Граничные задачи для полумарковских случайных блужданий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

ШРДЙАНСВ Байрам

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДНЯ ШУМАРКОШКИХ СЛУЧАЙНЫХ ШУДДАШЙ

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

Авгорефе р a t диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев - 1991

Работа выполнена в Инотитуте математики АН Украины.

Научный консультант акадешк АН Украины, доктор физико-математических наук, Профессор КОРОЛЮК B.C.

Официальные оппоненты: академия АН Украины,

доктор физико-математических наук, доктор технических наук, профессор КОВАЛЕНКО И.Н.

Доктор физико-математических наук,

профессор

ШУРЕНКСВ ЕЛ,'.,

доктор физико-математических наук,

професоор

АФАНАСЬЕВА Л.Г.

Ведущая организация : Киевский государственный-уаивбрситет им. Т.Г.Шевченко.

Защита диссертации состоится

в _ часов на заседании специализированного совета

Д 016.50.01 При Институте математики АН У.граины по адресу: 252601, Киев, ПШ, ул.Репина.З.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан "

Сl/(*Jii(&<G-tt>l 199г.

Ученый секретарь ■специализированного совета

ГУСАК Д.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Граничные задачи для различных классов случайных блужданий являются одним из интенсивно развиваюадахоя. разделов теории вероятностей, что объясняется, о одной стороны, обогащением теории вероятностей новыми методами анализа, с другой сторона,- многочисленными и разнообразным! применениями моделей случайных блувданий в задачах управления запасают, анализа систем.обслуживания, анализа надежности стохастических систем и т.п.

Теория граничных задач, которая возникла первоначально из рассмотрения ироотейших ахем блужданий, описываемых о ушами независимых одинаково распределенных случайные величин, за пос-. ледние тридцать лет развивалась преимущественно в следующих направлениях: расширение масса процессов и увеличение числа изучаемых фушалоналов, развитие новых Методов исследования.

Существенный вклад в развитие и стайоьяениа этой теории внесли А.Я«Хинчин, А«Н.Колмогоров, А»А«Боровков» В.С,Королюк, . А.В.Скороход, Г» Крамер, Е.А.Андерсен, П.Леш, О.Спитцер, Л.Та-кач» В.Фэллер, Н»Прабху» Е.А«Рогозин, И«И<Еков» В.Ы»Шуренков» Д«В«гусак( А.А.Новиков, Л«ГЛфанасьева, В»М*Золотарвв и др, .

Детально исследованы граничные задачи для однородных процессов с незавпеимши приращениями методами факторизационных тождеств в работах А«А4Еоровкова» Е. А«Рогозина, Д«В.Гусака, Н.С.Братийчука«

Для блужданий о двумя границами важные результаты получена в работах Ю.В«Еоровских» А«А«Новикова, В.И«Лотова»

В последнее время возникло новое направление в теории случайных блужданий - полумарковские случайные блуздания, в котором моменты скачков задаются процессом марковского восстановления. Усложнение схемы случайных блужданий, с одной стороны» стимулирует развитие новых аналитических методов'»-с другой стороны, - существенно расширяет возможности применения теории случайных блужданий в анализе прикладных задач теории вероятностей.

Одними из первых граничные задачи для полумарковских блужданий, заданных на процессе восстановления, рассматривали А.А.Ео-рсвкоЕ» Е«А«Ро1,озин» Д«Е«Гусак» Н.С.Ератийчук» С.И.Пересышдаш, Т.И.Насирова и др.

В настоящей диосертации исследуются граничные функционалы, связанные с достижением уровня следующим классом случайных «Злуж— даний - полумарковскими случайный блужданиями, которые описываются суша:.« случайных величин, заданных на однородной цепи Маркова о дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний. Изучение граничных функционалов в схеме полумарковоких случайных блужданий на суперпозиций двух процессов восстановления относится к числу нерешенных или малоисследованных задач - это обусловило привлечение новых идей и методов,

Актуальность и перспективы нового направления в теории случайных блужданий - полумарковоких случайных блужданий -основано Ив сущзственном расширении класса случайных процессов, описывающих схемы блуждания» '

Таким образом, тематика диссертации отнооитоя к интенсивно развивающейся в последнее время области теории случайных блужданий - полумарковоких случайных блужданийj имеющей разнообразные применения! что.и подтверждает ее несомненную актуальность и перспективность.

