Исследование множеств значений функционалов вариационным и параметрическим методами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Пчелинцев Валерий Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ МНОЖЕСТВ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛОВ ВАРИАЦИОННЫМ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДАМИ

01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ОКТ 2013

Томск - 2013

005534256

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет", на кафедре математического анализа.

Научный руководитель: член-корреспондент РАО, доктор физико-

математических наук, профессор Александров Игорь Александрович

Официальные оппоненты:

Чуешев Виктор Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Кемеровский государственный университет", кафедра математического анализа, профессор

Садритдинова Гулнора Долимджановна, кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Томский государственный архитектурно-строитапьный университет", кафедра высшей математики, доцент

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (г. Новосибирск)

Защита состоится 07 ноября 2013 г. в 14 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.21, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждениия высшего профессионального образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет", по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, II уч. корпус, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 26 сентября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.Н. Малютина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Ушедший в историю XX век был отмечен выдающимися достижениями в области геометрической теории однолистных функций и конформных отображений. Эта теория, возникшая первоначально на пути непосредственного развития классической теории функций комплексного переменного, за последние полвека сформировалась в одну из актуальных и интенсивно развивающихся областей современного математического анализа. Значимое место в данной теории уделяется экстремальным задачам, которые находятся в тесной связи с основными задачами как самой теории, так и многочисленными её приложениями. Начало систематическому исследованию экстремальных задач геометрической теории однолистных функций положили работы П. Кёбе, посвященные соответствию границ при конформных отображениях. Во втором десятилетии прошлого века большой вклад в развитие зарождавшейся теории внёс К. Каратеодори. Он доказал теорему о сходимости последовательности областей к ядру и рассмотрел вопрос о граничном соответствии, предложив теорию простых концов и доказав теорему о соответствии границ при конформных отображениях. Эти и многие другие задачи получили затем мощный импульс благодаря исследованиям М.А. Лаврентьева, Г.М. Голузина, П.П. Куфарева, М. Шиффера, Ю.Е. Аленицына, Н.А. Лебедева, И.А. Александрова и многих других авторов1.

Одной из основных задач геометрической теории однолистных функций в прошлом столетии была проблема коэффициентов однолистных функций, сформулированная в 1916 г. Л. Бибербахом2 и разрешенная в 1984 году Л. де Бранжем3. Привлекая внимание многих математиков, эта экстремальная задача способствовала возникновению новых идей и методов геометрической теории функций.

Большое внимание в геометрической теории однолистных функций уделяется различным экстремальным задачам, в которых речь идёт об экстремумах и множествах значений функционалов, характеризующих свойства конформных отображений. К числу трудных задач принадлежат задачи о нахождении множеств значений функционалов, зависящих от значений пар функций и их производных в фиксированных точках единичного круга и его внешности.

1 ГутлянскиЪ В. Я., Рязанов В. И. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений. Киев, 2011.

2Bieberbach L. Uber die Koeffizieuten derjenigen Potenzreihen weiche eine schlichte Abbiidung des Einheitskreises vermitten // Sitzgsher. PreiLss Aiad. Wiss. 1916. Bd. 138. S. 940-955.

3Bmnges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. 1985. Vol. 154, № 1-2. P. 137-152.

Для решения задач в геометрической теории функций были предложены новые методы, поскольку методы классического вариационного исчисления оказались недостаточными. Первым по времени своего возникновения состоятельным методом геометрической теории функций был метод площадей, разработанный в исследованиях Т. Гронуолла4. Под влиянием гипотезы Бибербаха в 1923 году К. Лёвнер5 создал параметрический метод. В 30-40-х годах XX века возникли методы граничных и внутренних вариаций Шиффера6, вариационный метод Голузина7. Трудные экстремальные задачи геометрической теории функций в большинстве случаев требуют одновременного использования нескольких методов исследования. В ряде вопросов общего характера обнаружилось, что некоторые методы успешно дополняют друг друга. Известным примером сочетания различных методов служит вариационно-параметрический метод Куфарева8.

В данной диссертации параметрическим и вариационным методами исследуются задачи о нахождении множеств значений функционалов, заданных на различных классах однолистных функций. В качестве областей определения функционалов в работе рассматриваются следующие классы: S - класс голоморфных однолистых в круге U — {z € С : \z\ < 1} функций w = f(z) таких, что /(0) = 0,/'(0) = 1 и его подкласс SM = {/ S S : |/(z)|<M,M>l};

So - класс мероморфных однолистных в области U* = е С : > 1} функций w — F(Q, имеющих в проколотой окрестности бесконечно удалённой точки разложение вида F(() = ( + а0 + ai/C, + ... + ап/(п + ... и не принимающих в U* нулевого значения;

9Л - класс всех пар функций {f(z),F{С)), /(0) = 0, F{оо) = оо, мероморфных однолистных и без общих значений соответственно в круге U и в его внешности {/*;

Ж' - класс всех пар функций (/(z),F(C)), f(z) € S, F(() e E0.

Из вышесказанного следует, что рассматриваемая в данной работе тематика является широко известной и актуальной.

Целями работы являются: — развитие вариационного метода Голузина и параметрического метода Лёвнера;

4 Лебедев Н. А. Принцип плошздей в теории однолистных функций. М., 1975.

