Асимптотическое поведение самонормированных сумм случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

Жукова Галина Николаевна

Асимптотическое поведение самонормированных сумм случайных величин

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Круглое Виктор Макарович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Булинская Екатерина Вадимовна кандидат физико-математических наук Колчин Андрей Валентинович Ведущая организация: Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н. Г. Чеботарева при Казанском государственном университете.

Защита диссертации состоится "29" октября 2004 г. в И00 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. Автореферат разослан "28"' сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор Н.П. Трифонов

Актуальность темы. Интенсивные исследования свойств самонормированных сумм независимых случайных величин ведутся около сорока лет. Отдельные исследования имеют значительно больший возраст. Одной из первых задач в этом направлении является вычисление распределения статистики Стьюдента, введенной в употребление в 1908 году.

Потребность в исследованиях свойств самонормированных сумм диктуется внутренней логикой развития предельных теорем для сумм случайных величин и многочисленными прикладными исследованиями. В качестве примера можно указать целый класс задач из математической статистики, при решении которых знание свойств самонормированных сумм является решающим, в частности, в теории проверок статистических гипотез, при построении доверительных интервалов для неизвестных параметров вероятностных распределений.

Описанию свойств самонормированных сумм посвящено довольно много публикаций. Асимптотические свойства самонормированных сумм изучали

B. Efron (1969); В. F. Logan, С. L. Mallows, S. О. Rice, L. A. Shepp (1973); R. A. Mailer (1981); P. S. Griffin, D. M. Mason (1991); В. А. Егоров (1996). Наиболее сильные и завершенные результаты получили G.P. Chistyakov и F. Gotze (2004). Они доказали, что сходимость распределений самонормированных сумм независимых случайных величин с общей функцией распределения к невырожденному в определенном смысле распределению равносильна принадлежности общей функции распределения области притяжения некоторого устойчивого закона. Случай, когда предельный закон является стандартным нормальным, исследовали ранее Е. Gine, F. Gotze и D. M. Mason (1997).

Другие аспекты поведения самонормированных сумм изучали R. LePage, М. Woodroofe, J. Zinn(1981), V. Bentkus, F. Gotze (1996), Qi-Man Shao (1997),

C. В. Нагаев (2004), С. Ю. Новак (2004). В частности, статьи последних трех авторов содержат неравенства типа известного неравенства Берри-Ессеена. В упомянутой выше статье P.S. Griffin и D. M. Mason доказали утверждение, напоминающее закон повторного логарифма.

Отметим, что почти все известные нам публикации, в том числе перечисленные выше, за исключением статьи В. А. Егорова, касаются самонормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. В статье В. А. Егорова среди прочего указываются необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений самонормированных сумм независимых симметричных случайных величин к стандартному нормальному распределению.

Цель работы. Целью данной диссертационной работы является нахождение условий слабой сходимости распределений самонормированных сумм независимых случайных величин и описание qj

Основные результаты. Основные результаты вместе с краткими комментариями сформулированы в разделе краткое содержание диссертации.

Методы исследования. Методы исследования опираются на известную теорию предельных теорем для сумм независимых равномерно предельно малых случайных величин. Широко используются свойства безгранично делимых распределений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость полученных результатов диссертации состоит в новом подходе к исследованию асимптотических свойств самонормированных сумм. Новый подход представляет собой модификацию известной теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин таким образом, чтобы стало возможным найти предельные распределения для двухмерных случайных векторов; первой компонентой вектора является сумма случайных величин, а второй — сумма квадратов надлежащим образом центрированных случайных величин.

Практическая значимость полученных результатов состоит в возможности построить статистические критерии, основанные на самонормированных суммах, для проверки статистических гипотез и для построения доверительных интервалов для неизвестных параметров вероятностных распределений. Специальные исследования такого рода в диссертации не проводились.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на специализированных семинарах, которые работают на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, и были опубликованы в 3 работах автора, список которых приводится в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из семи глав и библиографии. Обший объем диссертации 97 страниц. Библиография включает 42 наименования.

Краткое содержание работы.

