Предельные теоремы для условно независимых схем суммирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ПОТОКОВ

РЕДКИХ СОБЫТИЙ

§ I.I. Цредельные теоремы для потоков редких индикаторов

§ 1.2. Асимптотический анализ неоднородных систем массового обслуживания п.1. Системы массового обслуживания, управляемые цепью Маркова п.2. Системы массового обслуживания, управляемые цепью Маркова, допускающей асимптотическое укрупнение

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ПОТОКОВ РЕДКИХ

СОБЫТИЙ НА ЦЕПЯХ МАРКОВА

§ 2.1. Асимптотическое поведение l -цепочек

§ 2.2. Предельные теоремы для некоторых функционалов от редких событий на цепях Маркова

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММ СЛАБОЗАВИСИМЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ 3.1. Предельная теорема для сумм зависимых случайных величин

§ 3.2. Предельная теорема для сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания

§ 3.3. Предельные теоремы для схем суммирования на стационарной последовательности и цепи Маркова.

§ 3.4. Обобщение на схему серий

§ 3.5. Предельная теорема для схем суммирования на полумарковском процессе

Предельные теоремы составляют весьма обширный и один из центральных разделов теории вероятностей и находят все большее применение при решении прикладных задач.

Значительный интерес представляют задачи, связанные с исследованием асимптотического поведения сумм условно независимых случайных величин, которые могут применяться для решения различных асимптотических задач теории массового обслуживания и теории надежности. На эту связь указывал Б.В.Енеденко в работе [ 33 ] . В частности, эти результаты можно использовать для нахождения предельного поведения потоков редких событий, возникающих на траекториях некоторых случайных последовательностей, при асимптотическом анализе надежности управляемых систем массового обслуживания.

Схемы суммирования случайных величин, определенных на стационарных последовательностях, цепях Маркова, полумарковских процессах исследовались многими авторами [ 1-3, 5, 6, 24, 25, 42, 43, 45, 46, 51, 52, 54, 62, 64, 71, 74, 75, 80, 83, 90, 95, 99, 106 J и др.

В работах [5 , 6, 8, 9, 14, 37, 38 , 55 , 69 , 70, 80 - 82 ] и др. исследовались условия сходимости в различных топологиях процессов с условно независимыми цриращениями и сумм случайных величин, заданных на произвольной случайной последовательности, удовлетворяющей условиям эргодичности, либо перемешивания, либо общим условиям сходимости частот.

Настоящая диссертация посвящена изучению предельных теорем для различных схем суммирования условно независимых случайных величин. Под последовательностью условно независимых случайных величин понимается последовательность независимых случайных величин, распределение которых переключается траекторией некоторой случайной последовательности. В работе рассматриваются как однородные, так и неоднородные схемы суммирования.

Исследуется предельное поведение неоднородных потоков редких событий, возникающих на траектории некоторой случайной последовательности. Получена общая предельная теорема, которая применяется для анализа надежности некоторых неоднородных систем массового обслуживания. Также найдены предельные распределения для количества редких событий, возникающих на траекториях конечных цепей Маркова, для сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания.

Изучаются схемы суммирования с центрированием на стационарной последовательности, цепи Маркова, полумарковском процессе с дискретным временем и произвольным пространством состояний. Рассматривается случай, когда случайные величины и переключающая последовательность заданы в схеме серий.

Перейдем к краткому изложению результатов диссертации с указанием их места среди аналогичных исследований.

Работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.

В первой главе "Асимптотическое поведение неоднородных потоков редких событий" доказана общая предельная теорема для неоднородных потоков редких событий и рассмотрены примеры асимптотического анализа неоднородных систем массового обслуживания.

При исследовании систем массового обслуживания часто возникают задачи, связанные с нахождением момента наступления некоторых редких событий. Ряд таких моделей рассматривался в работах [7, 23, 31 - 34, 39 - 41, 49, 56 - 59 , 62 - 65 , 86 - 89, 105, 108] и др. В том случае, когда параметры потока или системы меняются со временем, традиционные методы, связанные с построением вспомогательного полумарковского процесса и исследования момента первого выхода из подмножества, не применимы, поскольку соответствующие процессы не обладают моментами восстановления. Ряд результатов по асимптотическому анализу неоднородных потоков, порожденных системами, у которых есть одно восстанавливающее состояние, а времена сидения-в других состояниях пренебрежительно малы по сравнению с временами сидения в этом состоянии, получены в [57, 58] . Некоторые результаты по исследованию потоков, порожденных неоднородными системами с многими точками восстановления, получены в [ю"] .

В первой главе предлагается подход к данной проблематике, связанный с исследованием потоков редких индикаторов / появление единицы трактуется как наступление некоторого редкого события /. Этот подход развивался в работах [8, 14, 40, 41 ] .

В § I.I доказывается общая предельная теорема для потоков редких индикаторов, определенных на некоторой дискретной управляющей последовательности.

Пусть С к ) , к & i - некоторая дискретная случайная последовательность со значениями в произвольном измеримом пространстве (X , ВХ ) */ ><* € X } > и - семейства независимых от Хц С' ) и в совокупности неотрицательных случайных велих/ Здесь и в дальнейшем - € -алгебра измеримых множеств на X чин и индикаторов. При этом предполагается, что при каждом к и Х„.СЮ) - случайные величины. Введем обозначение

УЛ.