5 Löwner К. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises // Math Ann 1923. Bd. 89. S. 103-121.

6Schiffer M. Variation of the Green funetion and theory of the p-valued fiinctions // Amer J Math 1943. Vol. 65. P. 341-360.

7 Голузин Г. M. Метод вариаций в конформном отображении // Матем. сб. 1946. Т. 19, № 2 С 203236.

8Труды П.П. Куфарева : (к 100-летию со дня рождения). Томск, 2009.

— нахождение новых случаев интегрирования уравнения Лёвнера;

— исследование множества значений конкретного функционала, зависящего от значений функций в фиксированных точках, в задаче о неналегающих областях;

— отыскание множеств значений двух функционалов заданных на множестве пар однолистных функций;

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, методы теории функций комплексного переменного, методы геометрической теории однолистных функций, методы аналитической теории дифференциальных уравнений, вариационный метод Голузина и параметрический метод Лёвнера.

Научная новизна. Основные результаты диссертационного исследования, полученные автором, являются новыми и определяются следующими положениями, выносимыми на защиту:

• Путём интегрирования уравнения Лёвнера найдено множество значений производной Шварца на классах 5 и вм- Указаны граничные функции.

• Найдено множество значений одного функционала в задаче о неналегающих областях.

• Указано множество значений функционала, зависящего от значений функций класса Ш' в фиксированных точках единичного круга и его внешности.

• Указано множество значений функционала, зависящего от значений производных отображений класса Ш' в фиксированных точках единичного круга и его внешности.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут использоваться в научных исследованиях и спецкурсах для студентов и аспирантов механико-математических факультетов, специализирующихся по теории функций комплексного переменного. Используемые методы исследования данной работы могут быть полезны при решении экстремальных задач геометрической теории однолистных функций.

Достоверность и обоснованность всех полученных результатов. Все полученные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование в форме теорем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научном семинаре кафедры математического анализа ММФ ТГУ (руководитель профессор И.А. Александров), на научном семинаре отдела анализа и геометрии в Институте математики им. С.Л. Соболева (руко-

водитель академик Ю.Г. Решетняк), а также докладывались на научных конференциях:

1. Современные проблемы теории функций и их приложения, Саратов, 27 января - 3 февраля 2012.

2. III Всероссийская молодежная конференция "Современные проблемы математики и механики", Томск, 23 - 25 апреля 2012.

3. Международная молодежная конференция "Современные методы механики", Томск, 19 - 20 сентября 2012.

4. 51-ая Международная научная студенческая конференция "Студент и науно-технический прогресс", Новосибирск, 12 - 18 апреля 2013.

Публикации. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в восьми работах, в том числе четыре работы в журналах из перечня ВАК [1-4].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и списка обозначений. Работа изложена на 95 страницах и содержит 3 рисунка. Список литературы включает 68 наименований, в том числе 8 работ автора по теме диссертации.

Во введении раскрывается актуальность исследуемой проблемы, приводится обзор известных результатов, формулируется цель и излагается содержание работы, обосновывается теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Первая глава посвящается методу внутренних вариаций в геометрической теории функций комплексного переменного. Рассматривается вариант этого метода предложенный Г.М. Голузиным. Представлены вариационные формулы в классах 5, Ео и Ш. Результаты этой главы являются широко известными и используются в главах 3 и 4 диссертации.

Во второй главе параметрическим методом Лёвнера решается задача о нахождении множества Д значений производной Шварца

при фиксированном го, го € и, на классах 5 и Бм с указанием граничных функций.

В разделе 2.1 приводятся определение и необходимые свойства производной Шварца.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В разделе 2.2 дано представление производной Шварца в виде дифференциального уравнения Лёвнера. Доказана теорема.

Теорема 1. Пусть ц(т), |д(г)| = 1, 0<т<М<оо, - кусочно-непрерывная функция и£ = ((т,г]ц), ~ решение уравнения Лёвнера. Тогда имеет, место равенство

где С' означает частную производную функции С по переменной г.

Установлены следующие следствия из теоремы 1. Следствие 1. Множество точек

оо

{/(*;*),*> = -12

о

плотно в А на классе <5. Следствие 2. Множество точек

1п м о

плотно в А на классе БмВ разделе 2.3 получены неравенства, которые определяют множество значений производной Шварца на классе 5. Указаны граничные функции.

Теорема 2. Множеством значений функционала {/(го),^} »а классе ¿> при г0 = 0 является замкнутый круг с центром в нуле и радиуса 6. Граничная точка

{/Ы,ь} = бе*'9, 0 <в < 2тт, вносится только функциями

Ь(г, <р, А) =---

у 1 — 2 соэ Л е"?г + е2г^г2

при 0 < А < я- и е= -е'в, 0 < <р < 2я\

Теорема 3. Пусть /(г) в Б и г0 - фиксированная точка из Е/\{0}. Тогда множество значений функционала {/(го),-го} классе 5 определяется неравенством

|{/Ы,2о}| <

А)} = |2\2 , 0 < 0 < 2ТГ,

(1-Ы2)2'

Граничная точка

бе*

(1-Ы2)

реализуется только функциями

ч \ \ z(az + *)

/(*,<рЛь) = Ьг2 + 2сг + 1,

oii

_zt-e^zp

° ~ 1 - e2'fZg '

, z52 - 2cos Ае^(1 - е2'^) + е*?(1 ~ Ы4) - e^z2 Ъ~ 1 - 2 cos А 1 - e2i*Zo) - '

гр — cos Л е'>(1 + Ы2)(1 - e2'^g) + e2i*z0( 1 - \zp\2) - e4i%3 c_ 1 - 2 cos A e'fzo(l - e2"^) -

при 0 < A < 7Г u e2itp = -eie, 0 < <p < 2tt.

