Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ

.ордаа трудового красного знамен^ ннцтитут Штемтики

На правах руномюи

ОЕИЩ7К Анатолий Витальевич

г

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРИИ ДЛЯ ГЙЭЯУМАРКОЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ЭЕСЙЮЩЙ И- ИХ ПРЛМЕНШЕ -

' • / " 01.01,05 - теория вэроятностей и

матеыатичеЛая /латисти?

Авт'орефора диссертации на соискание учеь. д5>кгора дйзйко-математическюс на.

Киев - 1902

. / ^ у

/ ,.

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени >, Институте математики АН Украины.

Научный консультант--академик АН Украины, доктор физико-математических наук, пр'офеосЬр Корохш Б.С_.

Официальны^ оппоненты!

доктор „физико-математических наук, профессор. ПОРТЕНКО H.H., доктор физико-математических наук, профессор АНИСИЮВ Б.В., доктор физико-математических наук, профессор ВЕРЕТЕННИКОВ А.Ю.

, Бе,дущая юрганизецкя Институт кибернетики АН Украины

199 с^- г.

Защита диссертации состоится С-^

в часов на заседали специализированного совета

Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: , . 252601 Киев 4, ГСП, ул.Репина,3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

• у

Автореферат разослан ' О ")_199 ¿¿о г

. Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАК Д.Б.

>»

3. „ .„г-Г: > ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

v-тлея ? »ссс j

«^.-^—"■-НАктуальность теми. Работа посвящена систематическому изучению полумарковских случайных оволюций (ШЗЗ), доказательству предельных теорем усреднения и даКузионной аппроксимации для ГЕ.'СЭ, используя аналитические и мартингалыше метода, a также применению предельных теорем к моделям эволюционных стохастических систем в полумаркоЕСКои случайной среда.

Случайные эволюции (CS) представляют собой операторные динамические системы в банаховом пространства, зависящие от случайного процесса.В разных областях науки и техники функшюшфо-ванве систем происходит под влиянием внешней случайной среди. Математическая модель эволюции системы состоит из двух объектов: динамической системы и случайного процесса. При фиксированном состоянии среды эволюция системы происходит в соответствии с внутренними законами данной динамической системы.Еероятностпые характеристики внешней случайной среды не зависят от эволюции системы.

Различают СЭ как по.типу динамической системы, так и по виду случайного процесса. Таким образом, ПШЭ являются операторными динамическими cncTei.iai.Ui, зависящими от полумарковского процесса.

Изучение динамических систем под влиянием случайных воздействий восходит к работам Крылова Н.1.1., Боголюбова H.H., Гих-ыана И.И., Ыигронольского ¡O.A. Термин "случайная эволюция" впервые появился в I9G9 г. в работе Р.Грего и Р.Херша, посвященной эволвциям на конечной цепи Маркова» Пуассоновские СЭ изучались М.Кацем (1954 г,), непрерывные иарковские СЭ исследовались Р.Хершем, Дк. Папаши: олаоу (IS7I г.), Т.Куртцем (IS73 г.) В.С.Королюком, А.5.Турбшши (I2E2 г.), ькнеровекпе и ди^Тузион-ныв СЭ - Д.Кгайрннгом (1972 г*), диокретные полумзркоЕсгае СЭ -Р.Кертцем (1978 г.), независимые и стационарные - Дч.Уоткин-сом (ISG4 г., 1£е5 Ы.

М.Пине кий (1975 г.) исследсгал марковские СЭ с точки зрения мультипликативных операторных функционалов от марковского lipo— цесса» Эволюционные стохасткчесше уравнения в гильбертовом и банаховом пространствах изучались II.Г..Крыловым, Л»Е.Розовским (Ii72 г., КСЗ г.), S.A.EepetiiKWiKOBUM ( 1£сЗ г., 1£91 г.) к др.

Вашим аспектом исследовашш СЭ являются предельные теоремы усреднения ( аналог закона больших чисел), диффузионной аппроксимации ( аналог центральной предельной теоремы) и асимптотического фазового укрупнения. Специфика данных теорем для СО состоит в том, что операторы, порождающие динамическую систему, являются неограниченными и не коммутируют между собой. Случайный процесс, описывающий внешнюю среду, имеет сложную структуру.

При доказательства предельных теорем для СЭ в схеме серий используются аналитические и мартингалыше методы.

Аналитические методы связаны с асимптотическим анализом детерминированных дифференциальных уравнений для средних от марковских СЭ и уравнений марковского восстановления для средних от ШСЭ.

Предельные теоремы для непрерывных марковских СО исследовались Р.Грего, Р.Хершем (1971 г.), Дж.Папашколаоу (1972 г.), Т.Куртцем (1973 г.), для.разрывных марковских СЭ и дискретных ШСЭ - Р.Кертцем (1972 г., 1978 г.). Предельные.теоремы для марковских и стационарных СЭ изучались в работах Р.З.Хасьмипокого (1969 Г.), А.Д.Вентцеля, М.Фрейдлина (1983 г.), Е.Ф.Царькова (1988 г.), А.Б.Скорохода, В.В.Сарафяна (1985 г.) и др. Асимптотическое фазовое укрупнение для марковских СЭ впервые получено В.С.Королюком, А.Ф.Турбшшм (1982 г., IG83 г.), а также В.В.Ани-симовыы - для переключаемых процессов (1984 г.).

Ыартингальные метода исследования СЭ оказываются полезными при доказательство слабой сходимости СЭ в предельных теоремах, решении ыартингальной проблемы для СЭ и построении операторных уравнений для предельных СЭ. Д.Струк и В.С.В.Варадан ( 1969 г.) впервые использовали мартингальное сеойство для характеризации марковских процессов. Связь СЭ с мартингалами впервые рассматривалась М.Пинским (1975 г.). Дк.Уоткинс (1985 г.) использовал мартиш'алыше методы для исследования независимых и стационарных СЭ.

Мартинг^льныи метод доказательства предельных теорем усреднения и диффузионной аппроксимации рассматривался A. L.Скороходом (1287 г.) при изучении динамических систем с быстрыми марковскими переключениями.

Е,;СЭ представляют также интерес для изучения и с точки арония многочисленных приложений, включающих различные стохастически

модели оиотем в полумарковской олучайной среда.

Цель работы. Изучить ШСЭ как решения случайных операторных уравнений в банаховых пространствах. Еывасти операторные уравнения марковского восстановления (УМВ) для усредненных ШСЭ. На основании УЫВ для однородных и неоднородных ШСЭ в схеме серий получить предельные теоремы усреднения и диффузионной аппроксимации в эргодическом и приводимом олучаях. Изучить слабую охо-дшость ШСЭ в схема серий и найти предельные представления для них в предельных теоремах, используя мартингалыше методы.

Установить эквивалентность существования решения мартингаль-ной проблема для ШСЭ и существований решения стохастического операторного интегрального уравнения для предельной ШСЭ. Доказательство единственности решения Мартингальной проблемы с помощью сопряженных ШСЭ. Применение предельных теорем для ПМСЭ к стохастическим моделям сиотем о полумарковской случайной среде.

Общая методика исследований. Попользуются метода теории вероятностей, теории случайных процессов в сепарабелышх банаховых проотранотвах, мартингалов и Функционально!^ анализа. Применяется аскмптотичеокая теория обращения операторов( возмущенных на спектре, для УМВ. Попользуются критерии слабой сходимости для банаховозначных процессов, Разработаны Новый аналитические методы асимптотического анализа операторных УМВ для однородных и неоднородных ШСЭ. Развиты также мартингальныо методы в исследовании предельных теорем для ШСЭ й схема серий в эргодическом и приводимом случаях.

Научная новизна. Впервые получены: доказательство существования и единственности случайного операторного уравнения для ШСЭ) операторное УМВ для усредненных ШСЭ} доказаны теоремы усреднения и диффузионной аппроксимации для однородных и неоднородных ШСЭ в схеме серий в эргодическом и приводимом случаях; доказана слабая сходимость ПМСЭ в предельных Теоремах усреднения и диффузионной аппроксимации в эргодическом и приводимо?.! случаях; получены предельные представления ШСЭ в виде решения мар-тингальннх проблем} доказана эквивалентность существований решения мартингальной проблемы и решения стохастического интегрального операторного уравнения для предельной ПМСЭ а диффузионной аппроксимации} получено доказательство единственности несения ■ мартиИгальной пройте.ма для ШСЭ с помоегьп сопряженных П;'£3; при-

ведены применения предельных теорем для ШСЭ к различным стохастическим моделям систем в полумарковской случайной среде.

