Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями

Еникеева, Зульфира Аснафовна

Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Еникеева, Зульфира Аснафовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями»

Автореферат диссертации на тему "Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями"

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.И.УЛЬЯНОВА - ЛЕНИНА

На правах рукописи

Еникеева Зульфира Аснафовна

' СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ЛОМАНЫХ. ОПРЕДЕЛЁННЫХ СУММАМИ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ЗАМЕЩЕНИЯМИ

01.01.05. - теория вероятностей и .математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2005

Работа выполнена в отделе теории вероятностей и математической статистики НИИММ им. Н. Г. Чеботарёва Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Чупрунов Алексей Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор Королёв Виктор Юрьевич; кандидат физико-математических наук, доцент Колчин Андрей Валентинович.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный

Университет.

Защита состоится . 2003 г. в и . часов на заседании

диссертационного совета Д 501,001.44 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992. ГСП-2, Москва. Ленинские горы. МГУ. 2-й учебный корпус, факультет ВМиК. аудитория 685. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "2005 г.

Учёный секретарь диссертационного Совета, профессор

Н.П.Трифонов

я/ггт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование слабой сходимости случайных ломаных и случайных ступенчатых линий, определенных случайными величинами, в линейных метрических пространствах вещественных функций является важным направлением в теории вероятностей. В первых результатах этого направления, полученных Колмогоровым, Эрдешем, Кацем, Донскером, изучалась сходимость функционалов от последовательности сумм независимых центрированных случайных величин, имеющих конечные вторые моменты. В ([28], 1954) А. Н. Колмогоров и Ю. В. Прохоров заметили что эти результаты являются следствием сходимости по распределению в пространстве непрерывных функций С[0,1] некоторых случайных элементов, со значениями в множестве ломаных линий к распределению определяемому винеров-ским процессом. В работах Ю. В. Прохорова [17], В. М. Круг лова [12], [13], Т. Микоша [30], С. Янсона и М. Вишуры [29], И. А. Ибрагимова и А. Н. Бородина [4], П. Бикеля и М. Вишуры [21], В. Бенткуса и К. Любимскаса [1], К. А. Боровкова [4], Д. М. Чибисова [18] получены обобщения теоремы А. Н. Колмогорова и Ю. В. Прохорова на суммы разнораспредсленных случайных величин, па билинейные и полилинейные формы от случайных величин, на функции от сумм случайных величин.

Настоящая работа лежит в русле этого направления. В работе доказывается сходимость случайных ломаных,определенных суммами независимых случайных величин, причем в этих суммах одни случайные величины случайным образом замещаются другими. Замещения определяются умножением на значения индикаторов, определенных на другом вероятностном пространстве, элементы которого рассматри-

ваются как случайные параметры, и сходимость случайных ломаных доказывается для почти всех значений этого случайного параметра Результаты работы являются обобщениями соответствующих теорем из статей А. II. Чупрунова и О. В. Русакова [25]-[2б] и И. Фазекаша и А, Н. Чупрунова [22]-[24], полученных для сумм одинаково распределенных случайных величин. Здесь рассматривается более общая схема серий разиораспределённых случайных величин, удовлетворяющих условию Линдеберга.

Полученные предельные теоремы применяются в некоторых моделях стохастической финансовой математики. Строятся три модели финансового рынка: рынок с постоянным числом агентов, рынок с уменьшающимся числом агентов, рынок с увеличивающимся числом агентов. Для каждой модели мы строим случайный процесс, определяющий рыночную стоимость акций. Также для каждой модели приводится аналог формулы Блэка - Шоулса справедливой цены европейского опциона покупателя.

Цель работы. Изучение слабой сходимости случайных ломаных, построенных с помощью сумм независимых случайных величин, в которых некоторые слагаемые случайным образом заменяются другими случайными величинами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены новые усиленные законы больших чисел для сумм независимых ограниченных случайных величин с замещениями.

