Дискретное управление в системах с неполной обратной связью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

СА!!КТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

\

На правах рукописи

ГАВИ'НА Ольга Михайловна

\

ДИСКРЕТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В СИСТЕМАХ С НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬ®

(01.01.09 - математическая кибернетика, 01.01.II - системный анализ и автоматическое управление)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1994 г.

Работа Еыполнегщ на кафедре теории управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук В.С.лнгончик.

инициальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный

на заседании специализированного совета K-063.57.I6 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском университете по адресу: 190004, Санкт-Петербург, В.О., 10-ая линия, д.33, ауд. 88.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета /г.Санкт-Петербург, Университетская набережная,

профессор Г.С.Осипенко (СПбГТУ),

доктор физико-математических наук, профессор А.Ы.Кашчкин (СПбПУ).

электротехнический университет

Защита состоится " " ¿1ЮН&1 1994 г. в -16

часов

Д.7/3 /.

Автореферат разослан

и

1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета

К-063.&7.16, д.ф.-ы.н. 54-х-) ^Й.Ф.Горьковой

ОЩАЯ X: 1РА1-ГГЕР/СТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ: Диссертация посвящена актуальной задаче стабилизации программного движения дискретным по времени управлением при ограниченной информации о векторе состояния, а также построению управляющего момента дискретного по времени типа, обеспечивающего заданную ориентацию в инерциальноы пространстве твердого тела, помещенного в карданов подвес, находящийся на подвижном основании.

Реальные физические системы управления состоят из объектов управления, измерительных, исполнительных и командных устройств. Команды вырабатываемые в ЭВМ или каком-то другом командном процессоре на основе измеренной информации, поступают на исполнительные устройства, в результате чего происходит изменение поведения объекта, т.е. имеется такт (частота обмена информацией) между этими устройствами. Эта информация дискретная по времени, и в работе рассматривается случая, когда она неполная. Измеряется не весь фазовый вектор состояния, а только часть его.

Задачу ориентации твердого тела в кнерциальном пространстве можно трактовать как задачу начальной выставки гиростабили-зированной платформы, находящейся на борту летательного аппарата.

Отсюда следует, что необходимо исследовать математические модели, объекты управления и юс ориентацию в пространства с помощью дискретного по времени управления.

Задача дискретной стабилизации при полной обратной связи рассматривалась В.И.Зубовым [в,э7 , оптимальная стабилизация -В.Г.Болтянским [4} , В.С.Ермолиным [б,7] , непрерывная стабилизация при ограниченной информации о векторе состояния В.С.Ан-

тончиком [l,2] .

Б.И.Зубовым построено семейство управляющих моментов обеспечивающих заданную ориентацию твердого тела в инерциальном пространстве, а Е.Я.Смирновым решена та ке задача при наличии погрешностей в конструктивных параметрах системы. Эти задачи представляют собой ориентацию самого летательного аппарата. Задачи начальной выставки гиростабилизированной платформы (задача ориентации твердого тела), рассмотренная в диссертации, отличается от указанных выше тем, что система координат, связанная с твердым телом должна быть определенным (наперед заданным) образом ориентирована в инерциальном пространстве за счет углов поворота колец карданова подвеса при произвольном врапении летательного аппарата (основания).

ЦЕЛЬ РАБОТК состоит в разработке алгоритмов дискретной стабилизации программных движений и построении дискретного управляющего MOMeHía, осуоествляющего заданную ориентации твердого тела при наличии ограниченной информации.

ОБЩЕ метода ИССЛЕДОВАНИЯ. При решении поставленных задач использованы методы математической теории управления, теории устойчивости двикения, алгебры и законы механики системы твердых тел.

НАУЧНАЯ НОШЗНА. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Способ оценки величины .границы шага дискретности 0 < Я. < Л0 , в дискретной стабилизации при полной обратной связи с помощью метода функций Ляпунова.

