Геометрические методы в экстремальных задачах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МШНИКЙ УРАЛЬСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РАН

На правах рукописи УЖ 517.27

'' 1 I ' ;, (

? П ¡

СШИТА ВАЛЕНТИН ИВАНОВИЧ ' '

ГЕС«2ТгаЧ2СК22 Ю2ТОДИ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

Специальность 01.01.01. - катематический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации аа солскгпиэ ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург 2000 СкъиК^

Работа выполнена в Конструкторском бюро " Аметист" Российского Агентства по судостроению

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Иванов, доктор физико-математических наук, профессор Е.М.Семенов, доктор физико-математических наук, профессор В.Ы.Тихомиров.

Ведущая организация:

Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН..

Защита состоится "21 * декабря 2000 г. в (О часов на заседании диссертационного совета Д 002.07.02 при Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620219, Екатеринбург ГСП-384, ул. С.Ковалевской, д.16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УРО РАН.

МС1.8Ч03

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы Актуальность темы

Широкое распространение методов оптимизации в различных областях естествознания и внутреннее развитие этой теории привело к появлению огромного количества работ по этой тематике. Некоторые разделы теории оптимизации (например, линейное, квадратичное и выпуклое программирование, теория необходимых условий оптимальности) приобрели устойчивый евд. Другие разделы .например, теория достаточных условий оптимальности, находятся в состоянии развития. Имеющиеся здесь методы обычно исследуют специальные классы оптимизационных задач и носят частный характер.

В работах Н.А.Бобылева и др. [1-8] разработан деформационный принцип минимума для анализа широких классов оптимизационных задач. Он состоит в том, что если в процессе специальной, невырозденной деформации оптимизационной задачи ее экстремаль остается равномерно изолированной, то она сохраняет свойство быть точкой минимума. Этот деформационный метод не связан с повышенной гладкостью функционалов и эффективен в вырожденных ситуациях. Важную роль в понятии невырожденной деформации экстремальной задачи играет свойство (Б) нелинейных операторов, введеное Браудером С9] и независимо от него И.В.Скрыпником [10] в связи с проблемами разрешимости краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений и в связи с вопросами сходимости метода Галеркина. Близкие к обладающим (Б)-свойстеом классы операторов (усиленно замкнутые операторы) рассматривались С.И.Похожаевым и Брезисом . Деформационный принцип был развит Н.А.Бобылевым для безусловной минимизации гладких функционалов в гильбертовом и рефлексивном сепарабельном банахо-

вом пространстве, а также для-гладких и негладких конечномерных задач на безусловный и условный минимум. Он оказался эффективен и привел к ноеым результатам в задачах оптимального управления, математического программирования, вариационного исчисления, математического анализа, теории устойчивости, математической физики.

Поэтому актуальными являются вопроси распространения деформационного принципа минимума на более широкие классы оптимизационных задач.

В первой главе диссертации деформационный принцип минимума обобщен на гладкие и негладкие бесконечномерные экстремальные задачи с ограничениями, а такхе на многокритериальные задачи.

Во Еторой главе диссертации предложены многомерные аналоги неравенств A.A. и В.А.Марковых и С.Н.Бернштейна для производных от алгебраических полиномов n-ой степени на Еыпуклых телах. В последние десятилетия различным обобщениям неравенств Марковых и Бернштейна посвящено большое количество работ (см. обзорные работы С.А.Теляковского [111 и А.В.АндрианоЕа [12]). Некоторые исторические ссылки будут приведены при изложении содержания работы.

Полученные во Еторой главе неравенства, как и их одномерные классические аналоги применимы в конструктивной теории функции, теории приближений, численных методах решения нелинейных уравнений и т.д. Цель работы

1. Распространить деформационный принцип минимума на гладкие и негладкие бесконечномерные оптимизационные задачи, а также на многокритериальные задачи.

2. Получить аналоги неравенств A.A. и В.А.Марковых и С.Н. Бернштейна для алгебраических полиномов на выпуклых и централь-

но-симметрично выпуклых телах. Метода исследования

В работе используются методы нелинейного функционального анализа, вариационного исчисления, теории чебышевских приближений. Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми. Практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут применятся в анализе, теории приближений, численных методах. Апробация

Результаты работы докладывались на П-ой международной конференции по теории чисел (Воронеж, 1995) и на заседаниях семинаров под руководством С.В.Конягина и И.Г.Царькова (МГУ, 1995-1999г.), Л.Д.Кудрявцева и С.М.Никольского (МИАН, 1996г.), С.А.Теляковс-кого (МИАН, 1997), Б.С.Кашина и С.В.Конягина (МИАН, 1997,1999г.), С.М.Воронина (МИАН, 1993-1997ГГ .), П.Л.Ульянова и М.И.Дьяченко (МГУ, 1999), В.М.Тихомирова (МГУ, 2000), П.Л.Ульянова и Б.С.Кашина (МГУ, 2000), мездународаой конференции по теории приближений (Екатеринбург, 2000). Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах. Все работы выполнены без соавторов. Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы, общее число которых 16. Объем работы - 225 страниц машинописного текста. Список литературы - 163 наименования. Содержание работы

Во введении дается обзор литературных источников и описание

основных результатов. В первой главе диссертации развивается гомотопический (деформационный) подход к исследованиям бесконечномерных оптимимизационных задач. В первом параграфе первой главы исследуются деформации гладких оптимизационных задач с ограничениями типа неравенств. Определение невырожденной деформации оптимизационной задачи зависит от гладкости исследуемых функционалов и типов ограничений. Чтобы минимизировать повторения, приведем одно из самых общих ее определений,

Пусть Е - вещественное банахово пространство с нормой ||-||, i(х)-локально Липшицев функционал, определенный на Е, д!(х)~ градиент Кларка функционала f(x).Пусть B(R)={xeE:||x||<R>-fflap в : Будем говорить, что функционал i удовлетворяет условию (ПС) Пале и Смейла на B(R), если для каждого замкнутого множества

DcB(R) справедливо следующее свойство: если Ogdf(x) для каждого xeD, то

inr ||у||Е* > 0.

ye<?f(z),xeD

Класс функционалов, удовлетворяющих условию (ПС), достаточно широк. Например, ему принадлежат функционалы, определенные на рефлексивном банаховом пространстве и удовлетворяющие (Б)-условию: если хп слабо сходится к хо и

lira ini < У,хп-хо > ^ О,

"-«оо yedi (х ) n "'

П

то xn сильно сходится к xQ. Такие функционалы называются Е-

правильными. Однопараметрическое семейство задач

Г(х;Я)-ш1п, (1)

ф(х;АК0, (2)

ХеС(А.), (ХеЕ, Xcto.1 ]) (3)

назовем невырожденной деформацией задачи

Г(х;0)-т1п, (4)

ф(х;0К0, (5)

хес(О), (6) в задачу

Г (х; 1 )-»т1п, (7)

ф(х;1)С>, (8)

ХеС(1), (9)

если:

A) при каждом А«[0,1] С(Л,) - замкнутое выпуклое множество;

B) функционалы Г (х;А.) ,ф(х;А.) и си^Лх) (<!.-, (х)=1пГ ||х-с||)

(Л/Ч о сес

по К равномерно непрерывны относительно х из каждого шара В(г)сЕ , а функционалы Г(х;А.) и ф(х;А) липшицевы по х на каждом шаре В(г)сЕ при каждом А«[0,1];

C) многозначные отображения <?хГ(х;А.) <Эхф(х;А.) ,дхс1сщ (х):

ЕхШ,П-Е* полунепрерывны сверху по X равномерно относительно х на каждом шаре В(г)сЕ;

В) задача (1 )-(3) имеет экстремаль х„(А) (Л<=[0,1]), непрерывно зависящую от Я, т.е. точку х. (А.)еЦ(Х)=С(Я)п^х:ф(х(А,)<0}, для которой

О е 7аГ(х.(\);^)+(1аф(х.(Л.);Л.)+аас1с(Л)(х.(А);\), цф(х„(М=0,

где 7,(1,а некоторые числа, такие, что 7,р.,аг0 и 7+|1>0',

Е) существует Б>0 такое, что при каждом ЛеШ.1] и

В(х. С\.),ЮпБ(Х.)\(х.(\)}

О еЗГ(х;А,)+|Абф(х;А.)+окЭс1с^^ (х), где (1ф(х;А,)=0; (ог0,а>0;

Р) для каждого А^СО.1] и в каждой точке х, для которых Ф',х;Л.)=0, функционал ф(х;А.) регулярен;

С) при каждом \еЮ,1], и ц.сеО функционал Г(хД)+м4>* (хДНа<1с(Х) (х)

удовлетворяет условию (ПС) на каждом ограниченном множестве вЕ ,ф*(хД)=тах(0,ф(хД)).

Если ограничений типа (2) несколько, то, соответственно, все они присутствуют в формулировках. Для лишшцевих функционалов несколько ограничений типа (2) мокно заменить одним ф(х)=тах.(|>. (х)<0.

Приведем формулировку результата первого параграфа.

Пусть Н - вещественное гильбертово пространство. Рассмотрим зависящие от параметра к дифференцируемые функционалы Г(ХД), ^(ХД) (0<\<1, 1=Т7П),(ХеН).

Назовем однопараметрическое семейство задач:

невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении к от 0 до 1, если выполнены услоеия В)-Е) и при каждом Л^СО,1] градиенты 7хГ(хД) ,7^ (хД) удовлетворяют условию Липшица на

каждом шаре В(х,г)сН, функционал КхД) Н-правилен и либо множество Вд={ХеН:^(х,Л.)<0, 1=ТТП} выпукло, либо все ^(хД)

Н-правильны.

Теорема 1.1. Пусть семейство задач (10)-(11) является невырс денной деформацией соответствующих задач при изменении к от О до 1. Пусть на экстремали х.(к) градиенты (х.{к)Д) 1=Т7Б

линейно независимы. Пусть при Х.=0 экстремаль х„(0) является

точкой локального минимума задачи (10)-(11). Тогда экстремаль

Г (хД)-т1л,

^(хД)<0 (1=Т7П),Я€[0,П

(10) (11)

х, (1) является точкой локального минимума задачи (10)-(11) при Л.=1.

Во втором параграфе первой главы развивается деформационный подход к исследованию гладких оптимизационных задач с ограничениями типа равенств.

Пусть Н - вещественное гильбертово пространство. Рассмотрим зависящие от параметра А. дифференцируемые функционалы 1(хД), g(x,\) (0<\<\, хсН). Назовем однопараметрическое семейство задач:

i (хД)-га1п, (12)

g(x,M=0 AetO.1 ] (13)

невыроаденной деформацией соответствующих задач при изменении X от 0 до 1, если выполнены условия В)-Е), при каждом Л«[0,1 ] градиенты vxf(хД) ,vxg(x,X.) удовлетворяют условию Липшица на

кавдом шаре В(х,г)сН, Vxg(x.(А.)Д)*0 и существует такое го>0,

что для а, удовлетворящего неравенствам Inf ф(хД) < а < sup ф(хД),

где ф(хД)=(7хГ(хД), vxg(x,A.))/||vxg(x,M||2, D(ro,\)={x:g(xД)=0,

||х-хж(А)||<го}, функционал i(x,A.)-ag(x,A.) Н-правилен на шаре

В(х„(М,го), А^О.П.

Теорема 2.1. Пусть семейство задач (12)-(13) является невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении К от О до 1. Пусть при А.=0 экстремаль х.(0) является точкой локального

минимума задачи (12)-(13). Тогда экстремаль х.(1) является точкой локального минимума задачи (12)-(13) при Л.=1 . В третьем параграфе деформационный принцип минимума доказыва-

ется для негладких ( лшшшцевых) оптимизационных задач в банаховом пространстве. Пусть Е - вещественное банахово пространство. Теорема 3.1. Пусть Г(х;А,) - невырожденная деформация функционала f(x;0) в функционал f(x;1), удовлетворяющая условиям A)-G; Пусть экстремаль хж(0) реализует локальный минимум функционала

Г(х;0). Тогда экстремаль хж(1) реализует локальный минимум

функционала Г(х;1).

В четвертом параграфе исследуются деформации негладких задач математического программирования. В теоремах 4.1 и 4.2 устанавливается следующий результат.

Пусть однопараметрическое семейство задач (1)-(3) удовлетворяет условиям невырожденной деформации A)-G). Пусть при каждом Ие10,1] и a z 0 для функционалов ф(х;А.) и dc^(x) выполнено

условие регулярности

О г аф(х,(Л)Д)+оас1с(А_)(х.(Л)).

Пусть экстремаль х. (0) является точкой локального минимума задачи (4)—(6). Тогда экстремаль хж(1) является точкой локального минимума задачи (7)-(9).

В пятом параграфе первой главы устанавливается гомотопическая инвариантность слабого минимума простейщей задачи вариационного исчисления. Рассмотрим пространство С* непрерывно дифференцируемых на

[0,1] функций x(t), удовлетворяющих условию х(0)=х(1)=0, с нормой ||х|| = max|x' (t)| (0<t<1). Рассмотрим на С* семейство

оптимизационных задач

fo(z;A.) = f Lo (t,x,x' ;A)cLt min (0<Л.<1), (14)

о

Г. (x;\) = [\ (t,x,x';A.)dt < 0 (1=TTH). (15)

Пусть лагранжианы (t,x,y;A.) трижды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных и их производные по этим переменным непрерывно зависят от К.

Пусть при А^СО, 1 ] градиенты 7xi (0;Л.) (leJ(0,A.)=U:3>0,

Г.(0;Л,)=0>) линейно независимы.

Теорема 5.1. Пусть при каждом X е СО,13 функция x(t) = 0 является единственной в шаре ||х|| < 1 пространства С* экстремалью задачи (14)—(15). Пусть для Lt выполнены усиленные условия Лезкандра L"yy(t,0,0;A.) > ао > 0 (0<t<1, 1=Ü7N). Пусть, наконец, при А, = 0 экстремаль x(t) = 0 реализует локальный минимум в С* задачи (14)-(15). Тогда эта экстремаль реализует локальный минимум в С* задачи (14)-(15) при А. = 1.

В шестом параграфе рассматривается вопрос применения деформационного принципа минимума к задаче оптимального управления движением.

В седьмом параграфе первой главы деформационный принцип минимума обобщается для многокритериальных оптимизационных задач в банаховом пространстве. При этом число критериев может быть бесконечно.

Пусть X и Y вещественные банаховы пространства. Пусть Y сепа-рабельное или рефлексивное пространство. Пусть задано отображение F(x):X-»Y, имеющее строгую производную DsF(x) в каждой точке х€Х. Пусть на Y задан конус К , определяющий частичную

упорядоченность на Y: для u.vcY u < v , если v-u^K, и u<v, если u<v и u*v. Будем называть точку х„€Х локально К-оптималь-

ной точкой отображения F(x), если существует окрестность V точки все точки которой не удовлетворяют неравенству F(x)<F(xt).

Задачи нахождения локального К-оптимума отображения F(x) Суде обозначать F(x)-,K-opt.

Рассмотрим множества K*=(peY*:p(u)>0 VUeK), ЧМреК*:||р||у«=1} Точку , для которой удовлетворяется включение О е co(5=l.l.m(DsF(x,))*pi:pi€p),

i -too

будем называть критической точкой отображения F(x). Пусть B(R)=(XeX: M<R>-

Однопараметрическое семейство отображений F(x;A.):X-Y и сев

мейсгво конусов K(A)cY (0<A.ct ) назовем В(И)-невырожденной деформацией отображения Р(х;0) и конуса К(0) в отображение F(x;1) и конус К(1), если:

1 ) отображение F(x;A.) строго дифференцируемо по х на B(R)= B(R) при любом XetO,П и по Я равномерно непрерывно ото-

о

сительно х€В (R )cB(R);

2) отображение DsF(x;\):B(R)x[0,1 ]-J?(X,Y) равномерно ограни-

о

чено по норме при каждом Л^[0,1] относительно xeB(Ri)cB(R)

о

и по Я. равномерно непрерывно относительно XeB(Rt)CB(R);

3) многозначное отображение Л.~К(А)пВу полунепрерывно сверху;

4) многозначное отображение А.->К(Л)пВу усиленно полунепрерывно снизу, а именно для каждого X. «[0,11 и s>0 найдется окрест-

ность N(A,q)сСО, 1 ] точки Хо такая, что для точек A€N(A.o) выполняется соотношение (и+еВу)пК(Л,)пВу^0, VUeK(A.0)nBy;

5) при каждом ЛеСО, 1 ] у отображения F(x;M при конусе К(М суще-

о

ествует критическая точка х^МеВ^ ), непрерывно зависящая от А.;

6) при каждом ЛеСО,1] функционал

f(x;A,)= sup{p(F(x;A.)-F (хж(А,) Д)) :реК*(М, ||р||у*=1)

удовлетворяет условию (ПС) на B(R) и на множестве

о

B(R)\Cx^(Л.)> не имеет критических точек.

9

Теорема 7.1. Пусть существует В(R)-невырожденная деформация отображения F(x;0) и конуса К(0) в отображение F(x;1) и конус К(1). Пусть х„(0) является точкой локального К-оптиму-

ма отображения F(x;0). Тогда х,(1) является точкой локального К-оптимума отображения F(x;1).

В восьмом параграфе исследуются многокритериальные задачи с ограничениями. Рассмотрим задачу К-оптимизации с ограничениями F(x)->K-opt, (16)

ф(хКО, (17)

хеС, (18)

где отображение F(x) описано в параграфе 7, ф(х) - Липшицев функционал на каждом шаре в X, С - замкнутое выпуклое множество. Пусть 0={х:ф(х)^0), D=Qp|C. Точку x.eD назовем экстремалью задачи (16)—(18), если

О е co(S=l.i.m(DsP(x„))*p.:p.6?))+jiSip(x.)-KJ0ac(x.), |1ф(х„)=0,

где ц,а ^ 0. Однопараметрическое семейство задач

F(x;M-K-opt, (K(A)cY), (19)

ХеС (X.),

(ХеХ, ЛеШ.П)

(20) (21 )

назовем невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении параметра Л. от 0 до 1, если:

а) отображения Г(хД) и конусы КД) удовлетворяют условиям 1 ) -4) параграфа 7 (при этом В(И)=Х);

б) множество С(А.) и функционалы ф(хД) и с^^Сх) удовлетворяют условиям А)-С) и Р);

в) задача (19)-(21) при каждом ^[0,11 имеет экстремаль х„Д). непрерывно зависящую от

г) существует И>0 такое, что при каждом Л«=[0,1 ] и

хе ви.дквдд) \ (х.(\)}

О «? аГ(х;\)+^1дф(хД)+0|Эс1с(^)(х), где Г(хД)=зир р(Р(х;Л)-Р(х.(А,);Л))(реК"(А.),||р((у« -1 ) , ц > 0, а > 0, цф(хД) = 0;

д) при ЛеСО, 1 ], и ц,а>0 функционал Г(хД)+|1ф*(хД)+ас1с(.^(х)

удовлетворяет условию (ПС) на каждом ограниченном множестве в X ,ф*(хД)=тах(0,ф(х Д)).

Теорема 8.1. Пусть существует невырожденная деформация (19)-(21)соответствующих задач при изменении \ от 0 до 1. Пусть при каждом \et0.i] и а ^ 0 для функционалов ф(хД) и йс^(х)

выполнено условие регулярности 0 <Эф(х. (А.) Д)+аМс^(х„ (Л.)).

Пусть точка х.(0) является точкой локального К-оптимума задачи

(19)-(21) при А.=0. Тогда точка х„ (1) является точкой локального

К-оптимума задачи (19)-(21) при А.=1. В девятом параграфе первой главы получены достаточные условия

для существования глобального многокритериального оптимума.

Локально Липшицев функционал ср(х) на банаховом пространстве X удовлетворяет слабому условию (ПС), если для любой последовательности хп, вди, в X, обладающей свойствами

|ф(хп) |<const, Ое0ф(хп) vn , lni ||у||х* - О,

уе<?Ф< *п>

существует точка хжеХ такая, что

lim ф(хп)«р(хж)^Пт ф(хп), 0е3ф(х.).

В теореме 9.1 доказывается обобщение результата Амброзетти и Рабиновича.

Теорема 9.1. Пусть X - банахово пространство и <р : Х-о? локально Липшицев функционал, удовлетворяющий на X слабому условию (ПС) и

Эа>0:т(а)=1п1{ф(х) : ||х||=а>>ф(0), 3Z€X:||z||>a и ф(г)<т(а). Тогда существует точка x„eX такая, что ф(х„)^т(а) и Ое<Эф(х„).

