Деформационные методы исследования оптимизационных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

СЕСОЮЗНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ А/и/ СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ АН СССР

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ СОВЕТ Д 003.63.02

На правах рукописи

БОБЫЛЕВ Николай Антонович

УДК 517.97:681.51.1.4

ДЕФОРМАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Специальность 01.01.11 -Системный анализ и автоматическое управление

АВТОР ЕФЕР АТ

диссертации на соискание ученой степени доктора фиэико—математических наук

ЖШЦ ц ■ с. Г. /» 14 о

:г е с.к

(г С

г

\ ¿ 'С

Москва 1988

Работа выполнена в Институте проблем управления (автоматики и телемеханики) Минприбора СССР и АН СО

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профеосор В. И. Благодатских, доктор физик математических наук, профессор А.А. Милютин, доктор технических каук, профессор А.И, Пропой

Ведущая организация - Институт кибернетики АН УСС1

Зашита состоится *_* _198 г» в __

часов на заседании Специализированного совета Д 003.63.02 при Всесоюзном научно-исследовательское институте системных исследований АН СССР (117312, Москва, В-312, Проспект 60-летия Октября, 9).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВНИИСИ.

Автореферат разослан '*_" _____________ 198 г.

Ученый секретарь Специализированного совета

кандидат физико-математических наук В.С.ЛЕВЧЕНКОВ

¡ТЖ:^

- I -

ОБЩАЯ ХА.РАКТЕШСТИКА, РАБОТЫ

ЯО/! 1

^актуальность работы» Широков распространение идей и методов оптимизации в технике» управлении, экономике, а также внутреннее развитие этой теории привело к появлению огромного количества исследований по этой тематике. К настоящему времени некоторые разделы теории оптимизации (например, линейное и выпуклое программирование, теория необходимых условия оптимальности, некоторые разделы классического вариационного исчисления) приобрели устойчивые очертания. Здесь выработана н сложилась терминология, разработан математический аппарат, накоплен богатый опыт решения прикладных задач. Другие разделы: (например, теория достаточных условий оптимальности, теория корректности оптимизационных задач, методы численного построения решений задач бесконечномерной оптимизации) находятся в стадии развития и далеки от завершения. Разработанные здесь методы исследований зачастую направлены на исследование специальных классов оптимизационных задач и носят частный характер. Эти обстоятельства делают актуальной разработку таких новых методов исследования оптимизационных задач, которые были бы достаточно общими, эффективными и проотыми в приложениях.

Предлагаемые в диссертации деформационные методы исследования оптимизационных задач применимы к анализу широких классов задач оптимального управления, математического программирования, вариационного исчисления. Эти методы не связаны с повышенной гладкостью изучаемых функционалов и аффективны в вырояденных ситуациях. Они оказались эффективными и привели к новым результатам в задачах классического вариационного исчисления (анализ вырояденных экстремалей, связь теорем о существовании экстремалей 1-1

. - 2 -

с признаками минимума интегральных функционалов) в раде задач математического анализа (доказательство новых неравенств, точные константы в неравенствах, анализ устойчивости решений дифференциальных уравнений) в задачах механики и математической физики (обоснование сходимости различных приближенных процедур построения решений, оценка числа решений, анализ корректнооти).

Цель работы. Целью работы является разработка методов анализа оптимизационных задач, основанных на исследовании деформационных инвариантов изучаемой задачи.

Методы исследования. В работе используются методы общей теории оптимального управления, методы нелинейного функционального анализа, топологические методы, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории квазилинейных уравнений эллиптического типа.

Научная новизна. В диссертации впервые установлена инвариантность локальных минимумов при невырожденных деформациях функционалов качества общих оптимизационных задач. Этот принцип позволил установить неизвестную-ранее связь теорем о существовании экстремалей с признаками минимума интегральных функционалов. Он привел к новым теоремам о минимуме, к новым неравенствам, позволил обосновать сходимость ряда приближенных процедур построения решений оптимизационных задач.

Впервые установлена связь топологического ивдекса множества экстремалей нелинейного функционала с топологической структурой этого множества. Теорема, устанавливающая эту связь, приводит к новым необходимым и достаточным условиям оптимальности, к новым признакам сходимости различных численных процедур.

В работе впервые установлена связь между устойчивостью колебательных режимов в системах автоматического регулирования со оходимостыо процедур типа Галеркина или метода механических квадратур приближенного построения таких режимов; Установлены новые теоремы о сходимости градиентных методов в задачах бесконечномерной оптимизации. В частности, установлена сходимость метода наискорейшего спуска в задаче отыскания точек минимума функционалов вариационного исчисления в условиях, когда отсутствует информация о невырожденности отыскиваемой точки минимума.

Теоретическая и практическая ценность. Методы, разработанные в диссертации, применимы'к анализу оптимизационных задач с функционалами качества общего вида, к ряду задач механики и математической физики. Результаты работы позволяют выделить широкие классы оптимизационных задач, для решения которых применимы различные приближенные методы (метод Галеркина, метод механических квадратур, градиентные методы), а также позволяют обосновать применимость комбинаций различных приближенных процедур численного решения оптимизационных задач. Разработанные в диссертации приемы анализа оптимизационных задач эффективны и просто реализуются в приложениях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных совещаниях по проблемам управления (Таллин, 1980 г., Ереван, 1983 г.), на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им."1 акад. И.Г.Петровского (Москва, МГУ, 1987, 1982, 1984 гг.-), на Ш Симпозиуме по методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации (Таллин, 1984 г.), на конференции "Теоретические и прикладные вопросы математики" (Тарту, 1985 г.), на Московском семинаре по расширению возможностей 1-2

автоматов (1983, 1985, 1986 гг.), па семинарах Института проблем управления (автоматики в телемеханики), Московского государственного университета им. М.В.Ломопооова, Вычислительного центра All СССР, Всесоюзного научно-исоледовательского института системных исследований, Института проблем механики, Московского института электронного машиностроения, Московского энергетического института, Ленинградского отделения Математического института им. В.А. Стеклова, Института прикладной математики и механики АН УССР, Воронежского государственного университета им. Ленинского Комсомола

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 26 печатных работах.

