О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций

Сыркашев, Аркадий Николаевич

О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Сыркашев, Аркадий Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций»

Автореферат диссертации на тему "О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций"

На правах рукописи

Сыркашев Аркадий Николаевич

О ВАРИАЦИОННОМ И ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ МЕТОДАХ В ТЕОРИИ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Томского государственного университета.

Научныйруководитель

член корреспондент РАО, доктор физико-математических наук, профессор Александров Игорь Александрович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Терпугов Александр Федорович

кандидат физико-математических наук Садритдинова Гулнора Долимджановна

Ведущая организация

Саратовский государственный университет

Защита диссертации состоится 27 февраля 2004 г в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета К 212.267.05 при Томском государственном университете по адресу:

634050, г.Томск, пр. Ленина, 36, главный корпус ТГУ, конференцзал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТГУ.

Автореферат разослан 26 января 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент А.Н. Малютина

ътиж*^7

Актуальность темы- Краткий исторический обзор.

В теории однолистных функций значительное внимание уделяется исследованию геометрических свойств класса 5 голоморфные однолистных в единичном круге £={ге С:|.г|<1} функций У (.гт") , /(0) = 0,/'(0)= 1. Многие вопросы могут быть сформулированы здесь либо в виде задачи исследования на экстремум некоторого вещественнозначного функционала, либо в виде задачи нахождения множества значений некоторого комплекснозначного функционала, определенного в этом классе. Класс 8 не является линейным, и для решения в нем экстремальных задач методы классического вариационного исчисления оказываются недостаточными, поэтому математиками в теории однолистных функций были предложены другие методы. Одни из наиболее эффективных были дамы К. Левнером и М. Шиффером.

В 1923 году К. Левнер [14] представил параметрический метод, получив с помощью теоремы Каратеодори о сходимости семейства. областей к ядру дифференциальное уравнение для семейства. ф>нкций, сходящегося к данной однолистной функции. Посредством этого уравнения он доказал справедливость гипотезы Бибербаха для третьего коэффициента. Систематически развил метод Л е в н е р а Г.М. Голузин, доказав, в частности, с его помощью теорему вращения. Параметрическим методом удалось получить ряд точных оценок, а в некоторых случаях, проинтегрировав уравнение Ле внера, найти экстремальные функции. В 1943 году П.П. Куфарев [9] дал обобщение уравнения Левнера, названное уравнением Левнера — Куфарева, с помощью которого были решены многие трудные задачи теории однолистных функций. Метод продолжения по параметру использовали в своих

П.П. Куфарев, И.А. Александров, М.Р. Куваев, В.И. Попов, В.Я. Гутлянский и другие. А в 1984 году Л. де Бранж [5] с помощью уравнения Левнера решил проблему коэффициентов в классе

В 1943 году М. Шиффер [17] предложил метод внутренних вариаций. Г.М. Голузин [6] развил его, получив вариационные формулы при меньших предположениях об отображениях. Этот метод приводит при решении экстремальных задач к некоторому дифференциально-функциональному уравнению для каждой экстремальной функции. С помощью полученного уравнения были найдены точные оценки многих функционалов, а для некоторых были указаны и экстремальные функции. Впрочем, часто интегрирование упомянутого уравнения выполнить не удается, так как оно содержит параметры, зависящие от искомого решения. Тогда довольствуются качественной характеристикой экстремальной функции, а именно, описанием образа канонической области (как правило, единичного круга, либо внешности единичной окружности) при отображении экстремальной функцией. В большом круге задач этим образом оказывается вся плоскость, разрезанная по кусочно-аналитической кривой. В таких случаях экстремальная функция является предельной для решений некоторого уравнения Левнера. Таким образом, возможным становится комбинировать метод внутренних вариаций и параметрический метод. Один из вариантов объединения методов был предложен П.П. Куфаревым [11-13]. Вариационно-параметрическим методом Куфарева томской школой математиков были решены многие задачи теории однолистных функций.

