Применение метода параметрических представлений к исследованию экстремальных задач теории отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Список основных обозначений.

Введение

Глава 1. Метод параметрических представлений для области с несколькими разрезами.

§ 1. Семейство областей Левнера

§ 2. Формула для F'r(w, г)

§ 3. Формула для ^'(г. т)

§ 4. Частные случаи

§ 5. Уравнения Левнера

Глава 2. Оценки коэффициентов функций класса TSf)(D: р)

§ 6. Постановка задачи.

§ 7. Задача об экстремуме Тпр¥\(д) как задача оптимального управления.

§ 8. Оценка Г+

§ 9. Случай D = CW

Глава 3. Усиления теорем искажения

§ 10. Области с несколькими разрезами

§ 11. Области с симметрией вращения.

Глава 4. Некоторые экстремальные и геометрические задачи теории отображений

§ 12. Граница выпуклости класса S

§ 13. Коэффициенты Грунского.

Работа посвящена исследованию геометрических и экстремальных свойств классов однолистных голоморфных функций одного комплексного переменного. В предлагаемой работе развивается и распространяется метод параметрических представлений Левнера, для случая, когда семейство областей Левнера имеет несколько разрезов, проходящих по непересекающимся простым жордановым дугам, получены точные оценки тейлоровских коэффициентов на классе отображений обратных к классу голоморфных однолистных нормированных в круге функций, имеющих /7-кратную симметрию вращения относительно начала координат, доказаны теоремы обобщающие теоремы искажения для однолистных функций с симметрией вращения, предлагается простое доказательство усиления теоремы Неванлинны о границе выпуклости класса голоморфных однолистных нормированных в круге функций и получена система дифференциальных уравнений для коэффициентов Грунского для функций отображающих единичный круг на семейство областей Левнера.

Актуальность темы. Краткие исторические сведения.

Исходные идеи теории функций комплексного переменного возникли во второй половине XVITI в. и связаны они прежде всего с именем Л. Эйлера. Основной массив теории был создан в XIX в. главным образом трудами О. Коши, Б. Римана и К. Вейерштрасса.

Первые задачи и методы их решения, давшие начало геометрической теории однолистных функций комплексного переменного (то есть функций /: D С таких, что для любых различных точек z\, z2 е Da С оказывается ftz\) ), появились в начале XX века. Доказанная в 1907г. П. Кебе [1], [2] теорема о существовании круга, покрываемого образами единичного круга Е = {z : jz| < 1} при отображении голоморфными в нем однолистными функциями

Az) = z + c2(f)z2+ . +cn(f)zn +. , стимулировала рост интереса к экстремальным задачам геометрической теории функций.

Исходные, а также многочисленные новые задачи формулировались как задачи на экстремум определенных функционалов. Отсутствие во множестве однолистных функций структуры линейного пространства потребовало создания оригинальных методов исследования экстремальных задач.

Геометрические соображения стали основой для метода площадей, использованного в 1914 году Гронуоллом [3], и затем Л. Бибербахом [4], [5] в задачах о постоянной Кебе и коэффициентах на классе S голоморфных нормированных однолистных в единичном круге функций. Метод площадей, являющийся в первооснове самым элементарным среди методов геометрической теории функций, получил развитие и многочисленные приложения особенно за последние 40-50 лет. Этому направлению исследований однолистных функций посвящена монография Н.А. Лебедева [6].

Используя теорему Каратеодори о сходимости семейства плоских областей к ядру, К. Левнер [7] в 1923 году вывел уравнение для семейства отображений, сходящихся к данной функции класса S, и доказал, что \сз(/}\ < 3 для любой /е S. Уравнение Левнера легло в основу одного из главных методов исследования в геометрической теории функций. Первоначально этот метод использовался с целью получения «.явных оценок, но, как правило, не обеспечивал описания экстремальных функций и полной информации об их единственности» ([8], стр. 527). Дальнейшая разработка метода НЕ. Базилевичем [9], [10], Г.М. Голузиным [11], П.П. Куфаревьм [12], И. А. Александровым [13], [14], В.И.Поповым [15] привела к более глубоким результатам, включая доказательства точных неравенств, например, в теореме вращения на классе S и даже с указанием экстремальных функций. В 1984 году ЛуидеБранж [16] используя метод параметрических представлений, получил точную оценку функционала Милина MJj) > 0, где

1 п~1 П~ к k=l

Yk(f) - логарифмические коэффициенты функции f, b= 1 к <s N, на классе S. Таким образом, метод Левнера позволил решить проблему коэффициентов.