Структура и объем работы. Диосертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы; Диссертация изложена на 293 страницах. Библиография содержит 326 наименований.

- 5 -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы, примыкающей к содержанию диссертации, обосновывается целесообразность направления исследований, проводимых в диссертации и дается краткое содержание работы.

В первой главе устанавливается инвариантность шшга'ума при невырокцешшх д&Ьортщдиях функционалов и приводятся приложения втого принципа.

Р первом параграфе доказывается основная теорема об инвариантности минимума. Приведем ее формулировку.

Пусть 1-1 - вещественное гильбертово пространство со ска-ляряш произведением (и,-0-) , Т = .{а&Н:кам^1У ед!щигпп?й шар в И а ЭТ - его граница. Определешшй па паро Т функционал (- (назовем И «правильным на Т , если (а) непрерывно дифференцируем по Фрешз па Т , а ого градяопт ограничен па Т и удовлетворяет следу аце-

му условия ( Б ) Браудора - Скрыппика: если последовательность е Т слабо сходится к и

а -> со

то сильно сходится к

Рассмотрим Н-правильные па Т функционалы ^ (и ) и (и) . Цусть ид ¿ ^ - критическая точка функционала (и.) , а а£ & Т - критическая точка функционала 11 ^ . Однопараиетрическое семейство И-правильных на Т функционалов ( 0 ^ ^Х - 1 ) назовем деформацией фу-

1-3

- 6 ■ ■ . нкционала 0 С и.") в функционал ^ С"-) , если

2°. Функционал -^(а^'Х) непрерывен по совокупности переменных вместе с градиентом ( причем градиент непрерывен по ^А равномерно относительно и. £ Ч1 .

Деформацию функционала £0(и) в функционал -(¿СЮ назовем невырожденной, если при каждом

а е соЛз функционал ^(а-^Х) имеет непрерывно зависящую от Л критическую точку а (Л') Т 4 которая равномерно по £ С 0,1] изолирована в М и исО) = и, , исЬ-и^ .

Теорема 1.1. Цусть существует невырожденная деформация

И-правильного функционала (Ю в М -правильный функционал (и.) . Пусть и-0 - точка локального минимума функционала |0(а) . Тогда - точка локального минимума функционала ^ (и.) .

Из теоремы 1.1 вытекает

Следствие I, Пусть, и. -0 - единственная в шаре Т критическая точка И -правильных функционалов (а) и |х(и) . Пусть при и^О градиенты и этих фун-

кционалов не направлены противоположно. Цуоть» наконец, а точка локального минимума функционала (Ю . Тогда и.«О точка локального минимума функционала ^(Ю •

С помощью теоремы 1.1 могут быть единообразно и просто дока' заны многие класоические неравенства (неравенства Коши, Шга» Гё> льдера, Мянковского, Виртингера, Пуанкаре и т.д.), а также получены их различные усиления и обобщения. Эта теорема тривиализует доказательства признаков определенности полилинейных форм, ука-

зыв&ет путь анализа на минимум экстремалей-различных вариационных задач. Приведем схему применения теоремы 1.1 к анализу интегральных функционалов вариационного исчисления. Г&ссмотрим интегральный функционал

о

£<"-> 5 Р(ос,а, ^а)¿х

Л

Пусть О-о(х)»0 - экстремаль функционала . Теорема 1.1

позволяет проводить исследование экстремали и (о:) по следующей

о

схеме: вначале конструируется такая деформация

о 1

функциоаала = в функционал £Си.' I) , чтобы фун-

кция ио (эс)=0 была экстреглалью каздого функционала ^(¡¿^Д) ( 0<"Лйг1 ) и реализовала минимум функционала 1) 1 , а

затем проверяется изолированность пулевого решения семейства краевых задач

V ^ - и| _0 т

¿= 1 с Г «< ¡д-П

Таким образом, каядый признак изолированности (и тем более единственности) нулевого решения семейства краевых задач (I) являет-оя теоремой о минимуме интегрального функционала . Этот

путь приводят к простым доказательствам известных признаков минимума для интегральных функционалов (в частности классических теорем Якоба), позволяет получать новые признаки минимума в вырожденных ситуациях.

Во втором параграфе изучаются деформация функционалов вариационного исчисления.1 1-4 -

А/

Пусть XI - ограниченная область в & о гладкой гра-

О п

пицей. Рассмотрим на V/а (И) зависящий от скалярного параметра Л ¿СОД] интегральный функционал

Здесь Оа - { : <1< « 1, «О,

а, ~Ъ 1 Ъ ^^ 7> = — , 04 = -муль-

тшщцекс, o^¿ - целые неотрицательные числа, о^*... + » Предположим, что интегрант Л) непрерывен по со-

вокупности переменных ос «-Л г Ле 3 вместо

о производными по ^ до второго порядка включительно. Цуоть при каждом значении параметра 0\ интегрант Р(ос ^ £;Л) удовлетворяет оценкам

где р^ - произвольное положительное число, если у = т--. Р|= , если т-/У/*<ф<ггС ; = * " р~/~ р^ ,

если ИI " = пъ ч р^ = 1 - р^1 , если т - А/Д « & №<,

р » ~ 1 » еоли 1 ■> 'Я < т~ ЩЪ ;

О <• р<*р> § если ДУ1 , |о<1-Н]П<

< 2 т- , и *

Теорема 2Д. Пусть при каждом б С ОД] функция

является обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения Эйлера

I - О С |o< I 6 пг-i) .

