Соотношение дискретных и непрерывных алгоритмов управления линейными объектами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Введение

Глава I. Оптимальное управление линейным непрерывным объектом в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий. . •

§ 1.1, Постановка задачи

§ 1.2. Предварительные результаты

§ 1.3. Основное утверждение •.-.•••

Глава 2. Адаптивное управление линейным непрерывным объектом в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий

§ 2.1. Непрерывный аналог дискретного алгоритма

Полоска".

§ 2.2. Адаптивное управление в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий

§ 2.3. Дискретные самонастраивающиеся системы

Глава 3. Предельно-оптимальное адаптивное управление линейными дискретными минимально-фазовыми объектами •••.•••••.••••.

§ 3.1. Адаптивное управление при отсутствии помехи

§ 3.2. Адаптивное управление при наличии помехи

Глава 4. Оценивание переходных процессов в адаптивной системе управления в дискретном случае

§ 4.1. Схема оценивания переходных процессов.дош объекта управления общего вида

§ 4.2. Основные утвервдения

Для современной теории управления характерно стремление охватить все более широкий круг возникающих прикладных задач. К таким задачам отнрсятся управление энергетическими реакторами [47, 15] , летательными аппаратами [16] , химическим производством [15] и т.д. Бурное развитие цифровой вычислительной техники и широкое ее применение в контурах управления технологическими процессами порождает задачи у:зравления смешанного дискретно-непрерывного типа, вызванного дискретным характером функционирования цифровой вычислительной техники и непрерывным характером протекания физических цроцессов и их математическим описанием [1б] . Вследствие этого актуальными становятся постановки задач управления в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий и исследование даскретных объектов управления (ОУ), которые естественным образом возникают при рассмотрении непрерывных ОУ в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий [54] • Задачи управления с подобными ограничениями привлекают значительный интерес исследователей как в СССР, так и за рубежом [15, 17, 40, 53, 63 , 67] . Частные вопросы, связанные с этими задачами, рассматривались в работах [10, 50, 59] ;

Кроме указанного ограничения сущестззует ряд других практических требований к синтезируемым системам управления. Важным таким требованием является параметрическая устойчивость (стабильность) замкнутой системы. Дело в том, что в непрерывном варианте линейно-квадратичной задачи оптимального управления известно явление параметрической неустойчивости, заключающееся в том, что при малейших возмущениях параметров ОУ или оптимального регулятора замкнутая система может стать неустойчивой [40] • Это явление объясняется тем, что характеристический полином оптимальной системы может иметь степень меньшую, чем соответствующий полином возмущенной системы, поэтому среди "лишних" корней последнего может оказаться неустойчивый корень (из правой полуплоскости). Очевидно, регуляторы с таким свойством непригодны для практических целей. Поэтому возникает задача синтеза субоптимальных регуляторов, гарантирующих параметрическую устойчивость (стабильность) замкнутой системы. Исследованию последней задачи посвящено много работ [29, ЗО] . Общим для всех предлагаемых способов решения поставленной задачи является то, что синтезируемые регуляторы являются непрерывными (описываются дифференциальными операторами), т.е. при своей реализации требуют привлечения аналоговой техники. В задачах упр;авления, как отмечено в [1б] , "цифровая машина в принципе обладает рядом преимуществ перед непрерывными (аналоговыми) устройствами". При необходимости ограничения управляющих воздействий кусочно-постоянными и применении ЭВМ в управляющей системе простыми и удобными в реализации являются дискретные регуляторы, описываемые разностными уравнениями. Такие регулятор можно получить, например, дис!фетизацией непрерывных регудаторов по методу Эйлера (аппроксимация производных конечными разностями), но при этом остается открытым вопрос о работоспособности замкнутой системы. В частности, дискретизация параметрически неустойчивого регулятора может привести к неустойчивой замкнутой системе [ю] .