Первая глава выполняет роль введения. Она содержит обзор результатов, имеющих отношение к теме диссертации, а также ряд утверждений из теории предельных теорем для сумм независимых равномерно предельно малых случайных величин, которые используются в диссертации. Здесь же сформулированы основные результаты диссертации.

Вторая глава содержит принциальный для всего последующего результат. Мы модифицируем известную предельную теорему о сходимости распределений сумм равномерно предельно малых случайных величин к данному безгранично делимому распределению таким образом, чтобы получить ее аналог для двухмерных случайных векторов. Первой компонентой вектора является

сумма случайных величин, а второй — сумма квадратов надлежащим образом центрированных случайных величин.

Рассмотрим последовательность серий случайных величин

(1)

определенных на общем вероятностном пространстве (Л, Р) и независимых для каждого п £ N.

Говорят, что случайные величины (1) удовлетворяют условию равномерной предельной малости, если

1кп шах Р(|ХпА| > е) = О

(2)

для любого £ > 0.

Характеристическую функцию /(£) безгранично делимой функции распределения .Р мы запишем по формуле Леви-Хипчина

№

00 2 = ехр |гт< + I (е** - 1 - «у^) ^Г~ > * е

(3)

где 7 € Я, функция <3(х), х € II, ограничена, непрерывна слева, не убывает, С?(—оо) — 0. Это представление единственно.

Теорема 2.1. Предположим, что выполнено условие (2) и при некотором подборе вещественных чисел Ап, п €Е ЛГ, последовательность функций распределения сумм 2п = Х„1 +----Ь Хптп — Ап, п, тп € N. слабо сходится к безгранично делимой функции распределения с характеристической функцией (3). Тогда последовательность функций распределения случайных векторов (гп, 1У,?), п € N. = (ХпХ - а„1)2 + • • • + (Хптл - аптт>)2, слабо сходится к некоторой функции распределения с характеристической функцией

/(«,*) =ехр |г57+ J (е{

гвх+Их2

— 1 — 13-

1 +

{4)

5,(6 11

Обратим внимание на то, что если при некотором подборе вещественных чисел Ап, п € N, последовательность функций распределения случайных векторов п € И, слабо сходится к некоторой функции распреде-

ления с характеристической функцией (4), то функции распределения .£„, п 6 ЛГ, и п € И, слабо сходятся к некоторым безгранично делимым распределениям.

Во второй главе также получено предельное распределение последовательности самонормированных сумм 2п!У/п. Для этого использована теорема 2.1.

Обозначим

п»п

2п = ]ГХпк, \¥% = ^(Хпк-апк)2, п £ N. к=1 *= 1

Теорема 2.2. Предположим, что выполнено условие (2) и последовательность функций распределения сумм ¿п, п & N. слабо сходится к безгранично делимой функции распределения с характеристической функцией (10) с 7 = 0 и J |а;| ¿Н{х) < оо для некоторого е > 0. Предполо-

0<|х|<Е

жим также, что либо а > 0, либо J йН(х) — оо. Тогда последователь-

Н\{0}

ность функций распределения отношений Zn/Wn, п £ слабо сходится при п —» оо к функции распределения с характеристической функцией А(4), Ь 6 II, удовлетворяющей условию

ОО оо

I¿и = -21о > 0, (5)

о о

где о, й) определяется по формуле

■ф(с, з) = г7'а - 52ег2с - ^2<т2 + ! - 1) ¿Н(х), с > 0, (6)

у" /т

Я\{0}

- + Х'

(7)

а\{о}

Из этой теоремы следует, что сходимость последовательности функций распределения сумм 2п, п € ДО, к нормальной функции распределения влечет сходимость последовательности функций распределения самонормированных сумм 2п/\Уп, п 6 ДО, к стандартной нормальной функции распределения.

Следствие 2.1. Предположим, что выполнено условие (2) и последовательность функций распределения 2п, п € ДО, слабо сходится к нормальной функции распределения

X

Ф<Т(х) = -- I йи, х 6 И, ст > 0.

