Сходимость вполне и предельные теоремы в схеме серий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

1. Сходимость вполне по подпоследовательности для сумм отрицательно ассоциированных случайных величин.

1.1. Достаточные условия сходимости вполне.

1.2. Необходимые условия для сходимости вполне.

1.3. Бутстреповские средние и сходимость вполне

2. Оценки типа Баума-Каца скорости сходимости в законе больших чисел.

2.1. Аналог теоремы Баума-Каца для отрицательно ассоциированных случайных полей.

2.2. Оценка типа Баума-Каца для случайных величин, обладающих сильным перемешиванием.

2.3. Оптимальность условий в оценке для сильноперемеши-вающихся случайных величин.

3. Предельные теоремы в схеме серий.

3.1. Усиленный закон больших чисел в схеме серий.

3.2. Логарифмический закон в схеме серий для подпоследовательностей.

3.3. Оптимальность моментных требований в логарифмическом законе.

Предельные теоремы для сумм случайных величин являются традиционной областью теории вероятностей, имеющей разнообразные приложения. Обзор ее основных результатов содержится, например, в монографиях [1], [4], [6], [7], [8], [14]. Наряду с классической теорией суммирования случайных слагаемых, где рассматриваются последовательности нарастающих сумм, большое внимание уделяется суммированию в схеме серий и возникающему в связи с ним понятию сходимости вполне.

Напомним, что под суммированием в схеме серий обычно понимают рассмотрение сумм вида Sn = J2f=i Xnj, где {Xnj : 1 < j < Nnj n £ N}-набор случайных величин, индексируемый двумя индексами, a Nn- некоторая последовательность натуральных чисел, в то время как классическая теория суммирования имеет дело с последовательностью нарастающих сумм, т.е. Sn = E"=i Xj, где {Хп : п Е N}- последовательность случайных величин. Разумеется, от схемы последовательностей легко перейти к схеме серий, положив Xnj = X^j — 1,., п(п 6 N).

Отметим также, что используются различные понятия сходимости последовательностей (должным образом нормированных) сумм случайных величин. Понятие сходимости вполне (complete convergence) появилось в работе Хсу и Роббинса [40]. Согласно ей, последовательность случайных величин Yn сходится вполне к величине У, если

00 y; р{|кг — > < оо для любого £ > 0. п=1

Здесь и, если не оговорено противное, всюду далее рассматриваются действительные случайные величины. Применив известную лемму Бореля-Кантелли (см., напр., [17], стр. 271), легко видеть, что сходимость вполне влечет за собой сходимость почти наверное, а для случая, когда величины Yn независимы между собой, эти два вида сходимости совпадают.

Классический результат Хсу и Роббинса заключается в следующем:

Теорема 1 ([40]). Пусть Х\,. ,Хп,.- независимые одинаково распределенные случайные величины, Зп = Тогда условие

ЕХ2 < оо (1) является достаточным для того, чтобы последовательность сходилась вполне к 0 при п —)• оо.

Как доказал Эрдеш [31], условие (1) является также и необходимым.

На этот результат можно смотреть с нескольких точек зрения: во-первых, как на закон больших чисел относительного нового вида сходимости - сходимости вполне, которая, вообще говоря, сильнее сходимости почти наверное. Последнее замечание объясняет усиление мо-ментных требований, налагаемых на случайные величины, по сравнению с усиленным законом больших чисел. Напомним (см., напр., [17], стр. 376), что необходимым и достаточным условием для выполнения классического усиленного закона больших чисел Колмогорова для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин является конечность абсолютного первого момента случайных величин.

Во-вторых, теорема Хсу-Роббинса представляет собой оценку скорости сходимости в законе больших чисел. В основании этой трактовки теоремы 1 лежит идея, что скорость сходимости к нулю последовательности ап можно измерить в терминах показателя 7, для которого ряд п7ап сходится. Важнейшим обобщением в этом направлении теоремы Хсу-Роббинса- Эрдеша является результат Баума- Каца [19], [20].

Теорема 2 ([19]). Пусть {Хп,п £ М}— независимые одинаково распределенные случайные величины. вп = 1/2 < а < 1,сф > 1. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:

Е\Хп\р < оо и ЕХп = ^

00 пар-2Р{|5п - пцI > £па} < оо для любого е > 0; (2) g nap2P{max l5*? >s}< oo для всех £ > 0. (3) n=l ka

И, наконец, в-третьих,теорему 1 можно рассматривать как усиленный закон больших чисел в схеме серий. А именно, используя лемму Бореля-Кантелли, переформулируем теорему 1 и ее обращение, доказанное Эрдешем [31], в следующем виде.