Теоретическая И практическая значимооть. Полученные в диссертации аналитические и мартингальные методы, предельные теоремы и предельные представления в виде решения ыартингальных проблем и доказательства их единственности позволяют развивать научные исследования в теории случайных процессов в бесконечномерных пространствах, в теории стохастичеоких операторных интегральных уравнений, а также в теории стохаотичеоких динамичеоких систем. Совокупность полученных результатов образует новое направление - аналитические и мартингальные методы исследования СЭ. Эти результаты применяются к моделям эволюционных стохастических систем в полумарковской случайной ореде! процессам переноса и запасания, ветвящимся и Иготатиотическим процессам, аддитивным функционалам и отохастическш дифференциальным уравнениям, волновым процессам и колебаниям маятника, процессам с независимыми приращениями с полумарковскими переключениями..

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

-- На 1У и У Международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике (1285, 1989 гг.);

на Международной летней школе по теории вероятностей и математической статистике (г.Варна, Болгария, 1985 г.)}

на Республиканской школе-семинаре по теории случайных процессов (г.Львов, 1986 г.)|

- . на Всесоюзной школе-семинаре по теории 41-статистик (г.Киев, 1988 г.);

на Республиканских школах-оешшарах по теории случайных эволюция (г.Киев, 1968 г.} п.Кацивели, Крым, 1989 г.);

на семинаре по прикладной статистике при Киевском государственном университете (1988 г.)}

на Республиканских конференциях молодых ученых и специалистов (г.Киев, 1986, 1988, 1990 гг.)}

на XI Международной Пражской конференции по теории случайных процессов (1990 г.);

на У1 Советско-Японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (г.Киев, 1991 г.);

- на Всесоюзной конференции "Еероятностные методы процессов управления, надежности и случайных процессов" (г.Донецк, 1£90 г.);

на семинаре по теории вероятностей и математической статистике при Новосибирском математическом институте (IS9I г.);

на семинаре по асимптотическим методам теории случайных эволюций при Институте математики АН Украины (1986-1991 гг.),*

па Ученом совете Института математики АН Украины (1991 г.); на секции теории вероятностей и математической статистики при Ученом совете Института математики АН Украины (1990 г., IS9I г.);

на семинаре по теории вероятностей при Институте проблем передачи информации (г.Москва', 1992 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ I ] - [ 35 3 .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из списка условных обозначений и сокращений, введения, четырех глав, которые разбиты на 17 параграфов, и занимает 3.x' страниц машинописного текста. Нумерация параграфов, теорем, лемм и формул в главах следуювдя: первая цифра соответствует номеру главы, вторая -номеру параграфа, теоремы, леммы или формулы в главе» Список литературы содержит 189 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАВЭТЫ

Формулируемые ниже определения, леммы и теорема имеют те ке номера, что и в диссертации. Нумерация формул самостоятельная.

Во введении приводится обзор исследований по теории случайных эвшюций, обоснование актуальности работы, краткая харак-теристикй основных результатов.

Глава I. НЕОЕХОДИЕ С2ВДШИЯ И ПРЕДЕАРОТЕДЫШЕ РЕЗУЛЬТАТУ

Приводятся обозначения, понятия, определения и теоремы, которые используются в диссертации,

В 5 1.1 приводятся определения процесса марковского восстановления, полумарковского процесса, теоремы восстановления и уравнения марковского восстановления.

Пусть - полное вероятностное пространство,

(*,<$) - измеримое пространство со счетно-порожденной (5-алгеброй Ш , S^j tv>,0) - процесс марковского восстановления (ШЗ). Определю.! полумарковокое ядро

IMtft'&i1*' x^fAtB^ ¿il v*3 -РМ'б,"'. (I)

где Pi*,Л) - переходная вероятность цепи Маркова (к^ п-'/О) g (■» - функция распределения С > h. » * е Ч j .A fi 3!,

t*«A + .

Определение 1.3. Полу Маркове кий процеоо (IMI) задается следующим соотношением:

ШЛ » , (2)

(п.

П-» - считающий процесс, 8, .

Предполагается регулярность ШП

$ [toi t»-} »1, fteM+. (3)

В § 1.2 содержатся теоремы обращения замкнутых операторов, возмущенных на споктре, полученные в работах В.С.Королюка и А.Ф.Турбина.

В § 1.3 приводятся примеры построе1Шя компактов в банаховых пространствах.

В § 1.4 сформулированы критерии слабой { или относительной) компактности случажых процессов со значениями в сеиарабеяьных . банаховых пространствах. Они сводятся к проверке слабой компактности последовательностей действительнозначных процессов -значений линейных непрерывных (функционалов на данных банахово-значных процессах.

В § 1,5 изучается маркшгальная проблема и. стохастическое интегральное уравнэш1е в банаховом пространстве. Приводен мар-тингалышй метод доказательства единственности решения мартин-гапыюй проблемы в банаховом пространстве.

Пусть (в,«3,1И) - вещественное сепарабельное банахово пространство с (^-алгеброй борелеЕСКих множеств В и кормой II- Ц , а В* сопряженное к JB пространство, разделяю-

щее точки 0 . Предположим, что - борелевская <зг-алгебра' измеримых шдшояеств ¿? , t & 3 , с , tA < tj , 51 "V <f б J3 Функция .MitVp. 5? —» J3 1 сильно измерима относительно и интегрируема в смысле Еохнара -V-t С0Э С Л. (Л .f t g называется сильным .".артингалом в

В , если

Е [мit)/ I 3 «лсс ввр.1 при g ¿t, ^ £ J3 ,

(4)

где Е - знак сшьного математического ожидания относительно

£> . Если С ( (ЛШ/), } 1 е СО, Г - действительный мартингал, | [б В* , то " (КШ/,^, ^ £С0,!ГЛ) зываетсд слабым мартингалом в 3

Под характеристикой мартингала С-М^-р, с? Ь&С0,Т])в В понимается характеристика действительного мартингала (И-МШ/), г 6 С0,!ГЗ)> . Б случае дискрет-

ного времени характеристика мартингала в В еоть

11Ч ,

характеристика действительного мартингала £ 5

Ct'ccj^W/M.-i Л, (5>

Определенно 1,2 П., Стохастическим ин^гоальним уравнением в JB называется уравнение вида:

i t

yi4f=cf + J faMt* tVisylfUltJ^eU j JACto.S.ViSJfJVwLj/s),

где & и J» измеримые функции из ^«ft «JB в В , Т>ГС1, t) -непрерывная no t локальная ортогональная мартингальная мера с характеристикой ¡pCA^i Л & iF, t '<= Ж + 4 / & В .

Уравнение (6) имеет слабое решение. если мо.кно построить вероятностное пространство ¿Г) и на пом два непрерывных процесса в и Tit)/ в В так. чтобы + выполнялось равенство (6).

Если слабое реезние уравнения (5) такоо, что сроисс YMf

- Б -

согласовано «-алгеброй * Ф «Р, 0* * ,

то такое решение казыиаат сильнш. Заметит.!, что под решением уравнения (6) понимается пара процессов

Решение (6) единственно в сильном смысле, если для любых двух решений ^СА,«, Vj.it)/) и С У4 Щ

заданных на одном вероятностной пространстве, из равенства Л ««Г,«,Я + следует, что

- II ? "0.

Если же любые два решения и

имеют одинаковые конечномерные распределения, то решение уравнения (6) единственно в слабом смисло.

С уравнением (6) теоно связана мартингальная постановка задачи его решения. Пусть СО,^ <*> ) пространство непрерывных на Г0,+ <*>) функций оо значениями в £ .

Определение 1.26. Прогрессивно измеримый процесо ТГй)^ в 3 являетоя решением цартингадьной проблемы, если можно поотроить вероятноотную меру на ( СО,Гво),!?) такую,

что выполнены условия: I) процесс

я1 $ £ и^бвЧ)- (7)

является квадратично интегрируемым мартингалом относительно

IfffCtsML • I

2) характеристика мартингала rn

равна

t й (8) { J £ (i C«jte, Via rf ))J=> «is ?.

