Предельные теоремы для марковских цепей на однородных деревьях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Список основных обозначений и сокращений

Глава I. Марковские цепи и гиббсовские поля со взаимодействием соседей на деревьях

§1.Случайные поля на деревьях

§2.Марковские цепи в классе гиббсовских полей

§3.Крайние гиббсовские поля

§4. Единственность в классе гиббсовских полей

§5.Гиббсовские поля со значениями в компактных группах.

§6.Ферромагнитная модель Изинга на деревьях

Глава 2. Предельные теоремы для надкритических марковских процессов с ветвлением

§7.Марковские процессы с ветвлением

§8.Сходимость функционалов в среднем квадратичном и по распределению

§9.Смешанная гауссовость для функционалов

§10.Смешанная гауссовость для функционалов продолжение).

§11.Высокотемпературная гауссовость суммарного спина от гиббсовских полей.

§12.Поведение суммарного спина модели Изинга . НО

В последнее время при изучении спиновых систем на решетках в теории фазовых переходов математической статистической физики и прилегающих к ней областях теории вероятностей, в первую очередь в теории марковских случайных полей, проявляется интерес к решеткам, имеющим иную топологическую структуру чем классические решетки Ж. (Григорчук [7] , Темпельман [24] , Лунд и др. (j6j ). Теоретический аспект этих исследований состоит в перенесении ряда строгих результатов математической статистической физики, в стиле, например, работ Рюэля £21] , Синая[23] , Добру-шина (9, I0J , на случай систем с группой симметрий произвольного вида. Указанные исследования имеют и некоторый прикладной интерес, например, в теории полимеров, где в ряде случаев полимерные цепочки (Кучанов [l5| ) представляют графы со сложной топологической структурой. Особое место в этой области заняли однородные деревья, из всех вершин которых выходит равное конечное число ребер; в физической лиетратуре такие графы называют деревьями Кэли или деревьями Бете, в математической литературе - это частный случай деревьев Брюа-Титса. С точки зрения моделей статистической физики на группах (Григорчук [?J ) однородные деревья с четным числом ребер, выходящих из всех вершин, являются графами свободной группы с соответствующим числом образующих.

Для гиббсовских полей со взаимодействием соседей на однородных деревьях для двухточечного спинового пространства , то есть фактически в модели Изинга, была практически до конца решена задача единственности гиббсовского поля (Домб [зо] , Спитцер

44] , Престон J4l] ) и вычислена предельная удельная свободная энергия ( Мюллер-Хартман и др. ][39 , 4 б] ). Марковская структура переходных вероятностей модели Изинга на деревьях

Спитцер [44"] ) позволила свести указанные задачи к изучению марковских цепей на деревьях; эти цепи определяются аналогично марковским цепям на решетке целых чисел, являющейся примером "вырожденного" однородного дерева. Уже после работ автора по теме диссертации [2,3*] вышла статья ZctcftcLt^ [45] о марковских случайных полях на деревьях, нобязательно однородных, со счетным числом возможных значений спиновой переменной; в этой статье обобщены результаты Спитцера [44] и Престона [4l] для однородных деревьях в направлении исследований для марковских случайных полей на решетке целых чисел, содержащихся в работах Кэлли J35J , Кестена [37] , Спитцера [43] .