КГ, ХЛ(к)> ,

K = i m. Е /кСк, Х*(к)) ,

Если jCn ( m., Хц. (>п )) = 1 , то в момент JH^(m) происходит редкое событие. Определил последовательности

Будем исследовать поток редких событий Vn. (i ) » моменты скачков которого есть величины , f^i » при соответствующем растяжении оси времени в предположении, что осуществление или не осуществление редкого события не влияет на поведение X*. ( к ) , к i . Пусть

В начале § I.I доказывается вспомогательная лемма I.I, которая является аналогом теоремы Пуассона для слабозависимых индикаторов. Отметим, что в работе [14] для сумм случайных индикаторов, заданных на случайной последовательности, удовлетворяющей условию равномерно сильного перемешивания, был получен аналогичный результат в предположении, что индикаторы удовлетворяют более жестким условиям / типа закона больших чисел /. Теоремы о сходимости сумм зависимых целозначных процессов либо точечных, удовлетворяющих условию типа равномерно сильного перемешивания, к пуассоновскому процессу с ведущей неслучайной функцией были получены в [l8, 19] . Общие условия сходимости считающих и точечных процессов приведены в [38, 5з] . 1&м же указан достаточно полный обзор результатов в этом направлении.

Основным результатом § I.I является

Теорема I.I. Если при п——существует нормирующий множитель j3 ^ такой, что Ди.([и-{;])}=> {^(ti.At-tJj.bio.i],357 где То(~Ь) - стохастически непрерывный процесс, Л (4:) непрерывный монотонно неубывающий процесс и

А г р ш./

- i -it . то конечномерные распределения потока Vn ( J2»^ t ) слабо сходятся к конечномерным распределениям потока Vq ("£) , последовательные моменты скачков которого есть величины Г0 ( ) , где - момент [ -го скачка пуассоновского потока

П (Л ("£)) » Т0Ц) и АН) могут быть зависимы, а [""](•) не зависит от ( Г0 (• ) , Д (• )) Здесь р] (i) - пуассоновский процесс с параметром единица.

Предельные теоремы для подобных схем исследовались многими авторами, в основном когда ) - однородный марковский или стационарный процесс, а распределения Тц.(к »Х) и не зависят от к . Подробнее этот вопрос х/ Символ [ а ] обозначает целую часть ct ум/ Символы > , -- обозначают соответственно слабую сходимость функций распределений случайных величин либо конечномерных распределений случайных процессов и сходимость по вебудет рассмотрен в главе 3. Для неоднородных цепей Маркова ряд результатов получен в работах [42, 45, 78, 90 ] . В работах [б, 8, 9, 14, 55, 81, 106] и др. доказаны предельные теореш для последовательностей Х^ск) , удовлетворяющих условиям эргодичности либо перемешивания.

В § 1.2 рассматривается применение полученной в § I.I теоремы к асимптотическому анализу неоднородных систем массового обслуживания. Параграф состоит из двух подпараграфов. В первом из них исследуется поток потерянных требований в системе массового обслуживания, управляемой цепью Маркова.

Пусть входящий поток в систему типа (г J 1 j О управляется однородной равномерно эргодической цепью Маркова

Х(к) , к & 0 со значениями в произвольном измеримом фазовом пространстве ( X > &Х ) » ^/Г (А ) , А е стационарное распределение цепи. Управление цроисходит следующим образом. Если X (»0 = Л ,то (К,Х) - промежуток между поступлениями К- i -го и К -го требований, т^цСЛ) -время обслуживания к - 1 -го требования, поступившего в систему, к , СО, х) = 0 , хе X • Случайные величины 1 к СхеХ, к кг» i - независимы от Х(ив совокупности и при каждом к, ^^С* ,*(*)) - случайная величина. Если требование поступает в занятую систему, оно теряется.

Пусть v^. (-t) , "t ^ 0 - поток потерянных требований.

Теорема 1.2. Если при п -* gup sup Р{ ^(к)} -- 0 9 роятности случайных величин или случайных процессов.

SJUD sup ik^^Ck)}—*0, 1 и существуют нормирующие множители с^ ^ и такие, что

ДЛЯ "t€[0,i] linil f ri&J f

T J(1- Mexp{-e^(*.x)})srtJxj—

K=± X

SUP iup(l- Л1ехр{-0/*Л„.<«.х)})-"0,0*0, где A(±o,i)=o t*lO,il ,/\(i) и непрерывны no i , то конечномерные распределения потока STk (jSrt^i слабо сходятся к конечномерным распределениям потока V0 (•£) , который задается последовательными моментами скачков £ & i , где = £ ( £ ) » £(■£) - неубывающий процесс с независимыми приращениями вида

Mexp{-8T(i)} = ехр{" А(8Д)} , а " момент I -го скачка неоднородного пуассоновского процесса fl(A('t)^ 0 ведущей функцией AOi) » причем П С') и Г С') независимы. Во втором подпараграфе § 1.2 исследуется поток потерянных требований в системе массового обслуживания, управляемой цепью х/ Символ A (i 0 ,"£:)= 0 обозначает непрерывность в нуле функции A(8,-fc) по 0 для всех "te [o,f]

Маркова, допускающей асимптотическое укрупнение.

Следует отметить работы [39, 40, 77, 88, 89, 94] , где получены другими методами, связанными с принципом монотонных траекторий, предельные теоремы для момента первого отказа в моделях неоднородного резервирования с быстрым восстановлением и в однородных системах массового обслуживания с полумарковским входящим потоком либо с входящим потоком, управляемым некоторым эргодичес-ким процессом со счетным множеством состояний.

Во второй главе "Предельные теоремы для потоков редких событий на цепях Маркова" изучается предельное поведение количества редких событий, возникающих на траекториях конечных цепей Маркова.