2. Доказана слабая сходимость случайных ломаных, построенных по суммам независимых разнораспределённых случайных величин с замещениями для почти всех значений случайного параметра замещения.

*■ \

3. Исследована слабая сходимость некоторых функций от сумм независимых случайных величин. Рассмотрено приложение полученных результатов в моделях финансового рынка.

Методы исследования. Методы исследования основаны на принципе инвариантности Донскера-Прохорова.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты par боты носят теоритический характер и могут применятся в различных областях, в которых изучаются случайные процессы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

1. Еникеева 3. А. Принцип инвариантности для сумм независимых случайных величин с замещениями и модели финансового рынка. Известия Вузов. Математика. - Казань 2005 (в печати).

2. Еникеева 3. А. Сходимость случайных ломаных, определённых событиями теории размещения. Деп. в ВИНИТИ 10. 02. 2005, № 198-В2005.

3. Еникеева 3. А., Чупрунов А. Н. Сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями. Материалы конференции, посвященной 100-летию Б. М. Гагаева. - Казань 1997. - С.86-87.

4. Еникеева 3. А. О некоторых предельных теоремах. XII Международная школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань 2000. - С.33-34.

5. Еникеева 3. А. Сходимость случайных процессов, определённых суммами независимых разнораспределённых случайных величин с замещениями к процессу Орнгитейна-Уленбека. Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - в.2. - т. 11. - С 336-337.

6. Еникеева 3. А. Сходимость по распределению некоторых функционалов от сумм независимых случайных величин с замещениями. Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. - 2003. - т. 19. - С. 105-106.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объём работы составляет 106 страниц.

2. Краткое содержание диссертации.

Введём обозначения, используемые в работе: - сходимость по распределению; N - множество натуральных чисел;

11+ - множество неотрицательных действительных чисел;

- множество неотрицательных целых чисел; [с] - целая часть числа с; {с} - дробная часть числа с; /л - индикатор события А; Аг - дополнение события Л;

В первой главе диссертации получены усиленные законы больших чисел для ограниченных случайных величин. Эти законы используются во второй главе при доказательстве предельных теорем. Приведём три основные теоремы второй главы.

Пусть (П, И, Р) — вероятностное пространство. Через Е будем обозначать математическое ожидание относительно вероятности Р.

Пусть кп € К, такие что кп < кп+\ для любого п £ N. Пусть 1 < г < кп, I 6 {1,2} —- последовательности серий независимых в каждой серии случайных величин, определённых на (П,А,Р), такие

что для любого п е N семейства {Уп^, 1 < г < кп} и 1 < г <

кп} независимы. Будем предполагать, что при I £ {1,2} выполнены следующие условия:

(Б1) для любых п, г € N Е У^ = 0 ;

(Б2) для некоторого г;2 еИ+ ЕЕ (Уп('')2 ->• г;? при п -»• оо;

>=1

(БЗ) для любого гей+ £ Е (У,®)2!^,,^^ ->• 0 при п оо; (Ю4) для любого е > О Е ехр

п= 1

Пусть (Пь^ьРх) — ещё одно вероятностное пространство и события А^(п) € независимы для любого п € N. Будем предполагать, что вероятности этих событий не зависят от индекса г и

РгОМп)) = о,п

для любого г € N. Обозначим через Л;,(п)(а;1) индикатор события А3,(п).

Пусть £ € . Определим последовательность функций следующим образом: если [&п<] > 0, то

/„(г) = Е1 %.г1ф(тг)Д([А.11,]_1)1(п)... Яь(тг) - а^ф.ар,^.!),,... аы,

и если [&п£] = 0, то /„(£) = 1.

Пусть события Ач (п) удовлетворяют условию:

(Бб) существует функция /(<) € Сь(Нт), такая что f(t) = пНгп /„(£) для любого £ 6 11+, где С/,(11+) - пространство непрерывных ограниченных функций, заданных па

< оо.

