Асимптотические аппроксимации для распределений случайных сумм и некоторые их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

КАШАЕВ Тимур Рустамовнч

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ СУММ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I

Москва, 2003 г.

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. Ю. Королев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Печинкин; доктор физико-математических наук, профессор А. Н. Чупрунов.

Ведущая организация:

Вологодский государственный педагогический университет.

Защита диссертации состоится « 19 » декабря 2003 г. в _11_ часов _00_ минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан «<Ц » 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

Н. П. Трифонов

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Асимптотическая теория случайного суммирования является активно развивающимся разделом теории вероятностей. В подтверждение этого упомянем монографии В. М. Круглова и В. Ю. Королева1 и Б. В. Гнеденко и В. Ю. Королева2, а также книги А. Гута3, В. В. Калашникова4 и недавно вышедшие монографии Д. С. Сильвестрова5, В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева® и JI. Б. Клебанова7, содержащие изложение как основ асимптотической теории случайного суммирования, так и описание специальных ее разделов. Не преуменьшая вклад остальных математиков, посвятивших свои работы исследованию тех или иных свойств случайных сумм, упомянем здесь лишь основополагающие работы Г. Роббинса8, который в схеме "нарастающих" сумм нашел достаточные условия сходимости распределений нецентрированных случайных сумм к масштабным, а неслучайно центрированных случайных сумм - к сдвиговым смесям нормальных законов; P. JI. ДобрушингР, обобщившего результаты Г. Роббинса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант; Б. В. Гнеденко, который, во-первых, совместно со своим учеником X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий10, и, во-вторых, поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости, первые шаги в решении которой были сделаны его учениками и прежде всего, А. В. Печинкиным11 (для случая сходимости к нормальному закону)

'В. М. Крутлов н В. Ю. Королев. Предельные теоремы для случайных сумм Изд-во Московского университета, Москва, 1990, 269 с.

*B. V. Gnedenko and V. Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorem» and Applications CRC Press, Boca Raton, 1996, 267 pp. - -

3A. Gut. Stopped Random Walks. Springer, New York, 1988.

4V. Kalashnikor. Geometric Sums: Bounds for Rare Events until Applications. Risk Analysis, Reliability, Queuetng. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1997.

6D. S. Silvestrov. Limit Theorems for Randomly Stopped Stochastic Processes Research reports 2002 1-4, Department of Mathematics and Physics, Malardalen University, VSsteras, 2002, 405 pp.

eV. E. Bening and V. Yu. Korolev. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance. VSP, Utrecht, 2002, 453 pp.

7L. B. Klebanov. Heavy-tailed Distributions. MATFYZ Press, Prague, 2003.

8H. Robbins. The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables. -Bull. Amer. Math. Soc., 1948, vol. 54, No. 12, p. 1151-1161.

eP. Л. Добрушин. Лемма о пределе сложной случайной функции. - Успехи математических паук, 1955, т. 10, No 2, с. 157-159.

"В. В. Гнеденко и X. Фахим. Об одной теореме переноса. -ДАН СССР, 1969, т. 187, Nol, с. 15-17.

11 А. В. Печинкин. О сходимости к нормальному закону сумм случайного числа случайных слагаемых. - Теория вероятностей « ее применения, 1973, т. 18, No 2, с 380-382.

и Д. Саасом12, для общего случая; В. М. Круглова, в частности, нашедшего необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм13; В. Ю. Королева, который, во-первых, совместно с В. М. Кругловым нашел окончательное решение задачи Гнеденко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых14, и, во-вторых, уточнил и обобщил упоминавшиеся выше результаты P. JI. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных незави-мых случайных процессов15. Последние результаты, в частности, позволили установить необходимые и достаточные условия слабой сходимости процессов риска как с детерминированными, так и со случайными премиями16.

Помимо теоретического интереса, задача об асимптотическом поведении распределений случайных сумм имеет еще и большое практическое значение. На практике часто приходится вычислять или распределения случайных сумм или их квантили. Например, к вычислению распределения специальной случайной суммы сводится задача определения вероятности разорения страховой компании по формуле Поллачека-Хинчина-Беекмана?7. К вычислению квантилей распределения случайной суммы сводится задача об отыскании оптимальных параметров страховой деятельности, например, ставки страховой премии, гарантирующей желаемую вероятность неразорения, или минимально допустимого резерва18. Точные вычисления в подобных задачах чрезвычайно затруднены, так как, во-первых, для их осуществления необходимо знать точные распределения как индекса (числа слагаемых в сумме), так и слагаемых, и, во-вторых, даже если указанные распределения полностью известны, сами вычисления как правило трудно реализуемы, так как замкну-

12Д. Саас. О классах предельных распределений для сумм случайного числа одинаково распределенных случайных величия. - Теория вероятностей и ее применения, 1972, т. 17, No3, с. 424-439; D. Szasz. Limit theorems for the distributions of the sums of a random number of random variables. -Annals of Mathematical Statistics, 1972, vol. 43, No. 6, p. 1902-1913.

"В. M. Круглое. Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величин. - Теория вероятностей и ее применения, 1998, т. 43, №2, с. 248-271.

"V. Yu. Korolev and V. М. Kruglov. A criterion of convergence of nonrandomly centered random sums of independent identically distributed random variables. - Journal of Mathematical Sciences, 1998, Vol. 89, No.

5, p. 1495-1506.

"V. Yu. Korolev. A general theorem on limit behavior of superpositions of independent random processes

with applications to Cox processes. - Journal of Mathematical Sciences, 1996, Vol. 81, No. 5, p. 2951-2956.

"В. E. Бенинг и В. Ю. Королев. Введение в математическую теорию риска МАКС Пресс, Москва,

2000, 184 е.; ОбФценные процессы риска. МАКС Пресс, Москва, 2000, 194 е.; V. Е. Bening and V. Yu

Korolev. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance VSP, Utrecht, 2002.

"см., например, В. E. Бенинг и В. Ю. Королев. Введение в математическую теорию риска. МАКС

Пресс, Москва, 2000,184 с.

"см., например, В. Е. Бенинг н В. Ю. Королев. Введение в математическую теорию риска. МАКС

Пресс, Москва, 2000, 184 е.; V. Е. Bening and V. Yu. Korolev. Generalized Poisson Models and Their

Applications in Insurance and Finance. VSP, Utrecht, 2002, 453 pp.

i

2

тые, конечные представления для распределений случайных сумм возможны лишь в некоторых специальных случаях. Таким образом, весьма актуальной является задача об изучении возможности использования тех или иных аппроксимаций для распределений случайных сумм и их точности.

Среди всех возможных подходов к построению аппроксимаций наиболее обоснованным, пожалуй, является тот, который ориентирован на использование асимптотических аппроксимаций. Под асимптотической аппроксимацией мы будем понимать приближение распределения случайной суммы с помощью предельного закона или с помощью некоторых конструкций, которые сближаются в определенном смысле с искомым распределением. К числу таких конструкций относятся, прежде всего, асимптотические разложения и "сопровождающие" смеси - специальные сдвиговые смеси законов, предельных для сумм неслучайного числа тех же слагаемых. Данная диссертация посвящена изучению возможности и точности асимптотических аппроксимаций для распределений случайных сумм.