Создание вариационных методов М.А. Лаврентьевым [17], [18], М. Шиффером [19], [20], Г.М. Голузиным [21], [68], метода симметризации И.П. Миткжом [22], [23], B.I L Дубининьгм [24]. [25], метода ортогональных многочленов в теории однолистных функций И.М. Милиным [26], [27], разработка этих методов и их применений качественно изменила содержание теории экстремальных задач на классах однолистных функций (см. обзорную статью И.Е. Базилевича [28], статью Н А. Лебедева, Г. В. Кузьминой, Ю.Е. Аленицина [8], статью И.А. Александрова, И.М. Милина [29]).

Оказалось, что во многих случаях экстремальные функции отображают каноническую область на плоскость с разрезами и их можно рассматривать как предел решений уравнения Левнера с соответствующей управляющей функцией.

Важное место занял предложенный ГШ. Куфаревым [30] вариационно-параметрический метод. Его развитию и приложениям посвящены работы ГШ. Куфарева [31], И.А. Александрова [13], [32], В.В. Черникова [33], [34], М.И. Редькова [35], В.Я. Гутлянского [36], В.В. i оряйиова [37].

И.А. Александров, С.А. Копанев [38] и И.А. Александров, В.И. Попов [39] указали примеры эффективного использования метода параметрических представлений и теории оптимального управления Понгрягина. Глубокое исследование в этом направлении проведено Д.В. Прохоровым [40], [41].

Важную роль в решении экстремальных задач играет метод интегральных представлений классов голоморфных функций, созданный, если не считать разрозненных более ранних работ, в середине XX века Г.М. Голузиным [8]. И.А. Александровым и НА. Лебедевым [42] было показано, что в классах голоморфных функций, в том числе однолистных, представимых посредством интеграла Стилтьеса, экстремальные функции относительно весьма общих функционалов получаются как значения операторов на классах вещественных ступенчатых функций. В.В. Старков [43] рассматривает линейно-инвариантные семейства функций и впервые вводит линейно-инвариантные семейства функций, представимых интегралом Стилтьеса с комплексной мерой. Опираясь на вариационные формулы Г.М. Гол узина и Н.А. Лебедева, И.А. Александрова он разработал вариационный метод, применение которого позволило решить ряд задач.

Одним из важных классов функций, однолистных в круговой области, является класс S голоморфных однолистных в единичном круге Е функций, нормированных условиями ДО) = 0, /'(0) = 1. Многие исследования связаны с /асимметричными (р = 1,2, .) функциями класса S, выделяющимися в самостоятельный класс Sp, причем S\ = S. Подклассы Sp (р = 2, 3, .) не являются вложенными. Пусть число р раскладывается на простые множители рк. Тогда любая функция, принадлежащая классу Sp, принадлежит и каждому из классов S„ .

Рк

Важную роль в исследованиях сыграла простая по геометрическому смыслу теорема искажения хорд Г.М. Голузина: если функция голоморфная и однолистная в области 1 < i $ < оо, то для любых ^ и па окружности \ $ = р > 1 справедливо точное неравенство , L

1&-& -'Vкоторое с помощью преобразования Дг) = l/F(\/z) записывается и для функций класса S.

Столь же ясный геометрический смысл имеет теорема И.Е. Базилевича [44] об искажении центрального угла. Эта теорема, как и теорема Голузина, имеет более общую формулировку и была доказана первоначально на основе дифференциального уравнения Левнера. Независимо от названной работы Н.А. Лебедев и И.М. Мишин [45] более элементарным методом, опирающимся на теорему площадей, установили неравенства, содержащие в себе обе эти теоремы.

Общие оценки типа теорем искажения получены Г.М. Голузиным [65[, [66], И.Е. Базилевичем [44], [64], Л. И. Колбиной [46],

Н.А. Лебедевым [47], И.А. Александровым и М.Н. Никульшиной [48], результаты для ограниченных однолистных функций нолучшт Г.Г. Шпионский [49].

