Асимптотические разложения с явной оценкой констант для экспоненциальных моментов сумм случайных величин, определенных на цепи Маркова, и их применения к предельным теоремам для моментов достижения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Стр.

Введение. .2

Глава I. Равномерные асимптотические разложения операторов, связанных с показательно эргодической цепью Маркова. . 19

§ I.I. Вспомогательные результаты .19

§ 1.2. Разложения для резольвенты и проекторов.30

§ 1.3. Равномерные разложения корректирующей функции

Глава П. Равномерные асимптотические разложения для экспоненциальных моментов суш случайных величин, определенных на цепи Маркова. .49

§ 2.1. Разложения функционалов, связанных с начальншл распределением.49

§ 2.2. Равномерные асимптотические разложения для экспоненциальных моментов в схеме закона больших чисел и в схеме центральной предельной теоремы . «

§ 2.3. Представление для многочленов и через моментные функционалы, определенные на цепи

62

Глава Ш. Изложения для операторов, связанных с возмущенными показательно эргодическими цепями Маркова.75

§ 3.1. Разложения для "моментных" операторов и резольвент

§ 3.2. Разложение для операторов и .92

§ 3.3. Разложение для и .100

Глава 17. Асимптотические разложения распределении моментов достижения в схеме серий. 109

§ 4.1. Разложения по параметру серий многочленов и . 109

§ 4.2. Асимптотические разложения ждля экспоненциальных моментов в схеме серий . . 118

§ 4.3. Асимптотические разложения распределений моментов достижения труднодостижимых областей в схеме серий Литература.147

Предельные теоремы составляют весьма обширную и наиболее существенную часть проблематики теории вероятностей.

Классической и наиболее хорошо изученной схемой являются предельные теоремы для сумм независимых случайных величин (с.в.). Подробные и исторические ссылки можно найти в монографиях [tö], [43].

Как показывают многочисленные исследования, распространение имеющихся результатов для независимых с.в.на случай зависимых с.в.представляет собой серьезную математическую проблему. При этом существенную роль играет вид зависимости. Истоки этой проблематики лежат в исследованиях А.А.Маркова, выполненных в начале XX века.

Аналог классической интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа для однородных цепей приведен в работе А.А.Маркова [40] . Этот результат Марковым был установлен методом моментов. При этом используется метод производящих функций. По существу, условия Маркова для применимости интегральной предельной теоремы для однородных цепей оказались в некотором смысле, окончательными. Исследования последующих авторов в этом направлении в общих чертах отличаются лишь методом доказательства. Так, например, сочетая алгебраические методы с методом моментов, В.И.Романовский установил справедливость тех же результатов Маркова.

Г.Шульц [72] в 1936 г.при помощи разностных уравнений для моментов устанавливает центральную предельную теорему для однородных цепей Маркова.

Прямые методы для установления интегральной предельной теоремы были предложены Деблином в 1937 г.[?0].

Метод характеристических функций для установления интегральной предельной теоремы был развит в работах В.И•Романовского [45] , О.Оническу и Г.Михок [71] .

Эргодические предельные теоремы и интегральная предельная теорема дая сумм случайных величия, связанных в однородную цепь Маркова с конечным числом состояний, в общем виде изучены В.И.Ро-мановским. Эти вопросы для цепей Маркова, у которых множество состояний составляет некоторый отрезок прямой, рассмотрены в монографии Т.А.Сарымсакова [46]. Многомерная локальная предельная теорема для случайного вектора, компонентами которого являются числа попаданий в состояния, доказана А.Н.Колмогоровым [26].

Кроме того, решалась задача об уточнении и асимптотическом разложении остаточного члена в предельных теоремах. Важность последней задачи состоит в том, что во всех практических применениях предельными теоремами пользуются в качестве приближенных формул при конечных значениях соответствующего параметра 1г . Для того чтобы такое применение предельных теорем было вполне обосновано, они должны быть снабжены оценками скорости сходимости.

