Асимптотические представления распределений сумм слабо зависимых величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ СУММИРОВАНИЯ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН

§1. Условия слабой зависимости;.

§2. Правильно меняющиеся функции и последовательности и их обобщения

§3. Обозначения и вспомогательные результаты.

§4. Универсальная нормирующая последовательность.

ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН

§1. Вспомогательные утверждения.

§2. Факторизационная теорема.

§3. Исследование компонент асимптотического представления.

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

§1. Условия притяжения к нормальному закону в терминах распределения одного слагаемого

§2. Условия притяжения к устойчивым законам в терминах распределения одного слагаемого.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Раздел теории вероятностей, в рамках которого доказываются предельные теоремы, на протяжении всего периода своего существования является одним из самых обширных и быстроразвивающихся. В этой области получены сотни результатов; в формулировках большинства из них имеются предположения о независимости некоторого исходного набора случайных величин (с.в.).

Стоит отметить два следующих обстоятельства. Во-первых, предположение о независимости является удобным с точки зрения доказательства теорем. Во-вторых, полученные таким образом теоретические результаты весьма неплохо согласуются с практическими приложениями. Значит, присутствующей в реальных экспериментах зависимостью иногда можно пренебречь без нарушения аппроксимирующих свойств предельных теорем. Попытки развития теорий без предположения о независимости позволяют построить более адекватную математическую модель эксперимента, исследовать специфические эффекты, проявляющиеся как следствия зависимости, выяснить условия, при которых известные для случая независимых случайных величин предельные теоремы остаются справедливыми. Результаты исследований такого рода объясняют, в каких случаях и почему зависимостью можно пренебречь.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются предельные теоремы для сумм стационарно связанных величин. Пусть {&,} — стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин, — с-алгебры, порожденные семействами : з ^ т} и : 3 ^ п) соответственно. Если индекс п случайной величины интерпретировать как время и т < п, то и Р^п можно мыслить как "прошлое" и "будущее" случайного процесса. Когда последовательность {£„} состоит из независимых случайных величин, при всех А € В € справедливо соотношение

АВ) - ¥(АЩВ) = 0.

В общем случае левую часть этого равенства можно принять за основу измерения зависимости между "прошлым" и "будущим". Простые примеры показывают, что если допустить сколь угодно сильную зависимость между слагаемыми, то невозможно получить содержательные предельные теоремы. В то же время, разумное предположение о слабой зависимости "далекого прошлого" и "далекого будущего" позволяет построить нетривиальный асимптотический анализ распределений сумм.

Дадим краткий обзор результатов, касающихся предельных теорем, рассматриваемых в диссертационной работе.

В работе [28] С. Н. Бернштейн предложил метод секционирования, позволяющий доказывать предельные теоремы для слабо зависимых величин, аппроксимируя исходную сумму с помощью суммы растущего числа независимых "блоков". Конкретная реализация метода секционирования зависит от используемых условий слабой зависимости. В настоящее время наиболее употребительными являются условие сильного перемешивания, введенное в 1956 году М. Розенблаттом [40], и условие равномерно сильного перемешивания, появившееся в работе И. А. Ибрагимова в 1959 году (см. [И]).

Определение. Стационарная последовательность {£„} удовлетворяет условию сильного перемешивания (СП), если коэффициент перемешивания п) = 8ир{|¥(АВ) - ЦА)¥(В)\: А € В € Т>я} стремится к нулю при п оо.

Определение. Стационарная последовательность {£„} удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (РСП), если коэффициент перемешивания р(п) = вМ\Р(В\А) - Р(В)|: А € Ве Р(А) > 0} стремится к нулю при п -4 оо.

В 50~е-70-е годы использование плодотворной идеи секционирования позволило И. А. Ибрагимову, Ю.А. Розанову, В. А. Статулявичусу, М. Ро-зенблатту и др. осуществить значительное продвижение в построении асимптотического анализа сумм слабо зависимых величин (см., например, [12,18, 20, 21, 40]). В течение этого промежутка времени были получены результаты о применимости центральной предельной теоремы (ЦПТ) к суммам зависимых величин.

Пусть 5„ = Е — Уаг5„ — дисперсия суммы, М(а, а) —нормаль1 ная случайная величина с параметрами (а, <т), и 4 — символ сходимости по распределению.