Целью работы является: а) разработка аналитического аппарата для исследования граничных функционалов в схеме полудар- . Ковских случайных блужданий на суперпозиции двух процессов восстановления;

б) исследование и решение специальной паркой системы интегральных уравнений на полуоси для производямх функций граничных функционалов}

б) получение предельных теорем для распределений основных граничных функционалов от полумарковских случайных блужданий}

г) из;.- 1ние распределения периода занятости одноканальной системы обслуживания типа 0-t/ßli.

Методика исследования. При решении специальной парной оис-темы интегральных уравнений на полуоси для производящих функдай граничных функционалов сиотематически применена задача Римана-_Гильберта для парной системы интегральных уравнений. Систематически использовались метод факторизационных тоздеств, асимптотические методы теории функций комплексного переменного.

Научная новизна. Исследована парная система интегральных уравнений на полуоси,для которой в литературе нет алгоритма ре-

шения, Специфика вероятностной задачи позволила преодолеть аналитические трудности при решении системы уравнений для производящих функций граничных функционалов, а также осуществить асимптотический анализ точных аналитических выражений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа являетоя составной частью широкой программы исследований по теории граничных задач для случайных процессов. Созданный в работе аналитический аппарат можно использовать при изучении полумарковских случайных блужданий на однородной цепи Маркова, а также для исследования других граничных функционалов, не раоомотренншс в данной диссертации. Предложенный в работе метод изучения грашгч-ных функционалов в схеме полумарковских случайных блуядашгй позволил широко использовать аналитические методы теории вероятностей. Результаты диссертант могут быть применены в теории систем обслуглвания, управления запасами, надежности и др»

Апробзи.'я работы. Основные результаты диссертации догадывались ( и опубликованы в тезисах)!

на Всесоюзной конференции по дп^ерснциашшм уравнениям и их приложениям ( Ашхабад, 1986 г.);

на У Иелщу нар одной Еильнисской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989 г.);

на У1 советско-японском симпозиуме по теории вероятностей и математической статистике (Киев, 1991 г,);

на семинаре Института кибернетики пм.1Ы<1,Глуикова АН Украины (Киев, 1991 г.);

на семинаре "Аналитические задачи теории эволюции стохастических систем" при отделе теории вероятностей и математической статистик;! Института математики АН Украины (Киев, 1990 г;);

на секции теории вероятностей и математической статистики при ученом совете Института математики АН Украины (Киев, 1991 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ 1 - 15 3 , из которых одна монография.

Структура и объем работы. £пссертация состоит из введения , грех глав, которые разбиты на. 12 параграфов. Список литературы содеру_пт 82 наименования .

(Содержание работы

Во введении дается обвор исследований по тематике диссертации» обоснование актуальности работы, Краткий перечень основных результатов*

Глава I. Полумарковокле случайные блуждания на

суперйЬзиЦйй двух Процессов восстановления

■ В первой глава вводится Полумарковское случайное блуяданив на полуойй На СупарпозкЬш двух процессов ЬосстаИовленйя» Исследуется решение специальной Ьарной системы интегральных уравне-ЙЙЙ яа йайуосй

К *

а 0

Ь . ' и

а

ср. - | К» ]>« осаО -

А О

во м

- { К. | V5 С«,и)(

о ■ В иъо)

гдо ср^ (аии.) - неизвестные функции, ограниченные

функции по а и ц. » к ^ ix.it О - ядра,

Р и - функции распределения.

Доказывается существование и единственность решения этой систем. Получены явные аналитические выражен:щ для производящей функции решения этой парной системы интегральных урагнзний.

В § I.I приводятся поо^ходщдыз определения. Пусть заданы последовательное!1!! нззавиоимых в совокупности случаях величин [ Н, , п. Ûj Q функциями роанро-делсния

г IM ,

Я [ сС, éxj'j^tai, J^coUfl,

Введем процессы восстановления { k = ít3 )

к

<к » na.«* {St S ¿i} ,

k fiad * . ií(

Пусть * Я G L , U J,â,

Суперпозидая двух процессов восстановления Д (t) списыва-

етоя трэхкомпонентной цепью Маркова { jü^j gj Sj. , ft^d^ с фазовйм пространством состояний ($10)!1 " Л

{ с -i л)» {0,1} » c(j 5 jí 4 «s )} .