Как известно, параметр 4= ( п - число слагаемых) являетт ся основным показателем скорости сходимости в предельных теоремах для распределения сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и векторов. Асимптотические разложения остаточ1 ных членов по степеням ~ как в одномерных, так и в многомерных предельных теоремах для однородных цепей Маркова с конечным числом состояний установлены С.Х.Сираждиновым [56] . в дальнейшем эти результаты были обобщены С.В.Нагаевым [41 ],[42] для цепей с произвольным множеством состояний, а В.А.Статулявичусом

61] на случай неоднородных цепей Маркова.

Наряду с традиционными предельными теоремами для сумм с. в. значительный интерес представляет исследование предельных теорем для других функционалов, определенных на цепях Маркова, в том числе для моментов достижения труднодостижимых областей. Теоремы такого типа и связанные с ними теоремы об асимптотическом укрупнении марковских и полумарковских процессов изучались в работах И.В•Коваленко, В.С.Королюка, затем в работах В.В.Анисимова, Д.С.Сильвестрова, А.Ф.Турбина и др. Здесь следует выделить две дополняющие друг друга постановки задачи: а) Процесс полумарковского типа фиксирован, область ^ зависит от параметра серии 6 таким образом, что вероятность достижения процессом области на одном цикле полумарковской регенерации стремится к нулю при ¿-»О •

В работе рассматривалась задача об изучении моментов достижения удаляющихся уровней для однородных цепей Маркова.

В дальнейшем путем использования метода асимптотического фазового укрупнения в работах [33] #[34] изучалось предельное распределение момента достижения удаляющегося уровня эргодическим счетным полумарковским процессом.

В работе [б9] рассматривалась равномерно эргодическая цепь Маркова с произвольным фазовым пространством. Показана асимптотическая экспоненциальность распределения момента достижения удаляющейся области фазового пространства.

Аналогичная задача для эргодического дискретного случайного процесса полумарковского типа рассмотрена в [¡3]•

В работах [56"] -[Ь?] изучается предельное поведение моментов достижения "удаляющейся" области фазового пространства для эргодической цепи Маркова с произвольным фазовым пространством. б) Область фазового пространства §) фиксирована, от параметра С зависят "локальные" характеристики процесса, задащйе его в одном цикле полумарковской регенерации, причем таким образом, что вероятности достижения области за один цикл стремятся к нулю. К задачам этого типа относится проблематика диссертации.

Для эргодических цепей Маркова и полумарковских процессов с дискретным (конечным или счетньм) фазовым пространством эта задача исследовалась, начиная с работы [273,многими авторами [5 - 7, <9 ,23 ,24,29-31,33,34,47-50 ,52 ,63 ] .

В более сложной ситуации для процессов с произвольным фазовым пространством в основном исследовался случай, когда соответ-ветствующие вложенные цепи Маркова равномерно по параметру серии эргодичны [6-10,15 ,18,52,] .

Также рассматривались различные обобщения подобных результатов на последовательности с равномерным ми сильным перемешиванием [11,18,51,52] .

Б работах [25,35] рассматривались приложения полученных результатов к конкретным системам надежности и массового обслуживания.

Настоящая работа посвящена исследованию асимптотических разложений в схеме серий, с явной оценкой остаточных членов для экспоненциальных моментов сумм с.в., определенных на показательно эргодических цепях Маркова с произвольным фазовым пространством, а также применениям этих результатов к асимптотическим разложениям с явной оценкой констант в нормальной зоне и в зоне больших уклонений для распределения моментов достижения трудно достижимых областей для цепей Маркова.

Основные результаты диссертации следующие.

1. Получены асимптотические разложения для экспоненциальных моментов с комплексным аргументом дум сумм с.в., определенных на показательно эргодических цепях Маркова, В частном случае при чисто мнимом аргументе из этих разложений получаются асимптотические разложения для характеристических функций,

2. Впервые получены явные оценки для остаточных членов как в асимптотических разложениях для общих экспоненциальных моментов, так и в асимптотических разложениях для характеристических функций.