Определим последовательность сумм с замещениями

(ХЗ) st] = ty^,

i-1

= t h,(n)YV + £(1 " Mn))vt2), ¡=1 <=i

St] = EЫп)Ып)Уш + E(1 - Ьг(п)Ып))Уш\ i=l 1=1

5fn) = t Ы«)Ы") ■ ■ • + E( 1 - • • • Ъь(п))у£\

1=1 t=l

Построим последовательность случайных процессов

(Z3) xin(t) = X3„(i; й sg + {U}(Sf$+1 - Sm). « € N.

Пусть W(t) и W'(t) независимые винеровские процессы. Обозначим W}VlVl(t) = W(vif(t)) + W'(v 1(1 - /(<))), t e R..

Теорема 2.4. Предположим, что выполнены условия (D1)-(D5) и X3„(wi) последовательность случайных процессов, определенная формулами (ХЗ) и (Z3). Тогда при п—¥ ос

X3n(wi) Wfl,lVj

в пространстве C[,(R+) для почти всех ш\ € fii-

Пусть Т е R+, Кп — [Tfrn]. Рассмотрим массив независимых центрированных случайных величин YJ, = Ynjl, 1 < i < А;,,, 1 < j < Кп,

определённых на (П,21,Р), таких что = ЕУ^, для любых и

удовлетворяющих для всех ] € {1,•■■, Кп) следующим условиям: кп

(Е1) Х^ ЕУ^ —>■ V при п —► оо для некоторого V £ (Е2) 5? ЕУ^/(|Гя|>т) 0 при п-¥ оо для любого г € Н.+;

(ЕЗ) для любого е > 0 £ ехр

11=1

-е тах ЕУ'1

< ОО.

Через Я^-(п) обозначем индикатор события А'ч(п). Рассмотрим условие для функции /¡.(¿1,

(Е4) существует функция /(¿) € С(,(11+), такая что = п1цп /„(¿) для любого £ € И+ и существует Н 6 такое что для любых к, *2 €[0,21

Л(41,*а) =тт (щ.уЩ) > 1-Я|<2-*х|.

Построим последовательность сумм случайных величин

¿=1 1=1 5г а ЯгМ = £ 1ьУ0', + £ ВД, 4 £ ¥[■

«=1 1=1 1=1

5, = = t Яя^-1),- + £ ^ = £ У]и

1=г 1=1 1=1

: (XI)

Определим последовательность случайных процессов с непрерывными траекториями следующим образом:

ХМ) й ( + - %„]М) для 0<t<^,

I 5Л„Ы для ^<t<T.

(Х2)

Пусть Х(<) — центрированный гауссовский случайный процесс с функцией ковариации = £ [0,Т].

Теорема 2.5. Пусть выполнены условия (Е1)-(Е4) и Хп(Ь) — последовательность случайных процессов, определенных формулами (XI) и (Х2).Тогда

вд 4 Х{1)

при п —¥ оо, в пространстве С[0,Т], для почти всех и>1 Е Пь

Рассмотрим теперь предельную теорему, связанную с теорией размещения. Пусть кп, гп, Шп, п € IV, последовательности натуральных чисел, такие что кп —>• оо, т'п —»• оо при п —> оо, кроме того кп < £„+1 и г„ < г„+1, п е N и т € N. Пусть Упт1, 1 < г < кп - последовательности серий независимых в каждой серии случайных величин, определённых на (П, А, Р). Будем предполагать, что для любого т б N выполнены следующие условия:

(П) Е Уп„и = 0 для любых п, г е N5

кп

(Р2) £ Е (У„т,)2 ->■ V при п оо для некоторого г> € 11+; ¿—1

(РЗ) Е (КПт.)21{|У„га(|>г) о при п 00 для любого г € (Е4) Е так (Е (Уят,)8)3 < оо.