Марковские цепи на деревьях являются обобщением обычных марковских цепей с дискретным временем. Возможность соединить две вершины на дереве единственным несамопересекающимся путем по ребрам позволяет определять распределения цепей в виде отдельных переходов от спина к спину, находящемуся на одном ребре; для графов с циклами такая конструкция непосредственно неосуществима. Марковские цепи на деревьях являются с одной стороны марковскими случайными полями [45] ), с другой стороны - это специфический класс гиббсовских полей со взаимодействием соседей. В отличие от работ Спитцера [44] , Престона [41 J и Яачу [45] в диссертации марковские цепи на деревьях рассматриваются в плане их принадлежности к классу гиббсовских полей с заданными гамильтонианом и базовой мерой. В диссертации рассматриваются две задачи для таких марковских цепей: задача восстановления цепи по ее условным распределениям и задача исследования асимптотического поведения функционалов типов суммарного спина от этих процессов. Несмотря на постановку задач?'в стиле статистической физики у них имеются точные аналоги в теории марковских процессов: для первой задачи - это построение границы Мартина и близких к ней объектов ( границы вход-выход, эргодического разложения), для второй задачи -это исследование аддитивных функционалов, в частности, в направлении центральной предельной теоремы. Другой особенностью постановки задач от работ Престона £4зГ} , Спитцера £44] и Zijcfe'Z.tJ J45] является рассмотрение спинового пространства общего вида. В заклнчении этого краткого введения отметим, что и результаты, полученные в указанных выше задачах , имеют некоторый характер результатов статистической физики в плане существования у них фазового перехода, понимаемого как существен ное изменение поведения гиббсовского поля или функционалов от него в зависимости от варьирования параметров задачи. Для задачи восстановления марковской цепи по гамильтониану фазовый переход состоит в единственности-неединственности решения; для изучения суммарного спина от поля - это гауссовость-негауссо-вость предельного распределения.

Пусть % - б -компактное метрическое пространство, & -b -алгебра борелевских подмножеств зе ,1-Ad») - однородное дерево, из всех вершин которого выходит /И+4. ребро В первой главе диссертации рассматриваются гиббсовские поля со значениями в Ж , гамильтонианом взаимоднйствия

Н (ссдЬ -§• I'UCa^ij) (i) и базовой мерой на ( ^(OQ-j^d. ), где непрернвная ограниченная функция, ТТфс., и) = T7(tj, Ос) f CCq^ -спин частицы CLQ А , суммирование в идет по всем парам соседей & и & , то есть вершинам d и & соединенным ребром. Обозначим множество гиббсовских мер на 3S соответствующих потенциалу взаимодей ствия UOj*) и базовой мере yt ( точное определение см. §1 главы I). При помощи гамильтониана (I) и меры ft. задаются лишь условные распределения поля (Престон [42] , Синай [23] ) и задача состоит в том, чтобы описать сами поля и в первую очередь их существование и единственность. Для частного случая Эь>л указанная задача была решена в работах Престона J4l] и Спитцера JmJ , с тем исключением, что в работе [44] условные распределения задавались не гамильтонианом, а условными распределениями марковской цепи.

В общем случае, также как в работах Спитцера [44] и ZdcftQXQ [45] , удобно ввести класс марковских цепей; в §1 определяются некоторые марковские цепи, задаваемые набором одномерных плотностей рЛ(Х>, аёА и набором плотностей переходных вероятностей от спина к соседнему спину C^'tf)* (X & A t £ G А ( плотности берутся по отношению к мерам

Ofc) И 2 *£()%>).

В §2 главы I описаны все марковские цепи, лежащие в а именно, показано, что с каждой такой цепью связан набор функ-яи® (Ф {a,i>l » & сосед 8 ), удовлетворяющих бесконечной системе функциональных соотношений, определяемых мерой и потенциалом U . Наиболее просто этот результат выглядит для марковской цепи, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева A t с параметрами faO^pOX OL G А , 0'0 в 5 ' ; такая цепь лежит в тогда и только тогда, когда найдется положительная функция pi R такая, что m+L

С= J fc)#cfx)<00 ; (2) X у, (Jx) -почти всюду ^jexp{-u(x^)l; (3) при этом « Z .

В §3 доказывается непустота класса » а именно, в сделанных выше предположениях о мере ft и потенциале У классу всегда принадлежит некоторая марковская цепь, инвариантная относительно всех изоморфизмов дерева Л . Полученный факт существования аналогичен результату Спитцера {44] для спинового пространства из двух точек. После того, как установлена непустота множества * применим способ построения всего класса при помощи ]5выбора граничных условий (Престон £42] , Розанов [20] ). В следующей теореме §3 показано, что все крайние поля в являются марковскими цепями, одномерные и переходные плотности которых непрерывны и равномерно отделены от нуля и бесконечности. Эта теорема показывает существенную значииость марковских цепей для класса

ЛXV,у) . Ранее близкие результаты были получены на решетке целых чисел в работах Кестена [зт] и Спитцера [кз] , а также в работе zfocftciZL^ [аь} на деревьях для спинового пространства из счетного числа точек.