Более наглядно, чем теоремы искажения, вращения и покрытия, выясняют степень искажения однолистного конформного отображения теоремы о выпуклости и звездообразности. Еще в 1919 году Р. Невашшнна [51 ] нашел, что всякий круг j z | < г при

0<г<2-д/з отображается любой функцией класса S на выпуклую область. Естественным представляется также исследование с качественной стороны образов не только кругов \z\<r<\, но и кругов с центром, не совпадающим с началом. Впервые результаты в этом направлении получены И.А. Александровым [59].

Цель работы. Распространить метод параметрических представлений Левнера для случая, когда семейство областей Левнера получается проведением в области нескольких разрезов. Найти точные оценки тейлоровских коэффициентов на классе отображений;, обратных к классу голоморфных однолистных нормированных в круге функций, имеющих /мсратную симметрию вращения относительно начала координат. Доказать теоремы, обобщающие известные теоремы искажения для однолистных функций с симметрией вращения. Дать вывод формулы о границе выпуклости для функций класса S на окружностях со сдвинутым центром. Полчить систему дифференциальных уравнений для коэффициентов Грунского для функций, отображающих единичный круг на семейство областей Левнера.

Перейдем к краткому содержанию работы. Основной целью главы 1 является изложение метода параметрических представлений Левнергь, обобщенного для случая, когда семейство областей Левнера получается проведением в области п разрезов, проходящих по простым жордановым дугам. В исследовании используются известные и новые факты в том их соединении, которое делает изложение более полным и цельным.

В § 1 указывается способ построения из области D семейства областей Левнера DT введением параметра г, О < г< г, 0< г" <оо, аппроксимирующих заданную односвязную область D в смысле сходимости к ней как к ядру.

Рассматривая стандартную параметризацию разрезов, вводим функцию w = 4iz, г) - производящую для Дг) и функцию z = F(w, г) -присоединенную kJ(z), где J(z) = 0), ДО) = 0,/(0) > 0 однолистно и конформно отображает Е на область D с исключенными из нее п разрезами.

Затем изучаются геометрические свойства функции Ф{г, i") = F{4iz, /), г"), где ? е [а, Ь\ и z" е f Ь\ однолистно и конформно отображающей круг Е на область, получающуюся из единичного круга исключением непересекающихся простых жордановых дуг /].(Y, f) (£ = 1,2, . п), один конец каждой из которых лежит в круге, а другой - на границе круга.

В § 2 и § 3 указаны условия дифференцируемое™ функций F(w, т) и У (г, т) по параметру и находится явное представление этих производных.

Теорема 1.

Пусть D, 0 е D, - односвязная область в vf-iliiockocth. Если Д> -область, полученная из D исключением п непересекающихся простых жордановых дуг w\ м>[ (к =1,2, iim 4(z/, г") = 4(У), lim r")~ - 0) и 4(г ) = с%{ 0 ), то присоединенная функция F(w, т) к /г), f. D0 -> Я, равномерно внутри DT дифференцируема по г и ее производная равна k= 1 где /4(f) - некоторая кусочно-непрерывная функция на [0, п

4<г)! = 1,о<4(r)< 1, Sш =i. к= 1

Теорема 2.

Пусть D, 0 £ Д - односвязная область в w-плоскости. Если Д> -область, полученная из D исключением п непересекающихся простых жордановых дуг wl wl (к =1,2,., п), lim г") = lim г")^ ~ 0) и ) = 0 ), то производящая функция w = г) равномерно внутри £ дифференцируема по г, и d4jz, г) d4jz, т) 2 д - Z 4(>) -)

Специализируя выбор односвязной области D0 и специализируя разрезы в § 4 записаны соответствующие им уравнения Левнера, в частности, при дополнительных условиях симметрии разрезов.

В § 5 рассмотрен подкласс S' класса S, который параметризуется некоторым множеством непрерывных функций /4 (г), 0 < г< ос, к = 1, .,п, имеющих модуль, равный единице. Подкласс S' состоит из функций /г), отображающих крут Е на области, получающиеся из плоскости С проведением п разрезов по обобщенным жордановым дугам.

Множество функций S' плотно в S относительно равномерной сходимости внутри круга Е.

Функции /(г) соответствуют некоторые непрерывные на промежутке (0, ос) функции /^(г), 1/4(^)1 = К такие, что решение г) уравнения с начальным условием

0)=г однолистно и конформно отображает круг Е на область, лежащую в круге, и = \im ет Г). ет г—хю

Это уравнение дает возможность сводить изучение различных геометрических и экстремальных задач теории однолистных функций к исследованию и решению задач об оценках функционалов и нахождению их областей значений на интегралах управляемых систем дифференциальных уравнений.

