Некоторые задачи синтеза оптимального управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Синтез, управления в минимаксной задаче с фазовыми ограничениями

§1. Постановка задачи*

§2. Нахождение программного управления

2.1.Необходимое условие минимума,.

2.2.Метод последовательных приближений

2.3.Численная реализация метода.

§3. Решение задачи параметрической оптимизации с ограничениями. . . 36;

3.1.Нахождение; производных функции, заданной на решениях системы дифференциальных уравнений.

3.2.Метод экстремального базиса.

3.3.Минимизация максимума линейных функций при линейных ограничениях.

ГЛАВА, 2. Необходимое условие- оптимальности в задаче минимизации функции максимума-, на-, решениях разрывной системы

§4. Постановка, задачи.

§5. Доопределение правой, части системы на поверхности разрыва.*.5Е

§6., Дифференцируемость по параметру решения разрывной: системы.

§7. Необходимое условие минимума.

ГЛАВА. 3. Минимизация ударного спектра амортизаторам при ограничении на его ход.

§8. Постановка, задачи.

§9. Исследование; предельных возможностей системы амортизации.

9.1.Сведение задачи амортизации к конечномерной минимаксной задаче.

9.2. Описание. программы.

9.3.Результаты расчетов.

§10. Параметрическая оптимизация.ГГО

10.1.Выбор структуры управляющей функции.ПО

10.2. Описание программы

10.3.Результаты расчетов.

Настоящая диссертационная работа.посвящена изучению задач оптимального управления с функционалом качества типа максимум., В работе рассматривается система de = i(i,x,u.tp) , xtf0)= Х0. (L) rp

Здесь ¿¿[to^T], 4<Г -фиксированы, х^ос.0] а^-вектор фазовых переменных,., и=(и0)) .,и.(г>)-управляющий вектор,, р(т)) -вектор параметров, р £ Р , где Р -замкнутое ограниченное множество, : кусочно-непрерывна.по и непрерывна вместе с jx ju (i^up). г -мерная вектор-функция и Ii) предполагается кусочно-непрерывной на и при всех teltjl удовлетворяющей ограничению и. V с Ez,. Множество таких функций обозначим через . U . При заданных U.GÜ t ре Р система

I.) определяет решение х (i,t^tp). Пусть качество системы оценивается функционалами ((¿>р) r rncocc wL (i} ос. а, (¿,р)), С е где функции ifc (ijOc) непрерывны по t и непрерывно дифференцируемы по ос, . Ставится задача:, при фиксированном ре Р найти (¿*£ U такое.,, что

1t (и*; p)=mcn 7/af) при усЛовии &(и*,р)<0. (2) не U .

Задачу (2) назовем, программной задачей, управление -программным управлением. Положим У± J.

Задача (2) является минимаксной задачей оптимального управления с фазовыми ограничениями. В настоящее время получены необходимые условия оптимальности и разработаны численные; методы для широкого, класса задач с недифференцируемым функционалом, В работе [24] , например,, рассматривается задача минимизации по т функционала. • тсис / /0 (ос,и,

УеА % при ограничениях к (х(4о),х(Т))*0, и И) е Сги.

Здесь ^ -постоянный вектор из Л ,/I с £3 -компакт, /С прерывно дифференцируемая функция ¿п переменных размерности /V ^ Ипу и(^) -ограниченная измеримая функция размерности т. со значениями из (ги. , функции непрерывны вместе с г/озс ■/х &и)по совокупности переменных. Используя технику А.Я.Дубовицкого и А.А.Милютина /29], авторы получают необходимое условие минимума в данной задаче.

В.В.Альсевичем [г] выводится необходимое условие; оптимальности в задаче минимизации функционала 3(и)= пхнс уеУ на траекториях п -мерной системы X = ¿(х^^у), Яо,

В работах Т.К.Виноградовой, В.Ф.Демьянова [16-18,28] исследовались функционалы вида

Т рт а£ оИ9 3(и)-- тси£ / д . (3) 0<1

Требовалось минимизировать эти функционалы по и при ¿2 ¿(сс^и^) у ос(о).- сс0; где 2Г-компакт., Бшш получены необходимые условия экстремума, с использованием классических,, игольчатых и пакетных вариаций управления. Функционалы вида (3) рассматривались также в. /бв].

В.В.Величенко [х&] решает задачу минимизации по тШ^Х/ функционала-. и[1о,Т] при заданных граничных условиях. Полученные результаты используются в задаче о минимуме максимальной перегрузки.

Методы решения задач управления с недифференцируемым функционалом, .основанные; на идеях метода, линеаризации,, излагаются в монографии [52]., Ю.Г.Евтушенко [зо] разрабатывается подход к решению задач оптимального управления, основанный на идеях нелинейного программирования. Численные методы в задачах оптимального управления рассматриваются в [34,35].

