Предельные теоремы для числа пересечений полосы траекториями случайного блуждания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Точные формулы и предельная теорема

1.1 Распределение общего числа пересечений полосы в случае геометрического распределения скачков.

1.2 Распределение числа пересечений полосы траекторией простейшего случайного блуждания на отрезке [0, п].

1.3 Предельная теорема.

Глава 2. Полные асимптотические разложения для распределения числа пересечений полосы траекториями случайного блуждания

2.1 Факторизационные представления производящих функций.

2.2 Асимптотические представления производящих функций.

2.3 Полные асимптотические разложения вероятностей.

Глава 3. Полные асимптотические разложения распределения числа пересечений полосы траекториями полумарковских процессов

3.1 Теорема о связи между двумя двойными преобразованиями.

3.2 Факторизационные представления.

3.3 Асимптотические представления.

3.4 Полные асимптотические разложения вероятностей.

Граничные задачи для различных классов случайных блужданий являются весьма важным разделом теории вероятностей. Это объясняется их многочисленными применениями в математической статистике, теории массового обслуживания, в управлении запасами, теории надежности. Теория граничных задач возникла первоначально из рассмотрения простейших схем блуждания, описываемых суммами независимых случайных величин. Термин "граничные задачи" понимается в том смысле, что речь идет об исследовании распределений разного вида функционалов, связанных с достижением границы некоторого множества траекториями случайного блуждания. Первые работы в этой области для блужданий в схеме Бернулли восходят еще к Лапласу. За последние 50 - 60 лет теория граничных задач развивалась преимущественно по следующим направлениям: расширение классов рассматриваемых процессов, увеличение числа изучаемых функционалов, уточнение полученных ранее асимптотических результатов, развитие новых методов исследования.

Заметим, что получить удобные в приложениях формулы для распределений изучаемых граничных функционалов в терминах характеристик исходного процесса удается далеко не всегда. В связи с этим особое внимание в общей теории граничных задач уделяется предельным теоремам, асимптотическим разложениям, оценкам для распределений изучаемых граничных функционалов. Развитие этой области исследований также идет по пути расширения класса изучаемых процессов и рассмотрения все более сложных граничных функционалов.

Среди аналитических методов исследования выделяется метод факторизации — он является достаточно универсальным и позволяет получать весьма глубокие результаты об асимптотике изучаемых распределений при выполнении условий краме-ровского типа. Впервые предложенный B.C. Королюком, этот метод получил развитие в работах А.А Боровкова, Б.А. Рогозина, Э.Л. Пресмана, А.А. Могульского и др. Первые результаты по факторизации сумм случайных величин на цепи Маркова принадлежат Г.Д. Миллеру, Дж. Кейлсону и Д. Вишарту, Э.Л. Пресману.

Диссертация посвящена изучению распределения числа пересечений прямолинейной полосы траекториями случайного блуждания, порожденного суммами независимых одинаково распределенных случайных величин (гл. 1-2) и случайного блуждания, заданного на конечной цепи Маркова (гл. 3). В отличие, скажем, от исследования траекторий стационарных гауссовских процессов, где изучению числа пересечений уровня уделено достаточно много внимания (см. [15]), для процессов с независимыми приращениями и для случайных блужданий распределение числа пересечений уровня и, тем более, полосы изучено мало. Известно неравенство, полученное Дж. Дубом [13], для среднего числа пересечений полосы последовательностью, образующей субмартингал. Для простейших схем блуждания, когда отсутствует эффект перескока через границу, формулы для распределения числа пересечений могут быть получены прямыми вероятностными вычислениями. Это сделано, например, в работе [28] для задачи о пересечениях нулевого уровня целочисленным блужданием с симметричным двухточечным распределением скачков, и в статье [1] для числа пересечений полосы подобным же блужданием (независимо от [1] несколькими годами раньше эта задача в более общей постановке была решена в дипломной работе автора диссертации). Для симметричных случайных блужданий без эффекта перескока (а также для симметричного винеровского процесса) распределение числа пересечений полосы с помощью метода зеркальных отражений легко сводится к известному распределению супремума траектории. Кстати, пользуясь точными формулами для распределения числа пересечений, можно получать и полные асимптотические разложения в условиях удаляющихся границ полосы. Для симметричного случайного блуждания, когда скачки принимают значения 0 и ±1, это проделано в дипломной работе Д.И. Сидорова (ММФ НГУ, 2005).