Теорема 9.2. Пусть выполнены условия теоремы 8.1 и следующие соотношения :

sup ||у||х* < со , Inf ||у||х* > О,

уедн* . * >,xgx4D<i> У€0ф;х,1>,хес(1>чо<1>

для каждого хе D(1 )\{хж(1)}

О «г öf(x;1 )+(к9ф(х;1 )+аЭйс(1 ^(х), где ц^О, а>0, цф(х;1)=0.

Пусть для достаточно больших р. и а функционал i(x;1 )+цф+(х;1 )+adG(1 }(х)

удовлетворяет слабому условию (ПС). Тогда точка х,(1) реализует глобальный K-оптимум задачи

F(x;1 ЬК-opt, (K(DcY), ф(х;1К0, ХеС(1).

Пусть ф(х;А)=ф(х), С(М=С (ХеСО.П), функционал Г(х;1) тот

f

же, что и в теореме 8.1, а Г(х;0) - некоторый липшицевый на каждом шаре функционал.

Теорема 9.3. Пусть X - рефлексивное пространство и функционалы f(x;0), Г(х;1), ф(х) слабо полунепрерывны снизу. Пусть выполнены следующие условия: а) семейство оптимизационных задач

g(x;A,)=(l-Ä.)i(x;0)+\f(x;l)-» min, ф(х)<0, хеС не имеет экстремалей в X отличных от нуля при ActO.U; Ö) обобщенные градиенты <Эф(х) и <3dc(x) удовлетворяют условию

регулярности при ххО О е |г0ф(х)+аМс(х), ц,а>0;

в) функционал Г(х;0) является растущим на допустимом множестве D=CnQ

lim f(x;0)=a>.

*€D-i*ll-»CO

Тогда точка 0 реализует глобальный K-оптимум задачи

F(x;1 )->K-opt, K(1 )cY, ф(х;1)^0, ХеС. Все приведенные теоремы § 7 - § 9 распространяются на случай, когда Y конечномерно, а компоненты вектора F(x)=(rt(x),...,fn(j

являются локально Липшицевыми функционалами. Перейдем к описанию результатов второй главы. Начало исследованиям производной полинома на отрезке положил А.А.Марков, который в 1889 году доказал, что если полином степени п удовлетворяет неравенству

то

IP'(х)|<Т'(1)=п2, Т (x)=cos(narccosx). (23)

' п 1 п г»

Равенства в (23) достигается только для полиномов Р (х)=сТ (х), |с|=1 в точках х=+1.

П п • •

В.А.Марков в 1892 году обобщил теорему А.А.Маркова на случай

производной порядка к, 1<ксп и доказал, что при условии (22)

выполняется неравенство

<к> <к» п2(пг-1 )...(п2-(к-1)2)

|Р (x) I < Т к (1 )= -, xet-1.11, (24)

(2к-1)!!

причем равенство в (24) достигается только для полиномов Рп(х)=сТп(х) (|с|=1) в точках х=+1.

С.Н.Бернштейн получил, при условии (22), оценку

(к> к1сХ2п(п-1)... (п-к+1 )

|РДк,(х)| <-——- = (х). х€(-1,1) (25)

(1-х2 ,к

и показал , что для фиксированных к и х справедливо равенство Ига ВД(х) вир |Р^'(х)| = к~к/2, хе(-1,1), к=ТТп. (26)

""Л ' "\Л-1д, 51

При к=1 оценка (25) получена А.А.Марковым . А.Шеффер и Р.Даф-фин [13] установили, что из (22) следует более сильная, чем (25), оценка

г Мпк(х) = |Т^>(х)+15^> (х)|, |х|<?;к> |Р^к,(х)К к(хЫ ' (27)

1|Т£к,(х)|, |х|>с;к>,

где Б (х)=з1п(пагссозх)=п"1(1-х2)1''2Т'(х), ^""-максимальный

п п 1

ноль функции на интервале (-1,1), 12=-1. Функция ^к(х)

возрастает на [О,со). Оценка (27) точна в п-к+1 нулях функции Б^к>(х) и при |х|>^к>.

Приведем определения и обозначения, принятые во второй главе. Пусть X и У - банаховы пространства над к. Через рп(Х,У)

обозначим пространство всех полиномов степени не выше п, отображающих X в У, т.е. множество всех отображений вида Рп(х)=^=ои(х,...,х) (хеХ),

где iL: XJ -t Y - d-линейное непрерывное отображение. В дальнейшем ||Р^к> WHjjic^ V) - норма оператора к-й производной по Фреше полинома Рп в точке х в пространстве J?k (X,Y) всех ограниченных к-линейных операторов из Хк в Y. Если Y=k, то для обозначения производной будем применять знак v . Значение к-линейно-< к >

го отображения Рп (х) на векторах (t^ ,. ...h^) будем обозначать

как P^k> (x)[h1,...,hk]. Если h^.-.^h, то P^'UH^.....1^]=

=Р^к> (x)[he,he+1,...,hk]. Ниже множество V - всегда выпуклое огр

ниченное замкнутое тело в банаховом пространтве X. Множество все таких тел обозначим через W. Тело К всегда принадлежит W и симметрично относительно 9Х- нуля пространства X. В - шар единично1

радиуса с центром в нуле. Положим IIP^Il^supIlP^i^DlI^.HP^^» У^згарЦРД''1 (D||^<xv>,

xgV xgV

о

9V- граница тела V, V=V\9Y. Мы будем использовать следующие

»

характеристики тела V: пусть xQeV, тогда р(х,х0)- значение функционала Минковского на векторе х-хо относительно тела V-xo; rb(x0)=maxit: [x0-th,x0+th]cV,||h||=1}, r(x0)=sup(r: B(x0,r)cV}, r(V)=sup r(xo). Если V=K, то положим p(x,9x)=p(x),rh(9x)=rh.

Xo€V

Пусть hcX, и ||h||=1. Обозначим через V(h) множество V(h)=(tyt.yxl: yt .y2eV и 3 сек: yt-y2=ch},

а через шу(h) и uv - ширину тела V по направлению h и ширину

тела V, где uv(h) = sup ИУ,^ || , % = Inf cov(h)

Пусть Bn(V)={Pne?)n(X,R): |(Pn||v<1}.

В диссертации рассматриваются, в основном, следующие задачи: Задачи С.Н.Бернштейна получения оценок функций

sup = <р (n,k,x,V), XeV; (28)

р ев <v>

п г»

sup P^'WII^r, = <p(n.k,x,e,V), XeV; (29)

Р <V >

п п

р <х>=8

п

Задача В.А.Маркова получения оценки функции

sup ||P^k,||v = F(n,k,V). (30)

р ев <v > n

Обобщение неравенства Маркова для произвольного выпуклого компактного тела в Ет впервые исследовалось в [14](C.Coatmelec), где установлена оценка F(n,1,V)<C(uv)nz. D.R.ffllhelmsen [15] доказал оценки 2/cov <G(CJV)<4/CJV и выдвинул гипотезу, что для произвольного выпуклого компактного тела V, С(o)v)=2/сjv .

В [16] приведены два контрпримера несимметричных выпуклых компактных тел в (Е2, для которых F(n,1 ,V)>2n2/(Jv. A.B. Андрианов доказал следующую оценку для Pne 4Pn(X,Y) и VeW

\\кк s (4n2/r(V))HPniiv. В работе [34] автором доказаны равенства: для Pne Pn(X,Y),

sup ||P;||V0)V = 2nctgCrc/(4n)), (31)

vew. I|pnllv<i

для pne pn(x,r),

sup <p(n,1 ,x,e,V)cjv = Cn(e), (32)

VgW,xgV

sup |vPn(x)th]|uv(h)=Cn(e), (33)

VgW, xeV>bg^B ,P £B <V> ,P <x>=8 n Г» n

где Сл(e)=n(1-e2J1'2(ctg(a(e)/(2n))+ctg(a(-e)/(2n))}, a(e)=arccos e.eeC-1,1], Cn(e) при n>2 убыващая функция на [0,1], Ct(e)=2.

В (33) для любого и е существуют VcX,xeV,he9B и полином Рг

на которых supremum достигается. В (31-32) supremum достигается для некоторых X, например 14 и 1 . Равенство (31) для

Pne pn(Em,R) анонсировано Ю.Н.Субботиным и Ю.С.Васильевым [17]

независимо и одновременно с работой [34]. Недавно М.Вагап [18] для тела КсЕт и Рпе Вп(К) получил следующее неравенство

|vPn(x)th]| < nminí((1 -Р2(х))/(1 -р2(х)))4'2,n>/rh, XeK,||h||=1. (S

Для шара В из любого банахова пространства X этот результат ранее доказал Y.Sarantopoulos [19]. В 1927 году O.D.Kellogg [20 доказал для BdE™ неравенство (34) без множителя (1-Р2(х) )1/2,

хотя наличие этого множителя легко вытекает из двух лемм [20]. Автор в [35], еще не зная работ [18] и [19], доказал для тела К из любого банахова пространства X более сильное, чем (34), неравенство и применил свой метод для получения оценок старших производных полиномов для тел К и V. L.A.Harris [21] получил оценку для шара В из любого банахова пространства X и Рп«фп(Х,}

Цр*"1 (z)CHk]H < ¿zk_1T^> (1)flPJB, ХеВ, k=TjI.

Все результаты формулируются для Y=R, но, как показывает лет 1.1 второй главы, оценки вида

ir;1" COilr^.», s С(х,пД) (35)

для Рп€Вп(У) переносятся без изменений на полиномы Рпе^)п(Х,У),

ЦРп||у<1. Оценки (35) для У=ж переносятся без изменений на случай

У=с известным приемом С.Н.Бернштейна .

В первом параграфе второй главы получены оценки первых производных полиномов на выпуклых телах. Пусть 0п£рШ- полином, имеющий минимальную производную в

точке ре [0,1] среди всех полиномов Золотарева (0п(1;)} для

отрезка [0,1] таких, что ||0До 41=1 и Оп(р)=е.

В лемме 1.2 показывается, что полином 0 ..(Ц является

решением следующей задачи для Рп(г)е?)п(к,к) , ге[0,1]

р;(1Ып1п , Рп(х)=£ , |РпШ|аод, <1.

Имеют место равенства

С) ш = -Т((2^у-1)/(1+у)).

п,Ь,4 п

а;,£1(1 )=-(1-е2)1^псг8(а(-8)/(2п))>

где у=1^2(а(-е)/(2п)), а(е)=агссоз(е), ее[-1,1].

В оценках производных полиномов на выпуклых телах вакную роль играет функция Сп(е)=|0^&1(1 )|. В лемме 1.3 по-

казывается, что функция Сп(е) является четной и убывающей на отрезке [0,1] при п>2 и С (е)=2.

Пусть X - банахово пространство, хеУсИУ, ЬеХ, ] =1. Введем следующие определения: пусть ее!-1.11, [у1,у2]еУ(1г) ,

[у^ИсШ^.и.,], и^евУ, 1|Х-и11|/|и11-и. 2|=р. (х,у. )=р. , |х-У1|/|и11-и1я|=ро1(х.у1)=ро1, (1.3=1.2)

bi(X,V,h,x,8,n)= lní ly^yj-max í|Q' d^IPo*-1-

t у , y i ev ( h > l в t , 2 ' I - » ' "i

12 =

+ lQn.e .p<P»)lP«> ■ Vt-1)'6 •

v r2

Пусть, X0eV , pl=(1+p(x,xo))/2 ,

b2(X,V,h,x,e,n)= lnf {|Q¿ qÍpJI + IQ^ _e «(Р^РР.Лгг^)).

X gv 'v"t-'1 ' " r4

о

®n(X,vfh,x,e)= sup |7Pn(x)[h]|.

P CS < V > n л

p ( x > =£ n

Теорема 1.1. Пусть X - банахово пространство, xeVeW , heX , |h|=1. Тогда выполнены неравенства ín(X,V,h,x,e) < bt(X,V,h,x,e,n)< Cn(e)/uv(h),

Fn(X,V,h,x)= sup |vPn (x) [til |<b2 (X,V,h,x,0,n)<Cn (0)/uv (h),

Р CB < V > n n

(tn(X,V)= sup |vPn(x)| .< Cn(0)/0)v .

r c> (V) x

n n

xgv

Теорема 1.2. Справедливы следующие утвервдения:

а) если Х=к2 с некоторой нормой, V - треугольник ABC, х=А, то выполнены равенства

On(X,V,h,x,e)=bi(X,V,h,x,£,n) для каждого h(|h|=1) и eet-1,13; ín(X,V,h,x,E)=Cn(e)/uv(li) для каздого Set-1,13 и h=(B-C)/||B-C||;

б) для любого банахова пространства X*R и чисел б€(0,1 ),£е[-1,13 существуют V6€W, xo€Vs,.h (||h||=1) Pn(x,6,e)€ Bn(VQ) такие, что

Pn(xo,S,e) = е,

Фп(Х,Уа,1г,х0,е)=|7Рп(х0,а,е)[Ш|=Сп(е)/иУб(Ь)>(1-«)Сг>(е)/и^;

в) существуют X, V€V?, heX, ||h||=1, xeV такие, что

Фп(Х,У,Ь,х,Е)=Сп(е)/ыу

ДЛЯ любого ЕеС-1,11.

В качестве примера для пункта в) можно рассмотреть Х=ж2 с нормой такой, что найдется треугольник V, в котором длина одной из стороон равна . Такими пространствами являются '

и г'/'.

Пусть Х,У - банаховы пространства, Вп(УД)={Рт1:Рп€?п(Х,У),|Рп|>/<1}.

Тогда из теоремы 1.1 и леммы 1.1 вытекают неравенства для ъеЧеФ и нормированного ЬеХ:

Рп(Х,7,Ь,х)= вир |Р;<х)[Ь]|$Ъа<Х,7,Ь,х,0,п)<Сп(0)/и,,(11).

р ев (V, V >

п п

Пункты б) и в) теоремы 1.2 также имеют место для произвольного У, если „функцию Фп заменить на Рп, а е на 0.

Пусть хеКсХ, Рпе Рп(Х,к), (Р^Ц^ 1. Рассмотрим функцию

сИх.Р^тШ ^(1-Р^(р-12.х))1^|Тп(р)/(р-21)|, х*9х, р(х)<р<1

<1<ех.рп) = п(1-р^(0х))^,

где г.- нули полинома Чебышева Т (г), г^С—1»13-

V л

Согласно работе [221, имеют место неравенства Л(х.Рп)= ^ ¿|Тп(р(х))/(р(х)-а1)| < п2.

Теорема 1.3. Пусть хеКсХ, Рпе фп(Х,к), РПЯК< 1, 1и=Х, ЦЬ|=1. Тогда справедливы неравенства

|7Рп(1)Ш|<г;1т1п{п((1-Р2(х))/(1-р2(х)))1/2,(1(х,Рп)}> (36) |7Рп(х)Цх* < п( (1-Р2 (х) )/(1 -р2 (х)) )1^2/г(К), ХеК\ЗК, (37) ||7РПВК < вир й(х,Рп)/г(К) < п2/г(К). (38)

В силу (23) имеет место неравенство

Ф„(К)= вир В7Рп(х)||х- > п2/г(К).

Р

т> п

Поэтому оценка (38) точная для любых КсХ и Фп(К)=п2/г(К).

Из (36) следует неравенство

эир |7Рп(х)[Ц]|гь <Нп>1(р(х)), р ев ««.Ьс^в

г»

где равенство достигается при х, для которых Тп(р(х))=0 или р(х)> соз(1с/(2п)).

t

Из оценки (36) вытекает равенство для хеК

вир |7Рп(х)Ш|гь = п((1-Т^(р(х)))/(1-р2(х)))1-'2. рп <«о,ьеЗв,

Р <х>= Т <Ох» П П —

Пусть Х0еУ, хое(х2,х1)> Х^еЭУ, Х-Х0=С(Х1-Х0), С>0, р(х,х0)=||х-х0Ц/||х1-х0||, Л(х,х0 )=т!п{ 1,||х2-х0| /-хс||>;

ДЛЯ ХеУ Т](Х>Х0)=р\(1-УЬ)/(?12+р2Г2), где р=р(х,хе), к=\(х,ъ0), Ь=(1-р2)"2, У=(1-А.2)1/2.

Теорема 1.4. Пусть х,хоеУ с X, Рпе Вп(У), и2п.||=1 _ Тогда справедливо неравенство

У2п

|7Р (х)Ш|< —---— .

гь (хо) ((1+т)(х,х0)) (1 -р2 (х,х0)) )"2

в

Из теорем 1.1 и 1.4 вытекает оценка для х,хоеУ с X, Рп<= Вп(У) 11*11=1

|7РП (X) [Ы.^пг;1 (Х0) (1 -р2 Г'^тШ (1+р) (1-Р2 (х) )1/2,У2), где р=р(х,хо).

Во втором параграфе второй главы получены обобщения одномерны неравенств С.Н.Бернштейна и В.С.Виденского [23], применяемых

для получения многомерных оценок старших производных полиномов. ^

Теорема 2.2. Пусть Н^^к.кЬС^еЧР^к.ог), все нули Ни Сп1

лежат на (-1,11 и взаимно разделены, Нп(1)>0, в (1)>0; ке^, СКк<п. Если для полинома Рп_ке!Рп_к выполнено неравенство

IРп_к(х)|<|Н^(х)+1((1-хг(х))""| ,хе(,'), 12=-1, то справедливы следующие неравенства:

<к+»>

|Р^(х)|<|Н; (х)+1((1-х2)1''2Сп_1(х)) | ,ХеС-1,1 ], 8=итп=к.

где минимальный ноль, + максимальный ноль функции

((1-х2)1/2ап.1(х))<к+"> на [-1,П.

Теорема 2.2 при к=0 и Нп(х)=Тп(х), (х)=Т^(х)/п доказана в

[13]. Теорема 2.2 при к=0 получена в [23]. Теорема 2.3. Пусть ^(х)=(1+х)1/2Кп(х), Гг(х)=(1-х),/гЬп(х),

где Ь ,К еЗ) (к,к), К (1 )>0, Ь (1 )>0, все нули функций

п п ' г» п п

Г1(х)=(1+х)1/гкп(х) и Гг(х)=(1+х),/2ьп(х) лежат на [-1,1] и

взаимно разделены. Пусть 0<к<п и для полинома Рп_кефп_к

выполнено неравенство

|рп.к(х)| < |1;к> (х)+1г;к,(х)|. хе[-1,1], 12=-1.

Тогда справедливо неравенство

|Ск<х)! 5 (х)+1^к+в> (х)|. Хе[-1 ,1 ], 3=075=^.

Теорема 2.4. Пусть Ап,Впефп(к,к), старшие коэффициенты полиномов А и В положительны и все нули функций А (х) и х"2В (х)

лекат на [0,со] и взаимно разделены. Пусть ке2, 0<к<п и для полинома Рп_1сеРп_к (к,к) выполнено неравенство

|Рп_к(х)| < |А^к' (х)+1(х1/2Вп(х)к' |, ХеЮ.ю). 12=-1.

Тогда справедливы следующие неравенства

(Р^(Х)1<|А^к+в> (2)+1{х1^гВг>(2))<к*т> I, ХеЮ.оо), 8=07П=К, (39) где -минимальный и максимальный нули функции

(х1'2вп(х))<к+".

Если в условиях теоремы 2.4 полином Вп заменить на

Вп_1сфт1_1 (к,к), то неравенство (39) имеет место.

Теоремы 2.3-2.4 при к=0 получены в [23].

В третьем параграфе второй главы установлены результаты, играющие важную роль при получении оценок старших производных полиномов. Приведем некоторые из них. Лемма 3.1. Пусть

Мп>к(х)=|^к,(х)+13^,(х)|, хе(-1,1), 1г=-1. Тогда выполнены соотношения

М2>к(х)=у-2к Еа;к,(п)у-^. (40)

) =о

где у=б1п9=(1-х2)1'2, а^к>(п)я;0, а£(п)*0, Мп.2р +1(0)=пП(п2-(23-1)2), 3=Т7р. р=0,1,... мп.2р(°)=п(пг-(23)2). ^ОТр^, р=1.2,... Лемма 3.2. В равенстве (40) Цк>(п)=а!к>>0 (3=0,к-1) и справедливы рекуррентные соотношения

Лемма 3.3. Пусть для полинома Рп.ке!Рл_к (к,к) выполнено неравенство

к/2

|рп_к(2) (1-х2) |<1, хес-е^,?;"'].

