Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для случайных сумм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

г Г ОД

- Б Я Н ^бСКЙВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.ВЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

СЕЛИВАНОВА Дарья Олеговна

УДК 519.214.4

ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ СУММ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1994

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, доцент В.Ю.КОРОЛЕВ

Официальные опоненты:

доктор физ.-мат. наук В.Ф.КОЛЧИН кандидат физ.-мат. паук С.Я.ШОРГИН

Ведущая организация:

Научно исследовательский институт математики и механики им. Н.Г.Чеботарева при Казанском государственном университете

Защита состоится "24" февраля 1995 г. в "11" часов на заседании специализированного совета Д 053.05.38 при МГУ пм. М.ВЛомоносова (119899, ГСП-3, Москва В-234, Воробьевы горы, МГУ, факультет ВМиК, ауд. 685).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан "25" января 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор

Н.П.ТРИФОНОВ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Асимптотическая теория случайных последовательностей со случайными индексами переживает этап своего интенсивного развития. D первую оче|>едь повышение интереса к этому паправлепию обусловлено многочисленными прикладными задачами, в которых эта конструкция возникает в качестве математических моделей в самых разнообразных областях: физике, биологии, экономике, технике, программировании, страховой и финансовой деятельности.

Рассматривая историю развития фундаментальных исследований по асимптотической теории случайных последовательностей с независимыми случайными индексами, необходимо отметить основополагающую работу Г.Роббппса1, содержащую достаточные условия сходимости распределений случайных сумм к смесям нормальных законов, статью Р.Л.Добрушина2, в которой указаны возможные предельные законы для случайно индексированных случайных последовательностей, и ряд статей Б.В.Гнеденко и его учеников3,4'5'6,7,8 где впервые поставлена задача об отыскания не только достаточных, но и необходимых усло-

1 Robbins H. The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables//Bull. Amer. Math. Soc. 1948. V. 54, N 12. pp.1151-1161.

2Добруппш P.JI. Лемма о пределе сложной случайной функции// УМН. 1955. Т. 10, N 2(64). с.157-159.

3Гнеденхо Б.В. О связи теории суммировали« независимых случайных »етпин с задачами теории массового обслуживания и теории надежности// Rev. roumaine math, pures et appl. 1967, T. 12, N 9. c. 1243-1253.

4Гнеденко Б.В., Фахим X. Об одной теореме переноса// ДАН

СССР. 1969. Т. 187, N 1, с.15-17.

5Печлнгин A.B. О сходимости к нормальному закону сумм случайного числа случайных величин// Теория вероятностей и ее применения. 1973. Т. 18, N 2, . с.380-382.

6Саас Д. О классах предельных распределений для сумм случайного числа одинаково распределенных случайных величин.//Теория вероятностей и ее применения. 1972, Т. 17, N 3, с. 424-439.

7Szâsz D. Limit theorems for the distributions of the sums of a random number of random variables//Ann. Math. Stat. 1972. V.43, N 6, pp. 1902-1913.

8Szâsz D. Stability and law-of large numbers for sums of a random number of random variables//Acta Sei. Math. 1972. V.'33, N 3-4, pp.269-274.

вий сходимости распределений случайных сумм в схеме серий. Следует упомянуть монографию В.М.Круглова и В.Ю.Королева9, содержащую систематическое изложение асимптотической теории случайного суммирования. Развернутое описание асимптотического поведения произвольных случайных последовательностей с независимыми случайными индексами содержится в статье В.Ю.Королева10

Наиболее хорошо изучена ситуация, когда непременным условием выступает независимость слагаемых от числа слагаемых в сумме. На первый взгляд это условие может показаться слишком ограничительным, но на самом деле подобные модели применяются на практике даже чаще, чем можно было ожидать. Для подтверждения сказанного можно сослаться на примеры из теории массового обслуживания, теории надежности, математической экономики, финансовой математики, математической теории страхования (актуарной математики), ядерной физики и др.