IЪ SL

IycTb dto решение равномерно по 9\ e I 0, i] изолировано в

о ^

WjlCA) . Пусть, наконец, функция "^(я) =а(х-0) реализует покалышй минимум в

VjcA)

функционала f0(u) - |4u; 0) . Тогда функция (ос) =- UCреализует локальный минимум в V* СЛ) функционала ^(U)- f(ii;i) .

В случае, когда ït II1- , т.о. когда вариационная задача одномерна, удается установить инвариантность слабого минимума при невырсвдешшх деформациях (т.е. инвариантность минимума в

о

пространствах С ). Ситуация существенно услоняяется в задача исследования инвариантности слабого минимума при деформациях интегральных функционалов многомерных вариационных задач. В это« случае удалось установить сохранение минимума при невырожденных деформациях функционалов, не зависящих от старших производных, Приведем формулировку соответствующего утверждения. Рассмотри».! сднопарамотрическое семейство функционалов

Пусть область SX ограничена, oll & С , интегрант р^и^р;^) непрерывно зависит от ^ е- еО, 1] вместе с производится по переменным эс, р до третьего порядка включительно.

Теорема 2.2. Пусть при каждом значении параметра'А е £ ОД 1 функционал Çiu-fi) имеет в С1С-П-> экстремаль U^;^) , которая равномерно по 'А изолировала в С ( А) . 1-5

Пусть

Е ¡г. » с 2

х " -У с

( хеЦ^ ОбЪб!, Я^ с>0).

Пусть, наконец, функция 0-^(0:)= и.(х;0) реализует слабый локальный минимум функционала £ (и.) = £(и/0) . Тогда функция =ц(зс;1) реализует слабый локальный минимум функ-

В третьем параграфе цервой главы изучается задача об инвариантности глобального минимума при невыровденных деформациях. Как показывают простые примера, аналог теоремы 1,1 в задаче о глобальном минимуме не верен. Причина »того явления заключается в том, что точка чо локального минимума функционала |Ч<-0 может не быть точкой его глобального минимума, даже если у пет отличпых-от и_0 критических точек.* Такая ситуация может возникнуть, если градиент изучаемого функционала па некоторой последовательности точек, уходящих в бесконечность, стремится к нуд». Однако если градиент стремится к нуле не "слишком быстро", то локальный минимум является глобальным. Справедлива Теорема 3.1. Пусть -а«О - точка локального минимума И-правильного функционала ^(Ю , градиент ко-

торого удовлетворяет локальному условию Липшица. Пусть

¿(eu.il) , где о<(5) ( 00 ) - непрерывная

ционала

и положительная при Ъ^О функция, для которой

СО.

^ <х.(£)с15 =• оо.

о

Тогда 0 - точка глобального минимума функционала

- II -

Из теорем 1.1 и 3.1 вытекает

Теорема 3,2. Дусть ц = 0 - единственная критическая точка 1-|-правильных функционалов р0(а) и ^ (и) , реализупдая локальный минимум функционала ^(Ю . Пусть существует невырожденная деформация £ ) функционала

£ 1Ю = в функционал = С "-:Д) . Пусть И^ЦСЮИ*

:> о< (ни.») , где функция удовлетворяет условиям пре-

дыдущей теорешь Тогда 0 - точка глобального минимума функционала (и-) .

Бели в условиях теоремы 3.2 функционал £0(а) является растущим, а деформация функционала |-р(и-) в функционал линейна, т.е. имеет вид С1-20 СО (и-бН^О&Л^!), то утверждение теоремы 3.2 справедливо без ограничений на рост градиента V ^ (ч) . Справедлива

Теорема 3.3. Пусть 0 - единственная критическая точка |-|-правилышх функционалов (и.) и (и) . Пусть при а -АО .градиенты ("•) и <7-^(и) функционалов (<0 и £ 1.0-0 не направлены противоположно. Пусть

(¿т. $ (и) ■= uu.ii-> со 0

Тогда 0 - точка глобального минимума функционала £А (Ю

Аналогично устанавливается

Тсорека 3.4. Пусть вне шара Т^ Н градиенты («•) и 7-^(10 Ц -правильных функционалов ^ (и ^ не направлены противоположно. Пусть функциопал (и) является растущим. Тогда функционал тлеет в шаре Т точку глобального минимума.

1-6

- 12 -

Теоремы 3.1 - 3.3 указывают новый подход к анализу устой-чквости в целом состояний равновесия градиентных систем. В частности, они приводят к усилениям известных теорем В.И.Зубова и ТЛезанского об устойчивости градиентных систем с конечным числом степеней свободы.

В четвертом параграфе диосертации изучаются деформации систем, описываемых дифференциальными уравнениями. Вводится понятш невырожденной дефорлации сиотеш S0 в систему S^. и изучаются условия, яря которых осуществима невырожденная деформации изучаемой системы в асимптотически устойчивую. Приводятся приложения полученных результатов к анализу устойчивости градиентных

систем, гамильтоновых систем, систем автоматического регулирова t

ния.

. Л пятом параграфе устанавливается связь теорем о разрешимо сти краевых задач о признаками минимума интегральных функционал Рассмотрим интегральный функционал

{(tO « S Pi^u-j 7a)dx , u-l (2)

_П - \1>SL

и предположим, что он" имеет непустое множество WC шсстрема-лей, т.е. задача Дирихле для уравнения Эйлера

£ A 2f - l£.0, и. ' »о (3)

L" 1 '

имеет непустое множество решений. В раде задач важно

знать, имеет ли функционал £(Ю точку минимума U^ elfîl Такая информация полезна при обосновании различных приближенны: процедур отыскания экстремали tl^ (х) , при анализе устойте-

вости экстремали и.^(ж) по отношению к малым возмущениям ин-геграпта р) ц т«д.> в пятш параграфе с помощью дефор-

мационных теорем устанавливается, что в условиях многих известных теорем о разрешимости краевой задачи (3) соответствующий этой задаче интегральный функционал (2) имеет хотя бы одну точку миниимума.