В разделе 2.4 установлено соотношение между модулями функции, её производной и её производной Шварца на классе Sm, 1 < М < оо.

Теорема 4. Яустъ f{z) € Ял/ hz0 - фиксированная точка из круга U. Тогда имеет место следующее неравенство

„„ Л II , вмЧ/'Ы!2 < 6

+ (М2 _ |/(го)|2)2 - (1 _ |2q|2)2 •

Граничная точка

,« , х 6M2|/'(zp)[2 6в'а о<0<27Г

{/(*). = "(м2-|/Ы12)2 + (Гч^'0 -'0 < 27Г'

реализуется только функциями, отображающими круг U на круг W = {w € С : < М} с надлежащими разрезами.

Граничной функцией для {/(¿о),^} / Ов точке zq = 0 является функция

2 2

/м(-г,<р,А) =

h(z, р, А) + sjh?(z, <р, А) - ^ e2i*z2

h{z, <р, А) = 1 - 2 (1 - J cos Л eivz + е2'^2

при 0 < А < 7г, e2lp — -ew, 0 < ip < 2тг. Под радикалом понимается та непрерывная ветвь, которая обращается в единицу при 2 —> 0.

В третьей главе исследуется множество значений конкретного функционала в задаче о неналегающих областях.

В разделе 3.1 дана постановка задачи. Требуется найти множество Езначений функционала

(!)

при фиксированных 7, г0 и (0, 0 < 7 < 1, 0 < [г0| < 1 и 1 < |£о| < оо, на классе

Для исследования этой задачи используется вариационный метод Го-лузина. Установлено, что объединение образов единичного круга и его внешности при отображении граничной парой функций не имеет внешних точек.

В разделе 3.2 получены функционально-дифференциальные уравнения для граничных функций.

Теорема 5. Каждая граничная пара функций (f{z),F(C)) функционала (1) удовлетворяет в U и U* системе функционально-дифференциальных уравнений

_io ((1 - 2j)f(z) - (1 - 7)/(r) + 7F(p))f°(z) = А

f(z)(f(z)-F(p))(f(z)-f{r)) z(r — z)(l — rz)'

_<a ((1 - 27)F(C) - (1 - 7)f(r) + 7= В

F(C)(F(C)-F(p))(F(C)-/(r)) C(P — 0(1 - PC)'

где 0 < а < 2ж, г — \zo\, р = |Со|,

"7-

¿(1 - Г2) > 0, В = e-ia(l - 7)~т(р2 - 1) > о.

/(г) 1 ' ' 4 " Г(р)

Проведен анализ полученных уравнений. Установлено, что общей границей образа единичного круга и его внешности при отображении граничной парой функций является замкнутая жорданова аналитическая кривая.

В разделе 3.3 проведено интегрирование полученных уравнений по специально выбранным путям интегрирования. При этом первое из уравнений интегрировалось по 2 от 0 до г, от 0 до -1, затем по дуге \г\ — 1 против часовой стрелки от -1 до е'* (я- < <р < Зп), а второе по ( от р до оо и от

-Ai.

1 до р. Найдено уравнение границы множества Е значений функционала (!)■•

Теорема 6. Множество Е значений функционала (1) на классе Ш ограничено кривой заданной уравнением

(1-7)п (р,*0 = 1К(уТ=7*)

7П(п, к) 2 К (г)

1 дЩф, т, к) - КЕ{ф, k) К (\/1 ~

2 -ук^Щщк)

где

Ф

П(ф, U) = / -- dt , П(тг/2,1, к) = П(1, к)

J (1 + Z sin í) \/l — к2 sin t

- эллиптические интегралы третьего рода (соответственно неполный и полный),

ф

ш к) = [ dt , F(V'2,«) = ВД

J vi - к2sin21

- эллиптические интегралы первого рода (соответственно неполный и полный),

(1-2 7)F(p) (1~27)/(г)

Р 7F(p) - (1 -7)/(r)' 7F(p) - (1 -7)/(г)'

. А2 1-7

> = arcsin --, т = —-рг-,

1—7 hr

_ Шр)-( 1-7)/(г)

А-у '

Из теоремы 6 имеем следующие результаты.

Следствие 3. Множество Е значений функционала (1) при 7 = 1/2 на классе Ш ограничено следующей кривой

¿«е"*", ц = -

1 jк(v/Г=72)

К(г)

> + \г.

На следующих рисунках приведены графики кривой (2) при некоторых значениях г я р.