Результаты теории предельных распределений для сумм случайных величин, широко применяемые в прикладных целях, привели многих специалистов-практиков к убеждению, что если на исход эксперимента оказывает влияние большое число независимо действующих случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на конечный результат, то распределение их суммы должно быть близко к нормальному. Это утверждение основывается на центральной предельной теореме, где наблюдаемая случайная величина представляется в виде суммы большого числа независимых случайных величин. Однако такое заключение далеко не всегда является обоснованным. Изучение реальных данных показывает, что нормальность наблюдений - скорее исключение, чем правило. Одно из возможных объяснений отклонения распределения экспериментальных данных от нормального заключает-

9Круглов В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М., 1900.

10 Королев В.Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными нндексами//Теор. вер. и ее примен. 1994, т. 39, N 2.

ся в следующем. На разные наблюдения, вообще говоря, влияет разное число случайных факторов, то есть само число факторов случайно. В этом случае классическая центральная предельная теорема не приведет к адекватному ^зультату.

В центральной предельной теореме для сумм случайного числа слагаемых предельными законами являются смеси нормальных законов.

В связи с этим представляет большой интерес изучение вопроса о точности аппроксимации распределений случайных последовательностей со случайными индексами традиционным нормальным законом. Известно (см. ссылку 10 па стр. 4), что нормальный закон может появляться в качестве предельного для упомянутых последовательностей лишь тогда, когда индексы асимптотически вырождены, то есть будучи нормированными некоторыми константами, сближаются с константой. Первая глава диссертации посвящена изучению этого случая для некоторых важных конкретных типов последовательностей: случайных сумм, максимальных случайных сумм и эмпирических квантилей, построенных по выборкам случайного объема.

Еще один класс задач о случайных последовательностях со случайными индексами связан с геометрически распределенными индексами. Эти задачи рассмотрены во второй главе. Интерес к задачам, связанным с описанием асимптотических свойств геометрических случайных сумм, возник в связи с изучением некоторых задач теории массового обслуживания и теории надежности, где появляются так называемые редеющЕ^ потоки однородных событий или разреженные процессы восстановления.

Следует отметить, что обе эти ситуации представляют особый интерес при изучении процессов риска в актуарной математике.

Методы исследования.

Основные результаты получены при помощи прямых вероятностных методов, а также метода характеристических функций.

с

Цель работы

Разработка новых методов получения оценок скорости сходимости в предельных теоремах для случайных последовательностей с независимым» случайными асимптотически вырожденными и геометрическими индексами. Применение этих методов к изучению предельных теорем для случайных сумм, максимальных случайных сумм, эмпирических квантилей в выборках случайного объема, геометрических случайных сумм. Построение на этой базе условно экспоненциальных моделей роста надежности модифицируемых систем.

Научная новизна и практическая значимость.

Получены оценки точности нормальной аппроксимации для распределений случайных сумм с уточненным порядком, адаптивные оценки, оценки в терминах метрики Леви, также выведены аналогичные оценки скорости сближения максимальных случайных сумм с функцией распределения стандартного винеровского процесса на единичном отрезке. Найдены необходимые и достаточные условия слабой сходимости распределений выборочных квантилей в выборках случайного объема к нормальному закону и получены оценки скорости этой сходимости.

Уточнены теоремы об оценках скорости сближения геометрического и показательного распределения, оценках точности аппроксимации геометрических случайных сумм распределением Лапласа и локальные предельные теоремы для геометрических случайных сумм из главы 8 монографии В.М.Круглова и В.Ю.Королева (см. ссылку 9 на стр. 4). •Построена оценка скорости сближения отрицательно биномиального и гамма- распределения с натуральными параметрами и оценка точности аппроксимации распределений отрицательно биномиальных случайных сумм двусторонними гамма-распределениями. Построены оценки точности приближения условно геометрических моделей роста надежности условно экспоненциальными моделями.

