Мартингальные методы построения моделей объектов, эволюционирующих в случайных средах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

Жданов Дмитрий Александрович

МАРТИНГАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ, ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИХ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ

01.01.09 - математическая кибернетика

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук,

профессор А.А.Бутов

Ульяновск - 1999

Оглавление

Введение 4

Математические модели стохастических систем, порождаемых физическим белым шумом 16

1.1 Классификация моделей по типу случайного блуждания 16

1.2 Метод предельных теорем. Диффузионная аппроксимация ............................ 19

1.3 Прикладные задачи.................... 24

Предельные теоремы для функций распределения 35

2.1 Обобщение одномерной схемы Биркгофа-Хинчина . . 35

2.2 Схема Биркгофа - Хинчина в векторном случае .... 47

2.3 Слабая сходимость процессов - решений уравнений Ито-Вольтерра..............................................54

2.4 Диффузионная аппроксимация для процессов разности точечных процессов........................................63

Оценки вероятностей пересечения границы и больших

уклонений в схеме серий 72

3.1 Скорость сходимости вероятности пересечения границы в схеме Биркгофа-Хинчина к вероятности пересечения границы винеровским процессом ....... 72

3.2 Задача о пересечении границы с "движущейся" в схеме серий границей....................... 82

3.3 Пересечение границы предельным процессом случайного блуждания...................... 93

3.4 Задача о больших уклонениях в схеме Биркгофа-Хинчина 97

3.5 Большие уклонения для процессов скользящего среднего102

Применения метода предельных теорем 110

4.1 Оптимальная фильтрация в обобщенной схеме Кал-

мана ............................ 110

4.2 Задача оптимального управления по неполным данным 116

4.3 Задача идентификации.................. 121

Выводы и заключение 126

Литература 128

Введение

Важной задачей математической кибернетики является изучение математических моделей систем, порождаемых физическим белым шумом. Основой этих моделей являются процессы случайного блуждания в случайных средах. Изучению таких процессов посвящено большое число работ (см., в частности, Александер С., Бернаскони Ж., Шнайдер В.Р. и Орбах Р. [1], Кавацу К. и Кестен X. [2], Синай Я.Г. [3], Аншелевич В.В., Ханин K.M. и Синай Я.Г. [4], Козлов С. М. [5], Летчиков A.B. [6], Бутов A.A. [7], и библиографию в этих работах) . Заметный интерес к задачам о блужданиях в случайных средах объясняется большим числом адекватных математических моделей физических, биологических и других объектов. Наглядным примером такой модели может служить процесс движения заряженных частиц в полупроводниковых структурах. В этом случае траектория процесса отвечает изменению координаты частицы. Случайной средой является или набор неотрицательных случайных величин, являющихся "интенсивностями" переходов частиц из одной области полупроводника в другую, или некоторая случайная функция, определяемая характеристиками полупроводниковой структуры. В большинстве работ рассматриваются случайные блуждания, представимые в виде разности точечных процессов. Но для многих моделей математической кибернетики более логичным является предположение, что случайной средой является непрерывная стационарная функция.

Наиболее известное исследование асимптотического поведения распределений процессов случайных блужданий - предельные теоремы для турбулентной диффузии, рассмотренные Х.Кестеном и Г.Папаниколау [8]. Однако, в целом модели на основе такого рода процессов изучены явно недостаточно. Так, для принципа инвариантности и теоремы Биркгофа-Хинчина, естественным обобщением которых являются случайные блуждания в случайных средах функционального типа, был рассмотрен возможный вариант обобщения - введение обратной связи, [8],- но само исследование такой схемы было проведено только в простейшем случае (без коэффициентов обратной связи, зависящих от времени, без функционала управления и т.д.) и не были рассмотрены соответствующие задачи математической кибернетики. Это объясняется тем, что в большинстве случаев применялись преимущественно марковские методы. Из-за сложности структуры объекта (и, соответственно, порождаемой ею

сложности вычислений) эти методы не позволяют эффективно решать задачи в объеме, необходимом для прикладных исследований. Кроме того, дальнейшее обобщение схемы связано, прежде всего, с введением функционалов от траектории процесса, что делает марковские методы не пригодными для исследования. Поэтому большой интерес представляет применение именно мартингальных методов для изучения процессов случайного блуждания в случайных средах функционального типа.