2. Алгоритм отыскания коэффициентов усиления при ограничен-

ной информации о векторе состояния и способ определения величины

А0 , гарантирующих дискретнуо стабилизацию для случаев скалярного и векторного управлений, а также для случая использования ограниченной информации в различные дискретные.последовательные моменты времени.

3. Условия существования и алгоритм построения дискретного стабилизирующего управления при ограниченной информации о векторе состояния и произвольном шаге дискретности за искличением определенного множества значений.

4. Способы построения непрерывного и дискретного по времени управляющего момента на основе полной и неполной информации

о векторе состояния. Полученные управлявшие моменты стабилизирует относительно абсолютного пространства твердое тело, пометенное в карданов подвес, находящийся на подвижном основании.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Полученные в диссертации результаты позволяют на начальной стадии проектирования системы автоматического управления обосновать ее параметры, провести оценку точности расчета этих параметров при решении задачи устойчивости, стабилизации и ориентации, определить быстродействие командного процессора (тахта обмена информацией между различными устройствами системы управления).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Отдельные результаты диссертации докладывались на научной конференции студентов и аспирантов факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ /1987 г./, и диссертация в целом - на семинаре кафедры теории управления (руководитель - член-корреспондент РАН В.И.Зубов).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях 1-3.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из наименований.

Объем работы составляет страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные задачи, решаемые в диссертации, обсукдается общая проблематика исследований, дано краткое описание работы и изложены основное результаты, выносимые на защиту.

В главе I рассмотрены алгоритмы построения стабилизиуюша-го дискретного управления при неполной обратной связи для любого шага дискретности , такого что € (о, , даны оценка верхней границы величины 4,0 и способы нахождения коэффициентов усиления. Рассмотрен случай произвольного шага дискретности "А.

В 51 приведены для полноты изложения известные результаты дискретной стабилизации при полной обратной связи и дан алгоритм оценки величины ~к0 - верхней границы шага дискретности

(О < при скалярном и векторном управлениях. Этот §

носит вспомогательный характер.

Рассмотрим систему

Л-Ал^Ви (П

с управлением

где А, д, С - постоянные вещественные матрицы размерностей (п. к п.) , (к *-/) , (г>-*1) • Задача дискретной стабили-

эации рассматривалась в работе В.И.Зубова [бЗ , где доказано, что если пара (А, В) полностьо управляема, то для лобого непрерывного ll(i)= С'х (Í) , которое обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (I), существует число , что для всех C<A<iC0 дискретное уп-

равление (2) с тем же вектором С будет стабилизировать нулевое решение системы (I). При доказательстве этого утверждения установлен факт существования такого числа . В диссерта-

ции с помощью функций Ляцунова получена оценка на величину :

р _ А 4, £)_

А>е я ♦ £ ^л (L+ ъ)11ТЦЦТ-1 К

Здесь

£ >

1я)!,

ТГЩур ,

/ 4

¥ и 6 _ определенно-положительные симметричные матрицы, удовлетворяющие матричному уравнению Ляпунова

0(А+вс') + (л*всуеш-Г ш

Д; (¡='/)%,-->п) - характеристические числа матрицы ¥ ,

Ы.-ВА + ВС1,

д » тмсь

я*. Ш,

- В -

Т - матрица преобразования подобия, приводящая матрицу А к кордановой форме Уд ,

Аналогичный результат вычисления величины имеет

место и для векторного управления, т.е. когда матрицы В и С в фориуле (I) имеет размерность

Разрешимость задачи дискретной стабилизации при полной обратной связи и произвольном шаге дискретности Л изучалась в работах , где доказано утверждение.

Теорема 1,3'*', Если шаг дискретности € У^х, то при полной управляемости системы (I) задача дискретной стабилизации имеет реление.

Множества , Л-х , введенные в работе [ 7 ] , построены через собственные значения матрицы А

§2 посвящен разработке алгоритмов дискретной стабилизации с неполной информацией о координатах системы, т.е. в системе (I) в дискретные моменты времени £ = к&> Л •• • измеряется т -вектор

£ *>£(*&) = ГЪ:(»А) г (5)

где Г -вещественная постоянная матрица (п-*!п)}'ш.п^Г=ьг. Задача. Построить управление вида

ир)« С\(н1) , ье[*А,■■■, (б)

где С - вещественная матрица (т.> так чтобы нулэ-

- Нумерация теорем соответствует их нумерации в диссертации.

