Синтез цифровых систем стабилизации на основе асимптотических модальных соотношений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ



\

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ имени С. ОРДЖОНИКИДЗЕ

УДК 62-50 На правах рукописи

Лазарева Антонина Борисовна

Синтез цифровых систем стабилизации на основе асимптотических модальных соотношений.

Специальность 01. 01. 11. - Сиаполпий ruiri.tu.rt п пвтожит^юскоп

управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -■ 1993

Работа выполнена в Московском авиационном институте

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Малышев В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико -математических наук,

профессор Хрусталев М.М.; кандидат технических наук, старший научный сотрудник Зубов А.Г.

Ведущая организация: Арзамасское опытно- конструкторское бюро

"Темп"

Защита состоится " 1993 года в Ю_ часов

на заседании специализированного Совета Д 053.18.08 е Московском авиационном институте им.-С Орджоникидзе по адресу: 125871, ГСП Москва, А-30, Волоколамское шоссе, А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института Автореферат разослан " -99;; г>

Ученый секретарь Специализированного совета,

к. т. н

Карп К. А.

Актуальность проОлелы. Создание конкурентоспособных образцов аэрокосмической техники в современных условиях требует максимального сокращения сроков проектирования. .Эта цель может быть достигнута на основе эффективных систем автоматизированного проектирования.

Данная работа посвящена технической задаче проектирования цифровых систем стабилизации (ЦСС). Эта задача япляотся общей применительно к целому классу аэрокосмических объектов (самолеты, вертолеты, ракеты, космические аппараты) а также других движущихся объектов. В качестве конкретной технической задачи рассмотрена задача синтеза цифровой системы стабилизации вертикальной перегрузки противокорабельной ракеты.

Для ЦСС недостаточно развиты машинно - ориентированные методы проектирования. Традиционный подход, основанный на частотных характеристиках эффективен только для систем невысокого порядка со скалярным управлением, близких к непрерывным и мало пригоден для автоматизации проектирования. В методе аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) особенно в его дискретном варианте недостаточно изучена проблема выбора весовых матриц на основе первичных инженерных критериев. В методе модального синтеза отсутствует регулярная процедура нахождения управления, в связи с чем результат не всегда будет гарантированным.

В соответствии с этим представляется актуальной разработка новых машинно - ориентированных методов синтеза ЦСС, в которых полностью или частично были бы преодолены перечисленные недостатки известных методов.

Цель работы. Одним из путей создания метода синтеза, свободного от перечисленных недостатков является объединение подходов АКОР и модального управления, когда весовые матрицы строятся так, что функционал достигает минимума при желаемом распределении полюсов замкнутой системы. При этом устраняется как неопределенность выбора весовых матриц, присущая АКОР, так и неоднозначность процедуры нахождения управления, присущая модальному синтезу.

С другой стороны машинно - ориентированный метод проектирования содерямт в себе не только формализованную расчетную процедуру. Проектировщик должен предъявлять требования к проектируемой системе, а при неудовлетворительных показателях изменять эти требования. Причем эта неформальная процедура принятия решений должна осуществляться в терминах понятных инженеру - проектировщику.

Поэтому особую важность приобретает вопрос о рациональном со-

четании формальных, и неформальных процедур при проектировании ЦСС.

Проведенный в работе обзор показал, что перечисленным условиям отвечает подход, основанный на построении весовых матриц с использованием связи асимптотических собственных значений и векторов, которые получаются при стремлении весовой матрицы управления к нулевой. Асимптотические модальные соотношения позволяют установить предельные возможности системы в классе линейных управлений. Кроме того применение этого подхода позволяет рационально сочетать формальные и неформальные процедуры в процессе проектирования. Формальные процедуры сводятся к быстродействующим алгоритмам, позволяющим эффективно реализовать диалог, а неформальные сводятся к простым и понятным инженерным решениям.