В частности, в работе получены новые оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм в той ситуации, когда распределения слагаемых имеют тяжелые хвосты. В последнее время наблюдается устойчивый рост интереса к таким распределениям19. Это обусловлено, по-видимому, необходимостью изучения так называемых больших рисков, связанных с катастрофическими событиями. Известно много трактовок понятия "распределения с тяжелыми хвостами". В данной диссертации мы следуем подходу, в рамках которого под распределением с тяжелыми хвостами подразумевается распределение, принадлежащее области притяжения ненормального устойчивого закона. Для такого случая в диссертации найдены оценки точности приближения распределения случайной суммы с помощью а) устойчивого закона, б) предельной сдвиговой смеси устойчивых законов и в) "сопровождающей" дискретной смеси устойчивых законов. Полученные новые оценки обобщают и уточняют аналогичные оценки, найденные ранее для случая, когда слагаемые имеют конечные дисперсии20. Следуя терминологии, предложенной В. М. Золотаревым21, полученные оценки можно считать "естественными", поскольку они непосредственно связывают критерий и скорость сходимости.

Особое внимание уделено той ситуации, в которой индекс имеет пуассо-новское распределение. Такая ситуация традиционно популярна в актуарной математике. Наряду с упомянутыми выше оценками, для случая слагаемых с

"см., например, P. Embrechts, К. Klttppelberg and Т. Mikosch. Modeling Extremal Events. Springer, Berlin-New York, 1998; L. B. Klebanov. Heavy-tailed Distributions. MATFYZ Press, Prague, 2003.

20cm., например, В. M. Круглов и В. Ю. Королев. Предельные теоремы для случайных сумм Изд-во Московского университета, Москва, 1990, 269 с. и дальнейшие ссылки там.

31V. М. Zolotarev. Modern Theory of Summation of Random Variables. VSP, Utrecht, 1997.

конечными дисперсиями в диссертации получена оценка точности приближения распределения пуассоновской случайной суммы с помощью асимптотического разложения эджвортовского типа. В отличие от известных результатов об асимптотических разложениях для пуассоновских случайных сумм22, сформулированных в терминах о-символики, в диссертации явно выписана оценка остаточного члена. Эти результаты переносят аналогичные результаты JI. В. Осипова23 для сумм неслучайного числа независимых случайных величин24 на пуассоновские случайные суммы.

Большое внимание в диссертации уделено изучению асимптотического поведения так называемых обобщенных процессов риска. Эти процессы характеризуются случайностью интенсивности поступления страховых цремий и интенсивности страховых выплат. С формальной точки зрения обобщенные процессы риска представляют собой особым образом центрированные случайные суммы. Такие объекты интересны в силу следующего обстоятельства. Традиционно изучается асимптотическое поведение случайных сумм либо при неслучайном центрировании их константами, либо при случайном их центрировании случайными величинами, напрямую связанными с числом слагаемых. Обобщенные же процессы риска занимают как бы промежуточное положение между этими двумя случаями. Они представляют собой случайные суммы, центрированные специальными случайными величинами - условными математическими ожиданиями числа слагаемых относительно накопленной интенсивности поступления страховых требований. Случай, когда слагаемые - страховые требования - имеют конечные дисперсии, хорошо изучен. Соответствующая асимптотическая теория изложена в книгах В. Е. Бенин-га и В. Ю. Королева25. В диссертации изучается асимптотическое поведение обобщенных процессов риска в том случае, когда распределение страховых требований принадлежит области притяжения устойчивого закона. Получены необходимые и достаточные условия сходимости распределений таких обобщенных процессов риска, показано, что в таком случае предельные распределения имеют вид сдвиговых смесей устойчивого закона, притягивающего распределение слагаемых. Найдены оценки точности приближения распре-

22см., например, Н. Cramer. Collectwe Risk Theory. Skandia Jubilee Volume, Stockholm, 1955. R. Von Chossy and G. Rappl. Some approximation methods for the distribution of random sums. -Insurance: Mathematics and Economics. 1983, vol. 2, p. 251-270; V. E. Boning and V. Yu. Korolev. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance VSP, Utrecht, 2002, 453 pp.

23 Л. В. Осшхов. Об асимптотических разложениях функции распределения суммы случайных величин с неравномерными оценками остаточного члена.-Вестник Ленинградского университета,19П, Nol, с.51-59.

24В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин "Наука", Москва, 1972.

25В. Е. Бенштг и В. Ю. Королев. Обобщенные процессы риска. МАКС Пресс, Москва, 2000, 194 с. V. Е. Bening and V. Yu. Korolev. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance VSP, Utrecht, 2002, 453 pp.

деления обобщенных процессов риска с большими выплатами с помощью а) предельной сдвиговой смеси устойчивых законов и б) "сопровождающей" дискретной смеси устойчивых законов. Следует отметить, что в качестве частного случая для ситуации, в которой требования имеют конечные дисперсии, здесь получены оценки, структура которых существенно более естественна, нежели у известных ранее оценок.

В диссертации также рассмотрен пример применения оценок точности ■ асимптотических аппроксимаций для распределений случайных сумм к решению конкретной задачи из области теории риска - задачи оптимизации параметров страховой деятельности. При этом используегся неклассический стоимостной подход, в рамках которого оптимизируются (минимизируются) суммарные издержки страховой компании за некоторый фиксированный период времени. Стоимостной подход к задачам страхования тесно связан с задачами управления запасами и разрабатывался, в частности, в работах А. Кофмана26, Г. В. Ротарь27 и Е. В. Булинской 28. Решение рассматриваемой задачи сводится к отысканию корня некоторого уравнения, связанного с распределением суммарного страхового требования. Поскольку точное решение этого уравнения возможно только при полностью известных распределениях страховых требований и их числа, чего на практике, вообще говоря, быть не может, с помощью оценок точности асимптотических аппроксимаций для распределений случайных сумм в диссертации приводятся двусторонние оценки для решения упомянутого уравнения. Рассмотрены некоторые возможные способы задания издержек. Обсуждается точность полученных оценок.

Цель работы.

Целью данной диссертации является изучение асимптотических аппроксимаций для распределений случайных сумм, у которых распределения слагаемых имеют тяжелые хвосты, обобщенных процессов Кокса, обобщенных процессов риска; а также отыскание двусторонних оценок оптимального значения количества продукта в задаче минимизации издержек при управлении запасами.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

2бА. Кофман. Методы и модели исследования операций "Мир", Москва, 1966.

"Г. В. Ротарь. Одна задача управления резервом. - Теория вероятн. и ее примеи, 1972, т. 17, вып. 3; Некоторые задачи планирования резерва Дне на соиск. уч. ст. канд.физ.-матем. наук,ЦЭМИ,Москва,1972.

МЕ. В. Булинская. О стоимостном подходе в страховании. - Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003, в печати.

• Получена неравномерная оценка точности приближения распределения пуассоновских случайных сумм с помощью асимптотических разложений эджвортовского типа.