Особую роль при рассмотрении моделей, порождаемых физическим белым шумом, играют предельные теоремы для функций распределения, что связано прежде всего с двумя факторами. Первый - предельными процессами часто оказываются процессы диффузионного типа, для которых большинство кибернетических задач либо решено, либо разработан метод их решения. Второй - предельный переход имеет в прикладных задачах ясную интерпретацию (увеличение числа взаимодействующих частиц, изменение масштаба времени и т.п.).

Актуальными также представляются задачи о достижении уровня (известные также как задачи о пересечении границы) и больших уклонениях. Интерес к ним вызван необходимостью анализа экстремальных значений траекторий процессов при решении многих прикладных задач.

Цель предлагаемой работы состоит в том, чтобы осуществить исследование мартингальными методами математических моделей систем, порождаемых физическим белым шумом. Для этого необходимо развивается метод предельных теорем в решении задач математической киберентики. В рамках данного исследования строится асимптотически оптимальный фильтр и решается задача управления по неполным данным в схеме Калмана на основе функциональных аналогов теоремы Биркгофа-Хинчина. Также предлагается, в связи с этим, к рассмотрению ряд задач прикладного характера. Приводятся оценки для вероятностей пересечения границы и больших уклонений в схеме Биркгофа-Хинчина, в том числе для вероятности пересечения "движущейся" границы. Эти оценки, рассматриваемые в схеме серий для п = 1,2,..., отражают динамику изменения соответствующей вероятности при увеличении степени приближения физического белого шума к идеальному.

При формулировке и доказательстве результатов в диссертационной работе используется мартингальный подход (Липцер Р.Ш.,

Ширяев А.Н. [9]). Основным методом исследования является метод предельных теорем. Также применяются методы замены меры, замены времени, аппроксимации кусочно-постоянными функциями и другие.

Научная новизна работы определяется следующими факторами. Все предельные теоремы для функций распределения, являющиеся по сути своей обобщениями принципа инвариантности для стационарных процессов и теоремы Биркгофа-Хинчина, новые. Эти теоремы являются необходимым условием развития метода предельных теорем. Исследование мартингальными методами обобщенной схемы Калмана для процессов, порождаемых физическим белым шумом, является новым. Мартингальный подход позволил построить оптимальные фильтр и управление по неполным данным для рассматриваемой системы. Также новыми являются оценки для вероятностей больших уклонений и пересечения границы в схеме Биркгофа-Хинчина. Близкие результаты ранее были получены для сумм ограниченных случайных величин и для процессов со строго невырожденной непрерывной мартингальной частью в минимальном представлении. Заметим, что наличие строго невырожденной мартингальной части существенно меняет характер задачи, поскольку позволяет, с помощью теоремы Гирсанова, свести рассматриваемую задачу к аналогичной для непрерывного мартингала.

Научная и практическая ценность работы определяется тем, что общая совокупность теорем, полученных в диссертации, представляет собой эффективный инструмент для решения широкого класса практически важных задач, связанных с анализом математических моделей систем, порождаемых физическим белым шумом. Особо следует подчеркнуть, в связи с растущим в последние годы вниманием к стохастическим моделям смертности, что получены новые оценки для вероятностей пересечения границы процессами непрерывного случайного блуждания.

По теме диссертации опубликовано 12 работ [10] - [21]. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 93 наименований источников отечественных и зарубежных авторов.

Первая глава в большей части является постановочной и содержит элементы обзора и классификации.

В параграфе 1.1 приведена классификация моделей, порождаемых физическим белым шумом, по типам случайного блуждания. Рас-

смотрены процессы случайного блуждания, порождаемые пуассонов-скими процессами общего вида, в случайной среде типа (Л(г), /¿(г), г £ Щ и процессы случайного блуждания в случайной среде функционального типа.

Второй параграф первой главы содержит элементы обзора литературы по предельным теоремам для процессов случайного блуждания. В нем рассматривается целесообразность применения метода предельных теорем при исследовании моделей, порождаемых физическим белым шумом.

Прикладным задачам посвящен параграф 1.3. Здесь рассматриваются системы, моделью которых являются процессы случайного блуждания в случайных средах вида х£ = (х£)г>о с

(1x1 = + + х£0 = ч, (0.1)

где вектор-функция х) такова, что решение уравнения

йхх = х0 = q (0.2)

существует и единственно, q - вектор из К.^, й > 1, с^ - некоторая детерминированная функция, ]¥£ = (]¥е^,х)), £ > 0, х £ - стохастический процесс, описывающий возмущение системы, порождаемое физическим белым шумом. Параметр г в (0.1) определяет уровень шума. Эта схема может служить математической моделью для многих физических процессов. В качестве примера рассматривается модель движения частицы под воздействием случайных возмущений. Другой пример, который имеет совершенно иную физическую природу, но тем не менее вписывается в схему (0.1) - модель иммунного ответа организма на действие антигена.