Процесс { jSk < tjin ,Ц определяется еле думами рекуррентными соотношения;!:!.'

td} « tftj

Д+i

*» i W . . tri)

'д9

et) Crt) Ca> ta)

ß = с ß - a )ÜLdL 4 ft ) + cdl - Ii )j(et } ß ) , ' nti " J П. ЭС ^ rt. к ^ а я. ^ a '

11 л a

a , Г It St. - Öj , , ,

- - ri * - a Л Ь s mía Ссц Ь),

rv L Q5 ~ **

Пусть также заданы два последовательности { , п..1} И { , Л^дЗ неотрицательных независимых в совокупности случайных величин о распределениями

р { й^ в «и} * рт*), е«и}я ц^!,

и характеристическими функциями

л ОС до

-"50 JBV "ЗЙ

реви «На РсМ* грмЛе а =

Введем суммы

<1) ^ ей) *

Опредвденио 1.1.1. Полумарковским случайным блукданием на суперпозиции двух процессов восстановления будем называть процесс (^

4 &

Процесс может иметь различные интерпретации в приложениях ( в теории систем обслуживания, теории надежности, теории управления запасами и др.). Например, может списывать, накоплена ( порциями { ) и расход ( порциями В^ ) запасов.

В § 1.1 такке рассматриваются три типа полунепрерывных случайных блужданий:

а) случайные блуждания с показательно распределенными положительными скачками

* Ч*

р i** * 8 а 1' е > v0 '

с производящей функцией

^С 5 ) е е^ / СС^ + Б) ;

d) решотчатое случайное бдужданио о положительными скачками, распределенными по геомотричеокоМу закону:

рС u *а3пяр*'* ч*1*/0»

о производящей функцией

£

я з к 8 (у/а-вр)^

в) реэетчатоэ случайное блувдайиэ о единичными полсетиэлыш-ми скачками с .

V сц=i} »x

с производящей функцией

Н Q~k *£.

В § 1.2 для полумарковского случайного блуяданпя с^ определяются граничные функционалы - время дооткаенйл ыулового уровня при различных начальных условиях!

t«> ш (о) (fl> ~ •t tlUt S rdth.i it А ¿0 I A *U 3 а* *Q о, »tt.«a|,

jti tt ^ Q I i l ■ > d ä d '

r ' , , 'Ö* (flj .

t^ittJ. = min [ts £ 4 0 l|eftat ¿L = a, = 0).

Строится и исследуется решение специальной парной системы интегральных уравнений на полуоси. Доказывается существование и единственность решения этой системы, Получены явные аналитические выражения для производящей функции решения этой системы»

Осноеной результат § 1.2 содермтся в следующей тооремэ. Теорема I.2.I. Для преобразований Фурье производящее функций решения системы интегральных уравнений имеют место соотношения:

со 1 ip

еа

: .я« сю

= ¿я I г Л й 1/1-1:1 ¿у. -

о

-а* и,

^ з) ~ 5 е ¿л | о Л е ¿и =

а о

Е&ваь

- -

К М в [ {(Л) и-рин. ))]

Глава П. Распределения граничных функционалов в схеме патумарковских случайных блужданий

Во второй главе изучаются.частные и совместные распределения лестничных величин - момента,достижения и величшш перескока нулевого уровня в схеме полумарковских случайных блужданий на оуперпозиц...» двух .процессов восстановления. Здесь.рассматриваются три типа полунепрерывных случайных блужданий.

I. Случайные блуждания с показательно распределенными положительными, скачками:

• й V

1 -е Тогда

Решетчатое случайное блуждание с положительными скачками, распределенными по геометрическому закону ,

тогда ij,ts> »в, / Ci-ps),

3. Решетчатое случайное блувдание о единичными положительными скачками

•^i^31} *** тогда

Б первом пункте § 2.1, в предположении экспоненциального распределения пололдательных скачков в полумаркозском случайном блуждании, продемонотрирован аналитически:; аппарат исследования граничных функционалов. Для преобразований Оурье производящих функций времен достижения нулевого уровня получена такая теорема.