Следующий §4 посвящен вопросу единственности гиббсовского поля. На базе результатов §3 выведен некоторый критерий единственности гиббсовского поля с заданными гамильтонианом (I) и мерой ft .На основе этого критерия показано, что найдется

§ > О такое, что душ произвольного потенциала "U , удовлетворяющего неравенству £ & , гиббсовское поле единственно. В статистической физике ( Синай [*23^ , Рюэль [21] ) обычно рассматривается не один гамильтониан И , а семейство гамильтонианов Н тр , параметризованное температурой Т7 , при этом потенциал имеет вид "^r Uj) и с ростом Т7 , очевидно, стремится к нулю. Поэтому приведенный результат о единственности поля естественно интерпретировать как высокотемпературную единственность, хорошо известную в статистической физике для классических систем ( Рюэль [2l] , Синай [23Д , Добрушин [9] I. В §4 доказан также полезный результат для исследования единственности гиббсовского поля: множество состоит более чем из одной точки тогда и только тогда, когда во множестве ьП"Р>ТО лежит бесконечное число марковских цепей. Данный результат обобщает на случай общего фазового пространства исследования Спитцера [44] для двухточечного фазового пространства.

В §5 главы I приводится пример одного класса гиббсовских полей на деревьях со значениями в компактных топологических группах с потенциалом I/ , инвариантным относительно действия группы на себе сдвигами, и мерой , являющейся нормированной мерой Хаара. Показано, что система условных распределений Гиббса в связных объемах А при свободных граничных условиях согласована и, тем самым, определяет гиббсовскую меру из , эта мера может быть получена следующим образом: найдутся случайные элементы А) со значениями в , независимые между собой и такие, что для некоторой вершины А величина ^ имеет распределение , а , имеют одинаковое распределение, зависящее от U , при этом величины для рассматриваемого поля получаются по правилу ^ »

- где ап-1>а1 вершины дерева, последовательно проходимые на кратчайшем пути из в (Z . Такая структура гиббсовского поля была отмечена для модели Изинга без внешнего поля в работе ( Беляев £з] ). В этом же параграфе приводятся два примера, показывающих, что в зависимости от модели в классе ^(Pif) может содержатся как конечное, так и бесконечное (континуум) марковских цепей, инвариантных относительно всех изоморфизмов дерева А .

В §§ главы I результаты о единственности §4 применяются для исследования ферромагнитной модели Изинга, которая определяется спиновым пространством ( , мерой , потенциалом Up -jb^cy , где -оо<^<со ,

Показано, что имеется функция S(j>) , такая, что класс гиббсовских полей модели Изинга состоит из единственной меры в области вне этой области при jtfifi'' 7 Ijul- имеется два крайних поля, инвариантных относительно всех изоморфизмов А , при полей указанного вида три. В формулировке этого результата величина £($) находится как корень квадратного уравнения относительно ^ , коэффициенты которого зависят от ttb - числа ребер, выходящих из всех вершин А . Тем самым получено численное решение для проблемы фазового перехода в модели Изинга на дереве A (j71) . Ранее без численных значений этот результат был получен Спитцером [44) ; параметризация полей через (j^jU) в ферромагнитном случае позволила осуществить программу Престона ]4l] и Спитцера [44] до конца - в этих работах jil, 44] единственность гиббсовского поля была сведена к единственности положительного решения некоторого алгебраического уравнения.

После того, как построены марковские цепи и гиббсовские поля, естественно изучать предельное поведение функционалов от них. Наиболее просто выглядят функционалы типа суммарного спина от этих полей, имеющие вид £Л (£) , где случайный спин вершины

- фиксированная функция, a - некоторая последовательность объемов 1/Jx С А . Выбор последовательности Vjcl и аналитических свойств вероятностной меры jP будут вполне определять свойства последовательности Syi . Глава 2 диссертации посвящена, в частности, изучению случая, когда объемы состоят из вершин, удаленных от фиксированной на YI ребер, а мера jP является марковской цепью, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева А . Однако, основу главы 2 диссертации составляют предельные теоремы для аддитивных функционалов от надкритических марковских процессов с ветвлением; изучение функционалов Syi (.5) сводится в главе 2 к изучению функционалов именно от процессов, указанных выше.