Переход к рассмотрению блужданий общего вида приводит к необходимости учитывать эффект перескока через границы, и это в конечном счете составляет основную трудность задачи. Факторизационный метод позволяет выразить распределение общего числа пересечений (в тех случаях, когда оно конечно) и производящую функцию числа пересечений за конечный промежуток времени в терминах суперпозиций некоторых операторов, связанных с однограничными задачами. Близкие по духу представления для распределения числа пересечений полосы для процессов с непрерывным временем содержатся также в монографии [30]. Упомянутые факто-ризационные операторы ранее широко использовались в работах В.И. Лотова, где, в частности, было изучено их асимптотическое поведение в условиях удаляющихся границ. Это позволило в свое время найти асимптотику распределения общего числа пересечений полосы при неограниченном ее расширении, если скачки блуждания удовлетворяют условию Крамера (см. [16]); аналогичный результат для однородных процессов с независимыми приращениями получен в [24]. Изучение числа пересечений за конечный интервал времени при нулевом сносе блуждания является задачей более трудной. Одним из выходов здесь является нахождение предельного распределения для числа пересечений полосы в условиях применимости принципа инвариантности: в пределе влияние перескоков исчезает и мы получаем сходимость к распределению числа пересечений для винеровского процесса. По-видимому, первый результат в этом направлении содержится в работе И.И. Гихмана [10]. Некоторые предельные результаты для числа пересечений уровня изложены в [29]. Предельное распределение числа пересечений полосы фиксированной ширины для симметричного простейшего блуждания приводится в [4] как следствие теоремы о сходимости к устойчивым законам.

Далее возникает задача о нахождении асимптотических разложений для распределения числа пересечений полосы — и это является основной задачей диссертационной работы.

Перейдем к более подробному описанию содержания диссертации.

Пусть £2, • • - независимые одинаково распределенные случайные величины,

50 = 0, S„ = fi+ . + £„•

Для рассматриваемого случайного блуждания определим последовательности моментов остановок (возможно, несобственных): то = т0~ =0, т~ = inf{n > : Sn < -а}, т? = inf{n > r,~: Sn > Ъ}, и vt = Vq = 0, uf = inf{n > Vix: Sn > b}, i>r = inf{n > vf: Sn < -a}, i > 1.

Введем случайные величины rfl\ rf2\ равные соответственно числу пересечений снизу вверх и сверху вниз полосы —а < у < Ъ на координатной плоскости точек (х, у) траекторией случайного блуждания {(п, —а < 0 < Ъ. Более точно: г/1) = sup{k: < оо}, т= sup{A;: и^ < со}.

Известно, что введенные случайные величины т/1), if® будут собственными, если сходится один из рядов

-P(Sn > 0) < оо или -P(Sn < 0) < оо,

ТЬ 7% для чего, в свою очередь, достаточно, чтобы выполнялось условие Е£i ф 0.

Первая глава диссертации является в некотором смысле вводной: в ней приведены сведения, не требующие сложных аналитических доказательств, но в то же время делающие общую картину более полной.

Нетрудно доказать, к примеру, что вероятности Р{г)^ > к) допускают экспоненциальные оценки сверху. Если < 0, то

P(VW >к)< [P(S>a + 6)]fc, где S = supn>0 Sn.

Пусть случайные величины & целочисленны, а вероятности Р(£i = к), Р(£i = —к) задаются следующим образом: к) = арк~\ Р(£1 = -к)=рдк-1, Р(Ь = 0) = г, к> 1, (0.1) --= 1 — г.

1-р 1-q

Здесь р > 0, q > 0, г > 0, а > 0, /? > 0. Заметим, что если р > 0, q > 0, г > 0, то (0.1) задает геометрическое распределение Если же р = 0, q = 0, г = 0, то принимает только значения ±1.

Следующая теорема показывает, что случайные величины 77W имеют в точности геометрическое распределение, если выполнено (0.1).