В § 2.1 рассматривается следующая задача. Пусть О - однородная неприводимая непериодическая цепь Маркова с конечным множеством состояний ■{1,2,. . К ] и матрицей переходных вероятностей Р = || ру Ц =1, К f Jn L = 1, и: - стационарное распределение цепи. При этом

I * предполагается, что О рЦ<-1, Iе а, к. . Последовательность состояний цепи Маркова и "£,(1-1) при £ назовем I -цепочкой длины Z > 1 , L = 1, к . Вводятся случайные величины и (I) , • м ^ j>'L ) - количество L -цепочек длины , момент начала которых не превосходит У1 . Для исследования < iii предельного поведения J^ ( п., э L - I ,к используется подход, предложенный в первой главе, а также предельные теоремы для суперпозиции случайных процессов [б, 79 , 80 ] . Основным результатом параграфа является

Теорема 2.1. Если п. —>» <=*=> по некоторой подпоследовап. то о — w-Rii " = с,— , i,K тельности таким образом, что

Рй = с<) jU J1exp{i£ с*Лгф)} = exptl^te^'-i)} где

Также доказывается аналогичная теорема и для количества i -цепочек длины не меньше с п. . Иной подход к решению этой задачи для цепей Маркова с двумя состояниями рассмотрен в работе

Ю7] . Он основан на понятии рекуррентных событий [92"] . Заметим также, что феллеровская теория рекуррентных событий применялась ранее в работе [73] для конечных однородных цепей Маркова. Для знаменателя производящей функции вероятности первого появления любой комбинации на цепи Маркова получен ряд для наименьшего корня в общем случае и конечные формулы для асимптотики этого корня по Пуассону [92] . Следует отметить, что этот аналитический метод решения задачи является более громостким, нежели вероятностный метод, предложенный в § 2.1.

В § 2.2 рассматривается более общая задача. Из множества состояний [i , 2, . .» »с J цепи Маркова ЭС ({ ) , { ^ О выделим подмножество А e 1 L1 » L г » • • ' » Lr*o У , i - it ^ ^ ■ ■ ■ < i уп0 ± \С , т о * vt • ^сли цепь ^аРкова находится в подмножестве Д некоторое время Z > i , то происходит редкое событие длины £ . Пусть S^C^n.) - количество редких событий длины £ п. » момент начала которых не превосходит П . Вводятся обозначения: Рд~ II pij II L,j € А у

- характеристический многочлен матрицы рА , оС максимальное по модулю неотрицательное характеристическое число матрицы Рд , i > g(o6) - алгебраическое дополнение к элементу £ -й строки j -го столбца матрицы об Е - Рд ' Ад (оС) - производная Дд (Z ) в точке об d, =[ АдЫ^]"1^ ^йСоС).

0 , R se А о

Предположим, что оС " единственное максимальное по модулю характеристическое число. Основным результатом § 2.2 является

Теорема 2.5. Если п. —<=*=> по некоторой подпоследовательности таким образом, что tim not*4"1 - р0 ^ /0.1/

П. —* о© и то £ ^ С^п.) ==!> £ при п. оо по этой подпоследовательности, где £ - пуассоновская случайная величина с параметром

Шкже в § 2.2 исследуется следующий поток редких событий. Если цепь Маркова находится в подмножестве А некоторое время сin*"1 , то происходит т.+i редких событий, А т. ^ о ; ^^tO ~ количество таких редких событий, момент начала которых не превосходит уь

Теорема 2.6. Пусть выполняется условие /0.1/. Тогда

Л СЯ. у.

Ъп^п.) ^^ Sj[ при Yi—по указанной подпоследовательности, где - случайная величина с характеристической функцией вида

У<х>= exp{xoCi-ctHeLX- i)(i-ea } , e Хо= /oZ 3Tddj .

•pj о " г

В случае, если максимальное характеристическое число ос тлеет кратность к > 1 , утверждения теорем 2.5, 2.6 сохранятся, только условие /0.1/ заменяется на следующее: если к. —по некоторой подпоследовательности таким образом,что:

• о -С tim У1Вк ) = f>c

I М. е в, сги =осг~ П J i= о

При этом в утверждениях теорем

Схема, аналогичная предложенной в теореме 2.6, была рассмотрена в работе [72] . Используя "метод секционирования" С.Н.Бернштейна и известные условия сходимости суммы независимых случайных величин к заданному безгранично делимому распределению [30, с.287] был получен аналогичный результат.

В случае равновероятной полиномиальной схемы и А = { i } этот результат совпадает с результатом работы [ 22 ] . Последовательность состояний ( ае(£) , эеСt*L),. (&~-О), > О называется S -цепочкой [ 21, 22, 60 ] .В том случае, когда задана последовательность независимых испытаний, для количества S -цепочек в п. +• £ - L испытаниях аналогичный результат был получен в [ 47 ] / этот результат приведен в [60, с.Зб] /. Для последовательности испытаний, связанных в цепь Маркова / простую или сложную / с большим числом состояний и матрицей переходных вероятностей специального вида в работах [20, 21 ] исследовались вероятности непоявления заданного числа $! -цепочек. Эти результаты обобщены в работе [48] . Довольно полный обзор результатов по этому направлению содержится в [50, 60] .

Подобно теореме 2.5 доказывается теорема о предельном поведении количества редких событий, возникающих на траекториях двух независимых цепей Маркова с одинаковым конечным множеством состояний. Здесь под редким событием длины Z понимается следующее событие

3ea)(£+rn)= , уп. = oT^i f при £ £ 1

В заключении § 2.2 сформулировано утверждение для количества выбросов времен пребывания полумарковского процесса за высокий уровень.

В третьей главе "Предельные теореш для сумм слабозависимых случайных величин" исследуются схемы суммирования случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания, определенных на стационарной последовательности, на цепи Маркова и на полумарковском процессе с дискретным временем и произвольным пространством состояний.

