Предельные теоремы для марковских цепей на однородных деревьях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Беляев, Михаил Юрьевич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1984 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.05 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Предельные теоремы для марковских цепей на однородных деревьях»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Беляев, Михаил Юрьевич

Введение

Список основных обозначений и сокращений

Глава I. Марковские цепи и гиббсовские поля со взаимодействием соседей на деревьях

§1.Случайные поля на деревьях

§2.Марковские цепи в классе гиббсовских полей

§3.Крайние гиббсовские поля

§4. Единственность в классе гиббсовских полей

§5.Гиббсовские поля со значениями в компактных группах.

§6.Ферромагнитная модель Изинга на деревьях

Глава 2. Предельные теоремы для надкритических марковских процессов с ветвлением

§7.Марковские процессы с ветвлением

§8.Сходимость функционалов в среднем квадратичном и по распределению

§9.Смешанная гауссовость для функционалов

§10.Смешанная гауссовость для функционалов продолжение).

§11.Высокотемпературная гауссовость суммарного спина от гиббсовских полей.

§12.Поведение суммарного спина модели Изинга . НО

 
Введение диссертация по математике, на тему "Предельные теоремы для марковских цепей на однородных деревьях"

В последнее время при изучении спиновых систем на решетках в теории фазовых переходов математической статистической физики и прилегающих к ней областях теории вероятностей, в первую очередь в теории марковских случайных полей, проявляется интерес к решеткам, имеющим иную топологическую структуру чем классические решетки Ж. (Григорчук [7] , Темпельман [24] , Лунд и др. (j6j ). Теоретический аспект этих исследований состоит в перенесении ряда строгих результатов математической статистической физики, в стиле, например, работ Рюэля £21] , Синая[23] , Добру-шина (9, I0J , на случай систем с группой симметрий произвольного вида. Указанные исследования имеют и некоторый прикладной интерес, например, в теории полимеров, где в ряде случаев полимерные цепочки (Кучанов [l5| ) представляют графы со сложной топологической структурой. Особое место в этой области заняли однородные деревья, из всех вершин которых выходит равное конечное число ребер; в физической лиетратуре такие графы называют деревьями Кэли или деревьями Бете, в математической литературе - это частный случай деревьев Брюа-Титса. С точки зрения моделей статистической физики на группах (Григорчук [?J ) однородные деревья с четным числом ребер, выходящих из всех вершин, являются графами свободной группы с соответствующим числом образующих.

Для гиббсовских полей со взаимодействием соседей на однородных деревьях для двухточечного спинового пространства , то есть фактически в модели Изинга, была практически до конца решена задача единственности гиббсовского поля (Домб [зо] , Спитцер

44] , Престон J4l] ) и вычислена предельная удельная свободная энергия ( Мюллер-Хартман и др. ][39 , 4 б] ). Марковская структура переходных вероятностей модели Изинга на деревьях

Спитцер [44"] ) позволила свести указанные задачи к изучению марковских цепей на деревьях; эти цепи определяются аналогично марковским цепям на решетке целых чисел, являющейся примером "вырожденного" однородного дерева. Уже после работ автора по теме диссертации [2,3*] вышла статья ZctcftcLt^ [45] о марковских случайных полях на деревьях, нобязательно однородных, со счетным числом возможных значений спиновой переменной; в этой статье обобщены результаты Спитцера [44] и Престона [4l] для однородных деревьях в направлении исследований для марковских случайных полей на решетке целых чисел, содержащихся в работах Кэлли J35J , Кестена [37] , Спитцера [43] .

