Предельные теоремы для схемы суммирования случайных величин с остаточной зависимостью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

;■ " ад

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

IIя права* рукописи

РУСАКОВ ОЛЕГ ВИТАЛЬЕВИЧ

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СХЕМЫ СУММИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С ОСТАТОЧНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ

01.01.05.-теория пероятпостгЯ и матгмптичргкля статистика

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1993 г.

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государствен ного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.ЛАВЫЛ О

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ -доктор физико-математических наук Л.В.РОЗОВСКИЙ кандидат физико-математических наук А.Н.ТИХОМИРОВ

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -Санкт-Петербургское отделение Математического института иы В.А. Стеклова.

Защита состоится " МАРТА 1994г. в ^ ~ часо на заседании спепиализированного совета К 063.57.29 по прису ждению ученой степени кандидата физико-математических наук : Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., 2 математико-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького СПбГУ, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан ".¿Л

с^&И^о^А IflflZ г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук Рейнов О.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Определение наиболее общих, наи-олее адекватных природе п технике типов зависимостей между тучайными величинами - одна из важнейших задач теории неро-гностей, имеющая глубокие исторические корпи. Исторически га проблема восходит, пожалуй, к определению цепей Маркова коэффициента корреляции. В последнее время наблюдается ¡ослабевающий интерес к изучению стационарных последова-¡льностеЙ с различного рода перемешиваниями. Вводятся новые гаы зависимостей, такие, как, например, ассоциированные слу-кйные величины, рассматривается предельное поведение сумм !я сильнозависимых последовательностей. Отметим здесь ра->ты И.А.Ибрагимова, М.С.Такку, Д.Эндрюса, Ю.А.Давыдова, список этот можно существенно расширить. Появление новых допредельных схем для классических гаус-эвеких процессов, например, для процесса Орнстейна - Улен-ка или интеграла от него, позволяет лучше изучить эти про-ссы, особенно в тех случаях, когда данные схемы имеют дис-етную структуру.

Цель работы. Целью настоящей работы явилось построив случайных величин, связанных остаточной зависимостью, ^следование асимптотического поведения сумм таких случай-х величия. Следующей целью работы было определение асим-»тического распределения случайных ломаных, построенных значениям стационарной последовательности случайных вели-I с определенной нами остаточной зависимостью, в частности >еделение распределение выборочного среднего. Метода! исследования. Диссертационная работа исполь-т прямые вероятностные методы, предельные теоремы теории оятностей, рекуррентные и асимптотические соотношения для мы серий случайных величин.

Научная новизна. В диссертации введен новый тип зависимости случайных величин. Класс случайных величин с рассматриваемой зависимостью можно обобщить. Получена новая допредельная схема серий для процессов Орнстейна - Уленбека и интеграла от этого процесса. Наша модель естественным образом трактует понятие "вязкости" процесса Орнстейна - Уленбека, которая показывает степень остаточной зависимости случайных величин, определенных схемой.

Впервые получена допредельная схема дискретного типа для аппроксимации процесса Орнстейна - Уленбека. Доказаны функциональные предельные теоремы, получена оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм случайных величин с сильной остаточной зависимостью, доказан ряд локальных предельных теорем.

Практическая ценность. Новое понятие остаточной зависимости было Введено для описания модели сильно зависимого дискретного гауссовского шума и для определения распределения выборочного среднего такого шума. Подобные модели могут быть применены к обработке данных физического эксперимента с очень высокой скоростью регистрации измерений. Построенная схема может помочь в объяснении эффекта невыполнения закона больших чисел и дает асимптотическое распределение выборочного среднего, - оценки полезного сигнала.

Другой аспект применения построенной схемы может быть связан с задачей компьютерного моделирования процессов. Построенная нами схема конструирует допредельную последовательность процессов для процесса Орнстейна - Уленбека. Данная конструкция позволяет естественным образом моделировать (симулировать) процесс Орнстейна - Уленбека на компьютере с ' помощью алгоритма, описанного в основном определении 1.

Кроме этого, результаты работы могут быть применены ко многим другим моделям естествознания, где возникают стацио-

варныо последовательности или интегралы от оных. В частности , понятие остаточной зависимости может найти применение к описанию моделей стохастической финансовой математики, помочь в определении стоимости пенных бумаг определенного вида.