•<Л -М; ! -и !-1

Рис. 1: Кривая (2) при г = 0.5 и р = 2, 4, 8, 16.

1 ! 1 / / /1 / 1 / £ ... Ц

•и -М ; 1 11 \ \ 1 \ м

М1.В г~01 | л

Рис. 2: Кривая (2) при г = 0.1, 0.2, 0.4, 0.8 и р = 2.

Следствие 4. В классе Ш имеет место неравенство

Яг)

Пр)

< -е.

Знак равенства реализуется при всяких г, 0 < г < 1, и р, 1 < р < +оо. Следствие 5. 5 классе Ш? справедливо неравенство _е2?(0) < г _

Знак равенства реализуется только при р = -.

/'(0)

Следствие 6. Множество значений функционала . . или функционала

Яг)

^(оо)

Пр)

на классе Ш1 есть круг

т

Нр) Яг)

Р'(оо)

с исключенным центром.

< 4ехр

< 4ехр ^ ^

В главе 4 вариационным методом Голузина исследуются задачи о множествах значений двух функционалов заданных на классе пар функций однолистных в системе круг - внешность круга.

В разделе 4.1 ставится задача найти множество До значений функционала

при фиксированных А, г0 и Со, 0 < А < 1, |гь| < 1 и |Со| > 1, на классе Ш'.

Установлено, что образ единичного круга и его внешности при отображении граничными функциями не имеют внешних точек.

В разделе 4.2 получена система функционально-дифференциальных уравнений для граничных функций.

Теорема 7. Каждая граничная пара функций (/(г), ^(0) функционала (3) удовлетворяет в и и и* системе функционально-дифференциальных уравнений

2 Аг2 + Вг + А

( Яг) \ (*Пг)У

\№-т) V т)

2(г-2)(гг-1)'

(

= Л*С2 + вх + А-

но - рш V т) 2(с -рн 1 - ро '

где 0 < а < 2ж, г = \го\, р - |Со|,

А = (е-ъ (/(г) - 1) - е'а (Щ + 1)) г,

В = е~'а ((/(г) + 1)г2 - (/(г) - 1)) + е'а ((7« + 1 )г2 - (7(0 " 1)) .

Л* = (е~й (Щ-1)" е*а Ш + 1)) р, в* = е"*» ((7(р) + 1) - (Ар) - 1)р2) + е<а (ш + 1) - Ш - 1)Р2) ,

В разделе 4.3 проведен анализ и выполнено интегрирование полученных уравнений. Первое уравнение из системы интегрировалось по г от 0 до г, а второе по С от р до оо. Установлено, что граничные функции отображают единичный круг и его внешность на плоскость с разрезом по одной аналитической кривой. Указано, что множеством значений функционала (3) является круг.

Теорема 8. Пусть (/(*)>-^(0) € ШV иг, р - фиксированные точки из круга и и его внешности С*. Тогда справедливо неравенство

Это неравенство определяет множество значений функционала (3) на классе Ш'.

Из теоремы 8 следуют следующие следствия. Следствие 7. Если в неравенстве (4) положить А = 1/2, то

Это неравенство определяет множество значений функционала Ф(/, Г) -1П (¿Щ (-А-) на классе Ш'.

\ г ) \Л/0/

Следствие 8. Если в неравенстве (4) положить А = 1 и А = 0, то получим неравенства

1П/М + 1П(1-Г2)|<1п^,

Г 1 1 — Т

I . -1- 111 I 1--; г >

которые определяют множества значений функционалов 1п /(г)/г и\пр/Г(р) на классах 5 и £0 соответственно.

Замечание 1. Полученные в следствии (8) неравенства согласуются с раннее установленными результатами9.

В разделе 4.4 рассматривается задача о нахождении множества Дх значений функционала

при фиксированных г0 и Со, Ы < 1 и |Со| > 1, на классе Ж.

Установлено, что образ единичного круга и его внешности при отображении граничными функциями не имеют внешних точек. Получена система функционально-дифференциальных уравнений для граничных функций.

Теорема 9. Каждая граничная пара функций (/(г), Г(()) функционала (5) удовлетворяет в 17 и 17* системе функционально-дифференциальных уравнений

, íf(r)(f(r)-2f(z))\ fzf'(z)\2 V(z)

\ {№-№)* J{f(z)J ~Г

(z-r )'(*-;)

2 '

(6)

\{F{Q - F{p)Y), V F(0 ) - r~T77~í\*'

(C-p)^C--j

где 0 < a < 2тт, r = foj, p =

V(z) = Az4 + Bz3 + (C + C)z2 + Bz + Ä, A = I (eia (Щ +1) - e~ia (H(r) - 1)) ,

в = — ((Я(г) -1) - 2r2) + i- ((ад + i)r2 + 4) ,

e-ia

C = йЗГ ((Я(г) + ^ - №) - 1) + Sr2) , V(Q = Л*С4 + В* С3 + (С* + С*)С2 + + Л* = i (е"» (Я*(р) + 1) - eia (WTr,) - 1)) ,

9 Лебедев H.A. Принцип площадей в теории однолистных функций. М., 1975.