Марковские цепи на деревьях являются обобщением обычных марковских цепей с дискретным временем. Возможность соединить две вершины на дереве единственным несамопересекающимся путем по ребрам позволяет определять распределения цепей в виде отдельных переходов от спина к спину, находящемуся на одном ребре; для графов с циклами такая конструкция непосредственно неосуществима. Марковские цепи на деревьях являются с одной стороны марковскими случайными полями [45] ), с другой стороны - это специфический класс гиббсовских полей со взаимодействием соседей. В отличие от работ Спитцера [44] , Престона [41 J и Яачу [45] в диссертации марковские цепи на деревьях рассматриваются в плане их принадлежности к классу гиббсовских полей с заданными гамильтонианом и базовой мерой. В диссертации рассматриваются две задачи для таких марковских цепей: задача восстановления цепи по ее условным распределениям и задача исследования асимптотического поведения функционалов типов суммарного спина от этих процессов. Несмотря на постановку задач?'в стиле статистической физики у них имеются точные аналоги в теории марковских процессов: для первой задачи - это построение границы Мартина и близких к ней объектов ( границы вход-выход, эргодического разложения), для второй задачи -это исследование аддитивных функционалов, в частности, в направлении центральной предельной теоремы. Другой особенностью постановки задач от работ Престона £4зГ} , Спитцера £44] и Zijcfe'Z.tJ J45] является рассмотрение спинового пространства общего вида. В заклнчении этого краткого введения отметим, что и результаты, полученные в указанных выше задачах , имеют некоторый характер результатов статистической физики в плане существования у них фазового перехода, понимаемого как существен ное изменение поведения гиббсовского поля или функционалов от него в зависимости от варьирования параметров задачи. Для задачи восстановления марковской цепи по гамильтониану фазовый переход состоит в единственности-неединственности решения; для изучения суммарного спина от поля - это гауссовость-негауссо-вость предельного распределения.

Пусть % - б -компактное метрическое пространство, & -b -алгебра борелевских подмножеств зе ,1-Ad») - однородное дерево, из всех вершин которого выходит /И+4. ребро В первой главе диссертации рассматриваются гиббсовские поля со значениями в Ж , гамильтонианом взаимоднйствия

Н (ссдЬ -§• I'UCa^ij) (i) и базовой мерой на ( ^(OQ-j^d. ), где непрернвная ограниченная функция, ТТфс., и) = T7(tj, Ос) f CCq^ -спин частицы CLQ А , суммирование в идет по всем парам соседей & и & , то есть вершинам d и & соединенным ребром. Обозначим множество гиббсовских мер на 3S соответствующих потенциалу взаимодей ствия UOj*) и базовой мере yt ( точное определение см. §1 главы I). При помощи гамильтониана (I) и меры ft. задаются лишь условные распределения поля (Престон [42] , Синай [23] ) и задача состоит в том, чтобы описать сами поля и в первую очередь их существование и единственность. Для частного случая Эь>л указанная задача была решена в работах Престона J4l] и Спитцера JmJ , с тем исключением, что в работе [44] условные распределения задавались не гамильтонианом, а условными распределениями марковской цепи.

В общем случае, также как в работах Спитцера [44] и ZdcftQXQ [45] , удобно ввести класс марковских цепей; в §1 определяются некоторые марковские цепи, задаваемые набором одномерных плотностей рЛ(Х>, аёА и набором плотностей переходных вероятностей от спина к соседнему спину C^'tf)* (X & A t £ G А ( плотности берутся по отношению к мерам

Ofc) И 2 *£()%>).

В §2 главы I описаны все марковские цепи, лежащие в а именно, показано, что с каждой такой цепью связан набор функ-яи® (Ф {a,i>l » & сосед 8 ), удовлетворяющих бесконечной системе функциональных соотношений, определяемых мерой и потенциалом U . Наиболее просто этот результат выглядит для марковской цепи, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева A t с параметрами faO^pOX OL G А , 0'0 в 5 ' ; такая цепь лежит в тогда и только тогда, когда найдется положительная функция pi R такая, что m+L

С= J fc)#cfx)<00 ; (2) X у, (Jx) -почти всюду ^jexp{-u(x^)l; (3) при этом « Z .

В §3 доказывается непустота класса » а именно, в сделанных выше предположениях о мере ft и потенциале У классу всегда принадлежит некоторая марковская цепь, инвариантная относительно всех изоморфизмов дерева Л . Полученный факт существования аналогичен результату Спитцера {44] для спинового пространства из двух точек. После того, как установлена непустота множества * применим способ построения всего класса при помощи ]5выбора граничных условий (Престон £42] , Розанов [20] ). В следующей теореме §3 показано, что все крайние поля в являются марковскими цепями, одномерные и переходные плотности которых непрерывны и равномерно отделены от нуля и бесконечности. Эта теорема показывает существенную значииость марковских цепей для класса

ЛXV,у) . Ранее близкие результаты были получены на решетке целых чисел в работах Кестена [зт] и Спитцера [кз] , а также в работе zfocftciZL^ [аь} на деревьях для спинового пространства из счетного числа точек.