вое решение системы (I), замкнутой управлением (6), было асимптотически устойчиво.

Пусть 1' ^ . Найдем коэффициенты характеристического уравнения матриц» А

ск£(лЕ-А)=XV*.,Л*'1* л*О (7)

и положим р т(/Ъ/р1, •• '/Д-у^* • Составим матрицу

/Л А"-*., а-(в,Ав,...,А"в)1!к р> ;;; < ?

* ... о о /

у о ... о у

и найдем решения ^ линейной алгебраической системы с прямоугольной матрицей размерности ("г"») } Г /п

(8)

Положим "Л " I* р г и найдем такое решение

системы с прямоугольной матрицей размерности »'г*/)

»Ю-

(9)

что если вектор-решение ^ "(%>%>••• > )* взять в

качестве коэффициентов многочлена

л^гч.ио)

то корни его распококвны в левов полуплоскости. Такой вектор будем называть гурвицевым и писать ^ &

Творена 2.1*. Если супествуег гурвицев вектор ^ - решение системы (9), то коэффициенты усиления для системы (I) при С=(с^,Ся> ст )* определим из совместной

линейной алгебраической системы

GLtrC = f>-f , ш)

величина при этой вычисляется по формуле (3), где

6(А*ВСГУ*(А+ВСГ')л9--¥',

<*, <

I А+всгц г ¿-¿нтсг'и.

Способы отыскания решения системы (9) ^ изложе-

ны в диссертации и работах С 3,1] .

Пусть , и пара (^,8) полностью

управляема. Составим матрицу

$.(В„АВ,, ...1А'-~,ВгЛ.-Л. - /'~'Вг'>'

-«.4.....Ц2'

причем ••• • Сделаем эаиену переменных в

системе (I)

(13)

в результате придем к системе Введя новые переменные:

Ъ > £т

> * »У,*,. (15).

f

, г-ы,,

видим, что система (14) имеет.лишь у управлений, и положим

Если ]*<1 , то ... « 0 . Таким образом, система (14) распадается на у подсистем со скалярным управлением вида

Уг= Дг 4 , ¿ = ...,/, (17)

где , С » ■f,í>^..>f - диагональные квадратные блоки матрицы А порядка ,

Для какдой из у подсистем в дискретное момент« времени

Ь =кА{ , имеем вектор измерений

и строим управление вида

(19)

при которой нулевое решение подсистемы (17) асимптотически устойчиво.. Если "шлир , где - порядок £ -ой подсистемы, то имеем подсистему с полкой обратной связью и, как укааано в {I, мокло построить любые характеристические числа. Если "гсигирГ< ^ , то имеем вектор коэффициентов усиления = (с ., с .,.... с. ) ■ если алгебраическая система вида (9) имеет решение в виде вектора £ . По алгоритму» указанному в {I, и формуле (3) вычислим величины ,

-¿- у, . . Составим матрицы

) »

С \Г/ (20)

размерности , где С -ая строка есть С.* ,

остальные строки - нулевые, и найден

« ■^¡¿л ••■> ¿¡у.) > (21)

(22)

тогда 1 - вектор управления

Л" \ .

* V-) - с;г5г ю+сг$к /гч>

* , , в... ; 4)

будет решением задачи дискретной стабилизации при неполной обратной связи (I), (5), (6).

Отметим, ч.о данный алгоритм позволяет выделить для матрицы Л системы (X) те подсистемы, в которых характеристические числа можно сделать любим, и подсистемы, в которых характеристические числа зависят от параметров. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Если пара (А, В) полностью управляема и линейных алгебраических подсистем вида (9) имеют решения В виде гурвицввых векторов ^ , -¿=* , тогда

при ^о) , где величина определяется форму-

лой (21), дискретное управление вида (22) обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы управления (I), (б), (6).

