Асимптотические задачи изучения распределения геометрической суммы случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ЭЛЬ САЙЕД ХАССАН САЛЕХ НУШВД

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

0I.0I.C6 - Теория вероятностей и математическая статистика'

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент-1993

Работа выполнена в Ташкентском государственном университете

Научный руководитель - член-корреспондент АН Республики Узбекистан, доктор физико-матеМатических наук, профессор Т.А.АЗЛАРОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

М.У.ГАФУРОВ

кандидат физико-математических наук, доцент

А.А.ДОМИРЗАЕВ

Ведущая организация - Московский государственный

университет им.М.В.Ломоносова

Зашита диссертации состоится " " , /1993 г.

з /¿¿_' чэсоъ на заседании специализированного совета

К 067.02.13 в Ташкентском государственном университете

по адресу: 700095, Ташкент, Вузгородок, Таш1У, факультет прикладной математики и механики, ауд. 205"А"

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таш1У (Вузгородок).

Автореферат разослан " / г.

в

Учет:п секретарь спецпплизи-гогпикого совета, доктор г.^.'.ко-^тгяптическлх наук, г.оц^гг

И.Иирзавв

г'

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. После завершения определенного этапа разработки теории предельных теорем для сумм независимых случайных величин (н.с.в.) в 40-50 годах начали появляться и решаться задачи изучения асимптотического поведения распределений сумм случайного числа н.с.в. Эти задачи возникали в связи с потребностями последовательного анализа, теории массового обслуживания, теории надежности, теории ветвящихг ся процессов и др. Наряду с задачами типа переноса классических результатов на эту схему решались задачи более глубокого изучения некоторых специфичных схем случайного суммирования.

В работах А.Еальда, А.Н.Колмогорова, Ю.В.Прохорова, Р.Л.Добрупшна, Г.Роббинса, Б.В.Гкеденко и его учеников, С.Х.Сираждинова и его учеников, В.Рихтера, Й.Модьороди, В.М.Круглова и др. эта проблематика получила существенное развитие, обогащаясь новыми идеями и методами исследования-

В силу ряда причин (которые обстоятельно излагаются во введении диссертации) с особым интересом изучается распределение геометрической случайной суммы н.с.в., т.е. суммы,когда число слагаемых имеет геометрическое распределение. В статье Азларова Т.А., Атакузиева Д.А., Джамирзаева A.A.1'

Азларов Т.А., Атакузиев Д.А., Джамирзаев A.A., Схема суммирования случайных величин с геометрически распределенным случайным индексом. Предельные теоремы для случайных процессов. Ташкент "Фан", 1977. С.6-21.

приведен обзор результатов по предельным теоремам для такой

схемы суммирования. В монографии В.М.Круглова и В.Ю.Корсде-2)

ва ' геометрическим случайным суммам посвящена отдельная глава (гл.8). Хотя многие проблемы теории предельных теорем для этой схемы суммирования решены, но имеется так же ряд нерешенных задач. Например, отсутствуют сколь-нибудь удовлетворительные асимптотические разложения для распределения геометрической случайной суммы, представляет также несомненный интерес определить влияние решетчатости распределения слагаемых на вид асимптотического разложения.

Цель работы. Диссертация посвящена, в основном, установлению асимптотических разложений (как для решетчатых, так и для нерешетчатых распределений слагаемых), для Функции распределения (ф.р.) геометрической случайной суммы неотрицательных, одинаково распределенных, н.с.в. в предположении конечности второго момента слагаемых.

Методы исследования. В работе используются метод характеристических функций и прямые вероятностные методы. Научная новизна. В диссертации установлены: а) необходимое и достаточное условие решетчатости распределения случайной суммы независимых, одинаково распределенных случайных величин (сл.вел.) при невырожденном распределении числа слагаемых,

2) В.М.Круглов, В.Ю.Королев. Предельные теоремы для случайных сумм. М., Изд-во, Моск. ун-та, 1990, СЛ90-262.