Во второй и третьей главах даны применения метода параметрических представлений в исследовании некоторых экстремальных задач.

В § 6 дается определение класса TSP(D, (3) и исследуется задача об экстремуме функционала

W</) = I b„p+11 (*) на классе TSP(D, р) функций, обратных к функциям класса 5ДД J3). Если функция q{w) е TSP(D, /?), то она голоморфна в области В.ОеВ, В с Д и однолистно отображает ее на Е, причем q(0) = 0, дЩ = МР> 0.

В § 7 предположим, что функция J(z) е Sp(D, fi) и что она может быть представлена через решение /(-, т) уравнения Левнера. Тогда функция q(w) = fl(w), обратная к Дг) и, следовательно, принадлежащая TSP{D, ft), может быть подучена по формуле q{w) = (f{h{w). т ), где h(w) - отображение D на Е, h{0) = 0, h'(0) > 0 и <p(w, т) - интеграл уравнения i/{T) + W а ~ w czjf\ ^, о < г< г, w е Е,

ОТ OW // (г) - W удовлетворяющий условию <p{w, 0) = w, | w i <1.

Далее задача об экстремуме функционала (*) сводится к следующей задаче оптимального управления.

Пусть в трехмерном вещественном евклидовом пространстве

2 2 ~гз хь Х2, Хз) задана поверхность вращения Н = {(jt|, jc2, х3) :х\+х2 = е , 0 <х3 < г0}, и пусть N - совокупность кусочно-непрерывных кривых на Я, любая из которых пересекается с каждой плоскостью Хз = г= const, 0 < г< т°, в единственной точке.

Необходимо найти (при фиксированном и) т I т / \ i | V <г v, (kp+l)z° Ц>) о

Inp+l= sup \lnp+i(q)\ ^sup\ 2, {h (w)}np+le Укр+\{т) qe TSp(D. ji) veN ^ где p), . . / <P> . . <p>

P) ( Ч3) Ч3) \ у 1 (r)= 1, (j>+i(r), .г)) - решение задачи Коши

Р) - V, k~r О) (P)

Vi/»+i]= 2 I (rp + 1) v (т)угр+ъ >Vh(0) = 0 (* = 1, 2, r=0

Эта задача решена в § 8. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Пусть D ф Cw и обладает ^-кратной симметрией вращения относительно точки w = 0 и функция h{w\ h{0) = 0, h'{0) > 0 однолистно и конформно отображает D на Е. Тогда для коэффициентов функции q(w) = ft 'и' + £ С. ™P+l е Я?,<Д А №= 1 h'(0)P< справедливы оценки п Z i '(«')}„/,+1

I I >

А=0 где = sup I Inp-H(q) I, l„p+\{q) = I b„p+l | и qeTSpiJXJf; oo

B(w) = I да=1 rn+k 1)! (k+ 1)! (m — k)\ 6 w mp

Если D={w:\w\<M), M > 0, то даны точные оценки коэффициентов в соот ветствующем классе TSP(D, J3).

Теорема 4.

Пусть D = (w : jwj < М}, Л/> 0. Тогда множество значений функционала ip)

Rnp+M) = Vu (n= 1,2,.), p> 1, q e 75ДД представляет собой круг {/: j/j < Rnp+i}, где

Rrm+l 1 np+] - yip+ r I \ л/ад

Jf/tp+l и

QO

B(w) = I wz=l m

2(-l) (ш + fe-l)!

-1)!(*+1)!(да-*)ЦД w

В § 9 получаем неравенства hn+l\ <(-1) п+1

1/2 п + 2)

22п+3 (/г=1,2,.) составляющие теорему Левнера [7].

Неравенства получаем, если положить в теореме 4 р = 1, = 1 и перейти к пределу при М оо.

В статье [6 Г] Г.М. Голузин установил при любых (I = i 1 - р> V точное неравенство в классе Ц:

- &

1-Л Р

Эту оценку называют теоремой искажения хорд при отображении области (К > 1 функциями класса I. Эта теорема получила многочисленные приложения.

В §10 и §11 непосредственным вычислением и используя уравнения Левнера получаются равенства, используя которые получены результаты, усиливающие обобщенные теоремы искажения Г.М. Голузина [65], [66] для класса Sp.

Теорема 5.

