

О и . м раметров случайного взаимодежствия со

1. существует предельное гиббсовское распределение ^^$ соответствующее потенциалу (0.1) и параметру случайного взаимодействия со , у

2. для любого конечного подмножества А с существу' ет экспоненциально регулярное кластерное разложение см. определение [Т3~]) корреляционной функции = щ: , (0-2) где суммирование ведется по всем конечным подмножествам Я с таким, что любая их 1-связная компонента пересекается с А , 3. предельное гиббсовское распределение единственно и все корреляционные функции аналитически зависят от р и Ь в области { (ргк): 1/1 Я?Ь>Ь0}.

При доказательстве теоремы I используется метод кластерных разложений корреляционных функций.

Формальные ряды кластерных разложений использовались в физике сравнительно давно. Первое же доказательство сходимости получили Н.Н.Боголюбов и Б.Н.Хацет в 1947 году ([:2]). С тех пор кластерные разложения получили широкое развитие. Многие новые идеи и результаты принадлежат Дж.Глимму, А. Джаффе, Р.Л.Добрушину, В.А.Малышеву, Р.А.Минлосу, Я.Г.Синаю и другим ([б], [в], [13 - 15], [18], [35]). Метод кластерных разложений использовался как для изучения предельных гиббсовских распределений, так и для исследования спектров гамильтонианов и трансфер-матриц ([I], [II] , ["13 - 1б] , [20], [21], [35], [36]).

Для исследования гиббсовских полей со случайным взаимодействием этот метод ранее не применялся. Как видно из теоремы I, он позволяет изучать свойства гиббсовских распределений, соответствующих индивидуальным параметрам случайного взаимодействия, и свойств, соответствующих почти всем параметрам. В частности, из экспоненциальной регулярности кластерного разложения (0.2) следует утверждение: Следствие I. При выполнении условий теоремы I для семиинвариантов по гиббсовской мере уи ^ справедливы равномерно сильные оценки (см. §6 14 ), например, с где С - константа зависящая только от )) и Ро , Д -параметр, не зависящий от со и стремящийся к нулю при£->0.

Во второй модели гиббсовского случайного поля, рассматриваемой в параграфах 6 и 7 первой главы, множеством конфигураций спинов системы является множество

Л = Л = { х = , ** 6« , г9}, а парный потенциал взаимодействия имеет вид оС I где

В 1968 году Р.Л.Добрушин сформулировал и доказал критерий единственности предельного гиббсовского поля в терминах условного распределения вероятностей значения спина системы в точке при заданных значениях спинов в остальных точках решетки. В работе [9] он обобщил этот критерий, воспользовавшись расстоянием Канторовича-Рубинштейна вместо расстояния по вариации. Используя критерий Добрушина, М.Кассандро, Е.Оливьери, А.Пеллигринотти и Е.Презутти([2б]) доказали единственность предельного гиббсовского распределения, соответствующего потенциалу (0.3) с ((=2 и УК>Ц при экспоненциальном росте граничных условий и достаточно большом УУ]К . В работе [27] Р.Л.Добрушин и Е.А.Пв'терский сформулировали новый критерии единственности предельного гиббсовского поля. Они рассматривали единственность в классе ,Г—7 случайных полей с равномерно ограниченными матемао тическими ожиданиями значений спинов системы в отдельных точках рашетки.

В диссертации доказывается единственность гиббсовского поля с фиксированным потенциалом (0.3) в классах случайных полей 011 и 01 г , описанных ниже. Оба эти класса не являются подмножествами Г~? , поэтому критерий Добрушина-Печерского не применим. При этом в теореме 2 допускается более быстрый рост граничных условий, чем в работе ¡2б].

Рассмотрим два класса случайных полей на решетке , зависящих от константы а>1. ¿ад состоит из таких случайных полей, что вероятность И состоит из таких случайных полей, что где лГ - целое число, а 1Л дг I - объем куба из Ж. с ребрами, равными лг.

Рассмотрим два типа потенциалов (0.3): где Р есть полином конечной степени, большей или равной 4, и ограничений снизу, д - маленькая ненулевая константа, (и) пп0> О - достаточно мало. Теорема 2. Любое предельное гиббсовское поле с фиксированным потенциалом (0.3) типа й) или (И) единственно среди случайных полей класса для некоторого А>1, и любое предельное гиббсовское поле с фиксированным потенциалом (0.3) с об = Тк типа (и) единственно в классе .