Пусть т = / . Полоким «- б*»»«V . • ••>

и предположим , тогда систему (9) запишем в виде

<*. 1

о

о —1 о о .

о е.

(23)

где Ъ а Д-3$р0 , ¡"А*,-., ■ Теорема 2.2. Если корни многочлена

либо

_ п-/ ,4'* ,

/ГА) - А * •• •+ +

лежат в левой полуплоскости, то верш утверждения теоремы 2.1. при этой в первой случае

а-4

с»

- с.

во втором случае

С- £ (Ре-Ф) '

где Я * К> , ^о - произвольная постоянная.

Теперь рассмотрим залечу дискретной стабилизации при произвольном шаге дискретности /и для случая неполной обратной

О

«г

связи.

Проинтегрируем систему (I) при управлении (6) на промежутке Ь € ^ с начальным условием X.(кА) =>. Тогда

еЧ=Е+АЙ. , (24)

о

п АА

Обозначим с я е и рассмотрим систему управлений

7*РГЛВи> (25,

? ■ ГУ > (26)

«.- С ^ • (27)

Для того чтобы нулевое решение разностной системы (24) было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы характеристические числа матрицы системы (25), зайкнутой управлением (27), находились внутри единичного круга о центром в начале координат. Для применения выше описанных алгоритмов построения стабилизи-руосих управлений требуется полная управляемость системы (25). Это условие выполнено, как показано в работе [7] , если шаг дискретности т! . При построении стабилизирующего

управления (27) нукно знать коэффициенты оС. ¿'- о> у^

о А _

характеристического уравнения матрицы г = & .В диссертации дан алгоритм вычисления этих коэффициентов через известные коэффициенты матрицы А [б] ,

Условия построения дискретного управления при почти всех ^ в системе с неполной обратной свяэьв указаны в теореме.

Теорема 2.4. Система (I), (5) стабилизируема дискретный управлением вида (6) при почти всех "Я.

( £ - шаг дискретности), если:

1) система (I) полностью управляема,

2) 4. £ ,

3) £ алгебраических систем с прямоугольными матрицами вида (9) имеют такие вектор-решения ^ " • • мД*" ^ что > £

В §3 рассмотрена задача построения стабилизируювего управления по измерениям, подученный в различные предшествующие моменты времени в случае ограниченной информации о векторе состояния.

Задача. Для системы (I) при наличии измерений заданных выражением (5), где Г - п. - вектор, построить управление вида

«Ю- 1 С.^ ^ (28)

обеопечиваоаее асимптотическую устойчивость кулевого решения системы (I).

Интегрируя систецу (I), (28) на интервале с начальный условием ¿С (к Я) - йск , получим разностную систему

ш(29)

/

€ +1

\

...

£ О- ... о-

V ■ Е ... от

V. О- ... £

о

Характеристическим уравнением матрицы а)<•> является

с^/-;] -о, (30)

коэффициенты которого зависят от искомых параметров •

Раскрытие этого определителя в общем случае затруднительно.

Рассмотрим случай и пусть (р^ . Запи-

шем характеристическое уравнение (30) в вида

(31)

Тогда раскрывая определитель (30), считая коэффициенты Д. из (31) известными и приравнивая выракения при одинаковых степенях у3 , получим яинеТшуо алгебраическую систему

Не = р , (32)

где

н =

О о

о о ад

ООО

0 ОО

0001

Л Л' &Л ;

Задача стабилизации в данном случае свелась к тому, чтобы определить параметры с0>с1>...)са так, чтобы корни уравнения (31) лежали внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

С помощью отображения единичного круга комплексного переменного у3 на левую полуплоскость комплексного переменного Л [9]

г Я -1

(33)

система (32) преобразуется в систему

¡и' <»>

в которой требуется определить вектор С = так,

чтобы вектор £ = - (£ , * £ ^ . Гюлоким

Со - ^ — >

где а. * сс^ + а.х * о ^ ^ *^ь* ^ и введем новые пара-

метры по формулам:

—-г > <

' Ч + +С, % ' " (35,

£ = --

Благодаря введений новых параметров ^и задача

сводится к задаче определения гурвицева вектора ^ £ который является решением линейной алгебраической системы вида (9).

