Неравенства и предельные теоремы для последовательностей слабо зависимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение.2

Глава I . Неравенства.11

§ I. Моментные неравенства при целом четном порядке момента .11

§ 2. Срезка.33

§ 3. Обобщение неравенства Колмогорова.40

§ 4. Моментные и вероятностные неравенства для последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.43

Глава 2. Предельные теоремы . .46

§ I. Закон повторного логарифма для ^-переменных случайных величин.46

§ 2. Одномерная центральная предельная теорема для схемы серий - перемешанных случайных величин. .56

§ 3. Принцип инвариантности для слабо стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием .66

Глава 3. Оценки в принципе инвариантности .75

§ I. Формулировка результатов . .75

§ 2. Доказательство теоремы II.76

I. В диссертации исследуется предельное поведение распределений частичных, суш последовательности слабо зависимых случайных величин со значением в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

В первой главе получены обобщения известных в случае независимых слагаемых неравенств для больших уклонений сумм и максимума частичных суш слабо зависимых случайных величин.

Во второй главе доказан ряд предельных теорем, связанных с аппроксимацией распределений частичных сумм случайных величин с перемешиванием нормальным законом. Здесь обобщаются теорема Харт-мана - Винтера о законе повторного логарифма, центральная предельная теорема Линдеберга и принцип инвариантности Донскера - Прохорова.

В третьей главе обобщаются известные неулучшаемые оценки в принципе инвариантности для независимых слагаемых на слабо стационарные последовательности с равномерно сильным перемешиванием.

Основной целью диссертации является распространение известных в случае независимых слагаемых вероятностных неравенств и предельных теорем на суммы слабо зависимых случайных величин при сохранении таких же моментных ограничениях на отдельные слагаемые.

Основные результаты диссертации докладывались на U Всесоюзной школе коллоквиуме по теории вероятностей (Бакуриани, 1981), на Ш-ей Международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1981), на Межвузовском семинаре по гауссовским процессам (Ленинград,1982), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Институте математики

СО АН СССР ; опубликованы в £35] - [^Я]

Общий объем 9 2. страниц машинописного текста. Библиография 42 наименований.

2. Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертации.

Пусть */ Q- V ~~ последовательность случайных величин L t' J с - л со значением в сепарабельном гильбертовом пространстве Н и нулевыми средними, (х^ и |х| - соответственно скалярное произведение и норма в |-j . Через М j3 обозначим ь - алгебру, порож

V* денную случайными величинами L v , (\ i I i- £ . Положим sup sup |p(6i~M~P(&)| 7

1-4 L ) t С - ^ n

13 и - .2. f I J it- )'1л >ut. | k (0 I 2 к ^ } 5

С ~J

Выписанный выше коэффициент ^(к) - есть коэффициент равномерно сильного перемешивания (или ^ - перемешивания), который был введен И.А.Ибрагимовым ( C1JX21 ).

- * Ь а) В первой главе приводятся неравенства для Ь и р ( илл/* ( | * х ) 4 4 ^ И

В отличие от наиболее эффективного в случае независимых елагаемых й мартингал-разностей подхода да оценок вероятностей больших уклонений, связанного с исследованием экспоненциальных моментов соответствующих срезанных случайных величин (см.например, в диссертации отправной точкой являются моментные неравенства. Это связано с тем, что в настоящий момент нет достаточно эффективных оценок для экспоненциальных моментов суш слабо зависимых случайных величин.

Теорема 3. Справедливы неравенства

ЕI (t * с а К z) L (М , 1 * t 4 г , (D

Неравенство (I) обобщает на случай последовательностей с f

2) где Са - некоторая абсолютная постоянная. перемешиванием неравенство фон Бара-Эссеена L9J , неравенство (2) обобщает неулучшаемое неравенство Розенталя Llo].

ПОЛОЖИМ где

Теорема 2. Справедливо неравенство р ( | £ L -х 'Ь t i Д

I (ii- £6t)) + ь и

Л fe К i KL ъ L Ul ) t и-) в +1 ш) г м , tr -1 Ь где ft Ц ) = (Л 0 V-i, ) 7 Q (-{-) - ^-ij fl (■£-). л

Теорема 4. Справедливо неравенство

Р [упьк ( | ^ у ) ± х 'Ь Е I 1Ь«А+)('1 + г +

A ь м vi. '' (3)

X^L (И.) £1(1 + q ш у где (Х^ i~t) те же, что и в теореме 2.