Большое внимание указанным методам уделено, например, в работах Г.М. Голузина [7], В.К. Хеймана [16], И.А. Александрова [2, 3], К. Поммеренке [15], В.Я. Гутлянского [8].

Цель работы

Изучение взаимосвязей метода внутренних вариаций и метода параметрических представлений теории однолистных функций; построение вариационных формул в различных классах однолистных функций; нахождение новых случаев интегрирования уравнения Левнера-Куфарева; исследование функционала, зависящего от значений функции и первых ее двух производных в фиксированной точке, и применение полученных результатов к исследованию задачи о кривизне линий уровня.

Методы исследования

В работе используются общие методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, методы геометрической теории конформных отображений, методы теории дифференциальных уравнений, вариационный и параметрический методы и их комбинации.

Научная новизна и практическая значимость

Постановка темы диссертационной работы принадлежит И.А. Александрову. Оригинальные результаты получены под его руководством и при консультациях СА Копанева.

Основные результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут использоваться при чтении спецкурсов на механико-математических факультетах для студентов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Результаты и методы исследования данной работы могут быть полезны при решении экстремальных задач геометрической теории функций.

Основные результаты работы

Следующие результаты автор считает основными и выносит на защиту.

Получена новая вариационная формула в классе 5 как следствие теоремы Голузина с вариацией кольцеобразной области, имеющей полюсы второго порядка.

Путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева получено интегральное представление подкласса класса 8*.

Путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева получена интегральная формула в некотором подклассе класса 5, аналогичная формуле Базилевича.

Приведена качественная характеристика граничных функций функционала, зависящего от значения функции класса 5 и первых двух ее производных в фиксированной точке единичного круга.

Указано множество функций, содержащее экстремальные функции в задаче об уценке кривизны линий уровня в классе 5, рассматриваемой как функционал, зависящий от значений первых двух производных отображения в двух точках единичного круга.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории функций комплексного переменного в Томском государственном университете, на Международной конференции по математике и механике (г. Томск, 2003 г.), на молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2003» (г. Казань, 2003 г.)

Основное содержание диссертации изложено в работах [1—4] из списка работ автора.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых разбита на четыре параграфа, списка литературы, содержащего 54 наименования, списка работ автора. В работе имеется два рисунка. Общий объем диссертации - 97 страниц.

Содержание работы

Отметим, что нумерация всех приведенных ниже утверждений и формул соответствует нумерации, принятой в тексте диссертации.

Первая глава посвящена методу внутренних вариаций в геометрической теории функций комплексного переменного. Рассматривается вариант этого метода, предложенный Г.М. Голузиным. Представлены вариационные формулы в различных классах однолистных функций.

В §1.1 сформулирована и доказана теорема Голузина, которая и составляет содержание этого метода. Она указывает способ построения вариационных формул в классе всех голоморфных однолистных в единичном круге функций и используется в дальнейшем.

Пусть IV =/(г) е 5 отображает крут Е на область £> с С , и пусть - семейство областей, сходящееся при как к

ядру относительно точки щ - 0. Функции w -уЁ (г),^ (0) = 0,./У(0) > О» однолистно и конформно отображающие Е на О(е), согласно теореме Каратеодори о ядре равномерно внутри Е сходятся к /(г) при с —» 0. Предположим, что функция голоморфная и однолистная

по г в кольце К(г, 1) = {г: г < \ г | < 1} при каждом фиксированном е, во-первых, отображает это кольцо на двусвязную область А(г),

которая при объединении с ограниченной компонентой дополнения совпадает с £>(е), и, во-вторых, имеет разложение по степеням е вида

g{z, е) -/(г) + «*/'(*) Ч(г) + у (г, е), где у(г, е)!е—> 0 при £->0 равномерно внутри /¡Г(г, 1), и 9(2) -

голоморфная в К(г, I) функция, имеющая разложение в ряд Лорана

Ф) = Т{2) + ЭД, где т(=) = = X с„г\

л-1 2 п*О

Теорема 1.1 В классе Sимееm место вариационная формула

(1.1)

В §1.2 теорема Голузина применяется для получения вариационных формул в классе Сначала приведен вывод основной в рассматриваемом методе вариационной формулы Шиффера-Голузина, с помощью которой при решении экстремальных задач получают дифференциально-функциональное уравнение для экстремальных функций. Затем предложена одна новая вариационная формула.

