Об управлении дискретными системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0.1 История вопроса

0.2 Постановка задачи

0.3 Краткое содержание диссертации

1 Оптимальное управление линейной дискретной системой

1.1 Построение оптимального программного управления

1.2 Задача о синтезе оптимального управления

1.3 Свойства оптимального управления и'^ к, х[к]

1.4 Устойчивость оптимального синтеза к помехам в каналах обратной связи

1.5 Примеры

2 Устойчивость оптимального синтеза в линейных дискретных системах при запаздывании сигналов обратной связи

2.1 Построение оптимального синтеза в случае запаздывания сигналов обратной связи

2.2 Устойчивость оптимального синтеза в задаче

2.3 Пример

3 Задача о быстродействии для линейной дискретной системы

3.1 Постановка и решение задачи о быстродействии

3.2 Свойства времени быстродействия и функции 1[иР; М]

3.3 Геометрическая трактовка решения задач о быстродействии

3.4 Устойчивость оптимального синтеза в задаче о быстродействии

3.5 Примеры

4 Управление квазилинейной дискретной системой

4.1 Постановка задачи и описание процедуры построения допустимого управления

4.2 Доказательство сходимости итерационной процедуры

4.3 Пример

0.1 История вопроса Предметом изучения в диссертации являются дискретные управляемые системы. Для них рассматриваются задачи об управлении как на конечном промежутке времени, так и на бесконечном. Источником таких задач служат различные вычислительные процессы, а также вопросы, возникающие при дискретизации управляемых систем с непрерывным временем. Математические постановки задач, подобные рассмотренным здесь, имеют и самостоятельное значение при исследовании экономических систем и биологических объектов, моделировании хода боевых действий, расчете многоступенчатых технологических комплексов. Предполагается, что в процессе функционирования на дискретную систему могут действовать различные возмущения, например, сбои и смены алгоритмов счета. Кроме того, на фазовые состояния, а также на управляющие воздействия обычно накладываются ограничения, обусловленные соображениями конечности энергетических и других ресурсов.Для исследований в области управления дискретными системами характерно стремление к построению дискретной теории столь же полной, как и теория непрерывных систем. Такая тенденция, в частности, имеет место в теории управляемости дискретных систем, в истоках которой лежат работы Р. Калмана [14] и Я.З. Цыпкина [40]. Среди работ, посвященных проблеме управляемости линейных дискретных систем.29 содержатся отметим также [10], [12], [35], [43]. В монографиях [6 постановки задач, ставшие уже классическими для дискретных управляемых систем, и методы их решения. Применению методов линейного и нелинейного программирования (начиная с использования классического метода множителей Лагранжа) для расчета дискретных систем автоматического управления посвящены работы [28], [50], [51.Вопросы, связанные с применением к задачам дискретного управления принципа максимума Л.С. Понтрягина [26], изучались, в частности. в статьях 271, [45 , а также в монографиях 7], [291. Отметим также работу [41], в которой рассмотрены задачи управления и оценивания в дискретных динамических системах при наличии возмущений.Важным классом задач дискретного управления являются задачи, в которых процесс описывается линейными разностными уравнениями.Известны исследования по управлению линейными системами с непрерывным временем, выполненные H.H. Красовским [15] и другими [9], [20], [23]. Изучение задач управления для линейных систем является полезным по следующим причинам: во-первьгх, многие реальные движения, описываемые нелинейными уравнениями, можно в первом приближении описать линейными уравнениями, что облегчает исследование. Во-вторых, для линейных систем известны аналитические выражения, определяющие движения соответствующих объектов. В этом случае линейность уравнений по координатам Xi и по компонентам управления Uj переходит в линейную зависимость движений от начальных условий, что позволяет привлечь к исследованию аппарат линейной алгебры и функционального анализа. Особенности управления линейными дискретными системами были подробно рассмотрены в ¡29], 34], [47].Известны два основных аспекта общей проблемы управления.1. Задача о программном управлении, где дана исходная информация о начальном состоянии объекта, и требуется найти воздействие в виде функции от времени и = и{к), к = ко, ко I,... , N - 1. При этом обычно еще требуется обеспечить желаемое качество процесса.Оно может оцениваться, в частности, функцией от конечного состояния J = F[X{N)), И нужно найти такое допустимое управление и, для которого значение функционала J было бы максимальным. Например, требуется максимизировать количество продукции к концу планируемого периода. При этом, если на конечное состояние не налагается никаких дополнительных ограничений, мы получаем так называемую задачу со свободным конечным состоянием.Важным случаем задач этого типа является проблема предельного программного быстродействия, когда требуется найти управление, переводяш;ее начальное состояние х{ко) в заданное конечное x*{N) за наименьшее время N. Заметим, что такое управление в дискретном случае, в отличие от непрерывного, часто не единственно. Поэтому здесь появляется возможность еш,е оптимизировать показатель качества типа 1[и] = Х]£А:о^^(^)'"(^) по всем таким управлениям. Дискретный вариант задачи о быстродействии был рассмотрен H.H. Красовским [17], Б.Н. Пшеничным [31] и другими [42], [51].Что касается конечных по времени функционирования дискретных управляемых систем - как линейных, так и нелинейных, то о них имеется обширная литература, например, [5], [6], [24], [30]. Для указанного типа задач о построении оптимального программного управления характерно то, что дополнительная информация, которая может поступить в ходе процесса, не используется для коррекции движения. Это ограничивает роль соответствующих результатов и вынуждает рассмотреть проблему в следующем аспекте.2. Задача о синтезе системы с обратной связью, где наилучший закон управления строится в форме уравнений, связывающих воздействие и с величинами, доставляющими информацию о текущем состоянии х{к) объекта. Синтез оптимального по быстродействию управления для линейной дискретной системы был найден А.