Первый цикл теорем пятого параграфа относится к олучаю, когда краевая задача (3) имеет единственное решение и* (х) : в втом одучао невырожденная деформащгя изучаемой задачи к задаче с минимумом строится существенно проще, чем в ситуациях, кохда нет единственности. Уотшгавливается, что в условиях теорем С.Н.-Бернштейпа» Пякара, Нагумо, Легтенмейера, 0.А,Ладыженской и Н.Н.Уральцевой а других авторов о существовании единственного решения краевой задача (3) соответствующее решение является точкой минимума функционала (2), В качества примера приведем результат, относящийся к теореме СЛ.Бэрнштейпа.

Пусть хс- Я1- , Л. C0JT] , шгтеграпт £4«,р) является достаточно гладким и удовлетворяет усиленному условию Лежапдра. Пусть успение Эйлера функционала (2) приведено к нормальной форме

и.'*» (4)

причем

Тогда в силу классической теореш С.Н.Бернштейпа функционал (2) имеет единственную экстремаль и.^ (ос) . Справедлива

Теорема 5,1. В условиях теоремы С.Н.Берпштейна экстремаль 1-7

- 14 -

является точкой сильного минимума функционала (2).

Второй цикл теорем относится к анализу одномерных скалярных интегральных функционалов в условиях, когда отсутствует информация о единственности решения соответствующей двухточечной краевой задачи для уравнения Эйлера. Теоремы о минимуме устанавливаются с помощью специальных барьерных отображений, конструируемых для уравнений Эйлера изучаемых функционалов.

Будем считать, что уравнение Эйлера функционала (2) приведено к виду (4). Непрерывно дифференцируемое отображение

полуволосы ,

на 1с-й квадрант плоскости { гг) назовем барьерным для уравнения (4), если оно удовлетворяет следующим условиям

I. и^у^а^о ск=1,ал/'; о±ч<.°° >.

-ЭУ *О С

К

где - якобиан отображения в точке .

4. (¿т <х> ск=

©о

^ С С к-2,3;.

со

Совокупность барьерных отображений ^ ( к-) назовем барьером отображений. Характеристикой барьера

отображений назовем минимальное из чисел -ае, + ь«,, и X. зс,

*• Л а ^

хде

1

= iiiü. 5 I V^c^^i i-öU^^^/a^iotk.

£ _> оО о

Теорема Пусть для функционала (2) существует барьер отображений, характеристика которого больше Т .. То-

гда этот функционал имеет хотя бы одну точку сильного глобального минимума.

Из этого утверждения следует, что в условиях теорем Нагумо, М.А.Красносельского, М.П.Семенова а других авторов о разрешимости краевых задач для уравнений Эйлера соответствующие интегральные функционалы имеют точки глобального юхнлмума.

Шестой параграф первой главы посвящен проблеме существования экстремалей у вариационных задач. В кем вводится понятие правильной краевой задачи для уравнения Эйлера функционала (2) я устанавливается, что правильные краевые задачи разрешимы. Приводятся эффективно проверяемые признаки правильности скалярных н векторных двухточечных краевых задач.- Полученные в этом параграфе результаты усиливают известные теоремы С.Н.Барнштейна, На-1умо, Чинквини, Хартмана, МД.Красноеельокого и ряда других авторов.

В седьмом параграфе обсуддавтся вопросы обращения деформационных теорем, приводятся некоторые мультипликативные неравен-

1-8

ства и указываются приложения результатов пятого параграфа к задаче Штурма - Лиувилля, к задаче об ограниченных решениях, к задачам с запаздываниями.

Во второй главе диссертации вводится и изучается целочисленная характеристика - топологический индекс - экстремалей оптимизационных задач.' Указываются приложения этого понятия.

В первом параграфе второй главы вводится понятие топологического индекса для экстремалей абстрактных оптимизационных задач в гильбертовом пространстве

|<ил mea

хде - И -правильный функционал.-

Пусть на границе bV ограниченной области V , лежащей в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве Н, нет критических точек И-правильного функционала ^ОО . Обозначим через W- множество его критических точек, лежащих в V .через H¿ с На с ... с Hft.c .»• исчерпывающую последовательность конечномерных подпространств, а через ^ орто-проекторы на Н^ Как показано И.В.Скрышшком*, определенные на границах областей V^ = VflH^ конечномерные по-

ля Ф^ при больших гь невнрождены и их враще-

ния Y г. на одинаковы. Это общее вращение назовем топо-

логическим иадекоом Cnci-СТПмножества ^ критических точек функционала . Оказывается, если YTt реализует локальный минимум функционала ^, то его топологический индекс' не зависит от изучаемого функционала, а определяется топологической структурой множества . Справедлива

*Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. - Киев: Наукова думка, 1973.

- 17 -

Теорема I.I.' Пусть W- реализует строгий минимум функционала и является компактным с вяз 100.1 гладким конечномерным многообразием.'Тогда i-rtclcYft; f) - t аде ^CTti) характеристика Эйлера - Пуанкаре многообразия Ш- .

Во втором параграфе второй главы теорема I.I и ее следствия применяются к анализу оптимальных управлений;

Рассмотрим задачу оптимального управления движением со свободным правым концом и закрепленным временем

l ,

S 1|>0<Ь oc,u) dt rruLu^ (5)

о

i « fct,* «О, • L

^ uMjoU i i , liiH ).

(6) (7)

Ограничения вида (7) возникают в задачах коррекции движения: они отвечают управлению о ограничениями по энергетике (в частности, управлению при помощи малой тяги). При естественных ограни, м

чениях задача (5) - (7) эквивалентна минимизации L^ -пра-

вильного функционала 1

f<uO = Ц0с1, %С , «ail éi,

о ^д.