Теорема 1.3 В классе 5 имеет место вариационная формула

где г^, к= 1, 2,..., т, ие N. - различные точки из Е, А* произвольные комплексные постоянные, и

С помощью этой формулы далее получено дифференциальное уравнение второго порядка для экстремальных функций в задаче о кривизне линий уровня функций класса

В §1.3 представлены два примера применения теоремы Голузина для построения вариационных формул в других классах однолистных функций. В теореме 1.4 предложен новый вывод известной вариации в подклассе звездообразных функций класса 5, впервые полученной И.А. Александровым [1]. В теореме 1.5 дана вариационная формула в классе НоВ §1.4 приведены вариационные формулы, имеющие при решении экстремальных задач вспомогательное значение. Все они получены элементарным образом без привлечения теоремы Голузина.

Вторая глава посвящена методу параметрических продолжений и его взаимосвязям с вариационным методом.

В §2.1 этой главы представлено уравнение Левнера-Куфарева

где заданная в функция, при каждом

фиксированном г принадлежащая классу С голоморфных в Е функций р(г), р(0)~ 1, Яер(г)>0, и непрерывная по совокупности переменных в цилиндре ExT. Множество всех таких функций р{£, г) обозначено через

Сформулирована теорема о существовании и свойствах его решения, и представлено доказательство [2]. Свойства решений этого уравнения впервые были изучены в работе П.П. Куфарева [10].

Затронут вопрос о зависимости решения уравнения (2.1) от вещественного параметра, и результат сформулирован в виде теоремы 2.2 и следствия 2.2.

Теорема 2.2 Пусть функция р(£, г, е) при каждом фиксированном ё, ев(—ео,£о), So>Oy принадлежит классу £Р(С,Г), является непрерывно дифференцируемой по с в (-ео, ео), и ее производная р'с(£,х,£) ограничена внутри £х7х(-е0, ео)- Тогдарешение уравнения

непрерывно по совокупности переменных внутри £хГх(-е0, го), и существует непрерывная по совокупности переменных внутри ЕхТх(-с0, е0) производная £ .

В §2.2 представлены некоторые случаи интегрирования уравнения Левнера-Куфарева частного вида.

В первом пункте этого параграфа приведено известное интегральное представление функций класса S* посредством функций p(z) класса С, полученное как результат интегрирования уравнения (2.1) с правой частью, не зависящей от переменного т (автономное уравнение Левнера-Куфарева).

Указан способ построения вариационных формул в классе S*, используя вариационные формулы в классе С, приведено два примера таких построений.

Во втором пункте путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева с функцией получена новая

интегральная формула в некотором подклассе класса

Теорема 2.4 Пусть р(г) еС, и а, а>0, - произвольное постоянное. КлассуЗ* принадлежит функция

и \ (', рСН <!']

Заметим, что из этой формулы при а — 0 получается упомянутое выше интегральное представление класса

В третьем пункте представлен вывод формулы Базилевича [4] как классический случай интегрирования уравнения Левнера-Куфарева.

И, наконец, предложена новая интегральная формула, аналогичная формуле Базилевича. Она получена путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева с функцией

Теорема 2.6 Пусть р^г), /^(г) - голоморфные в Е функции с положительными вещественными частями, и а, 0<а<1,— произвольное постоянное. Классу Бпринадлежит функция

Заметим, что из этой интегральной формулы можно получить формулу Базилевича, положив

В §2.3 с помощью уравнения Левнера-Куфарева получены вариационные формулы в некотором подклассе класса 5.