Тогда имеет место неравенство

Nn.ktt)/Mn,fc(0). адк. При к=1 это результат Г.Полиа и Г.Сеге . Лемма 3.6. Пусть Qn(9): к_Д-1,1] - тригонометрический полином n-го порядка, Qn(9o )= в, a- signC£2k>(6o) Тогда справедливо неравенство

Юп2к><ео)((cos(e-eo)-y)/(i+y))ie=e |, (41)

' о

где y=t^(arccos( (-1 )kas/(2n))),

и равенство будет только для полинома из правой части (41).

В четвергом параграфе второй главы получены оценки старших производных полиномов на выпуклых и центрально-симметричных выпуклых телах. Пусть Bn_k(t)=kb'2n(n-1)... (n-k+1) (1-t2rlc/2, tet-1,11;

C<t>=BnJe<t*~k'2- То™а •

Пусть h. еХ, ||=J, l=T7K и отображение F:X-»Ek определено соотношением

v

где ie.) - ортонормированный базис в ek.

Пусть 1(1^,...- линейная оболочка системы векторов (1\>к,

Кь ь =Кл1()11,...,Ьк), гь ь ь и ?г радиусы шаров, вписан» ' ' ' к 1 2" ' ' к

ных в множества Кь ь и Р(КЬ ) в соответствующих метри-1* * ' к 1* ' ' к

ках. Так как множество Р(КЬ ь ) содержит октаэдр

1 ' к

{Т^КП, то для ггсправедливо неравенство кгг<1.

Теорема 4.1.Пусть х е Кс X, Рпе Вп(К), ||Ь.||=1, 1=ТТК

Тогда справедливы следующие неравенства:

|УкРп(х)[Ь.....Ик]|$В°к(р(х))/(г^Х ...гь )<

1 к

<впк(р(х))/(гь ...гь ), ХбК, 1 к

|УкРп(1)П\.....\1КВ°к(0Шпк(р(х))/Шпк(0)гк/2гь ...гь )<

1 к

1 к

Теорема 4.2. Пусть X - гильбертово пространство, х е К с X, Рпе!Рп(Х,!Е),||Рп||1с$1, векторы 11 «X (1=ТТЕ) и образуют ортонор-

мированную систему векторов. Тогда имеют место неравенства

|7кРп(х)[111,...,11к]КВ°к(р(х))/(гьк ), хсК,

1' к

.....Ьк]Кк(0)Ып_к(р(х))/(Ып_к(0)гьк ь ).

1 к

Введем обозначения. Пусть хж,хоеУ\аУ, р=р(хж,хо), Впк(р)= 2кВпк(2р-1 ),В°к(р)=к-к/2ВпД(р), Мпк(р)=2Х>к(2р-1),

1.к(Р)=2Ч.к(2Р-1).

Теорема 4.3. Пусть х„,хоеУ\<^. РпеРп(Х,к), ||РХ«И ,||1\||=1,

1=Т71с. Тогда справедливы неравенства

|укРп (х.) [Ц,,..., \ ] | м (0)/((1 -р2 )!"'2г1... гк:

<х.) ■.....vi <в„.х(0)ип.к(р) / (мп.к (о)г .. .гк).

где р=р(хж,хо), г.=гь (хо) 1=ТД.

I

Обозначим через ь ь (хо) радиус шара, вписанного в

1 г' " к

множество (Хд+Щ^,!^,... ,1^) )пУ, где хаеУ.

о

Теорема 4.4. Пусть X - гильбертово пространство, хоеУсХ,

Рпефп(Х,к),||Рп||у<1, векторы 1геХ <1=ПЮ и образуют ортонор-

мированную систему векторов. Тогда справедливы следующие неравенства:

^"р^хил,.....| к (р) / (г* ь (х0)), хеу,

Г к

|7крп(х)[ь1,...)1тк]кк(0)нп_1<(р)/(нп1с(0)< к (хо))

1 к

где р=р(х,хо).

Если в качестве направлений взять к. различных нормированных Еекторов Ь и б одинаковых векторов х=х/||х||, то для банахова

пространства X, при помощи теорем 4.1 и 2.2, получим следующую оценку.

Теорема 4.6. Пусть К с X, Рпе Вп(К), 1< к+э <п, Имеет место неравенство

В „ (ОШ „ (р(х))

|7 **Р (X) Ш.....< --- . (42)

Мп_к(0)г,...гь г/ 1 к

Из теоремы 4.6 при к=1 получаем оценку • sup |у1 + вРп(х)Ш,Г]|гь< Nnl+e(p(x))/r°. (43)

п п

В (43) равенство достигается для х, при которых S^1+e>(p(x))=0 или p(x)>tjt где tt- максимальный ноль S^1+s>(t) на [-1,1]. Из (43) следует неравенство

sup |vkPn (ex)CH4.liJ;-* ]|rh rk_1< Nnk(0). (44)

P gB <K),h.g9B 1 2

n n V

Если n-k четное, то в (44) будет равенство. Из (44) следует sup ||72Рп(вх)||^2(}£1К)< пг/г2(К), Х- банахово. (45)

Р ев <ю

п п

Оценка (45) точная для четных п. Из теорем 4.3. и 2.2 вытекает

Теорема 4.7. Пусть хое V с X, Р^е BJV), ||h.||=1, 1=Т7К,

х=(х-х0)/||х-хо||. Тогда имеет место неравенство

В . (0)N . (р)рв IV^'PJDih,.....\,xe]| < -"-k*s , (46)

^ *„.b(0)rt...pk ц-м

где р=р(х,хо), r.=rh (хо), 1=Т7Е. i

Замечание 4.2. Если Х- гильбертово пространство и ih. }к-ортонормированная система векторов, то в неравенствах (42) и (46) В . (0) заменяется на В°,.(0), а пкг. на rk . или

Г», К Г>#К ■ '1 п. п . . . п

1 к

Замечание 4.3. Для симметричных непрерывных к-линейных функционалов Г: Хк-»о? известны [21] неравенства

эир 1Г(х ,х.....х. )1< с эир|Г(х,х.....х)|, (47)

Ях.||<1 2 |х||<1

Ск < кк/к!. •■ 48 )

Если Х- гильбертово пространство, то

ск=1. (.49)

Поэтому из (47)-(49) и оценок производных по одному направлению Еытекают оценки корм производных. При помощи лемм 3.2 и 3.6 доказывается

Теорема 4.8. Пусть К с X, Р^е Вп(К), ||Ь||=1. Тогда справедливы следующие неравенства:

п(1-Е2С(а(-5е)/(2п))/2+р/(1-р2)')

|v Р (х)[h,h]| <

П-Р2)г2

где ХсК, s=Pn(x), a(e)=arccose, б= sgnvzPo(х)Ch.hl, р= p(xj; |V2P (х)[h,h]| <c N ,(p(i))r;!<c I!!'(i)/r;, c=1,0858t xeK.

'•"» ' 1 rt . 2 h I 'i 1

Замечание 4.7. Пусть jjl(X)— мера негильОертовости пространства X

1|х+У| +ЦХ-У11

Ц(Х) = sup -----■

х.у 2 (||х|| +||у|| )

Для ц(Х) имеется точное неравенство 1< ц.(Х) <2. Если Р^е Вл(К),

то выполнено неравенство j|v2Pn(x)||;f2(x[R) < mlni2,cin(X);Nn 2(p(x))r"2(K), х 6 X

йз теорем 4.8 и 2.2 вытекает

Георема 4.9. Пусть К с X, Pn€ Bn(K), ||h||=1 , х=х/||х||, х*6х. Тогда

|v2*sPn(X) [hг,Г 11< 1,0858Nn (р(х) )r'V=.

Лемма 4.3. Пусть К с X, Pne Bn(K), ||h||=1, х е К. Тогда имеет место неравенство

СП2

|v Р (X)[h,h]| < -, c=1 ,1544.

(1-p2(x))r2

Пусть

п(п-21)г

Dn2k (P) = >

(1-p2)"

nn(n-2i+1f

K.zk.^W = {\'JpZ)(ak.t>„, 0 < P < 1; co=c/2=0,57T2. Теорема 4.10. Пусть К c X, P e В (К), к e z , к > 2,

n r> +

cx = mln(l ,соц(Х)). Тогда справедливы оценки

5 c^kk/ZDn k(p(x))r-k(K), x e К; ||7кРп(х)||^(х(К) < c*1k"'\)k(p(x))r-|c(K), xeX, где ki=[k/2L

Пусть 74(n) = 2(1 +cos(c2it/n)) (3+cos(c2n;/n) Г1,

7(n) = 7t (n)min{ci+^,c3}, где ci = 1,0858; C2 = 0,890753; сз = 1,12584.

Теорема 4.13. Пусть V c X, Pn e BJV), x € V. Справедливы следующие оценки для xev:

, 2„ n(1-sz)I/2{ctg(a(-fi£)/(2n))+(р/(1-p)}

lv2pn(x)[h,h]| <-—-:-

(1-p2)rZ(Xo)

И ДЛЯ XeV:

|v2Pn(x)th,h]| < 7(n)Nn_2(p)r;2(xo)<247(n)^2,(1)/u2(h),

где s = Pn(x), a(e) = arccose, Q= sgnv2Pn(x)[h,h], p= p(x,xo).

Замечание 4.8. Из теоремы 4.13 и предыдущих теорем для тела V вытекают утверждения, аналогичные утверждениям, содер-

щимся в замечают 4.7 и теоремах 4.9-4.10 с заменой ct на 7(п),

Нп>к на N,>k, р(х) на р(х,хо) и rh на rh(x0).

Например, если Р^ е Bn(V), то имеют место неравенства для в

XtX, XQeV, р-р(Х,Хо): llv^JDII^^.R.snilniS.TirDniX) )Nr ^(р)г'2(хо);

|72*3Pn(x)[hM=xosi|<T(ti)Nn2_(p)r-2(xo)||x-xoirsp% где ||h||=l, = (x-x0)/||x-x0||;

к / 2 к л,

к тхЧ_к(Р)г- (хо к

к к У 2 к

где к^ [к/21. 7х= mlntl ,707(П)ц(Х))р го"'.06311/2 - 0,531555. Теорема 4.14. Пусть К с X, Pn е Во(Ю, ||h|| - 1. Тогда

|73Pn (x)ih3! | < p3(n)Nn_3(pU))r;3, x e X, где (Зэ (n)=(1 ,726пг + 1,025)/(nz-1).

Следствие 4.1. Пусть К с X, Pn e BJK). Тогда справедливо неравенство

|73*sPn (х) th3 ,х* ] | < (33(n)Nn-3.s(p(x))r;3r;% где x e X, x * ex, I = x/||x||, ||h|| = 1.

Теорема 4.15. Пусть V c X, Pn € Bn(V), xoe V, ||h||=1.

Тогда выполнено неравенство

2,136пг ~

|73Pn(x)[h3]| < —--Nn 3(p(x,xo))rh (Хо), X e X.

n - 1

Следствие 4.2. Пусть v с x, pn е b^cv), xq6 v, ||h||=1. Тогда

2,136n2 ~

|7Э+ВР„ (x)[h3 ,Г] is-^— Nn 3ts (p)psr-3 (XQ )||x-xoirs,

где x e X\xo, x=(x-xo)/||x-xo||, p=p(x,xo).

Теорема 4.16. Пусть К с X, Pn e BJK), ||h||=1.

Тогда имеет место неравенство 2,43(n2+1)

|74Pn(x)[h4]| < ---Nn 4(p(x))r"\ x e X.

п - 4

Следствие 4.3. Пусть К c X, Pn e Bn(K), ||h|| = 1. Тогда 2,43(nz+1)

|7 Pn(x)Ch ,xs]| < ---Nn 4+s(p(x))r-3r;s,

11 -4

где x e x\ex, X = x/||x||.

Теорема 4.17. Пусть VCX, Pn eBn(V), ||h||=1, xoe V. Тогда справедливо неравенство

|74Pn(x)[h4]| < p4(n)Nn „(р(х,хо))г-4(хо), x e X, где f34(n) = (2,632nz+1 ,775)/(n2-4)

Следствие 4.4. Пусть V c X, P e В (V), ||h||=1, x e V, x*x .

n n "ii о о

x = (x-xo )/||x-xo||. Тогда имеет место оценка

|74+,Рп(х)[11*,Г]| < P4(n)N, ^e(p)psr-4(xo)||x-xor% где р=р(х,хо).

Теорема 4.18. Для фиксированных к. и х справедливо ассимпто-тическое равенство

lim rfk sup |7kPnU)[hk]|rk = (1-р2(х)Гк/2, хеК. р ев

п п

В § 5 второй главы получены оценки производных полиномов на кубе в к™. Из леммы 3.2 выводится следующая

Лемма 5.1. Пусть к,э е к4Б < п. Справедливы следующие неравенства:

Мп к(х)Мп_к в(х) < Мп к<.„(х). хе(-1,1) если б=1 или к+з<6; (50)

М . (0)М . (0) < М , (0). (51 )

Замечание 5.1. По-видимому, неравенство (50) имеет место при любых к и э (к+э < п). При к+э>6 автор неравенство (50) не проверял.

Введем обозначения СГ={ХеО?т: |х.|<1, 1=ТТт). При помощи

леммы 5.1 доказываются две следующие теоремы. Теорема 5.1. Пусть X = 1[т>, ||х||х = |, Рпе Вп«Г).

Тогда имеют место следующие оценки:

^Р (х) ох.1...ах.»

J. -I

1 а

< шах Ип.к (р)Нп.к >к (р)...Н >к (р) (в.к^

1 12 "113

к4<к2<...<кв),

где х е X, р = р(х);

Н^п^П^х,*, * Ып,к<Р<х>>' к < 6, х € X.

^ Нпк(0), к=ТТп.

Теорема 5.2. Пусть X = Рпе Вп(<Г), к.е £к=к<п

и выполнено хотя бы одно из следующих условий:

a) за исключением одного, все к. = 1;

b) сумма к. , отличных от единицы, не превышает шести;

с) к = п.

Тогда имеет место неравенство акР (х)

тах_ I—-* Кпк(Р(х))' х е х;. =1.т 5Х 1.. . дХ.»

I__} , о

. - 1 в

1=1 , в

В § 6 второй главы получены аналоги неравенства Шеффера и Даф-фина на теле, ограниченном эллипсоидом в Ет.

Из геометрических свойств эллипсоида, леммы 3.2 и теоремы 2.2 вытекает

Теорема 6.1. Пусть К={ХеЕт:£Х/а!-1), РпеВп(К), ||1г||=1. Тогда справедливо неравенство

|7кРп(х)№к]| $ Ып к(р(х))/гк . (52)

Равенство в (52) достигается только при 1г=х/||х||, Р (Ш)=Т (г/г,)(гек) в п-к+1 нулях {£. Г"**1 функции 3<1с,(1;/г. ) и

П Т^ П Ъ * п П

при т^.

Следствие 6.1. Пусть К=(х:1£х*/а*<1} в Ет или К - шар в гильбе] товом пространстве. Пусть РпеРп(Х,к), ||РП||К<1. Тогда

<Нп>к<р(Х))/1*(К).

Теорема 6.2. Пусть К={х:^х2/а2<1) в Ет или К - шар в гильбертовом пространстве. Пусть Рпефп(Х,к), ||Ь||=1, к>0 и для каждой

точки ХеК и для каждого отрезка [С,Б], такого, что С,Бе<ЭК, хе С С,Б], выполнено неравенство

|71сРп(х)[(С-Б)к]| < 2кмп>кш,

где 1;=2||х-2||/||С-В||, г- середина отрезка [С,Ш. Тогда для б>0 справедливы неравенства

Iv^PJxHh^'ll $ Nn>k..<p<x))/r^\

В § 7 второй главы доказываются оценки производных однородных форм на выпуклых телах в банаховых пространствах.

Обозначим через íp°(X,Y) пространство всех однородных форм

степени п, отображающих X в Y. Теорема 7.1. Пусть х € К с X, Рп€ф°(Х,к), ||PJK < 1, h е X,

||h||=1. Тогда справедливы неравенства

|vkF (х) [hk ] |€r\"k (1-k/n)~n'2k!Ck ((n-k)/k)k/2pr>~k (х), k<n,

1 г> 1 п г» 1

|7nPn(x)[hn] |o-~nn!, ||vkPri (x)||ric(x _[R)^r(K)"k(1-k/n)"^2kk'/2Ck(n-k)k/2pn"k (x), k<n,

Автор недавно узнал, что оценки теоремы 7.1 получены в работе [19].

Лемма 7.2. Пусть х€КсХ, Р2г^е ф°п(Х,к), ||Р2п||к<1 , Р2п(х)-

выпуклая форма. Тогда выполнено неравенство 1|7Р2п(х)||х. < 2пг'1(Юрап"1<х).

Теорема 7.2. Пусть К с X. Тогда справедливо неравенство

sup ||vPJ|K < (Епг(К)Г1, (53)

где En = rain тал |u(t,{at))|,

<(Х> te'0.»'

qln>

u(t,(a. )) = t(1-t)n~* - £ at2lM(l-trJl"',

q(n)=(n-1)/2, если n нечетно; q(n)=(n-2)/2, если п четно. При этом

Е^=4, ^5:6,9769, Е^-З^2. (54)

Если К - шар в 14,то оценка (53) точная. L.A.Harris [241 получил константы, совпадающие с (54).

Литература

1. Барбакадзе Т.Н., Бобылев H.A., Кондаков Г.В. Деформационный принцип минимума для функционалов на банаховых пространствах // Сб. тр. ВНИИ систем исслед. -1990-*13. - С. 6-15.

2. Бобылев H.A. О деформационном методе исследования функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы // Автомат, и телемехан. - 1981. - Ш. - С. 11-18.

3. Бобылев H.A. О деформации функционалов, имеющих единственную критическую точку // Мат. заметки. - 1983. - 34, №3,

- С. 387-398.

4. Бобылев H.A. Деформационный метод исследования задач нелинейного программирования. I // Автомат, и телемех. - 1989. т. - С. 82-90.

5. Бобылев H.A. Деформационный метод исследования задач нелинейного программирования. II // Автомат, и телемех. -1989. Jfö. - С. 24-33.

6. Бобылев H.A., Климов B.C. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации. - М.: Наука, 1992.

7. Бобылев H.A., Кондаков Г.В. Деформационный метод исследования негладких оптимизационных задач // Автомат, и телемехан.

- 1991 . - J65. С. 45-57.

8. Бобылев H.A., Емельянов C.B., Коровин С.К. Геометрические методы в вариационных задачах - М. : Изд. Магистр, 1938.

9. Browder P.E. Nonlinear eigenvalue problems and Galerkln approximations // Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - 74, JG4. - P. 651-656.

10. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. - Киев.: Наукова думка, 1973.

11. Теляковский С.А. О работах по теории приближения функций, выполненных в МИАН // Труды МИАН СССР, 1988. Т.182, с.128-179.

12. Andrlanov A.V. On some open problems for algebraic polynomials on bounded convex sets // EAST J. Approx. 1999, V.5. Я1, p.117-123.

13. Schaeffer A.C., Duffln R.J. On some Inequalities of S.Bernstein and W.Markov for derivatives of polynomials // Bull. Am. Math. Soc. 1938. V.44., Л 4, p.289-297.

14. Coatmelec C. Approximation et Interpolation des fonc-tlons differentiates de plusleurs variables, Ann. Scl. Ecole Norm. Sup., Ser. 1966. V. 83. J6 3. P. 271-341.

15. Don R. Wllhelmsen. A Markov Inequality In Several Dimensions. Journ. of Approx. Theory, 1974, vol.11, No.3, 216-220.

16. Blalas-Clez L..Goetgheluck P., Constants In Markov's Inequality on convex sets // EAST J. Approx. 1995, V.1. N.3 , p.379-389.

17. Субботин"Ю.Н., Васильев Ю.С. Неравенства Маркова в к™, неулучшаемые "на классе всех выпуклых компактных тел // Доклады РАН, 1998, Т.360, Л 6, С.734-735.

18. Baran М., Markov Inequality on sets with polynomial para-metrizatlon, Ann. Polon. Math. 1994. LX.1. P. 69-79.

19. Sarantopoulos Y. Bounds on the derivatives of polynomials on Banach spaces // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1991,

V.110, p.307-312.