Теорзма 2.I.I. В предположении экспоненциального распределения полоштельных скачков в полумаркозском случайном блуждании для преобразований Фурье производящих функций времени достижения кулевого уровня имеют место следующие соотношения:

l^J о П А&

в ^а J й eU J £ Jf I " du а о о

- (¿»-я}

ее

Aj

- LM Ä

£ и «V

= fe d* { e Л

j «'

-5a "AI1, (a)

С»

au. =

Здесь ' „д

К<£, в) * ^С" Л Л СС +£л ^-З]}" '

а функции - компоненты факторизации

¿-р С'£

на оси. ¿Ьг £ * 0.

Ео втором пункте § 2.1 изучаются совмптныо распределения лестничных величин - момента достижения и величины перескока нулевого уровня процессом при различных начальных условиях:

СО) '0) (0)

» 0

г , с со) 1

¿х *х

Здесь получеки совместные производящие функции времен достижения • и величины перескока уровня в схеме полумарковских случайных блуждании в предположении, что положительные скачка процесса распределены по показательному закону.

Основным результатом этого пункта является теорема.

Теорема 2.1.2. Для преобразований Фурье совместных производящее функций моментов достижения и величины перескока нулевого уровня в полумарковском случайном блуждания в предположении экс-пононциачьного распрс./рления положительных скачков имеют место следующие соотношения:

о

о

-«{■Г [ ^ С- £ (1 а. 2,\

Здесь

» Ср(вс)~рс»)] /а-е^),

а функции К {Л ( , а также ¿м определены выше, £ * I

В § 2(В изучаются совместные распределения Леотничяых величин - момента Достижения и величины перескока нулевого уровня в схеме полумарковоких решетчатых олучахшых блужданий в предположении, чтр распредайения положительных скачков. Геометрическое или оооредоточено в единица,

Получено аналитическое выражение дая производящей функции совмеатного распредешения момента достижения и величины перескока нулевого уровня.

Основным результатом § 2.2 является следующая теорема.

Х&зрвма_2.3.1< Дня преобразовали!! Фурье производящих

функций совместного распределения времени достижения и величины перескока нулевого уровня полумарковского решетчатого случайного блуждания имеют место соотношений!

а) если Мв* у (I* Вр)* *

Л и'С

л, ^ сСя н щл

¡г 1 £ [в . **

о ^8(3

« р СЗ^Л * [С3£ Ч)^ , «Л. Сд )].

Здесь

- К -А

а функции Л^С^)- компоненты факторизации

¿-р ( «л+^^лЛ^

на оси

сЗЬгл = б) если /1 в*1 а 5

+ н # л

в I р£в,ы I С К (-|>' С

г « и г ,

I- с и*0

о

» рее,« [ ^ С£АЗ + [ к . (£>Ц / (£л)>

Здесь

«с

а функции - компоненты факторизации

Х-р( ^ С- ¿ + 1Л5

на оси ¿1т. £ * 0,

В § 2.3 изучается, как частный случай расскатривйокюс случайных Олундаиий, нолумарковское случайное блуждание, на су композиции пуассоновского и произвольного процессов згосстлиез-леипя.

Пусть

г СИ) л —1 Г Л ~ая-

Основной результат приведен в следующей теореме. Теорема 2.3.1. Для преобразований Фурье производящие функций времен достижения нулевого уровня случайнш блужданием J3, тлеют место соотношения:

со

р ¿за -л? tu.) -cus,a)a -а(5,л5а

}е Ле ¿и = Vf(s)e 1-,

?tt£.si»Je с ¡в Я Le =

= Х+ [К+С^,я5/С1- fiip^l-a»"] .

В частности,

tsu. -¿if

<р£а5 * i £с,я) я j в Ле ¿a =

Здесь

=pcsj Г Y+Cs)-рсз,л)2 i£,a)+ Cp Cs,ai<j C^/a-

аС5,л5 = аСл-рс +

= I+ CtfCW^C-вЗЛ 4

D § 2.4 изучается полумарковское случайное блуждание he. суперпозиции двух стационарных процессов восстановления. При этом для проия: одпщей вектор-функции времени достижения уровня

в ПШБ на суперпозиции двух процессов восстановления получено аналитическое выражение о помощью компонент факторизации матрицы-функции определяющей случайное блуждание.