Суть ситуации состоит в следующем: с точки зрения теории ветшщихся процессов (Севастьянов [22] , Икеда и др. [34] ) марковские цепи, введенные в главе I, являются частным случаем ветвящихся процессов, в которых учитывается информация о генеалогической структуре развития процесса, причем полученные процессы оказываются, вообще говоря, неоднородными. При переходе к аддитивным функционалам 2>yi (£) генеалогическая информация марковской цепи перестает играть существенную роль, главным становится суммарное число частиц разных типов в " Yb "-ом поколении процесса; при этом всегда можно подобрать такой марковский процесс с ветвлением в смысле определения работ Икеды и др. [34] и функционал от него, имеющий с У") одинаковое распределение; для ситуации, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева А , эта процедура проведена в § II. В полученном марковском процессе с ветвлением каждая частица при делении порождает ровно YYI потомков и потому процесс является надкритическим. Функционал, поставленный в соответствие , имеет аддитивный вид и равняется сумме значений функции от всех по" 1Л " ложений частиц п -го поколения процесса; такие функционалы являются более общими функционалами, чем число частиц, лежащих в фиксированной области, и отражают средние характеристики конфигураций расположения частиц в пространстве типов (в нашем случае это будет спиновое пространство <ЗС ). Первоначально функционалы такого вида в работах автора (Беляев f2,3j ) исследовались именно методом моментов в ситуации с неслучайным числом потомков при делении у каждой из частиц, затем также методом моментов (Беляев, Берестова, Молчанов [б] ) удалось перейти к процессам со случайными превращениями по числу потомков, однако это число было равномерно ограничено по пространству vX . В диссертации приводится более развитая техника, позволяющая формулировать результаты фактически на уровне существования двух моментов (Беляев [Д ); эта техника также появилась из рассмотрения неслучайных превращений в числе частиц уже после работы

• Основу методики изучения аддитивных функционалов в диссертации составляет эффективное использование сходимости в среднем квадратичном.

Прежде, чем перейти к изложению результатов главы 2, остановимся на некоторых известных результатах теории надкритических марковских процессов с ветвлением. При общем подходе (Севастьянов [22] ) фазовым пространством таких процессов является множество целочисленных точечных мер на некотором измеримом пространстве. Аддитивные функционалы от этих процессов являются интегралами от неслучайных функций по случайным мерам - значениям процесса и отражают средние характеристики расположения частиц в фазовом пространстве. Для аддитивных функционалов типа числа частиц в надкритическом случае хорошо известны результаты о сходимости, связанные со старшей собственной функцией полугруппы средних марковского процесса с ветвлением, содержащиеся, например, в работах Геринга [27,31,32} . В то же время, для класса функционалов, построенных по функциям со средним 0 по "инвариантной" мере процесса, эти результаты неэффективны, так как дают в пределе 0 . Впервые этот вырожденный случай был рассмотрен для неразложимых процессов Гальтона-Ватсона с несколькими типами частиц, обладающих двумя первыми моментами, в работах Кестена, Стигума [Зб] и Атрэ [28^ , в которых было показано, что имеется два типа;.-; ^сходимости функционалов указанного вида: сходимость в среднем квадратичном типа мартингальной и слабая сходимость к смеси гауссовских распределений со средним 0, дисперсия которых имеет распределение предельного нормированного числа частиц в процессе. Позже результаты о смешанной гауссовос-ти были доказаны для класса диффузионных ветвящихся процессов на компакте ( Беляев, Берестова, Молчанов [б])(при условии равномерной ограниченности числа потомков каждой из частиц при делении.

В диссертации приводятся результаты, обобщающие результаты работ [36, 28, б] на случай общих марковских процессов с ветвлением при ограничениях лишь на младшие моменты процесса деления. Основным отличием от работ [36, 28, б] является функционально-аналитическая техника, заменившая дискретный подход работ

37, 28] и метод моментов [б] , что позволило в общем случае практически подойти к формулировке результатов на уровне двух первых моментов процесса деления.

