Метода исследования потоков и функционалов, поровденных полунарковским процессом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

V Г о Ой - 8 ОКТ 1996

На правах рукописи

I

Яншевский И.М.

УДК 519.21

Метода исследования потоков и функционалов, порожденных полумарковским процессом

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1956

Работа выполнена на кафедре исследование операций факульт! прикладной математики Московского Государственного инстит; электроники и математики (технического университета).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Каштанов В.А. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Московский Государственный универси'

им.М.В.Ломоносова.

диссертационного совета К063.68.05 в Московском Государствен! институте электроники и математики по адресу: 109028, ГСП, Моею Б.ТрехсвятительскиЙ переулок, д.3/12, аудитория

С диссертацией мокко ознакомиться в библиотеке института.

профессор Печинкин А.В., кандидат физико-математических наук доцент Протасов А.М.

Защита состоится ^7 сентября 1996 года в на заседа!

Автореферат разослан

1996 года.

Ученый секретарь диссертационного совета МГИЗЫ

кандидат физико-математических наук, доцент

Шнурков П.]

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Диссертационная работа связана с актуаль-й и интенсивно развивающейся тематикой-теорией пересечения уров-и теорией случайных потоков.

Значительны© достижения теории массового обслуживания (ТМО) и тематической теории надежности (ТН) во многом определены тем, о теория случайных процессов и, в частности, теория случайных токов, теория пересечения уровня, оказалась той "хорошо подго-вленной" теоретико-вероятностной областью, методы и понятия торой позволяют с единой точки зрения исследовать широкий класс дач, возникающих в ТМО и ТН.

В последние года выявился ряд новых задач теории пересечения овня. А именно, в диссертации ставится задача исследования ожества моментов времени, связанных с пересечениями случайного овня функционалом, построенном на траекториях полумарковского оцесса.

Цель работы. Состоит в распространении классических методов ории случайных процессов на новую область теории пересечения овня.

Методы исследования. В работе применяются теоремы марковского сстановления, методы и результаты теории экстремальных задач, а кже асимптотические метода теории случайных процессов.

Научная новизна. Предложены методы решения задач типа пересе-ния уровня функционалом, построенном на траекториях полумарков-ого процесса. На основе этих методов получены следующие

результаты

-найдены вероятностные характеристики множества моменте времени, описана структура функционалов, связанных с пересечениях случайного уровня функционалом, построенном на траектория полумарковского процесса;

-определены условия, позволяющие провести асимптотически анализ редких событий, связанных с функционалом, построенном I траекториях полумарковского процесса;

-предложен метод сведения задач о времени пребываш полумарковского процесса в подмножестве состояний и о пото] моментов попадания полумарковского процесса в фиксирование состояние к задаче пересечения случайного уровня функционалог построенном на траекториях полумарковского процесса;

-в системе М(С|1|гс определено выражение для финальной вероя' ности виртуальной потери требования.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теорет! ческий характер. Результаты могут найти применение в теорз надежности и эффективности, в теории массового обслуживания.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались ] математических семинарах отдела надежности Института пробл^ кибернетики АН СССР, на научно-исследовательских семинарах кафед исследования операций МИЭМ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения и дв; глав, разбитых на параграфы. Объем диссертации 90 страни Библиография содержит 41 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается краткий обзор литературы по вопросам низким к исследуемым в диссертации, а также прореферированы шовные полученные результаты.

В первом параграфе главы I определяется объект исследования, , именно, случайный процесс ШП, ф(£), £5*0,

це ХЦ)~ полумарковский процесс,

ф(0, >— функционалы, построенные на траекториях процесса (П.

Полумарковский процесс Х{Х) должен отвечать ряду ограничений, редположим, момент марковского вмешательства т, процесс ХЦ), ?0, его фазовое пространство (Е,Л) и порождаемая процессом ха), >0, а-алгебра ИГ<=Л в основном вероятностном пространстве (П, Л, Р) цовлетворяет следующим условиям. Это

1) счетная порожденность о-алгебры Л;

2) измеримость случайного процесса

3) ^-измеримость момента марковского вмешательства г;

4) замкнутость множества траекторий процесса ХЦ), гноситэльно сдвигов ;

5) регулярность условных вероятностей Рх при условии Х(0)=х в а-алгебре Л для всех хеЕ.

Функционалы ф({) и определяются следующим образом ф(«)=фА, Т)Ц)=Т}А при т^^Ъг+Г дэ т^- последовательности случайных величин

V0' V0' V0' Vе*-,+гV,1'

1 - момент марковского вмешательства,

v0' V0' W VW4. > Wr

v-1

x =x ,+T* x., T) =x ,+2V T],, tf =x ,+Гд. -в., .