у27гсг2 ./

(8)

Тогда последовательность функций распределения отношений п €

ДО, слабо сходится к стандартной нормальной функции распределения

е т^и, а: 6 II.

(9)

Следствие 2.2. Предположим, что выполнено условие (2) и последовательность функций распределения сумм Zn, п £ N, слабо сходится к полуустойчивой функциираспределения С 7 = 0. Тогдапоследовательность функций распределения отношений Zn/Wn, п 6 N, слабо сходится к некоторой функции распределения.

В третьей главе рассматриваются самонормированные суммы одинаково распределенных независимых случайных величин. Указываются достаточные условия слабой сходимости распределений самонормированных сумм и дается описание предельного распределения. Показано, что характеристическая функция предельного распределения удовлетворяет специальному функциональному уравнению. Формально оно представляет собой запись модифицированного преоразования Лапласа для характеристической функции.

Формулировка основного результата становится более прозрачной, если для записи характеристической функции f(t) безгранично делимой функции распределения F вместо формулы Леви-Хинчина (3) воспользоваться формулой Леви

/(t)=expjni-yi2+ J (V-l-ii^) сШ(*)1, (10)

R\{0}

где t 6 R, 7 6 R, a > 0, функция H(x) определена на R \ {0} = (-оо; 0) U (0; оо), не убывает на каждой из полуосей (—оо; 0) и (0; оо), Я(—со) — Я(оо) = 0, для любого е > 0 Н(—е)—Н(е) < оо и f х2 dH(x) < оо. Представление

0<|х|<Е

(10) единственно.

Теорема 3.1. Пусть невырожденные независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п G N, определены на вероятностном пространстве (Г2, Т, Р). Предположим, что при некотором подборе чисел

Вп> 0, n € N, последовательность функций распределения сумм{Х\Л-----(-

XmJ/Д,, п, тп € N, слабо сходится к безгранично делимой функции распределения с характеристической функцией (10) су = 0 и f |х| dH(x) <

О <х<а

оо для некоторого а > 0. Предположим, также, что либо а > 0, либо J dH(x) = оо. Тогда последовательность функций распределения отно-R\{0}

шений S^/V^, S^^Xi + • ■ • + Х^, V^ = X\ + • • • + X^, n € N, слабо сходится к функции распределения с характеристической функцией A(t), t G R, удовлетворяющей условию

оо оо

j \{Ju)e~au du = -2 J da, а > 0, (11)

о о

где rjj[a, s) определена в (6)

Следствие 3.1. Пусть Хп, П 6 N, —независимыеслучайныевеличины с общей функциейраспределения F, Sn — X! + ••• + Хп, = Xf + • • • + -Х^. Если функция распределения F принадлежит области притяжения некоторой устойчивой функции распределения, то последовательность функций распределения отношений Sn/V„, п G N, слабо сходится к некоторой функции распределения с характеристической функцией,\{€), t € R, удовлетворяющей условию (11), где функция l[i(a,8) определена в (6).

Следствие 3.1 можно обобщить на случай полуустойчивых распределений. Общее полуустойчивое распределение, отличное от номального, имеет характеристическую функцию, которая определяется формулой Леви (10) ест == О

Я(ж) = М). если * <

где а € (0,2), и 02 — периодические функции с общим периодом Г такие, что Н не убывает на каждой из полуосей (—оо,0) И (0,оо).

Следствие 3.2. Пусть Xn,n&N — независимые случайные величины с общей функциейраспределения F, Sm^ — Х\ + • • • + Х^, V^ — Х\ + • • • + Xj^, числовая последовательность {тГ1п}п>1 удовлетворяет условию

Если последовательность функций распределения сумм

слабо сходится, то предельная функция распределения будет полуустойчивой и последовательность функций распределения отношений S^/Vm^, п Е N, слабо сходится кнекоторой функциираспределения с характеристической функцией A(t), t € R, удовлетворяющей условию (11), где функция xl>(a,s) определена в (6).