Анализ характеристик таких процессов предлагается строить на основе исследований асимптотического поведения процессов нормированной разности у\ — (у£)г>о с у\ — \{х£ь — хЭто связано с тем, что предельный для уе (при е —>• 0) процесс часто имеет простую структуру (например, является диффузионным процессом).

Еще один важный пример, рассматриваемый в этом параграфе -модель химической реакции. Такой моделью может служить процесс случайного блуждания, порождаемый пуассоновскими процессами общего вида. Также приводится непрерывный диффузионный аналог этой модели - процесс непрерывного случайного блуждания в случайной среде функционального типа.

В заключение параграфа 3.1 приводится частный вариант стохастической модели смертности. В этой модели "смерть" объекта ин-

терпретируется как выход значений некоторого (жизненно важного) показателя за пределы допустимой области. При таком подходе исследование сводится к оценке вероятностей пересечения границы (достижения уровня). Оценки этих вероятностей для процессов случайного блуждания в случайных средах функционального типа приводятся в главе III.

В главе II рассматривается асимптотическое поведение распределений процессов случайного блуждания в случайных средах функционального типа. Совокупность теорем этой главы может служить эффективным инструментом при исследовании моделей, порождаемых физическим белым шумом.

В §2.1 рассматривается одномерная схема

г

у/пIС(пд{з) + а3хп3) ¿в + (тWt, (0.3)

где д(в) - монотонная дифференцируемая функция с д(0) = 0 и д'(з) 0 > 0, а8 - интегрируемая функция, а £ К, £ = (£(£))гем - стационарный в узком смысле измеримый процесс, = -

стандартный винеровский процесс не зависящий от Предполагается, что траектории £(£) непрерывно дифференцируемы, Е£(0) = 0, Е£2(0) < оо, Е£'(*) < оо V* £ М и

оо

. щщтШ2^ <оо.

о

Теорема 2.1. При п —» оо для процессов хп имеет место слабая сходимость распределений

хп х (0.4)

С Х - (ж4)*>0 и

£

а2

о

где а - положительная константа

л 1/2

а = | 21 Щ(0Ш & I , (0.6)

И/ = (1¥г)г>0 ~ стандартный винеровский процесс.

Этот результат - обобщение принципа инвариантности (введена обратная связь и дополнительное слагаемое, описывающее диффузионное возмущение) и результатов Х.Кестена и Г.Папаниколау для одномерной схемы.

В параграфе 2.2 рассмотрен многомерный вариант схемы (0.3). Отметим, что условия теоремы 2.3, дающей ответ на вопрос о слабой сходимости распределений, являются более сильными, чем условия теоремы 2.1. В частности, требуется эргодичность и ограниченность стационарного процесса и выполнение усиленного варианта условия сильного перемешивания.

В параграфе 2.3 приводится предельная теорема для процессов

хп = (ж?)*>0 С

г г

х™ = х0 + у/п J £ (п£(в) + а3хп3) ds + ! Ь{ ж", £(пв) ) ¿в (0.7) о о

где процесс £ = в дополнение к условиям теоремы 2.1 явля-

ется эргодическим, - ограниченная, отвечающая условию

Липшица по £ и х, детерминированная функция.

Теорема 2.4. Для процессов хп при п —>• сю имеет место слабая сходимость распределений

/Лж, (0.8)

где х = (сс^)4>о с х^ - решением уравнения

г í г

хг = хо + [ Ш8 - Е£2(0) (Ц<1з+ [ Щ, хв) <1з, (0.9)

{ { з> {

где а - константа из (0.6), Ш = (И^)^о - стандартный винеровский процесс,

+ 00

в&х)= I Ъ{^х,у)Р{(1у), (0.10)

— 00

Р(с1у) - некоторая вероятностная мера.

В параграфе 2.4 приведены предельные теоремы для процессов случайного блуждания вида Сп = (С")г>о с

С? = А? - Я? (0.11)

где Ап^= (4?)i>о и Dn = (Dt)t>o ~ точечные процессы с компенсаторами Ап и Dn:

f(t) и g(t), i G 1, - стохастические процессы такие, что f(t) > О и > 0 Для любого t G М Р-п.н. (компенсатором Л = неубывающего процесса Л = (At)t>о называется соответствующий элемент в разложении Дуба-Мейера Д = А* + mi5 где m = (m^^o -квадратично интегрируемый мартингал).