3. Получены асимптотические paзлoжeнияJравномерные по некоторому классу цепей Маркова, и асимптотические разложения для возмущенных цепей в схеме серий с явной оценкой остаточных членов.

4. Установлена связь между асимптотическими разложениями для экспоненциальных моментов сумм случайных величин, определенных на цепи Маркова,и асимптотическими разложениями для распределений моментов достижения. Разработан новый метод, позволяющий получить асимптотические разложения для распределений моментов достижения в нормальной зоне из асимптотических разложений для экспоненциальных моментов сумм с.в., определенных на цепи Маркова в схеме закона больших чисел, в зоне больших уклонений из асимптотических разложений для экспоненциальных моментов таких сумм в схеме центральной предельной теоремы.

5. Впервые получена явная оценка остаточных членов в асимптотическом разложении для распределения моментов достижения трудно достижимых областей для возмущенных цепей Маркова в нормальной зоне.

6. Впервые получены асимптотические разложения для распределения моментов достижения труднодостижимых областей для возмущенных цепей Маркова в зоне больших уклонений, а также явные оценки для остаточных членов в соответствующих разложениях. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Во введении дается исторический обзор результатов, имеющих отношение к тематике диссертации. Кратко изложено ее содержание.

1. Алешкявичене А. Об уточлении предельных теорем для однородных цепей Маркова. Лит.матем.сб., Ш, I, 163, с.9-21.

2. Анисимов В.В. Предельные теоремы для сумм случайных величин, заданных на подмножестве состояний цепи Маркова до момента выхода, в схеме серий. Теория вероятн.и матем.статистика,4 (1971), с.18-26.

3. Анисимов В.В. Предельные теоремы для сумм случайных величин, заданных на счетном множестве состояний цепи Маркова до момента выхода. Теория вероятн.и матем.статистика, 8 (1973), с. 3-13.

4. Анисимов В.В. Асимптотическое укрупнение состояний случайных процессов. Кибернетика, 3 (1973), I09-II7.

5. Анисимов В.В. Предельные теореш для случайных процессов и их применения к дискретным схемам суммирования. Изд-во при Киевском университете, 1977, 79 с.

6. Анисимов Б.В., Война A.A. Предельные теоремы дяя схем суммирования на случайных процессах с цроизвольным пространством состояний. Теория вероятн.и матем.статистика, 19 (1978), 9-17.

7. Анисимов В. В. Асимптотический анализ надежности сложных систем под воздействием неоднородных случайных возмущений. ДАН УССР, сер.А, I (1979), 66-69.

8. Анисимов В.В. Предельные те оремы для неоднородных слабозависимых схем суммирования. Теория вероятн.и матем.статистика, 27 (1982), 10-22.

9. Виноградов О.П. Задача о распределении дяя момента первой потери требования в однолинейной системе массового обслуживания с ограниченным числом мест дяя ожидания. Штем.заметки, т.3.5 (1968).

10. Война A.A. Время пребывания в фиксированном подмножестве и укрупнение состояний случайных процессов с произвольным фазовым пространством. Теория вероятн.и матем.статистика, 20 (1979), 30-38.

11. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М.; Иностранная литература, 1956. - 204 с.

12. Зубков А.М. Неравенства для вероятностей переходов с запрещением и их применения. Матем.сб., 1979, т.109 (151), В 4, с.481-532.

13. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М., "Наука", 1965.

14. Кай-Лай-Чжунь. Однородные цени Маркова, М., ШГ, 1964.

15. Каплан Е.И. Предельные теоремы для моментов выхода случайных последовательностей с перемешиванием. Теория вероятн. и матем.статистика, 21 (1979), 42-59.

16. Каплан Е.И. Предельное распределение для моментов выхода нестационарных случайных последовательностей. ДАН УССР, сер.А, II (1979), 900-902.

17. Карташов Н.В. Сильно устойчивые цепи Маркова. В сб.: Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. М.; ШИИСИ, 1981, с.54-59.