Четвертая глава посвящена исследованию стохастической ограниченности самонормированных сумм. В том случае, когда число слагаемых в самонормированной сумме последовательно пробегает натуральный ряд, задача решена Е. Gine, F. Gotze, D. M. Mason ( When is the Student t-statistic asymptotically standart normal?// Ann. Probab. 1997, Vol. 26, 1511-1531). Из доказательства, данного этими авторами, следует, что требование, чтобы число слагаемых в сумме пробегало натуральный ряд, играет важное значение, и в общем случае не может быть отброшено. Нетрудно указать примеры, когда последовательность самонормированных сумм не обладает свойством стохастической ограниченности, но этим свойством обладает некоторая ее

подпоследовательность. Естественным образом возникает задача об отыскании условий стохастической ограниченности подпоследовательностей. Важным также оказывается сопутствующий вопрос: указать условие на число слагаемых, при котором стохастическая ограниченность подпоследовательности влекла бы наличие этого свойства всей последовательности самонормированных сумм. Основное утверждение этой главы гласит, что последовательность самонормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин стохастически ограничена тогда и только тогда, когда этим свойством обладает некоторая ее подпоследовательность самонормированных сумм, число слагаемых в которых растет не быстрее произвольной геометрической прогрессии со знаменателем больше единицы.

Последовательность случайных величин 1гп,п& N1 определенных на вероятностном пространстве называется стохастически ограниченной, если

Теорема 4.1. Пусть неограниченная последовательность натуральных чисел Шп, neN, удовлетворяет условию 1 < Шп+х/тп,, < С для некоторого С < оо и для всехп 6 N. Пусть невырожденные независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п£ N, определены на вероятностном пространстве (Q, Т, Р). Для того, чтобы последовательность {5n/Ki}n>[,

5„ = Хн-----Ь Хп, V* = XIН-----1- X*, была стохастически ограниченной,

необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладала последователь-

В пятой главе изучаются условия слабой сходимости распределений самонормированных сумм независимых случайных величин к нормальному распределению. В качестве следствия основного результата второй главы (см. следствие 2.1) мы получаем, что последовательность распределений самонормированных сумм слабо сходится к стандартному нормальному распределению, если последовательность распределений сумм, участвующие в образовании самонормированных сумм, слабо сходится к некоторому невырожденному нормальному распределению. Это любопытный феномен отчасти объясняется конструкцией самонормированных сумм, а именно свойством их однородности (если случайные величины нормировать одним числом, то самонормированная сумма не изменится). В том случае, когда мы имеем дело с самонормированными суммами независимых одинаково распределенных случайных величин, то необходимые и достаточные условия для слабой сходимости рас-спределений этих сумм к стандартному нормальному распределению были указаны Е. Gine, F. Gotze и D. M. Mason (1997). Условия состоят в том, что общая функция распределения принадлежит области притяжения нормаль-

ного закона и ее первый момент равен нулю. Подчеркнем, что эти авторы рассмотрели случай, когда число слагаемых в сумме пробегает натуральный ряд. Из сказанного выше следует, что в части достаточности утверждение упомянутых автором является частным случаем следствия 2.1 из второй главы диссертации. Основным результатом пятый главы является утверждение, состоящее в том, что последовательность распределений самонормированных сумм сходится к стандартному нормальному распределению тогда и только тогда, когда этим свойством обладает некоторая подпоследовательность самонормированных сумм, число слагаемых которых пробегает подпоследовательность возрастающую не быстрее, чем любая геометрическая прогрессия со знаменателем больше единицы.

Теорема 5.1. Пусть неограниченная последовательность натуральных чисел тп, п е 14, удовлетворяет условию 1 < гПп+х/гПп < С < оо, п € N. Пусть невырожденные независимые случайные величины Хп, п € ДО, с общей функцией распределения F определены на вероятностном пространстве Для того, чтобы последовательность функций распределения отношений Б^/Ц^, = Х1-{----+ Х^, У^ = Х\ Н-----(- Х^,

п € ДО, слабо сходилась к стандартной нормальной функции распределения, необходимо и достаточно, чтобы Р принадлежала области притяжения нормального закона и выполнялось условие ЕХ\ — 0.