В главе 2 дана конструкция управляющих моментов, сформированных на основе ограниченной информации в дискретные моменты времени и осуществляющих определенную ориентации твердого тела в абсолютном пространстве.

§4 посвящен постановке задачи. Рассматривается твердое тело, помещенное в карданов подвес, который расположен на подменом основании (объекте). Объект совершает вращательные движения вокруг неподвикной точки с угловой скоростью . Положение

твердого тела относительно основания задается углами поворота

сб., , , где - угол поворота наружного кольца относительно основания, - угол поворота внутреннего кольца кардана относительно наружного, - угол поворота твердого тела относительно внутреннего кольца.

Движение основания в абсолвтном пространстве представим последовательными поворотами ^ > г^" абсолютной системы координат 2А до совпадения с системой координат

жестко связанной с подвижным основанием.

Положение твердого тела в абсолютном пространстве определяется последовательными поворотами Й. тС •й' об. ос ,оо.

' 1 > Л/} 3

с соответствующей матрицей перехода 0 от абсолютной системы координат к системе координат Oocyi , жестко

связанной с твердым телом. С другой стороны, определенную ориентацию твердого тела в абсолютном пространстве мокно осуществить с помоцыо задания трех углов хГ*.

Задача. Цусть измеряются углы поворота основания относительно инерциального пространства - t^, > и углы поворота твердого тела в карцановом подвесе - <*-f, ; . Задача состоит в том, чтобы сформировать управляовиЯ момент по этим измерениям, действующий по осям карданова подвеса, так чтобы система координат Ooc-tjji. определенным образом, с помощью углов , была ориентирована в абсолютном пространстве.

В §5 даны два алгоритма построения управляющего момента непрерывного типа по полной информации.

В 56 проводится дискретизация непрерывных управляющих моментов, построенных в §5, неизыеряемуо информацию предлагается заменить с помоиыо приближенных формул численного дифференцирования.

В заключении диссертации сформулированы основные выводы и отмечено их отличие от известных результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Антончик B.C.; Гаврина О.М. О выборе параметров канала стабилизации одноосного гиростабилизатора. Деп. в ШНЙТИ Ред. ж. Вести. ЕГУ, Сер. мат., мех., астрон. Г7747-В86, 1986.

2. Гаврина О.М. К вопросу .о построении дискретного управления. Деп.в БЖШ W2504-B92, 1992.

3. Гаврина О.М. Синтоз дискретных регуляторов линейных

систем при неполной обратной связи // Бестн. СПбГУ, - Сер Л, 1993. Вып.З. »15. - С.8-П.

ЛИТЕРАТУРА

1. Антончик B.C. О построении устойчивых линейных систем регулирования ]/ Автоматика и телемеханика.- 1987. №1. -С. 174-182.

2. Антончик B.C. О построении динамического регулятора для линейной управляемой системы 1J Дифференциальные уравнения.-1988. т.24, »6.- С.923-929. .

3. Антончик B.C., Гаврина 0.14. О выборе параметров канала стабилизации одноосного гиростабилизатора. Деп.в ШШИ Ред.к. Вестн. ЛГУ, Сер. мат., мех., астрон. №7747-В66, 1986.

4. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. Ц.: Наука, 1973.

5. Гаврина О.М. Синтез дискретных регуляторов линейных систем при неполной обратной связи ]J Вестн. СПбГУ. - Cep.I, 1993. Бып.3. »15. - С. 8-11.

6. Ермолин B.C. Дискретная стабилизация линейных стационарных систем. - В ки. :Упрааление, надвкноеть и навигация. Саранск, 1981. - С. 154-158.

7. Ермолин B.C. Синтез дискретных регуляторов линейных стационарных систем. - В кн.: Динамика систем управления. Л., 1989. - С.28-33.

8. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.: Судостроение,

1966.

9. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.:.Наука, 1975.