Пусть для функции /(г) е 5 найдется такая функция р(4т) е С°(С,Г), что /(г)= Ите'£(т,г), где ¿Х.х,г) — решение

4 ' г-ко

уравнения Левнера-Куфарева. Множество всех таких функций /(г) обозначим через 5(0, Т). Оно является плотным подклассом класса Я.

Теорема 2.8 Пусть функция г,е) прикаждомфиксированном с, ге(-£о, £о), принадлежит классу £Р(С,Г), непрерывно

дифференцируема по Ев (-£о,£о), имеет в окрестности е = О разложение вида

р{С, Г, е) =р(С, г) + еЦС г) + КС т>£)> где у(С, х, е)/е -» 0 при е—>0 равномерно внутри Е<Т, и пусть производная р'с(£,т,с) ограничена внутри ЕхТх(-еа, Ео). Тогда е классе 5(С, Т) имеетместо вариационная формула

где О^с, г) - решение уравнения (2.1).

В §2.4 представлены различные варианты объединения вариационного и параметрического методов, предложенные НАЛебедевым (теорема 2.10) и П.П.Куфаревым (теорема 2.11). Они основаны на том обстоятельстве, что во многих задачах экстремальные функции отображают круг Е на области, полученные из плоскости проведением разреза по кусочно-аналитической кривой. В теореме 2.12 в новой редакции в терминах и обозначениях метода параметрических представлений дана одна вариационная формула М.Шиффера[18].

Пусть f(z) = Z + C2Z2 +...£ S отображает круг Е на область Во - C\L, где L - кусочно-гладкая кривая с параметрическим уравнением = <p(t), 0<t<oo. Функция <p(t) такова, что область В„ полученная из плоскости проведением разреза w = <p{t), x<t^ao, односвязна. Параметризацию семейства областей Вх будем считать стандартной, то есть производящую для f (г) функцию w = т), ^(г, 0) —f(г), однолистно и конформно отображающую Е на Вп нормированной разложением

Теорема 2.12 Классу 8принадлежит функция

[з^-4е'всд1)+2с22 (г)-с, (г)]/3 +

где О^0<2л, lim^e2ro^e"Jrjj = 0, и с*(г) - коэффициенты

производящей для/(г)функции *f(г, т).

В третьей главе исследуется экстремальная задача. В §3.1 дана постановка задачи. Требуется найти область значений функционала, зависящего от значений функции и первых двух ее производных:

(3.1)

где J: Q -> С ,J=J{co\, ыг, о>з, Ыц, о>ь, в>б) —шшъ <фуницвя,<отличшвк<от

постоянной и аналитическая в некоторой области , и

- произвольно фиксированная точка. Для исследования этой задачи используется метод внутренних вариаций. Установлено, что образ единичного круга при отображении w =/(z) не имеет внешних точек.

В §3.2 получено дифференциально-функциональное уравнение для граничной функции.

Теорема 3.1. Каждая граничная функция функционала (3.1) удовлетворяет в Едифференциально-функциональномууравнению

Коэффициенты полиномов Л(щ) и Б(1) указаны в явном виде.

В §3.3 проведен качественный анализ полученного уравнения. Установлено, что граничная функция отображает единичный круг Е на область одного из двенадцати типов. При этом граница области /(Б) является кусочно-аналитической кривой, содержащей бесконечно удаленную точку и имеющей не более трех конечных концевых точек.

В §3.4 рассмотрен конкретный функционал: кривизна линий уровня функций g(z) класса S в точке и>0 = ^ (го) при фиксированном г0 е Е

(3.9)

Задача нахождения экстремумов функционала (3.9) эквивалентна задаче об экстремумах функционала

1 -г'

|/'(г)]11е(1+/-2-2гс2),

(3.11)

который и исследуется в дальнейшем. Для этого применен вариационный метод. Установлено, что экстремальные функции функционала (3.11) отображают единичный круг на области без внешних точек. Получено дифференциально-функциональное уравнение для экстремальной функции.