С другой стороны, в дискретном аналоге вышеупомянутой задачи оптимального управления явление параметрической неустойчивости отсутствует, что видно из сравнения определений устойчивости полиномов в непрерывном и дискретном вариантах, к которым сводятся определения устойчивости замкнутых систем управления [40] . Поэтому к решению вышэпоставленной задачи напрашивается естественный подход, состоящий в том, чтобы путем сведения исходной задачи к некоторой дискретной линейно-квадратичной задаче оптимального управления найти регулятор с нужным свойством. Эта последняя задача естественным образом возникает при ограничении управляющих воздействий кусочно-постоянными и рассмотрении переменных убавления в моменты дискретизации управляющих воздействий. При этом остается непростая задача исследования качества управления замкнутой системы, доставляемого полученным регулятором. Если уменьшение шага дискретизации понимать как ослабление ограничения на управляющие воздействия, то при некотором фиксированном правиле выбора регулятора естественно ожидать улучшения качества управления для замкнутой системы. Но существуют постановки задач, где имеет место обратное. Например, в работе [68] показано, что в линейно-квадратичной задаче модального управления (заданное расположение корней характеристического полинома замкнутой системы) при уменьшении шага дискретизации управляющих воздействий значение функционала качества управления становится сколь угодно большим.

Следующее практическое требование возникает при решении задач адаптивного управления, В отличие от задач оптимального управления с полной информацией об 07, в задачах адаптивного управления из-за наличия априорной неопределенности об ОУ стандартные цели управления (ЦУ) типа минимизации выхода удается достичь только асимптотически. Но с практической точки зрения не менее важным является малость колебаний переменных замкнутой системы в переходном режиме из-за наличия, например, "упоров" на управляющие воздействия или реальных ограничений на выходы. Задача адаптивного управления с такими ограничениями сложна и до сих пор не решена» В сложившейся ситуации желательно иметь способ получения априорных оценок переходных процессов дня синтезиров;анных адаптивных систем, что дает возможность высказать суздение о применимости имеющегося закона адаптивного управления в конкретной ситуации или, другими словами, в некоторых атучаях позволяет решать задачу адаптивного управления с ограничениями.

В диссертации рассматриваются задачи, связанные с этими практическими требованиями и изучением {аналогий между алгоритмами управления в непрерывном и дискретном вариантах.

Получены следующие результаты:

- в линейно-квадратичной задаче оптимгзлыюго управления со стационарной помехой в наблюдениях и при ограничении управляющих воздействий кусочно-постоянными исследована зависимость значения функционала качества упргшления от величины шага дискретизации управляющих воздействий,

- для ОУ специального вида предложен и обоснован непрерывный аналог известных дискретных проекционных алгоритмов адаптации (алгоритмы типа "Полоска"),

- дяя непрерывного аналога алгоритмов типа "Полоска" и алгоритма скоростного градиента (самонастройки) обоснована работоспособность замкнутой системы в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий,

- предложены и обоснованы дискретные шалоги непрерывных алгоритмов самонастройки и получено точное условие работоспособности алгоритма в терминах, описываюпдах априорную неопределенность об объекте управления,

- получены эффективные оценки переходанх процессов для одного класса дискретных адаптивных систем, состоящих из линейного ОУ специального вида (минимально-фазовые ОУ в переменных "вход-выход") и алгоритмов адаптации типа "Полоска".

При исследовании линейно-квадратичной задачи оптимального управления в классе кусочно-постоянных управляющих воздействий используется спектральный метод синтеза оптимальных регуляторов (управленческий аналог метода Винера-Колмогорова), предложенного в [25] и получившего дальнейшее развитие в работе [7] . В аналогичной задаче в адаптивном варианте и при исследовании аналогов алгоритмов адаптации систематически используется метод функций Ляпунова.