Стационарный процеоо ыарковокого восстановления ( СШЕ) L^rv» , П-Ч'ОЗ 0 состояниями! с^ £ £ * (¿.¿3 , -задается временами пребывания в состояниях

причем

а

p{«t «а} * /«a í ^«Ut, й. ¿

d

а _

*J»j£ítUt, ¿»i/iíjs. о

Еведем полуыарковэкий процесс { фиксирующий

моменты восотайоал&ййя ОШВ [ t вп, h1* 0} :

п

t*¿ "

определим полумарковское случайное блуадшие на СГО,В следующим йбразом:

Поло.иительные независимые случайные величины ,5- , i«i,¿ тлеют функции распределения

и производящие функции

-ах

о

Время достижения случайным блужданием нулевого уров-

ня определяется соотношением:

Справедлива следующая теорема. Тсоромп 3.4.1. Производя;:^ функции

$ СМ*' = I е Я з ь^г

л

времен достижения полумарковского случайного бдугдання За нулевого уровня определяются соотношением ((р ¿ра(3,дз) =

Здесь матрицы Р + (5, п) определяют множители канонической факторизашш матрицы-Функции

I- ССат^сз) * £>'*'(<,л) Р1~(з,а), Сш = [С„£А1,

вектор-функция

¿с5,а) = [¿. (в,аз »с ^.аН 1-г) свЯ/а. 3 .

В § 2. 5 изучается предельное поведение граничных функционалов - момента достижения и величина перескока уровня. Здесь исследованы свойства совместного распределения '¡¿НО и т^Чи) при и. —* .

Основной результат' этого .параграфа приведен в следующей теореме.

Теорема 2.5.1. При выполнении следующих условий:

а) £ = 1,

б) з.^^з^о, | 4-с 4 (3,

а также при О > 0 , £ и справедливо следующее соотношение :

u л [е 1 J «е [(*ГС1,)/С1*+

О- -4 93

4 * <2 -1

Здесь. л &

*Лк4, ¿»g «Jisei ,

Следующие следствия вытекают из теоремы 2.5.1. Слодотвко 2.6.1.

^ r—i

bin Л Ге J = е

-¿feu.)

Следствие 2.6.Й. Ё * =

u-y ел

Л + [¿(^и-рсгЬсенс, £ С^-рсгЛЛ /г в\& г"2

. Глава 3. Система й! / 5 /1

В третье!! главе изучается одноканальная система обслуживания типа .Предлагается новый подход исследования, позволяющий получить точные представления для распределения периода занятости при минимальных ограничениях на характеристики' системы.

В § 3.1 дается описание одноканальной системы оболузатйакйя типа G11 8 I i , также приведены осношые предположения и обозначения.

Рассмотрим одноканальнуо систему обслуживания типа £Ц6 li } которая формально может быть описана следующей последовательностью: í^rt* сАа> Эп , м- » 0 3" » гдо мо:ле!!т поступления п.-го

требования, (L - время обслуживания И. -й группы требований - размер от он группы.

Предполагается, что в момент t?h в систему поступает только одно требование и ^ - Ó • Промежутки между поступлениями требований обозначим ei г 'tí - Tí, . ,

tt Гь К- X " '

1. Требования поступают по одному в моменты 4 а > Ú. Случайные величины s f ¿ f 4 независимы и одинаково распределен:

2. Обслуживается требования группы объема Зп с Р{0а-=k}=pfíi Длительность обсяу.тлзания группы требований с распределением Р£ - ^З (я) не зависит от ее объема. Если к началу обслуживания очередной группы в системе оказалось меньше вп требований, то обслуживаются эти требования с той же функцией распределения £¿ С—

3. Обслуженные требования покидают систему и. сразу se начинается обслуживание очередной группы требований.

4. Если в момент поступления требования прибор занят, то требование становится в очередь. Необслуженные требования образуют неограниченную очередь.

5. Общее число требований в момент t есть суммарное количество требований, находящихся в данный момент в очереди и на обслуживании.

Пусть JUt) - число требований в момент i . Будет удобно допускать ситуацию, когда * т.е. в начальный

момент в системе может быть болов одного требования»

Мы также предположим, что выборочные функции процесса Й) непрерывны справа. 3 § 3.1 такйв Приведены основные

предположения и обозначений» Предполагаются выполненными следующие условия:

£

а) £ í f>b*9*» <

Ui

ó) функции tFj^Cs.) непрерывны и J^iû^Û, 1« i,â.