Теорема 3. Пусть {X,Xnj, 1 < j < п,п Е N}- независимые одинаково распределенные случайные величины, Sn = E"=i Xnj. Тогда условие (1) является необходимым и достаточным для усиленного закона больших чисел, т.е. для сходимости последовательности Sn~^Sn к 0 почти наверное.

Суммируя все сказанное выше, отметим, что все три подхода к рассмотрению теоремы Хсу-Робинса-Эрдеша: как закона больших чисел относительно нового вида сходимости, как оценки скорости сходимости в законе больших чисел и как усиленного закона больших чисел в схеме серий; являются методологически разными и представляют различные области исследований.

Более подробно остановимся на обзоре предшествующих результатов, полученных в каждой из этих областей.

Первый подход разрабатывался множеством авторов. Появился целый "пласт" теорем о сходимости вполне. Мы укажем лишь несколько направлений обобщения теоремы Хсу- Роббинса-Эрдеша.

Прежде всего, это обобщения на всевозможные виды зависимых величин. Тут следует отметить работы Шиналя [69] и Пелиград [56]. Для перемешивающихся величин результаты были получены для а-перемешивания Key [71], для р- перемешивания Конгом и Цангом [45]. Работы Ю [72], Госала и Чандра [33] посвящены сходимости вполне для мартингалов, а Су [64] и Лианга [51] для отрицательно ассоциированных величин. На последних остановимся подробнее.

Понятие отрицательно ассоциированной последовательности случайных величин введено в 1983г. Иоаг-Дев и Прошаном ([44]).

Случайные величины Х\,., Хп, (п > 2) называются отрицательно ассоциированными, если для любых двух непустых непересекающихся множеств А и В С {1,.,п}, и пары покоординатно невозрастаю-щих(неубывающих) функций / и д, имеет место неравенство когда ковариация существует.

Нетрудно видеть, что любое семейство независимых случайных величин автоматически будет отрицательно ассоциированным. Интересные примеры величин, обладающих отрицательной зависимостью, можно найти в [44].

В некотором смысле, отрицательно ассоциированные величины очень близки по своим свойствам к независимым. А именно, многие предельные теоремы ( см., напр., [51], [64], [66], [50], [23], [2] ) могут быть перенесены с независимых величин на отрицательно ассоциированные без добавления каких-либо дополнительных условий. Подобное обобщение теоремы Хсу-Роббинса-Эрдеша получил Су в работе [64].

Теорема 4 ([64]). Пусть {Хп,п Е М}- отрицательно ассоциированные одинаково распределенные случайные величины, 5„ = Е"=1 Х^. Тогда условие (1) является необходимым и достаточным для того, чтобы последовательность 3п~Е5п сходилась вполне к 0. п

Другое направление обобщений теоремы 1, трактуемой как теорема о сходимости вполне, есть обобщения на случай неодинаково распределенных случайных величин. Здесь возникла очень интересная ситуация, так как до сих пор необходимые и достаточные условия для сходимости вполне сумм разнораспределенных величин не найдены.

Условие (1), очевидно, эквивалентно условию оо пР{|Х| > еп} < оо. (4)

71—1

Возможное обобщение этого условия на разнораспределенные величины:

00 п

Е £Р{№1>шКоо (5) п-1 3=1 было предложено Спатару в работе [63]. А именно, он доказал , что (5) является необходимым и достаточным условием для сходимости вполне нормированных сумм независимых разнораспределенных случайных величин, в случае, если распределения этих величин выбираются из некоторого конечного набора распределений с некоторыми дополнительными ограничениями на свободу выбора. При этом он полагал, что эти ограничения являются несущественными, и в дальнейшем от них можно будет избавиться.

Однако, Сунг [67] построил пример, показывающий, что предположения Спатару неверны, и условие (5) не является достаточным для сходимости вполне.

Дункан и Шиналь [29] дополнили условие (5) еще тремя требованиями, в совокупности достаточными для сходимости вполне суммы разнораспределенных величин. Однако, если условие (5), как нами будет доказано в теореме 1.2, является необходимым, то ничего подобного нельзя сказать в отношении остальных требований, предложенных Дунканом и Шиналем.