20. Kellogg O.D. On bounded polynomials on several variables. // Math.Zelt.,1927, V.27, *1, p. 55-66.

21. The Scottish Book "Mathematics from the Scottish Cafe" ed. R.D.Mauldin (Blrkhauser,1981 ).

22. Schaeffer A.C., Duffln R.I. A refinement of an Inequality of the brothers Markoff //Trans.Amer.Math.Soc.,1941, V.50, N.3, p. 517-528.

23. Виденский B.C. Об оценках производных многочлена // Изв. АН СССР, сер. матем. 1951. Т.15. J65, с. 401-420.

24. Harris L.A. A Bemsteln-Markov theorem for normed spaces // J. Math. Analysis., 1997, V.208, p. 476-486.

Список работ по теме диссертации

25. Скалыга В.И. О деформационном методе исследования на условный минимум функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы//Автоматика и телемеханика. 1991. * 6. С. 47-55

26. Скалыга В.И. Деформационный метод исследования экстремальных задач с ограничениями // Динамика неоднородных систем.

Сб. трудов ВНШСИ. 1991. Вып. 14. С.59-63.

27. Скалыга В.М. Деформационный метод исследования бесконечномерных оптимизационных задач. // Мат. заметки. 1993. Т. 53. Вып. 2. С. 175-176.

28. Скалыга В.И. Деформационный метод исследования негладких бесконечномерных оптимизационных задач //Автоматика и телемеханика. 1993. N 11. С. 66-69.

29. Скалыга В.И. О деформациях негладких оптимизационных задач, имеющих изолированную экстремаль // Изв. РАН. Серия матем. 1994. Т.58, N 4. С. 186-193.

30. Скалыга В.И. Деформационный метод исследования бесконечномерных оптимизационных задач. // Сб. трудов Инст. проблем управл. 1992.-М. С. 76-79.

31. Скалыга В.И. О гомотопическом методе в многокритериальных бесконечномерных задачах // Изв. РАН. Серия матем. 1997.

Т.61, N 4. С. 137-154.

32. Скалыга В.И. Аналоги неравенства братьев Марковых для полиномов на кубе в кт // Мат. заметки. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 783-788.

33. Скалыга В.И. Аналоги неравенств Марковых и Бернштейна для полиномов в банаховых пространствах // Изв. РАН. Сер. мат.1997. Т. 66, Я 1. С. 141-156.

34. Скалыга В.И. Оценки производных полиномов на выпуклых телах // Труды МИАН. 1997. Т. 218, с. 374-384.

35. Скалыга В.И. Аналоги неравенств Марковых и Бернштейна на на выпуклых телах в банаховых пространствах // Изв. РАН. Сер. мат. 1998. Т. 62, Л 2. С. 169-192.

36. Скалыга В.И. Неравенства Бернштейна и братьев Марковых

в банаховых пространствах // Доклады РАН. 1998. Т.. 361, Я 1, с. 24-27.

37. Скалыга В.И. Аналоги неравенств В.Маркова, А.Шеффера и Р.Даффина на выпуклых телах. // Мат. заметки 2000. Т. 68. Вып. 1, с. 146-151.

Введение.

Глава I Гомотопический метод в бесконечномерных экстремальных задачах.

§ 1. Деформации гладких оптимизационных задач с ограничениями типа неравенств.

§ 2. Деформации гладких оптимизационных задач с ограничениями типа равенств.

§ 3. Деформации Липшицевых функционалов.

§ 4. Деформации Липшицевых задач математического программирования.

§ 5. Гомотопическая инвариантность слабого минимума.

§ 6. Задача оптимального управления движением.

§ 7. Деформации многокритериальных задач.

§ 8. Многокритериальные задачи с ограничениями.

§ 9. Достаточные условия для существования глобального минимума в многокритериальных задачах.

Глава Е. Границы производных полиномов на выпуклых телах.

§ 1. Оценки первых производных полиномов на выпуклых телах.

§ 2. Обобщение неравенств В.С.Виденского.

§ 3. Подготовительные леммы.

§ 4. Оценки старших производных полиномов на выпуклых телах.

§ 5. Оценки производных полиномов на кубе в к711.

§ 6. Оценки производных полиномов на теле, ограниченном эллипсоидом в Ет.

§ 7. Оценки производных от однородных форм.

Введение состоит из двух частей, соответствующих двум главам диссертации.

Широкое распространение методов оптимизации в различных областях естествознания и внутреннее развитие этой теории привело к появлению огромного количества работ по этой тематике. Например, развитию и обобщению классического результата П.Ферма посвящены работы [1,3,13,14,15,16,17,18,24,31,32,34, 35,38,39,42,43,45,47,48,53,55,57,62,63,69,733. Необходимые и достаточные условия второго порядка в экстремальных задачах имеются в монографиях и работах [13,14,15,17,24,30,34,36,45, 47,48,62,701 .Развитие теоремы Л.А.Люстерника [37] и ее приложения в теории экстремальных задач содержатся в [15,23,24,65]. Обобщению классической теории экстремальных задач на негладкие задачи (выпуклые и липшицевы) посвящены монографии и работы [9,19,20,22,24,29,41,58,76,77]. Различные обобщения классических работ Вейерштрасса содержатся в [14,15,16]. Основопологаю-¡цие результаты, связанные с понятием монотонности и потенциальности, изложены в работах [15,27,28,51,52,68]. Различным обобщениям и приложениям теоремы Экланда [60] (вариационные принципы Борвейна-Прайса, Де Билля, Моффе и Тихомирова и др.) посвящены работы [25,44,49,50,59,66,67,71,72,74,75].

Некоторые разделы теории оптимизации (например, линейное, квадратичное и выпуклое программирование, теория необходимых условий оптимальности) приобрели устойчивый вид. Другие разделы .например, теория достаточных условий оптимальности, находятся в состоянии развития. Имеющиеся здесь методы обычно исследуют специальные классы оптимизационных задач и носят частный характер.

В работах Н.А.Бобылева разработан деформационный принцип минимума для анализа широких классов оптимизационных задач. Он состоит в том, что если в процессе специальной, невырожденной деформации оптимизационной задачи ее экстремаль остается равномерно изолированной, то она сохраняет свойство быть точкой минимума. Этот деформационный метод не связан с повышенной гладкостью функционалов и эффективен в вырожденных ситуациях. Важную роль в понятии невырожденной деформации экстремальной задачи играет свойство (3) нелинейных операторов, вве-деное Браудером [54,561 и независимо от него М.В.Скрыпником [42] в связи с проблемами разрешимости краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений и в связи с вопросами сходимости метода Галеркина. Близкие к обладающим (Б)-свойством классы операторов (усиленно замкнутые операторы) рассматривались С.М.Похожаевым [403 и Брезисом [51].

Деформационный принцип минимума для гладких функционалов на гильбертовых пространствах приведен в работах [5],[6]. Его конечномерный эквивалентный вариант содержится в работе [4]. Инвариантность минимума при невырожденных деформациях гладких функций конечного числа переменных доказана в работе [61]. Обобщение деформационного принципа минимума на случай функционалов, определенных на рефлексивных сепарабельных банаховых пространствах, содержится в работе 121. В [6] изложены приложения деформационного принципа минимума к задачам вариационного исчисления. Теорема об инвариантности слабого минимума при невырожденных деформациях вариационных задач доказана в работе [46]. Обобщение деформационного принципа минимума на липшицевы функции конечного числа переменных и его приложение к исследованию задач нелинейного программирования изложены в работах [7,8,10,11]. Развитию деформационного принципа минимума и его обобщению на лшшшцевы функционалы, определенные на бесконечномерных пространствах, а также на задачи с ограничениями посвящены работы автора [151-156]. Деформационный принцип минимума для многокритериальных задач изложен в работе автора £157]. Обобщения деформационного принципа минимума на случай не дифференцируемых функционалов, определенных на метрических пространствах, содержатся в работе [64]. В монографии [77] изложены методы исследования различных классов вариационных задач, основанные на геометрических и топологических понятиях (степень отображения, род множества, деформационные инварианты, категория Люстерника-Шнирельмана и др.).

В первой главе диссертации развивается гомотопический (деформационный) подход к исследованиям бесконечномерных оптимимизационных задач. В первом параграфе первой главы исследуются деформации гладких оптимизационных задач с ограничениями типа неравенств.

Определение невырожденной деформации оптимизационной задачи зависит от гладкости исследуемых функционалов и типов ограничений. Чтобы минимизировать повторения, приведем одно из самых общих ее определений.

Пусть Е - вещественное банахово пространство с нормой || • ||, f(x)-локально Липшицев функционал, определенный на Е, <9f(x)-градиент Кларка функционала f(x).Пусть B(R)={x«=E:||х||<Ю-шар в Е. Будем говорить, что функционал f удовлетворяет условию (ПС) Пале и Смейла [81] на B(R), если для каждого замкнутого множества DcB(R) справедливо следующее свойство: если 0&df(x) для каждого XcD, то шх ||у||Е* > о. уед±(х)

Класс функционалов, удовлетворяющих условию (ПС), достаточно широк. Например, ему принадлежат функционалы, определенные на рефлексивном банаховом пространстве и удовлетворяющие (Б) условию: если хп слабо сходится к хо и lim inf < У,хп-хо > ^ 0¡ "-»со ye<?f (x ) n то x^ сильно сходится к xo. Такие функционалы называются Еправильными.

Однопараметрическое семейство задач f (x;A,)^min,

ХеС(А,), (ХеЕ, А*=[0,1 1) назовем невырожденной деформацией задачи í (x;0)-»min, ф(х;0К0, хеС(0), в задачу (х;1 )-min, ф(х;1 КО, ХеС(1 ), если:

A) при каждом А«[0,1] С (А,) - замкнутое выпуклое множество;

B) функционалы í(х;А,) ,ф(х;А.) и й^Лх) (dc(x)=inf ||х-с||) cgC по к равномерно непрерывны относительно х из каждого шара В(г)сЕ , а функционалы f(x;X) и ф(х;А,) липшицевы по х на каждом шаре В(г)сН при каждом Л«С0,1];

1 ) (2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) (9)

G) многозначные отображения ЗхГ(х;Я) <Эхф(х;А,) (х):

ЕхС0,1полунепрерывны сверху по X равномерно относительно х на каждом шаре В(г)сЕ;

D) задача (1)—<3) имеет экстремаль хт(Х) (А^СО,13), непрерывно зависящую от X, т.е. точку хж(Ме(^)=Б(М=С(Мп{х:ф(х(Л,)<0}, для которой

0е idi(x^(X);X)+\id<p(x^(X);X)+ad(lQ{X)(x^(X);X), |аф(х^(Я);Х)=0 где 7,¡а,а некоторые числа, такие, что 7,р,,а>0 и 7+jj>0.

E) существует R>0 такое, что при каждом А^[0,1] и х- В(х#(Л,),ЮпОа)\{хжа)}

О ¿ai(x;A,)+^(x;A,)+aad0^)(x), (аф(х;Л,)=0; ¡а>0,а>0

F) для каждого Л«[0,1] и в каждой точке х, для которых ф(х;?О=0, функционал ф(х;Х) регулярен;

G) при каждом Л€[0,1], и |а,о&0 функционал f (х;Х)+цф+(х;Л,)+а(10(.^^ (х) удовлетворяет условию (ПС) на каждом ограниченном множестве в Б ,ф+ (хД)=тах(0,ф(хД)).

Если ограничений типа (2) несколько, то, соответственно, все они присутствуют в формулировках. Для лигшицевых функционалов несколько ограничений типа (2) можно заменить одним ф(х)=тахД(х)<0.

Приведем формулировку результата первого параграфа. Пусть Н-вещественное гильбертово пространство. Рассмотрим зависящие от параметра X дифференцируемые функционалы f(x,M, gv(x,A.) (0<Я<1, 1=Т7П),(ХеН).

Назовем однопараметрическое семейство задач: Г(хД)-т1п,

Ю) (11 ) хД)<0 (1=Т7и),А€С0,1]> невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении А, от 0 до 1, если выполнены условия В)-Е) и при каждом Л<=[0,1 ] градиенты 7хХ(хД) удовлетворяют условию Липшица на каждом шаре В(х,г)сН, функционал Г(хД) Н-правилен и либо множество Б^={ХеН:^(хД)<0, 1=Т7Ш выпукло, либо все gi(xД) Н-правильны.

Теорема 1.1. Пусть семейство задач (10)-(11) является невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении X от О до 1. Пусть на экстремали хж(А,) градиенты (X) Д) 1=1711 линейно независимы. Пусть при А,=0 экстремаль хж(0) является точкой локального минимума задачи (10)-(11). Тогда экстремаль х^(1) является точкой локального минимума задачи <10)—(11) при Х=1.

Во втором параграфе первой главы развивается деформационный подход к исследованию гладких оптимизационных задач с ограничениями типа равенств.

Пусть Н-вещественное гильбертово пространство. Рассмотрим зависящие от параметра X дифференцируемые функционалы I(хД), £(хД) (СКА.<1, х€Н).

Назовем однопараметрическое семейство задач: невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении А, от 0 до 1, если выполнены условия В)-Е), при каждом А*=[0,1 ] градиенты 7 1(хД),?в(хД) удовлетворяют условию Липшица на

1 (хДЬт!п, в(хД)=0 А*=[0,13

12) (13) каждом шаре B(x,r)cH, 7xg(xe (А,)Д)*0 и существует такое го>0, что для а, удовлетворяющего неравенствам

Inf Ф(хД) < а < sup ф(хД), xçïOlr ,Д> xcD(r

О О где ф(хД)=(7^(хД), 7х8(хД))/||7х8(хД)||2, D(ro Д)=(х:§(хД)=0 j|x-x#(A,)||<ro}, функционал f(x,A,)-ag(x,A.) Н-правилен на шаре В(хж(А,),го), teCO.n.

Теорема 2.1. Пусть семейство задач (12)-(13) является невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении А, от О до 1 .Пусть при А,=0 экстремаль х^(0) является точкой локального минимума задачи (12)-(13). Тогда экстремаль хж(1) является точкой локального минимума задачи (12)-(13) при А,=1.

В третьем параграфе деформационный принцип минимума доказывается для негладких ( липшицевых) оптимизационных задач в банаховом пространстве.

Пусть Е - вещественное банахово пространство

Теорема 3.1. (деформационный принцип минимума).

Пусть f (хД) - невыровденная деформация функционала f(x;Q) в функционал f(x;1), удовлетворяющая условиям A)-G). Пусть экстремаль хж(0) реализует локальный минимум функционала f(x;Q). Тогда экстремаль хж(1) реализует локальный минимум функционала f(х;1 ).

В четвертом параграфе исследуются деформации негладких задач математического программирования. В теоремах 4.1 и 4.2 устанавливается следующий результат.

Пусть однопараметрическое семейство задач (1)-(3) удовлетворяет условиям невырожденной деформации A)-G) Пусть при каждом ХеСО» 13 и а ^ О для функционалов ф(хД) и d0^(z) выполнено условие регулярности

Пусть экстремаль хж(0) является точкой локального минимума задачи (4)-(6). Тогда экстремаль х#(1) является точкой локального минимума задачи (7)-(9).

В пятом параграфе первой главы устанавливается гомотопическая инвариантность слабого минимума простейшей задачи вариационного исчисления.

Рассмотрим пространство С* непрерывно дифференцируемых на

0,13 функций x(t), удовлетворяющих условию х(0)=х(1)=0, с нормой ||х|| = max|x' (t)| (0<t<1). Рассмотрим на С* семейство оптимизационных задач f0(х;Л,) = [^(t.x.x' ;Mdt min (0<А,<1), (14)

Пусть лагранжианы L. (t,x,y;A,) трижды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных и их производные по этим переменным непрерывно зависят от А,.

Пусть при Л^СО» 1 ] градиенты vx 1(0;A,) (i€J(0,Á,)={;J:¿>0, Г. (0;Л,)=0>) линейно независимы.

Теорема 5.1. Пусть при каждом А. е [0,13 функция x(t) = О является единственной в шаре ||х|| < 1 пространства С* экстремалью задачи (14)-(15). Пусть для L. выполнены усиленные условия Лежандра L"y^t,0,Q;A.) > ао > 0 (0<t<1, i=07N)- Пусть, нако о

15) нец, при X = 0 экстремаль x(t) = О реализует локальный минимум в С* задачи (14)-(15). Тогда эта экстремаль реализует локальный минимум в С* задачи (14)-(15) при Л, = 1.

В шестом параграфе рассматривается вопрос применения деформационного принципа минимума к задаче оптимального управления движением.

Рассмотрим задачу оптимального управления движением со свободным правым концом, закрепленным временем и ограничениями типа неравенств т f Fo(t,x(t),u(t))dt min, (16)

J О т f P. (t,x(t),u(t))dt < О, (17) о dx/dt = g(t,x,u) = go(t,x)+A(t)u(t), x(Q) = 0, (18) T f u2 (t)dt < 1. (19) о

Функции Ть (t,x(t),u(t)) (1=071) и вектор-функция g(t,x,u)

0<t<T, x e kn, u e CRM, A(t) - матрица размером N x M) предполагаются непрерывными по совокупности переменных вместе с первыми производными по xr, u (r=i'7R; d=T7I). Ограничения вида

19) возникают в задачах коррекции движения: они отвечают управлению с ограничениями по энергетике. Пусть при каждом управлении u. = u(t) е L2tOfT] задача Коши

18) имеет единственное решение х = x(t). Оператор, сопоставляющий управлению и решение х, обозначим через ср. Тогда задача (16)-(19) эквивалентна задаче оптимизации т f0(u) = Fo (t ,ф(и) ,u(t) )dt - min,

20)

-'a т a

Г. (u) = F. (t,cp(u)fu(t))dt < 0, (i=T7K),

21 ) о о

U € В,

22) где В - единичный шар пространства Ь2Е0,Т]. При естественных ограничениях на рост функций Р. и g, функционалы г являются ь СОД]- правильнными. Если при этих условиях экстремаль и^ задачи (20)-(22) является изолированной в пространстве Ь2С0,Т], то для исследования задачи (20)-(22) можно применить деформационный принцип минимума. Условиям, при которых функционал является L2 Е0,Т]- правильным, посвящен шестой параграф.

В седьмом параграфе первой главы деформационный принцип минимума обобщается для многокритериальных оптимизационных задач в банаховом пространстве. При этом число критериев может быть бесконечно.

Пусть X и Y вещественные банаховы пространства. Пусть Y сепа-рабельное или рефлексивное пространство. Пусть задано отображение F(x):X-»Y, имеющее строгую производную DsF(x) в каждой точке х€Х. Пусть на Y задан конус К , определяющий частичную упорядоченность на Y: для u,y€Y u < v , если v-UeK, и u<v, если u<v и u*v. Будем называть точку х^еХ локально К-оптимальной точкой отображения F(x), если существует окрестность V точки т о х#, все точки которой не удовлетворяют неравенству Р(х)<Р(х#)

Точку х^еХ будем называть локально оптимальной точкой отображения Р(х), если существует окрестность V точки для всех точек которой выполнено неравенство Р(х#)<Р(х). Если

Р(х )<Р(х) (XeV, х^х^), то точка х^ называется строго локально оптимальной точкой отображения Р.

Задачи нахождения локального K-оптимума или локального оптимума отображения Р(х) будем обозначать P(x)-*K-opt. и P(xbopt Рассмотрим множества K*=(peY*:p(u)>0 VueK), P=£peK*:||p||v*=1}

Точку х^, для которой удовлетворяется включение

О е c0(C=l.i.m(DsP(x)t,))*р^р.еф), woo будем называть критической точкой отображения Р(х). Однопараметрическое семейство отображений P(x;A.):X-»Y и сес мейство конусов K(?OcY (0<А^1) назовем B(R) - невырожденной деформацией отображения Р(х;0) и конуса К(0) в отображение Р(х;1) и конус К(1), если

1) отображение Р(х;Х) строго дифференцируемо по х на B(R)= В(R) при любом Л^[0,13 и по X равномерно непрерывно -отноо сительно XeB(R±)cB(R);

2) отображение Dc;P(x;A-):B(R)x[0i13-^?(X,Y) равномерно огранио чено по норме при каждом Яе[0,1] относительно xeB(Ri)cB(R) с и по А, равномерно непрерывно относительно хеВ(РА)сВ(Р);

3) многозначное отображение Я-»К(А,)пВу полунепрерывно сверху;

4) многозначное отображение A,-»K(Ä,)rßv усиленно полунепрерывно снизу, а именно для каждого А,о€[0,1] и s>0 найдется окрестность ЩА,о)с[0,1] точки Хо такая, что для точек ЯеЩЯо) выполня^ ется соотношение (и+еВу )пК(А,)пВу^03 Уи=К (Ка )р|Ву,

5} при каждом А*е[0,1 3 у отображения Р(х;А,) при конусе К (А,) суще ествует критическая точка хж(А,)еВ(И1), непрерывно зависящая от А, 6} при каждом Л«[0,13 функционал удовлетворяет условию (ПС) на B(R) и на множестве

Теорема 7.1. Пусть существует В(R) - невырожденная деформация отображения Р(х;0) и конуса К(0) в отображение Р(х;1) и конус К(1). Пусть х#(0) является точкой локального К-оптимума отображения Р(х;0). Тогда х#(1) является точкой локального K-оптимума отображения Р(х;1). Если на B(R)\(x#(1)} функционалы р(Р(х;1)) (реф(1)) не имеют критических точек и удовлетворяют условию (ПС), то х^(1) является строго локально оптимальной точкой отображения Р(х;1).