Для функций Fp(£$ €Е Ео/7, р ^ 2, при любых вещественных положительных avy, v, У = 1, 2, и, я>1, таких, что п

X avy .x-yJCv/ будет положительной квадратичной формой, и при vy=l любых v, = 1, 2, ., п из 0= 1 < < оо} справедливо неравенство п П

Р «У.у п П pPjP bvbv' av,V П p-1

- 2 2 «v.v X vV~l /=1 где

SvO A

1- l&l) j

Ul-lfrl) J z \p \ p \p y1 1 1

1 - | IvKxi - I &Y) f (А) p (£,,) при = £v.< под отношением p — J следует понимать F'p{i;v). bv ~ bv'

Теорем а 6.

Для функций Fp(<z) g Xop, /?еЛг, при любых вещественных п положительных v, vr = 1, ., и, п > 1таких, что X xv*v будет v,v'=l положительной квадратичной формой, и при любых v= (, ., п из области Q= {£: I < \Д < оо} имеем оценки п v,V=l 1 zPJP avy п vy=l w п п v,v'=l v <э V

-avy

V?

Теорема 7.

При любых комплексных yv, v= 1, п> 1, и любых £ v= 1, ., я, из области 0= : 1 < <оо} для е реМ имеем оценку

Z W In ^ j, n

Z (7v, Yv) In vV=l 1 v v'J

Теорема 8.

При любых комплексных yv, v = I, ., л, л > 1, и v' = 1, ri, п'> 1, и любых v= 1, ., /7, из области i2={£:l<|^j<oo) для е £о>p,peN, имеем и и

Р р > 2, Lrv/v In —^—~р v=l v' 1 n

Z rv ?V in v,v'=l v p 4v J

Z Yv TV I" v,v'=l 11 p --,p bV J

Указанные результаты в их частном случае имеют простой геометрический смысл.

В § 12 исследуется поведение функций класса S на окружностях со сдвинутым центром. Получен результат «Лс < 2 л/3 + |z*i2, где Rc - граница выпуклости класса S, г*, |r*j < 1 - центр круга» отличным от [59] и [14, стр. 56-58] способом.

Основные результаты этой главы докладывались [58] на XL Международной конференции «Студент и научно-технический прогресс», 16-18 апреля 2002 г.; [57] на Международной конференции - школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова, 9-20 сентября 2002 г.

§ 12. Граница выпуклости класса S

Известный результат Нсванлишш о том, что любой функцией класса S круг с центром в точке и радиусом, не больше, чем Як = 2- -\/з, отображается на выпуклую область дополнен И.А. Александровым следующим образом.

Каждый круг с центром в точке г*, jr*{ < 1, и радиусом Rc <2

-\/з + jz*f отображается любой функцией класса S на выпуклую область [59]. Число Rc называется границей выпуклости класса S. Оценка точная.

Получим результат Rc- 2-л/З + [z*j2 отличным от [59] и [14, стр. 56-58] способом.

Пусть =

Z + Za

1+ZoZ

Используя формулу для однолистного конформного отображения единичного круга на единичный круг $z) = z + z0 и

1 +ZoZ свойства дробно-линейного отображения получаем, что если z0 фиксированная точка в Е\{0), то вместе с функцией /е S этому же классу принадлежит фу нкция

2o)(l-|lo| ) °2 при любом "о, I "0 1 < 1.

Эта функция преобразует круг радиуса j $ = г< 2-лД на выпуклую область. Поэтому функция w =%{z) отображает круг о

1 + ZQZ

4.1) на выпуклую область, при г <2- л/3.

Из (4.1) последовательно имеем:

2 + 20|2 = .211+^2|2, т^тй? ® *+*> ^+iffep= 1-г2 Л

Z + -]--TTZTIZq

V А - Г I Zol J

1 2 N - 1 -г

Z + T~i TTIZQ 1-r \ZQ\+ U7

J-л i i2

1 - r2 I z0|2 + (1 - r2 I Zoff

1 -r2 \Щ

- + 1 J- , „ ,2 ZQ j -1 „2 , |2 .