В соответствии с изложенным целью работы является разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения цифровых систем стабилизации на основе асимптотических модальных соотношений.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории систем управления в пространстве состояний, теории матриц, включая теорию матричных уравнений, а также некоторые разделы теории оптимального управленния.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты.

Предложен метод схтнтеза линейных дискретных систем на основе асимптотических модальных соотношений в непрерывной модели.

Разработаны методы и алгоритмы решения матричных алгебраических уравнений Лурье-Риккати и Ляпунова для дискретных систем.

Предложен метод синтеза линейных дискретных систем на основе асимптотических модальных соотношений в дискретной модели.

Разработаны алгоритмы, пакеты программ и инженерная методика синтеза цифровых систем стабилизации на основе асимптотических модальных соотношений, положенные в основу диалоговой системы проектирования ЦСС.

Па основе разработанного подхода к проектированию решена конкретная техническая задача синтеза цифровой системы стабилизации вертикальной перегрузки противокорабельной ракеты.

Практическая ценность работа. На основе алгоритмов, предложенных в работе, разработаны пакеты программ для ЕС ЭВМ и ПЭВМ, совместимых с 1В11 РС, предназначенные для использования в конкретной автоматизированной системе проектирования. Пакеты в точение ряда лет эксплуатировались заказчиком и показали свою высокую эффек-

тивность, как с точки зрения простоты эксплуатации, т;ж и с точки зрения сокращения сроков проектирования, что подтверждено соответствующим актом о внедрении.

Апробация полученных результатов. Результаты ряботы доклодша-лись на научном семинаре под руководством профессора Малышева В.В. в Московском авиационном институте в 1990, 91. 92 годах.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в двух статьях в журналах "Автоматика и телемеханика", "Изв. АН СССР Техническая кибернетика" и в четырех отчетах' о НИР.

Структура и объел работы. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 130 страниц машинописного текста, 13 рисунков и список литературы из 60 названий.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дано обоснование актуальности темы, приведен краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, и краткое изложение содержащихся в работе результатов.

В главе 1 дается общая постановка проблемы выбора для непрерывной и дискретной линейных систем, описываемых соответственно дифференциальными и конечно - разностными уравнениями состояния. Уточняется, что решается задача оптимального модального управления, то есть нахождение весовых матриц, соответствующих множеству собственных значений (мод, полюсов) замкнутой системы, показатель качества при этом должен достигать минимума.

Приводится обзор существующих методов решения и дана их классификация с позиций простоты формальной и неформальной процедур каждого из методов. Для эффективного использования в прикладных задачах формальная процедура метода должна содержать достаточно быстрый алгоритм, а неформальная должна включать инженерные решения, имеющие ясный физический смысл.

Прялдй численный летод выбора весовых матриц, основан на связи малых приращений полюсов замкнутой системы с малыми приращениями матриц показателя качества. С помощью этих методов размещают некоторые полюсы в желаемые положения. В прямых методах формальная процедура достаточно трудна, поскольку вычислительный алгоритм близок к прямому перебору, при этом на каздом шаге нужно решать уравнение Риккати. Неформальная процедура связана с необходимостью выбора начальных приближений весовых матриц.

Метод Солхейла дает возможность решить задачу оптимального мо-

дального управления для непрерывной системы, путем последовательного смещения одного полюса или пары комплексно - сопряженных полюсов в желаемые позиции. Предлагается вместо собственных значений замк-' нутой системы рассматривать собственные значения соответствующей матрицы Гамильтона, которая приводится к диагональной форме.

В методе Солхейма и его последующих развитиях формальная процедура, как и в прямых методах, требует неоднократного решения ура. внения Риккати. Креме того необходимо вычислять диагонализирующую матрицу. Неформальная процедура связана с выбором начальных приближений весовой матрицы и матрицы обратной связи. Для прикладных задач эти методы сложны.