По своей сути вопросы, излагаемые вопросы лежат на пересечении круга проблем цетральной предельной теоремы для процессов Маркова ( Нагаев [14] ) и теории суммирования случайного числа случайных слагаемых ( Блюм и др. [2д} ), так как с одной стороны рассматриваемые процессы являются марковскими, а с другой стороны- аддитивные функционалы - это суммы случайного числа случайных слагаемых, только зависимых между собой. Эти факты предопределии как функционально-аналитический марковский подход, так и характер конечного результата: степень зависимости между собой типов потомков одной частицы определяет вид асимптотического поведения функционалов, выражающегося в наличии или отсутствии смешанной гауссовости предельного распределения. В этом смысле здесь имеется аналог фазового перехода задач статистической физики, что было отмечено для модели Изинга на однородных деревьях в работе автора ( Беляев ) при изучении суммарного спина.

Пусть J^n. j> } - марковский процесс с ветвлением с однородным по времени механизмом деления, принимающий значения в пространстве целочисленных точечных мер на «3£ ( точное определение см. §7 главы 2). Будем обозначать интеграл от функции £ по мере V . Аддитивные функционалы от процесса ]Uyi имеют вид интеграла ( в данном случае сводящегося просто к сумме) от неслучайной функции по случайной мере Jiyi . Функционал является точным аналогом суммарного спина

В главе 2 аддитивные функционалы i) изучаются при некоторых ограничениях на суммарное число частиц в процессе J^yi в момент времени УЬ . Считается, что величина SUJp | ' конечна ( Sfc) - начальное состоя

U о ние процесса, начавшегося с одной частицы, находившейся в точке Х.С 3£). При выполнении этого условияьна пространстве /В ограниченных измеримых функций на ЗС определена полугруппа •f hfl,^ средних марковского процесса с ветвлением, определенная по правилу Bfi

В том частном случае, когда в процессе не происходит деления и уничтожения частиц, величины JAyi образуют обычную марковскую цепь, a Eyi является переходным оператором процесса за УЪ шагов. Как в теории марковских процессов ( Нагаев |j[9l ), так и в теории марковских процессов с ветвлением ( Харрис [2б] , Геринг [31, 32J Иржина [34Д ) наиболее существенную роль играют условия, наложенные на полугруппу Ед, . В главе 2 считается выполненным следующее

Условие А2. Найдутся число OL>0 , неотрицательная функция VG В и вероятностная мера V на такие, что

E„S = ean(<$'v>,r+ А"0 , <^>-1, где - оператор, спектральный радиус которого меньше I и О для произвольной .

Согласно условию А2 оператор вГ^Ец представляется в виде прямой суммы одномерного проектора & Н> V)> V" и оператора, степени которого по норме экспоненциально стремятся к 0. Такого рода представления естественно возникали для полугрупп вполне непрерывных операторов ( Крейн, Рутман £l4] ), а также в теории предельных теорем для марковских цепей ( Нагаев J19] ). Для марковских цепей ( Ибрагимов, Линник £ll] ) условие А2 выполнено, если справедливо условие Деблина (Д) и существует только один эргодический класс, не содержащий подклассов. Условия, близкие к А2, встречались также в теории марковских процессов с.ветвлением ( Харрис [2б| , Иржина [зз] , Геринг £32] ). В целом условие А2 моделирует в пространстве Ш> случай теоремы Перрона для конечномерных матриц с неотрицательными элементами.

В случае марковских цепей условие А2 обеспечивает ( Ибрагимов, Линник £l]Q , Нагаев [19] ) экспоненциально быстрее убывание коэффициента равномерно сильного перемешивания, что наряду с существованием соответствующих моментов уже гарантирует асимптотическую нормальность величины ^С/^к) . По своей природе функционал близок к а вместе с ним и к , поэтому следовало бы ожидать применимость к сумме из ^ yi случайных слагаемых центральной предельной теоремы только со случайной нормировкой =. .

Тп.