Теорема 1 Пусть а, Ъ - натуральные числа, £1 имеет распределение (0.1) и i ф 0. Тогда для любого к > 1

P(v{i)>k) = Cidk-\ г = 1,2.

Числа Cj, d определены в главе 1.

Если устремить Е£i к нулю, то число пересечений полосы будет неограниченно возрастать. В этом случае в условиях теоремы 1 можно подобрать множитель в -> О таким образом, что имеет место сходимость

Рфг)® >*)-> е<.

Такого сорта результаты часто используются для описания функционирования систем обслуживания в условиях большой нагрузки.

Теорема 1 по сути своей демонстрирует некоторые достаточные условия, когда распределение случайных величин 77W могут быть найдены в общем виде. Замечания по поводу других возможностей нахождения явных выражений содержатся в главе 1. Далее мы будем рассматривать случайные величины

Vln] = sup{fc: rfe+ < п}, т№ = sup{k: v^ < n}, равные соответственно числу пересечений рассматриваемой полосы снизу вверх и сверху вниз за промежуток времени от 0 до п. Для простейшего случайного блуждания получены точные формулы для распределений случайных величин rjn\i = 1,2 без ограничений на среднее значение Справедлива следующая теорема

Теорема 2 Пусть Р(£ 1 = 1) = а, Р(£ 1 = —1) — (3 = 1 — а, тогда при к>1 ч-Еб^^л' I*"1'1 r«±ii

W /«mJ, /2.-7-1 г где числа a ub целочисленны, — а < 0 < Ь, а+b > 0, 7 = 2 к(а+Ь) — Ь, 7 = 2 к(а+Ь) — а, квадратные скобки означают целую часть числа.

Пусть теперь E£i = 0. В этой ситуации общее число пересечений полосы бесконечно с вероятностью единица. В условиях, когда случайная величина & имеет произвольное распределение и конечный второй момент, из принципа инвариантности легко выводится следующая предельная теорема о сходимости совместного распредеi) п ления случайных величин 7]п и Sn к соответствующим характеристикам винеровско-го процесса; последние найдены в явном виде. При этом предполагается, что ширина полосы и длина рассматриваемого промежутка времени неограниченно возрастают согласованным образом. По существу, постановка задачи относится к схеме серий. Здесь при возрастании числа п распределение скачков не меняется, но меняются границы полосы — они зависят от п, и мы получаем фактически последовательность граничных задач и связанных с ними граничных функционалов.

Обозначим Ха]в и Ха]в случайные величины, равные соответственно числу пересечений полосы —А < у < В снизу вверх и сверху вниз траекториями W(t) -стандартного винеровского процесса на [0,1].

Теорема 3 Пусть £2, ■ • • - независимые одинаково распределенные случайные величины такие, что E£i = 0, = 1, и пусть а = Ал/п, Ь = Ву/п, с = С^/п, d, = Dy/n, С < D. Тогда для любого k> 1 при п —> оо

Р{№ >к, Sne [С>41) Р{Х% > к, W( 1) е [c,D]), при этом

Р{Х% > k,W(l)e[C,D})

Ф(ЛГ V L) - Ф(М V L) + Ф((2L - М) V L) - Ф((2Ь -N)V L),

P(xZ > k,W(l)e[C,D}) V Li) - Ф(M V Li) + Щ2ЬХ - M) V h) - Ф((2Ьг -N)V Zq), гдеЬ = 2k(A + B)-B, Li = 2k(A + B) - A, M = С + 2k(A + B), N = D + 2k(A + B), M V N = max(M, N), i = 1,2,

Ф(1)=^/1ехрНН

Указанные выше теоремы составляют содержание главы 1. Во второй главе предполагается, что = 0. Здесь решается задача получения полных асимптотических разложений вероятностей Р(г)$ = к) при различных ограничениях на а = а(п), b = b(n), к = к(п), совместимых с требованиями (а+Ь)к = о(п), а —> оо, Ь —> оо, п-¥ оо.