Пусть cpa, 0 ( tPc = 0 ) -■ моменты скачков процесса çÉCt) . Согласно предположению d) для каждого n>¿ «Ра о вероятностью единица либо момент поступления требования в систему, либо момент окончания обслуживания очередной группы треб 023 КИЙ.

Для •П.*?,i полоаш J>n е ¿(^ •

Пусть событие означает, что в момент требова-

ние поступило в систему«

Обозначим

«к с ¿ U rU

tus) ü niúi f H i si = 0 1 для toefu>: ге

П. й+Ц u . ti

■ lui) s wírt. {fc¡ ww toe {toi эе^ео^

i tío) = ■< n.

^W^JV"'' -«O,

ft

4-м ^ -л1и})> " £ я ^ •

а

Пусть ¿(0) и момент t = О ость либо момент поступ-

ления в систему, либо момент ухода требований иэ системы. Согласно этому моаао определить случайные величины <1о •> » . Теша 3.1.1« Последовательность £ 9 ее 5 в и>о"\

;пт ттнгтптгитл ттрпт, Мяп1т+т

tefe

образует однородную цепь Маркова. Положим

м»

^ Сл,п5 " Л Й кЯ ь

Здесь Ъ^аДп-^П?,.! - период зайятостй система при условии, что в начальный момент времени в оиатеме находится Н. Требований и "¿□"окончания обслуживания очередной группы требований осталось время £Я

1*0- период занятости оиотемы при у плозии, что в начальный момент времени является моментом освобождений и до Момента прихода очередного требования остаЛооь йремя й ,

В § 3,2 изучается распределение периода Ванятосп! однока-нальной системы обслуживания типа / ^ / , описанной в § 3.1.

Этот вопрос изучался многими авторами, Однако Представления, полученные ранее ( см..например, работ Прабху) имеют скорее теоретический, нежели Практический интерес, поскольку они очень сложны для аналитической обработка,

Сти ^юрыули упрощаются только тогда, когда одна из функций имеет специальный вид ( например, ^ (Л) - показательное распределение). Здесь предлагаетая новый подход к изучений системы СХ/3/1 , который позволяет Получить более удобные представлений для распределения периода занятости системы

!?!/£/ 1 при минимальных ограничениях на характерис-

тики системы.

Основные результаты этого парагрёфй приведена й следующих теоремах.

Теорема 3.2.1. Для 0 £ ЙН £ ¿¡Ц, 1*14 1 Справедлива следующие представления!

до '

+ [ С^ (-(•♦1а)- £

- Р'Ъ^А. Сц1/1й и-р^^Ь С*))} ,

где - компоненты канонической факторизации

в полосе 0 ^ £ Л «

В чаатноаги, когда требования обслуживаются по одному, тлеет место теорема.

Георема 3^.3» При рСв)**, 0 4 ¿А^ 1«| имеем

£ А1 <р+ С £ I Н4в) * 1 [ £ О £ 4. Сй ) ^ £ £, * 3 / С»-в 5 + С Л)]}

+ £ С^и £ ¿51 ' [ С 5 СЛ? - (<)) * с¿5 С1 ■-

Здесь (- компоненты канонической факторизации

в полосе О ^ Лп. * Л.

Следствие 3.2.1. В условиях теоромы 3.2.2

Если

с«

то имеем ^ ¡у

у+С£,1)*р( ь + [ и'--рс^с^з.г. (р) / ерр с ^ с £)) з ,

Следствие 3.2.2. Пусть ^СпгСп^ I £ £ I? 0,

—> - СЮ

Тогда при 0 ^ Лт £ ^ Л

Аналогичные формулы справедливы для функции £р* С , П. 7, В § 3.3 чается предельное поведение периода занятости системы 51/ 5 / Х- -

Предполагаете)«, что для функций ^(л) выполняется условие Крамера

С, t С*3' J4i"i£itA('iC) ' "3 <

Также предаолагаатвя, что

й-ь

Пуоть ft/e-^ipi, • , ot »f^-fl,.

