Методы исследования потоков и функционалов, порожденных полумарковским процессом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Янишевский И.М

ш

УДК 519.^1

Метода исследования потоков и функционалов, порожденных полумарковским процессом

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедра исследование операций факультет, прикладной математики Московского Государственного институт электроники и математики (технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Каштанов В.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Печинкин A.B., кандидат физико-математических наук, доцент Протасов A.M.

Ведущая организация: Московский Государственный университе

им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится сентября 1996 года в на заседани

диссертационного совета К063.68.05 в Московском Государственно институте электроники и математики по адресу: 109028, ГСП, Москва Б.Трехсвятительский переулок, д.3/12, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета мгиэм

кандидат физико-математических наук,

доцент П7/Г Uh+uj-^coS. Шнурков П.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Диссертационная работа связана с актуаль-юй и интенсивно развивающейся тематикой-теорией пересечения уров-ш и теорией случайных потоков.

Значительные достижения теории массового обслуживания (ТМО) и математической теории надежности (ТН) во многом определены тем, 1то теория случайных процессов и, в частности, теория случайных тотоков, теория пересечения уровня, оказалась той "хорошо подготовленной" теоретико-вероятностной областью, метода и понятия которой позволяют с единой точки зрения исследовать широкий класс задач, возникающих в ТМО и ТН.

В последние годы выявился ряд новых задач теории пересечения уровня. А именно, в диссертации ставится задача исследования лножества моментов времени, связанных с пересечениями случайного |фовня функционалом, построенном на траекториях полумарковского 1роцесса.

Цель работы. Состоит в распространении классических методов теории случайных процессов на новую область теории пересечения уровня.

Методы исследования. В работе применяются теоремы марковского зосстановления, метода и результаты теории экстремальных задач, а также асимптотические метода теории случайных процессов.

Научная новизна. Предложены метода решения задач типа пересе-1ения уровня функционалом, построенном на траекториях полумарков-зкого процесса. На основе этих методов получены следующие

результаты

-найдены вероятностные характеристики множества моментов времени, описана структура функционалов, связанных с пересечениями случайного уровня функционалом, построенном на траекториях полумарковского процесса;

-определены условия, позволяющие провести асимптотический анализ редких событий, связанных с функционалом, построенном на траекториях полумарковского процесса;

-предложен метод сведения задач о времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний и о потоке моментов попадания полумарковского процесса в фиксированное состояние к задаче пересечения случайного уровня функционалом, построенном на траекториях полумарковского процесса;

-в системе М|С|1|п определено выражение для финальной вероятности виртуальной потери требования.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в теории надежности и эффективности, в теории массового обслуживания.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на математических семинарах отдела надежности Института проблем кибернетики АН СССР, на научно-исследовательских семинарах кафедры исследования операций МИЭМ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения и двул глав, разбитых на параграфы. Объем диссертации 90 страниц. Библиография содержит 41 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается краткий обзор литературы по вопросам близким к исследуемым в диссертации, а также прореферированы основные полученные результаты.

В первом параграфе главы I определяется объект исследования, а, именно, случайный процесс (X(t), ф(t), т|(t)), О, где X(t)~ полумарковский процесс,

ф(£), T}(i)- функционалы, построенные на траекториях процесса X(t).

Полумарковский процесс X(t) должен отвечать ряду ограничений. Предположим, момент марковского вмешательства г, процесс X(t), tz0, его фазовое пространство (Е,Л) и порождаемая процессом X(t), tX>, о-алгебра Л^Л в основном вероятностном пространстве (П, Л, Р) удовлетворяет следующим условиям. Это

1) счетная порозденность о-алгебры А;

2) измеримость случайного процесса X(t), 0;

3) jV-измеримость момента марковского вмешательства v,

4) замкнутость множества траекторий процесса X(t), t>0, относительно сдвигов ;

5) регулярность условных вероятностей ?х при условии Х(0)=.т на о-алгеОре Л для всех х€Е.