Следующий §4 посвящен вопросу единственности гиббсовского поля. На базе результатов §3 выведен некоторый критерий единственности гиббсовского поля с заданными гамильтонианом (I) и мерой ft .На основе этого критерия показано, что найдется

§ > О такое, что душ произвольного потенциала "U , удовлетворяющего неравенству £ & , гиббсовское поле единственно. В статистической физике ( Синай [*23^ , Рюэль [21] ) обычно рассматривается не один гамильтониан И , а семейство гамильтонианов Н тр , параметризованное температурой Т7 , при этом потенциал имеет вид "^r Uj) и с ростом Т7 , очевидно, стремится к нулю. Поэтому приведенный результат о единственности поля естественно интерпретировать как высокотемпературную единственность, хорошо известную в статистической физике для классических систем ( Рюэль [2l] , Синай [23Д , Добрушин [9] I. В §4 доказан также полезный результат для исследования единственности гиббсовского поля: множество состоит более чем из одной точки тогда и только тогда, когда во множестве ьП"Р>ТО лежит бесконечное число марковских цепей. Данный результат обобщает на случай общего фазового пространства исследования Спитцера [44] для двухточечного фазового пространства.

В §5 главы I приводится пример одного класса гиббсовских полей на деревьях со значениями в компактных топологических группах с потенциалом I/ , инвариантным относительно действия группы на себе сдвигами, и мерой , являющейся нормированной мерой Хаара. Показано, что система условных распределений Гиббса в связных объемах А при свободных граничных условиях согласована и, тем самым, определяет гиббсовскую меру из , эта мера может быть получена следующим образом: найдутся случайные элементы А) со значениями в , независимые между собой и такие, что для некоторой вершины А величина ^ имеет распределение , а , имеют одинаковое распределение, зависящее от U , при этом величины для рассматриваемого поля получаются по правилу ^ »

- где ап-1>а1 вершины дерева, последовательно проходимые на кратчайшем пути из в (Z . Такая структура гиббсовского поля была отмечена для модели Изинга без внешнего поля в работе ( Беляев £з] ). В этом же параграфе приводятся два примера, показывающих, что в зависимости от модели в классе ^(Pif) может содержатся как конечное, так и бесконечное (континуум) марковских цепей, инвариантных относительно всех изоморфизмов дерева А .

В §§ главы I результаты о единственности §4 применяются для исследования ферромагнитной модели Изинга, которая определяется спиновым пространством ( , мерой , потенциалом Up -jb^cy , где -оо<^<со ,

Показано, что имеется функция S(j>) , такая, что класс гиббсовских полей модели Изинга состоит из единственной меры в области вне этой области при jtfifi'' 7 Ijul- имеется два крайних поля, инвариантных относительно всех изоморфизмов А , при полей указанного вида три. В формулировке этого результата величина £($) находится как корень квадратного уравнения относительно ^ , коэффициенты которого зависят от ttb - числа ребер, выходящих из всех вершин А . Тем самым получено численное решение для проблемы фазового перехода в модели Изинга на дереве A (j71) . Ранее без численных значений этот результат был получен Спитцером [44) ; параметризация полей через (j^jU) в ферромагнитном случае позволила осуществить программу Престона ]4l] и Спитцера [44] до конца - в этих работах jil, 44] единственность гиббсовского поля была сведена к единственности положительного решения некоторого алгебраического уравнения.

После того, как построены марковские цепи и гиббсовские поля, естественно изучать предельное поведение функционалов от них. Наиболее просто выглядят функционалы типа суммарного спина от этих полей, имеющие вид £Л (£) , где случайный спин вершины

- фиксированная функция, a - некоторая последовательность объемов 1/Jx С А . Выбор последовательности Vjcl и аналитических свойств вероятностной меры jP будут вполне определять свойства последовательности Syi . Глава 2 диссертации посвящена, в частности, изучению случая, когда объемы состоят из вершин, удаленных от фиксированной на YI ребер, а мера jP является марковской цепью, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева А . Однако, основу главы 2 диссертации составляют предельные теоремы для аддитивных функционалов от надкритических марковских процессов с ветвлением; изучение функционалов Syi (.5) сводится в главе 2 к изучению функционалов именно от процессов, указанных выше.