б

д) асимптотические разложения для ф.р. геометрической случайной суммы неотрицательных, одинаково распределенных, н.о.в. в предположении конечности второго момента слагаемых,

в) асимптотические разложения в глобальной теореме для ф.р. геометрической случайной суммы неотрицательных, одинаково распределенных, н.с.в. в предположении конечности второго момента слагаемых.

Эти разложения различны в зависимости от того, нерешетчатое или решетчатое имеет распределение геометрическая случайная сумма,

г) асимптотически экстремальное свойство распределения Бернулли в рассматриваемой схеме суммирования,

д) равномерные оценки скорости сходимости в предельной теореме для распределения геометрической случайной суммы, выясняющие роль одного слагаемого в этих оценках.

Практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они, а также некоторые вспомогательные лем-мы^ могут быть использованы при доказательствах асимптотических разложений для других схем суммирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах в Ташкентском государственном университете, в Институте математики им. В.И.Романор-ского АН Республики Узбекистан, а также в департаменте математики Айн-Шамсского университета (А.P.E.).

Публикации■ По результатам исследований опубликовано 3 научны© статьи," список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения и восьми параграфов и списка литературы, содержащего 39 наименований. Общий объем работы 121 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность теш диссертации и определена цель исследования. Здесь же дана общая характеристика полученных результатов.

В § I приведены краткий обзор результатов по изучению распределения геометрической случайной суммы, постановки задач и основные достижения, полученные в диссертации. Пусть дана последовательность

независимых, неотрицательных, одинаково распределенных сл. вел. с ф.р.

. Пусть, • далее

^ ~ ^ (,£.) - семейство целочисленных сл.вел. с геометрическим распределением

Будем считать, что семейства | и |

независимы в совокупности.

Всюду в дальнейшем ш будем изучать распределение сл.

вел.

'<*>

при вышеприведенных условиях. Случайную ветчину ^ будем называть геометрической случайной суммой, а эту схему суммирования - схемой геометрического суммирования. Пусть

— м

к—

Ой

где ^(Х)- ф.р. показательного закона с параметром!,

т.е.

О , если X ^ О ,

£ (ЭС) - { > если х ^ 0

( ^Зс.^- наибольшее целое число ^ ОС. )•

Теорема I. Пусть распределение сл.вел. ^ нерешетчатое и с^ ^ < «о . Для всех ОС ^ Хс > 0 >

при —> О справедливо разложение

Теорема 2. Пусть шожество возможных значений сл.вел.^

есть

Ч >0 И

1) Ы^оо,

2) - максимальный шаг распределения сл.вел. £

3) ОХ. и . Ц. соизмеримые, т.е.

при не-

Р *)

котором рациональном тг- и •

Н'

Тогда для всех Ос. ^ 0С_о ^ 0 . при —> 0 справедливо разложение

1(0,1)(1- ОС) ОТ х+

-V

Теорема 3. Пусть множество возможных значений сл.вел.^ есть к^о и

I)

2) - максимальный шаг распределения сл.вел.^^

^ ^ Р ' % ) ~ наи(5ольший общий делитель двух целых чисел р^О . и С^, ^ £ . В случае 01—0 бУДем тать, что р =-0 С^ — 1 •

очи-

3; CL и к несоизмеримые.

Тогда для всех X > 0Со > О при —> О справедливо разложение (3).

' Теорема 4. Пусть распределение сл.вел. нерешетчатое и Ы 2_ 00 . Тогда при —> 0 справедлива асимптотическая формула

(4)

Теорема 5. Пусть множество возможных значений сл.вел.^ есть {а+^Ь., 1Д,...1,0.^0, К. >0 И

2) к. - максимальный шаг распределения сл.вел. ^

3) 0_ и 1т. соизмеримые, т.е. О. — при некотором рациональном ^ —^ .

и = 1 •

Тогда при —^ 0 справедлива асимптотическая

формула

? А-г. + о(£.) >

где

Г к , если

А_ . если Д, i • ■

■ Не

Теорема 6. Пусть множество возможных значений сл.вел.^

есть , к-0,1,г,... 1, 0->о, и

1) ^ 1 < ^ г < °°)

2) К. - максимальный шаг распределения сл.вел. ^ >

3) Сс и 1г. несоизмеримые.