Теорема 3.4 Если -/(г) —экстремальная функция функционала (3.11), то она удовлетворяет в Е дифференциально -функциональномууравнению

где Л(м>):

Полученное уравнение (3.13) является уравнением такого жетипа, что и уравнение (3.5), поэтому качественная характеристика их решений совпадает. Для экстремальных функций в задаче о кривизне линий уровня этухарактеристикуудается уточнить.

Теорема 3.5 Если м' = /(г) —экстремальнаяфункцияфункционала (3.11), то она осуществляет отображение круга Ена С\Г , где Г — кусочно-аналитическая, содержащая бесконечно удаленную точку кривая одного из следующих видов:

1. кривая Г состоит из одной аналитической дуги, при этом

2. кривая Г состоит из двух аналитических дуг, имеющих общим концом точкуюг и образующих в нейуглы 2я73 иАп!Ъ, при этом

3. кривая Г состоит из двух аналитических дуг, имеющих общим концомбесконечноудаленнуюточку.приэтом А{уи) = -и'О,

ч г\)

4. кривая Г состоит из трех аналитических дуг, имеющих общим концом точку ю2 и образующих в нейравныеуглы, при этом

Экстремальная функция функционала (3.11) удовлетворяет также некоторому дифференциальному уравнению второго порядка.

Теорема 3.6 Если и> =/(г) —экстремальная функция функционала (3.11), то она удовлетворяет дифференциально-функциональному уравнению

Коэффициенты полиномов Р(ц>) и Я(ю) указаны в явном виде.

Литература

1. Александров И.А. Вариация звездообразных функций // Вопросы математики. Тр. Томск, ун-та. 1961. Т. 155. С. 61-71.

2. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М: Наука, 1976.344 с.

3. Александров И. А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: ТГУ, 2001.220 с.

4. Базилевич И.Е. Обобщение одной интегральной формулы для подкласса однолистных функций // Матем. сб. 1964. Т. 100. С. 628-630.

5. Branges L. A proofofthe Bieberbach conjecture // Acta Math. 1985. V. 154.1-2. P. 137-152.

6. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т. 19. №2. С. 203-236.

7. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.628 с.

8. Гутлянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций //ДАН СССР. 1970. Т. 194. С. 750-753.

9. Куфарев П.П. Об однопараметрических семействах аналитических функций // Матем. сб. 1943. Т. 13. С. 87-118.

10. Куфарев П.П. Теорема о решениях одного дифференциального уравнения // Ученые зап. Томского ун-та. 1947. №5. С. 20-21.

11. Куфарев П.П. Одно замечание об экстремальных задачах теории однолистных функций // Учен. зап. Томск, ун-та. 1951. №14. С. 3-7.

12. Куфарев П.П. Об одном свойстве экстремальных областей задачи коэффициентов // ДАН. 1954. Т. 97. С. 391-393.

13. Куфарев П.П. Об одном методе исследования экстремальных задач теории однолистных функций // ДАН. 1956. Т. 107, №5. С 633-635.

14. LownerK. Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises // Math. Ann. 1923. 89. P. 103-121.

15. Pommerenke Ch. Univalent functions. Gottingen, 1975.

16. Хейман В.К. Многолистные функции. М: ИЛ, 1960. 182 с.

17. Schiffer M. Variation of the Green function and theory of the p-valued functions // Amer. J. Math. 1943. V. 65. P. 341-360.

18. Schiffer M. On the coefficient problem for schlicht functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 134, №1. P. 95-101.

Работы автора по теме диссертации

1. Копанев СА, Сыркашев А.Н. Качественный анализ дифференциально-функционального уравнения одного функционала // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск. 2001 г. С. 125-134.