л. n-1 X . ) 'n n-1 X ,1 n n-1 X , f

n-7 n-1 n-1

пусть А+^Д,^)} и A-^lv^)}. eopeua 2.1. Если <7>0, то

Г Л ч 00 u

7 im P •{i€A l=[P_.x] » Г it(cLr) Г Г J" v ü(x,öy*du«du),

t-»oo и1. J11- в EOO

lim P fteA~)-= t-юо rL J

= [Р„.тГ1* Г %(dr) в

CO u CO u

f f J и Q(x,dy*d.u*di>)- f f f v Q(x,üy*ä.u*üv) E 0 0 E 0 0

де <3(х, А»1»Л)=Р:г;|А(х)€А, хе1, хеЕ, АеЛ, I

(3(х, А«1)=а(х, А*1*Н+) - отвечавшее моменту х полуоднородное нерешетчатое ядро.

Исследование структуры функционалов, связанных с множеством оментов пересечения уровня проведено в §3. Введем управление, удем считать, что существует ^-измеримая случайная величина г) со начениями в измеримом пространстве (и,И), где и интерпретируется :ак множество управлений, а о-алгебра ¿/-измеримых множеств из и предполагается, что она содержит одноточечные подмножества) нтерпретируется как совокупность подмножеств управлений. Вез граничения общности будем считать, что и=й+ и И=В+. Тогда для ЛсЕ (Е-конечное множество), иЖ>,

QlJ{u,v)=J <3^01,«,2) Ф{№),

■де аи(и1у)=0(1,С/}х[о,и)«[0,и))=Р4|х(х)=/, х<и, -пси},

и справедливы

Л Л

Теорема 3.1. Математические ожидания и представляй

собой дробно-линейные функционалы вида

Л..т/ .....^»Л®«^»'

•М®,.....ф -:--

х / В(а) П Ф № )

и, если существуют экстремумы функционалов на множестве допустимых функций распределения Ф{(й), 1еЕ, то они достигаются * вырожденных функциях распределения, т.е.

таг ¿¡(Ъ,.....Фп)=тах J( (Ф;,... ,Фп),

д д*пд

Д п Д*ПД

где Л*- множество функций распределения

, 0, гф.,

г 0, г^и,, 1 11, 2>и{.

Теорема 3.2. Смешанный момент Р^тГТ7?, РАг2 и представля! собой функционал вида

/.../4*4.....*п> 5,®»<в.>

^(фг...,Фп)= а—--1=г-+

/.../в(йг.....

/.../^Х..........тп) 5®4(ВС)®4(В4)

+---:-. £

/.../ В(а 1 • • • • -V"В(ш».....V Д )йф{ (ПЧ >

В этом же параграфе решается вопрос о структуре функционал«

А Л Л

Р^ЭСт],) и Р^т1)5(т))), где 5(£") есть аддитивный функционал доходов

а

Теорема 3.3. Математическое ожидание дохода Р^БСт),) предстввлж

збой дробно-линейный функционал вида J((Ф;,...,Фп) и, если чествуют экстремумы функционала на множестве Л допустимых ртций распределения Ф{ (z), le Е, то они достигаются на зрожденных функциях распределения.

Л А

эореиа З.Д. Смешанный момент P]j}1S(ri1) представляет собой ункционал вида .,Фп).

В §4 рассмотривается система M|G|1|n. Особый интерес редставляет определение такого показателя качества ункционирования системы как вероятность виртуальной потери ребования в момент времени t, а также исследование предельного □ведения этой характеристики при t+co. Вероятность виртуальной отери требования в момент времени t есть в точности P{|t€A~J, Тогда

Um Р. / i € А "1= (1 +• J^uBCdu) (тсл>< ( J^ e_X2(1-B(z) )öz-

t+со Н J 0 о 0 о

1=)

Глава II посвящена описанию методов асимптотического анализа яожества моментов времени, связанных с моментами пересечения ровня.

Параграфы 5 и б посвящены асимптотическому анализу поведения этоков, построенных в §2 первой главы.

Цель параграфа §5 состоит в том, чтобы показать асимптотику эличины r)f. Для этого определим случайную величину ^Сткр^С&п) и обозначим Т=Р^.

-1

пределение 5.1. Последовательность случайных величин Т д^ь+О, ели для любого г>О

Ь€Е J€E

+ JJ (U-Tq-V) Q , (du,du)

Tq г u

Определение 5.2. Последовательность случайных величин Т_1дф—»C если для любого э>0

Г Г оо и

(дз) * J JJ exp(-1~ qsv) Qw(dii,dv)+

й€Б L ./iEl-0 0

оо со

+ J J мр(-Г qsu) Q^Cdu.du)

о и

И .

Теорема 5.1. Пусть выполняются условия

1 х

1. Т дф—+0.

2. q>0.