где Вса) - решение задачи Кош (6), отвечапцее, управлению u»uct> .

Пусть - изолированное в Lоптимальное управле-

ние в задаче (5) - (7), ^^ - отвечающее ему решение задачи Коши (6), X et) - фундаментальная матрица линейной системы

1-9

- 18 -1

Справедлива

Теорема 2.1. Цусть при О ¿I & | , ее (: Я , и. £ & , ' верны оценки

^с^а)! + * с ( I + \щ *)

С ( ^ а, - ^ ж, «а^^* ' ' +

Тогда ¿п^

Теорема 2.1 содержит необходимые условия оптимальности нового' типа: необходимым условием оптималънооти экстремального управления и* - и*^) в задаче (5) - (7) является равенство иск«.*',!) -1 у Для проверки последнего равенства могут быть использованы аффективные алгоритмы вычисления топологического индекса.* Теорема 2Д применима также к задачам обоснования сходимости различных приближенных процедур (метод Галеркина, метод механических квадратур и т.д.) построения оптимального управления в задаче (5) - (7).

В третьем параграфе второй главы понятие топологического тядекса применяется к анализу екстремалей задач вариационного и числения.

и

- 19 -

Пусть -II - ограниченная область в И с гладкой границей, С-П.) = \аУс£сЛ)П СЛ> . рассмотрим на WД(Í1) интегральный функционал

= $ ос, и., Уи.)с«.ос .

Л

Пусть > Ы . Тогда функционал £

дважды дифференцируем по Фреше на ( Ц) »■ Пусть, далее, ао = и0 экстремаль функционала (Ю , а V - вторая вариация функционала в точке и.^ Оператор допускает продолжение до ограниченного самосопряженного оператора А ,

О £

действующего в

к С Л) Обозначим через <ЗсА) спектр оператора А . Если экстремаль и-р(эО навырождепа, то к анализу экстремали И-дС*) применима теорема Якоби: если спектр ¿СА) лежит на положительной полуоси, то реализует

локальный минимум функционала £(и) ; если же <$сА) пересекается о отрицательной полуосью, то (эс) не является точкой минимума функционала £ (^ в С Л) .

Теорем Якоби неприменима к анализу экстремали (ос) , если эта экстремаль вырождена, т.е. спектр ¿С А) лежит па неотрицательной полуоси и Ое<оСА) . В этом случав справедлива

Теорема 3.1. Цусть вырожденная экстремаль чд - С*) изолировала в С Л) и

ы ы а

- 20 -

Пусть нуль - простое собственное значение оператора А Тогда экстремаль ^(ос) реализует локальный минимум функционала в . , если и только если ¿ad.(U0j

Таким образом, во многих задачах классического вариационн< го исчисления равенство единице топологического индекса являет! не только необходимым условием минимума, но и в случае, когда неприменима теорема Якоби, достаточным условием минимума,- В условиях теоремы 3.1 алгоритм вычисления топологического шдекса вырожденной экстремали сводится к построению некоторой последо' вательности чисел до первого ненулевого члена: его номер и зна] определяют значение топологического индекса выроаденной экстре' мали.

В четвертом параграфе второй главы понятие топологического индекса применяется к анализу задач о ограничениями.1 Вводится понятие критической точки непрерывной функции, определяется то пологический индекс изолированной критической точки и вычисляется значение топологического индекса в точке минимума. Указываются приложения к анализу необходимых условий экстремума в негладких задачах.

В пятом параграфе второй главы указываются другие подходы "к введению топологического индекса экстремалей вариационных за дач; устанавливается связь между различными подходами к введению топологического индекса экстремалей в задачах, приводящих операторам, обладанцих ($)-свойством; приводятся приложена теоремы I.I к оценке числа калибровочно неэквивалентных решен! уравнений Гинзбурга - Ландау.

Уравнения Гинзбурга - Ландау описывают поведение сверхпрс водника во внешнем магнитном поле. При соответствуоцем выборе

- 21 -

диншд измерения эти уравнения имеют вид

-и-А)^

члкчА А « -угу*); к^А * п. 1-0.

3

Десь И - объем в Я. , занимаемый сверхпроводником, Э-П. ■ его граница, И- - вектор внешней нормали в ,

юмплексная функция, называемая параметром порядка I пропорционален плотности сверхпроводящих электронов), Аз] - векторный потенциал вектора магнитной ин-укции, а 5\ и |\д. - вещественные параметры. При этом по-[огштелышй параметр у- зависит лишь от плотности вещества, а [араметр пропорционален разности температур Т - Тс ,

до Тс - точка перехода.'

Уравнения Гинзбурга - Ландау являются уравнениями Эйлера ушсционала свободной энергии

Л. , Х

: поэтому решения уравнений Гинзбурга - Ландау свопадают с крп-•ическими точками функционала . Функционал ^ и.) («-=

бладает свойством калибровочной инвариантности: А) =

^(^еар^р^Л + ^р) . В силу этого свойства кадцое решениеС^/Ь равнений Гинзбурга - Ландау порождает ремейство решений

А +7р) , состоящих из калибровочно эквивалентных ункций. Калибровочно эквивалентные решения принято отождествлять.

Известно, что при уравнения Гинзбурга - Ландау

меют по крайней мере одно ненулевое решение, отвечапцее миниму-

- 22 -

му функционала свободной энергии. Оказывается, при малых положительных 0\ уравнения Гкнзбурга - Лавдау имеют не меньше двух нетривиальных калибровочно неэквивалентных решения.' Справедлива

Теорема 5.1. Пусть - первое положительное собственное значение краевой задачи

где Д - оператор Лапласа.'Тохда при 0 < ^ ^ ^ уравнения Гинзбурга - Ландау имеют по крайней мере два нетривиальных калибровочно неэквивалентных решения.