В шестой главе приведены необходимые и достаточные условия слабой сходимости одного нелинейного функционала от последовательных самонормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Предельное распределение является распределением интеграла Лебега от квадрата процесса броуновского движения, параметрическим множеством которого является единичный интервал. Это утверждение составляет основное содержание статьи [2] из списка публикаций. В диссертации доказан более общий результат. Рассматривается фунционал от самонормированных сумм, число слагаемых которых растет не быстрее произвольной геометрической прогрессии со знаменателем больше удиницы. Доказано, что последовательность распределений функционала слабо сходится к упомянутому распределению, тогда и только тогда, когда общая функция распределения случайных величин, участвующих в образовании самонормированных сумм, принадлежит области притяжения нормального закона и ее первый момент равен нулю. Можно сказать, что последовательность распределений функционала сходится к упомянутому распределению тогда и только тогда, когда этим свойством обладает ее подпоследовательность, описанная выше.

Выбор функционала продиктован следующими обстоятельствами. Насколько нам известно, это первый нелинейный функционал от самонормированных сумм, асимптотические свойства которого исследованы полностью. Этот функционал превращается в функционал, который был исследован рядом ав-

торов, если самонормированные суммы заменить обычными суммами независимых случайных величин. Впервые подобный функционал исследовали P. Erdos и М. Кае (1946). Позднее В. М. Круглов (1997) изучал его в связи с обобщением принципа Донскера-Прохорова.

Теорема 6.1. Пусть {mn}n>i — неограниченная последовательность натуральных чисел, такая, что 1 < тп+i/rrin < С для некоторого С < оо и для всех п € N. Пусть невырожденные независимые случайные величины Х„, п G N, с общей функцией распределения F определены на вероятностном пространстве (fi, J7,Р). Обозначим Sn = Xi + ••• + Хп, V„ =

п

Xj -----(- Хп, Тп — l/{nV%) Y, Si- Пусть G — функция распределения

k= 1

1

случайной величины fW(t)2dt, где W(t), t Е [0,1], — процесс броуновско-о

го движения, определенный на некотором вероятностном пространстве Р'). Для того, чтобы последовательность функций распределения случайных величин Т^, п 6 N, слабо сходилась к G, необходимо и достаточно, чтобы F принадлежала области притяжения нормального закона и выполнялось условие ЕХ\ = 0.

Седьмая глава содержит обобщение принципа инвариантности на случай самонормированных сумм. Принцип инвариантности был открыт А. Н. Колмогоровым (1931). Ныне он известен под именем принципа инвариантности Донскера-Прохорова. В честь ученых, которые придали приципу инвариантности современный вид и указали возможные применения этого принципа.

Наиболее общий вариан принципа инвариантности для независимых случайных величин сформулирован В. М. Кругловым (1997). Основной результат седьмой состоит в распространении принципа инвариантности на случай самонормированных сумм независимых одинаково распределенных случай-ньтс иепичин

Теорема 7.1. Пусть невыроокденные независимые случайные величины Хп, п 6 N, с общей функцией распределения F определены на вероятностном пространстве (П,^, Р). Обозначим Sq — 0, Sn = Xi Н-----1- Хп,

V* = Xl 4- • • • 4- Х„. Для каждого п 6 N разобьем сегмент [0,1] точками

(п)=Ш, если V^ > 0, .....

fc \|, еелиУя = 0,

Построим на плоскости случайную ломаную Xn(t), t € [0,1], с вершинами (t^\Sk/Vn), к = 0,... ,п. Для того чтобы последовательность распределений Рп ломаных X„(t), t 6 [0,1], слабо сходилась к винеровской мере Р0, необходимо и достаточно, чтобы F принадлежала области притяжения нормального закона и выполнялось равенство ЕХ\ = 0.

Список публикаций по теме диссертации

1. Жукова Г.Н. Асимптотическое поведение статистики Стьюдента//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2004. N 3, стр. 37-42.

2. Круглое В.М., Петровская Г.Н. Слабая сходимость одного функциона-ла//Теория вероятн. и ее примен., 2001. 46, вып. 4. с. 779-784.