2. Сыркашев А.Н. Вариационная формула в классе звездообразных функций // Международная конференция по математике и механике: тезисы докладов. Томск. 2003. С. 32.

3. Сыркашев А.Н. Об одном случае интегрирования уравнения Левнера-Куфарева // Труды Матем. центра им. Н.И.Лобачевского. Т. 21. Лобачевские чтения-2003. Материалы третьей всероссийской молодежной научной школы-конференции. Казань. 2003. С. 204-206.

4. Сыркашев А.Н. О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций // Вестник Томск, ун-та. 2003. С. 65-75.

Формат 60x84/16. Объем 1 п. л. Печать трафаретная. Тираж 100. Заказ 052. Размножено ООО «Дельтаплан». Лицензия ИД № 01282 от 22.03.2000.

564551 204780

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Сыркашев, Аркадий Николаевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Вариации однолистных функций

§1.1 Теорема Голузина

§ 1.2 Вариационные формулы в классе 5"

§1.3 Вариационные формулы в классах однолистных функций

§1.4 Вспомогательные вариации

Глава 2. Параметрическое представление однолистных функций

§2.1 Уравнение Левнера-Куфарева

§2.2 Некоторые случаи интегрирования уравнения

Левнера-Куфарева

§2.3 Вариационные формулы в классе 5(0, 7)

§2.4 Объединенные методы

Глава 3. Экстремальные задачи в классе £

§3.1 Функционал / = •/(/,/,/'>/',/",7")

§3.2 Дифференциальное уравнение для граничных функций

§3.3 Качественный анализ уравнения Шиффера-Голузина

§3.4 Кривизна линий уровня функций класса £

Введение диссертация по математике, на тему "О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций"

Краткий исторический обзор

Геометрическая теория функций комплексного переменного является важной и содержательной частью математического анализа. Она изучает аналитические функции, определяемые каким-либо геометрическим свойством, а также геометрические свойства различных классов аналитических функций. Одним из таких свойств является конформность. Конформные отображения играют важную роль в математике и ее приложениях - теории упругости, гидромеханике, аэродинамике и др. Неудивительно, что голоморфные однолистные функции, реализующие такие отображения, подверглись многочисленным и интенсивным исследованиям. Фундамент этим исследованиям заложил Б. Риман, сформулировавший в 1851 году теорему о конформном изоморфизме односвязных областей [48]. Большой вклад в развитие зарождавшейся теории сделал К. Каратеодори. Он доказал теорему о сходимости областей к ядру, а в работах [25], [26] детально рассмотрел вопрос о граничном соответствии, предложив теорию простых концов и доказаз теорему о соответствии границ при конформных отображениях.

В теории однолистных функций значительное внимание уделяется исследованию геометрических свойств класса 5" голоморфных однолистных в единичном круге функций /(г), нормированных тейлоровским разложением /{г) = г + с2г + . Многие вопросы здесь могут быть сформулированы либо в виде задачи исследования на экстремум некоторого вещественнозначного функционала, либо в виде задачи нахождения множества значений некоторого комплекснозначного функционала, определенного в этом классе. Класс 5" не является линейным, и для решения в нем экстремальных задач методы классического вариационного исчисления оказываются неприменимыми. Поэтому математиками в теории однолистных функций были предложены различные тонкие методы. В работах К. Каратеодори, П. Кебе, Л. Бибербаха, Т. Гронуолла, К. Левнера 10-х, 20-х годов прошлого века были поставлены и решены первые экстремальные задачи геометрической теории функций, предложены первые методы исследования таких задач.

В 1914 году Т. Гронуолл [20] доказал теорему площадей, которую в 1916 году [11], [12] использовал Л. Бибербах для нахождения константы Кебе и оценки |сг|^2 коэффициента Сг в разложении в ряд Тейлора функций /(г) = 2 + с22 + . класса 5". Он также предположил, что \сп\<п. Это предположение стали называть гипотезой Бибербаха. Задача оценки коэффициентов на протяжении почти целого века оказалась неразрешимом и являлась пробным камнем для проверки эффективности новых методов теории однолистных функций.