Связь (6) и (7)-(6) устанавливается следующей теоремой.

Теорема I.I7. Мартингальная проблема (7)-(8) с коэффициентами й. и is имеет единственное решение тогда к только тогда, когда стохастическое интегральное уравнение имеет единственное решение в слабом сшслз.

. Приводится построение стохастического интеграла в банаховой пространстве по мартингальной мера. Доказана эквивалентность существования и единственности слабого решения мартингальной проблемы и стохастического интегрального уравнения в банаховом пространстве. Приводится метод доказательства единственности решения мартингальной проблемы на основа сопряженных процессов и дуального тождества.

Вводятся понятия полумаркоЕских случайных эволаплй (ЕМСЭ) и уравнения марковского восстановления ( УыВ) доя среднего от ПМСЭ ( § 2.1). Доказываются теоремы усреднения и дирТузионной аппроксимации ( в эргодическом и приводимом случаях) для однородных ( § 2.2 - 3 2.3) и неоднородных ( § 2.4) ШСЗ в схеме серии. Доказательства основаны на асимптотическом анализе УМЕ с малым параметром для преобразований Лапласа по грэмени от усредненных ГЯ.1СЭ в схеме серий. Для этого используются предельные теоремы обращения операторов, возмущенных на спектра (см.§ 1.2).

Усредненная эволюция и ее диффузионная аппроксг.иадая в условиях баланса представляют собой соответственно первое и второе приближение ШСЭ в схеме серий. Рассмотрено двойное приближенно ПМСЭ в схеме усреднения, когда условие баланса на выполнено С 34 2 ■

Е § 2.1 приводятся опредшшше и свойства ГЗ.'СЗ, а тотао выводится У1.ГО для ШСЗ. Пусть & X} обозначают сово-

купность некоммутируищих при разных х 6 У производящих

операторов с общей областью определения ^ £ат не

. *<2 X

зависящей от X и плотной в Б . поро.-щающих при кадцом

X <= X семейства сильно непрерывных егкимающх полугрупп линейных операторов ^ -Г*к С* 1 ^ % $ X, , причем стобра-хенио

ГСх)^: л —> .¡3 является 3 ¡& -измеримым, ^еП Д>»(Г(«)},

Предположим тают, что задана совокупность л-шейных с.тмаю-пл!Х некеммутлруаыих при разных х,ц б X операторов

Пример 2.3, J3,s ш CtVUV« / /СЯеС ÜR),

с л ы er « о

где удовлетворяет задаче Коши:

е с tylM.fcl.O, <j,ut*,0)s* еЛ, <э>

C(i,x) - ограниченная и непрерывная функция на Л * X . Тогда ГС») ft« яСсг,«,4 fid), fCkie = Л j>0m. irc«)

^ .ai " u *£)ч

Пример 2.9. JB;»ffi0CjR), © CMjbfCii; = /(£ +ас*,р)}

где - ограниченная и непрерывная функция на

Определение 2.1. Полумарковской случайной эволюцией называется случайный операторный процесс Tit} , удовлетворяющий уравнению:

t je«

Ttti^^ + Хкш^Усб^в f £ ¡¡at, .^-urcto-f

где

Tif -JieVi^-0), f L - , ... , хй) - НМЛ в .(2).

Пример 2.15. ß:c(noija), ГСМ иЭс*,1р определены в примерах 2.3 и 2.9 соответственно.

Тогда Vit) Jd) efCHt)),

где ¿Ct) удовлетворяет уравнению

t .Ott)

2 it J с f +■ J CCäcs), XCS)US + • (II)

о bi

Из определения 2.1 следует, что П,;СЭ VCt^r б J5 СО, +■ «>), V'jf <£ 3 , - пространство функций па С0,+ «О со значениям! в JB без разрывов второго рода. Если <£)c*,ij) 2 I , то из (10) вытекает, что V"(t)ji е £ß С0,+ ви).

Теорема 2.1. Рсвение уравнения (10) существует, единственно и А -измеримо

СледстЕие 2.1. Решение уравнения (10) представимо в ввде

Vlt)f z-ruv(flt))TCvCt))J > £JB>

где YCW SJ^.x^ViVV.

pt):s t-Vlt), mttii = r0[t) ltiT,l. Следствие 2.2. ШСЗ Tctlj: представима такна в видё:

«г««, in*« л a H) r^j, as)

Произведение в (12) направлено в порядка убывания индексов. Из определения операторов Г^ Ct) и следует

UVUljiil 4 lljMI, ¥ , Vj! S В, (13)

Средним от ШСЭ YCtl называется семейство операторов

ait,«:* ГШрк* й% CVitiJCUt))2i (14)

где Y ci) определено в (10), xi*' - пыл в (2), a ^WéJBttf при фиксированном % : Si*)'» [ tfiiï'- * А - «Э/а -

.измеримое отображение такое, что вар» llj?c*H +

Ê)t в-(14) - это математическое о:кидание по траекториям к Ctl 1 начинающимся в К й »

Теорема 2.2 (Уравнение марковского восстановления дяя среднего от ПГ,!СЭ ). Пусть (VCtlj^^-S Î - 1ИСЭ в

(10), С Ç.ÉM.'fc') %eïLfA.£8iit6A±')- полумарковское ядро в (I).

Тогда функция ц, в (II) удовлетворяет HSî

t

U.tt,0*f J ас^Дй) Л-О^ГиПий'а,^* (15)

* 0 4 ff h ct)i»-(il/m,

где в,СМ»« 1*9 , М (сл. (I)).

Следствие 2.6. Решение уравнения (15) существует, единственно и ограничено.

В § 2,2 рассматривается фазовое усреднение ПМСЭ в схеме серий в эргодическом и приводимом олучаях. Предположим, что операторы обС,*»^} зависят от малого параметра & следующим образом: 6

при Ц6)

где X} _ семейство линейных замкнутых операто-

ров о областью определения

Л^ЛУП С&^а^ II 0(^11 /4 £0 .

Определение 1.7. ПМСЭ в схеме серий определяется случайным операторным Процессом Т/^как решение операторного уравнения:

%

t е

О 1-1 к (17)

^ еВ.

Из теоремы 2.1 вытекает,что решение уравнения

(17) при кавдом фиксированном &уО существует, единственно и -измеримо.

Ьведем среднее от ПМСЭ в схеме серий

и£М" У^счеВС*-), (18)

Гд0 й(х) определено в (14).

Б дальнейшем предполагается относительная компактность семейства ПГЛСЭ ( см.глгшу Щ.

Теорема 2.4 (Эргодическое усреднение для И.'СЭ б схеме

- - сепий).

Пусть выполнены следующие условия:

1) СХд п.'/0) равномерно эргодическая со стационарным распределением ^ МЬ А & И ,

2) величины равномерно интегрируемы по X £ К

- 133) множество JrL'3 П J5om i-ГС»)) П J50m. С

плотно в Б ;

4) операторы

Л

и

Г: = I'M и S: = J f>c4*) J (19)

i XX

А Л

замкнуты с общей областью определения J3a . и оператор ,Tf<£) порождает (С ) -полугруппу, где

3id*mCM, m |t I? Cdt), (20)

a

S(d%)t* j} Cd%) m(%J /m.j

m к

5) sop lirMjIlt* <*» > II £)lt,yijll H-oo^jeM

4

Тогда шеет место предельное соотношение £un ЦД<1*)а кл(Ь)

6-fd 6

для любого t из компакта в Л + равномерно по * , где U0(t) ~ единственное решение задачи Коши:

duit)/dt= ajit.it), 0 6 (21)

X

Далео рассматривается усреднение в приводимом олучае.Пред-роложпм, что задан ПГ.1В CjC^",; а>di в UjtK) , зависящий от малого параметра £>У0 таким образом, что ПМВ имеет вид:

(22)

где переходные вероятности гозм;тенной гепи Маркова

С К ^ ; я ?/ О ) имеют представление

Pfi(MJ -¿^Си./О* (22)

Здесь - переходные вероятности невозмущенной цепи

"Маркова , Рл (к, Л' -мера по А и измеримая функ-

ция по X .