Публикации и апробация работы. По теме диссертации опубликовано пять статей. Результаты докладывались на семинарах кафедры

математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из впадения, двух глав, двух приложений и списка литературы, изложенных на 123 страницах. Список литературы содержит 50 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В автореферате сохраняется нумерация утверждений и формул, использованная в диссертации.

Во введении содержится историческая справка, обсуждаются общие постановки задач и кратко описываются основные результаты, представленные в диссертации.

Первая глава диссертации посвящена оценкам скорости сходимости в некоторых предельных теоремах для случайных последовательностей со случайными асимптотически вырожденными индексами.

В §§1.1-1.3 рассматривается последовательность {£7)^1 независимых случайных величин с = 0. Пусть и - положительная случайная величина, распределение которой зависит от некоторого параметра положения в 6 (0, оо), причем при каждом в случайные величины и и независимы. Введем следующие обозначения:

5» =6+... + £»,

Щ] = о] < оо, В1=о\ + ...+<т1, В2 = ЕВ1

Известно, что если функция распределения ^п(х) = < хВ„) близ-

ка к стандартной нормальной функции распределения, то функция распределения нормированной случайной суммы К(х) = Р(5„ < хВ) близка к Ф(х) в том и только в том случае, когда распределение случайной величины В~2В^ близко к вырожденному в единице (например в смысле расстояния Леви). В качестве меры близости распределения случайной величины В~2В1 к вырожденному в оценках точности нормальной аппроксимации для Р(х) по традиции используют моментные

характеристики случайной величины В 2 В* — 1. Пусть

Д„ = sup |F„(i) - Ф(х)| Д = sup|F(i) - Ф(х)|.

X X

В работах Паулаускаса" и Энглунда12 показано, что структура оценок для Д вида

(1) А <с,ЕД,+с2Е|В-2/?3-1|

является оптимальной в том смысле, что имеются примеры, когда левая часть (1) имеет одинаковый порядок с каждым из слагаемых в правой части. Дальнейшие усилия по усовершенствованию оценок (1) были направлены на минимизацию констант С\ и и поиск таких оценок Д, выраженных в терминах моментных характеристик, у которых обе части стремятся или не стремятся к нулю одновременно. При этом порядок момента во втором слагаемом в правой части (1) оставался не выше первого, хотя ясно, что, если \В~2В2 — 1| < 1 почти наверное, то использование моментов более высоких порядков может существенно уточнить (1).

Теорема 1.1.4 уточняет порядок второго слагаемого в (1). Обозначим Вг (Вг \2 Т)В2

Теорема 1.1.4.

Д < ЕД„ + min{1.04>cb 1.95х2}.

В теореме 1.2.1 применяется метод свободного параметра а, при помощи которого строятся "самонастраивающиеся" (адаптивные) оценки

11 Паулаусыас В .И. О сумме случайного числа многомерных случайных векторов.-Лптовский математический сборник, 1972, т. 12, N 2, с. 109-131.

12Englund G. A remainder term estimate in a random sum central limit theorem.-Теория вероятностей и ее применения, 1983, т.28, N 1, с. 143-149.

Д, выбирая значения а из условия минимальности по а правой части (1). Таким выбо]юм а можно уменьшить вклад большего из слагаемых в правой части (1), характеризующих, соответственно, относительный разб]юс индекса относительно его центрального значения и скорость сближения с соответствующим нормальным законом, в оценку Д. Введем дополнительные обозначения:

$ = = + ...+/£, М3 = Е м3,

1/3 ,

¿3 = 0.7915—, с= -(2-кс)-1'2 «0.121. Теорема 1.2.1.

где

(2.1) *(£,.*,) = ^ + т«|_1_, ,

(2.2) У2(Ь3, *>) = о [а^Ь3 + {1.95 + _1_у } *»] . При этом

(2.3) VI (£з, ж,) < 1з + сх, + 15х,1/5 шах , (Ь3 + сх,)4/5} ,

(2.4) У2(Ьз, < ¿з + 2.95х2 + 3+ 4/3).