П=1 '"В

Пусть ] £ И, г £ Пусть независимые, определённые на (П] , Щ, Рх), равномерно распределённые на [0,1), случайные величины. Обозначим

1 < i < к. Рассмотрим события, определённые на {í7i,2li,Pi}

Bi(r, кп, /„(*)) =

U П fôeA^in

{0<J1<J2<...<></„(()} V \jebiji, ~jr)

П n fó^Aj

и индикаторы I¡¿jnW,(wi) = Hßi(r. *„,/„(*)). гДе

K.í]

/»(0 = £ n»W. i=l

m(¿) € Z+, í € [0,T].

Будем предполагать, что функции /„(í) удовлетворяют условию:

(F5) для любого t £ [О, Т] существует предел f(t) = lim и /(<) £ С[0,Т].

Построим случайный процесс со ступенчатой траекторией (X') X'mn(t, ил) = i ( "е <>,„(,rnim

1=1 V=rm+1 /

и случайный процесс с непрерывной траекторией

Xmn(t, Щ) = x;„n(í,Wl) + {m',í} (* + - ,

ne N, m € N. Обозначим

В (tl u)=v г ,-wMMiÄi

^,¿2 6 [О,!7], ¿1 < ¿2- Пусть 1!' — конечное подмножество Рассмотрим последовательность случайных процессов

ад «О = Е *,».(«,<*),

тег1

¿е[о,П

Теорема 2.8. Предположим, что выполнены условия (Р1)-(Р5), Хп(Ь, шг) - последовательность случайных процессов, определенная формулой (XI) . Тогда при п —¥ оо

ад<л) 4 ХЦ)

в пространстве £г°°[0, Т] для почти всехш\ е Пь где Х(£), I € 11+ — центрированный гауссовский случайный процесс с функцией ковариа-ции

В{Ь,Ь) = Г Д»(М2),

теЪ'

В третьей главе доказана слабая сходимость четырёх функционалов и оператора Вольтерра от сумм независимых случайных величин, рассмотренных во второй главе. Интегралы от этих сумм имеют приложения в моделях финансового рынка, которым посвящена четвертая глава.

В четвёртой главе рассматривается модель рынка с п агентами, где п достаточно велико. Допустим, что торги ценными бумагами могут осуществлятся только в дискретные моменты времени ] € {0,1,2... М} = Ь. Если агент покупает акции, тогда их цена умножается на некоторое число большее единицы. Если агент продаёт акции, тогда их цена умножается на число меньшее единицы. Итак, мы пре-полатаем, что торговая политика г-ого агента в любой момент времени 3 € Ь является биномиальной случайной величиной

I [/; с вероятностью р,-6 = < , 1 < * < п.

Д с вероятностью $

Введём параметры а, и а2 > 0, определив их следующими равенствами:

( ЪУ? + 1 = +

Пусть выполнены условия:

(1) Е V? и2 при пчоо для некоторого я2 € ¿=1

(2) £ Е(1п£, - Е1п^)2Я{|1п4|_ЕЬ{.|>т) О при п оо, для любого

V € Я+;

(3) для любого е > 0 £ ехр[-—^-1] < оо.

»«=1 1<1<п •

Параметр ац можно рассматривать, как относительный риск, ха-рактерезующий разницу между "рыночной" мерой (р^ф) и "риск-нейтральной" мерой (р;, <&), где числа р< и ^ определены равенствами

\ иир{ + = 1

< , 1 < г < п.

( 1-Рс = &

Будем предполагать, что

(4) Е и2о* (I —г при п -4 оо, а» - г € Н-т, г > О, 1=1

где д — ожидаемая средняя прибыль, г — банковский процент.

Далее предположим, что каждый агент вносит вклад в ценообразование акции, который определяется торговой политикой агента. Пусть к £ Ь фиксированный момент времени. Тогда вклад ¿-ого агента в течение времени {0,1,... к} можно представить формулой

(5) ад = П;*=о£и, * = ОД,

где определим ниже.