Суть ситуации состоит в следующем: с точки зрения теории ветшщихся процессов (Севастьянов [22] , Икеда и др. [34] ) марковские цепи, введенные в главе I, являются частным случаем ветвящихся процессов, в которых учитывается информация о генеалогической структуре развития процесса, причем полученные процессы оказываются, вообще говоря, неоднородными. При переходе к аддитивным функционалам 2>yi (£) генеалогическая информация марковской цепи перестает играть существенную роль, главным становится суммарное число частиц разных типов в " Yb "-ом поколении процесса; при этом всегда можно подобрать такой марковский процесс с ветвлением в смысле определения работ Икеды и др. [34] и функционал от него, имеющий с У") одинаковое распределение; для ситуации, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева А , эта процедура проведена в § II. В полученном марковском процессе с ветвлением каждая частица при делении порождает ровно YYI потомков и потому процесс является надкритическим. Функционал, поставленный в соответствие , имеет аддитивный вид и равняется сумме значений функции от всех по" 1Л " ложений частиц п -го поколения процесса; такие функционалы являются более общими функционалами, чем число частиц, лежащих в фиксированной области, и отражают средние характеристики конфигураций расположения частиц в пространстве типов (в нашем случае это будет спиновое пространство <ЗС ). Первоначально функционалы такого вида в работах автора (Беляев f2,3j ) исследовались именно методом моментов в ситуации с неслучайным числом потомков при делении у каждой из частиц, затем также методом моментов (Беляев, Берестова, Молчанов [б] ) удалось перейти к процессам со случайными превращениями по числу потомков, однако это число было равномерно ограничено по пространству vX . В диссертации приводится более развитая техника, позволяющая формулировать результаты фактически на уровне существования двух моментов (Беляев [Д ); эта техника также появилась из рассмотрения неслучайных превращений в числе частиц уже после работы

• Основу методики изучения аддитивных функционалов в диссертации составляет эффективное использование сходимости в среднем квадратичном.

Прежде, чем перейти к изложению результатов главы 2, остановимся на некоторых известных результатах теории надкритических марковских процессов с ветвлением. При общем подходе (Севастьянов [22] ) фазовым пространством таких процессов является множество целочисленных точечных мер на некотором измеримом пространстве. Аддитивные функционалы от этих процессов являются интегралами от неслучайных функций по случайным мерам - значениям процесса и отражают средние характеристики расположения частиц в фазовом пространстве. Для аддитивных функционалов типа числа частиц в надкритическом случае хорошо известны результаты о сходимости, связанные со старшей собственной функцией полугруппы средних марковского процесса с ветвлением, содержащиеся, например, в работах Геринга [27,31,32} . В то же время, для класса функционалов, построенных по функциям со средним 0 по "инвариантной" мере процесса, эти результаты неэффективны, так как дают в пределе 0 . Впервые этот вырожденный случай был рассмотрен для неразложимых процессов Гальтона-Ватсона с несколькими типами частиц, обладающих двумя первыми моментами, в работах Кестена, Стигума [Зб] и Атрэ [28^ , в которых было показано, что имеется два типа;.-; ^сходимости функционалов указанного вида: сходимость в среднем квадратичном типа мартингальной и слабая сходимость к смеси гауссовских распределений со средним 0, дисперсия которых имеет распределение предельного нормированного числа частиц в процессе. Позже результаты о смешанной гауссовос-ти были доказаны для класса диффузионных ветвящихся процессов на компакте ( Беляев, Берестова, Молчанов [б])(при условии равномерной ограниченности числа потомков каждой из частиц при делении.

В диссертации приводятся результаты, обобщающие результаты работ [36, 28, б] на случай общих марковских процессов с ветвлением при ограничениях лишь на младшие моменты процесса деления. Основным отличием от работ [36, 28, б] является функционально-аналитическая техника, заменившая дискретный подход работ

37, 28] и метод моментов [б] , что позволило в общем случае практически подойти к формулировке результатов на уровне двух первых моментов процесса деления.