В § 3.1 доказывается вспомогательная теорема для сумм зависимых случайных величин в схеме серий. Довольно общие условия для выполнения центральной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин приведены в [ 68 ] .В [36, 67, 68] указан перечень основных работ, относящихся к этому направлению. При доказательстве теореш 3.1 использовалась стандартная методика, связанная с построением специальных оценок для разности между характеристическими функциями случайного процесса, построенного по сумме зависимых случайных величин и предельного процесса. Она применялась при доказательстве центральной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин [100, 101} , для сумм мартингал-разностей [96, 97, I02*J , для доказательства сходимости сумм зависимых случайных величин к безгранично делимым законам [98, 103, 104] . Следует отметить работу [ЮЗ] , где получены общие условия, достаточные для сходимости сумм зависимых случайных величин к безгранично делимым законам. Иной подход для исследования сумм зависимых случайных величин предложен в [27] . Суть его заключается в том, что суммы случайных величин предста-вимы в виде сумм мартингал-разностей и для проверки условий предельных теорем для них нужно доказывать вспомогательные предельные теоремы типа закона больших чисел.

В § 3.2 теорема 3.1 применяется для доказательства следующей теоремы.

Пусть .} 1 , Is 1,2,. . - последовательность случайных величин, заданных на вероятностном пространстве

2 , Bq Р ) » 00 значениями в = (-•=»<=, =~=> ) Обозначим через { Тп * •> * = о. ^ } - поток S* -алгебр таких, ЧТО {.$,0. } = 7~Kto - ■ • • - И 1 И.К, является -измеримой случайной величиной, } п. - L,Z,. Положиг-т

Г nil

Чпк , Ь С0,Ц . i

Теорема 3.2. Если последовательность , k.= l, п. удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания с функцией перемешивания Ч5^^) , к^ о такой, что , tim liZ Ск) = 0 и для любых —» во УЛ. "Х> lim ) = «.fA.i),

•с=1 где а(*,-Ь) непрерывна по i и а. (± о ,-t ) эо ,4:е[о»П > к ,

Z-ZMIe'^^-il2 <сА< —, Упах P{|IKJ >t/<?nK-i } , n — ~ , i* п существует константа С < такая, что р

УХ. X и /^<-х]>с} = о, то

Уп im ttexp{i Е } = n — d=i

1 к-i <) = ! x = j*i

K-jtl ^.^ t^ •

В § 3.3 исследуется предельное поведение сумм случайных величин, определенных на стационарной последовательности или цепи -Маркова с произвольным пространством состояний.

Пусть X С к ^ , к s? О - стационарная в узком смысле последовательность случайных величин со значениями в произвольном измеримом пространстве (X > ) » удовлетворяющая условию равномерно сильного перемешивания / р.с.п. / с функцией перемешивания Н*к: , К ^ 0 : % - L > ftHT. Ч\с - 0 .

К —> <=К=> I Ic^^) , хеХ ] , 1 - независимые от X(к) и в совокупности семейства случайных величин со значениями в jj , распределение которых не зависит от индекса к , и при каждом ус J С х- , Х(к)) - случайная величина. При этом ^ Lxlс«,х) , ,oCw , ,оС ч oL * г , Л е Я , ХеХ » гДе и С С*) некоторые В^с -измеримые действительные функции, причем £(Х) - положительная. В § 3.3 доказывается сходимость J. и" I с^хск^-ги.) при и. —<>«=> к устойчивому закону. Зцесь

-Jnicx)Jrcdx) , ЗГ(А^вР{*со)еА}, Ав Вх X

Подобные схемы исследовались многими авторами. Центральная предельная теорема для последовательностей случайных величин, связанных в цепь Маркова / однородную или неоднородную / либо для стационарных последовательностей рассматривалась в работах

2, 3, 24, 27, 42, 43, 45, 46, 51, 52, 71,75, 78, 83, 90, 95] и др. В работах [i, 51, 74, 99] исследовались условия сходимости сумм случайных величин, связанных в цепь Маркова либо заданных на стационарной последовательности к устойчивому закону. Теоремы типа принципа инвариантности для полумарковских процессов приведены в [54, 106 ] . Схемы суммирования на стационарных или марковских процессах с произвольны!.! пространством состояний исследовались также в работах [6, 12, 25, 55 ] и др. Основным результатом § 3.3 является Теорема 3.3. Если

1Л wl схсо) ^ — ,

Eff k = L

ГЛс(хсо)) < jlo(X, UI^JlJTcdx) = o(u I*), X л — JL ot. рде u'm IЛ i 0 ( M i ) =s 0 ,тов случае о

Ie i -f об Z Л

Ln

Kl —•» «*=>

II. об = г и т АЛе = £ , fc ,

0.2/

0.3/ и где с = /Чс(Х(о)) , я 00 1Л{ in(X(o)) - т м (™(X(o))-m)( w(x(K))-m)

К=4.

Т&кже доказывается аналогичная теорема и для цепей Маркова с произвольным цространством состояний и произвольным начальным распределением.

В § 3.4 результаты § 3.3 обобщаются на схему серий.

Пусть (к) , к. ^ О - стационарная в узком смысле последовательность случайных величин со значениями в произвольном метрическом пространстве ( ^С > В^ ? J5 ) , удовлетворяющая условию равномерно сильного перемешивания с функцией перемешивания Чи. ( к ) , к ^ О : О . к:-*- <~= п.-* <=х» { *) } , к3* i ~ независимые от *„(.•) и в совокупности семейства случайных величин со значениями в

R. , распределение которых не зависит от индекса к: , и при каждом к - случайная величина,

М еЛт^сх) - I а |*СЛС*> + 0Л(х, |а|*),

L<cL ± г , Л £ £ ,Х€ X , где т^Ши С^С* ) некоторые равномерно ограниченные относительно и на множестве X > 8Х -измеримые действительные функции, причем

СцОО ~ положительная. В этом случае ± ^ f, Р{ х*(ои А] , Ас 6Х • X

Теорема 3.5. Если при и. сл.