Далее предположим, что в момент времени к € Ь стоимость акций равна среднему геометрическому от вклада в ценообразование п агентов:

(6)

/п (п к \'/п

= 5а ( П гк(г)\ = 5о (Д ДЬ] -где 5о - цена акции в начальный момент времени. Рассмотрим шкалу с непрерывным временем £ € [0,Т] . Положим

!/« /„ и \Уп

пгн/

^=1.7=0

Итак, мы имеем последовательность случайных ступенчатых процессов со скачками в рациональных точках вида зависящих от случайного параметра щ 6 Пь Случайный процесс 5„(£) мы будем рассматривать, как случайный элемент пространства £°°[0,Т].

Обозначим через 5(<) случайный процесс, построенный точно также как и но в котором случайные величины обладают свойством

= 1<г<п, 0 <з<М.

Напомним, что через I}%{п) мы обозначаем индикатор события А„(п), а

/„(*) = Ех Яи,(п)1([„^]-1), (п)... 11, (п). Индикаторы событий Лу(п) удовлетворяют условию: (7) существует функция /({) € С/, (И-), такая что для любого I € 11+

/(О =ит/„(<)•

Рассмотрим ситуацию, когда количество агентов на рынке увеличивается. В этом случае случайная величина = 1 заменяется на и г-тый агент начинает принимать участие в торгах. Итак, мы предполагаем, что выполнено следующее условие.

(8) Действие любого агента не зависит от действий других агентов и случайная величина описывающая действие г-того агента, в fc-тый момент времени определяется следующим образом:

(A) если itf'M = 1,4П)Ы = 1,---ДП)М = 1, то & = 1, k<j\

(B) если I&'M = 1, Я^Ы = 1, • • •, иЦ.цЫ = 1, Л^) = О,

TO £tk j.

Во случае (В) при к > j единица замещается случайной величиной (2)

, что означает появление г-того агента в j-тый момент времени.

Теорема 4.4. Предположим, что выполнены условия (1)-(8). Тогда при п -4 оо

БпЫ 4 5

в пространстве £°°[0,Т] для почти всех £ fii, где

S(x) = S0 exр jw2(z) + -г2-Щ ¡х- }f(t)dt

х € [О, Т] и И'2 — гауссовский случайный процесс с функцией ковари-<muuB2(ti,t2),tbt2e[0,T\.

Теорема 4.5. Предположим, что выполнены условия (1)-(8). Тогда при п —> оо

5„м 4 s

в пространстве £°°[0, Т\ для почти всех Ш\ € Оь где

S(x) = 50ехр || ¡Jf(t)dt - zj + W2(z) J,

x€[0 ,T\.

Теорема 4.6 (Аналог формулы Блэка-Шоулса). Предположим, что выполнены условия (1)-(8). Обозначим

W2(t) = ад(*))2 = B2(t, t), t € [О, Г]. Тогда справедливая цена европейского опциона равна

^ - гГ - | {jf(x)dx -т)|ф(р + и,(Т))-

Of — Sq exp <

I z

-Кехр{-гТ}Ф(р),

где

P =

In Sq - In К - f (Jf(x)dx - Г) w(T)

4 /

Библиография

[1] Бенткус В. Ю. / О скорости сходимости в принципе инвариантности в Банаховых пространствах / В. Ю. Бенткус, К. Любинскас // Лит. мат. сб. — 1987.

[2] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. - М.:Нау«а. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1977. - 351 с.

[3] Бородин А. Н. / Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий / А. Н. Бородин, И. А. Ибрагимов // Труды математического института им. В. А. Стеклова. —1994. — Санкт-Петербург: Наука.

[4] Боровков К. А. / О скорости сходимости в принципе инвариантности для гильбертова пространства / К. А. Боровков // Теория, вероятн. и ее применен. — 1984.

[5] Булинский А. В Теория случайных процессов / А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. — М.: Физматгиз. — 2003. — 400 с.

[6] Гихмап И. И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гих-ман, А. В. Скороход. — М.: Паука, 1977. — 568 с.

[7] Гнедснко Б. М. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин / Б. М. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. — М.:Гостехиздат. — 1949. — 264 с.

[8] Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин / В. М. Золотарев. — М.:Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы. — 1986. — 415 с.

[9] Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1972. — 496 с.