Тогда для любого i, teE

Ил Р(|г1д«т1(^}=е-', tJO. п

Л Л.

В §6 исследуются потоки т^, т)п, . Для асимптотическо] описания потоков потребуем выполнения более сильного условия

T^q-До, где Т0=Ртст. х

Определение 6.1. Последовательность случайных величин T^qt-*! если для любого г>0

Tô1x -1 jT(u-T0g-1D Qkj (du,dw) - 0.

Ь€Е J€ETOq г 0 х

Определение 6.2. Последовательность случайных величин Т"1дт—►( если для любого з>0

Г со со 1

(дз) * £ тсь 1- ^ J J eip(-T~ дэи) QfcJ(du,dv) -

b.ev, L 0 J

►1

feÇE L J€E

Сформулируем теоремы, описывающие асимптотическое поведен потоков т , т) , п>1.

TV 'Tir

Qtj(u,u)=

1- ©zp

-I

\ь

J exp - J

mCE

„ E Q° (du>) *

0

1- 2 QIJW)

Q ijW)

m€E

если 2 P,7>0,

Q°(u)D+(u;t>), если S p! =0,

iJ X€E, 1

где D+(u;u)=

0, u$3u/2,

1, v>3u/2.

4 1- S р°г 0

X€ E,

т= 2 vT'f 2 vv

ICE,

Теореыа 7.1. Пусть выполняются условия

1. 2 PtÄ>0 для всех teEn,

2. (sq)-1*

3. q>0. Тогда

1- £ V 2 qljOq/T)

t€E0 J€E

1,

Ilm Pt|qCVT>ij-=e_t, П0, i€EQ. Q

Предложим другой вариант решения задачи изучен асимптотического поведения величины С в схеме серий. Положим

для l€E.

QtJ(u>y)=Q^(u)xD4"(u;v), JeE0,

i ta.

Q{J(u,y)=Q¡J(u)«D-(u;u), JeE(,

(^(u.tO^Q^ (u)xD+(u;i>), JeE,

э D (u;u)=

0, vtíu/Z,

1, v>u/Z.

_ oo _o v t> o o V © ®

Тогда p^=pír VV T = l VT{> g = 2 V9t-

t€B t€E0

opeua 7.2. Пусть выполняются условия

(зд°)-1хГ1- ^ ^ q"^(sq°/T° )j—+ 1, [ Í€E ./€33 J

q°>0. гда

lím

P{|g°C°/T°>t|=e-t, tso. lcE0. D

Пусть (w),x2(w),...-поток моментов попадания процесса X (t) состояние n. Обозначим

00

J6E

Если S Р/,>0 для всех ííENíw), то положим j€E\{N} J

Qш(и,у)=0, íeE.

QtJ(u,y) =

1- exp

v

v m€ В

u

"í SZP "I

2 Q'tdií»),

zíseB\{N>tfc

o- 1- = Q.(e>

m€B

qtJ(dz)

-, если рш>0,

m€B

Q°(j (u)D+ (u;u), если pí7í=0.

рг=р°(, t€E. т= 2 VT!' Я" ï VV

t€E t€E

Teopeua 8.1. Пусть выполняются условия

1. S pt(>0 для всех îçEUn}.

j€e\{n]lj

2. (ад)-1» Г1- l ictx J qJjOq/T)]-» 1,

ÎÊE J€E

3. q>0.

Тогда для любого

Um P{|qtn(w)/T<t}=oJ хётТ ûu' tSï0' teE* a Положим для içE

PrP'c

QtJ(u,u)=QjJ(u)xD+(u;u), JeE\W, QtN(u,y)=Q°N(u)xD"(u;n),

О V 0 0 _ О V О rr, о

Я = I V9i- =IvV

t€E t€E

Teopeua 8.2. Пусть выполняются условия

1. (aq")~1x

I-Ivbu^''

tÇE J€E

1.

2. g >0.

Тогда для любого

Ив Р{|дЧг1(м)/т°<г}=о/ -щ^уг е"и йи, Ш, 1еЕ. а

В §9 приведены примеры из теории надежности и теорр массового обслуживания.

Автор выражает глубокую благодарность своему научног» руководителю Каштанову В.А. за постоянное внимание к работе.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ледующих работах:

. Каштанов В.А., Янишевский И.М. Совместное распределение времени э момента катастрофы и аддитивного функционала доходов//Теория эроятностей и ее применение.- 1996.-т.41.-в.3. . Янишевский U.M. Предельная теорема для времени пребывания полу-арковского процесса в подмножестве состояний. М.: Деп. в ВИНИТИ.-.12.1995. - Л 3210-В959с.

. Янишевский И.М. Асимптотическое исследование потока, порожден-ого полумарковским процессом. М.: Деп. в ВИНИТИ.- 10.04.1996. -1167-В96.- 16с.