Определение. Говорят, что к стационарной последовательности {£„} применима ЦПТ, если Е^ < оо и нормированные с помощью квадратного корня из дисперсии суммы сходятся по распределению к нормальной случайной величине: р 1), П-+00. уУаг 5„

Хорошо известно, что к последовательности независимых одинаково распределенных невырожденных величин с конечными вторыми моментами ЦПТ применима всегда. И. А. Ибрагимов в книге [12] выдвинул гипотезу о том, что если стационарная последовательность {£»} удовлетворяет условию РСП, < оо, <г„ оо при п —> оо, то к последовательности применима ЦПТ. Он же показал в [12], что если < 00 Для некоторого В > 0 и <г„ —оо при п —> оо, то имеет место ЦПТ. Хотя гипотеза Ибрагимова не подтверждена и не опровергнута до настоящего времени, в этой области получены следующие серьезные результаты, в которых не накладываются никакие ограничения на скорость перемешивания (стремления коэффициента перемешивания к нулю).

Теорема А (М. Пелиград, [37]). Пусть {£„} — стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП. Предположим, что < оо и <г% = Уаг 5„ со. Тогда, для того чтобы к последовательности {£»} была применима ЦПТ достаточно, а если у>(1) < 1, то и необходимо, чтобы любого е > 0 выполнялось условие Линдеберга

7-2ЕЙ1(|6| > е<тп) О, п оо, где обозначает индикатор события А.

Стоить отметить, что получение этого результата обязано появлению новой техники работы со слабо зависимыми величинами. Используя подход М. Пелиград, А. Г. Гринь получил в работе [3] необходимые и достаточные условия для асимптотической нормальности сумм зависимых случайных величин без предположения о существовании второго момента

Пусть £(*) = < *), Бт(г) = £ &(*), <£(*) = Уаг5т(;гг). Введем з-1 так называемую универсальную нормирующую последовательность (УНП) {&„} для последовательности {&»}:

6„ = вир{;г: ^ 0 : <гп(х) ^ г).

Определение. Будем говорить, что стационарная последовательность {£„} притягивается к нормальному закону, если при некоторой нормировке с помощью констант Ап и В„ +оо при п оо имеет место сходимость нормированных сумм по распределению к нормальной случайной величине:

В'^п - Ап 4 Л^О, 1), п оо.

Теорема В (А. Г. Гринь, [3]). Пусть {£„} — стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП. Для того чтобы {£»} притягивалась к нормальному закону, достаточно, а если у>(1) < 1, то и необходимо, чтобы при любом е > О

ЬМ>п¥Ш>еЬп} = 0.

В последнее время С. А. Утев, А. Г. Гринь, М. Д. Юдин, Дж. Сеймур и др. получили результаты об асимптотической нормальности сумм даже для схем серий случайных величин с ^-перемешиванием, в том числе и без предположения о стационарности [6, 22, 23, 41]. Однако стоит отметить, что в дайной работе рассматривается только случай стационарных последовательностей, хотя большая часть используемой техники может быть адаптирована и к случаю схем серий слабо зависимых величин.

Исследования, посвященные изучению сходимости к устойчивым распределениям, позволили выяснить, что кроме условия РСП необходимо наложить дополнительные ограничения на зависимость соседних слагаемых. В противном случае содержательных результатов о сходимости к устойчивым законам получить не удается. По этой причине в работе А. Г. Гриня [4] появилось еще одно условие слабой зависимости.

Определение. Стационарная последовательность {£„} удовлетворяет условию симметричного Х-перемепшвания, если вир игй^в)): а € в е "ч^®) >°}<». вир {АоетрГ А е ПШВ) > о) « 1, где Х(х) — некоторая функция, монотонно убывающая к нулю при х —* +0.

Легко видеть, что последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин удовлетворяет условию симметричного А-перемешивания, например, при А(х) = х. Заметим также, что консгал-та 1, фигурирующая в определении А-перемешивания, может быть заменена на символ бесконечности, а нестрогое неравенство — строгим, поскольку это обеспечивается надлежащей нормировкой функции \(х). Для удобства оформления доказательств будет использоваться исходное определение.

Определение. Говорят, что стационарная последовательность {£„} притягивается к устойчивому закону порядка, а € (0,2], если при некоторой нормировке с помощью констант Ап и Вп +оо при п —> оо нормированные суммы сходятся по распределению к случайной величине с устойчивым распределением порядка а:

B^Sn — Ап -4 St(af), n -¥ оо.

Предполагая выполненными условия СП и симметричного А-перемеши-вания, можно получить необходимые и достаточные условия для притяжения стационарной последовательности к устойчивым законам.