[10] Колчин В.Ф. Случайные размещения / В. Ф. Колчин, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков. — М.: Наука, 1976. — 224 с.

[11] Круг лов В. М. Дополнительные главы теории вероятностей /

B. М. Круглов. - М.:Высшая школа. — 1984. — 264 с.

[12] Круглов В. М. / К принципу инвариантности / В. М. Круглов // Теория вероятностей и её применение. — 1997. — т. 42. — в. 2. —

C. 239-261.

[13] Круглов В. М. / Слабая сходимость случайных ломаных к вине-ровскому процессу / В. М. Круглов // Теория вероятностей и её применение. — 1985. — т. XXX. — в. 2. — С. 208-218.

[14] Круглов В. М. Предельные теоремы для случаных сумм / В. М. Круглов, Ю- В. Королёв . - М.:Изд-во Моск. ун-та 1990. -269 с.

[15] Лоэв М. Теория вероятностей / М. Лоэв. — М.: ИЛ, 1962. - 719 с.

[16] Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых слу- чайных величин / В. В. Петров. — М.: Наука. — 1987. - 317 с.

[17] Прохоров Ю. В. / Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей / Ю. В. Прохоров // Теория вероятностей и её применение. — 1956. — т.1. — в. 2. — С. 176-238.

[18] Чибисов Д. М. / Некоторые теоремы о пределыюм поведении эмпирической функции распределения / Д. М. Чибисов // Труды математического института имени В. А. Стеклова. — 1964.

[19] Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики / А. Н. Ширяев. — М.: Фазис. — 1998. — Т.1,2.

[20] Bennett G. / Probability inequalities for sums of independent random variables / G. Bennett // J. Amer. Stat. Assoc. — 1962. — Vol. 57.

— pp 33-45.

[21] Bickel P.J. / Convergence criterea for multiparameter stochastic processes and some applictions / P.J. Bickel, M. J. Wichura // Ann. Math. Stat. — 1971.

[22] Chuprunov A. N. / Almost sure versions of some analogues of the invariance principle / A. N. Chuprunov, I. Fazekas // Publicationes mathematicae. — Debrecen 1999. — tomus 54. — fasc. 3-4. — pp 457-471.

[23] Chuprunov A.N. / Convergence of random step line to Ornstein-Uhlenbeck type processes / A. N. Chuprunov, I. Fazekas // Technical Report of Dcbrecen University. -- 1996. — No. 24.

[24] Chuprunov A. N. / Functional limit theorems connected to boxes occupations by balls serieses and models of market pricing / A. N. Chuprunov, I. Fazekas. — manuscripte — Dcbrccen University.

— 2006. — 32 p.

[25] Chuprunov Л. N. / Convergence for step line processes under summation of random indicators and models of market pricing [Электронный ресурс] / A. N. Chuprunov, О. V. Rusakov. — Lobachevskii Journal of Mathematics. — Казань 2003. — vol. 12 — pp. 11-34 http://ljm.ksu.ru/voll2/chu.htm

[26] Chuprunov A. N. / Invariance principle with limit Gaussian Ornstein-Uhlenbeck process and models of financial mathematics / A. N. Chuprunov, О. V. Rusakov. // XXIII Seminare on stability problems for stochastic models. Extended abstracts (compact disc).

— Pamplona (2003).

[27] Donsker M. D. / An invariance principle for certain prdbability limit theorems / M. D. Donsker // Mem. Amer. Math. Soc. - 1951. — №6.

[28] Kolmogorov A. N. / Zufalige Functionen und Grenzverteilungsaatze / A. N. Kolmogorov, Yu. V. Prohorov // Berich über die Tagung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematischen Statistik. — 1954.

— Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften.

[29] Janson S. / Invariance principles for stochastic area and related stochastic integrals / S. Janson, M. J. Wichura // Stochastic processes and their Applications. — 1983.

[30] Mikosch 'Г. / Functional limit theoremes for random quadratic forms / T. Mikosch // Stochastic processes and there applictions. — 1991.