Другие методы решения поставленной задачи не требуют точного знания желаемых полюсов, а необходима только область их расположения.

Методы этой группы достаточно эффективны. Формальная процедура, как правило, сводится к достаточно быстродействующему алгоритму. Неформальная процедура имеет ясный физический смысл. Однако эти методы нельзя непосредственно использовать для получения конкретных показателей качества переходного процесса. В этом случае желаемую область в процессе проектирования приходится неоднократно уточнять.

Следующая группа :методов, основана на точном назначении каждого полюса оптимальной замкнутой системы. Среди них: метод, основанный на принципе нелинейного включения; метод, основанный на аналитической зависимости между весовыми матрицами и характеристическими полиномами разомкнутой и замкнутой системы и другие.

Формальная процедура в этих методах достаточно сложна и сводится к необходимости решения матричных уравнений полиномиального типа. Представляет определенные трудности и неформальная процедура, поскольку обычно из физического смысла задачи известны желаемые значения не всех полюсов замкнутой системы.

Интересное направление представляет группа работ, в которых развиваются методы построения весовых матриц, основанные на асимптотических свойствах собственных значений и собственных векторов нопрорывной системы при стремлении весовой матрицы управления к нулевой. Асимптотические модальные соотношения позволяют установить предельные возможности системы в классе линейных управлений. Кроме того применение этих методов позволяет наиболее рационально соче? тать формальные и неформальные процедуры. Формальная процедура сводится к быстродействующему алгоритму, в котором решается предельное

алгебраическое уравнение Риккати. Неформальная процедура состоит и назначении желаемых значений только для тех полюсов, физический смысл которых ясен для проектировщика.

На основании проведенного обзора этим методам, посравнению с рассмотренными выше, отдается предпочтение. О последующих глапах они развиваются для синтеза дискретных систем.

Глава 2 посвящена синтезу линейного дискретного управления на основе асимптотических модальных соотношений в непрерывной модели.

"Рассмотрим линейную систему описываемую 'дифференциальным уравнением состояния

i(t) =.A,x(t) + Btu(t), x{tQ) = xQ, (1)

где x(t) - n-мерный вектор состояния; u(t) - m-мерный вектор управления; А9 и В9 - постоянные матрицы размеров п х п и п х т.

Определим вектор выхода размерности т.

у = С х. ' (2)

Предположим, что пара (Аш, В») полностью управляема, пара (С, Ая) полностью наблюдаема и матрица CBt имеет полный ранг, т.е.

rank [СВЯ ] = т.

Пусть кроме того передаточная функция разомкнутой системы

Ф(з) = С (si - (3)

не имеет кратных нулей.

Критерий качества системы (1) на бесконечном интервале времени зададим функционалом

00

J = f (x^Q^x + puTRtu)dt, (4)

т 0

где Q, =Q; - неотрицательно определенная матрица, . причем пара (✓Cj,, Л,) полностью, наблюдаема; )Vq<( = Q„), R, = r[- " поло-

жительно определенная матрица; р г о - некоторый скаляр.

Известно, что в классе линейных управлений функционал (4) минимизируется управлением

и, = -К,х , (5)

где

р iRtiB'lPt ,

а матрица Pt - является решением алгебраического уравнения Риккати

+ Р*А* - P^.ipRj-'BjP, + Q, = 0.

При условиях управляемости пары (Af,Bt) и наблюдаемости (yQt,AfJ решение этого уравнения существует и единственно.

Осуществим переход к эквивалентной дискретной системе и эквивалентному критерию качества дискретной системы

А + 8 V (б)

со

J = Z/kQxk + 2г>к +и>к, (7)

к = 0

где матрицы >1, В, <3, определяются по известным формулам.