Jr«. С- )=> Л С' ) ,

0.4/ где jl (А) , Ае 8х - некоторая вероятностная мера на

Вх

-йкп = тех) , /0.5/

К ОО tm СкиСХ)= ССХ) /0.6/

Уг—• оо равномерно по х <г X » ГДе и ССХ) - Вх измеримые, почти всюду по мере J7(- ) непрерывные функции, m. sup Ufto^CX, 1МЛ)|»0 , /n 7/ йт YL - о, /0-8/ д/ —* оо —» ос. К ^ Л/ и существует конечный предел dm tim Ц М(щЛСХЛ(0))-щЛ)(щи(ХЛ(»О)ло И ое то справедливы утверждения теореш 3.3 : /0.2/ и /0.3/, где

С = jccx)X(dx) , (э^ J(w.CX)-KKL)2X(dx) +г(г , X т JmCX)JTCdx) , 2г = J ж^ОТЫх).

X X

Аналогичный результат справедлив и для цепей Маркова с произвольным пространством состояний и произвольным начальным распределением.

В заключении § 3.4 приведена подобная теорема для разложения l а эЛ

П £ = 1 + LbfrmnW + XnCnCKX)* /0'9/ 0ц ) ' где /и. > " некотоРые нормирующие множители такие, что р ^ —* о , ^ —► 0 при п. <=~=> 9

С и. C^f^) ~ некоторая комплексная функция, которая при любом фиксированном равномерно оганиченная относительно п на множестве X и ®Х -измерима,

Re с^с^х) * о.

В этом случае вместо условий /0.6/, /0.7/ требуется выполнение следующих условий km CK (a, X ) /0.10/ равномерно по X£ X при любом фиксированном /\ и

SUp ^ I О и. СХ , =0 . /0.11/ и.-*«=>о хе-Х'

Доказана теорема о сходимости процессов ступенчатых сумм Г Р-Е (^Ск^ОО)-™*) , [Ml в J" -топологии Скорохода [84] к однородному процессу с независимыми приращениями с кумулянтой cm » если

АМ = сс?о > если где С ( А ^ = j С С ^ , X ) ЛГСс/х ). к/ X

В § 3.5 рассматривается схема суммирования на полумарковском процессе с дискретным временем и произвольным фазовым пространством.

Пусть ijn (»с) , к as о - полумарковский процесс с дискретным временем со значениями в произвольном метрическом пространстве С , В^ » J3 ) » Для которого заданы вложенная эргодическая цепь Маркова х^С < ) , к ^ о и семейства независимых от ) ив совокупности случайных векторов

Tnd,X) , , ХсХ } > 1*0 ' Распределение которых не зависит от индекса £ . Здесь f^ (f,x) ж/ Под интегралом Лебега от комплексной функции -j-(X) понимаем j{(x>jLC<ix)= jfcejcx^cd*) + i jlm|cx)5rcdx). XX X неотрицательная целочисленная случайная величина, равная времени пребывания С^) , к > о в состоянии X при L -м попадании в него. Предполагается, что при каждом [ x^d)), - случайные величины, цепь Маркова X* (к). к удовлетворяет условию р.с.п. с функцией перемешивания , к о , ЗГ^СА) >

А В^ " стационарное распределение цепи, и справедливо представление /0.9/. Обозначим через

4ГЛ1 JS^E ( S* ( " пги.) , f€ [0,11 , где I ha п. X

Схемы суммирования на полумарковском процессе исследовались в работах [5 , 54 , 61, 64 - 66, 80, 1061 и др. Основным результатом § 3.5 является

Тзорема 3.8. Если выполняются условия /0.4/, /0.5/, /0.8/, /0.10/, /0.II/ И d'rn 8,(x)=g(X), 6т ^CX)-V(X)

П —<=«=> УХ —> оо равномерно по Х€ X » гДе бсх) и V(X) -измеримые, почти всюду по мере Ul С) непрерывные функции, равномерно по X £ X и Л. = i, 2 . . f>*.Cx) ^ с >0 }

Su.p Sup Мt£(K>X) * (Т^Цс,*) >V)=0 xeX* 7 существует конечный предел tim iim Z] MC^KiC^^CO))- ) (*„.(.<>))* х in. (**(«»( тп) = ^ , с. л > -tero.ll , П—— , где £0 (i) " однородный процесс с независимыми приращениями с кумулянтой

Д / ^ ^СА), если J3* = о (У*) где C^C*)1* f С(* ,X)B(x)3lC<Ix) , m = Jm(x)|>(x)ji(jxyc[j| X

U= [х/00(тсх>-т)2- мсх)Е>(Х)]5Г(с1х), B=j8(x)3T(Jx).

X X

Заметим, что в случае J*rv= V*. / центральная предельная теорема / аналогичный результат был получен в [бб] для однородных процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями. При этом для доказательства применялся метод асимптотического анализа уравнений марковского восстановления для производящих функций переключаемых процессов уклонений, основанный на предельной теореме обращения сингулярно возмущенных операторов.

В приложении приведены некоторые важные предельные теоремы из теории сходимости случайных процессов, которые многократно используются в диссертационной работе.

Завершает диссертацию заключение, в котором даются основные выводы работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались в 1980 - 1984 г.г. на Республиканском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте математики АН УССР, на Республиканском семинаре "Статистический анализ и оптимизация стохастических систем" в Киевском государственном университете, на семинаре в Институте математики и кибернетики АН Лит.ССР, на Всесоюзном научно-практическом, семинаре "Статистические методы исследования процесса функционирования сложных технических систем / качество, надежность, эффективность /" / г.Москва, 1983 г. /, на научно-технической конференции "Вероятностные методы и средства" / г.Новгород, 1983 г. /, на межвузовской конференции молодых ученых "Развитие фундаментальных и прикладных исследований" / г.Ленинград, 1984 г. / и опубликованы в работах [ II, 13, 15 - 17, 93 ] .