18. Карташов Н.В. О свойствах эргодичности и устойчивости цепей Маркова по отношению к различным нормам в пространстве мер. Теория вероят.и ее цримен., 1984, т.XXIX, в.I,с.195-196.

19. Карташов Н.В. Операторные методы в предельных теоремах для марковских процессов. Теория вероятн.и ее цримен., 1984, т.XXIX, в.4, с.792-793.

20. Коваленко И.Н. 0 классе предельных распределений для редеющих потоков однородных событий. Лит.мат.сб., 4 (1965), 569-573.

21. Колмогоров А.Н. Локальная предельная теорема для однородных цепей Маркова. "Изв.Ш СССР, сер.математикаУ 1950, т.13, с.287-300.

22. Королюк В.С. Об асимптотическом поведении времени пребывания полумарковокого процесса в подмножестве состояний. -Укр.матем.журнал, 21, 6 (1969), 842-845.

23. Королюк B.C., Полшцук Л.И., Томусяк A.A. Об одной предельной теореме для полумарковских процессов. Кибернетика,4 (1969), 144-145.

24. Королюк B.C., Таджиев А. Асимптотическое разложение для распределения времени поглощения полумарковского процесса. -ДАН УССР, 1977, 12.

25. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Об асимптотическом времени пребывания полумарковского процесса в производимом подмножестве состояний. Сб."Теория вероятн.и матем.статистика", 2 (1970), 133-143.

26. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. Киев: Наукова думка, 1978, - 220 с.

27. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Палумарковские процессы и их приложения. Киев; Наукова думка, 1976. - 184 с.

28. Королюк B.C., Томусяк A.A., Турбин А.Ф. Алгоритм укрупнения цепей Маркова с помощью разрежения. СВ сб."Аналитические методы в теории вероятностей", Киев, Наукова думка, 1979, 62-69.

29. Королюк B.C., Турбин А.Ф., Томусяк A.A. Время пребывания полумарковского процесса в расширяющемся множестве состояний. В сб.¡Аналитические методы в теории вероятностей, Киев, Наукова думка, 1979, 69-80.

30. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982. - 236 с.

31. Королюк Д.В., Сильвестров Д.С. 0 времени пребывания цепи Маркова в расширяющемся подмножестве.состояний. Тезисы докладов 2У Всесоюзной шкслы-коллоквиума по теории вероятностей и математической статистике. Бакуриани, 1981, 64-65.

32. Королюк Д.В., Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для моментов достижения. Тезисы докладов Ш Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. 1981, 245-246.

33. Королюк Д.В., Сильвестров Д.С. Моменты достижения асимптотически удаляющихся областей для эргодических цепей Маркова. "Теория вероятн.и ее примен.", 1983, т.ШШ, № 2.

34. Лоэв М. Теория вероятностей . М.: Иностранная литература, 1982.

35. Марков A.A. Распространение предельных теорем исчисления вероятностей на суммы величин, связанных в цепь. Избр.труды. Изд-во АН УСССР, 195I, с.363-099.j

36. Нагаев C.B. Некоторые предельные теоремы для однородных цепей Маркова. "Теория вероятн.и ее примен.", 1957, т.П, Л 4,с.389-416.

37. Нагаев C.B. Уточнение предельные теорем для однородных цепей Маркова. "Теория вероятн.и ее примен.", 1961, т.У, № I.

38. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М., "Наука", 1972.

39. Рис с Ф., С-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.-М.; ИЛ, 1954.

40. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. М., 0ГИЗ,1949.

41. Сарымсаков Т.А. Основы теории процессов Маркова. М., Физматгиз, 1954.

42. Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для полумарковских схем суммирования. Теория вероятн.и матем.статистика, 4 (1971), 153-170.

43. Сильвестров Д.С. Равномерные оценки скорости сходимости для сумм случайных величин, определенных на конечной однородной цепи Маркова с поглощением. Теория вероятн.и матем.статистика, 5 (1971), 116-127.

44. Сильвестров Д.С. Предельные распределения для сумм случайных величин, определенных на счетной цепи Маркова с поглощением. ДАН УССР, сер.А, 4 (1972), 339-341.