Тем не менее, в некоторых частных случаях получить условия являющиеся одновременно необходимыми и достаточными для сходимости вполне сумм разнораспределенных величин все же удается. Примером тому могут служить работы Прусса [57] и [58].

Интересен также целый ряд работ, относящихся к сходимости вполне некоторой подпоследовательности сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. А именно, Асмуссен и Куртц [18], с помощью неравенства Куртца [47] рассмотрели вопрос о сходимости вполне к 0 последовательности > 1}, где А^- строго возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая некоторым условиям (в частности, она должна расти не медленнее степенной, но не быстрее показательной последовательностей), здесь сумма независимых одинаково распределенных случайных величин.

Интересно необходимое и достаточное условие, полученное для этого случая Асмуссеном и Куртцем [18]: оо

X А^„Р{|Х| > е1У„} < оо для любого е > 0. (6) п= 1

Очевидно, что в частном случае ЛТп = п оно сводится к (4), которое эквивалентно (1). Здесь же заметим, что для = [па],а > 1, где [•] обозначает целую часть числа, условие (6) равносильно тому, что Е\Х\^ < оо. Таким образом, чтобы получить сходимость вполне степенной подпоследовательности сумм независимых случайных величин требуется налагать меньшие моментные требования на слагаемые, нежели при сходимости в указанном смысле всей последовательности. и

Далее Гут([34], [37]), основываясь на неравенстве Хофмана- Иорген-сена [39], дополнил результат Асмуссена и Куртца, рассмотрев иные классы последовательностей ]УП, а также использовав более общую нормировку > 1}, где р > 1/2.

Тут следует сделать несколько замечаний. Совокупность результатов Асмуссена, Куртца ([18]) и Гута([34], [37]), вообще говоря, не охватывает все множество строго возрастающих последовательностей Мп. К тому же в работах Гута([34], [37]) рассматривается два класса последовательностей которые условно назовем "быстро растущими" и "медленно растущими". Для "медленно растущих" последовательностей им получены условия, являющиеся необходимыми и достаточными. В то же время, для "быстро растущих" последовательностей достаточные условия, предложенные упомянутым автором, вообще говоря, не являются необходимыми, как показали Кусмазевска и Шиналь

46]).

Наконец, есть еще работы, обобщающие теорему Хсу-Роббинса на случайные величины со значениями в банаховом пространстве [43].

В основании второй из упомянутых выше точек зрения на теорему 1, а именно как на оценку скорости сходимости в законе больших чисел, как мы уже говорили, лежат работы Баума- Каца [19], [20].

К настоящему времени существует также некоторое количество обобщений теоремы Баума- Каца на слабозависимые величины [56], [48].

Отметим в этой связи работу Пелиград [56], посвященную аналогам теоремы Баума-Каца для зависимых величин, подчиняющихся различным условиям перемешивания. Не будем здесь останавливаться на определениях и свойствах различных коэффициентов перемешивания, отошлем лишь к монографии Дукана [28]. Система условий, предложенных Пелиград [56] в качестве достаточных для выполнения (2), состоит из некоторого условия суммируемости коэффициентов перемешивания и моментного требования, налагаеваемого на слагаемые.

Доказанная во второй главе данной диссертации, теорема 2.4 является обобщением теоремы Баума-Каца на а- перемешивающиеся величины. Она существенно отличается от результатов, полученных Пелиград, тем, что предлагаемое в ней достаточное условие является оптимальным и представляет собой требование суммируемости смеси коэффициентов перемешивания и квантильной функции, и, таким образом, содержит в себе множество утверждений, аналогичных предложенным в работе [56].

А сейчас остановимся на еще одной группе работ, посвященных обобщениям теоремы Баума- Каца для случайных полей, заданных на целочисленной решетке = {0,1,2,. .}Л Основной результат в этой области получил Гут [35], [36], [38], доказав следующую теорему:

Теорема 5 ([36]). Пусть {X, Хп,п Е — независимые одинаково распределенные центрированные случайные величины. 5(п) = 1/2 < а < 1,сф > 1. Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

Е|Х|р(1об+|Л'|)<'-1<оо; (7) для любого е > 0. (8) п еЦ.