Глава III посвящена построению оценок для вероятностей пересечения границы и больших уклонений. Рассматриваются процессы вида zn — (zt)t>о с

nt

1 Г

Z

п

1 "П

i(s)ds, (0.13)

о

где стационарный процесс £ = {£{t))t>о отвечает условиям теоремы 2.1.

Оценки вероятности достижения уровня (границы) с процессом

Р { sup < с)

lo<s<t )

приведены в параграфе 3.1. Очевидно, что при п —> оо имеет место сходимость

pi sup \z^\ < с 1 Р \ sup \aW8\ < с 1 l0<s<i J U<s<i J

(это следует из слабой сходимости распределений при п —> оо

№)t>o-^{aWt)t>o и непрерывности функционала sup |zs| на С). Приводимая ниже те-

0<s<i

орема 3.1 позволяет оценить скорость этой сходимости. Обозначим М = (Mt)t>о квадратично интегрируемый мартингал с

00

Mt= [- E«(S)|^)]dS (0.14)

и G{t) - функцию распределения случайной величины

00

V0= [ E(£(s)|3*)ds. (0.15)

о

Теорема 3.1. Существует константа Л > 0 (не зависящая от п) и номер щ = по(£, а) такой, что для любого п > щ

Р sup \zns \ < 1 \ - Р sup |aWs| < 1 I 0<s<i J I 0<s<i

<

< —E|(M)ni - ant\ + d(nt + 1)(1 - G(n)), (0.16)

ТЪ

где (M)t - квадратическая характеристика мартингала М, [9].

В параграфе 3.2 рассматривается следующая модификация задачи о пересечении границы.

Пусть Т = Т(п) функция п, причем Т(п) > 0 для любого п = 1,2,.... Определим момент остановки сг(п)

а(п) = inf{i : t > 0, \znt\ > 1} (0.17)

Обозначим

iV = 7V(n) = nT(n), a^- 1

V^R'

Теорема 3.2. Существуют константы ¿1 > 0 и ¿2 > 0 такие, что для любого п = 1,2,...

-2 ^ Е|(М)^-а]У|

Р{<т(п) > Т(п)} < 4\/5ехр |-уаГ(п)| +

п

+d1N[l-G{n)} (0.18)

и

Р{(Т{п) > Т(п)} > ехр |-уаГ(п) | -

E\(M)N-aN\

п

-^N[1 -ад], (0.19)

где а - константа из (0.6).

Заметим, что такого рода задача с "движущейся" в схеме серий границей впервые была рассмотрена А.А.Бутовым для процессов случайного блуждания уп = о с У г — У пи порожденных процессами пуассоновского типа, в случайной среде 6й = (Ап(г) = пЛ(г), цп(г) = пЛ(г - 1), геЪ}.

Построение аналогичных оценок для вероятностей пересечения границы процессами вида (0.3) имеет другой порядок сложности. Однако инструментом для их построения могут служить оценки для вероятностей пересечения границы предельными процессами. Такие оценки приведены в параграфе 3.3.

В последних двух параграфах этой главы рассматривается задача о больших уклонениях, которая представляет собой исследование вероятности отклонения траекторий процесса на величину порядка у/пЬ.

Основным результатом параграфа 3.4 является

Теорема 3.4. Существует константа с > 0 такая, что при г > 0 и п = 1, 2,...

Р ( sup > V^at} < + c{nt + 1)(1 - G{t2n2)), (0.20)

to <s<t J n4Z

где (M)t - квадратическая характеристика мартингала M из (0.14).

В параграфе 3.5 рассмотрен случай, когда стационарный процесс f = КМ)*б® представим в виде

t

i{t) = J a(t~ s)dys, (0.21)

— CO

где a(t) - измеримая функция с

оо

J a2(t)dt < оо, (0.22)

о

у — (yt)t£R ~ процесс с независимыми приращениями, причем Е(yt — ya)2 = \t-slEyt = 0, s,teR.

Заметим, что в этом случае мы усилили условия схемы (0.13). Такое сужение рассматриваемого класса стационарных процессов £ позволило рассмотреть другую модификацию задачи о больших уклонениях.

Теорема 3.5. При t > 0 и п — 1, 2,... для процессов zn, определенных в (0.13), с процессом £ = {Ç(t))teR отвечающим условиям (0.21) и (0.22),

Р(4 > Vnt) < die-d*nt. (0.23)

Здесь ¿1 и ¿2 - (определенные) константы.

В главе IV рассматривается ряд важных задач математической кибернетики для систем, порождаемых физическим белым шумо