Однако этого не происходит: в некоторых случаях для K^JMyi) имеет место такая теорема, но не с нормировкой > а в

V fyt некоторых случаях U^/ имеет существенно иной характер сходимости , более похожий на сходимость нормированного числа в процессе с ветвлением. Данный эффект, полученный при случайных превращениях частиц вполне объясним: в зависимости от характера превращений при делении отдельные слагаемые в сумме либо можно считать слабо зависимыми и тогда применима центральная предельная теорема со случайной нормировкой, либо в K^tJ^Yi) много сильно зависимых слагаемых , которые являются значениями функции 5 от близких "родственников" в смысле расстояния по генеалогическому дереву. Тем самым, память процесса jW^. и вид функции £ оказывают существенное влияние на формирование асимптотического поведения функционала Результаты, аналогичные результатам диссертации о можно было бы также получить для функционала 2L к=0 <С ^^кУ » что однако из соображений объема не делается.

В §8 главы 2 доказываются теоремы о сходимости в среднем квадратичном и по распределению аддитивных функционалов, построенных по собственным и почти собственным функциям полугруппы Eft с большими по модулю собственными значениями; эти теоремы существенно используют мартингальный характер сходимости полученных ф ункционалов. Примером результатов §8 является следующий факт: если , то последовательность g'V1 является мартингалом, сходящимся в среднем квадратичном к случайной величине "WC&) . Наиболее существенную роль в последующих рассуждениях играет величина определяющая предельное нормированное число частиц в процессе , В этом же параграфе доказана теорема об устойчивости, утверждающая, что сходится к при fL-ьОО t если выполнены некоторые дополнительные условия малости в среднем функции $>гъ . Этот результат играет наиболее существенную рель при доказательстве теорем о смешанной гауссовости. Теоремы §8 за исключением указанной теоремы об устойчивости обобщают на случай фазового пространства общего вида результаты работ Кестена и Стигума [Зб| , Атрэ [28] о функционалах с мартингальным характером сходимости для процессов Гальтона-Ватсона.

Параграфы 9 и 10 диссертации посвящены результатам о смешанной гауссовости для аддитивных функционалов. При некоторых ограничениях на поведение функционала ^^Ji^ и его двух первых моментов доказано, что для 1R.

M^ib^+^Xi^ (4) з при Гь-ъсо f где » в котором математическое ожидание МЯ берется для процесса, начавшегося с одной частицы, имевшей распределение V в пространстве . Правая часть соотношения (4) определяет характеристическую функцию пары случайных величин ^^lW) , где % - независящая от гауссовская величина со средним 0 и дисперсией I; поэтому (4) является утверждением о сходимости к смешанному гауссовскому распределению для Случай, рассматриваемый в §§8-9 обладает тем свойством, что С (гС)л 6 удовлетворяет эквивалентности Сф.+1)ъ>С(?ё) при и величина $сходится по распределению при Я->оо к гауС. совскому распределению со средним 0 и дисперсией I, асимптотически независящему от величины w (точная формулировка содержится в теореме 9.1).

Параграф 10 посвящен случаю ^нкционалов, построенных по функции 5 о Ш /1Еп&й <ег и позти собственным

J2-+CO " функциям Efl, с собственными значениями по модулю равными Результаты §10, примененные к процессам Гальтона-Ватсона, позволяют получить результаты работ Кестена, Стигума [Зб] и Атрэ [28] о смешанной гауссовости, при этом константы С СЮ имеют вид У1 ^ , О

В §§11-12 результаты, полученные ⧧8-10 применяются к изучению поведения суммарного спина Sn (i) от марковских цепей, инвариантных относительно всех изоморфизмов дерева А . В §11 доказана возможность сведения к аддитивному функционалу

K^jflfr) от некоторого марковского процесса с ветвлением, для которого предельное норшрованное число частиц W" неслучайно. Таким образом, для такого процесса yt/^ результат о смешанной гауссовости приводит просто к асимптотической гауссовости суммарного спина при некоторых ограничениях на функцию f и марковскую цепь. В §11 показано, что величина Sn Й) асиптотически гауссовская при стандартной нормировке на среднее и корень из дисперсии для гиббсовских полей в высокотемпературной области, что ранее известно было для модели Изинга на Z. из работы Малышева [17] .