• Получены "естественные" оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм, в которых распределения слагаемых имеют тяжелые хвосты.

• Найдены необходимые и достаточные условия сходимости распределений обобщенных процессов Кокса с большими скачками и обобщенных процессов риска с большими выплатами; описаны предельные законы и получены оценки точности приближения распределений предельными законами.

• В задаче минимизации издержек при управлении запасами получены уравнения для оптимального значения количества продукта и получены двусторонние оценки для его решения. Эти результаты применены к задаче оптимизации параметров страховой деятельности, описываемой классическим процессом риска.

Методы исследования.

В работе используются классические методы теории вероятностей. В основе полученных в диссертации предельных теорем лежит обобщение и уточнение леммы Р. Л. Добрушина29, доказанное в работе В. Ю. Королева?0; в основе оценок скорости сходимости лежит Теорема 2.2.1, доказанная во второй главе, которая дает "естественную" оценку скорости сходимости распределений случайных сумм к устойчивым законам.

Теоретическая и практическая значимость.

Особенностью представленных в диссертации результатов, отличающей их от предыдущих, является отказ от условия существования второго момента у слагаемых случайных сумм, что позволяет рассматривать существенно более широкие классы случайных величин. Кроме того, полученные двусторонние оценки оптимального количества продукта в задаче управления запасами и оценки начального капитала в задаче минимизации издержек страховой компании могут быть непосредственно применены на практике.

seP. Л. Добрушин. Лемма о пределе сложной случайной функции. - Успеет» математических наук, 1955, т. 10, No 2, с. 157-159.

MV. Yu. Korolev. A general theorem on limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes. - Journal о/ Mathematical Sciences, 1996, Vol. 81, No. 5, p. 2951-2956.

Апробация работы и публикации.

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на XIX Международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей в Вологде, Россия (1998 г.), на XXII Международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей в Варне, Болгария (2002 г.), на семинаре, посвященном 60-летию В. В. Калашникова, Петрозаводск, Россия (2002), а также на семинарах кафедры математической статистики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 61 наименование. Общий объем работы состовляет 115 страницы.

2 Краткое содержание диссертации

Диссертация посвящена асимптотическим аппроксимациям для распределений случайных сумм. Пусть слагаемые этих сумм - независимые одинаково распределенные случайные величины.

В первой главе в разделе 1.1 приводятся известные равномерные и неравномерные оценки скорости сходимости распределений сумм случайных величин Sn = X1 + ... + Хп и пуассоновских сумм S\ = Х\ + ... + (N\ - пуассоновская случайная величина с параметром А, при каждом значении Л независима от {-Xi}i>i) к нормальному закону. В разделе 1.2 доказывается аналог известной теоремы31 о неравномерных оценках точности асимптотических разложений распределений сумм независимых случайных величин для пуассоновских случайных сумм S\. Обозначим через IR множество действительных чисел, Ф(х) и ф{х) - функцию распределения стандартного нормального закона и ее плотность соответственно, v(t) - характеристическую функцию случайной величины Х\.

ТЕОРЕМА 1.2.3. Пусть EXi = 0, 0 < EX* = er2, E|Xi|* < оо для некоторого целого к > 3. Тогда для любого Л > 0 « любого 1бЕ мы имеем

31см., например, В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин "Наука", Москва, 1972.

<

С{г)\а~Г л-(—2>/2(1 + |z|)- / \y\rdV(y)+

+о"~г~"1Л~'г-1^2(1 + |ж|)-г_1 / \y\T+1dV(y)+

|y|<WÂ(l+|®|)

( 1\л Ar(r+1^2 1

+ ЬЖ1 + 2л) (Î+NFJ' (1АЗ)

где С (г) - положительная постоянная, зависящая только от г,

где суммирование производится по всем целочисленным неотрицательным решениям (fcj, fo, ■ ■■,kv) уравнения ki+2k^ +.. . + vk„ = v, s — ki + ... + k„, ak - момент порядка k, H).(x) - полином Чебышева-Эрмита порядкак.

СЛЕДСТВИЕ 1.2.1. Пусть E-Xi = a, E|Xi|r+1 < оо для некоторого целого г > 3. Тогда для любого А > 0 и любого х € К мы имеем

(i+м^Кдач < •) -- m'i Wis

s fewt)l ■+à)Ay"tl,/î)'

где C(r) - положительная постоянная, зависящая только от г и S, введенная в Теореме 1.2.8.

Во второй главе рассматриваются оценки скорости сходимости распределений случайных сумм. Предполагается, что общая функция распределения F(x) случайных величин {-Х»}«>1 принадлежит области притяжения устойчивой функции распределения Ga(x) с характеристическим показателем а е (1,2], то есть существуют вещественные а„ и Ьп > 0 такие, что

(п оо), (2.2.1)

Ьп

где Р(Ya < х) — Ga(x), а символом "=>" здесь и далее обозначается слабая сходимость. Как известно?2, существует медленно меняющаяся функция b(t) такая, что (2.2.1) выполнено при bn = b(n)nl/a.

Равномерное расстояние между функциями распределения^ и G обозначим p(F,G), p(F,G) = supj. |^(х)—G(x)\. "Сглаженное" равномерное расстояние между функциями распределения F и G обозначим p(F, G), p(F, G) =

исм., например, H. G. Tucker. Convolutions of distributions attracted to stable laws.-Ann. Math. Statut, 1968, vol. 39, p. 1381-1390.

p((F*H)(x), (G*H)(x)), где H - функция распределения, обладающая ограниченной плотностью. Обозначим

А„ = ря(р < *) , ед) , m = Рн (р [SNe~{ef] < - g. («)) •

Пусть Ng - целочисленная неотрицательная случайная величина, распределение которой зависит от некоторого параметра 9 > О независимая от последовательности {Jfi}i>i при каждом значении в. Обозначим Sjy, = Xi + ... + Xns и предположим, что существуют функциис(в) и d[ß) такие, что

{в -» оо). (2.2.10

Для оценки величины А(в) в разделе 2.2 доказана

ТЕОРЕМА 2.2.1. Для любых в G (0, оо) « 6 6 (0,1) справедлива оценка

А (в) < ЦАпЦЪеКЯ+тах^, gj Eniin {«, - l|}+ + min|(Çff + l)W,Eo), '

где

K = {n: \bn - dm < ed(6)}, Fe(x) = P < *) ,

С (a) = sup |гфа(ж), Сн = sup H'(x),

X X

L( ■, ■ ) - метрика Леей, Eq(x) - функция распределения с единственным единичным скачком в нуле, ра{х) - плотность устойчивого закона с параметром a, Paix) = G'Jx). г Эту оценку, следуя терминологии, предложенной В. M.Золотаревым53, мож-

( но считать "естественной", поскольку она связывает скорость сходимости с

критерием сходимости. I В разделе 2.3, приводится аналогичная оценка скорости сходимости рас-

пределений случайных сумм к устойчивому закону в терминах равномерной метрики.