Исследования проводятся с помощью факторизационного метода. В своих общих чертах метод состоит из нескольких этапов. На первом из них доказываются факто-ризационные тождества для двойных (или даже тройных) преобразований Лапласа-Стилтьеса над искомыми распределениями. В них устанавливается функциональная зависимость между этими преобразованиями и компонентами факторизации функции 1 — z<p(fi), где (p(fi) — Еexp{/i£i}. Второй этап связан, как правило, с детальным изучением аналитической структуры этих компонент, в том числе выяснением расположения их нулей, особенностей, возможностей аналитического продолжения т.д. Это позволяет затем асимптотически обратить имеющиеся двойные преобразования над искомыми распределениями по пространственной переменной. Слово "асимптотически" здесь означает, что обращение производится не в точном виде, а с выделением главного члена и оценкой остатка, как правило экспоненциально малого. Этот этап является одним из основных, в результате находятся так называемые асимптотические представления производящих функций, связанных со "временем". На заключительном этапе главные части полученных асимптотических представлений исследуются с помощью модификаций метода перевала.

Эта схема была разработана А. А. Боровковым и в последующем реализована многими авторами. В то же время отметим, что аналитические свойства компонент факторизации во всех рассматриваемых ситуациях с достаточной полнотой изучены ранее, но в целях облегчения чтения каждый раз излагаются нужные сведения о факторизации и приводятся необходимые ссылки. Все упомянутые этапы присутствуют и в настоящей работе.

Так, в приведенной ниже теореме находятся факторизационные представления для производящих функций вероятностей Р{г$ = к) по переменной п. Обнаруживается, что нахождение производящих функций сводится к вычислению итераций некоторых операторов. Получаемые здесь формулы не требуют для их справедливости никаких дополнительных условий типа условия Крамера или условий существования моментов; для этой теоремы не важно также ограничение на математическое ожидание скачка блуждания. Обозначим оо

Qi(z,k) = J2^P(vH) = k), г = 1,2.

Теорема 4 Для любого к > 0 и \z\ < 1

Qi(z,k) = -±-{((ВА)ке) (г,0) - ((&4)fc+1e) (z, 0)} ,

1 Z

Q*{z,k) = ^ {{{ABfe) (z, 0) - {(АВ)к+1е) (z,0)} ,

X z где e(z,fj) = е(д) = 1.

Точное определение операторов А, В приведено в главе 1. Мы здесь скажем кратко только, что, к примеру, для вычисления значения оператора В на функции вида g(/i) = f ехр{/ny)dG(y) нужно разделить эту функцию на положительную компоненту факторизации функции 1 — z<p(fi), представить полученное выражение в виде преобразования Лапласа-Стилтьеса от некоторой функции ограниченной вариации, сузить область интегрирования до размеров множества [b, оо), и затем все умножить на положительную компоненту факторизации.

Начиная с этого момента далее предполагается, что случайные величины це-лочисленны, = 0 и н.о.д. разностей всевозможных значений равен единице. Кроме того, на распределение будет накладываться условие Крамера о существовании экспоненциальных моментов.

Искомые вероятности можно находить с помощью контурного интегрирования:

Контур Г выбирается специальным образом, причем на одной его части функции Qj(z, к) допускают экспоненциальные оценки, а на другой - асимптотические представления, полученные в следующей теореме.

Теорема 5 Существуют S > 0, 7 > 0 такие, что при z Е Lg = {|z| < 1, \z —1| < 5}, к > 1, а оо, Ь —У оо

Qi(z,k) =

1 - /j,a+b(z)H(z) (1 -z) fj,a+b(z)H{z))k hb(z) Лх z,fc)j, (0.2)

Q2(z,k) =

1 - na+b(z)H(z) (1 -z) a2{z){^b{z)H{z))kha2{z) + A2(z, k)j lAiOz, Л) | = Mk-l{z)0{e~^a+V), г = 1,2,

M(z) = |^+ь(*)Я(г)|(1 +

Участвующие в формулировке функции H,^,ai,hi выражаются в явном виде через нули и компоненты факторизации функции 1 — г(р(ц), их полное определение требует много новых обозначений. Все это сделано в основном тексте.

Ниже мы рассматриваем только случайную величину rjn* ■ В силу симметричности рассуждений аналогичные результаты нетрудно получить и для случайной величи-(2)

НЫ Т]п .