В восьмом параграфе исследуются многокритериальные задачи с ограничениями. Рассмотрим задачу K-оптимизации с ограничениями где отображение Р(х) описано в параграфе 7 ф(х) - Липшицев функционал на каждом шаре в X, С - замкнутое выпуклое множество. Пусть СНх:ф(хХ0>, В=0лС. Точку х^В назовем экстре малью задачи (23)-(25), если

0 е со(^=1.1.т(БзР(хж) )*рг:ръеф)+[хбф(х^)+аб(10(хж), |аф(х^)=0, f(x;A,) = supip(P(x^)-P(x:,(X) Д)):реК*а),||р||у*=1>

B(R)\(x^(A,)> не имеет критических точек.

P(x)-K~opt, ф(хК0, хеС,

23)

24)

25) где ¡a,a > 0. Однопараметрическое семейство задач P(x;A,)-K-opt, (K(X)cY), ф(хД)<0,

26)

27)

28) хеС(Х),

ХеХ, АеСО.1]) назовем невырожденной деформацией соответствующих задач при изменении параметра А, от 0 до 1, если: а) отображения Р(х;Х) и конусы К(Х) удовлетворяют условиям 1) -4) параграфа 7 (при этом B(R)=X); б) множество С (А,) и функционалы ф(х;А,) и d0^(x) удовлетворяют условиям А)-С) и Р); в) задача (26)-(28) при каждом А^[0,11 имеет экстремаль непрерывно зависящую от А,; г) существует R>0 такое, что при каждом А*=[0,1 ] и Хе B(x*(A,),R)nD(A,) \ (х^(Х)}

0 ¿ dí(х;А.)+|ааф(х;А,)+а5йс/^^ (х), где f (x;A,)=sup р(Р(х;А,)-Р(х^ (А,) ;А,)) (реК* (А.), ||p||Y* =1) , i > 0, а > 0, |аф(х;А,) = 0; д) при А^[0,1], и |а,а>0 функционал f (х Д)+|аф+(x;A,)+ad0 ^(х) удовлетворяет условию (ПС) на каждом ограниченном множестве в X ,ф+ (х,А.)=тах(0,ф(хД)).

Теорема 8.1. Пусть существует невырожденная деформация (26 )

28)соответствующих задач при изменении А, от 0 до 1. Пусть при каждом Л^СО, 1 ] и а ) 0 для функционалов ф(х;А.) и dQ^(x) выполнено условие регулярности 0 & д<р(х^(Х) ,Х)+ад&0^(хш(Х)).

Пусть точка х#(0) является точкой локального К-оптимума задачи

26)-(28) при А.=0. Тогда точка хж(1) является точкой локального

K-оптимума задачи (26)-(28) при А,=1. Если функционалы p(F(x;1) )+ц,ф+(х;1 )+adG(-1-j (1) (реф(1 ),|л,с£0) на каждом шаре удовлетворяют условию (ПС) и на D(1 )пВ(хж(1 ),И)\{хж(1 )} не имеют критических точек, то хж(1) является строго локально оптимальной точкой задачи

Р(х;1)-»opt, ф(х;1КО, хеС(1). В девятом параграфе первой главы получены достаточные условия для существования глобального многокритериального оптимума.

Локально Липшицев функционал <р(х) на банаховом пространстве X удовлетворяет слабому условию (ПС)[81], если для любой последовательности х , гум, в X, обладающей свойствами ф(хп) |<const, Ойвф(х ) vn , Inf II у II х* - о»

У€<?ф<хп > существует точка х^еХ, такая, что lim inf ф(хп)«р(хжKl im sup ф(хп), 0€3ф(хж).

В теореме 9.1 доказывается обобщение результата Амброзетти и Рабиновича С81].

Теорема 9.1. Пусть X - банахово пространство и <р : локально Липшицев функционал, удовлетворяющий на X слабому условию (ПС) и

За>0:ш(а)=1пГ{ф(х) : ||х||=а>>ф(0), 3z€X:||z||>a и ф(г)<т(а). Тогда существует точка х^€Х такая, что ф(хш)^т(а) и 0€<3ф(хж).

Теорема 9.2. Пусть выполнены условия теоремы 8.1 и следующие соотношения: sup 1УЦХ* <ю, inf ||у||х* > О, для каждого хе D(1)\{хж(1)}

0 g 6f (х;1 )+ц0ф(х; 1 )+aad0^ j (х), где \х>0, а>0, ^ф(х;1)=0.

Пусть для достаточно больших ¡а и а функционал f (х;1 )+|аф+ (х;1 )+adc^ ^ (х) удовлетворяет слабому условию (ПС). Тогда точка хж(1) реализует глобальный K-оптимум задачи

Р(х;1 )-»K-opt, (K(1)cY), ф(х;1 КО, хеС(1). Если функционалы р (3? (х; 1 ) )+цф+ (х; 1 )+ad0 ,1 ^ (х) (рер (1 ),ц ,а>0) не имеют критических точек на D<1 )\-CxJ(e(1)>9 удовлетворяют условию

ПС) на каждом шаре и слабому условию (ПС) на X, то точка хж(1 ) реализует глобальный оптимум задачи F(x;1bopt, ф(х;1)С, хеС(1),и Пусть ф(х;А,)=ф(х), С(А,)=С (Л«[0*1 ]), функционал f (х;1 ) тот же, что и в теореме 8.1, а f(x;0) - некоторый Липшицевый на каждом шаре функционал.

Теорема 9.3. Пусть X - рефлексивное пространство и функционалы f(x;0), f(x;1), ф(х) - слабо полунепрерывны снизу. Пусть выполнены следующие условия а) семейство оптимизационных задач g(x;^)=(1-A,)f(x;0)+Xi(x;1 )-» min, ф(х)<03 х€С не имеет экстремалей в X отличных от нуля при ]; б) обобщенные градиенты <Эф(х) и <3d0(x) удовлетворяют условию регулярности при х*0 0 & ¡адф(х)+оШс (х), |j,,a>0; в) функционал f(х;0) является растущим на допустимом множестве D=CnQ lim f(x;0)=oo; x || ^оэ

Тогда точка 0 реализует глобальный K-оптимум задачи х;1ЬК-орг, К(1)сУ)3 ф(х;1 КО, хеС.

Все приведенные теоремы § 7- § 9 распространяются на случай, когда У конечномерно, а компоненты вектора Р (х)=((х),., 1 п (х)) являются локально лшжицевыми функционалами.

В различных областях анализа, в конструктивной теории функций, в теории приближений, в численных методах решения нелинейных уравнений, а также в других задачах (например, задачах кодирования и декодирования), где нужно знать осциллирующие свойства полиномов, важную роль играют оценки производных алгебраического полинома (соответственно, тригонометрического полинома). В численных методах, используемых для исследования задач теории управления, эти оценки с необходимостью возникают, например, при выборе шага интегрирования дифферециальных уравнений с полиномиальной правой частью, в методах градиентного спуска - для оценок управляющих параметров (т.е. шага спуска), в методе Ньютона-Канторовича - для оценок области существования решения. Некоторые схемы применения оценок производных полиномов к прикладным вопросам приведены в конце введения.

Начало исследованиям производной полинома на отрезке положил А.А.Марков [85] в 1889г. Первая постановка вопроса возникла, как ответ на вопрос Д.М.Менделеева, относящийся к полиномам второй степени, поставленный в работе "Исследование водных растворов по удельному весу". А.А.Марков доказал, что если полином степени п удовлетворяет неравенству

29) то

P'(X)KT'(1)=п2, -1Ж1,

30) где

Тп(Х)=С08(Г1аГС08Х) .

Равенство в (30) достигается только для полиномов Р (х)=сТп(х), |с|=1 в точках х=±1.

В.А.Марков [86] в 1892г. обобщил теорему А.А.Маркова на случай производной порядка к, 1<кш и доказал, что при условии (29) выполняется неравенство

Pik>(х)I ^ т<1е> (1)=

1 Г! 1 П Л ' п2(п2-1 ). (п2-(к-1 )2 )

Хе (-1 ,1 ), (31)

2к-1)!! причем равенство в (31) достигается только для полиномов Рп(х)=сТп(х) (|с|=1) в точках х=±1.

С.Н.Вернштейн [87] получил, при условии (29), оценку

Р1к>00| ^ kk/2n(n~1).(n-k+1)

Bnjk(x), Хе(-1 ,1 ) (32)

1 —X2 )k/z и показал [87], что для фиксированных к и х справедливо равен ство lim В"1 (х) sup IP'*' (х)| = к 2, х€(-1,1), к=ТТп.

33)

-►00

Р II <1 п "с-1,13

При к=1 оценка (32) получена А.А.Марковым [85]. А.Шеффер и Р.Даф-фин [88] установили, что из (29) следует более сильная, чем (32), оценка

Mn>k(x)=|T;k5(x)+iS^k> (х) j, |х|<е;к i k> р;к,(хж n (х) n , k

34) где Бп (х)=з1п(пагссо8х)=п-1 (1-х2)1/2!ЗУ (х), £ "'-максимальный ноль функции Б^Чх) на интервале (-1,1), 12=-1. Функция \к(х) возрастает на [0,®]. Оценка (34) точна в п-к+1 нулях функции к> к> s;b(x) и при |х|>^к).

В работах В.А.Маркова [863, Е.В.Вороновской [893 получена точная мажоранта для всего множества (Р^(х))(хе(0,1). В [863 и С903 доказана точная мажоранта для (Р^к)(х)>, к=Т7п.

С.Н.Бернштейном [873 и В.С.Виденским [913 получены оценки, обоб щающие оценку (34). С.Н.Бернштейн [873 и М.Рисс [923 получили следущее неравенство для тригонометрического полинома s (9) порядка п l|s;(Q)!lc < пЦ8п(в)«с (35)

С.Н.Бернштейн [873 и G.Cere [933 установили более сильное, чем (35), неравенство для тригонометрических полиномов s (Q) с вещественными коэффициентами ll((s;(e))2+nV(e))1/2||c * п||8п(в)цс, (36) которое превращается в равенство при sn(0)=Acosri6+Bsinn6. Из (36) вытекает неравенство для Рп:к->к и ||Pr(x)j|ci

Р; (х)|<п( (1 -Р2 (х))/(1 -х2) )i/2, хе(-1,1). (37) Неравенство (37) является тождеством для полинома Т (х). В неравенстве Бернштейна (35) норма sn(0) может быть заменена нормой разности s (0+h)-s (9) с заданным шагом h. В этом направлении имеется неравенство С.М.Никольского [943 И в; < 6) йс ^ (п/2) II Sn (9+1С/П) ■-Sn (0) ||с и его обобщение, полученное С.Б.Стечкиным [953 для Q<h<2%/ii.

В работе [963 И.И.Привалова показано, что для тригонометрического полинома s (6) из неравенства sn(6)J<1, -aXQ^w, 0<оа<ти (38) следует неравенство j s; (Q) J 8n, при -w+ефф-е, 0<e<ü/2, (39) где Q - постоянная, зависящая от ш и е.

UJ у О

Д.Джексон в [97] установил, что неравенство (38) влечет за собой неравенство з;(9)КСшп2, w^Q^Ü. (40)

В работе В.С.Виденского [98] (см. лемму 1.7 второй главы диссертации) уточнены оценки (39) и (40):

В [99] М.Я.Зингер рассмотрел задачи об оценке модуля действительной и мнимой части производной алгебраического полинома на комплексной плоскости, а также перенес некоторые классические результаты В.А.Маркова и С.Н.Бернштейна по оценкам производных на случай тригонометрических полиномов, нормированных на отрезке меньшем периода. Пусть ||PJp - норма Рп в у-1,1], 1<р<ш и «PJ^ = ||РП||С[1Д]

Неравенство (30) было установлено для L . E.Hille, G.Szego и

J.D.Tamarkin [100] доказали, что ||Р;|| ^C(n,p)n2||PJ| , где C(n,p)=(2p-1 )l/pl(p+1/n)(1+p/(np-p+1 ))п~1+1/р для р>1 и G(n,1 )=2(1+1/n)n+l. (см. также Н.К.Вари [101], R.Bellman [102], Р.Dorf 1 er [103]). E.Schmidt С104] показал, что lim COi^^iu"1. n-Kß

P.Goetgheluck [105] улучшил результаты работы [100] и показал, что С(п,2) является убывающей функцией по п и для n>64 1/тс<С(п,2)<1/3.

Для алгебраического полинома Р (х) имеется неравенство, обобщающее неравенства А.А.Маркова и С.Н.Бернштейна ||Р;(х) . (V(1-x2+1/n)L+l||p ^ ALn||Pn (х) (V1 -x2+1/n)l||p, (41 ) где 1 - произвольное число. Для р=оо (41) получил В.К.Дзядык [106], при Г.К.Лебедь [107]. О.М.Никольский [108] получил более общую, чем (4-1), оценку для частных производных полинома от нескольких переменных в метрике L (G), где G - ограниченная область в к™ с границей dGeC1. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна для Lptc,d] получил

В.И.Буслаев [109] с заменой множителя п на

А(г+1 |f-|2)» где г - число корней полинома Р (х), лежа* Сл. щих в круге jz|<s комплексной плоскости; al,.,anr - все корни полинома Рп(х), лежащие вне указанного круга. Н.М.Черных [110] установил оценки норм производных P^k>(x), k=U7n в пространстве L Ec,d3, в терминах нормы Рп(х) в пространстве L [а,Ь1, где [сДЫа.Ы и Kp,q<co.

Рассмотрим одноразмерное неравенство А.А.Маркова в форме |P;ip<C(n>P>q)pjq,

B.BoJanov [111] доказал, что С(п,р,со)=||Т' || есть точная оценка

Vi р и достигается только для Тп. С.В.Конягин [112-113] получил оценку с точным порядком у п в L - аналоге неравенства (31) с n||T<k> II с n||T<k> ||

1 » П "С-1,13 2 Н п "Г-1ДЗ k+1) (n-k+1)--¡¡р8^1^ ^ (k+1) (n-k+1) • (42)

Неравенство (42) было обобщено для старших производных. В.Во^а-nov и Q.I.Rahman [114] получили оценку l|P,<t'llp«l|T„<*>llpP„IU,11. щ*». *=Т7п, которая точна на множестве полиномов, имеющих все нули на

-1,1]. (см. также L.S.Avvakumova [115] (k=2) и G.K.Krlstian-sen [116] (2<&Ш-1)).

С.Н.Бернштейн [87] обобщил (35) для целых функций экспоненциального типа. М.И.Ганзбург [117] обобщил (35) для целых функций многих переменных.

Л.В.Тайков [118] доказал следущее неравенство для тригонометрического полинома sn(8) с неулучшаемой константой Вр

Bprf|8n(e)|cf 37=1,2,.; р>1. р

Для тригонометрических полиномов многих переменных аналоги неравенства Бернштейна (35) получены в работах К.И.Бабенко [119], С.А.Теляковского [120] , В.Н.Темлякова [122 -123].

Обзору работ по теории приближений, выполненных в МИАН, посвящена работа С.А.Теляковского [1213.

Говорят, что множество DcEm имеет свойство Маркова, если существуют положительные константы Миг, такие, что ||vPn(x)|Klinr||Pn||D для каждого xeD и каждого полинома Р :£m->R. п

W.Pawlucki и W.Plesniak показали связь между свойством Маркова и построением непрерывного линейного расширения оператора L:C®(DbC®(Em) [124]. W.Pawlucki и W.Plesnlak [125] показали, что замкнутое полное субаналитическое подмножество в £т имеет свойство Маркова. Они ввели класс так называемых UPC множеств и доказали свойство Маркова для них. Имеется несколько классов множеств, являющихся UPG. В частности компактные выпуклые тела в Ет, полные субаналитические подмножества в Em. М.Вагап [126] предложил новый подход к понятию ПРО множеств.

Приведем определения и обозначения, принятые во второй главе.

Пусть X и У - банаховы пространства над к. Через ф (ХД) обозначим пространство всех полиномов степени не выше п, отображающих X в У, т.е. множество всех отображений вида Рп(Х)=£?=ои.(Х,.,Х) (ХеХ), где и : Х-Ч У - линейное непрерывное отображение. В дальнейшем ||Р^к> (х)||^{ХУ> - норма оператора к-й производной по Фреше полинома Рп в точке х в пространстве ¿?к(ХД) всех ограниченных к-линейных операторов из Хк в У. Если У=к, то для обозначения производной будем применять знак ч . Значение к-линейного отображения Р^к>(х) на векторах ,.) будем обозначать как Р*к) (х)[Ь1,.,Ьк]. Если 3^==Ь.в=Ь., то Р^к> (х)Ш,. =

Р^к> (х) [Ь3,1хо+1,. ]. Множество У-всегда выпуклое ограниченное замкнутое тело в банаховом пространстве X. Множество всех таких тел обозначим через №. Тело К всегда принадлежит 1 и симметрично относительно 9 - нуля пространства X. В-шар е.циничного радиуса с центром в нуле. Положим ¡|рл^зир||рп(х)||у,||р:к>|1^ирцр:к> <х)й*к<х.У>,

X V У. о

ЗУ- граница тела V, У=У\ЗУ. Мы будем использовать следующие о характеристики тела У: пусть хоеУ, тогда р(х,х )- значение функционала Минковского на векторе х~хо относительно тела У-х ; гь(хо)=тах{1;: [хо-Ш,хо+Ш]сУ,||11||=1 >, г(хо)=вир{г: В(хо,г)сУ), г(У)=зир г(хо). Если У=К, то положим р(х,8х)=р(х),гь(вх)=гь. х <=у о

Пусть ЬеХ, и ||Зги||=1. Обозначим через У(&) множество У(11)={[у1,у23: У^У^У из с€к: у1-у2=с31}, а через cov(h) и cov - ширину тела V по направлению il и ширину тела V, где cov(h) = sup l^-yjl , wv = inf wv(h) y ,yjev(h> 1 2

Пусть BJV)={PndPn(X,R): ||Pn||v<1>.

В диссертации рассматриваются, в основном, следующие задачи: Задачи С.Н.Вернштейна получения оценок функций sup HP^WI^V,* = фо(n,k,x,V), x€V; (43)

Р сВ ( V >

Г) п sup ||P;k>(x)||^K> = <p(n,k,x,e,V), XeV; (44)

Р $=В <V ) r> ~ n p (x>=£ n

Задача В.А.Маркова получения оценки функции sup i|P^k>||v = P(n,k,V). (45)

P ,=В (V > n n

Обобщение неравенства Маркова для произвольного выпуклого компактного тела в Ет впервые исследовалось в [127](C.Coatmelec) где установлена оценка F(n,1 ,V)<C(GJv)n2. D.R.Wilhelmsen [128] доказал оценки 2/«v <С(cav)<4/wv и выдвинул гипотезу, что для произвольного выпуклого компактного тела V, C(wv)=2/wv .

Для случая треугольника в е2 такое же неравенство получено Д.Наджмитдиновым и Ю.Н.Субботиным [129].

В [130] приведены два контрпримера несимметричных выпуклых компактных тел в е2, для которых F(n,1 ,V)>2nz/wv. В [130] получен метод оценки сверху F(n,1,V), пригодный также для определенных невыпуклых множеств. Применение этого метода для симплекса в е2 v= ((х,у): х,у>0, x+yct > дало оценку С(ш)<-/Т0/ш. А.В. Анд

V V рианов [131] доказал следующую оценку для Pne jpn(X,Y) и VeW p;||v < (4n2/r(V))||PJv.