Фазовое пространство X допускает эргоднческую декомпози-

щш

Кц., Хи.ПХ^! *ф, (24)

14 £ 11

где С "Ц-, £11 - измеримое фазовое пространство о бг-алгеброй , содержащей одноточечные подмножества. Разбиением (24) определяется измеримая функция, называемая функцией укрупнения:

и. СХ»Г К 11 (25)

н определяемая таким образом: ис*)* и при X й и

Сигма-алгебры «X и ЭД согласованы таким образом, что И. й й тогда и только тогда, когда А б 21 , где Х'«и ¥-Д 6 »21 . Переходные вероятности рС*, А)

А иед

также согласованы о расщеПлонием (24) фазового пространства К :

_, \ X, х е Хи.

РСц, К , 1 * < ' 111

11 I о, хе*а

(25)

Заметим, что Рла,Х)аО в (23) и Р4£1}})*0 . если К и ^ не принадлежат одному классу, и Рл Си, Н) * О, Ч<= Н . Определение 2.8. ПМСЭ в схеме серий в приводимом случае определяется решением следующего операторного уравнения:

■ ь >9 та

*$ + $гсЛ^г^ла^ с® с%£ /) - (26)

о кЧ к

где Х£й1гйх6,

О ? «г

Введем среднее от Ш1СЭ в (26):

где ¿!Си.)<= & СИ): = £ ^ц.).' И - 3 ~ ¿9 /1£ - измеримо и ¿р И^сшИ С- Л! « Б С' 1ц*)яаЗ .

и.

Теорема 2.5. (Усреднение для ШСЭ в схеме серий в приводимом случае). Пусть выполнены следующие условия!

1) ¡«возмущенная цепь Маркова (х^п^О) равномерно эргодична в каждом классе )(а со стационарным распределением

С А) , и е % Л е 35 •

2),3),5) теоремы 2.4; 4 ) операторы

Геи)! = с4*тО И

С К

замкнуты при какдом Ч £ 11 с общей областью определения

и операторы ГСа) + ¿э (ц.5 поро:эдают при каядом ивЧ СС01 -Потугруппу, где

гаем.»« Г дс^мтсм, /шил

Хц.

6)

Хц. (29)

^а (> ^ 0 м

Тогда шеет место предельное соотношение ^ 1£,и)-ц.

6-*<3

для любого 4 из компакта в Л ± , где цйЙ,а1 - единственное ^и. в 'Л решение задачи Коши: Л

¿ц.0/Ж а +

* * „ , (20) + С Г а $

иЛо,и.>: = ^ = хеи),

•где ^ СиШ^Й (11.): = [¿(иУ И-+3 - ¿2», -ггл/ериио,

'' if'a' " ^ + • &e~ -алге^Р3 борелевских множеств

б i3e ,

л

Л/iu)! » a>M(m.w2jLa), Pj4u): » )/i(u)Jjriujj;3I)

U.

Ftu) £ J&ilO.

л

Предельная эволюция Vit) для Ш0Э в теореме 2.4 является

детерминированной и имеет вид:

fa'*1****. <32)

л .

Предельная эволюция Y 't) для ШСЭ »¿Ct) в теореме 2.5 /шляется укрупненной марковской эволюцией, удовлетворяющей операторному уравнению

ii-V (t ) * А л л

-Г—= С Г(5«»+ «S)i*ctJJJ T(t), (33)

dt л

Vépî

* л л

где операторы J'iu.) и SHu.) определены в (28), a ait) есть укрупненный однородный марковский процесс в фазовом пространстве £11,21) о производящим оператором Л ( р - I ) в (31) и переходной вероятностью q_(a,H3t)-'= fiu,H) Q- е )f

и Peu,H) определены в (3i). Предельные функции в теоремах 2.4 и 2.5 имеют вид соответственно: cr + i>)i

и V*,s е

/ч л

где fit) определена в (33), a ¿fCu) - в (30).

Результат, аналогичный теореме 2.5, можно построить и в бо-• лее общей ситуации С 5 2

В § 2.3 изучается днуТУузионная аппроксимация ШСЭ в схеме сепий в оргодическом и приводимом случаях. Предположим, что задано семейство х с J производящих операторов с об-

ластью определения П .Dom СГ i*^ л плотной в В , порож-* & x

дающих сильно непрерывные сжимающие полугруппы линешшх операторов {_ Гi it) i xeX,t <sЛ ,¿>0} и допускающих разложение вида

4

ГА<>0/ +£ J^cwf i-oC&lf при £->0,(34)

где ^I^UJjXäX} - замкнутые линейные операторы с областью определения П £о<п СГХ (О) П Нош (Г э f, ||o(6)i4l I ¿> -+Q ■

*&% i S I г п

Операторы скачков тлеют разложение следующего вида:

£) +£ 3) + " 3)ä ix.^uofe '¿f, при <s 0,(35)

где j^ciU*,^); 6 Xj - замкнутые линейные операторы с областью определения Л Dom iSjU.ij)) П J)om. C$4 Ujij)) sj^

"иоса*)^ 0.

Определение 2.10. Е.ЙЭ в схеме серий называется случайный операторный процесс У £ £И, являющийся решением операторного уравнения:

б £ «•" _ .. 6 сзд1

Усо^ [эсч

о ^ ^

V ей.

Из теоремы 2.1 следует, что при ка:здом фиксированном ¿уО решение уравнения (36) существует, единственно, ограничено и -измеримо. £

Рассмотри среднее от ПГ.'СЗ "V М в (35):

и.6н,%)-. = [у^/б^'х и/в')).],

Теорзка 2.6 (ДифТузнокная аппроксимация ЕЛЗЗ в сор;;;: в епгод:пчос;;ом случае). Пусть кыполиеич сл-^устае услогич: I) услугня теоргмн 2.1;

2) величина Bt равномерно интегрируема по * <S ;

3) множество JB : »

П-ПотС®^*.^) плотно в fof'i *

4) оператор

iii « J j>U%)LUMm.,

где

iUMi« Стсц)Гл«*) + Ра и.ОЗЛ [mimJ^CiO+PS) +

* о 1

+ пи*)Д ШР& С*,тлюГ,ui+mcniJim+Pa., * i ал g с ■>

замкнут и поровдает (С)-полугруппу, где frit*),-» Q. idi), е> 6 J0 *

Л0 - потенциал цепи (\ и > а) ;

5) условие баланса;

S^CCIIODTUM^U) tPS^lKj-jJ/s 0, ij" eBei *

6) «Up <*>i Atp iTifif^UlfU+M,

sup II йт^-Г.ИО/ II 4 + с*>, M

' £ о

Тогда имеет место предельное соотношение iun U. it,%) -и. it)

m & Q

для любого t из компакта в Jv + равномерно по л , где цвit) единственное решение задачи Коши:

Г /Lu'lti/dt s Lu^Ct) (39)

л

где оператор L определен в (26), а функция £ - в (21).

Далее рассматривается диффузионная аппроксимация ШСЭ в схеме серий в приводимом случае. Предположим, что заданы объекты :: '34),(35) и в (22)-(25), но вместо (23) имеет место следующее для Pf С ) :

£ (40)

' а,А) = Р i А) - "<sfi С *, А).

- 19 V

Определение 2.11. ШСЭ в схеме оерий определяется решением операторного уравнения:

С * , £ « 4т * ш л «

■

Решение уравнения (41) при каждом фиксированном &>0 существует, единственно, ограничено и с?^ -измеримо, что следует из теоремы 2.1.

Рассмотрим среднее от ПМСЭ в (41):

V¿тмЛЫ. (42)

Теорема 2.7 (Диффузионная аппроксимация ПШЭ в приводимом случае). Пусть выполнены следующие условия:

1) условия теоремы.2.5}

2),3),6) теоремы 2.6}

4) оператор

Ьшг.в ? |ЗГ 1«1хШ)0 Лпчи1 -замкнут, (43)

и I

где определен в (38), и порождает при каждом и. £ Ц

(С0) -полугруппу;

5) условие баланса:

Тогда для любого 1 из компакта в Ж+ имеет место предельное соотношение:

&>г и.&и,и) га" ({, а), £ —»О

где ц. И, ц.) - единственное ^Ц-Й^ решение задачи Копи:

= (Р-1>а0и,и>+ ¿Са1ави,а), (44). и.°(о,ю= Г fса^ли;: =

и о и

л

где оператор Л. CP " I) определен в (SI), ¿íul- в (43).