В 1923 году К. Левнер [41] представил параметрический метод, получив с помощью теоремы Каратеодори о сходимости семейства областей к ядру дифференциальное уравнение для семейства функций, сходящегося к данной однолистной функции. Посредством этого уравнения он доказал гипотезу Бибербаха для третьего коэффициента. Систематически развил метод Левнера Г.М. Голузин, доказав, в частности, с его помощью теорему вращения. Параметрическим методом удалось получить ряд точных оценок, а в некоторых случаях, проинтегрировав уравнение Левнера, найти экстремальные функции. В 1943 году П.П. Куфарев [31] дал обобщение уравнения Левнера, названное уравнением Левнера-Куфарева, с помощью которого были решены многие трудные задачи теории однолистных функций. Метод продолжения по параметру использовали в своих работах Г.М. Голузин, И.Е. Базилевич, П.П. Куфарев, И.А. Александров,

М.Р. Куваев, В.И.Попов, В.Я. Гутлянский и другие. А в 1984 году JI. де Бранж [13] с помощью уравнения Левнера решил проблему коэффициентов однолистных функций. С различными подходами к обоснованию и многочисленными применениями этого метода можно ознакомиться по монографиям Г.М. Голузина [19], В.К. Хеймана [49], И.А. Александрова [3,4].

В 1943 году М. Шиффер [53] предложил метод внутренних вариаций. Несколько позже Г.М. Голузин [16] усовершенствовал его, получив вариационные формулы при меньших предположениях об отображениях. Вариационный метод приводит при решении экстремальных задач к некоторому дифференциально-функциональному уравнению для каждой экстремальной функции. С помощью полученного уравнения во многих случаях были найдены точные оценки исследуемых на экстремум функционалов, а в некоторых были указаны и экстремальные функции. Такие примеры можно найти в работах Г.М. Голузина [17], H.A. Лебедева [39], В.В.Черникова [51] и других. Впрочем, часто интегрирование полученного дифференциального уравнения для экстремальной функции не удается, так как оно содержит параметры, зависящие от искомого решения. Тогда довольствуются качественной характеристикой экстремальной функции, а именно описанием образа канонической области (как правило, единичного круга, либо внешности единичной окружности) при отображении экстремальной функцией. В большом круге задач этим образом оказывается вся плоскость, разрезанная по кусочно-аналитической кривой. В таких случаях экстремальная функция является предельной для решений некоторого уравнения Левнера. Таким образом, возможным становится комбинировать метод внутренних вариаций и параметрический метод. Один из вариантов объединения методов был предложен H.A. Лебедевым [38]. Другой способ дал П.П. Куфарев [34-36]. Вариационно-параметрическим методом Куфарева томской школой математиков были решены многие трудные задачи геометрической теории функций.

Эти и другие методы решения экстремальных задач геометрической теории функций комплексного переменного (метод площадей, метод квадратичных дифференциалов, метод интегральных представлений, метод экстремальных метрик, метод симметризации и др.) составляют содержание многочисленных монографий и статей. Большое внимание различным методам уделено, например, в работах Г.М. Голузина [19], В.К. Хеймана [49], Дж. Дженкинса [23], H.A. Лебедева [40], И.М. Милина [42], И.А. Александрова [3, 4], В.Н. Дубинина [24], К. Поммеренке [47], К.И. Бабенко [8], В.Я. Гутлянского [21].

Цель работы

Методы исследования

Научная новизна и практическая значимость

Постановка темы диссертационной работы принадлежит И.А. Александрову. Оригинальные результаты получены под его руководством и при консультациях С.А. Копанева.