В [159,161] автором получены последовательно более сильные оценки ДЛЯ Pne $n(X,Y) и V€W

P;||v<(4n2/wv)||Pn||v и ||P;ilv<(cn2/wv)||Pn||v, где с=2,60406.

М наконец, в работе [160] автором доказаны равенства: для Р €= Ю(ХД), ьж

Г> 'Г» sup p;ilvuv = 2nctg(ic/(4n)), (46) v€w, ||Pntlv<i ДЛЯ Pne 5Pn(X,tR), sup ф(п,1 ,x,e,V)wv = cn(e), (47)

VgV,x^v sup |vPn (x)[h]|a)v(h)=Cn(e), (48)

VgW , xgV , hg^B , P gB <V>,P <X>=8 n n n где Cn(s)=n(1-s2)i/2{ctg(a(e)/(2n))+ctg(a(-e)/(2n))>, a(s)=arccos a,Set-1,1], Cn(s) при n>2 убывающая функция на [0,13, Gi(s)=2.

В (48) для любого и s существуют VeX,XeV,he<9B и полином Рп, на которых supremum достигается. В (46-47) supremum достигается для некоторых X, например 1± и 1 . Равенство (46) для

Рпе <рп(Ет,к) анонсировано Ю.Н.Субботиным и Ю.С.Васильевым [1323 независимо и одновременно с работой [1603. Недавно М.Вагап [1263 для тела KdEm и Рпе Вп(К) получил следующее неравенство vPn(x) [h31 < nmlni ((1-P2 (x) )/(1-p2(x)) )1/2,n)/rh, X€K,||h||=1. (49)

Для шара В из любого банахова пространства X этот результат ранее доказал Y.Sarantopoulos [1333. В 1927 году 0.В.Kellogg [1343 доказал для Внеравенство (49) без множителя (1-Р*(х)f*, хотя наличие этого множителя легко вытекает из двух лемм [1341. Автор в [1611, еще не зная работ [133] и [126], доказал для тела К из любого банахова пространства X более сильное, чем (49), неравенство и применил свой метод для получения оценок старших производных полиномов . для тел К и V. L.A.Harris [135] получил оценку для шара В из любого банахова пространства X и Рпефп(Х,1)

Р^к> (х) №к ]|| < 22kiT^k> (1 )||PJ|B, х€В, к=Т7п.

L.A.Harris [136-137] установил результаты типа В.А.Маркова для полиномов PndPn (Х,к), удовлетворяющих неравенству ]|Рп(х)1|<фп(х), х€Х, где ф(х) неотрицательная функция, удовлетворяющая условию ф(х+у)<ф(х)+||у||, х,у€Х.

Все результаты формулируются для Y=R, но, как показывает лемма 1.1 второй главы, оценки вида

РГ (Х)||^х,я> * (50) для PneBn(V) переносятся без изменений на полиномы PndPn(X,Y), j|PJ|v<1. Оценки (50) для Y=R переносятся без изменений на случай

Y=c известным приемом С.Н.Бернштейна [87,88].

В первом параграфе второй главы получены оценки первых производных полиномов на выпуклых телах.

Пусть Q полином, имеющий минимальную производную в точке реС0,1] среди всех полиномов Золотарева {Qn(t)> для отрезка [0,1] таких, что ||Qn||co 15=1 и Qn(p)=e.

В лемме 1.2 показывается, что полином Q 0~(t) является решением следующей задачи для Pn(t)e^)n(KtR) , TeCOJ]

Р' (Tbmin , Р (т)=е , j|P (t)jl , <1.

Г> ' Г)' * !|П "ССОД]

Имеют место равенства

Qn>8fl(t) = -Tn((2t-y-l)/(Hy))f а^£д(1)=-(1-е2)-nctg(а(-е)/(2п)), где y=tgz(a(-e)/(2n)), a(s)=arccos(s), set-1,1].

В оценках производных полиномов на выпуклых телах важную роль играет функция С (e)=|Q'P (1 ) | + JQ' (1 ) |. В лемме 1.3 по-называется, что функция Сп(е) является четной и убывающей на отрезке [0,1] при п>2 и С1(е)=2.

Пусть X - банахово пространство, xeVeW, h^X, ||Ь.|=1. Введем следующие определения: пусть е€[-1,13, Cylfy leV(h) , y^xlcCu^.u^], U.eev, Bx-^J/lu^-u^hp. (х,у. )=р. ,

II х-у. I / I и. 4 -и. 2 I = ро . (X, у. ) =ро . , (i, >1,2) (X,V,h,x,s,n)= ini ЙУ4~У2Г1 max {|Q; o^'Poi*

Су , у i cV ( h ) 1 = 1,2 "-Ч-1 't-äl

1 2 lQn,s .р(Р2)1Ро2> • а = . i r 2

Пусть, xoeV , pi=(1+p(x,xo))/2 , b2(X,V,h,x,s,n)= Inf 4Q;,,6,D^)l + IQ;,£,ö(P1)l>P1/(2rh(xo)), к cV "l О n(X,V,h,xf8)= sup |7Pn(x)[h3I.

P ев < V > n n p i x > = 8 n

Теорема 1.1. Пусть X - банахово пространство, xeV€W , heX , ||h||=1. Тогда выполнены неравенства

Ф (X,V,h,x,£) < b (X,V,h,x,s,n)< G (e)/w (h),

П 1 П V

Fr (X,V,ii,x)= sup |7Pn (x) [h3 \ <b (X,V,h,x,0,n)<G (0)/ш (h), ' П 6 Ii V

P gB < V > n n n(X,V)= sup IvPn(x)|| Gn(0)/wv . p <v > x n n X£V

Теорема 1.2. Справедливы следующие утверждения: а) если Х=к2 с некоторой нормой, V - треугольник АБС, х=А, то выполнены равенства

Фп(X,V,h,x,s)=bl (X,V,b.,x,e,n) для каждого h(|ti||=1) и £е[-1,13; ®n(XfV,ii,x,£)=Cn(s)/cov(h) для каждого £€[-1,П и h=(B-C)/||B-C||; б) для любого банахова пространства и чисел 5е(0,1),set-1,13 существуют Vq€W, xoeVa, h (||h||=1) Pn(x,S,s)€ Bn(Va) такие, что

Pn(xo,e,s) = s,

§n(X,Vg,li,xo,8)=|?Pri (xo ,6,s) [ft] |=Cn (e)/w (h)>(1-Q)Cn (£)/w ; в) существуют X, VeW, heX, j|h||=1, x€V такие, что

Фп(Х,У,11,х,£)=Сп(8)/озу для любого £еС-1,1].

В качестве примера для пункта в) можно рассмотреть Х=к2 с нормой такой, что найдется треугольник V, в котором длина одной из стороон равна ш . Такими пространствами являются Z^25 и I

С 2 >

Из теорем 1.1 и 1.2 следуют равенства sup л п

Р < х > =£ п sup |7Р (x)[h]|uv(h) = с (8), sup

VgV.xgV,bggB Р t=B <V> n n p ( к)=8 n sup I VP (x) till ¡4 = С (S).

L i y-f 5 V T>

Пусть ХД-банаховы пространства и В (V,Y)=(P :Р еф (ХД),||Р ||^<1}

Тогда из теоремы 1.1 и леммы 1.1 вытекают неравенства для XeVeW и нормированного heX:

Pn(X,V,h,x)= sup ||Р^ (х) [hl||<b2 (XsY,ii,x,0,n)<Cn (0)/cov (ii).

P cB < V , Y > n n

Пункты б) и в) теоремы 1.2 также имеют место для произвольного Y, если функцию Фп заменить на Fn, а е на 0.

Пусть ХеКсХ, Рге фп(Х,к), ||Рп||к< 1. Рассмотрим функцию d(x,Pn)=rain E;(1-P^(P"izix))l/2|Tn(p)/(p-zJ|, х*ех, Р(х)<р<1 d(6x,Pn) = п(1-Р2(ех)Г2, где sL- нули полинома Чебышева Tn(s), zet-1,13.

Согласно работе [138], имеют место неравенства d(x,Pn)= < iJ|Tn(p(x))/(p(x)-z. )| < п2.

Теорема 1.3. Пусть ХеКсХ, Рп€ фп(Х,к), ||PJK< 1, hsX, ||h||=1. Тогда справедливы неравенства vPn (х) [h] |<r^min{n( (1-Р2 (х))/(1-р2 (х)) )1/2 ,d(x,Pn)}, (51) уРп(х)||х* < п((1-Р2(х))/(1-Р2(х)))1/2/г(К), х€К\аК, (52)

VPJK < sup d(x,Pn )/r(K) < n2/r(K). (53)

XgK

В силу (30) имеет место неравенство (см.[131]) ФП(К)= sup ||VPn(X)||x* > nz/r(K).

Р Ж),хсК г> п

Поэтому оценка (53) точная для любых КсХ и Фп(К)=п2/г(К). Мз (51) следует неравенство sup |vPn(х)th]|rh < Nnil(p(x)),

P gB <Ю,Ь<=(Эв n n где равенство достигается при х, для которых Тп(р(х))=0 или р(х)> cos (тс/ (2п)). о

Из оценки (51) вытекает равенство для х&К sup | vPn (х) [h] |rh = n((1-T2(p(x)))/(1-p2(x)))i'"2.

Ри <x> = <p<x>) 0

Из оценки (51) следует также ассиптотическое равенство для х€К lim n-1sup |7Pn(x)[h3|rh =(1-p2(x)))"1/2. n"*00 p ев <ю,Ь€<Эв n n

Пусть xoey, хое(х2,х1), X^X^V, x-xq=c (X± -XQ ) , c>0, p(xfxo)=||x-xo||/||xi-xo!|, A,(x,xo)=min(1 ,||x2-xo||/||xi-xo||}; для x€v T](x,xo)=p^(1-vb)/(A,2+p2v2), где p=p(x,xo), Л.=Л,(х,хо), M1-p2)l/2, v=(i-X2 )i/2.

Теорема 1.4. Пусть x,xq€V с X, Pne Bn(V), ||ii||=1. Тогда справедливо неравенство

VZn yP (x) th] |< ---—--— . rh (xo) ((1 +T}(x,xo)) (1 -p2 (x,xo)) )1/2 0

Ms теорем 1.1 и 1.4 вытекает оценка для x,x^eV с X, Р € В (V),

О г« Г( ми vPn(x)[h3 Isnr;1 (хо) (1-p2)"l/2min{(1+p) (1-Р2 (х))1/2,У2>, где р=р(х,х0).

Во втором параграфе второй главы получены обобщения одномерных неравенств С.Н.Бернштейна [87] и В.С.Виденского [91], применяемых для получения многомерных оценок старших производных полиномов.

Теорема 2.2. Пусть Нпефп(0?,1к),аг11€фп1(к,к), все нули Ни Gn-1 лежат на С-1,1) и взаимно разделены, Н (1 )>0, G (1 )>0; ке^,

СКк<п. Если для полинома Рпкефпк ) выполнено неравенство |Рпк (x) |<\Е^(Х)+1( (1 -x2 )1/2ап1 (x) )<к> I ,х€ 4к } ) Д2=-1 , то справедливы следующие неравенства:

Р^(х)|<|Н;1к+3>(х)+1((1-х2)1Х2ап1(х)) |,х€[-1,1 ], з-ити. где - минимальный ноль, й{к+3> максимальный ноль функции

1-х2Г\1(х))<к+8> на [-1,13.

Теорема 2.2 при к=0 и з=1 доказана в [87]. При к=0 и Н^(х)=Тп(х), Оп1(х)=Т^(х)/п теорема 2.2 получена в [88]. Теорема 2.2 при к=0 получена в [91].

Теорема 2.3. Пусть Г1(х)=(1+х)1/2Кп(х), Г2(х)=(1-х)1/2Ьп(х), где Ьп,Ке5Рп(0?,к), Кп(1)>0, Ьп(1)>0, все нули функций Г1(х)=(1+х)1/2Кп(х) и Х2(х)=(1+х)1/2Ьг1(х) лежат на [-1,11 и взаимно разделены.Пусть о < к <п и для полинома Рпке$пк выполнено неравенство

Рпк(х)| < |г;к>(х)+и;к>(х)|, Хе[-1,1 ], 1*=-1. Тогда справедливо неравенство

Ох>! * |<к + в>(х)+1Г!;к + в>(х)|, хе[-1,1],

Теорема 2.4. Пусть А^,Вп€#>п(к,к), старшие коэффициенты полиномов Апи Вп положительны и все нули функций Ап(х) и х1''2Вп (х) лежат на [0,со) и взаимно разделены. Пусть ке^, о<к<п и для полинома Рпк€фпк (к,к) выполнено неравенство

Рпк(х)| < |А<к> (х)+1(х1/2вп(х))<к> ХеЮ.оо), 12=-1. Тогда справедливы следующие неравенства хеСО,со), з=П7п=Е, (54) где а<к*3> ,аск+э>-минимальный и максимальный ну ж функции п-к-з+1 1 х1/2вп(х))<к+3>.

Если в условиях теоремы 2.4 полином Вп заменить на В (к,о?), то неравенство (54) имеет место.

Теоремы 2.3-2.4 при к=0 получены в [913.

В третьем параграфе второй главы установлены результаты, играющие важную роль при получении оценок старших производных полиномов. Приведем некоторые из них.

Лемма 3.1. Пусть

Мп>к(х)=|Т^к>(х)+13^>(х)|, Хе(—1,1), 12=-1. Тогда выполнены соотношения

М2 (х)=у~2к £а;к1(п)у21, (55) г-о] где у=з1пв=(1-х2)1/2, о£к>(п)*0, о£к> (п)*0, к £ и; М^2р+1(0)=пП(п2-(2^-1 )2), 3=ТГр, р=0,1,. Мп2о(0)=П(п2-(2Л)2 ), р=1,2, —

Лемма 3.2. В равенстве (55) а^к} (п)=а^к}>0 (1=и,К-1) и справедливы рекуррентные соотношения а<к+4}= (п2к2){(к+3)/ ) }а<" >, ^итет, о

Пусть rv-k+l минимальшй ноль, a L - максимальный ноль функции

S{k}(x) на [-1,1]. Введем обозначение

Лемма 3.3. Пусть для полинома Pnke?)nk (K»R) выполнено неравенство к/2

Рпк(х)(1-х2) ¡<1, x€[|nk+1,^]. Тогда имеет место неравенство

При к=1 это результат Г.Полиа и Г.Gere [139].

Лемма 3.6. Пусть Qn(9): £R-»[-1,1] - тригонометрический полином п-го порядка, Qn(Go)= s, а= signQ^2k> (80) Тогда справедливо неравенство

2k) 2k> в

0) I <! Tnö2k ((cos (е-ео) -у)/ (1 +у)) I Q=9 |

56) где y=tg2 (arccos((-1 )лав/ (2n))), и равенство будет только для полинома из правой части (56).

В четвертом параграфе второй главы получены оценки старших производных полиномов на выпуклых и центрально-симметричных выпуклых телах.

Пусть Bnk(t)=kk/2n(n-1). (n-k+1) (1-t2rk"'z, teC-1,13;

Тогда Вп,к(0)/^к(0)<кк^ .

Пусть h.eX, ||h. j|=1, 1=ГД и отображение F:X->Ek определено соотношением где Се } - ортонормированный базис в Ек.

Пусть К^,.,^) - линейная оболочка системы векторов

Кь ь =^(^,.,3^), ть ъ ь и гг-радиусы шаров, вписан-1 ' ' ' к 12'" 'к ных в множества Кь и Р(Кь ) в соответствующих метри

1 ' ' ' к 1 "" ' к ках. Так как множество Р(К ) содержит октаэдр 1 ' к

Т;:^)! >, то для грсправедливо неравенство к~1/2< гг<1.

Теорема 4.1.Пусть х € Кс X, Рпе Вп(К), векторы ,. ,11ке X, ||1\||=1 (1=ТТк; к=Т7п). Тогда справедливы следующие неравенства:

7кРп(х)СЬ1,.,11к]|<в;1е(р(х))/(г^2гь .гь )<

1 к

Впк(р(Х) )/(Гь .Гь ), ХеК, 1 к

1 к

В . (ОДО . (р(х))/Ш (0)г .р ). п,к п,к ' п,к п Ь

1 к

Теорема 4.2. Пусть X - гильбертово пространство, х е К с X, Р €<р (Х,к),||Р ц <1, векторы 11 еХ (1=Т7Ю и образуют ортонор

Г» Г^ Г» 1С ** ь * мированную систему векторов.

Тогда справедливы следующие неравенства:

7кРГ1(х)[11. ,.,\]НВ^к(р(х))/(г^ ), ХеК, укРГ1 (х)^,. |<к(0)Мгьк(р(х) )/(Нп>к(0)г* . . . ).

1 к

Ли»

Введем обозначения. Пусть хж>х0€А^, р=р(х^,хо), вп,к(р)

2Ч,к (2Р-1 ) <Р> • Я^ (р)=2Хк (2р-1 ),

Теорема 4.3. Пусть Ргефл (Х,к), ||РП||У^Ь векторы принадлежат X,Д1зЦ=1 (1=Т7К, к=Т7п)

Тогда имеют место неравенства

17кРп (х[ ^,., \ ] | <2кх2Вп>к (0) / ((1 -р2 )к/2г1. гк) <

Вьк(р)/(г1.гк), 17кРп (X,) ,. 3 | <Вп<к (О )Й 1Де (р)/ (Мьк (0 )г4. .Гк ), где р=р(х^,хо), г=гь (хо) 1=Т7Е. I

Обозначим через гь ь ь (хо) радиус шара, вписанного в

12""' к о множество (хо+Ь(Ц1,11й,. ,3^) )г\У, где хоеУ. о

Теорема 4.4. Пусть X - гильбертово пространство, х0еУсХ,

Рп€фп(Х,о?),||Рп||^1, векторы 31 еХ (1=Т7й) и образуют ортонормированную систему векторов. Тогда справедливы следующие не равенства:

1 к го .

17кРп <к (0)Н^к (р)/ (Ып>к (0)гь . . . ь. <*о >)' где р=р(х,хо).

Если в качестве направлений взять к различных нормированных векторов Ь и з одинаковых векторов х=х/||х||, то для банахова пространства X, при помощи теорем 4.1 и 2.2, получим следующую оценку.

Теорема 4.6. Пусть К с X, Рге Вп(К), 1< к+э <п, Имеет место неравенство

Рг1(х)[^,.„\,ГЗ| <

М . (0)г. ■ • • г. г ' п , к % ' Ь Ь х

1 к

Из теоремы 4.6 при к=1 получаем оценку

1 + 3 зир

17 Р (X) [31,X 1 ]г, < N (р(х) )/Г .

1 г> х ' ' ' Ь п,1+э 4 ~ Л ' х р св :к>,Ье=йв п ~ п

57)

58:

В (58) равенство достигается для х, при которых 3'1+5>(р(х) )=0 или р(х)>^, где 1; - максимальный ноль 8^1+е>(10 на [-1,13. Из (58) следует неравенство зир |7кРп (8х)[Ь1,^"1]|гь N^(0). (59) р ^в < к > ,ь. <=<Эв к-± ь

1 2

Если п-к четное, то в (59) будет равенство.

Из (59) получим при к= зир ||72Р (6^)1^2 < п2/г2 (К), Х- банахово, (60)

Р г=В <К> п г»

Оценка (60) точная для четных п. Из теорем 4.3. и 2.2 вытекает

Теорема 4.7. Пусть хое V с X, Рпе Вп(У), ||Ь.||=1, 1=Т7Е, х=(х-хо)/||х-хо||. Тогда имеет место неравенство где р=р(х,хо), r.=rh (хо), i=T7I. i

Замечание 4.2. Если Х- гильбертово пространство и ih ортонормированная система векторов, то в неравенствах (57) и

61) В , (0) заменяется на В°. (0), а rfr. на rk . или п, к п,к ' '1 h h . . . h i 1 к к ) . h . . . h N О '

1 к

Замечание 4.3. Для симметричных непрерывных к- линейных функционалов f: Xk->£R известны [140] неравенства supif(x ,х . .,х, )l < с. supii(x,x,.,x)i, (62)

II*. У<* Ы|<1

Ck < кк/к!. (63)

Если Х- гильбертово пространство, то [141-142]

Ск=1. (64)

Если X=li или Х=£[0,П, то существуют экстремальные функционалы [143], на которых (63) превращается в равенство. Поэтому из

62)-(64) и оценок производных по одному направлению вытекают оценки норм производных.