В* = е'ар(Н*(р) - 1) - — (Н*(р) + 1),

р-'П

В разделе 4.5 проведен анализ и выполнено интегрирование полученных уравнений. Первое уравнение из системы интегрировалось по 2 от О до г, а второе по С от р до оо. Установлено, что граничные функции отображают единичный круг и его внешность на плоскость с разрезами, имеющими не более двух конечных концевых точек. Найдено уравнение границы множества Д1 значений функционала (5).

Теорема 10. Множество А\ значений функционала (5) на классе ШГ ограничено кривой, заданной уравнением

+ 1п

(1-Д)(1-ДК(г)12)(Г-1)(Т|г(р)12-1) (1 + Я)(1 + Л|4(г)|») (Т + 1)(Т|т(р)|2 + 1)

+ 1п

(1-т(г))(1 + т(г))\ (:Тт(Р)- 1)(Тт(р)-1)

(1 + т(г))( 1 - т(г))) (Тт(Р) + 1)(тг(р) +1)

Здесь /х и т] корни следующих уравнений:

а!/х6 + о2р5 + а3/х4 -I- (а4 - а4)р3 - а3р? — - 01 = О,

М6 + Ь2г[> + 63774 + (64 - - М2 - Щ -¿1 = 0,

где

01 = е,аг2, а2 = —2е'°т (1+г2), а3 = е'аг2(4 + г2) + (2 - г2) (е,а - е"шг2) , а4 = -4е1аг, 61 = е'ар2, 62 = —2е1ар (р2 + 1) , г* = е'° (5р2 + 1) - Ь4 = —4е'°р,

при этом рассматриваются такие корни ц и ц, что \ц\ = |?j| = 1 и правые части уравнений (6) и (7) на окружности \z\ = |Ç| = 1 неотрицательны;

В заключении формулируются основные теоретические и практические результаты диссертации.

Благодарность. Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Игорю Александровичу Александрову за постановку задач и ценные советы.

Через R обозначается корень уравнения

а через Т корень уравнения

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

1. Александров И.А., Пчелинцев В.А. Множество значений производной Шварца // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2010. - № 3 (11). - С. 5-12. - 0.48/0.24 п.л.

2. Пчелинцев В.А. Об одной экстремальной задаче // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2012. - № 3 (19).

- С. 22-30. - 0.54 п.л.

3. Пчелинцев В.А. К задаче о неналегающих областях // Сибирский математический журнал. - 2012. - Т. 53, № 6. - С. 1391-1400. - 0.6 п.л.

4. Пчелинцев В.А. Об одном функционале на классе пар функций// Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. -2013. - № 2 (22). - С. 44-56. - 0.78 п.л.

Статьи в других научных изданиях:

5. Пчелинцев В. А. Одна задача о неналегающих областях // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 16-й Саратовской зимней школы (Саратов, 27 января - 3 февраля 2012 г.). - Саратов : Научная книга, 2012. - С. 137-138. - 0.07 п.л.

6. Пчелинцев В. А. Множество значений функционала I = {/, z0} на классе S / / Современные проблемы математики и механики : труды III Всероссийской молодёжной научной конференции (Томск, 23 - 25 апреля 2012 г.) / Том. гос. ун-т. - Томск, 2012. - С. 51-53. - 0.18 п.л.

7. Пчелинцев В.А. Эллиптические интегралы // Современные проблемы механики : материалы Международной конференции (Томск, 19 - 20 сентября 2012 г.) / Том. гос. ун-т. - Томск, 2012. - С. 13-14. - 0.06 п.л.

8. Пчелинцев В. А. Об одном функционале, заданном на множестве пар однолистных функций // Студент и HTI1 : Математика : материалы 51-й Международной научной студенческой конференции (МНСК-2013) (Новосибирск, 12 - 18 апреля 2013 г.) / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2013.

- С. 31. - 0.06 п.л.

Подписано в печать 20.09.2013 г. Формат А4/2. Рнзография Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 04/09-13 Отпечатано в ООО "Позитив-НБ" 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

04201 45271 9

На правах рукописи

Пчелиндев Валерий Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ МНОЖЕСТВ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛОВ ВАРИАЦИОННЫМ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДАМИ

Специальность 01.01.01 - Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель член-корреспондент РАО, доктор физико-математических наук, профессор Игорь Александрович Александров

Томск - 2013

Оглавление

Список обозначений 4

Введение 6

1 Метод внутренних вариаций однолистных функций 21

1.1 Вариационная формула Голузина............................22

1.2 Основные вариационные формулы

в классах 5 и Е0..............................................29

1.3 Вспомогательные вариационные формулы

в классах 5 и Ео..............................................34

1.4 Вариационные формулы в классе Ш........................37

2 Множество значений производной Шварца 39

2.1 Определение и свойства производной Шварца............39

2.2 Интегральное представление производной

Шварца........................................................41

2.3 Множество значений функционала {f{zo),zo} на классе 5 43

2.4 Множество значений функционала на классе

..............................................................47

3 К задаче о неналегающих областях 49

3.1 Функционал «/, = 1п у^Щ ..........................49

3.2 Дифференциальные уравнения для граничных функций 53

3.3 Уравнение границы множества Е ............. 56

4 Множества значений функционалов на классе пар однолистных функций 66

4.1 Функционал = 1п (Яст) ..........66

4.2 Вывод дифференциальных уравнений для граничных функций функционала (4.1) ................................69

4.3 Анализ и интегрирование уравнений (4.4) и (4.5) .... 71

4.4 Функционал Ф(/, = 1п ............................75

4.5 Анализ и интегрирование уравнений (4.23) и (4.24) . . 78

Заключение 87

Литература 88

Список обозначений

В работе принята двойная нумерация теорем и формул, самостоятельная в каждой главе.