Теорема С (А. Г. Гринь, [4]). Пусть {£„} — стационарная последовательность, удовлетворяющая условиям СП и симметричного Х-переме-шивания. Для того чтобы {£„} притягивалась к устойчивому распределению с показателем 0 < а < 2, необходимо и достаточно, чтобы а) распределение & принадлежало области притяжения устойчивого закона с показателем а, то есть чтобы выполнялись равенства

2? где С\ ^ О, С?2 ^ О, С\ + Сг > 0, h(x) — медленно меняющаяся функция; б) Hjn пР{ 161 > ад = (2 - а)/а, где {Ь„} - УНИ

В результате обобщения результатов подобного типа на схемы серий в предположении симметричного А-перемешивания были получены необходимые и достаточные условия сходимости распределений сумм зависимых величин к заданным безгранично делимым распределениям [6].

Пусть {£„} — последовательность независимых одинаково распределенных с.в. Тогда, согласно известному классическому результату (см. например, [12, с. 102]), распределение & принадлежит области притяжения нормального закона тогда и только тогда, когда функция Н(х) = Е^а;) является медленно меняющейся (ММФ). В случае слабо зависимых величин до сих пор не подтверждена и не опровергнута гипотеза Ибрагимова-Иосифе ску, состоящая в том, что стационарная последовательность {£«}, удовлетворяющая условию РСП с ограничением <р(1) < 1, и такая, что Н{х) — ММФ, притягивается к нормальному закону.

Хорошо известны два достаточных условия для медленного изменения Н(х): существование конечного второго момента (Е£| < оо) и правильное изменение хвоста распределения одного слагаемого 1 ^ х} — правильно меняющаяся функция (ПМФ) порядка —2). В 1990 году М. Пе-лиград получила следующий важный результат, имеющий тесную связь с упомянутой выше гипотезой Ибрагимова-Иосифеску.

Теорема И (М. Пелиград, [39]). Пусть {£„} — стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, причем (р{ 1) < 1. Предположим, что р{|6| £ X} = 1/(Л(*)), где к(х) — ММФ. Тогда {£„} притягивается к нормальному закону.

Теперь перейдем к постановке задачи данной работы. Пусть {£„} — стационарная последовательность с перемешиванием, зп — £?~15„ — А„, где Вп +оо и Лп — некоторые нормирующие константы. Требуется получить общее представление распределении сумм слабо зависимых величин вне зависимости от того, имеет место сходимость к какому-либо предельному распределению или нет (точные формулировки приведены ниже в теоремах 2.2.1, 2.3.1, 2.3.2). Указанное представление должно обеспечивать возможность вывести большинство из известных результатов, включая сформулированные выше.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, указателя обозначений и списка литературы. Нумерация параграфов в каждой главе самостоятельная. Формулы, теоремы, леммы и т. п. имеют номера, состоящие из трех цифр: номер главы, номер параграфа и номер формулы, теоремы, леммы и т. п. внутри параграфа.

1. Борисов И. С. Аппроксимация распределений гладких функционалов от сумм независимых случайных элементов в банаховых пространствах.// Труды Ин-та математики СО АН СССР, Новосибирск: Наука, 1989, Т. 13, С. 7-40.

2. Борисов И. С., Боровков А. А. Аппроксимация второго порядка случайных ломаных в принципе инвариантности Донсюераг-Прохорова./ / Теория вероятн. и ее применен., 1986, Т. 31, № 2, С. 225—245.

3. Гринь А. Г. Об областях притяжения для сумм зависимых величин.// Теория вероятн. и ее применен., 1990, Т. 35, К1 2, С. 255-270.

4. Гринь А. Г. Области притяжения для последовательностей с перемешиванием.// Сиб. матем. журнал, 1990, Т. 31, № 1, С. 53-63.

5. Гринь А. Г. Нормирующие последовательности в предельных теоремах для слабо зависимых величин.// Теория вероятн. и ее применен., 1991, Т. 36, № 2, С. 285-300.

6. Гринь А. Г. Предельные теоремы для схем серий слабо зависимых величин.// Теория вероятн. и ее применен., 1995, Т. 40, К« 4, С. 888-897.

7. Давыдов Ю. А. О сходимости распределений, порожденных стационарными случайными процессами.// Теория вероятн. и ее применен., 1968, Т. 13, № 3, С. 730-737.

8. Давыдов Ю. А. Условия перемешивания для цепей Маркова.// Теория вероятн. и ее применен., 1973, Т. 18, К4 2, С. 321-337.

9. Дубровин В. Т., Москвин Д. А. Центральная предельная теорема для сумм функций от последовательностей с перемешиванием.// Теория вероятн. и ее применен., 1979, Т. 24, К« 3, С. 551-564.

10. Зайцев А. Ю. Многомерный вариант второй равномерной предельной теоремы Колмогорова.// Теория вероятн. и ее применен., 1989, Т. 34, № 1, С. 128-151.