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В.В.Анисимову за постановку задач, обсуждение результатов и постоянное внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие новые теоретические результаты:

- исследовано предельное поведение неоднородных потоков редких событий, возникающих на траекториях случайных последовательностей;

- доказаны новые предельные теоремы для потоков потерянных требований в неоднородных системах массового обслуживания типа

Q^ I й- j j / о , с входящим потоком, управляемым цепью Маркова с произвольным пространством состояний в схеме серий;

- изучено асимптотическое поведение серий повторений, различных функционалов от редких событий, возникающих на траекториях конечных цепей Маркова;

- доказаны новые результаты о сходимости сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания;

- доказаны новые предельные теоремы о сходимости процессов ступенчатых сумм центрированных случайных величин, определенных на стационарной последовательности, цепи Маркова, полумарковском процессе с дискретным временем и производным пространством состояний к однородным процессам с независимыми приращениями.

В практическом плане результаты диссертации могут быть использованы при решении задач асимптотического анализа сложных высоконадежных систем, а также задач, связанных с исследованием асимптотического укрупнения состояний сложных систем, при асимптотическом исследовании, статистическом моделировании конкретных стохастических систем, функционирование которых описывается случайными процессами с произвольным пространством состояний.

1. Алешкявичене А. Локальная предельная теорема для сумм случайных величин, связанных в однородную цепь Маркова, в случае устойчивого предельного распределения. - Литовский матем. сборник, 1961, т.1, Р 1. 2, с.5-13.

2. Алешкявичус Г.Ю. 0 центральной предельной теореме для сумм случайных величин, заданных на цепи Маркова. Литовский матем. сборник, 1966, т.6, Р I, с. 15-21.

3. Алешкявичус Г.Ю. Предельные теоремы для сумм случайных величин, заданных на цепи Маркова. Литовский матем. сборник, 1966, т.6, № 4, с.633-634.

4. Анисимов В.В. Асимптотическое укрупнение состояний случайных процессов. Кибернетика, 1973, Р 3, с.109-117.

5. Анисимов В. В. Предельные теоремы для случайных процессов и их применение к дискретным схемам суммирования. Киев: Вища школа, 1976. - 80 с.

6. Анисимов В.В., Война А.А. Предельные теоремы для схем суммирования на случайных процессах с произвольным пространством состояний. Теория вероятностей и математическая статистика, 1978, вып. 19, с.9-17.

7. Анисимов В.В., Гасаненко В.А. Управляемые редеющие потоки. Кибернетика, 1978, Р I, с.119-122.

8. Анисимов В.В. Асимптотический анализ надежности сложных систем под воздействием неоднородных случайных возмущений. -Докл. АН УССР. Сер. А, 1979, Р I, с.65-68.

9. Анисимов В.В. Предельные теоремы для процессов с перемешиванием. Теория вероятн. и ее примен., 1979, т.24, № 2,с.439-440.

10. Анисимов В.В., Ситюк В.Н. Асимптотическое поведение неоднородного пуассоновского потока с ведущей функцией, зависящей от малого параметра, управляемого цепь Маркова. Кибернетика, 1979, Р 4, с.83-88.

11. Анисимов В.В., Черняк А.И. Об асимптотическом поведении i -цепочек конечной цепи Маркова. Докл. АН УССР. Сер. А,1980, Р 10, с.6-9.

12. Анисимов В.В. Асимптотическое укрупнение по одной компоненте процессов с произвольным пространством состояний. В кн.: Тез. докл. III Международной Вильнюсской конф. по теории вероятн. и матем. статистике. Вильнюс, 1981, т.1, с.13-16.

13. Анисимов В.В., Черняк А.И. Предельные теоремы для некоторых редких функционалов на цепях Маркова и полумарковских процессах. Теория вероятностей и математическая статистика, 1982, вып. 26, с.3-8.

14. Анисимов В.В. Предельные теоремы для неоднородных слабозависимых схем суммирования. Теория вероятностей и математическая статистика, 1982, вып. 27, с.10-22.

15. Анисимов В.В., Черняк А.И. Некоторые предельные теоремы для стационарных последовательностей и цепей Маркова. Докл.

16. АН УССР. Сер. А, 1983, Р 8, с.60-63.

17. Анисимов В.В., Черняк А.И. Сходимость сумм случайных величин, удовлетворяющих условию равномерно сильного перемешивания. Докл. АН УССР. Сер. А, 1983, Р 10, с.3-5.

18. Анисимов В.В., Черняк А.И. Асимптотическое поведение неоднородных потоков редких событий. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1983, Р 6, с.73-80.

19. Банис Р. О сходимости сумм зависимых точечных процессов к пуассоновским. Литовский матем. сборник, 1975, т.15, Р 3,с.11-23.

20. Банис Р. Предельные пуассоновские процессы в схеме суммирования зависимых целозначных процессов. Литовский матем. сборник, 1975, т.15, Р 4, с.5-15.

21. Беляев П.Ф. О вероятности непоявления заданного числа исходов. Теория вероятн. и ее примен., 1964, т.9, Р 3, с. 541547.

22. Беляев П.Ф. Овероятности непоявления заданного числа S -цепочек в сложных цепях Маркова. Теория вероятн. и еецримен., 1965, т.10, Р 3, с.547-551.

23. Беляев П.Ш. О совместном распределении частот длинных

24. S -цепочек в мультиномиальной схеме с равновероятными исходами. Теория вероятн. и ее примен., 1969, т.14, Р 3, с.540-546.

25. Беляев Ю.К. Предельные теоремы для редеющих потоков. -Теория вероятн. и ее примен., 1963, т.8, Р 2, с.175-184.

26. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. - 352 с.

27. Война А.А. Время пребывания в фиксированном подмножестве и укрупнение состояний случайных процессов с произвольным фазовым пространством. Теория вероятностей и математическая статистика, 1979, вып. 20, с.30-39.

28. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. -576 с.

29. Гирко В.Л. Предельные теоремы для функций случайных величин. Киев : Вища школа, 1983. - 207 с.

30. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов.-М.: Наука, 1971, т.1. 664 с.

31. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. - 568 с.