Далее к главной части асимптотического представления (0.2) применяется модификация метода перевала, в результате чего находится асимптотическая формула вида *) = Е -+ +

1=0 где q > 1, к > 1, ак = о(п), ЬА; = о(п), а = а(п) оо, b = b(n) —» оо при п —> оо. Коэффициенты di(a,b,n,k) определяются цепочкой формул, величины rq(a,b,n,k) допускают оценки подходящего вида.

Полученное асимптотическое разложение носит предварительный характер, так как величины di(a, b, п, к), rq(a, b, п, к) сами зависят от п. Рассматривая далее ту или иную конкретную зависимость а = а(п), b = Ь(п), мы приходим к искомым полным асимптотическим разложениям вероятностей.

Наибольший интерес представляет случай «нормального» роста границ. Справедлива следующая теорема.

Теорема 9 Пусть к = const, к > 1, а = —[—xiy/n\, b = — [—х2\/п\, = a — xiy/n, 7^ = Ь — Х2у/п. Тогда для любого q > 1 и достаточно больших п где

Ф9(Мъя2,7п,7п)1 < C(q,xux2) е~ек\ е > 0,

Uo{k,xllx2n1nnl) = 2(Ф0/Г(2(Л + 1)(®X + ®2) - х2) - $>ot<T(2k(xi + х2) — х2)),

Фо,<т(х) ~ функция нормального распределения с параметрами 0 и а.

11

Остальные коэффициенты определяются ниже цепочкой формул, отдельно приведены выражения для Ui(k,xi,x2,7п>7п) и £М&>Я1,Я2>7^>7п)

Коэффициенты полученного разложения имеют весьма сложную структуру. Они выражаются, в конечном счете, через коэффициенты разложения нулей функции 1 — zEX& в окрестности точки г = 1и смешанные моменты лестничных величин, то есть через производные факторизационных компонент. Здесь же рассмотрен пример случайного блуждания, допускающего перескоки через границу, и для него выписаны в явном виде все величины, участвующие в выражениях для ?/i(&,£i,£2,7n)7n) и

U2{k,x1,x2,'Yn>ln)

В главе 2 рассмотрены и другие ограничения на скорость роста границ. Получены полные асимптотические разложения вероятностей Р{г)п ^ = к) при условии, что величина (а + Ь)к растет 1) быстрее, чем у/п, или 2) медленнее, чем л/п.

В главе 3 рассматривается случайное блуждание, которое задано на конечной цепи Маркова.

Пусть {хп}п>о ~ конечная однородная неразложимая цепь Маркова с множеством состояний D = {1 ,.,т}, с матрицей переходных вероятностей Р = \\Pjk\\jMD и стационарным распределением ж = (tti, . ,7Tm), iXj > 0, j G D. Обозначим п > 1, j, к € D, не зависящее от {хп} семейство независимых случайных величин, одинаково распределенных при фиксированных j, к.

Введем марковский процесс {S„, xrn}n>0, эволюция которого задается начальным значением {0, х0} и соотношением Sn+i = n > 0. Распределение {Sn, хп}п>о будет полностью определено, если заданы распределение щ и матрица

00 eifiydP(Si < у, xi = к/щ = j)

00

ШМ1 (0.3) где fjM = Ее**».

Нетрудно видеть, что случайные величины rf%\ г = 1,2, будут конечны с вероятностью единица при любом начальном состоянии щ цепи {хп}, если, например, «стационарное» математическое ожидание случайной величины Si, m ад = ]Г TtjPjkE^, j,k=i существует и отлично от нуля. Для этого случая в работе найдена асимптотика вероятностей

Р(г]{1) > к, хт+ = 1/щ = s) при о + b —У оо.

В ситуации, когда EnSi = 0, мы также расссматриваем случайную величину т]п \ равную числу пересечений снизу вверх рассматриваемой полосы траекторией {(n, Sn)}%L0 за промежуток времени от 0 до п. Здесь ц}^ = шах{г > 0 : < п}, моменты остановки т4+ имеют тот же смысл, что и выше.