Зти теоремы являются обобщением неравенства Колмогорова и позволяют получить оценки для Р ( vvi с^с | S. I > х) через оцен

-V -i лькьп к ки для \z \ ^и [ • При *t - 2 столь же эффективные и близкие результаты, как и неравенство (3), получены в L'i 'ij [-1 Z J ,

Теорема 5. Справедливы неравенства р (wax I & С, (4) м

F4>nft* I ЧС^Г) (^"tetfll-hMx + (5) где с^ - абсолютная постоянная.

Неравенство (5) является в некотором смысле обобщением одного из неравенств Нагаева - <$ука ( см. С&1 )• Дисперсионный член здесь хуже, тем не менее, это неравенство (5), его элементарные следствия и теорема 3 позволяют получить обобщения известных предельных теорем для сумм независимых случайных величин на последовательности с равномерно сильным перемешиванием.

Несколько слов об используемой в этой главе технике. Важную роль при доказательстве теоремы 3 играет теорема I, доказанная в § I. (На идейном уровне к доказательству теоремы I ближе всего работа Г-5] .) Затем, используя срезку ( §2 ), на основе теоремы I и теоремы 4 мы доказываем справедливость соответственно теоремы 3 при произвольных b^i и теоремы 5. б) Перейдем к содержанию второй главы. Запись И - R здесь и далее означает, что \~\ - вещественная прямая,

В § I приведено обобщение теоремы Хартмана - Винтера о законе повторного логарифма ( Г20], гл.10 ) на последовательности случайных величин с Ч - перемешиванием.

Теорема 7. Пусть выполнены следующие условия (Н - R) : •—

Юм

I) Г ЧЧ1*)Кг<

2) i^vn L-hj* Р ^Ь >Q \

3) Р( 1

Тогда справедлив закон повторного логарифма

Ctw Sup •—а <\

Vi г>»

Р ==-

1 \1 £ D\, L L и . и

В § 2 обобщается центральная предельная теорема Линдеберга ( Г2 03 , гл. 4 ) на последовательности с ^ - перемешиванием. Теорема 8. Пусть выполнены условия (И- R) :

D I чУч (к) к - * — ;

2) К, Ъ<е

Ул V- 1L > <3 . uwf /Ъ . >0 •

3)

Тогда -у где ^ имеет стандартное нормальное распределение.

В § 3 обобщается принцип инвариантности Донскера - Прохорова ( [2k] » гл. 6 ; ) на слабо стационарные последовательности гильбертовозначных случайных величин с равномерно сильным перемешиванием. о»

- слабо стационарна. Ji-w

Положим

ТШ ~ z 2 Е,•,и

Пусть ^цС^З- сепарабельное банахово пространство непрерывных функций из [0,1] в И . Через = {^,(4) обозначим случайную ломаную в Сц UVO с узлами ^ , К i j , ( , j W.) через ^ 3 ^ (1-) - однородный винеровский процесс в С £0/1J о ковариационным оператором Е [i ) , fj Т (I) ( из предположений нижеследующей теоремы следует, что ^ ~ ковариационный оператор).

Теорема 9. Пусть выполнены условия :

D 2" ^Iklk11 <

W = /j

Jn L 'j

Тогда и

Теорема 10. Если { - ~ строго стационарная последовательность и ^ Mk;V <0° 9 то fn *

Теорема 8 в случае Vh - зависимых слагаемых доказана в fi Теорема 10 обобщает результат Ю.А.Давыдова ( ["ИJ ). В случае строго стационарной последовательности i £. Т ^ в R теоремы 7-8 следуют из более сильных результатов, а именно : теорема 7 из It теорема 8 из ["2."] (основное отличие зашгочается в том, что в теоремах 7-8 требуется более сильная скорость убывания коэффициентов перемешивания). Вместе с тем, при отсутствии строгой стационарности, имеющиеся в литературе результаты далеки от соответствующих аналогов для независимых слагаемых (см., например, 0l5 ]-Г1&]).