32. Гнеденко В.В. Курс теории вероятностей. М.: Физматгиз, 1961. - 406 с.

33. Гнеденко Б.В. 0 дублировании с восстановлением. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1964, Р 5, с.Ill-121.

34. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы надежности. М.: Наука, 1965. - 524 с.

35. Гнеденко Б.В. О связи теории суммирования независимых случайных величин с задачами теории массового обслуживания и теории надежности. Rev. roumaine mathemat. pures et appl., 1967, v.12, N 9, p.1243-1253.

36. Гнеденко Д.Б., Соловьев А.Д. Одна общая модель резервирования с восстановлением. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, № 6, с. 113-118.

37. Григелионис Б. Об относительной компактности множеств вероятностных мер в .)со, <*>) ( X ) Литовский матем. сборник, 1973, т.13, Р 4, с.83-96.

38. Григелионис Б., Микулявичус Р. О слабой сходимости полумартингалов. Литовский матем. сборник, 1981, т.21, Р 3, с.9-24.

39. Григелионис Б.И., Кубилюс К., Микулявичус Р.А. Мартин-гальный подход к функциональным предельным теоремам. Успехи матем. наук, 1982, т.37, вып. 6/228/, с.39-51.

40. Григелионис Б., Микулявичус Р. Об устойчиво слабой сходимости полумартингалов и точечных процессов. Теория вероятн.и ее примен., 1983, т.28, Р 2, с.320-332.

41. Гриценко В. А. Предельное распределение для момента первой потери требования в системе массового обслуживания с полумарковским входящим потоком. Кибернетика, 1977, № 2, с.ИЗ-119.

42. Грищенко В.А. Предельные теоремы для одного класса случайных процессов. Теория вероятностей и математическая статистика, 1980, вып. 23, с.30-41.

43. Грищенко В.А. Поток потерянных требований в многолинейных системах обслуживания с редкими потерями. Укр. матем. журнал, 1983, т.35, Р 4, с.422-426.

44. ГУдинас П.П. Принцип инвариантности для неоднородных цепей Маркова. Литовский матем. сборник, 1977, т.17, Р 2, с.63-73.

45. Давьщов Ю.А. 0 сходимости распределений, порожденных стационарными случайными процессами. Теория вероятн. и ее примен., 1968, т.13, Р 4, с.730-737.

46. Давыдов Ю.А. Условия перемешивания для цепей Маркова. -Теория вероятн. и ее примен., 1973, т.18, Р 2, с.321-338.

47. Добрушин Р.Л. Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова, I-II. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т.I, Р I, с.72-89, Р 4, с.365-425.

48. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М.: Изд-во иностр. лит., 1956. - 605 с.

49. Зубков A.M., Михайлов В.Г. Предельные распределения случайных величин, связанных с длинными повторениями в последовательности независимых испытаний. Теория вероятн. и ее примен. 1974, т.19, Р I, с.173-181.

50. Зубков A.M. Цепи Маркова, близкие к последовательности независимых испытаний. Матем. заметки, 1979, т.25, № 3,•с.465-474.

51. Зубков A.M. Неравенства для вероятностей переходов с запрещениями и их применения. Матем. сборник, 1979, т.109/151/, № 4/8/, с.491-532.

52. Зубков A.M. Апроксимации зависимых случайных величин независимыми и их применение.: Автореферат дис. . д-ра физ.-мат.наук. М., 1981. - 41 с.

53. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. - 524 с.

54. Ибрагимов И.А. Замечание о центральной цредельной теореме для зависимых величин. Теория вероятн. и ее примен., 1975, т.20, № I, с.134-139.

55. Кабанов Ю.М., Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Слабая и сильная сходимость распределений считающих процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1983, т.28, № 2, с.288-319.

56. Каплан Е.И., Сильвестров Д. С. Теоремы типа принципа инвариантности для возвратных полумарковских процессов с произвольным фазовым пространством. Теория вероятн. и ее примен., 1979, т.24, № 3, с.529-541.

57. Каплан Е.И., Сильвестров Д.С. Общие предельные теоремы для сумм управляемых случайных величин с произвольным фазовым пространством управляющей последовательности. Литовский матем. сборник, 1980, т.20, № 4, с.61-72.

58. Коваленко Й.Н. О классе предельных распределений для редеющих потоков однородных событий. Литовский матем. сборник, 1965, т.5, №4, с.569-573.

59. Коваленко Й.Н. Исследование по анализу надежности сложных систем. Киев: Наук, думка, 1975. - 210 с.

60. Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем. М.: Сов. радио, 1980. - 208 с.

61. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайное размещение. М.: Наука, 1976. - 224 с.

62. Королюк В.В. Стохастические системы с полумарковскими переключениями. Киев, 1983. - 36 с. - / Препринт / Ин-т кибернетики АН УССР; 83-35 /.

63. Королюк B.C. Асимптотическое поведение времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний. Укр. матем. журнал, 1969, т.21, Р 6, с.842-845.

64. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Полумарковские цроцессы и их приложения. Киев: Наук, думка, 1976. - 182 с.

65. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Математические основы фазового укрупнения сложных систем. Киев: Наук, думка, 1978. - 218 с.

66. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наук, думка, 1982. - 235 с.

67. Королюк B.C., Королюк В.В. Центральная предельная теорема для однородных процессов с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями. Укр. матем. журнал, 1983, т.35,6, с.760-763.

68. Кубшпос К.И. Предельные теоремы для полумартингалов: Дис. . канд. физ.-мат.наук. Вильнюс, 1981.

69. Липцер Н.Ш., Ширяев А.Н. функциональная центральная предельная теорема для семимартингалов. Теория вероятн. и ее примен., 1980, т.25, №4, с.683-703.

70. Липцер Н.Ш., Ширяев А.Н. О слабой сходимости семимартингалов к стохастически непрерывным процессам с независимыми и условно независимыми приращениями. Матем. сборник, 1981, т.116 /158/, № 3/11/, с.331-358.