В главе 3 получено полное асимптотическое разложение вероятности

Р(г£> = к/щ = 5) по степеням 1 /л/п при п оо. При этом предполагается, что числа а и b растут пропорционально у/п, число к фиксировано.

Здесь предполагаются выполненными следующие условия крамеровского типа.

I. Найдется элемент матрицы F(fi) такой, что прообраз Фурье п-й степени этого элемента при некотором целом п > 1 содержит абсолютно непрерывную компоненту.

II. Для всех j,k G D интегралы в (0.3) абсолютно сходятся при при v+ < Im/j, < г>; здесь < 0, V- > 0.

Кроме того мы предполагаем, что Л(гг;+) > 1, если E„Si > 0, а также Л(г'г;) > 1, если E„S\ < 0.

Техника исследований в своих общих чертах осталась прежней. На первом этапе устанавливаются факторизационные представления матричной функции

Q(z, /л, к) = E(zTZ ехр{г>5'г+}; < оо, хт+ =1/щ = s) , s,l = 1,., m, (0.4) и функции оо

Q^z, к, s) = = к/х,о = s), s = 1,., тп. п=1 в терминах матричных аналогов введенных выше операторов Ли В. Если положить /х = 0и2 = 1в (0.4), то получим

I\P(Vi > к, хт+ = l/ко = 5)11 = IIР(т+ < оо, хт+ = 1/щ = 5)11 = 3(1,0, к).

13

Таким образом, для E„Si ф 0 поставленную задачу можно решать, исследуя асимптотическое поведение Q(z, 0, к) в окрестности точки z = 1 при о —> оо, Ъ оо, и полагая затем z — 1. Для нахождения полных асимптотических разложений Р{т)п^ = к/щ = s) также потребуется изучить асимптотику Qi(z, к, s) в окрестности единицы при а —> оо, b —> оо и подходящим способом оценить эту функцию вне окрестности единицы.

Это все делается в третьей главе и составляет содержание второго этапа исследований данной ситуации.

На завершающем этапе — при нахождении асимптотических разложений вероятности Р(т]п^ = к/xq = s) — мы подвергаем контурному интегрированию функцию Qi(z, к, s); показываем, что основной вклад в интеграл вносит лишь поведение этой функции в окрестности единицы, после чего пользуемся полученным на предыдущем этапе асимптотическим представлением для Qi(z, к, s). Оно включает в себя главную часть плюс остаток. Остатком можно пренебречь, а асимптотику интеграла от главной части можно получить, пользуясь модификацией метода перевала, разработанной в [5]. При этом будет использоваться ряд технических приемов из [19]. Здесь мы рассматриваем только наиболее важный случай, когда а и b растут пропорционально у/п, хотя, как показано в главе 2, применяемый метод асимптотического анализа позволяет получать аналогичные результаты и для других ситуаций.

Коэффициенты получаемых асимптотических разложений вводятся с помощью цепочки формул. Это требует введения большого количества новых обозначений, и потому за формулировкой окончательного результата мы отсылаем к основному тексту.

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях объединенного семинара кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН (руководитель семинара — академик А.А. Боровков), в Великобритании на научных семинарах университетов г. Манчестер (руководитель — профессор R. Doney) и г. Шеффилд (руководитель — профессор N. Bingham), на V Международной Ферганской конференции «Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения» (2005).

Основные результаты диссертации опубликованы в [21]-[23].

Автор благодарит А.А. Боровкова, И.О. Борисова и других участников семинара за замечания и советы, способствовавшие улучшению работы, а также научного руководителя В.И. Лотова за предложенную тему исследований, постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Найдены полные асимптотические разложения распределения числа пересечений полосы траекториями случайного блуждания, порожденного суммами независимых одинаково распределенных случайных величин, удовлетворяющих условию Крамера. Результаты получены для разных соотношений между длиной рассматриваемого интервала времени и скоростью расширения полосы.

2. Получены факторизационные соотношения для двойных преобразований граничных функционалов от траекторий случайного блуждания, заданного на переходах конечной цепи Маркова.

3. Найдены полные асимптотические разложения распределения числа пересечений полосы траекториями случайного блуждания, заданного на цепи Маркова.