В третьей главе диссертации иоследуетоя корректпость вариационных задач.

При описании процессов управления в различных системах (физических, механических, системах управления, и др.') важно знать, устойчива ли соответствующая математическая модель по отношению к малым возмущениям параметров задачи.- Различные классы изучаемых объектов приводят к различным определениям устойчивости (устойчивость по Ляпунову, корректность задач математической физики, грубые системы в нелинейной механике, шброустойчивость в проблеме описания упругопластичеоких тел и т.п.).

В известной монографии С.Удама "Нерешенные математические задачи"34 ставится'вопрос об условиях устойчивости решений вариационных задач.1 Проблема Улама формулируется следущим образом."1

* Улам С. "Нерешенные математические задачи", М.: Наука, 1964.

- 23 -

Пусть функция -(^(а:) реализует минимум интегралыго-го функционала

1

£си.) = ^ и, и jci.cc,

0

Рассмотрим наряду с функционалом -^(¡-О интегральный функционал

1

д (И.) - 5 ОСХ^^^ЛХ;

лптегрант & С р) которого близок к равномерной метрике к кнтегранту р; функционала (о близости произво-

дных интегрантов !чос,и,р) и не делается никаких

предположений). Требуется найти условия регулярности, при которых у функционала ^ («•) есть точка минимума = ( близкая к (^(эс.) . Как отмечает С.Улам, положит елыше теоремы об устойчивости подобного рода били бн полезны при анализе устойчивости различных реальных систем по отношению к скрытым параметрам. Далее, во многих .математических формулировках физических задач к известным требования»! корректности было бы желательно добавить требование об устойчивости в указанном выше смысле.

Нетрудно показать, что каков бы ни был изучаемый функционал С-(и-> сколь угодно малым возмущением его интвгранта можно разрушить все его точки минимума.' Однако в класса регулярных вариационных задач проблема Улама решается положительно: изолированные акстремалн функционала £(и) реализующие его слабый минимум, устойчивы в метрике С ^

В первом параграфе третьей главы приводится формулировка соответствупцего утверждения о корректности одномерных вариационных задач.

- 24 -

Во втором параграфе изучается устойчивость экстремалей многомерных регулярных вариационных задач; Приведем формулировку со-ответствуюцего результата.

Пусть XI - ограниченная область в Я, с границей ЭЛ

5 о —

класса С . Рассмотрим на единичном шаре пространства С С-Ш интегральный функционал

XI

интегрант р) которого определен при х е- -£1 , /и.1,

I р| ь 1 и трижды непрерывно дифференцируем по совокупности переменных. Предположим, что функционал имеет точку сла-

бого локального минимума - И0('х)= 0 и интегрант Р (ос, и_, р) регулярен на экстремали и.р (эс) :

£ £ к1 <-»<* Ч 1.1 '

Обозначим через класо определенных при ос е 17. ,

»«■Ь Ч°15= 1 трижды непрерывно дифференцируемых 1штегрантов (у р) , которые удовлетворяют неравенствам

I Р(^^р) _ 5 (хе

Теорема 2Д. Пусть экстремаль и.р ■= Ц.р функционала ^ (и) изолирована в пространстве (Л) • Тохда для каждых £ >0 , найдется такое & = $(.EJ'V)>D , что

либо! функционал

= J Uj VU)docJ>

jCL

интеграл? G-(^ibf) которого принадлежит классу Ж

Sc €, W » имеет ао крайней мере одну tow слабого локально> о _

го минимума О-Лх) (г С c£L) , для которой II U, (ОС)!/ - _ 4 £ .

1 С'сЯ>

В четвертой, последней главе диссертации, изучается сходимость приближенных процедур построения решений оптимизационных задач и в задаче отыскания колебательных режимов в системах автоматического р егулдрования.

Первый параграф четвертой главы посвящен анализу сходимости градиентных процедур в задачах бесконечномерной оптимизации..

Приближенные процедуры типа градиентного спуска в бесконечномерных оптимизационных задачах наиболее полно исследованы в случае, ковда минимизируемый функционал удовлетворяет какому либо условию выпуклости (сильная выпуклость, монотонность градиента и т.д.). В ряде важных задач (например, в задачах оптимального управления с функционалами качества общего вида, в задачах классического вариационного исчисления) изучаемые функционалы иевшукли. В этих ситуациях локальная сходимость градиентных методов установлена либо при условии певырозденпосги отыскиваемой точки минимума, либо в предположениях о специальной структуре функционала в окрестности точки минимума.

В диссертации устанавливается сходимость градиентных мэто- , дов для Н-правильных функционалов в условиях, когда отсутствует информация о структуре изучаемого функционала и когда отыскиваемые критические точки могут быть, выроядены.' Приведем форму-

\

- 26 -

лировки соответствуицих утверждений.

Пусть и.^ - изолированная критическая точка |-| -правильного функционала f(lL) , реализущая его локальный минимум. Рассмотрим метсд наискорейшего спуска

Vl = - uvfwj с а-0,1,.. .) (8)

с начальным приближением

Теорема I.I. Пусть градиент V функционала

удовлетворяет локальному условию Липшица. Пусть иорш II U. - Up || достаточно мала. Тогда метод наискорейшего спуска (8) сходится:

. {¿m- и а„ - U. ii ~ 0.

Поскольку точное определение множителей в методе

шискорейшого спуска (8) возможно лишь в нсклотятодзших случаях, то часто в приложениях вместо (8) рассматривает процесс

-Vb, " ^V-jV^ О)

в котором положительные числа либо задаются априорно, ли-

бо для них указываются некоторые пределы, в которых эти числа могут меняться произвольно.'

Теорема 1.2. Пусть функционал И-правилен на шар о

llu^-uii t ч» и L - константа Липшица градиента vf( Ю па этом шаре. Пусть ц норма и и^ — и. ц

достаточно мала. Тогда градиентный процесс (9) сходится.