KlHzoQ

1 — r2 j Zoj2

§ 13. Коэффициенты Грунского

Классом X называют семейство всех голоморфных однолистных в области 0= : 1 < < оо} функций F(4), имеющих в проколотой окрестности точки оо разложение

Следуя [6] возьмем функцию el и образует в Q х Q функцию считая ветвь логарифма выбранной в соответствии с условием, что она обращается в нуль при оо. Разложим в двойной ряд в точке г= оо, оо, а также по степеням 1/г. Получим р(т, 4)- L^TTq-L ТР , (4-4)

7=1 где

00 e .Л/ (4.5)

7=1 *

Функция (f{T, 4) симметрична: <р{т, D= г). Поэтому Ш1КЦ = a)qJ} при/? gN, q g N. Она не меняется при замене функции F на F + coral Значит, можно считать при определении <р(т, 4) функцию Felo1

ПустьДг) е S. Тогда е Имеем м м t-z (ш)-(ш) t z

00 оо

00

00 I mMtpzq+ £ E ft>o,*z? = Z b>P,<]tpzq. л. ~.Дг) ,

Сравнивая разложения функции In f и In видим, что коэффициенты при tp zq,p <= & N одинаковы.

Коэффициенты р е N, q е N, впервые встречаются в работе Грунского [50] и называются коэффициентами Грунского 1 функции (или функцииДг) =

Коэффициенты разложения

In ш

C0i,ot + co2fit2 + . +co„ftt" + /е S, называют логарифмическими коэффициентами функции j{t). Пример. Найдем wi(C). Имеем при { £ | < j г | . р{т, £) = In

1 + j

1 +

1 Г, i Л г1 г

Значит,

00

Oi{%) = + а« = - S ^

С другой стороны, согласно формуле (4.5) прир = 1

00 со q и, следовательно, со=—aq, q e N.

Обозначим через S' подкласс класса S, состоящий из функций j{z), отображающих круг Е = (z : ]z| < 1} на области, получающиеся из плоскости С произведением разреза по обобщенной жордановой дуге, оканчивающейся в бесконечности. По теореме Каратеодори о ядре множество функции S' плотно в S относительно равномерной сходимости внутри круга Е. Будем считать параметризацию разреза стандартной.

Пусть /е S'. Будем двигаться по дуге Г/= Cw \Д£) от ее начала, лежащего в некоторой точке плоскости Cw, к концу, совпадающему с оо. Присоединяя к/£) пройденную часть у кривой Г/, получим семейство областей D(т) =j{E) U у, зависящее от некоторого параметра г. Через 4\z, г) обозначим функцию, конформно и однолистно отображающую Е на D(t). Функция 4\z, г) является производящей. Очевидно, что е 4х (z, т) е S' при любом re [0, со). Обозначим через /г(г) точку на границе единичного круга, соответствующую подвижному концу, простой дуги Tj\y. Тогда 4\z, г) дифференцируема по г и д¥ d¥jU + z

С учетом уравнения Левнера (4.6) можно записать для г е Е. dnz,t)dV(Zz) dW(z, t)Mr)+z dnz тЫт) + £ дт дт ' dz v(t)-z g '

Пусть cop^q(г) (р= 1,2,., q= 1,2,.) - коэффициенты j

Грунского для функции е г) е 5". Тогда j9,t/=0

4.8)

В частности, при т = 0 имеем АГ-0 где - коэффициенты Грунского для функции /(г), и, следовательно, a>p,q(0) = ojm. Поскольку дЫ\

Ч-, Т) - Ш, г) 1 gfe, т)- т) дт

Н*, г) - т) и

Sin г) - т) г) dz

Hz, Т)- г)

4.9) gfr, г) - Щ, т)

4\z, т) - г) z-<f то в Е х Е с учетом разложения (4.8) получаем г) - »

4\z, т) - т) ' А £ p,q=О т) 00 Z

4\z, Г) - г) = ^ zP ^+ :' (4'10)

00

4' Т) v ( \ Р кч ь

- ^ г)- J^T"^

Разделим левую и правую часть равенства (4.7) на 4\z, г) - г). С учетом равенства (4.9) получим е (z — Е) dz * M-Z

Так как

1 +2—-— + 2-^то (4.11) перепишем в виде

Г) - Щ г) Я1 т}~ Щ, г) sin г. г din—-г g fr-fl g Mt)+-z дт ^ dz ju(t)-z dk Пе,Т)-Щ г) С учетом формулы (4.10) и разложений с 1