Основным результатом етого параграфа является такая теорема. Теорема 3.3.Пуоть выполнены условия теоремы 3.2.2 и пределу илэ условия» Тогда для всех &>£} справедливы следующие утверждения!

1) ibcjjh - ал > 0 ,ю

2) если * 0 , то

и я ыГ*'1®.

h -4 ы

¿десь

<U UftfiasaJ* UHlf**),

£ ' "Г11 :--—1—I

Замечание. - В теореме 3»3.1 продемонстрированы только некоторые возможности' предложенного метода для асимптотического анализа. Полученные в § 3.2 формулы полезны при построении асимптотических разложений'оценок скорости сходимости в предельных теоремах.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Пирджанов Б. Полумарковские случайные блуждания о граничными условиями // Есесоюз.конф."Ди@еренциальные уравнения и их приложения"', Ашхабад, I98S г.: Тез.докл. - С.63.

2. Королюк B.C., Братийчук Н.С., Пирдаанов Б. Граничные задачи для случайных блужданий. - Ашхабад: Ылым, 1987 : . - 256 о.

3. Пирджанов Б. Полумарковские случайные блуждания с.решетчатым временем // Теор.вероятн.и мат.статистика. - 1989. - 16 41. -С. I0I-I05;.

4. Пирдаанов Б. Полумарковские случайные блуждания // У Междунар. Вильнюс.конф.по теории вероятн. и мат.статистике. - Еильнюс, 26 июня - I июля 1989 г.:Тез.докл. -Еильнюс: Литлш-т математики и кибернетики АН Лит., 1989 . - С.142.

5. Пирджанов Б. Полумарковское блуждание на.суперпозиции двух процессов восстановления // Укр.мат.журн. - 1990. - 42, № II.-С. 1500-1503,

6. Пирджанов Б. Совместные распределения лестничных величин.в схеме полумарковских случайных блужданий // Докл.АН УССР. -1990. - № 10. - С. 28-30.

V. Пирджанов Б. Полумарковские решетчатые случайные блувданпя

на суперпозиции двух процессов восстановления. - Киев,1990,-29о. -(Препр./АН УССР. Ин-т математики; 90,48).

8. Пирджанов Б. Полумарковское случайное блуждание на суперпозиции двух стационарных процессов восстановления // Изв. АН.. ТуриЗСР. Сер . физ.-техн.-хим.-геол.наук. - 1991. - It 4. -

С. 90-93.

9. Пирджанов Б. Полумарковское случайное блуждание на суперпозиции пуассоновского и произвольного процесса восстановления

// Там же. - Л 6. - 1991. - С. 3-8.

Ю.Пирджанов Б. Расширенное полумарковское случайное блуждание

с решетчатым временем // Там же. - Л I. - 1992. - С.3-7. II.Пирджанов Б. Предельная теорема для момента достижения уровня регенерирующим полумарковским блужданием // Асимптотические и прикладные задачи теории случайных эволюпцй'.- . Киев : Ин-т магематшз!. АН УССР., 1990. - С. 74-83.

12. Ератийчук Н.С..Пирдаанов Б. Предельная теорема для момента достижения и величины перескока уровня регенерирующим полу-маоковоким блужданием // Теория случайных процессов и ее приложения . -. ■ '•' .

Киев: Наук., думка, 1990. - С. 41-48.

13. Пирдаанов Б. Распределение граничных функционалов в схеме полумарковских случайных блужданий // У1 советско-японский, симпозиум по теории вероятностей и математической статистике. - Киев: Ин-т математики.АН УССР., 1991. - С. 114.

14. Ератийчук Н.С., Пирдаанов Б. Период занятости системы обслуживания типа 0Х // -Л // Там же. - С. 27.

15. Ератийчук Н.С., Пирдаанов Б. Период занятости системы об-, служивания типа. //Докл. АН Украины. -1991.-№ 9. - С. 50-53,

Иодп.в печ. 20.12.91. Формат 60x84/16. Бумага тип. Офс. печать. Усл.печ.л. 1,63. Усл.кр.-огт. 1,63. Уч.- .изд.л. 1,2. Тираж 120 зкз. Зак. 4 . Бесплатно._.___

Подготовлено и отпечатано в Институте математик;: АН Украины. 252601 Киев 4, ГСП, ул» Репина, 3