3. Kruglov V.M., Petrovskaya G.N. Weak convergence of self-normalized random poligonal lines//Journal of Mathematical Scienscs 2002.112. N 2. pp. 41454154.

Издательство ООО "МАКС Пресс". Лицензия ИД№ 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 23.09.2004 г. Формат 60x90 1/16. Печ.лист 1,0. Тираж 70 экз. Заказ 1008. Тел. 939-3890,939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В Ломоносова.

i» 16778

1 ВВЕДЕНИЕ

1.1 Проблема и ее история.

1.2 Замечания о терминологии.

1.3 Безгранично делимые распределения

1.4 Суммы независимых случайных величин.

1.5 Основные результаты диссертации.

2 СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

3 СХОДИМОСТЬ САМОНОРМИРОВАННЫХ СУММ

3.1 Формулировка основного результата.

3.2 Доказательство теоремы 3.1.

4 СТОХАСТИЧЕСКАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ САМОНОРМИРОВАННЫХ СУММ

4.1 Формулировка основного результата.

4.2 Вспомогательные утверждения.

4.3 Доказательство теоремы 4.1.

5 СХОДИМОСТЬ К НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ

5.1 Формулировка основного результата.

5.2 Вспомогательные утверждения.

5.3 Доказательство теоремы 5.1.

6 СХОДИМОСТЬ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛА

6.1 Формулировка основного результата.

6.2 Вспомогательные утверждения.

6.3 Доказательство теоремы 6.1.

7 СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ЛОМАНЫХ

7.1 Формулировка основного результата.

7.2 Вспомогательные утверждения.

7.3 Доказательство теоремы 7.1.

1.1 Проблема и ее история

Пусть независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п € ./V = {1,2,.}, определены на вероятностном пространстве (П, Т, Р). Обозначим Яп = Х\ 4- • • • + Хп, — + . + Х\. Требуется определить необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений отношений 8П/УП) когда п пробегает некоторую подпоследовательность натуральных чисел. Другая задача состоит в том, чтобы описать возможные предельные распределения упомянутых отношений.

Отношение 5П/Т4 не определено, если Уп = 0. Мы будем придерживаться следующего правила, когда требуется определить значение некоторой функции /(Х[,., Хп, Уп) при Уп = 0, полагая

Разумеется, указанное значение определено для тех функций, для которых предел справа существует. Все функции, которые встретятся в диссертации; имеют определенное значение при Уп — 0 в указанном смысле.

Потребность в решении поставленных задач диктуется логикой развития теории суммирования независимых случайных величин и потребностями в знании асимптотического поведения отношений Зп/Уп для решения многочисленных прикладных задач. В этой связи напомним классическую задачу, которая состоит в том, чтобы найти вещественные числа Ап и Вп> 0, п € Л^, такие, что последовательность функций распределения сумм слабо сходится к некоторой функции распределения. Решение этой задачи описано в монографиях [1] и [5]. В этих работах, в частности, указываются случаи, когда вместо нормирующих постоянных Вп можно взять случайные величины Уп, п <Е N.

Из числа задач, имеющих необычайно широкое применение в математической статистике, мы укажем на задачу об отыскании распределения ста Уп)\Уп=о = НтДХь .,Хп,Уп + е). (1.1)

1.2) тистики Стьюдента. Она определяется следующим образом гр Зп/Уп п ~ - -1)'

Мы привели модернизированное выражение для Тп по сравнению с классическим определением.

Статистика Стьюдента впервые была введена в употребление в 1908 году в статье [42]. С тех пор она и ее различные модификации широко используются в математической статистике и при решении прикладных задач. С внушительным списком приложений статистики Стьюдента в математической статистике можно ознакомиться по учебнику [9]. Там, в частности, указывается, что распределение статистики Тп можно вычислить, если случайные величины Х\:. ,Хп имеют общее центрированное нормальное распределение.

Если отказаться от предположения о нормальности случайных величин Х\,., ХП) то распределение статистики Тп вычислить не удается. В этой связи естественно использовать приближенные распределения. В этом случае знание предельных распределений для Зп/Уп, п Е N, может оказать существенную помощь.