С - комплексная плоскость;

С = СУ(оо} - расширенная комплексная плоскость;

и - единичный круг {х <Е С : \г\ < 1};

и* - внешность единичного круга {С € С : > 1};

К (г, Я) - круговое кольцо {г е С : 0 < г < < Я < +оо};

5 - класс голоморфных однолистых в круге V функций ги = /(г) таких, что /(0) = 0,/'(О) = 1;

Бм ~ подкласс функций класса удовлетворяющих неравенству |/(г)| <М, М> 1;

Е - класс мероморфных однолистных в области V* функций ъи = ^(С)> имеющих в проколотой окрестности бесконечно удалённой точки разложение вида Е(() = С + ао + «1/С + --- + ап/(п + ...;

Е0 - подкласс функций класса Е, не принимающих в II* нулевого значения;

Ш - класс всех пар функций (/(г), ^(С))> /(0) = 0. ^Х00) — 00 > мероморфных однолистных и без общих значений соответственно в круге и ив его внешности £/*;

Ш' - класс всех пар функций (f(z),F(Q), ¡(г) е 5, F(£) £ Е0;

□ - конец доказательства.

Во всех рассматриваемых классах функций введена топология равномерной сходимости внутри заданной области.

Введение

Ушедший в историю XX век был отмечен выдающимися достижениями в области теории функций комплексного переменного и многочисленными приложениями этой теории к исследованию актуальных задач в современном естествознании. Основополагающие работы начала прошлого века П. Кёбе, К. Каратеодори, Т. Гронуолла, Л. Бибербаха, К. Лёвнера и многих других математиков заложили фундамент современной геометрической теории однолистных функций и конформных отображений. Эта теория, возникшая первоначально на пути непосредственного развития классической теории функций комплексного переменного, за последние полвека сформировалась в одну из актуальных и интенсивно развивающихся областей современного анализа. Спектр приложений геометрической теории однолистных функций достаточно широк и охватывает, например, такие области, как гидромеханика, аэродинамика, теория упругости и другие. Все приложения стали возможны во многом благодаря тому, что значимое место в данной теории уделяется экстремальным задачам, которые находятся в тесной связи с основными задачами как самой теории, так и многочисленными её приложениями.

Однолистным функциям принадлежит основная роль в геометрической теории функций (ГТФ). Предметом исследований ГТФ являются классы функций, которые рассматриваются в канонических обла-

стях определения. При этом ГТФ концентрирует внимание на классах функций преимущественно как на классах отображений и значительно в меньшей мере исследует вопросы представления этих функций в аналитической форме. Однолистные отображения образуют самые простые с точки зрения их геометрических свойств классы конформных отображений. С другой стороны, именно однолистные отображения обладают рядом важных экстремальных свойств во многих общих классах конформных отображений.

Начало систематическому исследованию экстремальных задач геометрической теории однолистных функций положили работы П. Кё-бе [59] и [60], посвященные соответствию границ при конформных отображениях. Во втором десятилетии прошлого века большой вклад в развитие зарождавшейся теории внёс К. Каратеодори. Он доказал теорему о сходимости последовательности областей к ядру, а в работах [54], [55] рассмотрел вопрос о граничном соответствии, предложив теорию простых концов и доказав теорему о соответствии границ при конформных отображениях. Эти и многие другие задачи получили затем мощный импульс благодаря исследованиям М.А. Лаврентьева [37, 38], Г.М. Голузина [25-27], ПЛ. Куфарева [35, 36], М. Шиф-фера [67], Ю.Е. Аленицына [17, 18], H.A. Лебедева [41-44], Л.И. Кол-биной [33, 34], Г.В. Улиной [49] И.А. Александрова [11-18], К. Пом-меренке [65, 66], Дж. Дженкинса [28], В.Я. Гутлянского [27], Л.Х. Бурштейна [21], Д.В. Прохорова [45, 46], В.Н. Дубинина [29, 30], О. Шрамма [68], М.Д. Контрераса [51, 56, 57], Э.Г. Кирьяцкого [31, 32] и многих других авторов.