Приводятся глобальные аналоги теорем I.I и 1.2 и указываются приложения к задачам оптимального управления, "к задачам классического вариационного исчисления и механики.-

- 27 -

Во втором параграфе четвертой главы изучается сходимость метода гармонического баланса в задаче об автоколебательных ре-, жимах систем автоматического регулирования.

Пусть динамика систем S автоматического регулирования описывается уравнением

где

. t e-i

Lcp) - р + чр + ... + ,

m-t

мср") - «ьр'Лр

1> т и многочлен 1->ср) не имеет корней на мпимой оси. Нелинейность £(х) предполагается непрерывной. Пусть система 5 имеет периодический релин х^с!) . в методе гармонического баланса приближения к отыскиваемому периодическому религгу сЬ ищутся в виде

0с(гс1) - + 2 \ $:пс1:"Г (ю)

Для определения неизвестных амплитуд , фаз ^ и час-

тоты оу составляется равенство

где £ - отрезок ряда Фурье функции .^(эс^сЬ) ,в

котором удержаны гартопики до порядка IV . Приравнивая амплитуды и фазы при одинаковых гармониках' в левой и правой частях по-

следнего равенства, получают систему уравнений гармонического баланса

(II)

(|с » ... ,

из % Ь уравнения о 2п. + 2- неизвестными. Для того, чтобы сделать задачу отыскания А. .... ш. и> и> из (II) определенной, присоединим к системе (II) вспомогательное уравнение

X + £ - у> (12)

где ^ - некоторый параметр.

В приложениях важно знать, какие "физические" свойства периодического решения обеспечивают возможность его приближенного построения методом гармонического баланса. Оказывается, если отыскиваемый периодический режим является автоколебанием, т.е. орбительно асимптотически устойчивым, то метод гармонического баланса реализуем (т.е.* система (II), (12) разрешима) и сходится к х сЬ Приведем формулировку соответствующего утверждения.

Обозначим через множество решений А ^^

ЧТ> ••■■> системы (II), (12), через

множество компонент со<ю отик решений, через - мно-

жество тригонометрических многочленов, построенных по решениям Ао , Лц. ; ¥ 4. > Ти. / ш Д С помощью формулы (10).

Теорема 2.1. Пусть система $ имеет отличный от состояния равновесия Т -периодический автоколебательный режим * •

ОС

L - 29 -

• Пусть Ося 101 = ju , осдО. Тогда при

достаточно больших tv множества решений систем (II),

(12) непусты и имеет место сходимость

lim «^f « " 'tf^» =0

^che-yin) С Л^)

Доказательство теоремы 2.1 базируется на лемме родственности, устанавливающей овязь между топологическими характеристиками периодических движений изучаемых систем в пространстве состояний о топологическими характеристиками неподвижных точек интегральных операторов, возникающих в задаче о периодических колебаниях в системах автоматического регулирования.

В третьем параграфе изучается сходимость метода механических квадратур в задаче о вынужденных колебаниях в одноконтурной системе автоматического регулирования, динамика которой описывается уравнением

. j срос - Mcj>)|(t, х) ср -

(13)

Нелинейность -f ft,*) предполагается непрерывной и f -периодической по t

Перейдем от уравнения (13) к эквивалентной системе первого порядка, рассматриваемой в пространству состояний:

i - Аъ + yftt.t^c» С^^зсR.S.

Задача отыскания Т-периодических решений в системе S экви-

валентна отыскании решений интегро-функцаонаиыюго уравнения *

¿¿)-г<.Т) + ^ с кию ■+ (2«),С)))Л*, Ш) о

Рассмотрим на отрезке сОДз сходящийся квадратурный процесс

т г\-

^ адси - £ + (15)

о . 1 = 1 ■

Квадратурный процесс (15) применяется для приближенного вычисления интегралов с переменным верхним пределом к •: IV

(0<кбТ). (16)

О

Предполоким, что уравнение (14) имеет рошение г, (Ь .

я- ^ (

Обозначим через • приближенные значения решения

в узлах б.'п, . Заменив интегралы в уравнении (14) их нраближе-

ге)

систему уравнений

иными значениями по формуле (16), получим для определения £ ^

^+ 2 ^(17) 1

. (¿= и- )-

Теорема 3.2. Пусть вшолнено условно

1т, ^ Г =0

и топологический индекс ¿п<1(2ч _,ф) особой точки - сЪ поля

отличен от нуля.' Тогда при достаточно больших ^ множества Жц, решений уравнений (17) непусты и имеет место сходимость

и. ьир таос I -

В четвертом, последнем параграфе диссертации, обсуадаются вопросы приближенного построения колебательных режимов в многоконтурных системах автоматического регулирования, динамита которых описывается дифференциальными уравнениями

Л

о

С]« I, "О.

- 32 -

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан деформационный метод исследования широких классов оптимизационных задач. Указаны приложения 5/гого метода к различным задачам оптимального управления, анализа» вариационного исчисления.

2. Установлена связь теорем с разрешимости краевих задач для уравнений Эйлера с теорег.!ами о мишшуме интегральных функционалов.'

3. Введены и изучены топологические характеристики Ежстрэ-малей оатшзадиошшх задач. Найдены приложения топологических характеристик к обосновании новых необходимее к достаточных условий оптимальности, 1: проблеме обоснования сходимости разлач-ншс численных процедур пряблкаснного построения акстрсмалей оптимизационных задач, к оценкам числа рошоиай :з'одлч ттстгшчсо~ кой физики.

4. Изучены условия корректности вариавдошшх задач математической физики.1 Решена проблема Улама об устойчивости ¡экстремалей регулярных одномерных вариационных задач ко отношению к малым возмущениям интегралтоЕ.'