В главе I рассматривается линейно-квадратичная задача оптимального управления со стационарными помехами. Эта задача имеет обширную литературу, которая отражена в монографиях [8, 17, 19, 26, 40] . В работе [25] :предложен спектральный метод синтеза оптимальных регуляторов, который можно рассматривать как управленческий аналог метода Винера-Колмогорова по оптимальной фильтрации стационарных процессов [39, 40] . Основная трудность в рассматриваемом подходе - факторизация матричных дробно-рациональных функций. Известен и другой подход, сводящийся к решению матричных уравнений Лурье (или уравнений Риккати в нестационарном случае) [17, 19] , в котором имеются свои трудности. В случае простейшего функционала качества, не зависящего от управляющих воздействий, спектральный метод позволяет, как видно из главы I, в явном виде получить выражения для оптимальных значений функционалов качества в непрерывном и дискретном вариантах, что удобно при исследовании зависимости оптимального значения от шага дискретизации управляющих воздействий. Этим объясняется выбор спектрального метода исследования в главе I.

Рассмотрим следующую линейно-квадратичную задачу оптимального управления при ограничении управляющих воздействий кусочно-постоянными где - шаг дискретизации управляющих воздействий. Пусть объект управления описывается стационарными уравнениями

XCtW A OcW + В иШ , С*0СФ , %ct)=yc*)+ m-t), где X é |R - состояние объекта, U в - управляющее воздействие, 5: £ К*1 - наблюдение выхода у на фоне стационарной (в широком смысле) центрированной помехи с дробно-рациональной спектральной плотностью. Ставится задача минимизации № = jU ^^ Mif^ Ов классе линейных стабилизирующих обратных связей d-btv) и^- % п. , где И - символ математического ожидания, ^ - ¿-С^-^) ; V -- оператор сдвига: VUh.= Uh-i ; d^ $ fi-ь СХ) - полиномы с вещественными коэффициентами, О . Теорема I.I утверждает, что Îlk* ~ % CS"-^ о) , где - минимум функционала качества управления в оптимизационной задаче без ограничения: fo e wiXn йм. M ? <¿(/0 u(-t) =^Cp)^(t), psd/d-b) ol Ш » £ СМ - полиномы произвольных порядков. На основании утвержцения теоремы I.I можно сделать следующие практически важные выводы:

- предложенный способ управления в классе T/k позволяет синтезировать субоптимальные линейные обратные связи с любым уровнем субоптимальности, который обеспечивается выбором достаточно малого шага дискретизации;

- синтезированная субоптимальная система является параметрически устойчивой (стабильной), т.е. при достаточно малых возмущениях параметров ОУ или регулятора замкнутая система остается устойчивой.

Главы 2-4 посвящены задачам адаптивного управления линейными ОУ. Поясним вкратце необходимые для дальнейшего изложения термины, связанные с адаптивной тематикой, В работах [15, 40Д подробно обсуждаются поеятия "адаптивная система", "адаптивный регулятор" и т.д., приведены их определения. Следуя общим определениям из {403 , для наших целей дадим упрощенное описание этих понятий.

Согласно общему определению В .А. Якубовича, под адаптивной системой подразумевается система, способная достигать заданной цели управления для любого объекта управления из заданного класса 2 » определяющего неполное знание объекта управления и условий его функционирования. Обычно множество представляет собой прямое произведение множества возможных (неизвестных) параметров объекта и множества возможных помех.

Предполагается заданной некоторая цель управления (ЦУ), определяющая желаемое поведение объекта. Обычно ЦУ задается в виде неравенств или функционала, подлежащего минимизации. Из-за априорной сильной неопределенности о параметрах ОУ, характеризующей задачи адаптивного управления, стандартными являются ЦУ, зависящие только от асимптотического поведения объекта.

Адаптивным регулятором (или алгоритмом адаптивного управления) называется закон формирования управляющих воздействий, который будучи применен к любому объекту из ^—| , обеспечит выполнение ЦУ. Таким образом, адаптивная система состоит из ОУ и алгоритма адаптивного управления, обеспечивающих выполнекие заданного ЦУ.