Полученные в работах этого направления результаты позволяют находить программное, управление, то есть управляющую функцию, зависящую только от времени. Поскольку программное' управление никак не реагирует на отклонение; фазовых координат от заданной траектории, желательно, чтобы управление, являлось функцией времени и фазовых координат, то есть строилось в форме, синтеза. В литературе встречаются различные определения синтеза управления. В работе [21] синтезом управления называется любой алгоритм вычисления оптимального управления в конкретной задаче. При этом управление;может строиться как в форме обратной связи, так и в форме программного. Наиболее часто [б,33, 41,44] под задачей синтеза понимается нахождение управляющей функции, зависящей от времени и фазовых координат и обеспечивающей оптимальность любой фазовой траектории системы, удовлетворяющей уравнениям движения с произвольными начальными условиями. Б постановке ¿19] произвольным помимо начальных условий считается внешнее воздействие на систему.

Б данной работе, под синтезом управления, как это принято при решении инженерных задач(см.»например,[в]), понимается нахождение управляющей функции, зависящей от времени и фазовых координат и- обеспечивающей минимальное значение критерию качества при фиксированных начальных условиях движения. В качестве множества допустимых управлений рассматривается параметрическое: семейство функций, и задача оптимального управления сводиться к задаче параметрической оптимизации. Такой подход позволяет применять к решению задач управления с недифференцируемым функционалом методы,; разработанные для решения конечномерных не>-гладких задач В.Ф.Демьяновым, В.Н.Малоземовым [20,27], Ю.М.Ермольевым, Н.З.Шором , Б.Н.Пшеничным, Ю.Н.Данилиным [46,47] и другими авторами.

При задании в качестве управления функции, разрывной на некоторой поверхности, получаем задачу, минимизации функции максимума на решениях системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Вопросам параметрической оптимизации разрывных систем посвящены работы [2,3,,45,54]. В [аь] исследуется дифференцируемость по начальным значениям решения системы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. В ["54] эти результаты обобщаются на тот случай, когда разрывным является также и само решение. В работах [2,з] рассматривается задача минимизации по параметрам и/ и функционала

7Ы, 4)= Ф (*&<), на решениях сс (I) краевой задачи х -.¿(х.иг), А° (*&),

ЗдесьФ- скалярная, , к , к - векторные функции аргументов ос. в Вл » ъ^е Ет со значениями в Еп ,Еп , Е^ соответственно. Предполагается, что функции , непрерывно дифференцируемы по х , иг , функция { непрерывна вместе с производными /д, , всюду, кроме гладкого многообразия р (ое} и) ^ О , где допускаются конечные; разрывы ее значений, "4 — фиксированный момент времени, г<т , если ¿^ задано, гйт. , если ^ не; задано. В этой задаче получены необходимые условия оптимальности.

Задаче оптимального управления с разрывными правыми частями посвящены работы В.А.Троицкого [49,50]. Автор исследовал ее методами вариационного^ исчисления. Обобщение результатов В.А.Троицкого на случай, когда допускаются разрывы фазовых координат , получено в [ 15].

Исследование разрывной задачи оптимального, управления на основе принципа максимума- Л.С.Понтрягина, было проведено вначале В.В.Величенко ¡12,13] , а затем, и; другими авторами: [11,32,40, 48]. Во всех этих работах предполагается, что фазовая траектория пересекает поверхность разрыва. Дальнейшее обобщение полученных ранее результатов проведено в [4,5,37], где выводятся необходимые условия оптимальности в том случае, когда траектория касается поверхности разрыва или скользит по ней. Разрывным задачам оптимального, управления посвящены работы [56,57,60].

Важное:; место в оптимизационных задачах механики занимают задачи противоударной, амортизации, одна из которых рассмотрена в диссертации. В литературе известны два постановки задачи а предельных возможностях амортизации. Для простейшей расчетной модели амортизируемого объекта, движущегося поступательно и прямолинейно, в первой из, них (В.В.Турецкий [22,23], А.А.Перво-званский [42]) требуется найти ограниченно© по модулю программ- ■ ное управление иШЫи.о7 (4) где Li0 -допустимая перегрузка объекта, доставляющее минимум наибольшему относительному: смещению объекта,, то есть функционалу:

I- тсоос /ос (6)1. (5)

Здесь x(é) -текущая координата объекта, определяемая из уравнения

X = <ГШ- иЮ , х[о)-~ Хо} x(o)=xoj где <f(6) -заданное внешнее: воздействие.

Б постановке второго типа (Б.Д.Манойленко, Ю.Л.Рутман [зэ]) функционал (5) и ограничение (4) меняются местами: требуется найти управление с минимальной нормой :

UL0 = tnOLOd /(¿(6)1, -6 обеспечивающее движение объекта с отклонениями, не превышающими заданной величины d , то есть при /я? Ц)\ й CL.

В работе [э] исследуется задача синтеза оптимального управления в постановке первого типа при ударных воздействиях. В [iо] эта задача решается заданием управления как линейной функции фазовых координат и параметра и нахождением оптимальных значений параметра. Метод параметрической оптимизации в амортизационных системах рассматривается в работах /59,6lJ. Задачам синтеза управления в постановке первого типа посвящены также работы [7,38,51].

В этих постановках амортизируемый объект предполагается твердым телом. Отказ от этого предположения приводит к постановке, рассмотренной в данной работе.

Диссертация состоит из введения,, трех глав, приложения и списка литературы.