Mr) -1 и

00

- I Mr) V,

QO OO к к j л I i-l в соответствии с (4.11) получим оо

00 ftwir)^ г p,q=О оо

1+2 £ Mr) к к оо Z qcoM(T)zP^ 1+2 S

00

00 21 1

00 оо 21 Mr)AV'I А=0 /=1

Отсюда, приравнивая коэффициенты при ^ ^ (р = 0, 1, ., # = 0, 1, .) в левой и правой частях полученного равенства, имеем

1. KoebeP. Uber die Uniformisierung beliebiger analytischen Kurven// Nachr. Gess. Wiss. Gfltt., Math-Phys. -К 1. - 1907. -P. 191 - 210.1.urven

2. Koebe P. Uber die Uniformisierung der algebraischenT II // Math. Ann.-1910.-69.-P. 1 -81.

3. Gronwall Т.Н. Some remarks on con formal representation //Ann. off Math.-1914-1915.-v. 16.-P. 72- 76.

4. Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlihte Abbildimg des Einheitskreises vermitteln // S. B. Preuss. Acad. Wiss. 1916. - 138. -P. 940-955.

5. Bieberbach L. Aufstellung imd Beweis der Drehungssatzes fur schlichte konforme Abbildungen // Math. Z. 1919. - v. 4. -P. 295 - 305.

6. Лебедев Н.А. Принцип площадей в теории однолистных функций. -М : Наука, 1975. 336 с.

7. Lovvner К. Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises // Math. Z. 1923. - v. 7, № 3. - P. 103 - 121.

8. ГолузинГ.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М. : Наука, 1976. - 344 с.

9. Базилевич И.Е. Zum Koeffizientenproblem der schlichten Funktionen // Матем. сб. т. 1 (43):2. - 1936. - С. 221 - 228.

10. Куфарев П. П. Об однопараметрических семействах аналитических функций // Матем. сб. 1943. - т. 13 (55). № 1. -С. 87-118.

11. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. - 344 с.

12. М.Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск : ТГУ, 2001. - 220 с.

13. Попов В.И. Область значений одной системы функционалов на классе S//Тр. Томск, ун-та. 1965. -т. 182. - С. 107 - 132.16.de Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Preprints LOMI. 1984. - № E - 5 - 84. - P. 1 - 33.

14. Лаврентьев M.A., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. Л.: ОНТИ, 1938. - 192 с.

15. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Инта матем. АН СССР им. В. А. Стеклова. т. 5. - 1934. -С. 195-246.

16. Schiffer М. A method of variation with, in the family of simple functions // Proc. London Math. Soc. 1938.-44 (ser 2). -P. 432-449.

17. SchifferM. Variation of the Green function and theory of the p-valued functions // Amer. Joum. Math. 1943. - 65. - P. 341 - 360.21 .Голузин Г.М. Метод вариаций в конформном отображений // Матем. сб. 1946. - т. 19. - С. 203 - 236.

18. Мигюк И.Г1. Принцип симметризации для кольца и некоторые его применения // Сиб. матем. журн -1965. -№ 6. -С. 1282 -1291.

19. Митюк И.П. Обобщенный приведенный модуль и некоторые его применения // Известия ВУЗов. Математика. 1964. - № 2. -С. 110-119.

20. Дубинин В.И. Метод симметризации и трансфинитный диаметр // Сиб. матем. журн. 1986. - т. 27, № 2. - С. 39 - 46.

21. Дубинин В.Н. Симметризация геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи матем. наук. 1994. -т. 49, в. 1(295).-С. 3-76.

22. Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. -М.: Наука, 1971.

23. Мишин И.М.О коэффициентах однолистных функций // ДАН СССР.- 1967.-т. 176, № 5. — С. 1015-1018

24. Математика в СССР за сорок лет. М.: Физматгиз, 1959. - Т.1.

25. Александров И.А., Милин И.М. О гипотезе Бибербаха и логарифмических коэффициентах однолистных функций // Известия ВУЗов. Математика. 1989. - № 8(327). - С. 3 - 15.

26. Куфарев П.Г1. О методе параметрических представлений и вариационном методе Г.М.Голузина // Труды III Всесоюзн. матем. съезда. М. - 1956. - т. 1. - С. 85 - 86.

27. ЗГКуфарев ГШ. О вариационной формуле Г.М.Голузина // Вопросы математики и механики: Тр. Томск, ун—та. 1963. -т. 163.-С. 58-62.

28. Александров И.А. Граничные значения функционала1.= I(f, /,/,/) на классе голоморфных однолистных в круге функций // Сиб. матем. журн. 1963. - т. 4, № 1. - С. 17-31.