Из гаореы 2.6 и 2.7 вытекают следующие леши, описывающие иределыша_эволющщ в диффузионной аппроксимации. Предельная эволюция V'*' дая Ш.;СЭ V^ftte) в диффузионной аппроксимации в эргодическом случае является детерминированной и имеет вид:

8 (45)

Предельная эволюция VW для ШСЭ V в диффузионной

аппрокоимации в приводимом случае являетоя укрупненной марковской эволюцией, являющейся решением операторного уравнения:

«¿VrtJ д (46)

VtO) «I,

где оператор ¿(CiiJ определен в (43), а укрупненный мар-

ковский процесс в С, определенный в (33).

Продольные функции в теоремах 2.6 и 2.7 имеют соответственно вид:

u°ttj * е ut¡

и

U.°lt,U ) = ¿^ [ Vit) JÍ £ш)2 . (47)

В § 2.4 доказываются теоремы усреднешм и днЗТ.узионной аппроксимации для неоднородных ШСЭ (НГПХЗ) в схеме серий в зрго-дическом и приводимом случаях.

Пусть задана совокупность сильно непрерывных по S и t с;дшающих полугрупп лиле&шх операторов ^Г^ ís^í), ie%.¡ s,t таких, что .

Через £ Vis,S6.R } будем обозначать совокупность

производящее операторов, соответствующих этим полугруппам, с

областью определения П -Pont ÍPCs, чЛ плотной в J5 *s Л *

' s е R +

Определение 2.13. НП?,;СЭ называется случайный операторный процесс Yí&,s 1-t) удовлетворяющий операторному уравнению:

- 21 -

s+t «Jar

VCs,s*t)f =/ + Jl'Cs^caJíVís.aljrJu+S -

5 (48)

-1Д TCS.S + ^O/, V¿f6 JB, íCilMáX.

Теорема 2.8. решение уравнения (48) существует, единственно Vs<3ü»+ и являотся -измеримым случайным процессйл в 3 , где Ss: «в )fl

it'o.i.a,... ¡ УД"1 s В1** J .

Следствие 2.II. Решение уравнения (48) мо;кно представить в виде:

VCsC8+*ít1,e4-t)rCs,í+vii)tyt

где V(s,s + ? )=S>Cx ,х )V(S,S + T -h- T(s,5+?-Jfís,s<-v)f,

' IV jv-A rv ^J 1 <J »4»

Из определения 2.13 НШСЭ следует, что 1Tí5,á+tJg a «)3V5fiJí+ и

II Ves, s+tíj? 114 lljfj , f íjtí^ 5 ej. (49)

Средним от HffiigD называется семейство операторов

£<jS cm»+t ^(»(«и, {50)

V fin 6 3c 'i 5,t s Я+ .

Из (49) и (50) Еытекает, что

ПГСМ^СЮИ ¿ £up I!^Чх) И. (51)

Teope.va 2.В ( УМВ для НШСЭ). Среднее U<5.t,xí¡я ¡Tíí/t^oo ■ от НШСЭ удовлетворяет У1.Ш t

Uls.t,*)-J f q, ¿Síüj.átHSlC*,^.^ (S.S+tfjlUí+tr, i-v,y) = a t

* l¿,e + t)tfís), f/misSU). (52)

Из теоремы 2.8 и (49)-(5I)-следует, что решение уравнения (52) существует, единственно и ограничено.

Далее рассматривается усреднение и диффузионная аппроксимация НПШЭ в вргодическом случае. .

НШСЭ в схеме серий называется случайным операторным процесс У (г 5 +О удовлетворяющий операторному уравнению:

« ^ + £ Г (в, «(и./б^ТГЦв+и^З

*<*> ! (53)

+ ¿1 С "и .V - гз Г", 1*1

где операторы Й^сц.у} определены в (16).

Решение уравнения (53) при каздом фиксированном &>0 существует, единственно и -измеримо, что вытекает из теоремы 2.8. Введем среднее от НШСЭ в схеме серий:

И У^ОИ<£ £СХ5. (54)

& к, б

•Георема 2.10 (Эргодичеокое усреднение НШСЭ б схеме серий). Пусть выполнены следующие условия: 1)-2) теоремы 2.4)

3) множество & I * П .ЕвмЧГ(«,*)) Л Лил (£) (*,ч)} плотно в ¿5 ;

4) операторы

14« | с $ И £> ( см. (19))

и Л л А

замкнуты TS б JR + и оператор Г (я> +■ g)

порождает

(Сд) -полугруппу;

5) Sop llPti.xVfU + ««, if Я «в, V^f £lfli

6) JJj (5,t) дважды ограниченно дифференцируема no s3

и Vt e JR+.

Тогда имеет место предельное соотношение для любых 8 и t из компакта в равномерно по х :

iW 11, Ci.t.x) * 1tflCS,t>:

£ -ИЗ

(55)

С f«J + Sjj-U0ts,t< + i 11(5,4),

duni S,t) .А л ,

-it--Crui+aj*.«.«^

я Л

•Uo(S,0) s J ¿TUiO^iO » jf .

Е приводимом случав в теореме усреднения получим задачу Кошп (55) с дополнительным слагаемым в право- чаоти (55) в виде ЛСР- t®.t. , а операторы la) (сч.(28)) а

j?cju.):=f & t¿%") Ils,%) заменяют ® и ооответствен-

но.

Перейдем к диффузионной аппроксимации НПШЭ в схеы£ серий. Пусть [ T,f C5,t); Xj бЛ+,а>0} - совокупность сильно непрерывных по S и t сжимающих полугрупп линейных операторов о семейством производящих операторов {i1 íM'jS й* е % , & >oJ

с областью определения , Г» Som. плотной в J3 ,

s а я >

; й * (> о

допускающих разложение вида:

д

Г CS,l)¿ = cs.nVf + (Srá OÍSbf, (36)

где xeX;S(jJl + 3 - замкнутые линейные операторы,

/ е^Л ¿JW tr£CS,%)) ПЛ5опг Ц (5, *)) f| -Dorn. IlOíS'/n/fi

Определение 2.19. ШНСЭ в схеме серий называется случайный операторный процесс s+t), являющийся решением оператор-

ного уравнения

a £ £

V U,s+ty =¿4 j Г ís,ní4/s))Vis,s + u.)^¿s + (с7)

<ШГ £ S ¿ и

f2 [а ,K.)-JJV 15,54.4*-?/, TjeM,

Решение уравнения (57) при каждом &>0 и 5 + существует, единственно и ¿F^9 -измеримо, что штекает из теоремы 2.8. Введем среднее от НПКСЭ в схеме серий:

£

1L С = £ [У С / l*(*//))J , eBCX?.

(58)

Теорема 2.12 (Диффузионная аппроксимация НПШЭ в эргоди-

ческсм случае). Пусть выполнены следующио условия:

I),21 теоремы 2.6; ¿ ¿

3) множество В ■■ - í\ Hont Crcj,mnDom.trcsJxOriJ5ofn(ac»)H))n 0 *.ч- i * 1 '

Л Я.

£>О

flDom.

плотно в В (

4) условие баланоа;

V"1 б *В„ »

5) операторы

* С (59)

Г

где

I £ I +т.с*»д 2 ^ [т-СмГ С+

Л Ц

+ (^£»11 £*,«)-Рд * 10 + } (60)

порождав! 1Са) -полугруппу ¥ В в & + *

6) ¿Цр 11рЛ|,Ю^|| А**.,

4*р 16,»)* Ц ¿ + г;

3, * и

7) Гц £8,*) четырежды ограничено дифференцируемы по .5 ,

Тогда имеет место Предельное соотношение для любых г п t из компакта в Л+ ■ равномерно по я :

ЙЛ1

¿и/с«,*) - р изг)

——-г

В приводимом случав в диффузионной аппроксимации получим задачу Кош (62) с дополнительным слагаемым Л И^иД, а),

а оператор ЩН заменяется операторами £ и,и.): * $ р (<1хН (9,*}.