И. Морозом [25].Вопросы построения оптимального синтеза с минимальными временем и энергией изучались в работе ЛаСалля [47]. В монографии 39] исследуется устойчивость оптимального синтеза в дискретных управляемых системах. Отметим также статью [18], где найден синтез оптимальной дискретной системы управления при постоянно действующих возмущениях, когда известна принадлежность их к определённому классу функций времени.Данная диссертационная работа отличается от вышеуказанных тем, что в ней систематически, на всех этапах используется понятие псевдообратной матрицы [1], и свойства оптимального синтеза исследуются через это понятие.В ряде случаев задача оптимального управления осложняется эффектом запаздывания. Запаздывание может присутствовать как в уравнениях самой системы, так и в каналах обратной связи. Последний вариант имеет место, например, в связи с затратой времени на передачу сигнала. Построение оптимального синтеза в случае линейной системы с непрерывным временем при наличии запаздывания в каналах обратной связи было проведено H.H. Красовским [16]. Задача быстродействия для системы с запаздыванием в случае непрерывного времени исследовалась, в частности, в [9]. Задачи описанного типа в случае линейных и нелинейных дискретных систем изучены меньше и представляют особый интерес. Среди работ, посвяш;енных их решению, отметим [37].От решения задач об управлении линейными объектами возможен переход к нелинейным ситуациям, и первым шагом такого перехода является изучение квазилинейной системы, уравнения движения которой отличаются от линейных уравнений лишь малыми нелинейными добавками. Исследованиям в области управления квазилинейными системами с непрерывным временем посвяпдены, в частности, статьи 2]-[4], [33]. При этом наиболее удобным для конкретных вычислений является случай, когда качество процесса оценивается квадратичным по управлению функционалом. Один из подходов к изучению условий управляемости нелинейных систем использует теоремы о суш,ествовании неподвижной точки [36]. Условия управляемости, полученные подобным образом, сформулированы, в частности, в [38].Решение задачи управления для одного класса нелинейных систем с дискретным временем было предложено в [49]. Алгоритм состоит из последовательности решений задач математического программирования с линейными ограничениями. Метод был развит и обобщён в [48 .К настоящему времени теоретические аспекты вопросов управления и управляемости для дискретных линейных систем разработаны с достаточной полнотой, однако в конкретных вычислительных задачах практическое применение теории наталкивается на ряд трудностей. Так, если система (изначально вполне управляемая) подвержена влиянию случайных возмущений (например, присутствуют помехи в каналах обратной связи), то она может в некоторый момент времени уже не обладать свойством полной управляемости, и задача о приведении её оптимальным управлением в нужное состояние может оказаться неразрешимой. В этом случае естественно попытаться построить управление, приводящее линейную систему столь близко к заданному конечному состоянию, сколь это возможно в условиях данной задачи.Помогает этого добиться применение понятия псевдообратной матрицы, позволяющее получить обобщение классических решений, наглядно представить структуру полученных результатов, уяснить смысл часто возникающей некорректности решений и увидеть пути регуляризации таких решений. Возможность применения псевдообратной матрицы к задачам управления дискретными системами обсуждалась, в частности, в работе ЛаСалля [47]. Применение псевдообратной матрицы для поиска оптимального синтеза было рассмотрено В.Д. Фурасовым в [39].Настоящая диссертация продолжает исследования в этом направлении.В диссертации в терминах псевдообратной матрицы предложен эффективный способ построения оптимального программного управления в задаче об управлении линейной дискретной системой на конечном промежутке времени. Найден и обоснован оптимальный синтез в той же задаче, а также в задаче о быстродействии.Полученные результаты продолжают исследования монографии [15], где были изучены подобные задачи для линейных управляемых систем с непрерывным временем. Доказано, что при определенных условиях построенный оптимальный синтез устойчив по отношению к постоянно действующим возмущениям в каналах обратной связи.Найдено решение задачи об управлении линейной дискретной системой при наличии запаздывания в каналах обратной связи; предложенная процедура решения является модификацией метода. разработанного H.H. Красовским [16] для случая системы с непрерывным временем. Кроме того, рассмотрены некоторые вопросы управления квазилинейными дискретными системами. Идейной основой описанного в IV главе способа построения допустимого управления для системы указанного типа служит подход, обоснованный Э.Г. Альбрехтом в работе 3 .3) Вопросы пункта 2 рассмотреть применительно к случаю наличия в каналах обратной связи запаздывания, то есть при условии, что в к-й момент времени мы располагаем информацией {х{ко), иЩ'^ {ко < I < к) при к — ко < h W. [х[к — h], ulk + l]] {h < l < 0) при к > h, где h> О- величина запаздывания.5) Для квазилинейной дискретной системы х{к+1) = Л(к) х{к) + В{к)и(к)+/{к, х(к), и(к)), к = ко, ко^1,... , N-1 обосновать итерационную процедуру построения допустимого управления как предела последовательности решений линейных задач с квадратичным по управлению критерием качества.0.3 к р а т к о е с о д е р ж а н и е д и с с е р т а ц и и В I главе рассматривается задача приведения линейной дискретной системы в указанное конечное состояние при условии минимума