В разделе 2.4 рассматривается частный случай, когда а^ = on, 6« = bn1^", целочисленная случайная величина Ne — N\ имеет распределение Пуассона с параметром Л > 0, с{в) = а\, d(9) = 6Л1/а. Обозначим

А«=Кр < *) '' д'(л)=' (р <х) •■

53 V. M. Zolotarev. Modern Theory о] Summation of Random Variablei VSP, Utrecht, 1997.

Некоторые оценки Д* приведены в работе Кристофа и Вольфа?4. Обозначим характеристические функции, соответствующие распределениям F(х) — P(Xi < х) и Ga(х), соответственно через f(s) и ga(s), s € IR. Пусть г > 0 и vT — vT(F — Go) - такой функционал от разности функций распределения F(x) и Ga(x), что при некоторых А > 0 и б > 0 для всех s € (—е, е) выполнено неравенство

\№-9c(S)\ < АМЧ. (2-4.1)

ТЕОРЕМА 2.4.2. Пусть а € (1,2) и соотношение (24-1) выполнено при а < г < 1 + а. Тогда для любых А > 0 и е € (0,1) справедлива оценка

л*п\<> CoKr) i/(r+ih . , 1 /1 ОД1

Co(a,r) - конечная положительная постоянная, зависящая только ото и г.

В разделе 2.5 приведена оценка точности аппроксимации распределений случайных сумм "сопровождающими" сдвиговыми смесями устойчивых законов. Обозначим

Wa¿(x) = (Ga * Fo)(x), Д(0) = рн (р < *) , И^ф) .

Теорема 2.5.1. Для любых в е (О, оо) ие£ (0,1) справедлива оценка

Д(0) < E[AWel(iVeeM)]+niax0, ^jEmuije,

В Теореме 2.5.2 приводится аналогичная оценка в терминах равномерной метрики. Для пуассоновских случайных сумм, в которых функция распределения слагаемых принадлежит к области нормального притяжения устойчивого закона Ga, получено следующее утверждение. Обозначим

F¿(x) = р (а(^7аЛ) < , WM = (Ga*F*x)(x),

ТЕОРЕМА 2.5.3. Пусть a g (1,2) и соотношение (2-4-1) выполнено при а < г < 1 + а. Тогда для любых А > 0 и е € (0,1) справедлива оценка

s < СЬ^.шахК,^)} 1 |1 СЩ V J - Д(г-а)/в (1-е)" VÄ Iе 1-е/

34G. Christoph and W. Wolf. Convergence Theorems with a stable limit law. Akademie Verlag, Berlin, 1993.

d(6)

-1

В разделе 2.6 приведена оценка скорости сходимости распределений случайных сумм к сдвиговым смесям устойчивых законов. Обозначим везде далее символом сходимость по вероятности. В книге?5 доказано следующее утверждение.

ТЕОРЕМА А. Предположим, что Nn оо, имеет место слабая сходимость

ELi Xj-na

Ъ(п)пУ° =*Y° <n-°°>' W

a € IR. Случайные величины Zn = ffo*. сходятся по распределению

b{n)n1ia

к некоторой случайной величине Z, при п —^ оо тогда и только тогда, когда существует случайная величина V такая, что Z = Ya + V (причем случайные величины Ya uVJ независимы, и

Д. " и ' V, (П-УОО).

6(71)71!/« 4 '

Предельным законом в Теореме А является свертка (Ga *F)(x), где F(x) — P(V < х), которая может рассматриваться как сдвиговая смесь устойчивого распределения Ga при смешивающем распределении F(x). В обозначениях, введенных перед формулировкой Теоремы 2.2.1, рассмотрим общую ситуацию и предположим, что

ТЕОРЕМА 2.6.1. Для любых в € (0, оо) и е е (0,1) справедлива оценка

№ (Р {—¿gf1 < *) . 'С- » P)W) < Е[Ал'Д(Л'. € Л01+

Аналогичная оценка для равномерной метрики приведена в Теореме 2.6.2.

Третья глава посвящена асимптотическому поведению обобщенных процессов Кокса с большими скачками. Пусть Ni(t), t > 0, - однородный пуас-соновский процесс с единичной интенсивностью, а Л(t), t > 0, - независимый от N\(t) процесс, обладающий следующими свойствами: Л(0) = О,

"В. V. Gnedenko and V. Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications CRC Press, Boca Raton, 1996, 267 pp.

P(A(i) < оо) = 1 для любого t > О, траектории Л(t) не убывают и непрерывны справа. Дважды стохастический пуассоновский процесс iV(t), называемый также процессом Кокса, определяется как суперпозиция Ni (t) и A(t): N(t) = Ni(A(t)) (t > 0). В этом случае будем говорить, что процесс Кокса N(t) управляется процессом Л (t).

Пусть Xi,X2,... - случайные величины с общей функцией распределения F(х). Предположим, что при каждом t > 0 случайные величины N(t), Xi,X2,... независимы. Процесс

m

s(t) = Е Xj (t > о) (3.1.1)

i=i

называется обобщенным процессом Кокса.

Пусть общая функция распределения F(x) случайных величин Х\,Х2,... притягивается к Ga(х) и имеет место слабая сходимость (*). Рассмотрим асимптотическое поведение случайных величин

ТЕОРЕМА 3.3.1. Предположим, что Л (t) оо при t —> оо, а случайные величины Х\,Х2, •• • удовлетворяют условию (*). Случайные величины Z(t), определяемые соотношением (S.1.S), сходятся по распределению к некоторой случайной величине Z при t —> оо тогда и только тогда, когда существует случайная величина V такая, что Z = Ya + V (причем случайные величины Ya и V независимы), и

С—)■ (3.3.3)

Оценка скорости сходимости (3.1.2) при условии 6(f) = b содержится в следующем утверждении

ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть ЕЛ (г) — t, а € (1,2) и соотношение (2.4-1) выполнено при а < г < 1 + а. Тогда для любого натурального к, любых t > 0, S € (0,1) ueê (0,1) справедлива оценка

(n(S{t)~at \ Л ^ , .maxii/r,!^/^1)}

РИ (Р < Х) ' {Ga * - Kl{a'Г>e)-1"«)/« +

Л (t)

+K2(a, e, + K3(k, b, a) ¿к{2_ау{2Ш) +KA{a, e, S)E

-1 t

+p„(F^\ F),

= *О = max {? Й} +

вдд«0 = [(2fc - I)iq WD(1 + Сд) g)M/(№fl),

Co - абсолютная постоянная из неравенства Берри-Эссеена, Cq < 0.7655, Со (а, г) - константа из Теоремы 2-4-2, С(а) определена в Теореме 2.2.1, F - функция распределения случайной величины V.

Четвертая глава посвящена асимптотическому поведению обобщенных процессов риска при возможности больших выплат. Обобщенным процессом риска называется случайный процесс

т

R(t) = cA(t) -EX, (t > 0), (4.1.2)

j=i

где N(t) - случайный процесс Кокса, управляемый процессом A(t) и при каждом t > 0 случайные величины N(t) и Л(£) независимы от независимых одинаково распределенных (неотрицательных) случайных величинах, ... Модель (4.1.2) учитывает непостоянство интенсивности процесса заключения страховых договоров, поскольку можно считать, что в модели (4.1.2) среднее число выплат N(t) пропорционально количеству страховых договоров в портфеле страховой компании, которое, в свою очередь, пропорционально A(t).