Для решения экстремальных задач в ГТФ были предложены новые методы, поскольку методы классического вариационного исчисления

оказались недостаточными. Первым по времени своего возникновения состоятельным методом ГТФ был метод площадей, разработанный в исследованиях Т. Гронуолла и Л. Бибербаха. Таким путем в 1914 году Т. Гронуолл доказал внешнюю теорему площадей в классе Е. Этот результат позволил установить ряд замечательных свойств функций Кёбе

ад = (1-^)2'0 - ^ <2уг-

Функции отображают единичный круг и на всю плоскость с ра-

диальным разрезом и потому эти функции (вместе с тождественным отображением /(г) = г) представляют собой самые симметричные элементы класса В 1916 году Л. Бибербах [52] высказал гипотезу о том, что для коэффициентов функций класса £ справедливо неравенство

\сп\ < п, п > 1

и равенство здесь имеет место только для функций Кёбе. Сам Л. Бибербах доказал это неравенство для п — 2. Гипотеза Бибербаха продолжала оставаться недоказанной до 1984 года. Привлекая внимание многих аналитиков, эта гипотеза способствовала возникновению новых идей и некоторых методов ГТФ. Так, под влиянием гипотезы Бибербаха в 1923 году К. Лёвнер создал параметрический метод и с его помощью доказал неравенство для п = 3.

В 30-40-х годах XX века возникли методы граничных и внутренних вариаций Шиффера, вариационный метод Голузина. Этому предшествовала разработанная П. Монтелем теория нормальных семейств аналитических функций.

Все методы ГТФ являются по существу геометрическими. Основ-

ные классы однолистных функций характеризуются высокой степенью нелинейности (например, сумма двух функций класса Б может оказаться неоднолистной), и это обстоятельство определяет своеобразие методов теории однолистных функций. Наряду с различными классами функций в этой теории исследуются объекты более общей природы: классы систем отображений на неналегающие области той или иной топологической структуры. С такими объектами весьма естественным образом связаны многие основные классы отображений. Большое внимание в ГТФ, как уже отмечалось, уделяется различным экстремальным задачам, в которых речь идёт об экстремумах и множествах значений функционалов, характеризующих свойства конформных отображений. К ним относятся задачи о значениях, принимаемых функциями и их производными во внутренних точках их областей определения, разнообразные по постановке вопросы о геометрических характеристиках образа области (например, задачи о покрытии того или иного семейства линий или областей, о граничном искажении) и многие другие вопросы. Исследуемые функционалы имеют, как правило, трансцендентный характер и сложность экстремальных задач зависит от количества полюсов ассоциированных квадратичных дифференциалов, играющих роль свободных параметров. В последние годы в ГТФ было получено решение ряда трудных экстремальных вопросов, к которым относятся задачи, имеющие богатую историю, и задачи нового типа.

Трудные экстремальные задачи ГТФ в большинстве случаев требуют одновременного использования нескольких методов исследования. В ряде вопросов общего характера обнаружилось, что некоторые методы успешно дополняют друг друга. Известным примером сочетания различных методов служит вариационно-параметрический метод Ку-

фарева.

Приведём краткую характеристику параметрического метода Лёв-нера и методов вариаций и остановимся на тех приложениях этих методов, которые, как нам представляется, наиболее наглядно демонстрируют современное состояние ГТФ и возможности её методов.

Метод параметрических представлений Лёвнера. В 1923 году К. Лёвнер [61] представил параметрический метод, в основе которого лежит следующее дифференциальное уравнение

где 0 < г < оо, /х(г), |/л(т)| = 1, - кусочно-непрерывная функция. Посредством этого метода он доказал справедливость гипотезы Биберба-ха для третьего коэффициента. Метод Лёвнера уже в скором времени получил широкое распространение как метод ГТФ, позволяющий получать глубокие результаты. Большая роль в развитии и распространении этого метода принадлежит Г.М. Голузину. Он доказал, в частности, с его помощью теорему вращения. В 30-40-х годах прошлого века методу Лёвнера были посвящены исследования И.Е. Базилевича, П.П. Куфарева и других авторов, в которых были получены результаты общего характера в теории метода Лёвнера и даны решения ряда экстремальных вопросов.

В 1943 году П.П. Куфарев [36] получил уравнение, обобщающее уравнение Лёвнера

где функция Р{ю,т), определённая при ги е17 и т Е [0, оо), принадлежит классу Каратеодори при каждом г > 0 и измерима по т при каждом шеи. Это уравнение известно как уравнение Лёвнера-Куфарева.

(0.1)

Теория Лёвнера-Куфарева получила логическое завершение в исследованиях К. Поммеренке [66] и В.Я. Гутлянского [27], в которых показано, что каждая функция класса S представляется в виде

f(z) = lim eTw(z, т, 0),

т—>оо

где w(z,t,s) - решение уравнения Лёвнера-Куфарева с начальным условием w(z, s, s) = z, 0 < s < т < oo, получаемое при надлежащем выборе функции P(w,t).

Существенным аспектом классического метода Лёвнера является тесная связь между результатами этого метода и метода вариаций. Общие результаты метода вариаций показывают, что экстремальными для большого числа задач теории однолистных функций являются отображения круга U на плоскость с разрезами по конечному числу аналитических дуг, следовательно, такие отображения представляются посредством уравнения (0.1) в терминах управляющей функции /i(r). Это навело на мысль использовать, с одной стороны, дифференциальное уравнение для отображающей функции, получаемое методом вариаций, а с другой стороны - уравнение Лёвнера для того, чтобы свести нахождение функции ц{т), фигурирующей в уравнении (0.1), к решению некоторой граничной задачи для системы дифференциальных уравнений. Возможность такого подхода была указана в 1945 году М. Шиффером. Общие рассмотрения этого вопроса были проведены H.A. Лебедевым, исходившим из вариационной формулы Голузина. Законченную форму указанный подход принял в работах П.П. Куфа-рева и созданный им метод получил известность как вариационно-параметрический метод Куфарева. С помощью этого метода Томской математической школой был решен ряд трудных экстремальных задач

(см. монографии И.А. Александрова [12, 13] и [51]).