Имеется целый ряд публикаций, посвященных исследованию свойств отношений Зп/Уп, п Е N. Предельные теоремы о слабой сходимости распределений указанных отношений при различных предположениях о случайных величинах изучались в статьях [2], [23], [25], [31], [32], [34], [36], [38]. В некоторых из перечисленных статей изучались также неасимптотические свойства отношений 3П/УП1 п Е N. Так, в работах [17], [23] и [41] указаны неравенства, которые являются аналогами известного неравенства Берри-Эссеена. В статье [32] доказаны утверждения об отношениях Зп/Уп: п Е N, напоминающие закон повторного логарифма для сумм независимых случайных величин.

Во всех упомянутых статьях, за исключением [2], рассматриваются независимые одинаково распределенные случайные величины Хп, п ^ N. В упомянутой статье [2] указаны условия слабой сходимости отношенийЗп!Уп п Е АГ, к нормальному распределению в предположении, что случайные величины Хп, п Е Ny независимы и симметричны. Наиболее законченные результаты об отношении Зп/Уп, п Е N, получены в предположении, что общая функция распределения случайных величин Хп, п Е N, принадлежит области притяжения нормального закона.

Итоги подведены в статье [25]. Там же указана дополнительная литература. Основное утверждение этой статьи состоит в том, что слабая сходимость распределений отношений п € N, к некоторому распределению, за одним исключением, равносильна принадлежности общей функции распределения Р случайных величин Хп, п € ./V, области притяжения некоторого устойчивого закона.

Ранее был известен один частный результат [31], состоящий в том, что слабая сходимость распределений отношений б^/К,, п £ к стандартному нормальному закону равносильна принадлежности ^ области притяжения нормального закона и одновременному выполнению условия ЕХ\ = 0. При этом выяснилась одна особенность. Если случайные величины Хп, п е N, имеют ненулевые математические ожидания, то последовательность отношений Зп/Уп, п <Е ЛГ, может не иметь слабых пределов. Соответствующий пример приведен в статье [31].

Может случиться, что ни при каком центрировании случайных величин Хп, пеИ, последовательность распределений отношений Зп/Уп, п Е N, не сходится слабо, но этим свойством обладают некоторые подпоследовательности Зтп/Утп, п € N. В этой связи естественно обобщить постановку первоначальной задачи. Одно из возможных обобщений состоит в том, чтобы рассматривать последовательности серий Хп\)., Хпп1т, п е -/V, независимых в каждой серии случайных величин. По данной серии можно построить сумму = ХП1 + • • • + Хпт^и сумму квадратов (Хп1 - аП1)2 -|----+ (Хптп - аПщп)2, где ап1). .,аптп, п € АГ, — надлежащим образом подобранные вещественные числа. При такой постановке проблемы можно надеяться получить более общие утверждения об отношении Еп/1¥т п £ N.

1. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. M.-JL: ГИТТЛ, 1949.

2. Егоров В. А. О б асмптотическом поведении самонормированных сумм случайных величин//Теория вероятн. и ее примен., 1996. т. 41, в. 3, с. 643-649.

3. Жукова Г.Н. Асимптотическое поведение статистики Стьюден-та//Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2004. N 3, стр. 37-42.

4. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1983.

5. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986.

6. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М.: Наука, 1965.

7. Ильин В. А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 2. М.: Наука-Физматлит, 2000.

8. Какан Л. Н., Линник Ю. В., Pao С. Р. Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука, 1972.

9. Крамер Г. Математические методы статистики. 2-е изд. М.: Мир, 1975.

10. Круглое В. М. К принципу инвариантности//Теория вероятн. и ее примен., 1997, т. 42, в. 2, с. 239-261.

11. Круглое В. М. Слабая сходимость случайных ломаных к винеровскому процессу//Теория вероятн. и ее примен., 1985, т. 30, в. 2, с. 209-218.