Оценки (2.3) и (2.4) получаются несколько затрубленными. На самом деле, если известны кошдкггные значения и ¿з, то соотношения

(2.1) и (2.2) при помощи численной минимизации позволяют получить

волос точные оценки, чем (2.3) и (2.4). Другими словами, можно задавать оценки точности нормальной аппроксимации для функций распределений случайных сумм в виде таблиц, входами в которые являются значения и Сами таблицы приведены в приложен!«' 1.

Предположим теперь, что слагаемые распределены одинако-

во. Обозначим

/з= О.765ф*0-*,, =

В этой ситуации аналитическую минимизацию правой части оценки, аналогичной (2.2), возможно провести без предварительного загрубле-ния. А именно, справедлива

Теорема 1.2.2. Пусть случайные величины распределены

одинаково. Тогда

(2.14) Д <mia{üi(/3,*i), ЗД,^)},

где

(2.15) ед,= .И +—*>],

(2.16) ВД, *>) = [¿j + (l.95+ **] .

Прц этом

(2.17) U^h,^) </3 + 2Х11/2(/3+С^1)1/2 + ^(С + 1),

/2 N -1/2

(2-18) (l.95 + 1{(4 + р2)1'2 - р}~2) .

Использование неравенств Эссесна и Берри-Эссеена в теоремах 1.2.1 и 1.2.2 не является принципиальным. Здесь можно использовать любые оценки Д„ вида Д„ < pi^, где Л*(п) - функция, зависящая только от распределений случайных величин а Т(-) - положительная

неубывающая функция.

Теорема 1.3.1 посвящена оценкам точности нормальной аппроксимации для распределений случайпых сумм в терминах метрики Леви. Если математическое ожидание случайной величины jB2 бесконечно, то оценки вида (1) при всем их удобстве бесполезны. Расстояние Леви между функциями G и Н обозначим

A(G, Н) = inf{/i: G(x - h) - h< H(x) < G(x + h) + Л, Vx}.

В связи со сказанным выше интересно оцепить A(F, Ф) через A(F„, Ф)

иЛ(БЗ/В2,1).

Теорема 1.3.1.

Д < EAvxi" е Ni-p) + 4.242/3,

где = {п : \B\B~2 - 1| </3}. Следствие 1.

Л(Р,Ф) < 1.399 тах{Л(Гп,Ф) : п 6 N^p] + 4.242/3.

Если же существует абсолютный третий момент с.в. то имеет место Следствие 2. Если Pj < оо, j > 1, то

А < (1 - P)~3,2L3 + 4.242/3.

Следствие 3. Если с.в. распределены одинаково и (3\ < оо,

то

А < (1 —/?)-1/2/3 +4.242/3.

Впервые оценки (3.6) для более общей ситуации и в немного отличающейся постановке задачи ( в схеме серий с необязательно нормальным, но одинаковым для случайно и неслучайно индексированных сумм предельным законом) получены Д.Саасом13. Обратим внимание, что в (3.6) порядок по р второго слагаемого в правой части равен единице, в то время, как в аналогичной оценке из работы (4) он равен j.

Оценки скорости сходимости в щюдельных тео])смах для максимальных случайных сумм рассматриваются в §1.4. Введем дополнительные обозначения:

Sn = max Si.

1<|'<п

Функцию распределения максимума стандартного винеровского процесса на единичном отрезке обозначим G(-),

G(x) = 2Ф(тах{х, 0}) — 1.

Известно, что если случайные величины {fj}j>i удовлетворяют условию Лнндеберга, то Fn{x) = Р(5„ < хВп) —> G(x) при п —> оо в каждой точке R. Если при этом распределение случайной величины В~2ВI слабо сходится к вырожденному в единице при в —» оо, то Fff(x) = Р(5„ < хв) —» G(x) при в —► оо в каждой точке х 6 R. Обозначим

A{1\x) = \Fn(x)-G(x)l Д^зирД^х),

X

= sup £

ЕЮГ = Pj, Рп = max fioг2, О = Ер„.