Функционалы ф(t) и -q(t) определяются следующим образом ф(t) =ф1г, T)(i)=T]fc при ,, НЮ,

где Tfe, т}^- последовательности случайных величин

V0' V0' V0' W^V^'

х - момент марковского вмешательства.

т) - «У-измеримая случайная величина такая, что |т)>х|€^"г ]

*в{п>о}-1.

Л%- о-алгебра, порождаемая событиями вида

{х(з)<=А, а^т;, Х(а)ев|, А,В<=Л, а^О. Уа- оператор сдвига.

Вторая часть этого параграфа посвящена изложению процедур: построения вероятностной копии (X(t), ф(И, ^(О), исходное процесса, отвечающей ограничениям 1-5.

Задача типа пересечения случайного уровня функционалом построенным на траекториях случайного процесса, изучается в §2 Рассмотрим момент времени a=tnf{t>0: Тогда а=%у, где

Введем обозначение д=Р1СГ(Т^г}, где Г{,}-индикаторная функция,

тс(А)-инвариантная мера переходной вероятности <3(.г,А) вложенно возвратной по Харрису непериодической цепи Маркова Хк=1(тк)

Леша 2.1. Если д>0, то Р^^Н для всех яеЕ. П

Наряду с моментом рассмотрим еще два момента времени

Номеру V соответствует последовательность V , п^О, причем будем считать, что vo=0, г>?=у и

уп+гты{к>уп: фЛ}.

Так же как и элементу V, каждому элементу последовательност

А А А

V , т&О, поставим в соответствие три момента времени %п, г\п и ^ г£0,

V0- V0' V0' > ^гЪ-г

V- 1

X =т ,+Тй. Т., 71 =т лТц. 71,, -О =х лТя. 13., 1. п п-1 X , 1 'п п-1 Т , Ч' п п-1 X . 1

п-1 п-1 п-1

пусть А^Д,^)} И А-={^и^п,тп)}. Теорема 2.1. Если q>0, то

11т Р -^еА+)=[Р_гГ1х Г тс(йг) / /У*« а^.сЗуйихсИ'),

^оо Л 11 в Е О О

= [Р7Ст)~1х / тс(йг)

ИИ Р

4-+оо 1

«> и гаи

/ / / и С1{Х,йухб.и*йи)- / / / V 0(Х,С1ух(1и«(1и) в о о в о о

где скх, А«1»Л)=Ра;|х(т)€А, хе1, хеЕ, Аед, 1,.1св+,

А*1 )=0(.г, А*1*Н+) - отвечающее моменту т полуоднородное нерешетчатое ядро. п Исследование структуры функционалов, связанных с множеством моментов пересечения уровня проведено в §3. Введем управление. Будем считать, что существует ^-измеримая случайная величина и со значениями в измеримом пространстве (и,и), где и интерпретируется как множество управлений, а а-алгебра ¿/-измеримых множеств из и (предполагается, что она содержит одноточечные подмножества) интерпретируется как совокупность подмножеств управлений. Без ограничения общности будем считать, что и=И+ и . Тогда для (Е-конечное множество), иЖЗ,

<3^(11,и)=Х <3^(4,Ф{(<&),

где а{^(и,и)=0({,{^>"[0,и)х[0,и))=Р4|х(х)=^> х<и, т]<и}, <3{^(и,и,2)=Р{{дх)=./, %<и, ^у^г},

и справедливы

Л л

Теорема 3.1. Математические ожидания P}rj1 и Р^ представляют собой дробно-линейные функционалы вида

f f k\hhz.,...,z) П ф (dB,)

TT • • 'IT ' ' n / - 1 1 1

J, (ф,.....Фп)=у—у-^-,

f f B(z.....z) П ®.(dz.)

и "и 1 П 1=1 1

и, если существуют экстремумы функционалов на множестве А

допустимых функций распределения ®{(z), teE, то они достигаются на

вырожденных функциях распределения, т.е.