Тогда при —^ 0 справедлива асимптотическая формула (4).

Как известно, в классической схеме суммирования разложения для ф.р. центрированной и нормированной суммы сл.вел. были различными для нерешетчатого и решетчатого распределений Р (Эс.) . Из сформулированных выше теорем мы заметим, что и в схеме геометрического суммирования они различны в зависимости от того, нерешетчатое или решетчатое имеет распределение с^ . Приводимая ниже лемма I показывает, что для решетчатости распределения ^^ , вообще говоря, недостаточно решетчатости распределения сл.вел. ^ . Эта лемма устанавливает необходимое и достаточное условие решетчатости распределения ^^ (при невырожденом распределении сл. вел. ^ ).

Лемма I. Пусть (1) - последовательность независимых, невырожденных, одинаково распределенных сл.вел. с множеством возможных значений 10.+ КЬ-, 1ч = 0,1, 2.,... О- ^ О и к. у 0 - шаг распределения; ^ - невырожденная сл.вел. с возможными значениями 1,2,3,... . Семейство ] ^ [ и ) взаимно независимы. Тогда распределение ^^^ будет решетчатым тогда и только тогда, когда (X г к являются соизмеримыми.

Доказательство этой леммы и ряда других вспомогательных предложений составляют содержание §2. В § 3 и § 4 приведены доказательства теорем 1-3 об асимптотическом разложении для распределения геометрической случайной суммы ^ при условии <=¿2 <°£Э .В§5и§6 доказаны асимптотические разложения в глобальной теореме при тех же условиях (теоремы 4-6).

В § 7 мы, следуя К.Г.Эссеену, используя теоремы 1-6, . устанавливаем, что распределение Бернулли

обладает свойством асимптотической экстремальности в рассматриваемой схеме геометрического суммирования.

причем равенство в (6) достигается тогда и только тогда, когда ^ (Эс.) определена формулой (5).

Аналогичный результат имеет место и в случае глобальной теоремы.

Во многих задачах теории массового обслуживания и теории надежности, как правило, схема геометрического суммирования встречается в виде

О , если ЭС. < 0 ,

.если О С ОС < К, (5) £ , если

, если

где ^-неотрицательная сл.вел. с ф.р. = P

и независящая от , а

Q при V - I

В диссертации приведены примеры, подтверждающие вышесказанное.

а\

Известно , что для того-, чтобы при некоторой нормировке при £ —»- О ) имела место дЛя всех .22. сходимость г .

1у

iwL р

г-^о i £

'необходимо и достаточно, чтобы

< * > = E(z),

(8)

(¿т.

= о

j р > и }olu 0 >-

В § 8 исследуется влияние сл.вел. F на оценку скорости сходимости в предельном соотношении (8). Приведем одну из теорем.

Положим

D<t<i

V У

с X

pí-li.

< ÍC

^ Гнеденко Б.В., Фрайер Б. Несколько замечаний к одной работе И.Н.Коваленко. Лит.матем.сб., 1969. Т.2, В 3, С.463-470.

Теорема II. При 1 < < 2 и 0 < Т < 1 существует постоянное С. ('с") , зависящее только от . такое, что

где ^

1+1Г

)г ¿.-т •>

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1) Эяь-Саиед Хассан Салех. Некоторые замечания об оценках скорости сходимости в геометрическом суммировании. Узб.матем.нурн., 1992, № 2, С.66-69.

2) Азларов Т.А., Эль-Саиед Х.С.Н., Асимптотическое разложение в предельной теореме при геометрическом суммировании. Докл. АН РУз., 1992, №8-9. С.4-6.

3) Азларов Т.А., Эль-Саиед Х.С.Н., 0 глобальной теореме для функций распределений при геометрическом суммировании. Докл.АН РУз, 1992, $ 12. С. 6-8.

Подписано к печати 12.01.93г. Заказ № 7 Тираж 100 экз Отпечатано на ротапринта й> АН Республика Узбекистан г.Ташкент, ул.Нуминова 13