Пусть общая функция распределения F(x) случайных величин Х\,Х?,... притягивается к Ga(x) и имеет место слабая сходимость (*). Рассмотрим асимптотическое поведение случайных величин

ад-^м с—>. <«.з)

ТЕОРЕМА 4.2.1. Предположим, что A(t) оо при t оо, а страховые требования Х\,Хг,... удовлетворяют условию (*). Случайные величины Z(t), определяемые соотношением (4.1.3), сходятся по распределению к некоторой случайной величине Z при i —> оо, тогда и только тогда, когда существует случайная величина V такая, что Z = —Ya + V (причем случайные величины Ya и V независимы), и

Обозначим Р{х) = Р(У < х). Легко видеть, что случайная величина 2 в Теореме 4.2.1 имеет функцию распределения (1 — <2а(-х)) * Р{х). Оценка скорости сходимости (4.1.3) при условии Ь(£) = Ь содержится в следующем утверждении.

Теорема 4.4.2. Пусть а £ (1,2) и соотношение (2-4-1) выполнено при а < г < 1 + а. Тогда для любых £ > 0, е е (0,1) м <5 £ (0,1) справедлива оценка

™ (р {m'J.'a}> < ') ■ " -G»<-*)> • ?'*>) S

(1 - i)Q(l - е)Т~Ч(г-аУа

- il С (a) 1

+ + ф YZgj,

C2(a)a2 __

Щ1 - е)2-^(2-а)/а ' ^ _ £yt 1

где Co(a, r) - константа из Теоремы 2-4-2, определена в Теореме 2-4-2,С(а) определена в Теореме 2.2.1, Сг(а) = ¿supxpia(x), ра(х) = G'a(x).

В случае а = 2 предельным законом для Z(t) является смесь нормального распределения.

ТЕОРЕМА 4.4.3. Для любых t > 0 и б £ (0,1) справедлива оценка

т |р рис-«» < ^ _ (ф, < n{Fu h+

где Со - абсолютная постоянная в неравенстве Берри-Эссеенц Со < 0.7655.

Пятая глава посвящена задачам оптимального планирования резерва и начального капитала страховой компании. Пусть в момент t = 0 на складе имеется и единиц некоторого продукта. В течение интервала времени [0, Т\ поступают заявки о поставке этого продукта на склад или отгрузке со склада. Пусть X, - количество единиц продукта, которое должно быть поставлено (изъято со склада) в соответствии с г-й заявкой. Если N{t) - количество заявок, поступивших в течение интервала времени [0,t] (0 < t < Т), то суммарное количество продукта, которое должно быть поставлено за время

m

[ОД очевидно, имеет вид S(t) = J2 X,. При этом владельцы склада несут

издержки двух видов. Во-первых, это издержки, связанные с хранением продукта. Пусть ci(i) - издержки на хранение единицы продукта в момент t.

Во-вторых, это издержки, связанные с невозможностью выполнения заявки из-за нехватки продукта на складе. Пусть сг(*) - издержки, связанные с нехваткой единицы продукта в момент t. Тогда средние суммарные издержки за период [О, Т] равны

т т

D(u) = / ci(i)E(u - S(t))+dt + ] ca(i)E(5(i) - u)+dt. (5.1.1)

о о

Рассматривается задача минимизации издержек в зависимости от величины и, то есть задача об отыскании такого щ, что D(uq) = min D(u). В работе показано, что щ является решением уравнения

т т

/[ci(i) + c2(i)]P(S(i) < u)dt = J c2(t)dt. (5.1.2)

о о

tri V 13

Обозначим EXi = га, EXf = L3 = Co—Co ~ абсолютная постоянная

в неравенстве Берри-Эссеена, Cq < 0.7655.^0 смыслу содержательной задачи предположим, что m > 0. Пусть cj(f) = c\tn, Oi(t) — c2i" при некотором целом неотрицательном п. Обозначим 6 = СгДй + с2). Верна

Теорема 5.3.1. Пусть то > 0, фг{\Т) < S < 1 - ^i(AT). 1Ыа тЛТ"+1гуп((5 - ^(ЛТ)) < гю < тЛТт+1к;п((5 + Vi(AT)), где wn(C) - положительное решение уравнения

2±1 f (J£j\k + _n-t+i _ с з б)

^¿o^mW fclin-fe + l)!^ (5'3'6j

, . ft + 1 L3 n + 1 /Tü" n+l ¿3 . (2n +1)! / ß2 \n+1

Эта задача переформулирована в терминах актуарной математики и получены аналогичные результаты для начального капитала страховой компании, а также решены задачи о гарантированных оценках для оптимальной ставки страховой премии и времени достижения желаемого значения резерва.

Работа выполнена под руководством профессора Виктора Юрьевича Королёва, которому автор выражает искреннюю признательность.

3 Список публикаций автора по теме диссертации

1. Т. Р. Катаев и В. Ю. Королев. Об оптимальном планировании резерва с приложениями к страхованию. - Вестник Московского университета, Серия 15, вычислительная математика и кибернетика, 1999, вып. 2, с. 40-48.

2. Т. Р. Катаев, В. Ю. Королев и С. Я. Шоргин. Математические методы оценки оптимальных параметров процессов риска. - В сб. Системы и средства информатики Изд-во ИПИ РАН, Москва, 2002, с. 127-141.

3. Т. R. Kashaev and V. Yu. Korolev. Natural estimates of the accuracy of approximation of the distributions of random sums by location mixtures of stable laws. - Journal of Mathematical Sciences, 2004 (to appear).

4. Т. P. Катаев и В. Ю. Королев. Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска при возможности больших выплат. - Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003 (в печати).

5. Т. Р. Катаев. Об оптимальном планировании резерва и начальном капитале страховой компании с непостоянными функциями издержек. -Вестник Московского университета, Серия 15, вычислительная математика и кибернетика, 2003, (в печати).

6. Т. Р. Катаев и В. Ю. Королев. On the optimal starting capital and premium rate in insurance. - XIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Vologda, 5-12 September, 199& Abstracts of Communications. Vologda State Pedagogical University, Vologda, 1998, p. 26-27.

7. T. R. Kashaev, V. Yu. Korolev and S. Ya. Shorgin. Some optimization problems for the parameters of risk process. - in: XXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Varna, Bulgaria, 25-31 May, 2002, Abstracts of Communications, p. 41-42.

8. T. R. Kashaev, V. Yu. Korolev and S. Ya. Shorgin. Optimization problems for the parameters of risk processes. - in: Applied Stochastic Models and Information Processes. Memorial seminar dedicated to the 60th birthday of Vladimir Kalashnikov. 8-13 September, 2002, Petrozavodsk. Abstracts of Communications, p. 80-81.

Издательство ООО "МАКС Пресс". Лицензия ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 13.11.2003 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 877. Тел. 939-3890,939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В.Ломоносова.

2o

Введение

1 Оценки точности асимптотических аппроксимаций для обобщенных пуассоновских распределений

1.1 Оценки точности нормальнрй аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм.