Эквивалентное (5) дискретное управление доставляет минимум (7) и дается выражением

ик = - [Л + ВТРВ]~1[ВТРА + Ят]хк, (8)

где Р - решение дискретного матричного алгебраического уравнения Лурье-Риккати вида ''

Р = ЛГРЛ + <3 - (ЛГРВ + Я)(Д + ВТРВ)"1(4ТРБ + Н)'г. (9)

Задача состоит в нахоздении таких весовых матриц и при которых управление вида (5) обеспечивало бы при р •» 0 желаемое асимптотическое распределение полюсов в непрерывной модели и в построении эквивалентного дискретного управления вида (8).

Обобщая результаты Квакернаака и Сивана, Гарвей и Штейн показали, что оптимальная система (1), (5) обладает следующими асимптотическими свойствами:

1) При р -> О п - 171 мод остаются конечными, причем собственные значения з1(р) стремятся к нулям передаточной функции (3) з°, |з°| < да ( I = 1,2.....п-т), а соответствующие собственные векторы

От а »о

х,(р) к значениям (з,1 - Аж)~ Вы'

I 1 * *

При этом з° и (г = 1,2.....п-т) удовлетворяют равенству

С{з°1 = 0.

2).При р -> О остальные т 'асимптотически бесконечных мод удовлетворяют соотношениям: собственные значения

3;(р) -» - аю} О < з» '<« ,(J = 1,2.....т).

а соответствующие собственные векторы

г,<Р> ■» В,О»

Г'ДО

При этом в" и 1/® (/ = 1,2,...,т) удовлетворяют равенствам Я, = Г"^"^"1, д, = (СВЖ)~ТГТГ"1(СВ

IV = [У", .....¡П.

1 с. ГП

5 = спав [з* з" ....з05].

1 «2 Л1

То есть проблема выбора весовых матриц в (4) сводится к построению матрицы выхода С. На основе этих асимптотических свойств системы (1), (5), Гарвей и Штейн предложили алгоритм построения весовых матриц и соответствующего оптимального управления (5). В данной главе этот метод обобщается для синтеза дискретного управления (8). О

Наибольшее затруднение, которое возникает при таком обобщении, связано с решением матричного уравнения Лурье-Риккати (9). В литературе это уравнение в основном изучалось при Н = 0, для общего случая известен частотный подход. В диссертации предлагается алгебраический подход к решению этого уравнения, который более прост с вычислительных позиций. Следствием этого подхода является весьма простой метод решения алгебраического дискретного уравнения Ляпунова.

Для йахоздения'матрицы Р •вводится в рассмотрение блочная матрица размера 2п*2п

' (А - ВЯ~ 1нт) +вя1втит - -Вй 1ВТ(АГ - HR~iBr)'

- Я Л" 1вт

-ит - шг 1втГ1((Э+щГ1ят) ит - яя^в7)-1'

К =

Собственные значения этой матрицы расположены симметрично относительно единичного круга на комплексной плоскости. В соответствии с этим, найдем многочлен А (я) с корнями внутри единичного круга из соотношения факторизации

йеЦг! - Я) = уЛ(2)2пД(2"1), где у некоторый скаляр.

По многочлену Д(г) построим матричный многочлен Д(Э{). В работе доказывается, что

[о

А (Ю

I

О

На основании этого соотношения, являющегося дискретным аналогом соотношения Басса, строится алгоритм решения уравнения (9).

Частным случаем уравнения Риккати является матричное дискретное уравнение Ляпунова

Р - АТРА -(3 = 0, которое получается из уравнония (9) при В - 0.

Доказано,что решение этого уравнения можно записать в виде

Р = -С1 ДО, где матрицы О, N выражаются в явной форме.

N

N + а N

п п —1 П- 1

N

П- 1

+ г

/ а ^ г

^ и^ п- 1 п- I

п

= -А~т(),

/

= -А т<2Лк 1 + А т\_1. к = 2,3.....П,

п

С - (-1)П(-/ГТ)" I- У (-1)"-1а ,(-Л-т)п-', 1.1 п"'

где а1 - коэффициенты характеристического полинома системы йеЦ\1 - А) = Г + а Г"1 + ... + а\ + а .