Ал робация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции по стохастике МОЛА-3 (СПб, 1992), па семестре памяти А.Н.Колмогорова (Международный институт им.Эйлера, СПб, 1993), на VI международной Вильнюсской конференции по вероятности и математической статистике (1993), неоднократно на общегородском семинаре по случайным процессам (ПОМИ, СПб, 1992-1993).

Публикации. По теме диссертации опубликована работа "Центральная предельная теорема для одной схемы суммирования", имеются публикации в тезисах международной конференции МОЛА-3 и в тезисах VI международной Вильнюсской конференции по вероятности и математической статистике.

Структура и объем работы. Лиссертационная работа состоит из списка обозначений, введения, трех глав (12 параграфов) и списка литературы, содержащего 20 наименований. Общий объем работы 96 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий историко-библиографический обзор некоторых типов зависимостей, касающихся темы диссертации, сформулированы основные результаты. Кроме этого, описаны аспекты применения некоторых'из полученных результатов.

Следующие символы будут обозначать:

Д

= - равенство по определению, а

= - равенство по распределению;

=> - слабую сходимость в функциональных пространствах;

В главе I дается правило построения схемы и определение остаточной зависимости, перечисляются основные свойства.

Основное определенне 1. Пусть N - достаточно большое натуральное число, натуральное т < N. Дадим рекуррентное правило построения схемы последовательности строк случайны* величин с остаточной зависимостью: ,

(0) Упорядоченный набор независимых случайных величиЕ ... назовем нулевой строкой схемы.

(1) Пусть определена п-ал строка схемы

Из множества натуральных чисел {1,2..., -ЛГ} выберем случайным образом, возможно с неравномерным распределением, т различных чисел, которые пускай суть ^ = ^(п),...— кт(п), Случайные величины .. с соответствующими вы-

бранными номерами заменим их независимыми копиями следующим образом:

(^(П-.СЙеО) ^ зависит от {^{Щ,... .

Остальные случайные величины ,3 ф к1,...,кт мы оставим без изменения. В итоге, меняя индекс } от 1 до ЛГ, получим (п+1)-

ую строку сдсмм, определяемую выражением:

$(nf,,(JV) = í(n+,) = { ПР" 7 ^ .....(1)

1 1 I иначе.

Выбор чисел Хг|(л),..., tm(n)'МЫ протподим нстписичим оГ>ра-

,юм' для рашых строк п. Пег наборы чампппииии* «лучлПнмх

Величии ... также, не tamuiunj Но ( oiiokv иное ni

1:трок 0,1,..., п,____

■..Наметим, что выбор в каждой строке m замещаемых случлй-

Йьга величин может производиться как Пет («».«вращении, так и

г) опым. Одпако, для определенности, мга будем полагать, что

¿(ыСор производится бел возвращения. П лсйсгпителмюсги, псе

асимптотические соотношения при N —* <ю ио Г>улут чаписеть от i . способа выбора.

Определенную-посредством (1) последовательное г», прок мы

прелгтпттм я пил'* таблицы;

»(D) fill)

Ч i ••• i, . •••

f(l) ,(»> ,0> si i ••• Су у ••• С.jv

: i i (2) í(") ¿(n) t(n)

41 » • • • Qj i • • • t,N

Важно отметить, что строки таблицы (2) будут образовывать стационарную и марковскую последовательность случайных векторов. Введем некоторые наименования:

Схему построения, описанную определением 1, мы будем называть ф-схемой (или, когда вто требуется, (З(т)-схемой);

число N назовем порядком Q-схемы; число m - вязкостью Q-схсмы;

случайные величины ^ i = 0,1,..., j — 1,... N - элементами Q-схемы; числа itr(n)> Г = п = 0,1,... назовем моментами

или точками замещений в Q-схеце.

Оказывается, что практически все наиболее-содержательные случаи вкладываются в случай п — N, т.е. достаточно рассма-фииагь квадратную таблицу (2). Отсюда и название, от латинского: "Quadrat (Q)-схема".