Теорема 1.4.1.

Д(1)(х) < ЕД^ +^41.12^,3.9^2}-

13Szasz D. On tlie rate of convergence in Levy's metric for random indicated sums. Colloquia Mathematica Societatist Janos Bolyai. Proceedings of tlie 9th European meeting of statisticians, Budapest (Hungary), 1972.

В теореме 1.4.2 построена адаптивная оценка Д'1':

Теорема 1.4.2. Пусть /3? < оо,^' > 1, ЕВ* < оо. Тогда для любого в € 1)

(4.6) Д^тЭД^В.Ыд^лЛ,**)},

где

(4.7) д, (р, В, X») = ^ + + ¿щд^] - }.

(4.8) <?2(р, В, *2) = ^ + + 3.9] . При этом

(4.9) д^Р.-В.хО < ^+2(^ + 0.49х1)1/2к|/2 + 1.49*1,

(4.10) +

Так как в теореме 1.4.2 оценки получаются несколько затрубленными, то при известных конкретных значениях щ, и ср/В, численно минимизируя оценки (4.9) и (4.10), можно получить более точные результаты, которые в виде табг лц приведены в приложении 2.

Укажем оценки точности приближения функций распределения максимальных случайных сумм с помощью функции распределения в терминах метрики Леви. Теорема 1.4.3.

д(1) < ЕД^х^ 6 7У(1 - Р)) + 6.48/3,

Следствие 1.

А(Г, (?) < 1.80 тях{А(Рп, в): п € N(1 - (5)} + 6.48¡3.

Следствие 2. Если < оо, ] > 1, то Д(') <

Пусть Л'ь Л'^,..., Хп - независимые одинаково распределенные с.в. с ф.р. /'', плотностью / и р € (0,1). Как известно, выборочной ¡>-квантилью называют порядковую статистику где А:(/>) =

[пр] + 1, если пр - дробное, и к(р) = гг/->, если пр - целое, а [х] обозначает целую часть числа х. Цель §1.5 - получить необходимые и достаточные условия слабой сходимости выборочных квантилей, построенных по выборкам случайного объема и оценки скорости этой сходимости.

Пусть {!/„}„>! - последовательность положительных целочисленных с.в. таких, что при каждом п с.в. ип и {Х;},>1 независимы. Обозначим

у/р(1-р)

Пусть 2 - некоторая с.в.

Теорема 1.5.1. Пусть в некоторой окрестности точки £р плотность /(х) непрерывно дифференцируема и /(£р) > 0. Предположим, что 1/п —» оо по вероятности при п —* оо. Для того, чтобы

(п —> оо),

необходимо п достаточно, чтобы существовала с.в. I/, такая, что

1) Р({/ > 0) = 1;

2) Р{г < х) = ЕФ(УУх);

3) ьп!п и (п —» оо).

Теорема 1.5.2. В условиях теоремы 1.5.1

Р(\/пГп,р < х) (п -> оо)

тогда и только тогда, когда

— => 1 (я —» оо).

В диссертации также посТ]к>ены оценки скорости сходимости в теореме 1.5.2.

Обозначим

= |р - < 11 - ф(*)

Др(х) = ри

ш

)-)-

у/ЙГ^р) Др = вир Др(х), Д„,р = яир Д„,р(х),

г г

2

А, =Е

-1

А, = Е

Й-)

Теорема 1.5.3. В условиях теоремы 1.5.1, если Е^- = , то справедлива следующая оценка:

Др < ЕД„Щ1р + тш{1.04А1,1.95А2}.