' п 1 1 О

Найденное-решение уравнения'Ляпунова в силу своей простоты позволяет существенно повысить эффективность другого метода решения уравнения Лурье - Риккати, в котором строится итерационная последовательность уравнений Ляпунова, сходящаяся к решению уравнения Лурье - Риккати . Суть этого метода состоит в следующем. Учитывая, что матрица обратной связи К определяется по формуле

К = [Д+ ВТРВГ1(ВТРА + Ят), уравнение Лурье - Риккати записывается в виде

Р = (А - ВК)ТР(А - ВК) 4- <3 + КтЖ + ЯТР + Р11. Строится итерационная последовательность

Р = (А - ВК )ТР (А - ВК ) + 0 + КГШ + Н7Р + Р Н,

п .пп п пп пп

К = (й + ВТР В)'1(ВТР А + Ят), Р„ г 0.

п п-1 гг —1 О

в которой на каждом шаге решается уравнение Ляпунова. Известно, что при соответствующих условиях стабилизируемое™ и наблюдаемости данный итерационный процесс сходится к решению уравнения Лурье - Риккати.

В главе 3 устанавливается связь между модами замкнутой линейной диасретной системы и весовыми матрицами квадратичного критерия качества при условии, что весовая матрица управления стремится к нулевой.

На основе полученных соотношений формулируется процедура построения критерия оптимальности и соответствущего закона управления. Рассмотрим дискретную систему

Хк+1 = ^ + ^ У„=1*и - (10)

и связанную с ней задачу минимизации функционала

00

J = Т Хт0т1)х + ритйи , (11)

к к к к

к = 0

где хк~ гс-мерный вектор состояния; и^ - г-мерный вектор управления; Ук - г-мерний вектор выхода; А, В, О - постоянные матрицы размеров п х п, п х г, гхп, й=йт- положительно определенная симметрич-

пая матрица размера г х г: р - положительный скаляр.

Управление, доставляющее минимум функционалу (11), в классе линейных систем имеет вид

uk=-*xk, (12)

где матрица К определяется по формуле

К = [ВТРВ + рй]-1ВтРЛ, а Р = Рт представляет собой- решение дискретного алгебраического уравнения Риккати

Р. = АТР4. - АТРВ[ВТРВ + pfi]".1BTPv4 + DTD.........(13) •

Будем считать, что пара (А, В) стабилизируема и пора (D, Л)наблюдаема, тогда матрица Р -единственное положительно определенное решение уравнения (13) такое, что функционал 111) достигает минимума и система (10) - (12) устойчива.

Обозначим

HQ = 0, Hi = DAi~lB, i - 1, 2,... и определим относительный порядок системы (10)

m = min {{: Н * 0}, который равен числу периодов запаздывания выхода объекта относительно входа.

Введем в рассмотрение передаточную функцию разомкнутой системы (10)

tV(z) = lHzl - А)~{ Ii. Известно, что величина m может быть также определена как минимальной РАЗНОСТЬ СТ0П0П0Й ПОЛИНОМОВ ЧИС'ЛИТиЛЯ И :.ill/)ML41!jTi;.mi !)ЛиМ'Л1ТОЬ Wjj(z) (t, J = 1.....г) передаточной функции W(z).

Будем считать, что

гапк(Я ) = г.

m

Это условие, в частности, справедливо, если m = 1 и rank(DB) - г.

Гогда Н = О, U.* О, гапк(И.) = rank(DB) - г. Предположим также, о 1 1

iTO матрица А невырожденна. Задача состоит в нахождении связи матрицы D с модами замкнутой системы (10), (12) (собственными значени-?ми и векторами) при условии р -> 0 и в формировании на основе полу-¡енных соотношений процедуры построения критерия оптимальности и юответствующей оптимальной системы.