При доказательстве теоремы 2 используются кластерные разложения корреляционных функций гиббсовских мер, соответствующих потенциалу (0.3) типа (¿) или (и) и ограниченным граничным условиям (см. [д], £[4}) , и утверждение I (см. ниже).

Обозначим через 1-Рлг вероятность того, что существу

Ах «ч» ет объем А такой, что Ад^ СА сЛдг »и все значения спинов на границе А меньше фиксированного числа В > О . Утверждение I. Если , то существует число А>4 такое, что если все граничные условия , * е "ЭЛдг , удовлетворяют неравенству лГ

1**1 < АД , то

Рлг * С, **р(-сглг)9 (0.4) где ^ и Г2>0 - константы, не зависящие от ЛГ. Если & - Тк , то существует А ^ 1 такое, что если

1**1 < А^, то неравенство (0.4) также выполнено.

Во второй главе диссертации рассматривается гиббсовская модель классического газа.

Определение б. Идеальный классический газ есть четверка (0,Т, элементы которой описаны ниже.

О. является множеством всех локально конечных подмножеств Л , мы будем называть его фазовым пространством классического газа. Пусть со е0. , тогда со является конечным или счетным подмножеством /Я**— ¡Кх х и все его точки можно занумеровать, то есть

О = { ых = гг^^/бг1^ где эс,- мы будем называть координатой, а ^ - скоростью ¿-ой частицы классического газа.

29

Для любого ограниченного подмножества В с К введем целочисленную функцию <^3 (со) на £1 со) = сягс/ (со Л В) .

Пусть 21 наименьшая б'-алгебра измеримых подмножеств -О. , относительно которой измеримы все функции в . Пусть

- /<= о, .

Зададим на пуассоновскую меру ^м следующим образом

С-р(в)) и, если В£ П В2 - , то где /> - борелевская мера на Я » имеющая плотность относительно лебеговской меры

Соп&* ехр (-Р (V, V))} р>>0 называется обратной температурой , а 0,0 - скалярное произведение на Я.^ .

Пополним 2 по мере ^М и обозначим пополнение 2С . Опишем последний элемент четверки Т*. Пусть од-нопараметрическая группа сдвигов на Р. ( х + гт) .

Переменную ^ мы будем называть временем. Определил на пространстве 2 у поток ] , который будем называть свободной динамикой идеального классического газа, следующим образом

Т*со = { вих-^гг;), ЫЖ*} г где со = { С-*;,^,), / е . Утверждение /12]. Поток Т* определен на Л и мера инвариантна относительно Т*.

Поток Т* индуцирует однопараметрическую сильно непрерывную группу унитарных операторов на (П, Х^)

Группу мы также будем называть свободной динамикой.

Так как группа является сильно непрерывной группой унитарных операторов, то

Ы± = е*/» ( ¿ио)} где С о - самосопряженный оператор на

Ьг(А^) . К.А.

Волковысский и Я.Г.Синай (^Й]) доказали, что Ь0 имеет бесконечно кратный лебеговекий спектр за исключением невырожденного собственного значения 0.

В §3 второй главы диссертации при помощи полиномов Шар-лье, свойства которых изучали Ю.А.Кабанов ([10]) и Х.Огура (¡37]) ,. строится спектральное разложение свободной динамики Ы± , то есть доказывается, что где - симметричное пространство Фока, и ¿г(И) изоморфно ¿>я ( я)

Теорема 3. Подпространства ~ инвариантны относительно свободной динамики К± , и Ь0! унитарно эквива Лцх лентен оператору действующему на пространстве ( (¡Я**)^ .

В теории рассеяния важную роль играют волновые операторы, которые в статистической механике обычно называются морфизмами Меллера. Для классических конечночастичных систем существование волновых операторов, их полнота и обратимость изучались В.Хунцикером ([32]), Р.Проссером (¡38]) , В.Тиррин-гом и М.Брейтерхом ([25]) . В моделях статистической механики существование морфизмов Меллера для ряда систем доказано Д.Робинсоном (¡24]) , Д.Д.Ботвичем и В.А.Малышевым ([2!0 . Последние авторы доказали также обратимость морфизмов Меллера для локально возмущенного ферми-газа и унитарную эквивалентность свободной и локально возмущенной динамик ферми-газа.

Во второй главе диссертации получен аналогичный результат для локально возмущенного классического газа.

Рассмотрим строго положительную функцию , определенную на ( О, + и обладающую следующими свойствами:

1. монотонно убывает,

2. бесконечно дифференцируема, (0.5)

3. оо при г -9- + 0 .