Теорема 1.5.5. Пусть выполнены условия теоремы 1.5.1, р 6 (0,1), п0 = т1п{к 6 N : р € (^р, 1 - у/Щ^)} и п > 2п0. Если к тому же

= Ь «>

Др < пцв{ЛГх(р, п, А,), К2(р, п, А2)},

где

ЛГ1(р,я,Дг)< шГ

0<а<1 ^п П

(5-25) Л'(гЬ+0-25^ТТ))}-

К,{р,п,х2)< Ы {£lM^2^+£?M(2_n)+

0<а<1 1 у/п п

(5.2G) A2(_J_ + 1.95)},

При этом

(5.27)

Kt{p, п, А,) < inin |l.5a;(n,p) + 1.03А,,и>{п,р) + w(n,p)l/22.23AlI/2|,

(5.28) К2(р,п,Х2) <ы(п,р)+Цп,р)2/31.89А2/3 + 1.95А2> где

а конкретные значения ci и с2 определяются плотностью элемента выборки.

Во второй главе рассматриваются оценки скорости сходимости в некоторых предельных теоремах для геометрических и отрицательно биномиальных случайных сумм.

§§2.1, 2.2 и 2.4 посвящены уточнению результатов главы 8 монографии В.М.Круглова и В.Ю.Королева (см. ссылку 9 на стр. 4). В теореме 2.1.1 уточнена оценка скорости сближения геометрического и показательного распределений. В теореме 2.2.1 получена неравномерная оценка скорости сходимости нормированной геометрической случайной суммы к распределению Лапласа. Теорема 2.4.1 содержит достаточные условия сближения плотности геометрической случайной суммы и плотности распределения Лапласа. В теоремах 2.4.2 и 2.4.3 получены некоторые оценки точности приближения плотности геометрической случайной суммы центрированных слагаемых плотностью распределения Лапласа.

В §2.3 приведена равномерная оценка точности аппроксимации отрицательно биномиальной случайной суммы двусто]юнним гамма распределением. Рассмотрим с.в. v, имеющую расп]х\деление Эрланга П()])ядка я:

R(x) = Р(„ < х) = 1 - с-^1 + * + •¿ЗУ),) •

и с.в. rj, имеющую отрицательное биномнальпое распределение с параметрами п,р:

P(v = к) = C£+n_lP"(l -р)к, к =0,1,2,....

Положим

Д(2)(х) = |F(i) - G(x)|, Д(2) = sup Д(2)(х),

X

где

Теорема 2.3.1. Пусть ;i3 < со. Тогда

(п — 1)! V 2/ \l-pj 2 1 -р

§2.5 второй главы посвящен оценкам точности приближений условно геометрических моделей роста надежности условно экспоненциальными. Рассматривается проблема прогнозирования надежности сложных систем в ходе их отладочных испытаний, когда в тестируемую систему вносятся изменения. Предысторию вопроса можно посмотреть в четвертой главе докторской диссертации В.Ю.Королева14

14 Королев В.Ю. Предельные распределения для случайных последовательностей со случайными индексами и некоторые их-Приложения, -дис. док. физ.-матем. наук, М:, МГУ, 1993, 265 с.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Королев В.Ю., Селиванова Д.О. Несколько замечаний о точности нормальной аппроксимации для распределений случайных сумм// Всстн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1991. N 2, С. 46-53.

2. Королев В.Ю., Селиванова Д„0. Условно геометрические и условно экспоненциальные байесовские модели роста надежности// Депонирована во ВИНИТИ 12.05.94, N 1188-В94.

3. Королев В.Ю., Селиванова Д.О. Асимптотическое поведение выборочных квантилей, построенных по выборкам случайного объема// Депонирована во ВИНИТИ 12.05.94, N 1187-В94.

4. Селиванова Д.О. Оценки скорости сходимости в некоторых предельных теоремах для геометрических случайных сумм// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1994.

5. Korolev V.Yu., Selivanova D.O. Convergence rate estimates in some limit theorems for maximum random sums, -in: "Stability problems for Stochastic Models. Journal of Mathematical Sciences, 1995" (to appear).