1.2 Оценки точности приближения обобщенных пуассоновских распределений с помощью соответствующих асимптотических разложений

2 Естественные оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм сдвиговыми смесями устойчивых законов

2.1 Естественные оценки.

2.2 Естественные оценки скорости сходимости распределений случайных сумм к устойчивым законам.

2.3 Оценки скорости сходимости распределений случайных сумм к устойчивым законам в равномерной метрике

2.4 Оценки точности аппроксимации устойчивыми законами распределений пуассоновских случайных сумм, в которых слагаемые имеют тяжелые хвосты.

2.5 Оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм "сопровождающими" сдвиговыми смесями устойчивых законов

2.6 Оценки скорости сходимости распределений случайных сумм к сдвиговым смесям устойчивых законов.

3 Асимптотическое поведение обобщенных процессов

Кокса с большими скачками

3.1 Обобщенные процессы Кокса.

3.2 Лемма об асимптотическом поведении суперпозиций независимых случайных процессов.

3.3 Основная теорема о сходимости обобщенных процессов Кокса с большими скачками.

3.4 Оценки скорости сходимости обобщенных процессов Кокса с большими скачками

4 Асимптотическое поведение обобщенных процессов риска при возможности больших выплат

4.1 Обобщенные процессы риска.

4.2 Основная теорема об асимптотическом поведении обобщенных процессов риска при возможности больших выплат.

4.3 Обобщенные процессы риска с пакетным поступлением страховых требований.

4.4 Оценки точности аппроксимации распределений обобщенных процессов риска с большими выплатами сдвиговыми смесями устойчивых законов.

5 Об оптимальном планировании резерва и начальном капитале страховой компании

5.1 Об оптимальном планировании резерва.

5.2 Оценки для оптимального резерва.

5.3 Оценки для оптимального резерва с непостоянной функцией издержек.

5.4 Об оптимальном начальном капитале страховой компании.

5.5 Оценки для начального капитала страховой компании.

5.6 Гарантированные оценки для оптимальной ставки страховой премии и времени достижения желаемого значения резерва.

5.7 Оптимизация параметров процесса риска, связанная с нежелательностью избыточного размера стартового капитала

Суммы случайного числа случайных величин (для краткости мы будем использовать термин "случайные суммы") играют важную роль в математическом моделировании многих процессов и явлений. Многочисленные примеры задач из самых различных областей науки и практики, в которых случайные суммы являются базовыми математическими моделями, можно найти, например, в монографиях В. М. Круглова и В. Ю. Королева (Круглов и Королев, 1990) и Б. В. Гнеденко и В. Ю. Королева (Gnedenko and Korolev, 1996). Здесь же мы ограничимся упоминанием лишь тех приложений, о которых пойдет речь в диссертации. К их числу в первую очередь относится теория риска - математическая теория страхования. Здесь нецентрированные случайные суммы являются моделями суммарных страховых требований (выплат) за некоторый промежуток времени; центрированные случайные суммы являются моделями остаточного резерва страховых выплат. В последнем случае центрирование может осуществляться как неслучайными величинами (что соответствует детерминированному поступлению страховых премий), так и случайными величинами (что соответствует случайным страховым премиям и, возможно, учету других случайных факторов, влияющих на величину резерва).

Асимптотическая теория случайного суммирования является активно развивающимся разделом теории вероятностей. В подтверждение этого в дополнение к уже упоминавшимся монографиям (Круглов и Королев, 1990) и (Gnedenko and Korolev, 1996) упомянем книги А. Гута (Gut, 1988), В. Ю. Королева (Королев, 1997), В. В. Калашникова (Kalashnikov, 1997) и недавно вышедшие монографии Д. С. Сильвестрова (Silvestrov, 2002), В. Е. Бенинга и В. Ю. Королева (Bening and Korolev, 2002)и Jl. Б. Клебанова (Klebanov, 2003), содержащие изложение как основ асимптотической теории случайного суммирования, так и описание специальных ее разделов. Не преуменьшая вклад остальных математиков, посвятивших свои работы исследованию тех или иных свойств случайных сумм, упомянем здесь лишь основополагающие работы Г. Роббинса (Robbins, 1948), который в схеме "нарастающих" сумм нашел достаточные условия сходимости распределений нецентрированных случайных сумм к масштабным, а неслучайно центрированных случайных сумм - к сдвиговым смесям нормальных законов; P. JL Добрушина (Добрушин, 1955), обобщившего результаты Роббинса на произвольные случайно индексированные случайные последовательности при специальном выборе центрирующих и нормирующих констант; Б. В. Гнеденко, который, во-первых, совместно со своим учеником X. Фахимом доказал знаменитую теорему переноса, устанавливающую достаточные условия слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых в схеме серий (Гнеденко и Фахим, 1969), и, во-вторых, поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий упомянутой сходимости, первые шаги в решении которой были сделаны его учениками и прежде всего, А. В. Печинкиным (Печинкин, 1973) (для случая сходимости к нормальному закону) и Д. Саасом (Саас, 1972), (Szasz, 1972) для общего случая; В. М. Круглова, в частности, нашедшего необходимые и достаточные условия слабой компактности случайных сумм (Круглов, 1998); В. Ю. Королева, который, во-первых, совместно с В. М. Кругловым нашел окончательное решение задачи Гнеденко-Сааса о необходимых и достаточных условиях слабой сходимости случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных слагаемых (Korolev and Kruglov, 1998), и, во-вторых, уточнил и обобщил упоминавшиеся выше результаты P. JI. Добрушина, указав необходимые и достаточные условия слабой сходимости суперпозиций произвольных незавимых случайных процессов (Korolev, 1996). Последние результаты, в частности, позволили установить необходимые и достаточные условия слабой сходимости процессов риска как с детерминированными, так и со случайными премиями (Бе-нинг и Королев, 2000а), (Бенинг и Королев, 2000b), (Bening and Korolev, 2002).

Помимо теоретического интереса, задача об асимптотическом поведении распределений случайных сумм имеет еще и большое практическое значение. Дело в том, что на практике часто приходится вычислять или распределения случайных сумм или их квантили. Например, к вычислению распределения специальной случайной суммы сводится задача определения вероятности разорения страховой компании по формуле Поллачека-Хинчина-Беекмана, см., например, (Бенинг и Королев, 2000а). К вычислению квантилей распределения случайной суммы сводится задача об отыскании оптимальных параметров страховой деятельности, например, ставки страховой премии, гарантирующей желаемую вероятность неразорения, или минимально допустимого резерва (см., например, (Бенинг и Королев, 2000а), (Bening and Korolev, 2002)). Точные вычисления в подобных задачах чрезвычайно затруднены, так как, во-первых, для их осуществления необходимо знать точные распределения как индекса (числа слагаемых в сумме), так и слагаемых, и, во-вторых, даже если указанные распределения полностью известны, сами вычисления как правило трудно реализуемы, так как замкнутые, конечные представления для распределений (или их эквивалентных преобразований) случайных сумм возможны лишь в некоторых специальных случаях. Таким образом, весьма актуальной является задача об изучении возможности использования тех или иных аппроксимаций для распределений случайных сумм и их точности.