По своей сути вопросы, излагаемые вопросы лежат на пересечении круга проблем цетральной предельной теоремы для процессов Маркова ( Нагаев [14] ) и теории суммирования случайного числа случайных слагаемых ( Блюм и др. [2д} ), так как с одной стороны рассматриваемые процессы являются марковскими, а с другой стороны- аддитивные функционалы - это суммы случайного числа случайных слагаемых, только зависимых между собой. Эти факты предопределии как функционально-аналитический марковский подход, так и характер конечного результата: степень зависимости между собой типов потомков одной частицы определяет вид асимптотического поведения функционалов, выражающегося в наличии или отсутствии смешанной гауссовости предельного распределения. В этом смысле здесь имеется аналог фазового перехода задач статистической физики, что было отмечено для модели Изинга на однородных деревьях в работе автора ( Беляев ) при изучении суммарного спина.

Пусть J^n. j> } - марковский процесс с ветвлением с однородным по времени механизмом деления, принимающий значения в пространстве целочисленных точечных мер на «3£ ( точное определение см. §7 главы 2). Будем обозначать интеграл от функции £ по мере V . Аддитивные функционалы от процесса ]Uyi имеют вид интеграла ( в данном случае сводящегося просто к сумме) от неслучайной функции по случайной мере Jiyi . Функционал является точным аналогом суммарного спина

В главе 2 аддитивные функционалы i) изучаются при некоторых ограничениях на суммарное число частиц в процессе J^yi в момент времени УЬ . Считается, что величина SUJp | ' конечна ( Sfc) - начальное состоя

U о ние процесса, начавшегося с одной частицы, находившейся в точке Х.С 3£). При выполнении этого условияьна пространстве /В ограниченных измеримых функций на ЗС определена полугруппа •f hfl,^ средних марковского процесса с ветвлением, определенная по правилу Bfi

В том частном случае, когда в процессе не происходит деления и уничтожения частиц, величины JAyi образуют обычную марковскую цепь, a Eyi является переходным оператором процесса за УЪ шагов. Как в теории марковских процессов ( Нагаев |j[9l ), так и в теории марковских процессов с ветвлением ( Харрис [2б] , Геринг [31, 32J Иржина [34Д ) наиболее существенную роль играют условия, наложенные на полугруппу Ед, . В главе 2 считается выполненным следующее

Условие А2. Найдутся число OL>0 , неотрицательная функция VG В и вероятностная мера V на такие, что

E„S = ean(<$'v>,r+ А"0 , <^>-1, где - оператор, спектральный радиус которого меньше I и О для произвольной .

Согласно условию А2 оператор вГ^Ец представляется в виде прямой суммы одномерного проектора & Н> V)> V" и оператора, степени которого по норме экспоненциально стремятся к 0. Такого рода представления естественно возникали для полугрупп вполне непрерывных операторов ( Крейн, Рутман £l4] ), а также в теории предельных теорем для марковских цепей ( Нагаев J19] ). Для марковских цепей ( Ибрагимов, Линник £ll] ) условие А2 выполнено, если справедливо условие Деблина (Д) и существует только один эргодический класс, не содержащий подклассов. Условия, близкие к А2, встречались также в теории марковских процессов с.ветвлением ( Харрис [2б| , Иржина [зз] , Геринг £32] ). В целом условие А2 моделирует в пространстве Ш> случай теоремы Перрона для конечномерных матриц с неотрицательными элементами.

В случае марковских цепей условие А2 обеспечивает ( Ибрагимов, Линник £l]Q , Нагаев [19] ) экспоненциально быстрее убывание коэффициента равномерно сильного перемешивания, что наряду с существованием соответствующих моментов уже гарантирует асимптотическую нормальность величины ^С/^к) . По своей природе функционал близок к а вместе с ним и к , поэтому следовало бы ожидать применимость к сумме из ^ yi случайных слагаемых центральной предельной теоремы только со случайной нормировкой =. .

Тп.