Предположим оначяло, что ни одно из еобстношшх зилчгпий зямк-гутой системы не является одновременно собственным значением разомну той системы. Обозначим

detlY(z) = det[D(z/ - A)'xli] -. y(z)/<p(z), де в силу невырожденности матрицы А

- - Л) - 11(2-2 ), 2 ( = 1.....П

1=1

и будем считать, что

р

р П <* - г

у(г)-* «2°"р П (2 - С,), а * о, з 5 п - 1, (14)

1 = 1

С, * О, 1С,1 < 1. С, * гг { - 1,..., р. / = 1,

Доказано следующее утверждение.

Теорема. Пусть в функционале качества (11) р 4 0. Тогда замкнутая оптимальная система (10), (12) илеет в пределе р ненулевых собственных значений г° - £ (< = 1,...,р). При этол соответст-Ьующис собственные векто^м (( = 1.....р) удовлетворяют соотношениям

= (2°1 - ЛГ1ВУ° (( = 1,..., р), (15)

= - = 0 ({ = 1,..., р).

Остальные п - р собственных значений (I = р + 1... .,п) в пределе равны нулю. Соответствующие собственные векторы удовлетворяют соотношения.*

= -А'*В1>° (1 = р +■ 1,р + 2,...,п).

В практических задачах некоторые из (ненулевых) собственных значений замкнутой и разомкнутой систем могут совпадать. При этом соотношения (14), (15):становятся несправедливыми, т. к. -

Л)"1 не существует. В таком случае можно поступить следующим образом. Пусть 2° - общее собственное значение замкнутой и разомкнутой систем. Потребуем, чтобы у этих систем совпадали также и соответствующие собственные векторы. Тогда получим

= 0.

На основании сформулированной теоремы предлагается алгоритм построения критерия оптимальности и соответствующей оптимальной системы. По сравнению с методом главы 2 данный метод оказывается более простым с точки зрения формальной процедуры, так как асимптотичес-ше свойства дискретной модели позволяют найти решение уравнения Риккати по явным алгебраическим формулам. В то же время неформальная процедура усложняется, поскольку из физического смысла задачи проектировщику обычно понятна роль полюсов непрерывной модели, а для выяснения роли полюсов дискретной модели требуется некоторое дополнительное исследование. Таким образом предлагаемые в главах 2 и 3 методы синтеза удачно дополняют друг друга.

В главе 4, на основе теоретических результатов предыдущих глав, решена техническая задача синтеза цифровой системы стабилиза-12

ции вертикальной перегрузки противокорабельной ракеты. Дается описание разработанного пакета прикладных программ и инженерной методики синтеза цифровых систем стабилизации, положенных в основу диа- . логовой системы проектирования. При этом учтено, что в реальных задачах обратная связь осуществляется по координатам, доступным измерению.

Уравнения динамики системы стабилизации имеют вид

u(t)

" Ht) л

BB(ï)

Ht)

Ht) =

№)

k(t)

0 1 0 . 0 0 0

a 9 аз' V 0 0

a 0 -a a 0 0

0 0 0 0 к 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 J_ m 2 ПР J_ m 2 ПР *Sp

' 0

uzCt)- 0

ff(t) 0

Ht) + 0

rj(t) 0

Ut) 1

T,

" Uz(t) ' " 0 1

y(t) = m) = 0 0

. n(t) 0

где 3(t) - малое отклонение угла тангажа от программного, определяемого заданной перегрузкой, w„(t) - отклонение угловой скорости

тангража, N(t) = |n(î)dt, где п(t) - отклонение перегрузки от зао

данного программного значения, координаты 5(t), n(t), Ç(t) характеризуют динамику привода. Измерению доступны координаты .и ', N, тг в

¿л

соответствии с этим вектор выхода имеет вид

" ff(i)

0 0 0 0] И (t)

1 0 0 0 N(t) -аа a2 0 Oj 5(t)

■n(t) . Ç(t)

где ai,...- аэродинамические коэффициенты. Синтез регулятора осуществляется в виде u(t) = u((Д) = ut, {Д s t < ({ + 1)Д, (i = 0,1,2,...), где Д - постоянный период дискретности управляющей ЦВМ.