Основными компонентами доказательств теорем 7, 8 являются:

1) метод С.Н.Бернштейна ( С4*] ),

2) аппроксимационная теорема Беркеша-Филиппа ( С Ъ'} ),

3) вероятностные неравенства, изложенные в главе I.

При доказательстве теоремы 9 мы доказываем компактность последовательности мер, порожденных процессами , И , и используем теорему 8 ( этот путь в случае строго стационарной вещественнозначной последовательности i ^; V^ предложен в fl1J ).

V L J k - q в) Содержание третьей главы.

Пусть 1 t. v - слабостационарная последовательность вещественнозначных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Положим

I-! К

И.

L г ей Г

Сто О - Е с + * Д е ^ Ъс

Через 3^ - % l~t) обозначим случайную ломаную с узлами в точках

С^к^*^6^^) ' k=t<7'V" Л'- » через Ы стандартный винеровский процесс. Пусть f^ обозначает распределение '5 в C[<Vl3 » "V* -распределение uJ в CCcyiJ . Через L С Рп )W) обозначим расстояние Леви - Прохорова между мерами Pv и V\) •

Теорема II. Пусть ь">0 и для некоторого t ^ 2 справедливо неравенство ^ Ю - A k J , V к '] , где

3 > jiu^tu-O , ч - ^

И- г Mir. { к И'Ч ; и^ > Тогда

ЦРь»-с (6> где С зависит лишь от .

Пусть \ 7 0 .

Следствие I. Если S i к,) 4 ^ q а у с <\ л V к > \ то при справедливо (6).

Следствие 2. Еспм ^ ^W-V) ^ у к ^ 1 ^

•тс1 npvi ^ <«Ь с*/ трабеА-МЛс (б),

Первая оценка скорости сходимости в принципе инвариантности была получена Ю.В.Прохоровым ( C27i] , 1956). Окончательный по зависимости от отношения Ляпунова результат в зоне I ^ 3 получен А.А.Боровковым ( C2&J » 1973). В |.19] задача решена в случае независимых и одинаково распределенных слагаемых. В продолжен результат А.А.Воровкова в зону ъ 4. i ^S . В 16 Л ,[ 1 J ["2.решена задача в случае схемы серий независимых случайных величин и доказана неулучшаемость оценки А.А.Воровкова. В случае 2 <£ i t Ь и строго стационарного процесса с экспоненциальной скоростью убывания коэффициентов сильного перемешивания в I зо] достигнут степенной порядок оценки (6)

N ^ у&^Чси-*) (м h )

При доказательстве существенно используются : метод С.Н.Берн-штейна СИЛ , ашроксимационная теорема Беркеша - Филиппа [.V"] , оценки в принципе инвариантности А.И.Саханенко , Г 1 ] и вероятностные неравенства, изложенные в первой главе. В t 1 ] отмечено, что оценка порядка h ' в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей случайных величин с перемешиванием является пределом возможности метода С.Н.Бернштейна. По этой причине мы приводим оценки, лишь при t .

Автор выражает благодарность А.А.Боровкову за поддержку и внимание к работе.

1. Ибрагимов И.А. Некоторые предельные теоремы для стационарных в узком смысле вероятностных процессов.- ДАН СССР, 1959, т. 125, М, с.711-714.

2. Бернштейн С.И. Собрание сочинений.- М.: Наука, т.4, 1964.5. . Хасьминский Р.З. О случайных процессах, определяемых дифференциальными уравнениями с малым параметром.- Теория вероятн. и ее примен., 1966, т.П, №2, с.240-259.

3. Саханенко А.И. 0 скорости сходимости в принципе инвариантности.- Третья Вильнюсская конференция по теории вероятностейи математической статистике, Тезисы докладов, 1981, Вильнюс, т.2, с.135-136.

4. Саханенко А.И. Скорость сходимости в принципе инвариантности для разнораспределенных величин с экспоненциальными моментами.- В сб.: Предельные теоремы для сумм случайных величин, Новосибирск, 1984.

5. Давыдов Ю.А. 0 сходимости распределений, порожденных стационарными случайными процессами.- Теория вероятн. и ее примен., 1968, т.13, М, с.730-737.12. (Чс\ La<4 (Jb,Li iV s^o^ci^cl l^c^icliitjV. Ъ. KJ 5\ p. £29- 8 33 .