29. Черников В.В. Об экстремальных свойствах однолистных функций с вещественными коэффициентами // Тр. Томск, ун -та. 1963. - т. 169. - С. 69 - 95.

30. Черников В.В. Обобщенный метод вариаций в теории однолистных функций. М., 1989. Деп. в ВИНИТИ, В. 89 12.09.89. № 5804.

31. Редьков М. И. Область значений функционала / = /(/(w), Jw),f(w), 7(0)") в классе SMw)\) // Тр. Томск, унта. -1963. т. 169. - С. 59 - 68.

32. Гутлянский В.Я. Параметрическое представление одолистных функций // ДАН СССР. 1970. - т. 194. - С. 750 - 753.

33. Горяйнов В.В. Подгруппы конформных отображений // Матем. сб. 1986. - т. 129. - С. 451 - 472.

34. Александров И.А., Завозин .Г.Г., Копанев С.А. Оптимальные управления в задачах о коэффициентах однолистных функций // Дифференциальные уравнения. 1976. - т. 12, №4. - С. 3 - 19.

35. Александров И.А., Попов В.И. Оптимальные управления и однолистные функции // Ann. Vniv. Mariae Curie Skladowska-1968 - 1970. - Ser. A, v. 22 - 24. - P. 19 - 20.

36. Прохоров Д.В. Методы оптимизации в экстремальных задачах для однолистных функций: Докторская диссертация. -Новосибирск. ИМ СО РАН, 1990.

37. Прохоров Д.В. Множества значений систем функционалов в классах однолистных функций // Матем. сб. -1990. 181, №12.-С. 1659-1677.

38. Лебедев IT.А., Александров И.А. К методу вариации в классах функций, представимых с помощью интегралов Стилтьеса // Тр. Ин-та матем. АН СССР им. В. А. Стеклова. 1968. - т. 94. -С. 79-89.

39. Старков В.В. Линейно-инвариантные семейства функций: Докторская диссертация. Екатеринбург, 1999.

40. Базилевич И.Е. О теоремах искажения в теории однолистных функции //Матем. сб. 1951. - 28(70):2. - С. 283 - 293.

41. Лебедев Н.А., МилинИ.М. О коэффициентах некоторых классов аналитических функций // Матем. сб. -1951. -28 (70);2. С. 359-400.

42. Колбина Л.И. К теории однолистных функций // Докл. АН СССР. 1952. - 84, №6. - С. 1127 - 1130.

43. Лебедев Н.А. Некоторые оценки и задачи на экстремум в теории конформного отображения: Дис. канд. ф-м. наук / Ленинградский ун-т. Л., 1951.

44. Александров И.А., Никульшина М.Н. Применение метода параметрических представлений задачам для дополнительных областей // Труды Томск, ун-та. 1972. - т.238. - С. 33-45.

45. Шлионский Г.Г. К теории ограниченных однолистных функций // Вестник ЛГУ. 1959.-№ 13.-B.3.-C. 42-51.

46. Бер Л.М. О вариационных методах для классов функций, представимых интегралами Стилтьеса // Четвертый Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике

47. ИНПРИМ 2000): Тез. докл.-МН СО РАН, Новосибирск. -2000. - С. 146.

48. Бер JI.M. Уравнение Левнера для области с несколькими разрезами // Исследования по анализу и алгебре: Сборник ст. -Томск: ТГУ. 2001. - С. 28 - 32.

49. Бер Л.М. О коэффициентах однолистных функций // Вестник Томского университета. Томск: Изд-во Томского ун-та. 2000. -т.269. - С. 18-19.

50. Бер Л.М. О коэффициентах Грунского // Международная конференция школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова, 9-20 сентября 2002г: Тез. докл. -Новосибирск, 2002. - С. 31 -32 .

51. Хейман В.К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960.

52. Александров И.А. Об условиях выпуклости образов области при отображении ее регулярными однолистными в единичном круге функциями // Известия ВУЗов. Математика. 1958. - 6. -С. 3-6.

53. Голузин Г.М. Некоторые вопросы теории однолистных функций // Тр. Ин-та матем. АН СССР им. В.А. Стеклова. 1949. - 27. -С. 51-56.61 .Александров И.А., Никулыиииа М.Н. К теории подчиненных функций // Укр.матем.журн. 1972. - 3. - С. 195-198.