Однако этого не происходит: в некоторых случаях для K^JMyi) имеет место такая теорема, но не с нормировкой > а в

V fyt некоторых случаях U^/ имеет существенно иной характер сходимости , более похожий на сходимость нормированного числа в процессе с ветвлением. Данный эффект, полученный при случайных превращениях частиц вполне объясним: в зависимости от характера превращений при делении отдельные слагаемые в сумме либо можно считать слабо зависимыми и тогда применима центральная предельная теорема со случайной нормировкой, либо в K^tJ^Yi) много сильно зависимых слагаемых , которые являются значениями функции 5 от близких "родственников" в смысле расстояния по генеалогическому дереву. Тем самым, память процесса jW^. и вид функции £ оказывают существенное влияние на формирование асимптотического поведения функционала Результаты, аналогичные результатам диссертации о можно было бы также получить для функционала 2L к=0 <С ^^кУ » что однако из соображений объема не делается.

В §8 главы 2 доказываются теоремы о сходимости в среднем квадратичном и по распределению аддитивных функционалов, построенных по собственным и почти собственным функциям полугруппы Eft с большими по модулю собственными значениями; эти теоремы существенно используют мартингальный характер сходимости полученных ф ункционалов. Примером результатов §8 является следующий факт: если , то последовательность g'V1 является мартингалом, сходящимся в среднем квадратичном к случайной величине "WC&) . Наиболее существенную роль в последующих рассуждениях играет величина определяющая предельное нормированное число частиц в процессе , В этом же параграфе доказана теорема об устойчивости, утверждающая, что сходится к при fL-ьОО t если выполнены некоторые дополнительные условия малости в среднем функции $>гъ . Этот результат играет наиболее существенную рель при доказательстве теорем о смешанной гауссовости. Теоремы §8 за исключением указанной теоремы об устойчивости обобщают на случай фазового пространства общего вида результаты работ Кестена и Стигума [Зб| , Атрэ [28] о функционалах с мартингальным характером сходимости для процессов Гальтона-Ватсона.

Параграфы 9 и 10 диссертации посвящены результатам о смешанной гауссовости для аддитивных функционалов. При некоторых ограничениях на поведение функционала ^^Ji^ и его двух первых моментов доказано, что для 1R.

M^ib^+^Xi^ (4) з при Гь-ъсо f где » в котором математическое ожидание МЯ берется для процесса, начавшегося с одной частицы, имевшей распределение V в пространстве . Правая часть соотношения (4) определяет характеристическую функцию пары случайных величин ^^lW) , где % - независящая от гауссовская величина со средним 0 и дисперсией I; поэтому (4) является утверждением о сходимости к смешанному гауссовскому распределению для Случай, рассматриваемый в §§8-9 обладает тем свойством, что С (гС)л 6 удовлетворяет эквивалентности Сф.+1)ъ>С(?ё) при и величина $сходится по распределению при Я->оо к гауС. совскому распределению со средним 0 и дисперсией I, асимптотически независящему от величины w (точная формулировка содержится в теореме 9.1).

Параграф 10 посвящен случаю ^нкционалов, построенных по функции 5 о Ш /1Еп&й <ег и позти собственным

J2-+CO " функциям Efl, с собственными значениями по модулю равными Результаты §10, примененные к процессам Гальтона-Ватсона, позволяют получить результаты работ Кестена, Стигума [Зб] и Атрэ [28] о смешанной гауссовости, при этом константы С СЮ имеют вид У1 ^ , О

В §§11-12 результаты, полученные ⧧8-10 применяются к изучению поведения суммарного спина Sn (i) от марковских цепей, инвариантных относительно всех изоморфизмов дерева А . В §11 доказана возможность сведения к аддитивному функционалу

K^jflfr) от некоторого марковского процесса с ветвлением, для которого предельное норшрованное число частиц W" неслучайно. Таким образом, для такого процесса yt/^ результат о смешанной гауссовости приводит просто к асимптотической гауссовости суммарного спина при некоторых ограничениях на функцию f и марковскую цепь. В §11 показано, что величина Sn Й) асиптотически гауссовская при стандартной нормировке на среднее и корень из дисперсии для гиббсовских полей в высокотемпературной области, что ранее известно было для модели Изинга на Z. из работы Малышева [17] .