71. Лифшиц Б.А. О центральной предельной теореме для сумм случайных величин, связанных в цепь. Теория вероятн. и ее примен., 1978, т.23, Р 2, с.295-312.

72. Максимов К.Н. Предельное распределение одной случайной величины, определенной на цепи Маркова. Теория вероятн. и ее примен., 1979, т.24, № 3, с.628-632.

73. Малышев В.А. 0 полюсах рациональных производящих функций. Вероятности появления комбинаций. Литовский матем. сборник, 1965, т.5, Р 4, с.585-591.

74. Нагаев С.В. Некоторые предельные теоремы для однородных цепей Маркова. Теория вероятн. и ее примен., 1957, т.2, Р 4, с.389-416.

75. Нагаев С.В. Центральная предельная теорема для марковских процессов с дискретным временем. Изв. АН УзССР, сер.физ.-матем., 1962, Р 2, с.12-20.

76. Невё Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. - 309 с.

77. Павлов А.В. Системы массового обслуживания с управляемым потоком требований. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1981, Р I, с.96-102.

78. Рауделюнас А. Предельные теоремы для сумм случайных векторов, связанных в неоднородную цепь Маркова. Литовский матем. сборник, 1961, т.1, Р I, 2, с.203-231.

79. Сильвестров Д.С. Замечание о пределе сложной случайной функции. Теория вероятн. и ее примен., 1972, т.17, Р 4, с.707-715.

80. Сильвестров Д. С. Предельные теоремы для сложных случайных функций. Киев: Вища школа, 1974. - 318 с.

81. Сильвестров Д.С. Предельные теоремы для процессов ступенчатых сумм условно независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1982, т.27, Р 3, с.611-613.

82. Сильвестров Д.С., Хусанбаев Я.М. Общие предельные теоремы для случайных процессов с условно независимыми приращениями. -Теория вероятностей и математическая статистика, 1982, вып. 27, с.130-139.

83. Сираждинов С.Х., Форманов Ш.К. Предельные теоремы для сумм случайных векторов, связанных в цепь Маркова. Ташкент: Фан, 1979. - 172 с.

84. Скороход А.В. Предельные теоремы для случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т.1, Р 3, с.289-319.

85. Скороход А.В. Элементы теории вероятностей и случайных процессов. Киев: Вшца школа, 1980. - 343 с.

86. Соловьев А.Д. Резервирование с быстрым восстановлением.-Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1970, № I, с.56-71.

87. Соловьев А.Д. Асимптотическое поведение момента первого наступления редкого события в регенерирующем процессе. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1971, W- 6, с.79-89.

88. Соловьев А.Д., Зайцев В.А. Резервирование с неполным восстановлением. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1975, № I, с.72-76.

89. Соловьев А.Д., Шахбазов А.А. Неоднородное резервирование с восстановлением. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1981, № 5, с.36-45.

90. Статулявичус В.А. Предельные теоремы для сумм случайных величин, связанных в цепь Маркова, I-III. Литовский матем. сборник, 1969, т.9, №2, с.344-362, №3, с.635-672; 1970, т.10, Р I, с.161-169.

91. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр.лит., 1948. - 456 с.

92. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964, т.1. - 498 с.

93. Черняк А.И. Асимптотическое поведение потоков отказов в некоторых неоднородных СМО. Докл. АН УССР. Сер. А, 1983,6, с.58-62.

94. Шахбазов А.А. Оценка надежности сложной системы с быстрым восстановлением. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 198I, № I, с.77-85.

95. Щуренков В.М. Центральная предельная теорема для цепей

96. Маркова. Теория вероятн. и ее примен., 1983, т.28, № 3, с.607-608.

97. Brown B.M., Eagleson G.K. Martingale convergence to infinitely divisible laws with finite variances. Trans. Amer. Math. Soc., 1971, v.162, IT 2, p.449-453*

98. Darling D.A., Kac M. On occupation times for Markov processes. Trans. Amer. Math. Soc., 1957, v.84, N 2, p.444-458.

99. Dvoretzky A. Central limit theorems for dependent random variables. Actes Congres intern. Math., Nice, 1970, v.2, P*565-570.

100. Dvoretzby A. Asymptotic normality for sums of dependent random variables. Proc. Sixth Berkeley Symp. Math. Statist, and Prob., Univ. of California Press., 1972, v.2, p. 515-535.

101. Gaenssler P., Strobel J., Stute W. On central limit theorems for martingale triangular arrays. Acta Math. Academia Scien. Hung., 1978, v.31, N3, p.205-216.

102. Ю3. Klopotowski A. Limit theorems for sums of dependent•arandom vectors in R . Dissertationes Mathematicue, Warzawa, 1977, N 151, p.5-58.

103. Klopotowski A. Mixtures of infinitely divisible distribution as limit laws of sums of dependent random variables. Z;

104. Wabrscheinlickheistheorie пай verw. Gebiete, 1980, B.51, H1, p.101-113.

105. Kovalenko I.N., Kuznetsov N.Ju. Renewal processes and rare events limit theorems for essentially multidimensional queueing processes. Math. Operationsforsch. Statist., ser. Statistics, 1981, v.12, N 2, p.211-224.

106. Sil'vestrov D.S. Invariance principle for the processes with semi-Markov switch-overs with an arbitrary state space.- Lect. Notes Math., 1983, v.1021, p.617-628.

107. Rajarshi M.B, Success runs in a two-state Markov chain.- J. Appl. РгоЪаЪ., 1974, v.11, p.190-192; correction, ihid. 1977, v.14, p.661.

108. Renyi A, A Poisson-folyamat egy jellemzese. Magyar» Tud. Akad. Mat. Kut. Int. Kozl., 1956, v.1, N 4, p.519-527.