При помощи лемм 3.2 и 3.6 доказывается

Теорема 4.8. Пусть К с X, Pne Bn(K), ||h||=1. Тогда справедливы следующие неравенства: n(1-s2)l/z{ctg(a(-ös)/(2ri) )/2+p/(1-pz )1/z >

72Pn(x)[h,h]| < -—-,

1-p )r2 9 где XeK, e=P (x), a(s)=arccose, ö= sgnv2Pn(x)[h,h], p= p(x);

Замечание 4.7. Пусть ц(Х)~ мера негильбертовости пространства X ц(Х) = sup llx+yf+llx-yf 2 . .,„1,2

-у 2(||хГ+||у|Г)

Для рДХ) имеется точное неравенство 1< |а(Х) <2. Если Рпе Вп(К), то выполнено неравенство

V2Pn(x)||^2£jUR) < miní2,cijj, (X) }Nn ^ 2 (р(х) )г~2 (К), х € X Из теорем 4.8 и 2.2 вытекает

Теорема 4.9. Пусть К с X, Рпе Bn(K), ||h||=1, x=x/J|xj|, х*ек. Тогда (х) ítí ,Г ] j< 1,0858Nn 2 + s (p(x) )r;2C. n , 2 + s

Лемма 4.3. Пусть К с X, Pne Bn(K), j|h||=1, x € К

Тогда имеет место неравенство jv2P (х)[h,h]¡ < en

Пусть

Р)

1-р2 (х))г2 k-i П(п-21): i =о

2 , к

С=1,1544.

1-Р ) nn(n-2i+1 У D п , 2 к + 1

Р)

1 = 1

2 Л2к + 1)/2

-Р

О < р с =0/2=0,5772,

Теорема 4.10. Пусть К с X, Pn «= Bn(K)f k € z+, к > ?. сх = min(1 ,ео|а(Х)). Тогда справедливы оценки о ll?4^)IUk<x,[R) ^ c4k"\ik(p(x))r-k(K)s х е к;

H?kPn (x)||^k<xiR) < с^кк"\^(р(х))г-к(К), хеХ, где k± = [k/2J

Пусть у± (п) = 2(1+cos(c2%/n)) (3+cos(c2%/n))

7(n) = 7t (n)min{ci+^,c3}s где = 1,0858; cz = 0,890753; c.g = 1,12584. Теорема 4.13. Пусть V c X, Pn € Bn(v)> x0e V. Справедливы о следующие оценки для XeV, n(1-s2)l/2{ctg(a(-58)/(2n))+(p/(1-p))lx2>

ГР (x) [h,h] | <

1-p2)i£(x0) и для XeV ro

2Pn(x)[h,h3|< lnf 7(n)N^2(p)r;2(xo)<247(n)T^2>(1)/o.)J(li) x <=V О где е = Рп(х), а(б) = агссоБе, 6= (х)[И,И], р= р(х,хо).

Замечание 4.8. Мз теоремы 4.13 и предыдущих теорем для тела V вытекают утверждения, аналогичные утверждениям, содержащимся в замечании4.7 и теоремах 4.9-4.10 с заменой с4 на 7(п) N , на N , , р(х) на р(х,хг ) и г, на г. (х ).

I К } К V г"^ п и

Например, если Рп е то имеют место неравенства для хеХ, хоеУ, р=р(х,хо) х)||1К.2{х К><т1п(2,7(п)ц,(Х) )Nn> г (p)r~2 (хо); + sPn(x)[h%x=xos]|<T(n)Nn2 + s(p)r;'i(xo)||x-xo|r3p% где ||h||=1, = (х-хо )/||x-xoJ|; к/2 к ™

И'Ч^И^,*,^ к 7КЧ.1<(Р)Г' 'V: к к / 2 к * 2 к т^С^Пг-'т, где \= [к/2], ш1п{1,7о7(п)(1(Х)}, 7о=1,06311/2 = 0,531: Теорема 4.14. Пусть К с X, Рп € Вп(К), ||Эп.|| = 1. Тогда

73Рп(х)[Ц3]| < ¡Зз(пЖЛ;Э(р(х))г;3, х€ X, где рз(п)=(1,726п2+1,025)/(п2-1 ).

Следствие 4.1 Пусть К с X, Рп € Вп(К). Тогда справедливо неравенство

73 + 3Рп(х)Ш3,х3]| < (Зз(п)Мп>з+з(р(х))г;3г;:% где х € X, х * 6Х, х = х/||х||, ||1г|| = 1.

Теорема 4.15. Пусть V с X, Рп € Вп(У), хое V, ||Ь||=1.

Тогда выполнено неравенство

2,13бп2 ~

V Рп (х) [11 ]| < —-—Мл^з(р(х,хо))г;3(хо), х € X.

Следствие 4.2. Пусть V с X, Рп е Вл(У), хое V, р||=1. Тогда

2,136п2 ~

78 + иРп (x) [Ц3 ,Г ] Ц—г— 3 + е (Р)РХ (хо ) ||х-хо (Г , П где х € Х\хо, х=(х-х0)/||х-х0||, р=р(х,хс).

Теорема 4.16. Пусть К с X, Рп е Вп(К), ||Щ|=1.

Тогда имеет место неравенство

2,43 (п2+1)

7 Р (х) [Ь. ] | < ---N (Р(х)) г ~ , х <£ X. п - 4 '

Следствие 4.3. Пусть I с X, Pn е Bn(K), ||h||=1. Тогда

2,43 (п2 +1 ) lv Р (х)Е1г\Г]| < ---N , (р (х) )г~ i*~s , где х е Х\6х, х = x/||xj|.

Теорема 4.17. Пусть VCX, Pn eBn(V)f ||h||=1, xq€ V. Тогда справедливо неравенство

V4Pn(x)th4]| < ß4(n)Nnj4(p(x,xo))r;4(xo), х € X, где ß (n)=(2,632nz+1,775)/(nz-4).

1 4 о

Следствие 4.4. Пусть У с X, Pn € Bn(V), ||Ь.|М , хо<= V, х*хо, х = (х-х )/||х-х ||. Тогда имеет место оценка v4+sPn(x)[h4,r ]| < ß4(n)Nn!4 + s(p)psr-4(xo)||x-xojrs, где р=р(х,хо).

Теорема 4.18. Для фжсированных к и х справедливо ассимпто-тическое равенство lim n"k sup |vkPn(x)[hk]|rk = (1-p2 (x) )"k/z, xeK. w p ев <K>,heöB n n

В § 5 второй главы получены оценки производных полиномов на кубе в

Из леммы 3.2 выводится следующая

Лемма 5.1. Пусть k,s е z+s k+s < п. Справедливы следующие неравенства:

М (х)М , „(х) < М . (х), хе(-1,1) если s=1 или k+s<6; (65)

П j К К j S К*! ß х. "Ь s

M„,fc(0)M„k,,(0) < ^,(0). (66)

Замечание 5.1. По-видимому, неравенство (65) имеет место при любых к и s (к+з < п). При k+s>6 автор неравенство (65) не проверял.

Введем обозначения Qm=ixeO?m: ¡х. |<1, i=T7m). При помощи леммы 5.1 доказываются две следующие теоремы. Теорема 5.1. Пусть X = l[m\ |х|1 = ETlxJ> р е В (Qm).

X Л 1 V П Î)

Тогда имеют место следующие оценки: cfp (х) maxl - I (8,k.^+fÇkl=kf1<3l<m) <

ОХ.î.ОХ.î

J „ J

1 s maxNn>k (p)Nnk jk (p). .N^-i, k (p) (s,k.eZ+

1 12 1 L S кА<к2<. .<ks ), где x e X, p = p(x);

11?Ч<х)11*>к<х,К> £ 6, x € X. ll?4(9*)IUk<*,K5 ^ NnJe<0), k=T7n.

Теорема 5.2. Пусть X = l<m>, P e В (Qra), k.e z , £*k=k<n x 1 T"ï Ta + 1 V и выполнено хотя бы одно из следующих условий: a) за исключением одного, все к. = 1 ; b) сумма к. , отличных от единицы, не превышает шести; c) к = п.

Тогда имеет место неравенство <ЗкР (х) иах |—-Vt-I - Nnk(P(x))* х € х* j. =i dx.i. - dx.s ь к j

--1 s

1=1 , s

В § 6 второй главы получены аналоги неравенства Шеффера и Даф-фина на теле, ограниченном эллипсоидом в Ет. Из геометрических свойств эллипсоида, леммы 3.2 и теоремы

2.2 вытекает

Теорема 6.1. Пусть К=(хеЕгп:£™х*/а*<1 >» РпеВп(К), !|И||=1. Тогда справедливо неравенство

7кРп (X) [)2к ] I < 1^к(р(Х))/Гк . (67)

Равенство в (67) достигается только при Ь.=х/||х||, Рп(Ш)=Тп(г/гь)(^) в п-к+1 нулях Фдац™ Зпк)(г/Гь) и при \г\>1г

Следствие 6.1. Пусть К=(х:£™х*/а*<1} в Ет или К-шар в гильбертовом пространстве. Пусть Р (Х,к), ||Рп||к<1. Тогда

Теорема 6.2. Пусть К={х:£™х*/а2<1> в е™ или К-шар в гильбертовом пространстве. Пусть'Р еф (Х,ге), р||=1, 3^0 и для каждой точки х€К и для каждого отрезка СС,Б], такого, что С.ВеЗК, Хе С С, I) ], выполнено неравенство

7кРп(х)[(С-Б)к]| < 2кМп ^ к(^), где 1;=2||х-2||/||С-В||, г- середина отрезка [С,Б]. Тогда для з>0 справедливы неравенства

7к + *Рп(*№к + 31| < Мп>к + з(р(х))/гк+%

7к + 3Рп(х){х,К} ^к + з(р(х))/гк+3(К).

В § Т второй главы доказываются оценки производных однородных форм на выпуклых телах в банаховых пространствах. Обозначим через ф°(Х,У) пространство всех однородных форм степени п, отображающих X в Y.

Теорема 7.1. Пусть х € К с X, Рп€^(Х,к), ||Рп||к < 1, h € X, ||ii||=1. Тогда справедливы неравенства vk Рп (х) [ hk ] Kr;k (1 -k/n)~n/2k! Ck ((n-k) /к)k/2 pn ~k (x), k<n, vnPn(x)[hri3Kr;nn!,

7kPn (х)||^к<х^К)^г(К)~к(1-k/n)"n/zkkX2Ck(n-k)!°'2pnk (x), ken,

Автор недавно узнал, что оценки теоремы 7.1 для К=В получены в работе С133].

Следствие 7.2. Пусть х€КсХ, Р2пе ф2п(Х,к), ||Р2п||к<1, Р2п(х)выпуклая форма. Тогда выполнено неравенство ¡|vP2n(x)||x* < 2nr1 (K)p2r'1 (х).

Теорема 7.2. Пусть К с X. Тогда справедливо неравенство sup ||?PJK < (Епг(К)Г\ (68) где En = min max |u(t,{a. })|,

0L > tgto,ij q<n> u(t,{a. }) = t(1-t)ni - E a.t2i + 1 (1-t)n-2i-1, i=l q(n)=(n-1)/2, если n нечетно; q(n)=(n-2)/2, если n четно. При этом

E>4, E:1%6,9769, E~4=2 .г3'2 . (69)

2 3 4

Если К - шар в 1 ,то оцешеа (68) точная.

L.A.Harris [137] получил константы, совпадающие с (69). Рассмотрим некоторые схемы применения многомерных аналогов неравенств Марковых. Общая схема применения одномерных неравенств Марковых состоит в следующем. Естественным методом перехода от бесконечномерной к конечномерной задаче является приближение искомой функции конечной суммой где Рп(х)~ полином степени п. Наиболее часто используются ортогональные полиномы и ,в частности, полиномы Чебышева. Примеры такого применения для построения квадратурных формул, приближенного решения интегральных уравнений и других задач можно найти в монографии К.И.Бабенко [147]. Неравенства Марковых нужны для оценки точности и исследования сходимости построенных таким образом приближенных методов. Применение многомерных аналогов неравенств Марковых может происходить по той же схеме с заменой Рп(х) на Рп(хх,.,хк). К настоящему времени этот метод развит недостаточно полно и находится в состоянии интенсивного развития. Это связано с тем обстоятельством, что теория ортогональных полиномов от нескольких (даже двух) переменных еще далека от своего завершения. Однако первые примеры такого подхода уже имеются. Рассмотрим один из них, иллюстрирующий общую схему. В случае функций в единичном круге х2+у2<1 имеется система комплексных ортогональных с единичным весом полиномов

Ркг (х,у)=е"к9г,к| Р<°' ,к1 ' (2г2-1 ), к=0,+1,±2,.;8=0,1,2,.; |Ркв(х,у)|<1, (х2+у2<1, х=гсоз6, У=гз1п9), где Р<а^* (х)- полиномы Якоби. Эти полиномы были открыты Цернике в связи с его работами по оптике [148]. Полиномы Цернике нашли применение и в задаче томографии [149]. Результаты § 6 второй главы дают оценки производных полиномов

Цернике, которые являются новыми и важными для приложений. По мере развития теории ортогональных полиномов многих переменных значение и число примеров применения полученных результатов второй главы будет расти.

Рассмотрим еще одну схему применения результатов второй главы на примере работы В.М.Буслаева и А.Г.Витушкина [1501. В ней рас матривается оценка длины кода сигналов с конечным спектром в связи с задачами звукозаписи. В математической постановке вопроса - оценка длины кода сигналов из некоторого класса функций-это оценка энтропии этого класса функций. В [150] дается оценка энтропии бернштейновского класса В0. Вст - класс функций вещественных на к, |f(t)|<1 на к и носитель преобразования Фурье принадлежит [-а,о]. Среди параметров, в терминах которых в технике характеризуется качество прибора передачи информации ( канала связи ) с теоретико-информационной точки зрения, существенными являются следующие: Q - максимальная частота, воспроизводимая прибором; s - относительная погрешность воспроизведения; D=2Glogio(М/б) - динамический диапазон прибора, ( М - норма максимально возможного на выходе прибора сигнала), Q - норма шумов на выходе прибора. Норма сигнала f(t) i+r j|f(t)|| = maxt ((1 /2г) J f2 (x)dx)1""2, t-r где r>0 - константа, соизмеримая с величиной 1/Q.

Прибором W называется пара преобразований и W2, действующих следующим образом. Всякой функции f(t) преобразование ставит в соответствие некоторый двоичный код, состоящий из чисел Wt (кт)=0,1(к=0,±1 ,±2,.). Число т>0 не зависит от выбора кодируемой функции. Преобразование W2 ставит в соответствие этому коду некоторую вещественную функцию i*(t), определенную на всей вещественной оси и ограниченную единицей. Кроме того, предполагают существование константы h такой, что для всякого к значение W (кт) однозначно определяется значениями функции f(t) на отрезке CkT-h,kT;+ii] и при всяком t значение f*(t) определяется значениями W4 (кт) на отрезке tt-h,t+h3. Число h называют величиной задержи прибора, а число 1/т - плотностью используемого кода. Эти параметры (h.,1/4) характеризуют сложность прибора. Качество воспроизведения характеризуется тремя параметрами о,е,а. Зафиксируем число г>0. Функция f*(t) называется (е,б) приближением функции f(t), если при всяком t выполняется неравенство f(t)-f*(t)| < smax |i(x)| + а. (ТО)

Ct-r,t+ri

Говорят, что прибор имеет параметры не хуже, чем а,8,6, если для всякой функции f(t)eBa соответствующая функция f*(t)=W(f(t)) является ее (е,б) приближением. Если неравенство (ТО) выполняется на отрезке [-ТД], то f*(t) называется (8,6) приближением f(t) на [-Т,-Т1. Пусть число г фиксировано и пусть F и F* - два множества функций, определенных на отрезке [-Т-г,Т+гЗ. Множество F* называется (г,б) - сетью множества F на отрезке [-Т,Т], если для всякой функции feP найдется функция i*eF* такая, что f и f* (8,6)- близки на отрезке [-Т,-Т1. (s,Q)- энтропией Hp§(F,T) множества функций F на отрезке [-Т,Т] называется тотшая нижняя грань двоичного логарифма числа элементов множества F*, взятая

1* по всем Y , являющимся (е,б)-сетью множества Р на отрезке [ -Т, Т1. В работе [1503 получены следующие оценки (е,б)- энтропии класса В0 на отрезке С —Т»Т]

2оТ, ci(ör)

2оТ

1С log max(s,ô) -He,ô(Bo'T)i ~lTlog max(e.ö) '

71 ) где c4(or) и c2(or) зависят только от or. В частности.

On ф % нав<во'Т^ ■

Правая часть этого неравенства не зависит от Ô. Это означает, что можно построить канал связи со сколь угодно широким динамическим диапазоном, использующий коды фиксированной плотности, не зависящей от ширины динамического диапазона [1503. Для доказательства неравенств (71) в [1503 показывается, что функцию f(t)eB0 на отрезке [-Т-1,Т+13 можно равномерно приблизить с точностью С/Т функцией специального вида <p(t)R(t), где <p(t) -универсальная функция, не зависящая от выбора приближаемой функции, a R(t) - полином степени п<2Т+о(Т). Тем самым задача сводится к подсчету величины H£ô (ô=C/T) класса функций вида p(t)R(t), и здесь важную роль играют одномерные оценки А.Маркова. С.Бернштейна, В.Буслаева. В задачах многомерного кодирования-декодирования (например, задачах голографии) - ограниченные функции на к"1 с конечным спектром можно также равномерно приближать на центрально- симметричном выпуклом теле К, например, на кубе или шаре функциями специального вида ф(х)И(х), где ф(х)-универсальная функция, a R(x) - полином от m переменных степени, зависящей от параметров тела К. Оценки производных многомерных полиномов будут использоваться для оценки (e,ô)- энтропии класса функций вида ф(х)Н(х).

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты: о Обоснован деформационный принцип минимума для гладких оптимизационных задач с ограничениями типа неравенств или равенств в гильбертовом пространстве. о Деформационный принцип минимума распространен на негладкие бесконечномерные задачи математического программирования, о Установлен деформационный принцип минимума для многокритериальных задач математического программирования. о Доказана гомотопическая инвариантность слабого минимума классической задачи вариационного исчисления при ограничениях типа неравенств. о Получены неулучшаемые оценки для норм первых производных полиномов на классе всех выпуклых ограниченных замкнутых тел из банахова пространства.

0 Получены обобщения неравенств С.Н.Бернштейна и В.С.Виденско го для производных полиномов в к. о Установлена точная оценка для производной четного порядка в точке нормированного на к тригонометрического полинома при заданном значении полинома в этой точке. о Получен точный аналог неравенства Шеффера-Даффина для функций (х) ш,хе ]гьг® на центрально-симметричном выпуклом теле (х=х/||х||). о Получены новые оценки для старших производных полиномов на центрально-симметричных выпуклых телах и выпуклых телах, о Для норм производных полиномов в точке х ||Р^к> (х)|| на кубе в пространстве 1*ш> (при к<6) получена точная оценка в аналоге неравенства А.Шеффера и Р.Даффина. о Для тела К, ограниченного эллипсоидом в Ет, установлены еле дующие аналоги неравенств А.Шеффера - Р.Даффина и В.Маркова шах |Р<к>(х)[Цк]|гк <1^к(р(х)), 1|Ь|| = 1,||Рп11к<1 шах *> 5 к(р(х))/гк(К), шах ||Р:к>(х)||^<Е-к> = Т^к> (1 )/гк (К).

В первом неравенстве равенство достигается только при выполнении следующих условий: р(х) е А={1;>0 : 8^к> ("Ь)=0 или

-ъ1

Во втором неравенстве равенство достигается только при г =г(К) и р(х) е А.

Получены обощения этих неравенств при ограничениях не на полиномы, а на их производные.

1. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. - М.: Гостехиздат, 1955.

2. Барбакадзе Т.Н., Бобылев H.A., Кондаков Г.В. Деформационный принцип минимума для функционалов на банаховых пространствах // Сб. тр. ВНИИ систем исслед. -1990-Я13. С. 6-15.

3. Влисс Дж. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1950.

4. Бобылев H.A. Об одном приеме исследования устойчивости градиентных систем // Автомат, и телемехан. 1980. № 8. С. 33-35.