1. Альбрехт Э.Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. V, № 3. С. 430-442.

2. Альбрехт Э.Г., Соболев О.Н. Синтез систем управления с минимальной энергией // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 10. С. 1611-1616.

3. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Крахотко В.В., Минюк С.А. Теория управляемости линейных дискретных систем I-III // Дифференциальные уравнения. Т. 8, Ж№ 5,6,7. С. 767-774,1081-1092, 1283-1292.

4. ГАЙШУН И.В. Системы с дискретным временем. Минск: Ин-т математики АН Белорусии, 2001. 400 с.

5. Дуда Е.В., Корзун А.И., Минченко О.Ю. О локальной управляемости дискретных систем // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 4. С. 462-469.

6. Заде Л., дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. 376 с.

7. КАЛМАН Р. Об общей теории управления // Труды первого международного конгресса по автоматическому управлению. Изд. АН СССР, 1961. Т. 2. С. 42-45.

8. КрасовскиЙ Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

9. Ларин В.В., науменко К.И., Сунцев В.Н. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка, 1973. 152 с.21. лоусон Ч., хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. 232 с.

10. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

11. Милютин А.А., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., чуканов с.в. Оптимальное управление в линейных системах. м.: Наука, 1993. 268 с.

12. Понтрягин л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1969. 384 с.

13. ПРОПОЙ А.И. О принципе максимума для дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1965. № 7. С. 1177-1187.

14. ПРОПОЙ А.И. Применение методов линейного программирования для синтеза импульсных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. 1963. № 7. С. 912-926.

15. ПРОПОЙ А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. 256 с.

16. ПШЕНИЧНЫЙ Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. 320 с.

17. ПШЕНИЧНЫЙ Б.Н. Синтез линейных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 1966. № 5. С. 28-36.

18. САМАРСКИЙ А. А., МИХАЙЛОВ А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997. 320 с.

19. СУББОТИН А.И. Об управлении движением квазилинейной системы // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. III, № 7. С. 1113-1118.

20. ТАБАК Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975. 280 с.

21. ТКАЧЕНКО Н.В. К вопросу об управляемости некоторых линейных дискретных нестационарных систем. В кн.: Приближенные методы математического анализа. Сб. науч. тр. Киев. гос. пед. ин-т им. A.M. Горького, 1980. С. 163-168.36 3738