В последнем §12 доказываются теоремы о поведении суммарного спина в ферромагнитной модели Изинга на однородных деревьях без внешнего поля для гиббсовского поля со свободными граничными условиями. Показано, что суммарный спин асимптотически гауссов-ский при и асимптотически негауссовский при при этом хвост предельного распределений убывает быстрее чем у гауссовского. В сравнении с результатом §6 это показывает, что в модели Изинга на деревьях имеются по крайней мере две точки фазового перехода - L , /wfUjs^-1 . При переходе через нарушается единственность гиббсовского поля, при переходе через теряется асимптотическая гауссовость суммарного спина. Этот своеобразный эффект на физическом уровне строгости ранее обнаружен ранее был у поведения второго момента суммарного спина Матсудой [38] и у удельной свободной энергии Мюллером-Харт-маном и Зитаром в работе [зэ] .

Список основных обозначений и сокращений однородное дерево,

- вершины дерева CL и В соединены ребром А множество ориентированных ребер - класс конечных поддеревьев А

3V= fa 4 V: 3geV,6coa{

С - вершина о лвжит на кратчайшем пути из й. в С и 3b - £ -компактное метрическое пространство о&>- - £ -алгебра борелевских мнвжеств fr - мера на & 29 ^ f (ЬслбЗ£}Л£ А}} - пространство конфигураций спинов в объеме

VcA

- G*

-алгебра в

-П.в. - для почти всех ЗС-у по мере п.в. - почти всюду

XJC)0 - симметричная функция из в JR. , называемая потенциалом - V м.ц. - марковская цепь

- класс марковских цепей

МП, \ tfafife^}- марковская цепь с указанными параметрами

- класс гиббсовских мер tyfa у т^А )- набор функций, удовлетворяющих ряду свойств ф= W

- множество всех наборов Ч> класс гиббсовских мер, являющихся марковскими цепями

К (А'ц.) - множество вещественных чисел (неотрицательных чисел) (L - множество комплексных чисел У - множество изоморфизмов дерева А

Ш с*0 - L е^р f

Hi - множество ограниченных измеримых функций на £ (ISII = Sup-flSfeOI • 39. \ - норма в В S(X) - мера, сосредоточенная в точке сЛ1 - множество целочисленных точечных мер на X

- £ -алгебра в , порожденная аддитивными функционалами т-ЩЖу- точечная мера, h>0p - целые положительные числа

V> = j^SW^at)

JU(to) - значение марковского процесса с ветвлением при #=0,4,. •^ГЛ, - марковский процесс, начавшийся из W 6 сЖ ^СЮ - суммарное число частиц в процессе в момент (.7»^ - производящий оператор процесса JJ^ за время Я (?£) = дейстше полугруппы средних се*) - <Q^№v> с(кь)« gtfO6

3 - начало доказательства

1> - конец доказательства

И - функция, тождественно равная 1

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979, 429 с.

2. Беляев М.Ю. Гиббсовские поля на однородных деревьях. -ДАН СССР, 1982, т. 264, № 4, с.787-790.

3. Беляев М.Ю. Дважды инвариантные групповые поля на деревьях.- Вестник МГУ, сер. I, матем.мех., 1983, № I, с. 24-27.

4. Беляев М.Ю. Об асимптотическом поведении функционалов от надкритических марковских процессов с ветвлением. -Рукопись деп. в ВИНИТИ АН СССР 6 апреля 1984 г., Ш)47-84Деп.,46 с.

5. Беляев М.Ю., Берестова Н.А., Молчанов С.А. Предельные теоремы для марковских процессов с ветвлением. ДАН СССР, 1983, т. 268, IS 5, с. 1039-1043.

6. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975, 319 с.

7. Григорчук Р.И., Степин A.M. Гиббсовские состояния и марковские поля на группах. В сб. : "Математические модели статистической физики Тюмень, 1982, с. 55-60.,

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория.- М.: ИЛ, 1962, 892 с.

9. Добрушин Р.Л. Задача единственности гиббсовского поля и проблема фазовых переходов. Функц. анализ и его приложения, 1968, т.2, вып. 4, с. 44-57.

10. Добрушин Р.Л. Описание случайного поля при помощи условных вероятностей и условия его регулярности. Теория вероятностей и ее применения, 1968, т. 13, вып. 2, с. 201-229.

11. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М. : Наука, 1965, 524 с.

12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и13.