Пусть А ограниченный выпуклый открытый подобьем ¡Я^ с гладкой границей. Рассмотрим локальный потенциал $А(со) = X ¿лО£) ¿Л (ъ)

В силу свойств (0.5) ему соответствует гиббсовская мера /г на (Л. §4 второй главы диссертации описана локально возмущенная динамика соответствующая потенциалу и действующая на множестве с полной меры, и доказана инвариантность гиббсовской меры относительно Уд .

Определение. Прятыми морфизмами Меллера Г+ называются поточечные пределы

СО = Т~*ТЛ* со .

-±-=¡.■+00 если они существуют на множествах полной меры. Обратными морфизмами Меллера ЧГ± называются поточечные пределы

Т± со - ¿¿т Т Т* и) . оо л если они существуют на множествах полной меры Пусть

С]ьас/Ш(1х/) = - ¥(1X1) ос. } где У*( у-) - бесконечно дифференцируемая положительная функция. Предположим, что эта функция удовлетворяет неравенству

У(г.) > с г--* (о.б; с некоторой константой с1> О . Теорема 4. Если

4 > 2 (9ч- I) } то на множестве :полной меры существуют прямые морфизмы Меллера ^ и они обратимы на множествах

0.6) полной меры = 1т УХ

Существование и обратимость морфизмов Меллера следует из кластерного свойства возмущенной динамики I^, описанного и доказанного в §5 второй главы диссертации: для любой конфигурации о) е существует бесконечная последовательность моментов времени ■Ь1(и)) < (ео)<,,. , стремящаяся к бесконечности и такая, что

Т™» п А = 0 для всех I .

В данном случае, морфизмы Меллера Щ осуществляют метрический изоморфизм идеальной и локально возмущенной динамических систем классического газа.

Теорема 5. Если с/ > + , то динамические системы (/1, , ] ) и (-0., , ]д ) метрически изоморфны.

Следствие 4. Динамическая система (Л , Ж! ) эргодична, обладает свойством перемешивания и имеет абсолютно непрерывный бесконечно кратный лебеговский спектр.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [з], [16], [36].

1. Ахмитзянов P.P., Малышев В.А., Петрова E.H. Кластерное разложение гиббсовского возмущения безмассового гауссов-ского поля. - Теоретич. и матем. физика, 1984, т.58, № 2, с.292-298.

2. Боголюбов H.H., Хацет Б.И. О некоторых математических вопросах теории статистического равновесия. ДАН, 1949, т.66, I 3, с.321-324.

3. Ботвич Д.Д., Малышев В.А., Николаев И.В., Терлецкий Ю.А. Локальные возмущения свободной динамики. Тезисы докладов У1 международного симпозиума по теории информации. Москва - Ташкент, 1984, т.З, с.50-52.

4. Волковысский К.А., Синай Я.Г. Эргодические свойства идеального газа с бесконечным числом степеней свободы. -Функц. анализ и его прилож., 1970, т.5,№ I, с.19-21.

5. Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики. М.: Мир, 1984, 445 с.

6. Добрушин Р.Л. Гиббсовские случайные поля для решетчатых систем с попарным взаимодействием. Функц. анализ и его прилож., 1968, т.2, №4, с.31-43.

7. Добрушин Р.Л. Задача единственности гиббсовского случайного поля и проблема фазового перехода. Функц. анализ и его прилож., 1968, т.2, № 4, с.44-57.

8. Добрушин Р.Л. Гиббсовские случайные поля. Общий случай. -Функц. анализ и его прилож., 1969, т.З, I, с.27-35.

9. Добрушин Р.Л. Задание системы случайных величин при помощи условных распределений. Теория вероятн. и ее прим.,-1970, т.15, В 3, с.469-497.

10. Кабанов Ю.М. О расширенных стохастических интегралах. -Теория вероятн. и ее примен., 1975, т.20, № 4, с.725-737.

11. Кашапов И.А. Спектр трансфер-матрици фермионных полей. -Успехи матем. наук, 1982, т.37, В 2, с.197-198.

12. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980, 383 с.

13. Малышев В.А. Кластерные разложения в решетчатых моделях статистической механики. Успехи матем. наук, 1980, т.35, № 2, с.3-53.

14. Малышев В.А. Элементарное введение в математическую физику бесконечночастичных систем. Дубна: ОИЯЙ, 1983, НО с.

15. Минлос P.A., Синай Я.Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. -Теоретич. и матем. физика, 1970, т.2, 12, с.230-243.