* 11

и-

Глава Ш. МАРТШГАЛШЕ МЕТОДУ ШСЛЦОБАШШ ¿¿/ЧАЙНЫХ ЭЕОЛЮЦЙЙ

В главе Ш исследуется слабая сходимость ШСЭ в теоремах усреднения и диффузионной аппроксимации ( в эргодическоМ и приводимом случаях ( § 3.1), используя критерий относительной компактности процессов со значениями в сепарабельном банаховом пространстве, а также мартингвльше метода. Обосновываются предельные представления ШСЭ в терминах мартингальной проблемы в виде операторных интегральных уравнений, как детермиНиройаНных (теоремы усреднения), тан и стохастических (диффузионная аппроксимация и теоремы укрупнения) (§ 3.2).

Ыартингальный метод получения предельных теорем для ШСЭ оо-нован на решении следующих трех задач!

1) относительная компактность семейства мер, Пороаденшх последовательностью ШСЭ;

2) каждая предйльная точка этого семейства мер является решением мартингальной проблемы;

3) решение мартингальной проблемы является единственным.

Условия 1)-2) гарантируют существование слабо сходящейся

подпоследовательности, а условие 3) - единственность слабого предела.

Решена мартингальная проблема для ШСЭ в случае диффузионной аппроксимации, что позволяет выписать стохастическое интегральное операторное уравнение для предельной ШСЭ, вычислив характеристику предельного мартингала ( § 3.3).

Доказана единственность решения мартингальной проблемы, используя сопряженные ПМСЗ. Это позволяет утверздать такяэ о единственности решения предельного уравнения для ШСЭ (§ 3.4).

1,'артингалышй подход позволяет получить некоторые оценки скорости сходимости в предельних теоремах для ШСЭ С24,29 2 •

В ^ 3.1 доказывается относительная компактность ШСО в схеме усреднения п диффузионной аппроксимации в эргодическом л приго-

димом случаях. Вазда в глава Ш предполагаются выполненными следующие условия: ^

J>¿) операторы Tí*) и Г (*', X являются дисси-пативнимл на лзбом гильбертовом пространстве Н и Н соответственно являвшимися подпространствами JB и JB ;

J^) операторы Ё> и определении ПМСЭ

являются сжимающими в любом гильбертовом пространстве И и И* , вложенными в банаховы пространства JB и В* ;

•£¡3 ) существует гильбертово пространство Н компактно вложенное в сепарабельное банахово пространство Ju , и HcJ3Q.

Пример I. £¡e Ш £ .'в С* СПИ, H = Vf,¿ CíRl,

здесь W¿,á(G) с lliO.

Пример 2. s <СЧ R), Н а V '¿C R»,

здесь Vt,SÍÜ) с ЙЧ RJ с u¿ СЮ.

Из условия следует, что -Tí*) и Г Ыпороздают

сжимающие сильно непрерывные полугруппы ^ (ti и Т* tt) в Н и И' соответственно;

Из условий J) J - Jb¿ ) вытекает, что ПМСЭ VLt) является сяимающиы оператором S Й , f t е R +, и l|Vít)¿fllw -полумартингал ¥ ¿f lá Н.

Условия ЪА ) - ) обеспечивают справедливость сле-

дующего результата.

Основная лемма* ПШЭ . Vi tí/ удовлетворяет условию компактной принадлежности, т.е. f ¿ >0 существует компакт К^ :

^ [ ТсB)¿ 6K¿J ы-л, Vt е С о, ¡r Л. (63)

Б теоремах 3.1 - 3.4.доказывается .относительная компактность ШСЭ ( соответственно дискретных без операторов!скачков, непрерывных , дискретных со скачками и разрывных- в схеме усреднения в зргодическом случае, При этом устанавливается непрерывность траекторий предельных эволюций при £ —► О.

Теорема 3.4. Если выполнены условия теоремы 2.4 и условия J>i )- Dá ), то последовательность И.ЮЭ V& относитель-

но компактна в «¡Djg CÚ(+wj) с предельными точками в Со,+ »}.

В теореме 3.5 устанавливается относительная компактность ПМСЭ в схеме укп.упнеШш ( приводами случай). Предполагается,что

выполнены условия (22)-(25). Доказательство основано на следующей лемме. г

Лег.-ма 3.9. Пусть Я - потенпцал цепи (Х^п^О) и iJ^i^'j ц аЧ,Ае£, & >о ) - стационарные распределения возмущенной цепи Маркова i j 1 . Тогда Имеет место прод-стаЕление:

К = * Л1 ^ ^ (64)

£

где Л , и Р, - операторы, порожденные соответственно ядрами д4,^ и Р, не И, *сзХ, ¿а й,

Теорема 3.5. Предполс:тпм, что выполнены условия теоремы 2.5 и условия )- .Рд ). Тогда ШСЭ YgiiJji в определении

2.8 ( см. (2G)) относительно компактна в С а, * с» ) о продольными точками в iCg СО, + w»).

В теоремах 3.6 - 3.9 доказывается относительная компактность ШСЭ ( соответственно дискретных без операторов скачксв, непрерывных, дискретных со скачками и разрывных) в диффузионной апдроксиыд-щм в эрг одическом случае. Устанавливается непрерывность траектории предельных зволюцпй при <5 —»0 .

Теорема 3.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.6 а условия -Dj )- ). Тогда последовательность ШСЭ Y^iils)^

относительно компактна в JD« Со,+ с*) с предельным! точками в Со,+ «Л .

На основании леммы 3.9 доказывается следующая теорема об относительной компактности ПМСЭ в диффузионной аппроксимации з приводим ад случае.

Теорема 3.10. Предположим, что выполнены условия теоремы 2.7 и условия -D* )- J5ä ). Тогда ШСЭ в определении 2.II

(см.(41)) относительно компактна в JD^ о предельными точ-

• кш.1и в С о, +• «О.

Б 5 3.2 рассматриваются предельные представления для ШСЭ в схеме усреднения и диффузионной аппроксимации в яргодичоском случае.

В теоремах 3.II - 3.14 устанавливается вид предельных опора-торных интегральных урагаений_дляJTjCЭ. дическом случае,. Эти уравнения являются детерминированными.

Теоромп 3.14. Предполапш-, что выполнит условия теоремы 3.4. Тогда последовательность ШСЗ V.ltJf С%(*!с)1 слабо сходится при

ь-А

& О к процесоу V »

^ + «О, ¥/еВ0 , (65)

Ой £ л

где оператор Г+£> опредаден в (19), $ - в (21).

Следствие 3.4, Из теоремы 3.14 вытекает, что мартингальная проблема ^ля ШСЭ в схеме усреднения в эргодическом случае имеет решение Т^ , удовлетворяйте уравнешш (65), а также выполнены условия! ^

а) ~ непрерывный

«^-мартингал, | г

б) характеристика 4 мартингала т. (О тождественно равна нулю.

Предельный продеоо в схеме усреднения в эргодическом случае характеризуется в терминах марпшгальной нроблеш. Пределышй мартингал равеа нулю, так как характеристика его в теореме 3.14 равняется нулю. Поэтому предельное уравнение (65) детерминированное.

Далее рассматривается стохастические интегральные представления 1КСЭ в диффузионной аппроксимации в эргодическом случае. Характеристика предельного мартингала в мартингалыюй проблеме здесь отлична от нуля. Поэтому и пределышй мартингал отличен от нуля, так что предельноз уравнение в диффузионной аппроксимации стохастическое.

В теоремах 3.15, 3.17, 2.19, 3.21 предельная ПГ.ХЗЭ характеризуется б терминах мартингалыюй проблема соответственно для дискретных ШСЭ без скачков, со скачками, непрерывных и разрывных.

Творила 3.21. Предположим, что выполнены условия теоремы 3.9 и оператор Ь ( см. (33)) порождает С"С0) -полугруппу.Тогда процесс слабо сходится при £—»6 к процес-

су УМ/ : 4 _ л

- / - I Ь ПбЦЛа-.ь 11 / - (66)

а г

непрерывен ^ -мартингал, Ь определен в (38).

Б теоремах 3.16, 3.18, 3.20, 3.22 вычисляются характеристики предельных мартингалов для Ш.'.СЭ соответственно дискретных без скачков, со скачками, непрерывных и разрывных.

Теорема 3.22. Предположим , что выполнены уоловия теоремы 3.21. Тогда характеристика мартингала Я / в (66) равна Ч1е$>* ь Ь

<еш = (67)

* о X

где <ЗГа(*)» = Ст^*»-тасх)Л/(п.