шаг J,*®,.....Фг1)=таг J?(Ф,,....Ф^),

А Д*ПД

min J1 (Ф,,... ,$n)=mln J1 (Ф;.....Фп),

Д А*ПД

где А*- множество функций распределения

О,

>t(z)= '

' L 1, z>u(

Теорема З.Е. Смешанный момент Рьг(т);, Pfcx2 и PfcT)2 представляют собой функционал вида

j...j4*'<*t.....2®.<а.>

J2<®,.....v=у—-Sr1-+

J J B(B,.....zjntiffi,(B.)

.....вп).0^(ш,.....mn) t5(Jfl>t(Bt)dfflt(mt)

+ _ . Q

J J B(z.,...)*B(m.,...,m ) П йФ.(в.)йФ.(ш.) и "* * и ' П 1=1 1

В этом же параграфе решается вопрос о структуре функционало!

А А А

PÄS(T)f) и PfeT)(S(T)(), где S(t) есть аддитивный функционал доходов.

л

Теореиа 3.3. Математическое ожидание дохода PfcS(T]f) представляв!

нобой дробно-линейный функционал вида (Ф;,...,Фп) и, если существуют экстремумы функционала на множестве А допустимых функций распределения то они достигаются на

вырожденных функциях распределения.

А Л

Теорема 3.4. Смешанный момент Р^^Ст),) представляет собой функционал вида <12(Ф;,... .Ф^).

В §4 рассмотривается система М|С|1|п. Особый интерес представляет определение такого показателя качества функционирования системы как вероятность виртуальной потери требования в момент времени t, а также исследование предельного поведения этой характеристики при t■*ю. Вероятность виртуальной потери требования в момент времени t есть в точности Р^еА~|, Тогда

11т /"иБСЛи) )-1 * (тс « ( А е~^2(1-В(2:) )йг-

Ч 1 0 о о ¿п

-Л.-1» £ 1М1^е-Хг(1-В(2) )(12). р

Глава II посвящена описанию методов асимптотического анализа множества моментов времени, связанных с моментами пересечения уровня.

Параграфы 5 и 6 посвящены асимптотическому анализу поведения потоков, построенных в §2 первой главы.

Цель параграфа §5 состоит в том, чтобы показать асимптотику величины Для этого определим случайную величину

(^гхГ^^+т]*!^^ и обозначим

Определение 5.1. Последовательность случайных величин Т_1дф-+0, если для любого г>0

т"1* I S l L -1 £ -1 (du.dv) +

ME J€BLT<j Г Tq Г

+ J J (u-Tg_1r) Q (du.üv) Tq г u J

0.

Определение 5.2. Последовательность случайных величин Т 1дф—>0, если для любого s>0

w1- 2**

h€E J<EE

Г Г егр(-Т"1оэу) Q..(du,du)+

I n

О О

+ J J ехр(-1~хqsu) Q. .(du

О и

¿»dv)JJ—И.

Теорема 5.1. Пусть выполняются условия

1. Т 1q(J>-a.

2. q>0.

Тогда для любого t, leE

Um t^O. D

Л А

В §6 исследуются потоки т: , "пп, . Для асимптотического описания потоков потребуем выполнения более сильного условия

T-V^O, где Т0=Ртст. х

Определение 6.1. Последовательность случайных величин T~1qx-»0, если для любого г>0

Tö1" 2 Ф -1 J/Vt0<Tv> - о.

fc€E J€ETOq" г 0

Определение 6.2. Последовательность случайных величин Т~1дт-»0, если для любого з>0

00 со

(qs) * ^ %k 1_ I -f f exp(-T^qau) Q (du.dv)

„о о

► 1.

Сформулируем теоремы, описывающие асимптотическое поведение

потоков т , Г] , .

п 'тт

Теореиа 6.3. Пусть выполняются условия

1 х

1. Тр^т-^О.

2. д>0.

Тогда для любого I, €€Е, и любого л.^1

иш рДт-^х^^/-^- е~и аи. т. а

Теореиа 6.4. Пусть выполняются условия

1 х

1. Т^дт-^О.

2. д>0.