[31] Rusakov O.V. / A model of market pricing with randomly distributed information and the geometric integral of the Ornstein-Uhlcnbeck process / O.V. Rusakov // Report of the Department of Mathematics.

— - University of Helsinki. — Preprint 184. — April 1998. — 13 p.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж 5 О экз. Заказ № 17

f 4

39 8 §

РНБ Русский фонд

2006-4 15650

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Еникеева, Зульфира Аснафовна

Введение

1. Усиленные законы больших чисел для индикаторов независимых событий

1.1. Сходимость почти наверное сумм независимых случайных величин

1.2. Равномерная сходимость почти наверное сумм независимых случайных величин, зависящих от параметра времени

1.3. Усиленные законы больших чисел, связанные с событиями теории размещения.

2. Предельные теоремы для случайных ломаных, построенных по суммам независимых случайных величин с замещениями

2.1. Сходимость случайных процессов с независимыми приращениями.

2.2. Сходимость к случайному процессу Орнштейна-Уленбека

2.3. Предельные теоремы, связанные с событиями теории размещения.

3. Слабая сходимость функций от случайных процессов.

3.1. Сходимость функционалов от случайных сумм

3.2. Оператор Вольтерра от случайных сумм

Введение диссертация по математике, на тему "Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями"

1. Общая характеристика работы.

A. Н. Колмогоров и Ю. В. Прохоров заметили что эти результаты являются следствием сходимости по распределению в пространстве непрерывных функций С[0,1] некоторых случайных элементов, со значениями в множестве ломаных линий к распределению определяемому винеровским процессом. В работах Ю. В. Прохорова [17],

B. М. Круглова [12], [13], Т. Микоша [30], С. Янсона и М. Вишуры [29], И. А. Ибрагимова и А. Н. Бородина [4], П. Бикеля и М. Вишуры [21], В.Бенткуса и К. Любимскаса [1], К. А. Боровкова [4], Д. М. Чибисова [18] получены обобщения теоремы А. Н. Колмогорова и Ю. В. Прохорова на суммы разнораспределенных случайных величин, на билинейные и полилинейные формы от случайных величин, на функции от сумм случайных величин.

Настоящая работа лежит в русле этого направления. В работе доказывается сходимость случайных ломаных определенных суммами независимых случайных величин, причем в этих суммах одни случайные величины случайным образом замещаются другими. Замещения определяются умножением на значения индикаторов, определенных на другом вероятностном пространстве, элементы которого рассматриваются как случайные параметры, и сходимость случайных ломаных доказывается для почти всех значений этого случайного параметра. Результаты работы являются обобщениями соответствующих теорем из статей А. Н. Чупрунова и О. В. Русакова [25]-[26] и И. Фазекаша и А. Н. Чупрунова [22]-[24], полученных для сумм одинаково распределенных случайных величин. Здесь рассматривается более общая схема серий разнораспределённых случайных величин, удовлетворяющих условию Линдеберга.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

Методы исследования. Методы исследования основаны на принципе инвариантности Донскера-Прохорова.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоритический характер и могут применятся в различных областях, в которых изучаются случайные процессы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

4. Еникеева 3. А. О некоторых предельных теоремах. XII Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань 2000. - С.33-34.

5. Еникеева 3. А. Сходимость случайных процессов, определённых суммами независимых разнораспределённых случайных величин с замещениями к процессу Орнштейна-Уленбека. Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - в.2. - т. 11. - С 336-337.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Еникеева, Зульфира Аснафовна, Казань

1. Бенткус В. Ю. / О скорости сходимости в принципе инвариантности в Банаховых пространствах / В. Ю. Бенткус, К. Любинскас // Лит. мат. сб. — 1987.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли. М.:Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1977. - 351 с.

3. Бородин А. Н. / Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий / А. Н. Бородин, И. А. Ибрагимов // Труды математического института им. В. А. Стеклова. —1994. — Санкт-Петербург: Наука.