5. Бобылев H.A. О деформационном методе исследования функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы // Автомат, и телемехан. 1981. Ж. С. 11-18.

6. Бобылев H.A. 0 деформации функционалов, имеющих единственную критическую точку // Мат. заметки. 1983. Т. 34, JfG. С. 387-398

7. Бобылев H.A. Деформационный метод исследования задач нелинейного программирования. I // Автомат, и телемех. 1989. Ш. - С. 82-90.

8. Бобылев H.A. Деформационный метод исследования задач нелинейного программирования. II // Автомат, и телемех. -1989. #8. С. 24-33.

9. Бобылев H.A., Исмаилов И.Г., Пропой А.И. Деформационно-итерационные процедуры приближенного решения экстремальных задач // Препринт. Институт проблем управления АН СССР. - М., 1990.

10. Бобылев H.A., Климов B.C. Методы нелинейного анализа в задачах негладкой оптимизации. М.: Наука, 1992.

11. Бобылев H.A., Кондаков Г.В. Деформационный метод исследования негладких оптимизационных задач // Автомат, и телемехан. -1991. т. С. 45-57.

12. Бобылев H.A., Красносельский М.А. Нормальные деформации вариационных задач // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307, Я4. -С. 785-788.

13. Буслаев B.C. Вариационное исчисление. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

14. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов, М.: Гостехиздат, 1956.

15. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972.

16. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

17. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961.

18. Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях. М.: Мир, 1970.

19. Демьянов В.Ф., Минимакс: дифференцируемость по направлениям. Л.: изд-во ЛГУ. - 1974. 241 с.

20. Демьянов В.Ф. Негладкие задачи оптимизации и управления. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та. 1982. 324 с.

21. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.

22. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 363 с.

23. Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Теорема Люстер-ника и теория эксремума // УМН. 1980. Т. 35, №6. С. 11 - 46.

24. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

25. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Несколько замечаний о вариационных принципах // Мат. заметки. 1997. Т. 61, Ш. - С. 305 - 311.

26. Кардашов В.Р. Условия дифференцируемости многомерного функционала вариационного исчисления // Вестн. МГУ, матем., механ. -1971. JÉ1. - С. 23-31.

27. Качуровский P.M. О монотонных операторах и выпуклых функционалах // УМН. 1960. Т. 15, М. - 0. 213 - 215.

28. Качуровский P.M. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // УМН. -1968. Т. 23, JÉ2. С.121-168.

29. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.

30. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

31. Козлов В.В. Вариационное исчисление в целом и классическая механика // УМН. 1985. Т. 40, J62. - С. 33-60.

32. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

33. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука. - 1975.

34. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Основы вариационного исчисления. M.: ОНТМ, 1935.

35. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М. -Л.: Гостехиздат, 1950.

36. Левитин Е.С., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями // УМН. 1978. Т. 33, *б. - С. 85 - 148.

37. Люстерник Л.А. Об условных экстремумах функционалов // Мат. сб. 1934. Т. 41, ЛЗ. - С. 390 - 401.

38. Поволоцкий A.M. Применение вариационного метода к исследованию спектров нелинейных операторов // Мат. сб. 1957, Т. 42, Ш С. 287 - 300.

39. Постников М.М. Вариационная теория геодезических.- М.: Наука, 1965.

40. Похожаев С.М. О разрешимости нелинейных уравнений с нечетными операторами // Функц. анал. и его прил. 1967. Т. 1, J&3, С. 48-55

41. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. M.: Мир, 1973.

42. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев.: Наукова думка, 1973.

43. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

44. Bejancu A. On the Ekeland and Borwein-Preiss principles in finite dimensions // An. sti. Univ. Iasi. Mat.- 1994. V. 40, Л1. P. 63 67.

45. Berger M.S. New ideas in the calculus of variations in the large // Nonlinear Part. Differ. Equations and Their Appl. Coll. Pranse Semin. V. 6. Boston e.a. - 1984. P. 106-127.

46. Bobylev N.A. Homotopic methods in variational problems // J. of Soviet Math. 1993. - 67, №. - P. 2657-2712.

47. Bolza 0. Calculus of Variations. Dover, 1920.

48. Bolza 0. Vorlesungen uber Variatlonsrechnung.- Leipzig, 1949

49. Borwein J.H., Preiss D. A smooth variational principle with application to subdlfferentiability and to differentiabilty of convex functions // Trans. Amer. Math. Soc.- 1987. V. 303, Jtë2. P. 517-527.

50. Borwein J.M., Preiss D. A smooth variational principle // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 303. P. 517-527.

51. Brezis H. Equations et inequations non lineaires dans les espaces vectoriels en dualité // Ann. Inst. Pourier. Grenoble. 1968. V. 18, *1. P. 115 - 175.

52. Brezis H. Browder P.E. Maximal monotone operators in nonreflexive Banach spaces and nonlinear integral equations of Hammerstein type // Bull. Amer. Math. Soc. 1975. V. 81. - P. 82 - 88

53. Browder P.E. Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems // Bull. Amer. Math. Soc.- 1965. V. 71, M,1. P. 644 648.

54. Browder P.E. Nonlinear eigenvalue problems and Galerkin approximations // Bull. Amer. Math. Soc. 1968. V. 74, J®4.- P. 651-656.

55. Browder P.E. Pseudo-monotone operators and the direct method of the calculus of variations // Arch. Ration. Mech. and Anal. -1970. V. 38, M. P. 268 - 277.

56. Browder P.E. Nonlinear elliptic boundary value problems and the generalized topological degree // Bull. Amer. Math. Soc. -1970. V. 76, JÉ5. P. 999-1005.

57. Chang K.G. Variational methods for nondifferentials functional and their applications to partial differential equations // J. Math. Anal. Appl. 1981. V. 80. P. 12-129.

58. Clarke P.H. Generalized gradients and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. V. 205. - P. 247 - 262.

59. De Ville R. Nouveaux principes variationelles //

60. Sem. Init. 'al' Analuse, ed. G. Choqnet, G. Godefroy, M.Ro-galsky, J.Saint-Reyvond. 30-e Ann'e, 1990/91. N 21.

61. Ekeland I. On the variational principle // J. Math. Anal, and Appl. 1974. V. 47. - P. 324 - 353.

62. Gromol D., Meyer W. On differential functions with isolated critical points // Topology. 1969. V. 8. P.361-369.

63. Hadamard J.Calcul des variations. Paris: Hermann, 1910.

64. Hofer H. Variational and topological methods In partially ordered Hilbert spaces // Math. Ann. 1982. V. 261, M.1. P. 493 -514.

65. Ioffe A., Schwartzman E. Metric critical point theory.

66. Morse regularity and homotopic stability of a minimum // J. Math. Pures Appl. 1996. V. 75. P. 331-318.

67. Ledzewicz U., Walczak S. On the Lusternlk theoremfor nonsmooth operators // Nonlinear Anal., Theory, Meth., Appl. 1994. V. 22, №. - P. 121 - 128.

68. Loridan P. An application oi Ekeland's variational principle to generalized Stackelberg problems // Ric. mat. 1993. V. 42, №. - P. 159 - 178.

69. Mate! P. An existence result in the theory of nonlinear steady creep via the Ekeland variational principle // Stud, si cerc. mat. 1996. V. 48, M - 2. - P. 37 - 48.

70. Minty G.J. Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space // Duke Math. J. 1962. V. 29, J&3. - P. 341 - 346.

71. Morse M. The Calculus of Variation in the Large. New York: Amer. Math. Soc., 1964.

72. Morse M., Cairnes S.S. Critical points theory In global analysis and differential topology. New York etc., 1969.

73. Oettli W., Thera M. Equivalents of Ekeland's principle // Bull. Austral. Math. Soc.-1993. V. 48, JK3. P. 385-392.

74. Shi S. Z. Ekeland's variational principle and the mountain pass lemma // Acta. Math. Sin. -1985. V. 1.- P. 348-355.

75. Struwe M. Variationsmethoden der Nichtlinearen Punktional Analysis. Univ. Bonn, 1985.

76. Turlnichl M. A monotone version of the variational Ekeland's principle // Ann sti. Univ. Iasi. Mat. 1980. V. 36 №4. - P. 329 - 352.

77. Willem M. Remarks on the dual least action principle // Z. Anal. Anwend. Math. 1982. V. 1. - P. 91 - 95.

78. Clarke P.H. The dual action, optimal control and generalized gradients // Math. Contr. Theory. Banach. Centre. Publ. 1985. V. 14. - PWN, Warsawa. - P. 109 - 119.

79. Бобылев H.A., Емельянов C.B., Коровин C.K. Геометрические методы в вариационных задачах 1998. М.: Изд. Магистр.

80. Алексев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.:Наука, 1979.

81. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.

82. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.,Изд. иностр. лит., 1948.

83. Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.

84. Данфорд Н. и Шварц Дж. Т., Линейные операторы, общая теория, ИЛ, 1962.

85. Бернштейн С.Н. Об уравнениях вариационного исчисления. Собр. соч. Т.З. Физматгиз, М., 1960.

86. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации.- М.: Наука,1975.

87. Марков A.A. Об одном вопросе Д.И.Менделеева. Избранные труды. М.-Л.:ГИТТЛ,1948.

88. Марков В.А. О функциях, наименее уклоняющихся от нуля в данном промежутке. СПб. 1892.

89. Бернштейн С.Н. Собр. соч. т.1, Изд. АН СССР, 1952.

90. Schaeffer A.C., DuffIn R.J. On some inequalities of S.Bernstein and W.Markov for derivatives of polynomials // Bull. Am. Math. Soc. 1938. V.44., M 4, p.289-297.

91. Вороновская E.B. Функционал первой производной и уточнение теоремы А.А.Маркова // Изв. АН СССР, сер. матем. 1959. Т.23. J66 с. 951-962.

92. Гусев В.А. Функционалы производных от алгебраического полинома и теорема В.А.Маркова // Изв. АН СССР, сер. матем.1961. Т.25. j£3, с. 367-384.

93. Виденский B.C. Об оценках производных многочлена // Изв. АН СССР, сер. матем. 1951. Т.15. Jfö, с. 401-420.

94. Riesz М. Deutsche Math.-Ver. 1914. V.23., p. 354.

95. Szego G. Uber einen Satz des Herrn Serge Bernstein // Schriften der Konigsberger Gelehrten Gesellschaft, 1928. V.5, p. 59-70.

96. Никольский C.M. Обобщение неравенства С.Н.Вернштейна // ДАН СССР, 1948. Т.60, с. 1507-1510.

97. Стечкин С.В. Обобщение некоторых неравенств С.Н.Вернштейна //ДАН СССР, 1948. Т.60, с. 1511-1514.

98. Привалов И.И. Интеграл Коши // Изв. Саратов, универ. физмат. фак. ,1918, №1.

99. Jackson D. On application of Markoff's theorem to problems ofapproximation in the complex domain // Bull. Amer.

100. Math. Soc. 1931. V.37, p. 883-890.

101. Виденский B.C. Экстремальные оценки производной тригонометрического полинома на отрезке, меньшем чем период. // ДАН СССР, 1960. Т.130, #1, с. 13-16.

102. Зингер М.Я. Элементы дифференциальной теории чебышевских приближений. М.- Наука, 1975.

103. Hille Е., Szego G., Tamarkin J.D. On some generalization of a theorem of A.Markoff// Duke Math.J.1937.V.3, p.729-739

104. Бари H.K. Обобщение неравенств С.Н.Вернштейна //Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. Т.18, с. 159-176.

105. Bellman R. A note on an inequality of E.Schmidt //Bull. Amer. Math. Soc.,1944. V.50, p. 734-736.

106. Dorfler P. New inequalities of Markov type// SIAM J. Math. Anal., 1987. V.18, p. 490-494.

107. Schmidt E. Uber die nebst ihren Ableitungen orthogonalen Polynomensysteme und das zugehörige Extremum // Math. Ann. 1944. V. 119, p. 165-204.

108. Goetgheluck P. On the Markov inequality in Lp-spaces // J.Approx. Theory. 1990. V.62, p. 197-205.

109. Дзядык B.K. О конструктивной характеристике функций, удовлетворяющих условию Lip а (0<а<1) на конечном отрезке вещественной оси // Мзв. АН СССР, сер. матем. 1956. Т.20, с. 623-642.

110. Лебедь Г.К. Неравенства для полиномов и их производных // ДАН СССР, 1957. Т. 117, с. 570-572

111. Никольский С.М. Об одном методе покрытия области и неравенства для многочленов от многих переменных // Mathematica. 1966. V.8, р. 345-356.

112. Буслаев В.И. Некоторые неравенства для полиномов с действительными коэффициентами // ДАН СССР, 1975. Т.223, с.20-22.

113. Черных Н.И. О некоторых экстремальных свойствах полиномов // Труды MIAH СССР, 1965. Т.78, с.48-89.

114. Bojanov В. An extension of the Markov inequality // J.Approx. Theory., 1982. V.32, J«2, p. 181-190.

115. Конягин C.B. О неравенстве В.А.Маркова для полиномов в метрике L // Труды МИАН СССР, 1980. Т.145, с.117-125.

116. Конягин С.В. Границы производных полиномов //ДАН СССР, 1978. Т.243, Jfö, с.20-22.

117. Bo^anov В., Rahman Q.I. On certain extremal problemsfor polynomials //J. Math. Anal. Appl. 1995. V.189 , p.781-800.

118. Awakumova L.S. An extension of V.A.Markov's inequality for second derivative // East J. Appr. 1997. V.3, J62, p. 187-201

119. Kristiansen G.K. Some inequalities for algebrais andtrigonometric polynomials // J.London Math. Soc. 1983. V. 28, J61t p.83-92.

120. Ганзбург М.И. Теоремы Джексона и Вернштейна в кт .// Усп. мат. наук., 1979. Т. 34, J6 1, с. 225-226.

121. Тайков Л.В. Обобщение неравенства С.Н.Вернштейна // Труды МИАН СССР, 1965. Т. 78, с. 43-47.

122. Бабенко К.М. О аппроксимации периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами // ДАН СССР. 1960. Т. 132, с. 982-985.

123. Теляковский С.А. О неравенствах для производных тригонометрических полиномов нескольких переменных // Сибир. мат. жур. 1963. Т. 4, с. 1404-1411.

124. Теляковский С.А. О работах по теории приближения функций, выполненных в МИШ; // Труды МИАН СССР, 1988. Т.182, с. 128-179

125. Темляков В.Н. Аппроксимация периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной // Труды МИАН СССР, 1980. Т. 156, с.233-260.

126. Темляков В.Н. Аппроксимация функций с ограниченной смешанной производной // Труды МИАН СССР, 1986. Т. 178.

127. Pawlucki W., Plesnlak W. Extension of С00 functions from sets with polynomial cusps // Studia Math. 1989. V. 88, p. 279287.

128. Pawlucki W., Plesnlak. W. Markov's Inequality and C00 Functions on Sets with Polynomial Cusps // Math. Ann. 1986. V. 275. P. 467-480.

129. Baran M., Markov inequality on sets with polynomial para-metrizatlon, Ann. Polon. Math. 1994. LX.1. P. 69-79.

130. Coatmelic C. Approximation et interpolation des fonctions differentiables de plusieurs variables, Ann. Sci. Ecole

131. Norm. Sup., Ser. 1966. V. 83. Л 3. P. 271-341 .

132. Don R. Wilhelmsen. A Markov Inequality in Several Dimensions. Journ. of Approx. Theory, 1974, V. 11, J*. 3, p. 216-220

133. Наджмиддинов Д., Субботин Ю.Н. Неравенства Маркова на треугольниках // Матем. заметки. 1989. Т. 46, J6 2, с. 76-82.

134. Bialas-Clez L.»Goetgheluck P., Constants In Markov's inequality on convex sets // EAST J. Approx. 1995, V. 1. N. 3, p. 379-389.

135. Андрианов А.В. Аналоги неравенств А.Маркова и С.Бернш-тейна для многочленов в банаховых пространствах // Математ. заметки. 1992. Т. 52. вып. 5. С. 13-21.

136. Субботин Ю.Н., Васильев Ю.С. Неравенства Маркова в неулучшаемые на классе всех выпуклых компактных тел // Доклады РАН, 1998, Т. 360, JC 6, с. 734-735.

137. Sarantopoulos Y. Bounds on the derivatives of polynomials on Banach spaces // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1991, V. 110, p.307-312.

138. Kellogg O.D. On bounded polynomials on several variables. // Math.Zeit., 1927, V. 27, £ 1, p. 55-66.

139. The Scottish Book "Mathematics from the Scottish Cafe" ed. R.D.Mauldin (Birkhauser, 1981).

140. Harris L.A. Bernstein's polynomial inequalities and functional analysis // Irish Math. Soc. Bulletin., 1996, V. 36 p. 19-33.

141. Harris L.A. A Bernstein-Markov theorem for normed spaces // J. Math. Analysis., 1997, V. 208, p. 476-486.

142. Schaeffer A.C., Duffin R.I. A refinement of an inequality of the brothers Markoff //Trans.Amer.Math.Soc.,1941, V. 50, N.3, p. 517-528

143. Полна Г., Cere Г. Задачи и теоремы из анализа., Т. 2, 1978, М.: Наука.

144. Taylor А.Е. Additions to the theory of polynomials in normed linear spaces // Tohoku Math. J. 1938, V. 44, p. 302-318

145. Banach S. Uber homogene Polynome in (L2) // Studia Math. 1938, V. 7. P. 36-44.

146. Harris L.A. Bounds on the derivatives of holomorphic functions of vectors // Analyse Ponctionnele et Applications. Leopoldo Nachbin editor,Hermann, Paris, 1975, p. 145-163.

147. Kopec J., Musielak. On the estimation of the norm of the n-linear symmetric operation // Studia Math. 1955, V. 15, p. 29-30.

148. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.-Л.,0ГИЗ, 1947.

149. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М., Наука, 1966.

150. Коллатц Л., Крабе В. Теория приближений. М., Наука, 1978.

151. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986.

152. Борн М., Вульф Э. Основы оптики. М., Наука, 1973.

153. Deans S.R. The Radon transform and some of its applications. J. Wiley. 1983.

154. Буслаев В.И., Витушкин А.Г. Оценка длины кода сигналовс конечным спектром в связи с задачами звукозаписи // Мзв. АН СССР, серия матем. 1974. Т. 38. С. 867-895. Список работ по теме диссертации

155. Скалыга В.М. О деформационном методе исследования на условный минимум функционалов качества систем с бесконечным числом степеней свободы//Автоматика и Телемеханика.1991. * 6. С. 47-55.

156. Скалыга В.М. Деформационный метод исследования экстремальных задач с ограничениями // Динамика неоднородных систем. Сб. трудов ВНЗШСМ. 1991. Вып. 14. С.59-63.

157. Скалыга В.М. Деформационный метод исследования бесконечномерных оптимизационных задач. // Мат. заметки. 1993. Т. 53. Вып. 2. С. 175-176.

158. Скалыга В.М. Деформационный метод исследования негладких бесконечномерных оптимизационных задач //Автоматика и телемеханика. 1993. $ 11. С. 66-69.

159. Скалыга В.М. О деформациях негладких оптимизационных задач, имеющих изолированную экстремаль // Мзв. РАН. Серия матем. 1994. Т.58, £ 4. С. 186-193.

160. Скалыга В.М. Деформационный метод исследования бесконечномерных оптимизационных задач. // Сб. трудов Мнет, проблем управл. 1992.-М. С. 76-79.

161. Скалыга В.М. О гомотопическом методе в многокритериальных бесконечномерных задачах /'/ Изв. РАН. Серия матем. 1997.1. Т.61, $ 4. С. 137-154.

162. Скалыга В.М. Аналоги неравенства братьев Марковых для полиномов на кубе в о?"1 // Мат. заметки. 1996. Т. 60.1. Вып. 5. С. 783-788.

163. Скалыга В.М. Аналоги неравенств Марковых и Бернштейна для полиномов в банаховых пространствах // Изв. РАН. Сер. мат. 199? Т. 66, Л 1 .С. 141-156.

164. Скалыга В.М. Оценки производных полиномов на выпуклых телах // Труды МИАН. 1997. Т. 218, с. 374-384.

165. Скалыга В.М. Аналоги неравенств Марковых и Вернштейна на на выпуклых телах в банаховых пространствах /'/ Изв. РАН. Сер. мат. 1998. Т. 62, №2. С. 169-192.