16. Николаев И.В. Случайные кластерные разложения в высокотемпературной области. Теоретич. и матем. физика, 1984,т.60, № 3, с.468-475.

17. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. -М.: Мир, 1971, 367 с.

18. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. -М.: Наука, 1980, 207 с.

19. Ханин K.M. Отсутствие фазовых переходов в одномерных даль-нодействующих системах со случайным гамильтонианом. -Теоретич. и матем. физика, 1980, т.43, № 2, с.253-261.

20. Храпов П.В. Кластерные разложения и спектр трансфер-матрици 2-мерной модели Изинга с большим внешним полем. Теоретич. и матем. физика, 1984, т.60, lê I, с. 154-155.

21. Жолондек X. Существенный спектр и-частичного аддитивного кластерного оператора. Теоретич. и матем. физика, 1982, т.53, Ш 2, с.216-226.

22. Avron J.Е., Roepstorff G., Schulman L.S. Ground state degeneracy and ferromagnetism in a spin glass. J.Stat. Phys., 1981, v.26, N 1, p.25-37.

23. Botvich D.D., Malyshev V.A. Unitary equivalence of temperature dynamics for ideal and locally perturbed Fermi-gas. Gommun. Math. Phys., 1983, v.91, N 3, p.2b3-274.

24. Bratteli 0., Robinson D.W. Operator algebras and quantum statistical machanics. Springer-Verlag, Berlin, 1981, v.2, 523 p.

25. Dobrushin R.L., Pecherski E.A. A criterion of the uniqueness of Gibbsion fields in the non-compact case. In: Procceedings of IV Sov.-Jap.Symp. on probability, 1982. Lecture .Notes in Math., v.1021. - Berlin: Springer, 1983, p.97-110.

26. Dominicis O.De., Young A.P. Weighted averages and order parameters for the infinite range Ising spin glass. -J.Phys.: A, Math.Gener., 1983, v.16, I\! 9, p.2063-2075.

27. Edwards S.*1., Anderson P.V/. Theory of spin glasses. -J.Phys.: F, 197b, v.5, B p.965-973.

28. Enter A.C.D., Griffiths R.B. The order parameter in a spin glass. Commun.Math.Phys., 1983, v.90, a 3, p.319-327.

29. Enter A.C.D., Heramen J.L. The thermodynamic limit for longrange random systems. J.Stat.Phys. , 1983, v. 32, 1M 1,p.141-152.

30. Hunziker W. The S-matrix in classical mechanics. Commun. Math.Phys., 1968, v.8, N 3, p.282-299.

31. Khanin K.M., Sinai ¥a.G. Existence of free energy for models with long-range random Hamiltonians. J.Stat.Phys., 1979, v.20, a 6, p.573-584.

32. Lanford O.E.III, Ruelle D. Observable at infinity and states with short-range correletions in statistical mechanics. Commun.Math.Phys., 1969, v.13, H 2, p.194-215.

33. Malyshev V.A., Minlos R.A. Invariant subspaces of clustering operator.I J.Stat.Phys., 1979, v.21, a 3, p.231-242, II - Commun.Math.Phys., 1981, v.82, N 2, p.211-226.

34. Malyshev V.A., Nickolaev I.V. Uniqueness of Gibbs fields via .cluster expansions. J.Stat.Phys., 1984, v.35, N 3/4, p.375-379.

35. Ogura H. Orthogonal fanctionals of the Poisson process. -IEEE Trans.Inform.Theory, 1972, v.IT-18, N 4, p.473-480.

36. Prosser R.T. On the asymptotic behavior of certain dynamical systems. J.Math.Phys., 1972, v.13, Si 2, p.182-196.

37. Roepstorff G. The Peierls-Griffiths argument for disordered Ising systems. J.Math.Phys., 1981, v.22, N 12, p.3002-3005.

38. Sherrington D., Kirkpatrick S. Solvable model of Spin-Glass. Phys.Rev.Letter., 1975, v.35, N 26, p.1792-1796.

39. Suto A., ïalcin T., Gruber Ch. A probabilistic approach of the models of spin glass. J.Stat.Phys., 1983, v.31, W 3, p.639-659.

40. Vuillermont P.A. Thermodynamics of quenched random spin systems and application to the problem of phase transitions in magnetic (spin) glasses. J.Phys: A, Mathem.Gener., 1977, v.10, N 8, p.1319-1333.

41. V.'reszinski W.F. Vanishing spontaneous magnetization for quantum mechanical models of a spin glass. J.Stat.Phys., 1983, v.32, N 2, p.407-412.