4. Боровков К. А. / О скорости сходимости в принципе инвариантности для гильбертова пространства / К. А. Боровков // Теория, вероятн. и ее применен. — 1984.

5. Булинский А. В. Теория случайных процессов / А. В. Булинский, А. Н. Ширяев. — М.: Физматгиз. — 2003. — 400 с.

6. Гихман И. И. Введение в теорию случайных процессов / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — М.: Наука, 1977. — 568 с.

7. Гнеденко Б. М. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин / Б. М. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. — М.:Гостехиздат. — 1949. — 264 с.

8. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величин / В. М. Золотарев. — М.:Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы. — 1986. — 415 с.

9. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Наука, 1972. — 496 с.

10. Колчин В.Ф. Случайные размещения / В. Ф. Колчин, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков. — М.: Наука, 1976. — 224 с.

11. Крут лов В. М. Дополнительные главы теории вероятностей / В. М. Круглов. — М.гВысшая школа. — 1984. — 264 с.

12. Круглов В. М. / К принципу инвариантности / В. М. Круглов // Теория вероятностей и её применение. — 1997. — т. 42. — в. 2. — С. 239-261.

13. Крут лов В. М. / Слабая сходимость случайных ломаных к винеровскому процессу / В. М. Круглов // Теория вероятностей и её применение. — 1985. — т. XXX. — в. 2. — С. 208-218.

14. Круглов В. М. Предельные теоремы для случаных сумм / В. М. Круглов, Ю. В. Королёв . М.:Изд-во Моск. ун-та - 1990. - 269 с.

15. Лоэв М. Теория вероятностей / М. Лоэв. — М.: ИЛ, 1962. 719 с.

16. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин / В. В. Петров. — М.: Наука. — 1987. 317 с.

17. Прохоров Ю. В. / Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей / Ю. В. Прохоров // Теория вероятностей и её применение. — 1956. — т.1. — в. 2. — С. 176-238.

18. Чибисов Д. М. / Некоторые теоремы о предельном поведении эмпирической функции распределения / Д. М. Чибисов // Труды математического института имени В.А. Стеклова. — 1964.

19. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики / А. Н. Ширяев. — М.: Фазис. — 1998. — Т.1,2.

20. Bennett G. / Probability inequalities for sums of independent random variables / G. Bennett // J. Amer. Stat. Assoc. — 1962. — Vol. 57. — pp 33-45.

21. Bickel P.J. / Convergence criterea for multiparameter stochastic processes and some applictions / P.J. Bickel, M. J. Wichura // Ann. Math. Stat. — 1971.

22. Chuprunov A. N. / Almost sure versions of some analogues of the invariance principle / A. N. Chuprunov, I. Fazekas // Publicationes mathematicae. — Debrecen 1999. — tomus 54. — fasc. 3-4. — pp 457-471.

23. Chuprunov A.N. / Convergence of random step line to Ornstein-Uhlenbeck type processes / A. N. Chuprunov, I. Fazekas // Technical Report of Debrecen University. — 1996. — No. 24.

24. Chuprunov A. N. / Functional limit theorems connected to boxes occupations by balls serieses and models of market pricing / A. N. Chuprunov, I. Fazekas. — manuscripte — Debrecen University. — 2006. — 32 p.

25. Donsker M. D. / An invariance principle for certain probability limit theorems / M. D. Donsker // Mem. Amer. Math. Soc. 1951. — №6.

26. Kolmogorov A. N. / Zufalige Functionen und Grenzverteilungsaatze / A. N. Kolmogorov, Yu. V. Prohorov // Berich uber die Tagung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematischen Statistik. — 1954.Berlin:Deutscher Verlag der Wissenschaften.

27. Janson S. / Invariance principles for stochastic area and related stochastic integrals / S. Janson, M. J. Wichura // Stochastic processes and their Applications. — 1983.

28. Mikosch T. / Functional limit theoremes for random quadratic forms / T. Mikosch // Stochastic processes and there applictions. — 1991.