Глава 2 посвящена исследованию аналогов известных алгоритмов адаптивного управления в дискретном и непрерывном вариантах и обоснованию работоспособности алгоритмов в классе

Ur •

В дискретном варианте задачи адаптивного управления широко известны алгоритмы адаптации типа "Полоска" [4оЗ • Характерным для алгоритмов этого класса является то, что они обеспечивают монотонное приближение настраиваемых параметров к истинному. При этом сходимости к истинному параметру вовсе может и не быть, тем не менее монотонного приближения (с некоторой скоростью) достаточно для обоснования выполнения ЦУ. Техника обоснования этих алгоритмов основана на рассмотрении двух неотрицательных функций, рассматриваемых на траекториях синтезируемой системы. Одна из этих функций позволяет обосновать монотонное приближение, а другая на основании последнего обстоятельства - выполнение БУ. В непрерывном варианте задачи адаптивного управления, напротив, широко распространены алгоритмы скоростного градиента [15] и самонастройки [28] , для которых монотонное приближение, а тем более сходимость настраиваемых параметров к истинному, удается доказать лишь при довольно сильных цредположениях. Схема обоснования основана на оценивании функции, обычно квадратичной, представляющей собой сумму неотрицательных функций, рассматриваемых на траекториях ОУ и адаптивного регулятора. При отсутствии помехи вариант алгоритма "Полоска" (алгоритм Качмажа [I, 33 J ) обеспечивает экспоненциальное убывание к нулю оценочного функционала, тогда как для алгоритмов самонастройки такое, по-видимому, невозможно. При ограниченной помехе существует алгоритм типа "Полоска", который замкнутой системе в асимптотике обеспечивает оптимальное качество [2] , а для алгоритмов самонастройки подобный результат не получен [15, 40, 28, 34, 65].

Из сказанного ясно, что поиск и обоснование непрерывного аналога дискретной "Полоски" представляет определенный теоретический и практический интерес. В диссертации предложен и обоснован алгоритм адаптивного управления, который по структуре, схеме обоснования и качеству управления аналогичен дискретным алгоритмам типа "Полоска". У полученного алгоритма имеется существенный недостаток - для его реализации нужно измерять производную состояния. Естественный способ преодоления такого рода недостатка - замена производных конечными разностями. Показано, что в классе дискретизированный алгоритм "унаследовал" основное достоинство исходного алгоритма - экспоненциальную сходимость переменных к нулю, при этом приемлемая граница шага дискретизации не зависит от начальных значений адаптивной системы. Оказывается, этого нельзя утверждать относительно алгоритма, полученного дискретизацией алгоритма самонастройки (скоростного градиента). Для него сходимость переменных адаптивной системы к нулю можно гарантировать лишь для достаточно малых шагов дискретизации, зависящих от начальных значений ОУ и алгоритма. Эта зависимость была замечена и ранее [15] , но там кусочно-постоянными предполагались не сами управляющие воздействия, а только промежуточные переменные - настраиваемые параметры.

Работоспособность дискретизированных алгоритмов самонастройки в классе указывает на то, что для дискретных ОУ, наряду с алгоритмами "Полоска", возможны дискретные алгоритмы самонастройки. Этот вопрос в литературе рассматривался и раньше. В соответствии с идеей самонастройки, заключающейся в нахождении и обосновании алгоритма адаптации из условия убывания (при отсутствии помех) подходящей неотрицательной функции на траекториях системы [27, 28] , в работе [183 из рассмотрения нестационарной квадратичной функции Ляпунова без доказательства предложен дискретный нестационарный алгоритм самонастройки. Предложенный алгоритм требует рекуррентного перечисления матричных коэффициентов усиления и имеет зависимость от начальных значений.

В диссертации на основе стационарной квадратичной функции Ляпунова, аналогичной функции, рассматриваемой в непрерывном варианте задачи, получены и обоснованы стационарные дискретные алгоритмы самонастройки. Предложенные алгоритмы по структуре и качеству управления аналогичны непрерывным алгоритмам самонастройки (скоростного градиента), но при этом их работоспособность зависит от начальных данных. В терминах, выражающих априорную неопределенность о параметрах ОУ, получено точное условие работоспособности алгоритма. Приведенные в диссертации примеры показывают, что при нарушении этого условия возможен экспоненциальный рост переменных системы. Обсуждается возможность использования этих алгоритмов совместно с алгоритмами типа "Полоска".