6. М t pe.xi(j'bacL , с и У'ллХапс^ p^nid^ -j-oa cLtj^McU. ib't cj-й-.л , zr.ЛЛ V , p. 49S- ~So =h,is- 1., pftit|,p vv; Hm*d wv,i V\ v CJVt (Mi p тЪги С с |э С^ -j-o^w ,р Сл)гO-j- lUvji (, H А й vcdliecl ^CKViotoiY)Mcttidk*. Ahh. PL^-.^W.v.e,»/ вводном.

7. Komfes J-. 5 Haj ог P ,Tush(»«/y С. Л-и C^jvw KiM^U* of j^iti.^ зи-^о^Z.w. , B, 54, н.-l , s. 33-ss,

8. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин,- М.: Наука, 1972. ( ,

9. Колмогоров А.Н. iMkr. oil с шм сХилЖ ^V,Ч u jcvtt fe S11 wdej-ь Li И яМ, й h Cj Iyet &t ci S fc

10. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов.- М.: Наука, 1971, т.1.

11. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.- Теория вероятн. и ее примен., 1956, т.1, №2, с.177-238.

12. Боровков А.А. 0 скорости сходимости в принципе инвариантности.- Теория вероятн. и ее примен., 1973, т.18, №2, с.217-234.

13. Саханенко А.И. Оценки скорости сходимости в принципе инвариантности.- ДАН СССР, 1974, т.219, 165, с.1076-1078.

14. Городецкий В.В. О скорости сходимости в принципе инвариантности для последовательностей с сильным перемешиванием.- Теория вероятн. и ее примен., 1983, т.28, М, с.780-785.

15. Cf. V Siai и, tV j-o-L tiu £ иtke Uvx^mcd. ^j^Xt modioli, ~ho Uu> chdxc С iiilo и 14 cLtj\Mi (ieA'd ъсиi PSlxtd fi^ril^&yVH I. , i4 cxtt , Matt S t< Ptd, } lie ~L & ^CoXif, , p.

16. Мальцев B.B., Островский Е.И. Центральная предельная теорема для стационарных процессов в гильбертовом пространстве.Теория вероятн. и ее примен., 1982, т.27, №2, с.337-339.

17. АЧ и cj Н, ^ с Mi- t tfi* о'гет л j-оъ ZimhScJUmA -c.c^acI От V coi-l , 2? , Wt , A9<?35 V, 6 3 , Л/, з , P. 395- 732.Л/ ' . /W cutK И , A VI t ^ \K-JU c,/k ce j> j'A fo'i ilu R о Ш и з И о т о ръоил* с h q Hifee-t

18. Утев С.А. Замечание о скорости сходимости в принципе инвариантности.- Сиб.матем.ж., 1981, т.22, №5, с.206-209.

19. Утев С.А. Некоторые неравенства и предельные теоремы для слабо зависимых случайных величин.- ХУ Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, 1981, Тбилиси, с.27-28.

20. Утев С.А. Некоторые неравенства для слабо зависимых случайных величин.- Третья Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике, Тезисы докладов, 1981, Вильнюс, т.2, с.204-205.

21. Утев С.А. Вероятностные неравенства для слабо зависимых случайных величин.- Теория вероятн. и ее примен., 1982, т.27, М, с.201.

22. Утев С.А. 0 законе повторного логарифма для перемешанных случайных величин.- Сиб.матем.ж.,1984,т.25, ЖЕ, с.174-179.

23. Утев С.А. 0 некоторых предельных теоремах для случайных величин с равномерно сильным перемешиванием.- Теория вероятн. и ее примен., 1982, т.27, М, с.204.

24. Утев С.А. О скорости сходимости в принципе инвариантности для слабо стационарных последовательностей случайных величин с перемешиванием.- Теория вероятн. и ее примен., 1983, т.28, №3, с.600-601.

25. Утев С.А. Неравенства для сумм слабозависимых случайных величин и оценки скорости сходимости в принципе инвариантности.- В сб.: Предельные теоремы для сумм случайных величин, Новосибирск, 1984, с.50-77.