Тогда для любого I, 1еЕ, и любого

{ . л \ t „П-1

иш Р^Ут^у е_и Ли, т. а

§§ 7 и 8 основаш на идее сведения задач о времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний и о потоке моментов попадания полумарковского процесса в фиксированное состояние к задаче пересечения случайного уровня функционалом, построенном на траекториях полумарковского процесса.

Задана полумарковская матрица ^ (г), и

распределение р°, £еЕ. Пусть Е=Е011Е(. Наша задача получить асимптотическое распределение времени С° пребывания процесса Х°(г) в подмножестве состояний Е0. Используя матрицу построим

новую матрицу й(и,и)=|а^(и,и), I,УСЕ0| и новое распределение р(, 4еЕ0, следующим образом. Обозначим

ТГ-1/* <>«<«>. ЯГ 2 Р°<г

г€Е1

Если 2 р[ь>0 для всех Е0, то положим

Q{J(u,u)=

1- exp

Г ttJi>

J 1- 2 Q

u

¡exp- j

(Ю)

S Q'tda»)

ö

о

Qjj^)

m€B im

если 2 p°>0,

Q°.(u)D+(u;u), если 2 p!,=0,

где Б+(и;и)=

0, u<3u/2,

1, v>3u/2.

т= X V1 2 V«»'

<€Е0 {€Е0

Теореыа 7.1. Пусть выполняются условия 1. 2 р^>0 для всех £€Е0>

2. (ад)~1*

1" £ V 2 <j<s?/T)

t€B0 ¿€Е

1,

3. д>0. Тогда

Ит Ш, «еЕ0. п

Предложим другой вариант решения задачи изучение асимптотического поведения величины С° в схеме серий. Положим для (€Е0

уш 1еЕ.

Q{J(ufI^)=Q¡J(u)«D+(u;l>), ./еЕ,

0, и^и/2, где Б (и;и)=-

1, г.

Тогда р^р^, Т°= 1 <?°= I

Геореыа 7.2. Пусть выполняются условия

11т

1. (зд ) * 1- ^ £ Ч°и(зд0/Т°) 1,

[ еев лев

2. д°>0. Тогда

Пусть %1(я),т2(я),...-поток моментов попадания процесса Х°{г) в состояние я. Обозначим

оо

J€EU

Если 2 р,,>0 для всех 1€Е\Ш, то положим .КЕ\СЮ

О, £€Е.

а^си.и) =

1- е^р

и .

о ' 2 О ж<®> 2 а; «л»),

п- 1- а о* (ш)

т€В

, если р<2у>0.

а^(и)В+(и;у), если Р{М=0.

г= 2 9= 2 VV

(СЕ

Теореыа 8.1. Пусть выполняются условия 1. Е р,,>0 для всех £eE\iN).

J€E\{N)

2. (sq)~1x

1,

IV 2 ч'и(вд^)

3. д>0.

Тогда для любого

дхп(Ю/та|у ) | е-" йи, т, «еЕ. Положим ДЛЯ (еЕ

р{=Р;.

о Т* в о — о V о т о

д = ^ V«?»' Т = 1%1хТ1-еев «€Е

Теореиа 8.2. Пусть выполняются условия 1. (зд°)~1*[1- I тс^ I (зд°/Т')

1

2. д >0.

Тогда для любого

В §9 приведены примеры из теории надежности и теории массового обслуживания.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Каштанову В.А. за постоянное внимание к работе.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Каштанов В.А., Янишевский И.М. Совместное распределение времени до момента катастрофы и аддитивного функционала доходов//Теория вероятностей и ее применение.- 1996.-т.41.-в.3.

2. Янишевский И.М. Предельная теорема для времени пребывания полумарковского процесса в подмножестве состояний. М.: Деп. в ВИНИТИ.-5.12.1995. - № 3210-В95.- 9с.

3. Янишевский И.М. Асимптотическое исследование потока, порожденного полумарковским процессом. М.: Деп. в ВИНИТИ.- 10.04.1996. -№ 1167-В96.- 16с.