Основные результаты являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут использоваться при чтении спецкурсов на механико-математических факультетах для студентов старших курсов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Результаты и методы исследования данной работы могут быть полезны при решении экстремальных задач геометрической теории функций.

Основные результаты работы

Следующие результаты автор считает основными и выносит на защиту.

Как следствие теоремы Голузина, выведена новая вариационная формула в классе 5.

Путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева получено интегральное представление подкласса класса 5*.

Путем интегрирования уравнения Левнера-Куфарева получена интегральная формула в некотором подклассе класса 5".

Приведена качественная характеристика граничных функций функционала, зависящего от значения функции класса 5" и первых двух ее производных в фиксированной точке.

Представлена уточненная качественная характеристика экстремальной функции в задаче об оценке кривизны линий уровня функций класса Я.

Апробация работы

Основное содержание диссертации изложено в работах [1—4] из списка работ автора.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, каждая из которых разбита на четыре параграфа, списка литературы и списка научных работ автора. В работе содержится два рисунка.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Сыркашев, Аркадий Николаевич, Томск

1. БерЛ.М. Применение метода параметрических представлений к исследованию экстремальных задач теории отображений: Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. ТГУ, 2003.

2. Bieberbach L. Über einige Extremalprobleme im Gebiete der konformen Abbildung//Math. Annalen. 1916. 77. P. 153-172.

3. Bieberbach L. Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen weiche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln // Sitzgsher. Preuss Akad. Wiss. 1916. 138. P. 940-955.

4. Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. 1985. V. 154. 1-2. P. 137-152.

5. Волковыский Л.И., ЛунцГ.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1961. 320 с.

6. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.,Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1950. 436 с.

7. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т. 19. №2. С. 203-236.

8. Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображении, II // Матем. сб. 1947. Т. 21. №1. С. 83-117.

9. Голузин Г.М. Некоторые вопросы теории однолистных функций // Труды Матем. ин-та АН СССР. 1949. Т. 27. С. 1-109.

10. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

11. Gronwall Т.Н. Some remarks on conformal representation // An. of Math. 1914-1915. 16. P. 72-76.

12. Гутлянский В.Я. Параметрическое представление однолистных функций//ДАН СССР. 1970. Т. 194. С. 750-753.

13. Гутлянский В.Я. Теорема вращения в классе однолистных р-симметричных функций //Матем. заметки. 1971. Т. 10. С. 239-242.

14. ДженкинсДж. (Jenkins J.A.) Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962. 266 с.

15. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49. Вып. 1(295). С. 3-76.

16. Caratheodory С. Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veränderlichen Gebieten // Math. Ann. 1912. 72. P. 107-114.

17. Caratheodory C. Über die Begrenzug einfach zusammenhängender Gebiete // Math. Ann. 1913. 73. P. 323-370.

18. Koebe P. Über die Uniformisierung beliebiger analytischen Kurven // Nachr. Gess. Wiss. Gött., Math-Phys. К 1. 1907. Р. 191-210.

19. Koebe Р. Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. II // Math. Ann. 1910. 69. P. 1-81.

20. Корицкий Г.В. К вопросу о кривизне линий уровня при однолистных конформных отображениях // Успехи матем. наук. 1960. Т. 15, вып. 5. С. 179-182.

21. Корицкий Г.В. К оценке кривизны линий уровня при однолистных конформных отображениях // Вопр. математики. Тр. Томск, ун-та. 1969. Т. 210, вып. 6. С. 34-36.

22. Куфарев П.П. Об однопараметрических семействах аналитических функций//Матем. сб. 1943. Т. 13. С. 87-118.

23. Куфарев П.П. Об интегралах простейшего дифференциального уравнения с подвижной полярной особенностью правой части // Ученые зап. Томского ун-та. 1946. №1. С. 35-48.

24. Куфарев П.П. Теорема о решениях одного дифференциального уравнения // Ученые зап. Томского ун-та. 1947. №5. С. 20-21.34