11. Ибрагимов И. А. Некоторые предельные теоремы для стационарных в узком смысле вероятностных процессов.// ДАН СССР, 1959, Т. 125, № 4, С. 711-714.

12. Ибрагимов И. А.,ЛинникЮ. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965, 524 С.

13. Клоков С. А. Строгая центральная предельная теорема для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.// Сборник НИИ МИОО "Актуальные проблемы современной математики", 1997, Т. 3, С. 87-94.

14. Клоков С. А. Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием.// Вестник Омского университета, Вып. 2, 1997, С. 11-13.

15. Клоков С. А. Асимптотическое представление распределений сумм слабо зависимых величин.// Труды Института математики СО РАН, 1999, № 2, С. 21-56.

16. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Изд. И-Л., 1962, 720 С.

17. Розанов Ю. А. О центральной предельной теореме для аддитивных случайных функций.// Теория вероятн. и ее применен., 1960, Т. 5, К® 2, С. 243-246.

18. Розанов Ю. А. О центральной предельной теореме для слабо зависимых величин.// Труды VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс: Гос. изд-во полит, и науч. лит. ЛитССР, 1962, С. 85-95.

19. СенетаЕ. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985, 142 С.

20. Статулявичус В. А. Некоторые новые результаты для сумм слабо зависимых величин.// Теория вероятн. и ее применен., 1960, Т. 5, № 2, С. 258-259.

21. Статулявичус В. А. Об уточнениях предельных теорем для слабо зависимых величин.// Труды VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. Вильнюс: Гос. изд-во полит, и науч. лит. ЛитССР, 1962, С. 113-119.

22. Утев С. А. Суммы случайных величин с ^-перемешиванием.// Труды Ин-та математики СО АН СССР, Новосибирск: Наука, 1989, Т. 13, С. 78-92.

23. Утев С. А. О центральной предельной теореме для схем серий случайных величин с ^-перемешиванием.// Теория вероятн. и ее применен., 1990, Т. 35, К« 1, С. 110-117.

24. Феллер В, Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1984, 751 С.

25. Юдин М. Д. Сходимость распределений сумм случайных величин. — Минск: Университетское, 1990, 254 С.

26. Хеннекен П. Д Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974, 472 С.

27. Юринскии В. В. О точности нормального приближения вероятности попадания в шар,// Теория вероятн. и ее применен., 1982, Т. 27, № 2, С. 270-278.

28. Bernstein S. N. Sur l'extension du theoreme limite du calcul des probabilités aus sommes de quantités dépendantes condition.// Math. Ann., 1926, V. 97, P. 1-59.

29. Bradley R. On the ^-mixing condition for stationary random sequences.// Duke Mathematical Journal, 1980, V. 47, № 2, P. 421-433.

30. Bradley R. A remark on the central limit question for dependent random variables.// Journal Appl. Probab., 1980, V. 47, P. 94-101.

31. Bradley R. Central limit theorems under weak dependence.// Journal Multivariate Anal., 1981, V. И, № 1, P. 1-16.

32. Bradley R. Basic properties of strong mixing conditions.// Dependence in Probability and Statistics (Ser. Progress in Probability and Statistics). Boston — Basel — Stuttgart: Birkhâuser, 1986, V. 11, P. 165-192.

33. Bradley R. Identical mixing rate.// Probab. Theory and Related Fields, 1987, V. 74, № 4, P. 497-503.

34. Dehling H., Denker M., Philipp W. Central limit theorems for mixing sequences of random variables under minimal conditions.// Ann. Probab., 1986, V. 14, m 4, P. 1359-1370.

35. Herrendorf N. Stationary strongly mixing sequences not satisfying the central limit theorem.// Ann. Probab., 1983, V. 11, № 3, P. 809-813.

36. Kesten H., O'Brien G. L. Examples of mixing sequences.// Duke Mathematical Journal, 1976, V. 43, № 2, P. 405-415.

37. Peligrad M. An invariance principle for ^»-mixing sequences.// Ann. Probab., 1985, V. 13, N« 4, P. 1304-1313.

38. Peligrad M. On the central litim theorem for p-mixing sequences of random variables.// Pros. AMS, 1987, V. 101, № 1, P. 142-148.

39. Peligrad M. On Ibragimov-Iosifescu conjecture for ^»-mixing sequences.// Stochastic Processes and their Applications, 1990, V. 35, P. 293-308.

40. Rosenblatt M. A central limit theorem and a strong mixing condition.// Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1956, V. 42, № 1, P. 43-47.

41. Samur J. Convergence of sums of mixing triangular arrays of random vectors with stationary rows.// Ann. Probab., 1984, V. 12, № 2, P. 390-426.