Отмстим, что последовательность строк Q-схемы представима как случайный объект, заданный на прямом произведении лнух пероятностных пространств:

1) пространства, на котором заданы две независимые последовательности, состоящие из независимых в совокупности случайных ж-личин 6,6,... и 71,^,...;

'¿) пространства, на котором задали псе случайпьге момгпты замещений в схеме, т.е. случайные наборы чисел {А|(п),.... Дщ^'О) чли »> = 0,1,..., независимы по совокупности иллексоп »».

Ладим определение последовательности случайных членен Ion, связанных между собой остаточной гаяпгпмагтьч.

Определение 2. Пусть {X, Л } - измеримое пространство / : X - измеримое отображение, относительно (7-алгебрь

берелевских множеств R^. Пусть случайные величины определены с помощью (1). Случайный элемент

Хп{Ю = (з;

положим п-ым элементом последовательности с остаточной зави симостью, порожденной Q(m)-схемой.

В настоящей ра.боте мы ограничиваемся рассмотрением слу чая, когда выбор т моментов замещений на каждой строке проис ходит равномерно, а элементы Q-схемы . оди

каково распределены. При етои мы предполагаем, что

= 0 и 0£<с> й „I <00. Мы будем исследовать асимптотическое повеление нормированных на у/Я построчных сумм, полагая в (3), что

и рассматривая последовательность X(|^N),X|(ЛГ),... в смысле схемы независимых серий по индексу N при фиксированной вязкости т.

Таким образом, основные объекты рассмотрения в данной работе - ято построчные суммы элементов и сумма построчпых сумм. Сумму по »-ой строке будем обозначать через

N

= ''=п.1..... (-о

Сумму сумм алемеятов с 0-ой строки по п ую будем обозначать:

= = , п = 0,1............(5)

1=0

Лля произвольных фиксированных к^З две строчные суммы и сильно зависимы в следующем смысле:

где / - произвольная функция, монотонно возрастающая к бесконечности.

Теорема 1. В принлтих обозначениях при любом положительном < длх любого е > 0 выполнено неравенство

Р{ тах |^п)(ЛГ)|>с} < +

В главе II исследуется структура столбцов С?-схемы, вычисляется асимптотическое значение Также там доказываете^, что условная дисперсия суммы сумм, относительно <7-алгебрь1| порожденной точками замещений, асимптотически вырождается к безусловной дисперсии.

Рассмотрим какой-нибудь столбец с номером » из таблицы (2). Пусть Гп(|) обозначает сумму элементов Р-схемы по ¿-му

столбцу: Кп = Кп(») =

Предложение 1. Случайная величина К»(|) при вежком » представима в следующей форме:

ш *=0

Здесь:

a) ¿(г) есть случайное число, не превосходящее п;

b) •• • ~ независимая копия последовательности ,^2»___»

c) все наборы случайных величин • • -СР^} независимы по совокупности индексов I;

<1) веса ...х^... суть зависимые случайные числа с "усе-

ченным" геометрическим распределением, т.е.

{

где !/(£) есть уровень урезания, при этом: е(0) — п + 1, р + д = 1, р > 0, д > 0 . Лля наглей схемы р =

(•) -V

Все веса х\ измеримы относительно «т-алгебры Т„, порожденной точками изменений в п строках ф-схсмы, и зависимы таким образом, что выполняется соотношение

!/(*+ 1) = (п + 1)-(х^ + ... + х[°).

Случайное число Ь{х) зависит лишь от значений случайных величин го,"*!1»*-' и определяется из условия ¿^=0 х\ = я + 1* Случайные числа х^ зависимы для различных столбцов (для разных но все столбцы имеют одинаковое распределение со структурой случайного числа независимых, одинаково распределенных случайных величин с зависимыми случайными весами (б). Вектор весов

*з ЗД = («»,(7)

п+1

мы будем называть вектором блоков столбца { высоты п.

Асимптотическое поведение построчных сумм. Лалсе мы предполагаем, что Е& = 0 и рассматриваем ф-схему высотой п = [№] для О 0.

Теорема 2. Асимптотическая дисперсия суммы сумм выражается соотношением

1 9гг2

Обозначим асимптотическую дисперсию нормированной суммы построчных сумм как

Теорема А. Пусть х,у суть два лектора блоков (определенных (7)) двух резных столбцов высоты N - 1. Для этих векторов выполняется следующее ковариацонное неравенство:

Здесь |[ • ||/у обозначает Евклидову норму в А^-мерном линейном пространстве.