45. Сильвестров Д.С. Одно замечание о предельных распределениях для моментов достижения для возвратных цепей Маркова .Теория случайных процессов, 7 (1979), 106-109.

46. Сильвестров Д.С. Теоремы типа больших уклонений для моментов достижения последовательностей с перемешиванием. Теория вероятн.и матем.статистика, 24 (1981), 129-134.

47. Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для моментов достижения. Б сб.Теория массового обслуживания. М.; НШСИ, 1981, 167-171.

48. Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для сложных случайных функций. Киев, Вшца школа, 1974, 272 с.

49. Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний. М.: Советское радио, 1980,

50. Сильвестров Д.С., Абадов З.А. Асимптотика для экспоненциальных моментов суш случайных величин, определенных на показательно эргодических цепях Маркова. Докл.АН УССР, сер.А,4 (1984), 23-25.

51. Сираждинов С.Х. Предельные теоремы для однородных цепей Маркова. Ташкент. Изд-во АН Усз.ССР, 1955.

52. Сираззщинов С.Х., Форманов Ш.К. Предельные теоремы для сумм случайных векторов, связанных в однородную цепь Маркова. Ташкент; Фан, 1979, 177 с.

53. Сираздинов С. 1», Форманов Ш.К. Об оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме для однородных цепей Маркова. "Теория вероятн.и ее примен.", 1983, т.ХХУШ,с.2, с.219-228.

54. Сираздинов C.Z., Форманов Ш.К. О предельных теоремах для цепей Маркова. Труды Советско-Японского симпозиума по теории вероятностей, 1969, ч.П, с.91-106.

55. Скворцов А.Е. Некоторые предельные теоремы ои оценки скорости сходимости для сумм случайных величин, связанных в однородную цепь Маркова. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Донецк, 1975.

56. Статулявичус В.А. О локальной предельной теореме для неоднородных цепей Маркова. Докл.Ш СССР, 1956, т.107, В 4, с.516-519.

57. Статулявичус В.А. Локальные предельные теоремы и асимптотические разложения для неоднородных цепей Маркова Лит.ма-тем.сб., I, 1-2, 1961.

58. Форманов Ш.К. О равномерной оценке остаточного члена в многомерной предельной теореме для однородных цепей Маркова. I. "Изв.АН Уз.ССР, сер. физ.-мат.наук", 1971, & 3, с.24-30.

59. Форманов Ш.К. О равномерной оценке остаточного членав многомерной предельной теореме для однородных цепей Маркова. П. Изв.АН Уз.ССР, сер.физ.-мат.наук", 1971, № 5, с.20-25.

60. Форманов Ш.К. Равномерная оценка в многомерной предельной теореме для однородных цепей Маркова по классу всех измеримых выпуклых множеств. I. "Изв.АН Уз .ССР, сер.физ. -мат. наук", 1972, £ 3, с.33-57.

61. Форманов Ш.К. Равномерная оценка в многомерной предельной теореме для однородных цепей Маркова по классу всех измеримых выпуклых множеств.П. "Изв.АН Уз.ССР, сер.физ.-мат.наук", 1972, Г& 6, с.35-42.

62. Черенков А.П. Асимптотика аддитивных функционалов от полумарковского процесса с произвольным множеством состояний. -Матем.заметки, т.21, 2 (1977), 213-221.

63. Ьо^ЛИп Wv Ао-г- рхХ)р-шЛеА , киМ. УУЬаЛк , Лее, Поцлняипе. сОЯ- ЛсСемш., 1937,

64. ОписШАх О. УУЫАъ0К> Сг.} Хгл. сЛьсинсл. ¿е. гга.ъСаЛ>вг& <%бнх1о1хм,, ¡Ьииси.тлл£1, {Я^Ъ.УтъЛггл^(Уил,1у1бСск.кы- Ьелл. ч^суиНе^ег.ЬеллШке. Ш1х1ку 19дб/ 665-669.