В последнем §12 доказываются теоремы о поведении суммарного спина в ферромагнитной модели Изинга на однородных деревьях без внешнего поля для гиббсовского поля со свободными граничными условиями. Показано, что суммарный спин асимптотически гауссов-ский при и асимптотически негауссовский при при этом хвост предельного распределений убывает быстрее чем у гауссовского. В сравнении с результатом §6 это показывает, что в модели Изинга на деревьях имеются по крайней мере две точки фазового перехода - L , /wfUjs^-1 . При переходе через нарушается единственность гиббсовского поля, при переходе через теряется асимптотическая гауссовость суммарного спина. Этот своеобразный эффект на физическом уровне строгости ранее обнаружен ранее был у поведения второго момента суммарного спина Матсудой [38] и у удельной свободной энергии Мюллером-Харт-маном и Зитаром в работе [зэ] .

Список основных обозначений и сокращений однородное дерево,

- вершины дерева CL и В соединены ребром А множество ориентированных ребер - класс конечных поддеревьев А

3V= fa 4 V: 3geV,6coa{

С - вершина о лвжит на кратчайшем пути из й. в С и 3b - £ -компактное метрическое пространство о&>- - £ -алгебра борелевских мнвжеств fr - мера на & 29 ^ f (ЬслбЗ£}Л£ А}} - пространство конфигураций спинов в объеме

VcA

- G*

-алгебра в

-П.в. - для почти всех ЗС-у по мере п.в. - почти всюду

XJC)0 - симметричная функция из в JR. , называемая потенциалом - V м.ц. - марковская цепь

- класс марковских цепей

МП, \ tfafife^}- марковская цепь с указанными параметрами

- класс гиббсовских мер tyfa у т^А )- набор функций, удовлетворяющих ряду свойств ф= W

- множество всех наборов Ч> класс гиббсовских мер, являющихся марковскими цепями

К (А'ц.) - множество вещественных чисел (неотрицательных чисел) (L - множество комплексных чисел У - множество изоморфизмов дерева А

Ш с*0 - L е^р f

Hi - множество ограниченных измеримых функций на £ (ISII = Sup-flSfeOI • 39. \ - норма в В S(X) - мера, сосредоточенная в точке сЛ1 - множество целочисленных точечных мер на X

- £ -алгебра в , порожденная аддитивными функционалами т-ЩЖу- точечная мера, h>0p - целые положительные числа

V> = j^SW^at)

JU(to) - значение марковского процесса с ветвлением при #=0,4,. •^ГЛ, - марковский процесс, начавшийся из W 6 сЖ ^СЮ - суммарное число частиц в процессе в момент (.7»^ - производящий оператор процесса JJ^ за время Я (?£) = дейстше полугруппы средних се*) - <Q^№v> с(кь)« gtfO6

3 - начало доказательства

1> - конец доказательства

И - функция, тождественно равная 1

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Беляев, Михаил Юрьевич, Москва

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979, 429 с.

2. Беляев М.Ю. Гиббсовские поля на однородных деревьях. -ДАН СССР, 1982, т. 264, № 4, с.787-790.

3. Беляев М.Ю. Дважды инвариантные групповые поля на деревьях.- Вестник МГУ, сер. I, матем.мех., 1983, № I, с. 24-27.

4. Беляев М.Ю. Об асимптотическом поведении функционалов от надкритических марковских процессов с ветвлением. -Рукопись деп. в ВИНИТИ АН СССР 6 апреля 1984 г., Ш)47-84Деп.,46 с.

5. Беляев М.Ю., Берестова Н.А., Молчанов С.А. Предельные теоремы для марковских процессов с ветвлением. ДАН СССР, 1983, т. 268, IS 5, с. 1039-1043.

6. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975, 319 с.

7. Григорчук Р.И., Степин A.M. Гиббсовские состояния и марковские поля на группах. В сб. : "Математические модели статистической физики Тюмень, 1982, с. 55-60.,

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.- М.: ИЛ, 1962, 892 с.

9. Добрушин Р.Л. Задача единственности гиббсовского поля и проблема фазовых переходов. Функц. анализ и его приложения, 1968, т.2, вып. 4, с. 44-57.

10. Добрушин Р.Л. Описание случайного поля при помощи условных вероятностей и условия его регулярности. Теория вероятностей и ее применения, 1968, т. 13, вып. 2, с. 201-229.

11. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М. : Наука, 1965, 524 с.

12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и13.