1. Т.О. Androshchuk. Distribution of the number of intersections of a segment by a random walk and the Brownian motion. Theory of Stochastic Processes, 2001, v. 7, N. 3-4, p. 3-7.

2. Арндт К. Асимптотические свойства распределения супремума случайного блуждания на цепи Маркова. Теория вероятностей и ее применения, 1980, т.25, N. 2, с.313-328.

3. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977, 351 с.

4. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

5. Боровков А.А. Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых. Сиб. мат. журн., 1962, т.З, N. 5, с.645-694.

6. Боровков А.А., Рогозин Б.А. Граничные задачи для некоторых двумерных случайных блужданий. Теория вероятностей и ее примен., 1964, т. 9, N.3, с.401-430.

7. Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972, 368 с.

8. Боровков К.А. Теоремы непрерывности и оценки скорости сходимости компонент факторизации для блужданий на цепях Маркова. Теория вероятностей и ее применения, 1980, т. 25, N.2, с. 329-338.

9. Брейн Н.Г. де. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961, 248 с.

10. Пхман ИЛ. Асимптотичш розподши числа перетишв випадковою функщею гранищ дано1 облает. BicH. Кшв. ун-ту, сер. астрон., матем., механ. 1958, т. 1, в. 1, с. 25-46.

11. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. Москва: Наука, 1977.

12. Гнеденко Б.В., Королюк B.C. О максимальном расхождении двух эмпирических распределений. ДАН СССР, 1951, т. 80, N.4, с.525-528.

13. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

14. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Гос. издательство тех.-теоретич. литературы, 1957, 158 с.

15. Г. Крамер, М. Лидбеттер. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1969.

16. В.И.Лотов. Об одном подходе в двуграничных задачах. Статистика и управление случайными процессами. Сборник статей под ред. А.Н. Ширяева, Москва, 1989, с.117-121.

17. Лотов В.И. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах.1. Теория вероятностей и ее применения, 1979, т. 24, N.3, с.475-485.

18. Лотов В.И. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах.2. Теория вероятностей и ее применения, 1979, т. 24, N.4, с.873-879.

19. Лотов В.И. Об асимптотике распределений в двуграничных задачах для случайных блужданий, заданных на цепи Маркова. Асимптотический анализ распределений случайных процессов. Труды Института математики СО АН СССР, 1989, т.13, с. 116-136.

20. Лотов В.И. Предельные теоремы в одной граничной задаче для случайных блужданий. Сибирский математический журнал, 1999, т. 40, N.5, с.1095-1108.

21. Лотов В.И., Орлова Н.Г. О числе пересечений полосы траекториями случайного блуждания. Математический сборник, 2003, т. 194, N.6, 135-146.

22. Лотов В.И., Орлова Н.Г. Асимптотические разложения для распределения числа пересечений полосы траекториями случайного блуждания. Сиб. мат. журн., 2004, т. 45, N. 4, с. 822-842.

23. Лотов В.И., Орлова Н.Г. О факторизационных представлениях в граничных задачах для случайных блужданий, заданных на цепи Маркова. Сиб. мат. журн., 2005, т. 46, N. 4, с. 833-840.

24. Лотов В.И., Ходжибаев В.Р. О числе пересечений полосы для случайных процессов с независимыми приращениями. Предельные теоремы для случайных процессов и их применения. Труды Института математики СО РАН, 1993, т.20, с.162-169.

25. Miller H.D. A matrix factorization problem in the theory of random variables defined on a finite Markov chain. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1962, v.58, N.2, p.268-285.

26. Пресман Э.Л. Методы факторизации и граничная задача для сумм случайных величин, заданных на цепи Маркова. Изв. АН СССР. Сер. матем. , т.ЗЗ, N.4, с. 861-900.

27. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

28. К. L. Chung, G. A. Hunt. On the zeros of ±1- Annals of Mathematics, 1949, v. 50, N. 2, p.385-400. Vv

29. Скороход А.В., Слободенюк Н.Г. Предельные теоремы для случайных блужданий. Киев: Наукова думка, 1970.

30. Скороход А.В. Случайные процессы с независимыми приращениями. М.: Наука, 1964.