В главе 3 предложено изучение задачи адаптивного управления линейными дискретными объектами. В адаптивной тематике задачи этого типа исследованы наиболее полно [2-4, 20-24, 48-57, 61] . Основной метод исследования этих задач - метод функций Ляпунова [22 , 44 , 64] . В обзорной работе [51] освещена история вопроса, обсуждается терминология, описаны постановки задач и методы решения. Несмотря на множество публикаций на эту тему, в большинстве работ рассматриваются слабые цели управления типа диссипативности или ограниченности траекторий переменных синтезируемой адаптивной системы. Задача адаптивной оптимизации относительно асимптотической цели управления изучалась в работе [з] • В ней для скалярного минимально-фазового ОУ с ограниченной помехой получен предельно-оптимальный алгоритм адаптивного управления типа "Полоска", У этого алгоритма имеется недостаток, связанный с возможным делением на недопустимо малые с практической точки зрения величины.

В диссертации рассмотрено обобщение этого алгоритма на многомерный случай и введен параметр, позволяющий преодолеть указанный недостаток. В главе 3 обоснована предельная оптимальность этого модифицированного алгоритма (т.е. зона дисси-пативности замкнутой системы определяется только уровнем помехи, действующей на объект),

В главе 4 изучаются переходные процессы для класса адаптивных систем, состоящих из минимально-фазовых ОУ с ограниченной помехой и алгоритмов адаптации типа "Полоска", Подобная задача рассматривалась в [2 ] . Имеющиеся там оценки громоздки и имеют вид алгоритма перебора. В диссертации предложена общая схема оценивания максимальных колебаний переменных объекта для указанного класса адаптивных систем, получены эффективные оценки этих величин через априорную информацию,

В приложении доказано свойство минимальной фазовости линейной стационарной модели энергетического ядерного реактора и приведены результаты численных экспериментов с алгоритмами адаптации.

1. Аведьян Э.Д., Цыпкин Я.З. Обобщенный алгоритм Качмажа. -Автоматика и телемеханика, 1979, $ 1. с. 72-78.

2. Агафонов O.A. Глобальное поведение линейного минимально-фазового объекта с ограниченной помехой при адаптивном управлении.- Рукопись деп. в ВИНИТИ, 1981, № 4140-81 Деп., 18 с.

3. Агафонов O.A., Барабанов А.Е. Адаптивная стабилизация и отслеживание траектории линейного объекта с ограниченной помехой.- Рукопись деп. в ВИНИТИ, 1980, В 2841-80 Деп., II с.

4. Аксенов Г.С., Фомин В.Н. Синтез адаптивных регуляторов на основе метода функций Ляпунова,- Автоматика и телемеханика, 1982, № 6, с. 126-137.

5. Аксенов Г.С., Фомин В.Н., Шарыгин И.Н. Оценка переходных процессов алгоритмов адаптации Качмажа и его модификаций. Рукопись деп. в ВИНИТИ, 1984, Je 4193-84 Деп., 16 с.

6. Аксенов Г.С., Шарыгин И.Н. Дискретные самонастраивающиеся системы.- Тезисы I Всесоюзной конференции "Теория адаптивных систем и ее применения", М.-Л., 1983, с. 7.

7. Барабанов А.Е. Оптимальное управление линейным объектом со стационарными помехами и квадратичным критерием качества.- Рукопись деп. в ВИНИТИ, 1979, В 3478-79 Деп., 21 с.

8. Богуславский И.А. Прикладные задачи фильтрации и управления. М., 1983.

9. Бондарко В.А. Адаптивное су б оптимальное управление решениями линейных разностных уравнений.- ДАН СССР, 1983,т. 270, )6 2, с. 301-303.

10. Бондарко Б.А. Синтез адаптивного субоптимального управления непрерывным линейным динамическим объектом, выход которого измеряется с запаздыванием.- Рукопись деп. в ВИНИТИ, 1981, В 3377-81 Деп., 51 с.

11. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. M., 1979.

12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. M., 1967.

13. Деревицкий Д.П., Фрадков А.Л. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления. M., 1981.

14. Катковник В.Я., Полуэктов Г.А. Многомерные дискретные системы. M., 1966.

15. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. M., 1977.

16. Коган М.М., Неймарк Ю.И. Адаптивное управление по скорости убывания функщи Ляпунова.- IX Всесоюзное совещание по проблемам управления. Тезисы докладов. M., 1983.

17. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайных возмущениях. M., 1984. .

18. Кунцевич В.М. Оптимальное управление дискретным динамическим объектом с неизвестными нестационарными параметрами.-Автоматика и телемеханика, 1980, № 2, с. 79-88.

19. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Об оптимальном и адаптивном управ' лении динамическими объектами в условиях неопределенности. Автоматика и телемеханика, 1979, Jfc I, с. 79-88.

20. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М., 1977.

21. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М., 1977.

22. Ланкастер П. Теория матриц. М., 1982.

23. Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев, 1971.

24. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М., 1973.

25. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное ко-ординатно-параметрическое управление нестационарными объектами. М., 1980.

26. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Крутова И.Н., Земляков С.Д. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления. М., 1972.

27. Петров Ю.П. Синтез оптимальных линейных систем с учетом требований реализуемости.- Вестн. Ленингр. ун-та, 1978, I 13, с. 97-102.

28. Петров Ю.П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества. Обзор. -Автоматика и телемеханика, 1983, № 7, с. 5-24.

29. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть I, М., 1978.

30. Семенов С.Г., Фомин В.Н. О линейности оптимального управления линейным дискретным объектом со стационарными помехами. Вестн. Ленингр. ун-та, 1980, № 19, с. 59-65.

31. Современная математика для инженеров. (Под ред. Э. Беккен-баха). М., 1958.

32. Солодовников Б.В., Шрамко Л .С. Расчет и проектирование аналитических самонастраивающихся систем с эталонными моделями. М., 1972.

33. Срагович В.Г. Адаптивное управление, М., 1981.

34. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., 1963.

35. Фомин В.Н. Математическая теория обучаемых и опознающих систем. I., 1976.

36. Фомин В.Н. Оценка потерь на адаптацию при идентификационном подходе.- ХП Всесоюзный школа-семинар по адаптивным системам. Тезисы докладов. Минск, 1984.

37. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М., 1984.

38. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М., 1981.

39. Фомин В.Н., Шарыгин И.Н. Зависимость функционала качества управления от величины шага дискретизации управления.-Вестн. Ленингр. ун-та, 1984, № 7. с. П6-П8.

40. Фомин В.Н., Шарыгин И.Н. Метод самонастройки в задачах адаптивного управления линейными дискретными объектами. -Рукопись деп. в ВИНИТИ, $ 5575-83 Деп., 1983, 28 с.

41. Фомин В.Н., Шарыгин И.Н. Оптимальное управление линейным непрерывным объектом в классе кусочно-постоянных управлений. Рукопись деп. в ВИНИТИ, № 4080-84 Деп., 1984, 15 с.

42. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М., 1982.

43. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М., 1968.

44. Ширяев А.Н. Вероятность. М., 1980.

45. Щульц М.А. Регулирование энергетических ядерных реакторов. М., 1957.

46. Якубович В.А. Адаптивное субоптимальное управление линейным динамическим объектом при наличии запаздываний в управлении. Кибернетика, 1976, № I, с. 26-43.

47. Якубович В.А. Метод рекуррентных целевых неравенств в теории адаптивных систем.- В кн.: Вопросы кибернетики. Адаптивные системы. М., 1976, с. 32-63.