Теорема 4. Для всякого фиксированного < > 0 распределение нормированной условной, дисперсии асимптотически вырождается в точке

±Щ81ш]\Ут}$о1(1), N—>00.

Лемма 1. Для всех достаточно больших N условная дисперсия суммы сумм сверху и снизу зажимается множителем № посредством следующего неравенства:

Сг(тУ0№ < < С2(т)а»ЛГ3.

В главе 1П доказывается центральная предельная теорема для последовательности, {¿^у} вместе с оценкой скорости сходимости в ней, ряд локальных предельных теорем. Также приведены две функциональные предельные теоремы для последовательности сумм элементов по схеме из {Ш] строк и для случайных ломаных, построенных по нормированным построчным суммам.

Теорема Б. (Центральная предельна* теорема для (¿-схемы.)

1оложим в ИПТ $ = 1.

Теорема в. (Оценка скорости сходимости длж (¡-схемы.)

С ЫМ

при Е[^||2+5 < оо для 6 > 1

?К

< г) - Ф(х)| <

при <оо для6< 1,

де Е|(1|2+в = цш; д7т = (2/т5)(т - 1 + е""1 ). Легко видеть, то здесь а= ^т(^) ПРИ °о ~

I данной выражении для скорости сходимости значение константы ' нами не определяется, а константа А - го классического нера-енства Берри - Ессеена.

Принципы инвариантности для ¿?-схемы. Имеем ковари-циопные соотношения:

^5(0),5(^1)) _ е-"1, Л-* оо.

1 - е~ш

уД(тг - 1 + е~т* '

N оо.

усть = >т(4) обозначает процесс Орнстейна - Уленбека, нулевым средним, дисперсией и коэффициентом корреляции

ехр{—ш<}. Обозначим интеграл от процесса Орнстейна - Улен-бека как

ЦЦ) = I 2{х)йх.

При этом известно, что дисперсия сечения процесса 11(1) равна {2оЦгг?)(т1 - 1 + егр{-тО).

Теорема 7. (Принцип инвариантности для (^-схемы в интегральной форме.) Рассмотрим семейство непрерывных кусочно -линейных случайных ломаных, порожденных суммами сумм. Распределения этого семейства в С[о,1] слабо сходятся к распределению интеграла от процесса Орнстейна - Уленбека.

Теорема 8. Распределения кусочно постоянных ломаных, порожденных построчными суммами слабо сходятся к распределению процесса Орнстейна - Уленбека.

N-+00.

При этом сходимость будет в равномерной топологии пространства Скорохода Ю[о,ф а предельная точка будет принадлежать пространству непрерывных функций С[о,1]'

Локальные предельные теоремы. Обозначим:

/^(х) плотность распределения Бм/^^/Н);

ф{€) характеристическую функцию элемента схемы, т.е.

<р(х) плотность стандартного нормального закона 1);

1ра(х) плотность нормального закона ^(0, о2).

>

Теорема 9. Пусть ajj, = Допустим, что элементы

Q-схемы имеют плотность. Тогда

IIfs - VtJUl -»О, N -+ СО.

;: Теорема 10. Предположим, что распределение {] сосредоточено на решетке {а+ fc/i} ,fc = 0,1,... . Не теряя общности ми Предполагаем, что а = О ,Л = 1. Тогда

siip I От N VN P(Sn = k) - tp(—ULo, N-> 00. , k I V<rm N>JN' I

Теорема 11. Допустим, что существует такое г > 0, что

J^(t)\rdt.< оо.

Тогда /лг(я) существует для всех N > N(r) и выполняется соотношение ,

IIn(,x) - v?(i)| -» 0 , N оо.

z

По теме диссертации опубликованы работы:

[1] Русаков О.В., Центральная предельная теорема для одной схемы, суммирования. Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей. -СПб, 1993, с.241-251.

[2] Rusakov, O.V., Limit Theorems for a Scheme of Summations Rv's, J-rd International Workshop on MODA-3, S-Petersburg, 1992, p.28

[3] Rusakov, O.V., Strong Dependent Random Variables Generated by i Scheme of Summation, Theeises of VI International Vilnuis Conference )n Probability Theory and Mathematical Statistics, 1993, 2, p.115-116.