В 1984 году Л. де Бранж [53] с помощью метода Лёвнера решил проблему коэффициентов однолистных функций, т.е. именно этот метод сыграл роль "палочки-выручалочки" при решении гипотезы Бибер-баха.

В настоящее время параметрический метод в объединении со стохастическим анализом нашёл широкое применение при решении задач статистической физики [68]. Так, например, В. Вернер за вклад в изучение стохастической эволюции Лёвнера, геометрии двумерного броуновского движения и конформной теории поля и С.К. Смирнов за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике были удостоены Филдсовской премии в 2006 и 2010 годах соответственно.

Метод параметрических представлений использовали в своих работах Г.М. Голузин, И.Е. Базилевич, П.П. Куфарев, И.А. Александров, В.И. Попов, В.Я. Гутлянский, Д.В. Прохоров, Л. де Бранж и другие. С различными подходами к обоснованию и многочисленными применениями этого метода можно ознакомиться по монографиям Г.М. Го-лузина [25], У.К. Хеймана [50], К. Поммеренке [66] И.А. Александрова [12, 13], Труды П.П. Куфарева [25], В.Я. Гутлянского и В.И. Рязанова [27].

Методы вариаций. Вариационные методы теории однолистных функций существенно отличаются от методов классического вариационного исчисления. Вариационные принципы при исследовании конформных отображений использовались ещё в работах Ж. Адамара и Г. Жюлиа. Первым из вариационных методов теории однолистных функций был вариационно-геометрический метод Лаврентьева. Широ-

кое распространение в теории однолистных функций получили методы граничных и внутренних вариаций Шиффера и вариационный метод Голузина.

В 1943 году М. Шиффер [67] предложил метод внутренних вариаций, который основывается на теории потенциала. В 1946 году Г.М. Голузин [23] дал свой вариант метода внутренних вариаций, который содержится в теореме 1.1, приведённой в первой главе. Он получил вариационные формулы при меньших, чем у М. Шиффера, предположениях об отображениях. Метод внутренних вариаций приводит при решении экстремальных задач к некоторому функционально-дифференциальному уравнению для каждой экстремальной функции. Отметим, что метод внутренних вариаций Шиффера и вариационный метод Голузина были распространены на случай многосвязной области.

Вариационные методы дают важную геометрическую характеристику экстремальных отображений и с помощью этих методов были получены решения разнообразных по постановкам экстремальных задач. Методы вариаций нашли многочисленные приложения к экстремальным задачам в классах функций, характеризующихся теми или иными геометрическими условиями.

Большое внимание вариационным методам уделяется в работах М.А. Лаврентьева, М. Шиффера, Г.М. Голузина, П.П. Куфарева, H.A. Лебедева, Л.И. Колбиной, И.А. Александрова, В.Я. Гутлянского, К. Поммеренке и других. С различными подходами к обоснованию и многочисленными применениями вариационных методов можно ознакомиться по монографиям М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата [38], Г.М. Голузина [25], У.К. Хеймана [50], К. Поммеренке [66], И.А. Алексан-

дрова [12, 13], В.Я. Гутлянского и В.И. Рязанова [27].

Общая характеристика и основные результаты

диссертации

Настоящая диссертация посвящена применению параметрического и вариационного методов для исследования множеств значений ряда функционалов, заданных на различных классах однолистных функций. А именно, параметрическим методом Лёвнера решается задача о нахождении множества значений производной Шварца на классах S и Sm■ Другими методами множество значений производной Шварца на указанных классах исследовалось 3. Нехари [63, 64], Е. Хил-лом [58], Ю.Е. Аленицыным [17], H.A. Александровым [10], H.A. Лебедевым [42]. Вариационным методом Голузина решается одна экстремальная задача о неналегающих областях. Такие задачи были впервые поставлены в 1934 году М.А. Лаврентьевым [37]. Значительные результаты в решении подобного рода задач получены П.П. Куфаре-вым [35], Г.М. Голузиным [25], H.A. Лебедевым [40, 41], Л.И. Кол-биной [33, 34], Г.В. Улиной [49], Л.Х. Бурштейном [21], В.А. Андреевым [16, 19], А.К. Бахтиным [20] и другими математиками. Далее, используя вариационный метод Голузина, исследуются множества значений двух функционалов заданных на классе Ш'. Класс 9ЕЯ' в своих работах использовали H.A. Лебедев [42], Я.С. Мирошниченко [44]. Поэтому рассматриваемая в данной работе тематика является широко известной и актуальной.

Цели работы. Целями диссертационной работы являются: — развитие вариационного метода Голузина и параметрического метода Лёвнера;

— нахождение новых случаев интегрирования уравнения Лёвнера;

— исследование множества значений конкретного функционала, зависящего от значений функций в фиксированных точках, в задаче о неналегающих областях;

— отыск