5. Установлена сходимость градиентных методов в задачах бесконечномерной оптимизации в.условиях, когда отсутствует информация о структуре изучаемого функционала в окрестности отыскиваемой минимали.

6. Установлена связь между устойчивостью колебательных режимов в системах автоматического регулирования со сходимость*

: - зз" -

различных численных процедур их приближенного построения. В частности, доказала сходимость метола гармонического баланса в задаче приближенного построения автоколебатольюпс режимов систем авто,гат;*лесг.ого регулирования.

/

- 34 -

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бобылев H.A. К теории фактор-методов приближенного решения нелинейных задач.' - Докл.- АН СССР,. 1971, ч'г 199, Я I, с.' 9-12.

2. Бобылев H.A. Метод механических квадратур в задаче о периодических решениях. - Успехи матем.- наук, 1972, т. ХХУП, вып. 4 (166), с. 203 - 204.

3. Бобылев H Д.' О двухточечной краевой задаче." - Ди$ф.' уравнения, 1975, т. II, * 12, с.' 2121 - 2133.'

4. Бобылев H.A.' Априорные оценки решений двухточечной краевой задачи. - Дифф. уравнения, 1977, т.- ХШ, й 3, с.' 398 - 405."

5. Бобылев H.A. О необходимом условии экстремума функционалов вариационного исчисления. - Автомат; и телемехан.', 1976,

U 2, с. 186 - 187.

6. Бобылев H.A.j Об аппроксимативном методе введения вращения для некоторых классов непрерывных векторных полей. - В сб.': Качественные и приближенные методы исследования операторнт уравнений, иэд-во Ярое лавок.- гос.- ун-та, Ярославль, 1977, с. 25 - 31.

7. Бобылев HJW 0 функциях Ляпунова и задачах на глобальный экстремум. - Автомат.- и телемехан.', 1979,. Ji II, с." 5 - 9.

8. Бобылев HJL Об одном приеме исследования устойчивости градиентных система - Автомат.« и телемехан.^, 1980, Ji 8,

с. 33 - 35.

9. Бобылев H.A. Регулярные и критические точки непрерывных функций.1 - В сб.: Качественные и приближенные методы исследО' вания операторных уравнений, иэд-во Яроелавок, гос.1 ун-та,

- 35 -

Ярославль, 1980, с. 30 - 42.

:0. Бобылев H.A. Об одной проблеме Улама. - Докл* АН СССР, 1980, Т. 255, Л 6, с. 1292 - 1295.

:i. Бобылев H.A. О деформационном методе исследования функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы. - Автомат, и телемехан.1, 1981, е.- II - 18.-

!2. Бобылев H.A. О глобальном экстремуме функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы. - В сб.: Ди-наклка неоднородных систем. М., изд-во ВНШСИ, 1983, с. 21 -26.

:3. Бобылев ЕЛ. К проблеме Улама об устойчивости экстремалей функционалов вариационного исчисления. - Успехи матем. наук, т. 38, вып. 5 (233), 1983, с. 159.

!4. Бобылев H.A. О деформации фушецяоналов, имеющих единственную критическую точку. - Матем. заметки, 1983, т. 34, вып. 3, с.' 387 - 398.

:5. Бобылев H.A. Разрешимость потенциальных задач и теоремы о минимуме интегральных функционалов.1 - В кн. Методы решения нелинейных уравнений и задачи оптимизации; Доклады и сообщения Ш Симпозиума, Таллин, изд-во "Валгус", 1984, с. 115 -116.

.6.'Бобылев H.A. Разрешимость краевых задач и признаки минимума интегральных функционалов. - Укр.' матем. яурн., 1985, т. 37, Я 4, с. 418 - 424.

!7. Бобылев H.A. Об устойчивости- классических решений вариационных задач математической физики. - Сиб. матем.' яурн., 1985, т.- ШТ, Я 4, о. II - 21.

;8. Бобылев H.A. О топологических характеристиках оптимальных управлений.; - Автомат.' и телемехан., 1985, Л 7, с. 64 - 72.

19. Бобылев H.A. О градиентном методе в задачах бесконечномерной оптимизации. - Автомат.и телемехан., 1985, К 12,

с. 34 - 42.»

20. Бобылев H.A.1 О связи признаков разрешимости краевых задач с теоремами и минимуме интегральных функционалов. - Успехи матем." наук, 1985, т.' 40, вып. 5, (245), с. 214.

21. Бобылев H.A.- Топологический индекс экстремалей оптимизационных задач.- - В кн.: Математическая теория систем. Мл Наука, 1986.^

22.' Бобылев ЕЛ. О топологическом индексе экстремалей многомерных вариационных задач.' - Функц.' анализ и его приложения, 1986, т.- 20, вып. 2, с.1 8 - 13.

23. Бобылев H.A. Об одной характеристике экстремалей вариацион ных задач. -Докл.' АН СССР, 1987, т. 292, X 3, с. 521 -524.

24. Бобылев H.A., Краснооельский ПЛ. Деформация систем в асим птотически устойчивые. - Автомат, и телемехан.", 1974, Л 7, с.-5 — 8.

25. Бобылев H.A., Красносельский М.А. 0 приближенном построени автоколебаний в системах автоматического регулирования.

- Докл. АН СССР, 1983, т. 272, * 2, с. 267 - 271.

26. Бобылев H.A., Красносельский М.А. 0 методе гармонического баланса в задаче об автоколебаниях. - Автомат.- и телемехан 1984, Ä 9, с. 44 - 51.

Сдано в набор 12.04.88 Подписано в печать 05.04,88 А-02719

Формат 60x90 1/16 Печать офсетная Бум.офс.

Усл.печ.л. 2,25 Усл.кр.-отт. 2,31 Уч.-иэа.л. 1,46 Тир, 100 экэ, Зак. 3272

Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ 140010, Люберцы 10, Московской обл., Октябрьский проспект, 403