Таким образом, из теорем 3.15 - 3.23 вытекает следствие. Следствие 3.8.[.'артингальная проблема ДО разрывных И.'СЭ в. дадфуэионной аппроксимации имеет значение , удовлетво-

ряющее уравнению (66), а также!

а) м си.- = IСТ1«/-/- $ и V«'/Л- ¡0 * £ / ) (68) о

- непрерывный Ж -мартингал;

б)

характеристика мартингала £ ít) равна:

Vít):» iuLtíy i* (Sí%1jlí%) Ví$)£)j3 U*)cLs . (69)

O X

Далее рассматриваются предельные представления для ПМСЭ в схеме усреднения ( Т.3.23) и диффузионной аппроксимации (Т.3.24) в приводимом случае,

Теорема 3.25. Предположим, что выполнены условия теоремы 3.5. Тогда последовательность ШСЭ V^W^CliíAt/cW слабо сходится при £ —*-0 к процессу t

-0,

■где xtt) - укрупненный марковский процесо в а производя-

щим^оператором JIÍP-I) ( см. (30)-(31)), операторы f(a.l и & Си.) определены в (28),в (30).

Теорома S.24. Предположим, что выполнены условия теоремы 3.10. Тогда последовательность ПЖЭ y&í*¡£)^l14\eí*l£i))') слабо сходится при о к процессу уít) J (£ ítj) :

yctíjí LsítD-Jíu.)-JC Lisia)) +ACP-I)J V(s)f CxüO)¿s.-=(7I)

o

л

непрерывный -мартингал, где ¿у. * С {к и) ; о А 5 - ¿3

а оператор опредолон в (43). _ Л

Следствие 3,9. Характеристика мартингала 11 ^ £ в (71) имеет вид: На В*

"г А ^ <3 — Л

1(Я ¿М)> е Г у I (би.иШОТСбтчОрали« (72)

где е-^^.и.?;« -гпСхО/пгси.), и. е&.

Предельные процессы для ПШЭ в схеме усреднения как в эрго-дическом, так и вАпр1тодаыом случаях характеризуются полностью операторам! Г^Ь $£и.1, ввиду того, что пре-

дельный мартингал нулевой.

Б диффузионной аппроксимации в эргодцческом и приводимом случаях предельный процесс для ШСЭ характеризуется в терминах мартингальных проблем для операторов и с отлич-

ными от нуля предалышми мартингалами а М соот-

ветственно. А *

Характеристики мартингалов и Л ^ (и1, найденные

соответственно в теореме 3.22 и следствии 3.9, а также свойства мартингальнцх мор Позволяют найти представления этих мартингалов и, следовательно, вид Предельных уравнений в диффузионной аппроксимации.

Теорема 3.25. Пусть выполнены условия теоремы 3.22.Тогда предельный процесс в диффузионной аппроксимации в эргоди-

ческом случае является решением следующего стохастического интегрального операторного уравнения!

л л * * «л

у и*,¿в)} (7Э)

о о и

где к определен в (3£), - в (67), о - вине-

розская ортогональная мартийгальная мера с характеристикой

лей, * й .

Следствие З.Ю. Если выполнены условия теоремы 5.25 и оператор и порождает сильно непрерывную полугруппу Ш*) , то удоьютворяет также уравнению!

- 31 -

л t -л

Уау = + ©ЪоЧШ-вэГыУ*«^ ЪГСс1я,ЛяУ. (74) ох

Теорема 3.26. Пусть выполнены условия теоремы 3.24. Тогда процесс УМ^Св (71) удовлетворяет следующему уравнении:

ус«/схс«) = + { С иСлсвя +л+

о

+ ¡V £¿5, ксл» у'св)/ 5 «р (75)

где ^ = | V *М«1 ЕУс»,и) по^,

и - винеровская ортогональная мартингаЛьная мера с

характеристикой ^ «¡2, I > Ий«!!,

Следотвка 3.11. Пели выполнены условия теоремы 3.28 и оператор йи) является решением операторной задачи Кош

¿0Ш5 » - „

ггг .. . л .л

то процесс С х 1-Н) удовлетворяет такяе следующему урав-

нении:

- йси^с*«})* ^«¿й-ви +

Ь й

. «« «и* ^ «А Л <4

+ 5 ЩЙ-вЛ^аа.лсяЙУса^С^йО, (?в)

где Т/ропределен в (75).

В § 3.4 рассматриваются сопряженные ШСЭ и единственность решения мартингальной проблема для ШСЭ.

Если процесс УСИ^ - единственный в 3 , то могло ут-Ееркдать, что ~ диффузионный процесс в В в тем емгсле,-

что ^ £ £ Б* процесс ¿(ТМ^) - диффузионный в Л .

Для установления единственности предельного процесса введем сопряженные ШСЭ. .

ЧерёзГ^ОО обозначим операторы на В*, сопряженные Л*), ^«е X , о плотно^ облаатыа определения , не зависящей от X. Пусть - процесс марковского восстановления

на X* А + , не зависящий от Сб^гц-О), но тлеющий одинаковые распределения с *** О* : РС», <4) и АеХ,

Через обозначаются операторы на $>*^ сопряженные опе-

раторам

Определение ЭЛ. Сопряженной ШСЭ в схеме серий называется решение следующего операторного уравнения на В* :

где «'£«« « ггш* (а. ^ ¿Ц, . § .

Аналогично уравнению (10) можно Покаввть, что^ решение уравнеНия (77) существует, бйинотвейно и А1 -измеримо, где

^(Пс^мМи',,,,^)*^, е А™}

( см. теорему 2.1)» Причем решение (77) можно представать в виде ( см. (12))!

4*1 #

>!* Г* Ш«»«, )) Я Й>*(Х д)Г,14в!}. (78)

Для сопряженных ПШЭ Можно применять аналитические методы исследования и мартингалыше, аналогично гл.П и гл.Ш для ШСЭ, Здесь мы остановились на ЫартингаЛЬных методах , которые полезны при доказательстве единственности предельной 1ШСЭ. ' ' ; ,.

Иопользуя результаты § 1*5 и § 3^4, приходим к следующему результату.

Теорема 3.31. Если выполнены условия теорем 3.25 и 3.27( то процесс УСО^ . в (73) является единственным по распределению, $ £ Во 1 Я решение мартинГальной проблемы для "^"Й)^ еданст-1бчно. В частности^ решение уравнения (73) также является един-с ценным по распределений;

Глава 17. ПРИМЕНЕНИЕ ПРВДЕНЬШХ ТЕОРЕМ ДОЯ ШСЭ К СТОХАСТИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ СИСТЕМ

Рассматриваются отохастячеонйв Модели эволюционных оиотем в полумарковской среде. Они служат реализацией ЕШ9. Ёвделяются две ооновные стохастические модели! импульоныв продасоы переноса (процессы запасания ил$ накопления) И процессы переноса (Помимо переключающихся процессов о независимыми приращеНйяМй й аддитивных функционалов), а также физические Модели« ветвящиеся процессы, случайные движения на группах Ли, 'Ц.-статистики и волновые процессы ( § 4.1). К данным моделям применяются теоремы усреднения (§ 4.2) и диффузионно^ аппроксимации (§ 4.3) из глав П и Ш. Исследуется также двойное приближение данных процессой в охема усреднения ( § 4.4). Имеет место общий резулЬФат о двойной аппроксимации ЕМСЭ в схеме усреднения С34 3 •

В § 4.1 описываются модели эволюционных стохастических систем в полумарковской случайной среде»

Б § 4.2 теоремы усреднения глав П и Ш применяются к моделям систем 5 4.1.

В § 4.3 теоремы о диффузионной аппроксимации глав П и Ш применяются к моделям £истем § 4.1. Существенным условием здесь является условие баланса.

В § 4.4 рассматривается двойное приближение эволюционных стохастических систем в полумарковской случайной среде в схеме усреднения в том случае, когда уоловиэ баланса Не выполнено. В данном случае можно также получить диффузионную аппроксимацию эволюционных систем.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах!