48. AS-trom Hclcjxu*o(w Р%) Si<L.rnl>y X. "Zeros of SGurtp^d Ди£оГАa±LCO. ?V. 20, A/* 1, p. IA- 38.

49. Astrom K.T% TVortj and appWiionS ofCaptive сопЫ. A Su.rv/4^. AuWaiLCxx,52. astrom |< .t. a toius-t ьагир-ы t^u^tor*for S^vtet^S w/C-tk ^otvotone vtepго-Spon^s.- Aa-tohoctcccL , 1980, v. ДАЗ, p. 3-iS.

50. A Srl.ro m K.T.^onfson U., L^un^ L.yiiitnma^k E.Tl-utor^ find app^CQ-tioiis SeX-f -tuKuingloiors. AuA.oi4o-Uca , V.il^sS,

51. ЗогсьЬо P. TkjLor^-bLC-al oievcXopmjj.n.'ts ыгcUscreA*. -bcwte сок-t го С . A lufv^y , - AuioMait'ca.^198 2> , v. 13, A/i-4 , p. 395- ^oo.

52. E^ardt B>. Stakec-ty awf^i'S -itwic. acUpttV* с о и* га? sche^s, . i E E E "Ws. Aol-1. Cow£r., 1980 , V. Ac.-25* 7 A/s 4,p. СИ0

53. E^ardt В., WscmC. Stag^ adapteControE of hon-m.Lritmum phase Systems bySt^msand Co^r-oP UUirb , <983 , v.3, ЬЬЪ , f.134-144.

54. G-oocIv,^ G-. C., Chan S. V. Mode* teW«.adapts corroí ^ P^de^n^^is-tuc с1СьЫг bauzas . -JEE E Tra*s.Aut.СоиАг., ШЬ, v. AC-2S , р. 2ГГ-Ш.

55. Groodwùt C-.C., Sih K.S. Adaptiv*. boKtrofiummûamM-гн pJuxS* ^mS.-IEEE Tra^. Avx-t.CoH.4r., AC-2£, MZ,p.

56. HayalcaVA/a Y., Hosoe 5. , Tío M . Он iím f(.'mi¿-in<j zeros e-f Sam.pti.oi m.uiU^rcaêù. s^s-íems. -S^bißHAS OLÍ\C( CoK-tro? Le-ttcrs ? Í923 , i/.2;АЛ2 54, p. 292 2>00.

57. Xus-tonü R. IV1.5 Ahcterson B.D.O. G-Éo¿aL oicíap--tuve po£ç : clzicLcàicl et na Cyst's of а -fiAVÍ: orcUr SySieiM. -J5EE Trails. Au"fc. C0*fcr.,«*3, vMC-22, /1/-9, S52-&SÍT.

58. LanwLKOi-t Pll. UncjoixcU-iuonaL stab cLiZaÍLoln.Of Ü'KÄCtr cU'Scrcíe VLQ- Q.c\o.ptCvz CointroLt-S^sWs dKclCowlroL Liihr$/99i3\s.{,Afsl, p.y-H.

59. Loo-ze . P., poor H. v., VasioLa ,2>arrag/г T.C. Mtuxmax coktroi ZCvjLOLt- liothasécc -t^ms vA/L-tk laoise u^ctr-èaLM-ty .-ТЕ Б E Tra^s. Au.i. (Wr., AC- p. 882-Ml.

60. Mc Ctaivi^ock Д/. hi. £ои.{го£ ûf л tt. War kamp-Ç&cl cLo-ia. s lj sie. ил. u%Cnq tound - toßtnoatpu/t -feecl gack I ЕЕ Б 7гаи.§, Аы-fc. CWr. -(<320, v. ЛС-25", A/-2, p. 292- 299.

61. Sanson C. S-foßiM^ °-f aciafliVc^covviro^ecf systems sug/ect ¿o founded oL's--tu.r6a.KCCS k Au-toMatc'Co. 7 ; V.i9,№l , p. SM'^k

62. TstctoKu Md-ta . A UeicL-tiOh. idLwvux owzrsliechand Sa^p-L't/uj pm'ocf in Sa spinel dato, -fesciCoivtroE S^Ws , -JEFE TraiaS.Au-t. Cowir., ftSo^vr. /4C-25\ Mr.3 , p. 60