111 ар—2

Р{тах|5(к)| > е\п\а} < оо

В случае ар > 1 они к тому же равносильны тому, что

00

Е Гр~гР{тах

1 Н>' п1 е) < оо для всех е > 0.

9)

Обобщение этого результата на случай ассоциированных величин было получено Вронским [3]. В предложенных Вронским оптимальных условиях достаточных для выполнения (8) моментные требования, налагаемые на случайные слагаемые, тесно связаны со скоростью убывания зависимости между "далекими" слагаемыми. Тут следует еще раз напомнить о замечании, сделанном нами ранее, относительно того, что отрицательно ассоциированные величины по своим свойствам оказываются наиболее близкими к независимым. Так в теореме 2.1, приведенной во второй главе данной диссертации, доказан аналог теоремы Гута на случай отрицательно ассоциированных случайных величин. При этом условия теоремы 2.1 полностью аналогичны случаю независимости слагаемых, и никаких требований об убывании зависимости не понадобилось.

Относительно аналогов теоремы Баума-Каца для случайных полей, заданных на целочисленной решетке, дополнительно отметим работу Денга [26], в которой он использовал более общий тип нормировок и весовых функций.

Теорема 6 ([26]). Пусть {Х,Хп,п Е 2ц.}— независимые одинаково распределенные центрированные случайные величины. Пусть причем 1/2 < аг; < 1, гг- > —1(1 < г < с?); р = тахг(гг- + 2)/с*г-, г = #{г р = (гг- + 2)/аг-}. Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

Наконец, остановимся на третьей точки зрения на теорему Хсу-Роббинса, которая трактует ее как усиленный закон больших чисел в схеме серий. Впервые она была предложена в работе [41], где был установлен аналог классического закона Марцинкевича-Зигмунда [52] для схемы серий.

Суммирование в схеме серий естественным образом возникает в статистике. Показательной в этом сысле является работа Прусса [58],

10)

Е|Х|"(1о8+ |Х|Г> < оо;

П) где схема серий возникает при построении случайных римановских сумм и приближении интегралов.

Задача ставится так: найти приближенное значение интеграла от непрерывной интегрируемой функции / на некотором отрезке [а, Ь]. Алгоритм, использующий случайность, очевиден: разбиваем каким-либо образом отрезок [а, Ь] на п частей [жо, а^],., [х^ ., [#п-ъ хп\ где а = хо < х\ < . < хп = 6, Дг- = Х{ — Далее независимо друг от друга бросим на каждый отрезок случайным образом точку с заранее заданным распределением. Приближенным значением интеграла будет сумма 5П = £"=1 Дг/(£") = £™=1 независимых, вообще говоря, разнораспределенных слагаемых (здесь = Состоятельность данной оценки дает усиленный закон больших чисел в схеме серий.

Вторым примером применения предельных законов (действующих с вероятностью 1) в схеме серий может служить работа Ху и Тэй-лора [42], в которой с помощью усиленного закона больших чисел в схеме серий устанавливается состоятеьность оценки бутстреповских средних.

Предельные теоремы в схеме серий обладают рядом особенностей, а именно, как и усиленный закон больших чисел (теорема 1.1), так и закон Марцинкевича-Зигмунда [52] в схеме серий, налагают на случайные слагаемые большие моментные ограничения, нежели в классической схеме суммирования нарастающих сумм. Мы уже упомянали ту особенность, что в усиленном законе больших чисел в схеме серий для одинаково распределенных независимых случайных величин требуется конечность дисперсии слагаемых, в то время как для выполнения классического закона Колмогорова достаточно существование конечного математического ожидания. Аналогично этому, как было доказано в [41], при установлении аналога закона Марцинкевича-Зигмунда моментные требования на слагаемые удваиваются.

Очень красивый результат, устанавливающий аналог закона повторного логарифма в схеме серий, получен в [59].

Теорема 7 ([59]). Пусть {X,< ] < п,п Е №}- независимые одинаково распределенные случайные величины, Тп = тогда где log+ t — logmax(i, е), t£ Ж.