Среди всех возможных подходов к построению аппроксимаций наиболее обоснованным, пожалуй, является тот, который ориентирован на использование асимптотических аппроксимаций. Под асимптотической аппроксимацией мы будем понимать приближение распределения случайной суммы с помощью предельного (при тех или иных условиях) закона или с помощью некоторых конструкций, которые сближаются в определенном смысле с искомым распределением. К числу таких конструкций относятся, прежде всего, асимптотические разложения и "сопровождающие" смеси - специальные сдвиговые смеси законов, предельных для сумм неслучайного числа тех же слагаемых. Данная диссертация посвящена изучению возможности и точности асимптотических аппроксимаций для распределений случайных сумм.

В частности, в диссертации получены новые оценки точности аппроксимации распределений случайных сумм в той ситуации, когда распределения слагаемых имеют тяжелые хвосты. В последнее время наблюдается устойчивый рост интереса к таким распределениям, см., например, книги (Embrechts and Kluppelberg and Mikosch, 1998), (Klebanov, 2003). Это обусловлено, по-видимому, необходимостью изучения так называемых больших рисков, связанных с катастрофическими событиями. Известно много трактовок понятия "распределения с тяжелыми хвостами". В данной диссертации мы следуем подходу, в рамках которого под распределением с тяжелыми хвостами подразумевается распределение, принадлежащее области притяжения ненормального устойчивого закона. Для такого случая в диссертации найдены оценки точности приближения распределения случайной суммы с помощью а) устойчивого закона, б) предельной сдвиговой смеси устойчивых законов и в) "сопровождающей" дискретной смеси устойчивых законов. Полученные новые оценки обобщают и уточняют аналогичные оценки, найденные ранее для случая, когда слагаемые имеют конечные дисперсии (см., например, (Круглов и Королев, 1990) и дальнейшие ссылки там). Следуя терминологии, предложенной В. М. Золотаревым (Zolotarev, 1997), полученные оценки можно считать "естественными", поскольку они непосредственно связывают критерий и скорость сходимости.

Особое внимание уделено той ситуации, в которой индекс имеет пуас-соновское распределение. Такая ситуация традиционно популярна в актуарной математике. Наряду с упомянутыми выше оценками, для случая слагаемых с конечными дисперсиями в диссертации получена оценка точности приближения распределения пуассоновской случайной суммы с помощью асимптотического разложения эджвортовского типа. В отличие от известных результатов об асимптотических разложениях для пуассо-новских случайных сумм (см., например, работы Г. Крамера (Cramer, 1955), Фон Хосси и Раппла (Von Chossy and Rappl, 1983), В. E. Бенин-га и В. Ю. Королева (Bening and Korolev, 2002)), сформулированных в терминах о-символики, в диссертации явно выписана оценка остаточного члена. Эти результаты переносят аналогичные результаты JI. В. Осипо-ва (Осипов, 1972) для сумм неслучайного числа независимых случайных величин (также см. (Петров, 1972)) на пуассоновские случайные суммы.

Большое внимание в диссертации уделено изучению асимптотического поведения так называемых обобщенных процессов риска. Эти процессы характеризуются случайностью интенсивности поступления страховых премий и интенсивности страховых выплат. С формальной точки зрения обобщенные процессы риска представляют собой особым образом центрированные случайные суммы. Такие объекты интересны в силу следующего обстоятельства. Традиционно изучается асимптотическое поведение случайных сумм либо при неслучайном центрировании их константами, либо при случайном их центрировании случайными величинами, напрямую связанными с числом слагаемых. Обобщенные же процессы риска занимают как бы промежуточное положение между этими двумя случаями. Они представляют собой случайные суммы, центрированные специальными случайными величинами - условными математическими ожиданиями числа слагаемых относительно накопленной интенсивности поступления страховых требований. Случай, когда слагаемые - страховые требования - имеют конечные дисперсии, хорошо изучен. Соответствующая асимптотическая теория изложена в книгах В. Е. Бснинга и В. Ю. Королева (Bening and Korolev, 2002), (Бенинг и Королев, 2000b). В диссертации изучается асимптотическое поведение обобщенных процессов риска в том случае, когда распределение страховых требований принадлежит области притяжения устойчивого закона. Получены необходимые и достаточные условия сходимости распределений таких обобщенных процессов риска, показано, что в таком случае предельные распределения имеют вид сдвиговых смесей устойчивого закона, притягивающего распределение слагаемых. Найдены оценки точности приближения распределения обобщенных процессов риска с большими выплатами с помощью а) предельной сдвиговой смеси устойчивых законов и б) "сопровождающей" дискретной смеси устойчивых законов. Следует отметить, что в качестве частного случая для ситуации, в которой требования имеют конечные дисперсии, здесь получены оценки, структура которых существенно более естественна, нежели у известных ранее оценок.

В диссертации также рассмотрен пример применения оценок точности асимптотических аппроксимаций для распределений случайных сумм к решению конкретной задачи из области теории риска - задачи оптимизации параметров страховой деятельности. При этом используется неклассический стоимостной подход, в рамках которого оптимизируются (минимизируются) суммарные издержки страховой компании за некоторый фиксированный период времени. Стоимостной подход к задачам страхования тесно связан с задачами управления запасами и разрабатывался, в частности, в работах А. Кофмана (Кофман, 1966), Г. В. Ротарь (Ротарь, 1972а), (Ротарь, 1972b) и Е. В. Булинской (Булинская, 2003). Решение рассматриваемой задачи сводится к отысканию корня некоторого уравнения, связанного с распределением суммарного страхового требования. Поскольку точное решение этого уравнения возможно только при полностью известных распределениях страховых требований и их числа, чего на практике, вообще говоря, быть не может, с помощью оценок точности асимптотических аппроксимаций для распределений случайных сумм в диссертации приводятся двусторонние оценки для решения упомянутого уравнения. Рассмотрены некоторые возможные способы задания издержек. Обсуждается точность полученных оценок.

Коротко остановимся на содержании диссертации.

1. И. И. Банис. Оценка скорости сходимости в интегральной предельной теореме. Литов. математ. сб., т. 12, №1, 1972, с. 41-46.

2. В. Е. Бенинг и В. Ю. Королев. Асимптотическое поведение обобщенных неординарных процессов Кокса. Вестник Моск. ун-та, сер. 15 вычислит, математика и кибернетика, 1997, вып. 4, с. 3-16.

3. В. Е. Бенинг и В. Ю. Королев. Введение в математическую теорию риска. МАКС Пресс, Москва, 2000, 184 с.

4. В. Е. Бенинг и В. Ю. Королев. Обобщенные процессы риска. МАКС Пресс, Москва, 2000, 194 с.

5. А. А. Боровков. Курс теории вероятностей. "Наука", Москва, 1972.

6. Е. В. Булинская. О стоимостном подходе в страховании. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003, в печати.

7. Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогоров. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин ГИТТЛ, Москва-Ленинград, 1949.

8. Б. В. Гнеденко и X. Фахим. Об одной теореме переноса. ДАН СССР, 1969, т. 187, No 1, с. 15-17.