1. Кородюк B.C., Свину к Л,В. Фазовое укрупнение полумарковских случайных авашоцай и теория запасов // 1У Междунар.Еильнюс. конф.по теории вероятн.и мат....статистике, Еильнюс, 24-20 июня 1985г.¡Тез.докл.-Вильнюс,I9B5.-Т.2.-С.62-64.

2. Свищук A.B. Предельная теорема для процесса запасания // Ана-. литические методы в теории надежности. - Киев: Ин-т математики АН УСОР, 1665. - 0<115-116.

3. Муравейников Г. ,,0вищук A.B. Закон больших чисел для случайных эволюций на группах Ли //xIX Зимняя школа по теории веро-ятн. и мат» статистика, БаКурианй,7-17 морта 1905г.-Тбилиси,

.1235...-С.За. - '-

4f Swishuhuk A,¥,»KorolyUk Y»S. Betni-Marlcov random evolutionsPhase Étgregation // IHt Proeeeditigs of Intern.Summer School, irh.mid liathiStat, - Varna» Üald Bände» 25-31 Aug. 1985.' Boíiat BulBiAoe.d,SBi6tt.(l90ö» - Pp.156-171.

5» Свищук A.B. Фазовое укрупнение полумарковоких случайных эволюций порядка ¿>1 // Применение аналитических методов в (теории вероятностей^ ¿-'Киев! Ин-т математики АН УССР, 1986. -, С.100-104.

64 Королюк BíC., Йвищук A.Bé Центральная предельная теорема для полумарковйких случайных эволюций // Укр.мат» журн. - 1986.-■ 38, Ii 3, - С. В30-В34.

7. Королюк B.Bi, Королюк В»См Свищук A.B. Центральная предельная теорема .для полуыарковбких случайных эволюций в схеме (разового

. укрупнения // же i • ~ 1Ш7• ~ Ш< J; 3- - с- 314-319.

8. Свищук A.B. Предельные теоремы для полумарковских случайных эволюций на группах Ли // Асимптотические методй в исследовании стохастических моделей. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. - С. 103-109,

9. Свищук A.B. Предельные теоремы для .ветвящихся процессов в полумарковской случайной ореде.-Киев,1966.-28 с.-(Пропп. ./Ж Укргн-ны.Ин-т математики ;86.В4).

Ю.Свищук A.B¿ Мартингалышй подход к полуМарковеким случайным эволюцияМi - M. » 1987. - С. 10-109. - Деп.п ЕШШ 25.09. 87, J¿ 6907 .

11. Сешкук А.Б. Предельные теоремы для отохастичеоких дифференциальных уравнений о полумсчрковокими переключениями // Аналитические методы в вероятностных задачах. - Киев: Ин-т математики АН УССР, I9C8. - С. 82-91.

12. Королюк B.C., Свтцук A.B. Фазовое усреднение неоднородных . полумарковских случайных эволюция// Укр уат, журн. - 1989. -41, .'.• 2. - С. IG3-I70.

13. Королшс Б.С., Свищук A.B. Слабая сходимость полумарковских случайных эголипдй в схеме усреднения // Теория воролтн. и мпт, статистика. - 1920. - 42; - 0. 80-90.

14. Свищук A.B. Представление мультипликативных операторных функционалов б'г полумарковокого процесса // Докл.АН УССР.Сор.А.-1988. - 10. - С. 27-28.

15. Свищук A.B. Диффузионная аппроксимация операторных марковских процессов случайными эволюциями // . Там же . . .

П. -'С. 23-25..

IG. Королюк Б.С.,Свищук A.B. Центральная предельная теорема для неоднородных полумарковегак случайных эеолюций // Укр.мат курн. - I9C9. - 41, л' II. - C.I0G4-I070.

17. Свищук A.B. 1,!арковскпо и эволюционные полугруппы. - М., I9G9. - С.62-65, -■ Деп . в ВИНИТИ 20.01.89, Je 487

18. Королюк B.C., Свищук A.B. Продельные представления Для полумарковских случайных эволюции в схеме усреднения // Укр.мат. дурн. - I9C9. - 41, ü II. - С. I47G-I482.

19. Свищук A.B. Слабая сходамооть полупарковоких случайных эволюции в схеме усреднения ( марткнгальный подход)// .

. тем не . - Я 12. - С. IC00-I666.

20. Свшцук A.B. Мартингальный подход н ЦПТ в схемо усреднения для полумарковских случайных эеолюций// Аналитические методы исследования эволюцпй стохастических систем. - Киев: Ин-т мате-матша: АН УССР, 1989. - С. 95-107.

21. orolyulc v.s.jSvvishohulc A.V. Weak comrergenca of semi-Markov random evolutions (martingal9 approach) // V Intern.LVilniua Conf.on Prob.,TH,and Math.Stat., Abstracts, 1989,part 2,

P. 321-322.

22. Стащу к A.B. Продельные теоремы для ^-статистик на цепях Маркова // Применение информатики и вычислительной техники г. решению" п/х задач, Минск,'4-7 мая I9C9 г.: Тез.докл. -Минск, Ц-Ж. - С.84.

23. Swishchuk A.V, Stochastic integral representations for semi-Markov random evolutions // III Hungarian Colloq. on limit th. in Prob.and Stat,,3-7 Aug.1989,Pecs,Hungary,Abstracts.-P.56.

24. Свшцук А.В. Скорости сходимости в предельных теоремах для полумарковоких случайных вволюций // Стохастические системы и их применение. - Киев» Ин-т-математики АН УССР, 1290. -С.86-92.

25. Korolyuk VrS,f3wiehohuk A.V, WeaJc convergence of semi-Markov random evolutions (martingale approach) // iheory Prob.and Math.Stat,»1990»-Р.1-9. Science Preas /Mokslas.VSP.

26. Свшцук A.D, Решение мартингальной проблемы для полумарковских случайных вволюций // Асимптотические и прикладные задачи теории случайных звбЛаций. - Киев: Ин-т математики АН УССР, IS90. - C.I02-III, . .

27. Королюк B.C., Свищук А.В. Прикладные задачи теории случайных еволюций, - Киев: 0-во "Энашха" Украины, РД31ТИ. -

• 30 с.

28. Свищук А.В. Единственность реиешя мартингальной проблемы для полумарковских случайных эволюций // П Донецк .. конф. по теории управления, наделшооти случайных процессов: Тез.докл. - Донецк, 1990. - 63 с.

29. Swishchuk A.V. On the rates of convergence in the limit theorems for aemi-MarkoV random evolutions // II-th Prague conf.on inrorm.th,,Stat.decia.funa»and random proc.,Abstr'. .Prague, 27-31 aug.1990. -P.170.

30. Swishchuk A.V. The solution of martingale problem for semi-Markov random evolutions // II nd Bernoulli Society World

Сongres3(Abstracts, Sweden, 13-1SA ug,1990.- P.190.

31. Swishchuk A.V'. Operators methods in statistics // Intern, conf.on prob.and stat¿"Probastat 91", 26-30 aug.1991.-Bratis-lavmCzechoslovakia.Abstracts of lectires .-pp.81-82.

32. Swishchuk A.V, Stochastic integral operator equation for the limiting semi-Markov random evolutions in lumping scheme // VI UbSR-Japan simposium on Prob.th.and math,stat.,Kiev,5-10 Aug.1991 .Abstr , of Conr,munic.-P.127.

33. Смицук A.E. Единственность решения мартингальной проблемы для полумарковоких случайных oeojuoihi!: // Асимптотические ме-

тодн в задачах теории случайных эвалщий, --Киев: Ин-т математики АН ГССР, IS9I. - С. 92-107. \ '

34. Свищук .A.B. Двойная агшрокстдашя-полумарковскгас "случайных эволюций в схеме усреднения //'Укр.мат, .яурн.1992. -44, № 3. - С.400 - 408. ' ' . 4

35. Королмк B.C., Сшщук A.B. 'Полумарковские случайные эволюции.

' .Киев: Наук.думка,1-1992. - 300 с.

Подп. в печ'.29.02.92. -Формат 60x84/16. Бумага тип. Офс. печать. Усл.печ.л. 2,32, Усл.кр.-отт. 2,32. Уч.-изд.л. т 95 Тирва 120 экз. Зак. 75 . Беоплатно._ ' _

Подготовлено и отпечатано в Институте математики АН Украины. - ? 2 5 2601 Киев 4, ГСП, ул. Репина, -3