Здесь необычным выглядит моментное требование на слагаемые , которое тем не менее является необходимым и достаточным. Опять-таки следует заметить, что оно "выше", чем в классическом законе повторного логарифма. Строго говоря, сам термин "закон повторного логарифма" является неприменимым к теореме 7, так как именно "повторный логарифм" в данной теореме отсутствует. Вместо классической нормировки л/2п log log п, отвечающей последовательности н. о. р. величин ( см., напр., [17], стр. 424 ), в схеме серий возникает другая, вообще говоря, более сильная нормировка. Логарифмическому закону в схеме серий посвящены также работы [68], [25]. Точный характер флуктуаций приращений сумм независимых случайных величин, восходящий к закону Эрдеша - Реньи, исследовался многими авторами (см., напр., [32]).

Хочется упомянуть также об одной задаче, связанной с законом повторного логарифма, которую для классической схемы суммирования решил Вебер [70]. Вопрос состоит в следующем. Если рассматривать суммы случайных величин Sn не все, а лишь с номерами, принадлежащими некоторому подмножеству натуральных чисел, п Е Д С N, как изменится верхний предел нормированных (как в законе повторного логарифма) сумм? Очевидно, он может только уменьшиться, но насколько редким должно быть подмножество Д чтобы верхний предел уменьшился?

Вебер [70] ввел величину, характеризующую плотность множества Д по сравнению с множествами Да = {2"° : п Е N}, и в терминах этой величины получил ответ. Так, например, оказалось, что 1 1 еда л/ЪЛо^Щп у/а п.н.

Возникает вопрос об аналоге результата Вебера для схемы серий, интересный еще и с точки зрения условий, налагаемых, на случайные слагаемые. Нельзя ли уменьшить моментные требования, при рассмотрении не всех сумм, а лишь сумм с номерами принадлежащими некоторому подмножеству? Напомним, что при рассмотрении усиленного закона больших чисел в схеме серий для подпоследовательности моментные требования уменьшить можно. Теорема 3.3, доказанная в третьей главе данной диссертации, дает ответы на поставленные вопросы.

Перейдем к более подробному рассмотрению результатов диссертационной работы.

Данная диссертация посвящена сильным предельным теоремам в схеме серий и сходимости вполне. Основу диссертации составляют работы автора [9], [10], [11], [12], [24], [13], [54]. Результаты диссертации докладывались на Первых и Вторых Колмогоровских чтениях в МГУ (1999г., 2000г.), на Петербургском Городском семинаре по теории вероятностей (рук., акад. И.А. Ибрагимов) в мае 2000г., на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ (рук., член-корр. РАН А.Н. Ширяев), на Седьмой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (1998).

Диссертации состоит из введения,трех глав и списка цитированной литературы, насчитывающей 72 наименования.

1. Булинский А. В. Предельные теоремы в условиях слабой зависимости. М.: изд-во МГУ, 1989, 135 с.

2. Булинский A.B., Шабанович Э. Асимптотическое поведение некоторых функционалов от положительно и отрицательно зависимых случайных полей// Фунд. прикл. математика, 1998, т.4, вып. 2, с.479-485.

3. Вронский М.А. Скорость сходимости в УЗБЧ для ассоциированных последовательностей и полей.// Теория вероятн.и ее примен., 1998, т.43, вып.З, стр.439-455.

4. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин// M.-JI. Гостехиздат., 1949.

5. Давыдов Ю.А. О сходимости распределений, порожденных стационарными случайными процессами. //Теор.вероятностей и прим., 1968, v. 13, рр. 691-696.

6. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин// "Наука", Москва, 1986.

7. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины //"Наука", Москва, 1965.

8. Круглов В. М., Королев В. Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М.: изд-во МГУ, 1990, 269 с.

9. Микушева А.Е. Аналог теоремы Баума-Каца для отрицательно ассоциированных полей// Вестник МГУ, 2001

10. Микушева А.Е. Аналог теоремы Баума-Каца для слабо зависимых случайных величин// Мат. заметки, 2000, т.67, вып.З, стр. 360-368.

11. Микушева А.Е. Закон больших чисел и логарифмический закон в схеме серий// Фунд. прикл. математика, 2000, т.6, вып.1, стр. 195-206.

12. Микушева А.Е. О сходимости вполне сумм отрицательно ассоциированных случайных величин// Мат. заметки, 2000, т.68, вып.З, с.411-420.

13. Микушева А.Е. Закон больших чисел и логарифмический закон в схеме серий// Теор. вер. и прим., 1999, т.44, вып.З, стр.699-700. Тезисы докладов, отмеченных премиями на "Колмогоровских чтениях14