12. Круглое В.М. Об одном расширении класса устойчивых распределе-ний//Теория вероятн. и ее примен., 1972. 17, вып. 4. с. 723-732.

13. Круглое В.М., Петровская Г.Н. Слабая сходимость одного функционала/теория вероятн. и ее примен., 2001. 46, вып. 4. с. 779-784.

14. Круглое В. М., Чжан Во Предельные теоремы для максимальных предельных сумм//Теория вероятн. и ее примен., 1996, т. 41, в. 3, с. 520532.

15. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: изд-во иностр. лит., 1962.

16. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979.

17. Нагаев С. В. О больших уклонениях автонормированных сумм// Теор. вер. и ее примен., 2004, в печати.

18. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей//Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 176-238.

19. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

20. Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов. Киев: изд-во Киевского ун-та, 1961.

21. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1967.

22. Фукс А., Иоффе А., Тойгельс Дж. Математическое ожидание отношения суммы квадратов к квадрату суммы: точные и асимптотические результаты//Теор. вер. и ее примен. 2001. 46, вып. 2. с. 297 310.

23. Bentkus V., Gotze F. The Berry--Esseen bound for Student's statistic/Ann. Probab. 1996. 24. N 1. p. 491-503.

24. O'Brien G.L. A limit theorem for sample maxima and heavy branches in Galton-Watson trees//J. Appl. Prob., 17, 539-545 (1980).

25. Chistyakov G. P., Gotze F. Limit distributions of studentized means//Ann. Probab. 2004, v. 32, N 1. p. 28-77.

26. Csorgo S. Notes on extreme and self-normalized sums from the domain of attraction of a stable law//J. London Math. Soc. 1989. 39. N 2 p. 369-384.

27. Csorgo S., Haeusler E., Mason D. M. A probabilistic approach to the asymptotic distribution of sums of independent, identically distributed random variables//Adv. Appl. Math. 1988. 9. p. 259-333.

28. Darling D. A. The influence of the maximum term in the addition to independent random variables//Trans. Amer. Math. Soc., 1952, v. 73, pp. 95107.

29. Donsker M. D. An invariance principle for certain probability limit theo-rems//Mem. Amer. Math. Soc., 1951, N 6.

30. Erdos P., Kac M. On certain limit theorems in the theory of probabil-ity//Bull. Amer. Math. Soc., 1946, v. 52, p. 292-302.

31. Gine E., Gotze F., Mason D. M. When is the Student t-statistic asymptotically standard normal?//Ann. probab. 1997. 26. N 3. p. 1514-1531.

32. Gine E., Mason D. M. On the LIL for self-normalized sums of IID random variables//J. Theor. Probab. 1998. 11. N 2. p. 351-369.

33. Griffin P. S., Kuelbs J. D. Self-normalized laws of the iterated logarithms/Ann. Probab. 1989. 17. N 4. p. 1571-1601.

34. Griffin Ph. S.? Mason D. M. On the asymptotic normality of self-normalized sums//Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1991. v. 109, p. 597-610.

35. Kruglov V.M., Petrovskaya G.N. Weak convergence of self-normalized random poligonal lines//Journal of Mathematical Scienses 2002. 112. N 2. pp. 4145-4154.

36. LePage R., Woodroofe MZinn J. Convergence to a stable distribution via order statistics//Ann. Probab. 1981. 9. N 4. p. 624-632.

37. Levy P. Theorie de l'addition des variables aléatoires. Paris, 1937.

38. Logan B.F., Mallows G.L., Rice S.O., Shepp L.A. Limit distributions of self-normalized sums//Ann. Probab. 1973. 1. N 5. p. 788-809.

39. Mailer R. A. A note on domains of partial attraction//Ann. Probab. 1980. 8. N 3. p. 576-583.

40. Naresh Jain N. C., Orey S. Domains of partial attraction and tighteness conditions//Ann. Probab. 1980. 8. N 3. p. 584-599.

41. Shao Qi-Man Self-normalized large deviations//Ann. Probab. 1997. 25. N 4. p. 285-328.

42. Student The probable error of a mean//Biometrica, 1908. 6. p. 1-25.