9. И. С. Градштейн и И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. ГИФМЛ, Москва, 1962

10. Р. Л. Добрушин. Лемма о пределе сложной случайной функции. -Успехи математических наук, 1955, т. 10, No 2, с. 157-159.И. А. Кароблис. Об аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин. Литов. математ. сб., т. 23, №1, 1983, с. 101-107.

11. В. Ю. Королев. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами. I. Теория вероятностей и ее применения, 1994, т. 39, вып. 2, с. 313-333.

12. В. Ю. Королев. Вероятностные модели. Введение в асимптотическую теорию влучайного суммирования МАКС Пресс, Москва,1997.

13. А. Кофман. Методы и модели исследования операций. "Мир", Москва, 1966.

14. В. М. Круглов. Дополнительные главы теории вероятностей Высшая школа, Москва, 1984.

15. В. М. Круглов. Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величин. Теория вероятностей и ее применения, 1998, т. 43, N0 2, с. 248-271.

16. В. М. Круглов и В. Ю. Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. Изд-во Московского университета, Москва, 1990, 269 с.

17. М. Лоэв. Теория вероятностей "Иностранная литература", 1962.

18. А. А. Миталаускас. Оценка остаточного члена в интегральной предельной теореме в случае сходимости к устойчивому закону. Литов. математ. сб., т. И, №3, 1971, с. 627-639.

19. С. В. Нагаев. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. Теория вероятн. и ее применен., 1965, т.10, вып. 2, с 231-254.

20. Л. В. Осипов. Об асимптотических разложениях функции распределения суммы случайных величин с неравномерными оценками остаточного члена. Вестник Ленинградского университета, 1972, N0 1, с. 51-59.

21. В. Паулаускас. Об одном усилении теоремы Ляпунова. Литов. математ. сб., т. 9, №12, 1969, с. 323-328.

22. Н. Я. Петраков и В. И. Ротарь. Фактор неопределенности и управление экономическими системами. "Наука", Москва, 1985.

23. В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин "Наука", Москва, 1972.

24. В. В. Петров. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. "Наука", Москва, 1987.

25. А. В. Печинкин. О сходимости к нормальному закону сумм случайного числа случайных слагаемых. Теория вероятностей и ее применения, 1973, т. 18, N02, с. 380-382.

26. Г. В. Ротарь. Одна задача управления резервом. Теория вероятн. и ее примен., 1972, т. 17, вып. 3.

27. Г. В. Ротарь. Некоторые задачи планирования резерва Дис. на со-иск. уч. ст. канд. физ.-матем. наук, ЦЭМИ, Москва, 1972.

28. Г. В. Ротарь. Об одной задаче управления резервами. Экономика и мат. методы, 1976, т. 12, вып. 3.

29. Д. Саас. О классах предельных распределений для сумм случайного числа одинаково распределенных случайных величин. Теория вероятностей и ее применения, 1972, т. 17, No3, с. 424-439.

30. К. И. Сатыбалдина. Абсолютные оценки скорости сходимости к устойчивым законам. Теория вероятн. и ее применен.т. 17, №4 1972, с. 773-775.

31. К. И. Сатыбалдина. К вопросу об оценке скорости сходимости в предельной теореме с устойчивым предельным законом. Теория вероятн. и ее применен, т. 18, №1 1973, с. 211-212.

32. Е. Сенета. Правильно меняющиеся функции Наука, Москва, 1985.

33. С. Стейшунас. Об оценке скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. Литов. математ. сб., т. 14, №2, 1974, с. 127-138.

34. И. С. Шиганов. Об уточнении верхней оценки константы в остаточном члене центральной предельной теоремы. в сб. Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. ВНИИ-СИ, Москва, 1982, с. 109-115.

35. А. Н. Ширяев. Теория вероятностей. Наука, Москва, 1989.

36. П. Эмбрехтс и К. Клюппельберг. Некоторые аспекты страховой математики. Теория вероятн. и ее примен., 1993, т. 38, вып. 2, с. 375-416.

37. V. Е. Bening and V. Yu. Korolev. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance VSP, Utrecht,2002,453pp.

38. N. L. Bowers et al. Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, Itasca, IL, 1986.

39. R. Von Chossy and G. Rappl. Some approximation methods for the distribution of random sums. Insurance: Mathematics and Economics. 1983, vol. 2, p. 251-270.

40. H. Cramer. Collective Risk Theory. Skandia Jubilee Volume, Stockholm, 1955.

41. G. Christoph and W. Wolf. Convergence Theorems with a stable limit law. Akademie Verlag, Berlin, 1993.

42. P. Embrechts, K. Kliippelberg and T. Mikosch. Modeling Extremal Events. Springer, Berlin-New York, 1998.

43. B. V. Gnedenko and V. Yu. Korolev. Random Summation: Limit Theorems and Applications. CRC Press, Boca Raton, 1996, 267pp.

44. J. Grandell. Doubly Stochastic Poisson Processes. Lecture Notes Math., vol. 529, 1976.

45. J. Grandell. Aspects of Risk Theory. Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1990.

46. A. Gut. Stopped Random Walks. Springer, New York, 1988.

47. V. Kalashnikov. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications. Risk Analysis, Reliability, Queueing. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1997.

48. L. B. Klebanov. Heavy-tailed Distributions. MATFYZ Press, Prague, 2003.

49. V. Yu. Korolev. A general theorem on limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes. -Journal of Mathematical Sciences, 1996, Vol. 81, No. 5, p. 2951-2956.

50. V. Yu. Korolev and V. M. Kruglov. A criterion of convergence of nonrandomly centered random sums of independent identically distributed random variables. Journal of Mathematical Sciences; 1998, Vol. 89, No. 5, p. 1495-1506.

51. R. Michel. On Berry-Essccn results for the compound Poisson distribution. Insurance: Mathematics and Economics, 1986, vol. 13, No. 1, p. 35-37.

52. L. Padits. On the analytical structure of the constant in the nonuniform version of then Esseen inequality. Statistics (Akademie-Verlag, Berlin), 1989, Vol. 20, No. 3, p. 453-464.

53. S. T. Rachev. Probability metrics and the stability of stochastic models. Wiley, Clichester, 1991.

54. H. Robbins. The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables. Bull. Amer. Math. Soc., 1948, vol. 54, No. 12, p. 1151-1161.

55. D. S. Silvestrov. Limit Theorems for Randomly Stopped Stochastic Processes. Research reports 2002 1-4, Department of Mathematics and Physics, Malardalen University, Vasteras, 2002, 405 pp.

56. D. Szasz. Limit theorems for the distributions of the sums of a random number of random variables. Annals of Mathematical Statistics, 1972, vol. 43, No. 6, p. 1902-1913.

57. H. G. Tucker. Convolutions of distributions attracted to stable laws. -Ann. Math. Statist., 1968, vol. 39, p. 1381-1390.

58. V. M. Zolotarev. Estimate of the closeness of two convolutions of distributions. In: Abstracts of Reports to the International Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics (in Russian), 1973, Vol. I, Vilnus, p. 257-259.

59. V. M. Zolotarev. Modern Theory of Summation of Random Variables VSP, Utrecht, 1997.