Uj = u(iA) = К^ЦД) + K2N(iA) + K3n(iA). Методика синтеза состоит из следующих шагов.

1. Находятся собственные значения и собственные векторы разомкнутой системы.

2. На основе анализа собственных значений разомкнутой системы назначаются желаемые собственные значения (корни характеристического уравнения) замкнутой непрерывной системы. Число таких собственных значений р может быть любым не превышающим n-m. Их конкретное

количество определяется уровнем понимания проектировщиком динамики объекта. .

3. Начальные значения желаемых собственйых векторов по умолчанию задаются равными собственным векторам разомкнутой системы. Их уточнение осуществляется программой автоматически на основе полученных в работе соотношений. С появлением опыта проектирования обычно вырабатываются некоторые правила простейшей коррекции исходных собственных векторов разомкнутой системы, но такая коррекция требуется редко.

4. По сформированным исходным данным проводится синтез цифрового управления с обратной связью. Строятся переходные процессы по требуемым координатам. Если они оказываются • неудовлетворительными, то вновь осуществляется коррекция собственных значений при неизменных собственных векторах.

Синтез проводился для б режимов полета, соответствующих наиболее типичным взаимным расположениям ракеты и цели.

Рассмотрим более подробно применение методики синтеза для одного из режимов (at = 0.139, а2 = 0.0505, аэ = -0.85, а4 = = -49.16, а5 = -37.95, = 0.0194, а? = 0.007, а0 = 0.385, а9 = = -17.86).

1.При анализе получаем следующие асимптотически конечные собственные значения разомкнутой системы \1 = - 0.0236, Х2Э=

= -0.61632 + 4.21952j,

2. Собственное значение Xt определяет апериодическую составляющую, и в основном определяет время переходного процесса, Х2 определяют колебательную составляющую. Исходя из этого и осуществляется коррекция собственных значений. Задаем

Xi= ~3'5, Х2,Э= "2-5 - 4-21952J.

Начальные приближения желаемых собственных векторов в программе по умолчанию задаются равными соответствующим собственным векторам разомкнутой системы.

Как правило, для получения желаемых показателей ( время переходного процесса не более 0,8 сек., величина перерегулирования не более 10 % ) требовалось 2-3 коррекции собственных значений при неизменных собственных векторах,. В рассматриваемом случае удовлетворительные показатели были достигнуты при первой коррекции.

Заключение.

Сформулируем основные результаты, полученное в работе.

, 1. Сделан обзор и проведена классификация методов решения задачи оптимального модального управления. Все имеющиеся методы разделены на 5 оснойшх групп о позиций простоты формальной и неформальной процедур-каздого из них.

2.На основе-обзора состояния проблемы выявлено одно из перспективных направлений - синтез на основе асимптотических модальных соотношений, объединяющий преимущества АКОР и модального синтеза. Здесь сочетаются быстродействующие вычислительные алгоритмы и простые неформальные процедуры принятия решений.

3. Предложен метод синтеза линейных дискретных систем на основе асимптотических модальных соотношений в непрерывной модели.

4. Разработаны методы и алгоритмы решения матричных алгебраических уравнений Лурье - Риккати и Ляпунова для дискретных систем.

5.Предложен метод синтеза линейных дискретных систем на основе асимтотическйх модальных соотношений в дискретной модели.

6. Разработаны алгоритмы и'пакеты программ синтеза цифровых систем стабилизации на основе асимптотических модальных соотношений.

7. Получение теоретические результаты применены к решению задачи синтеза цифровой системы стабилизации противокорабельной ракеты, для которой одним из основных режимов в вертикальной плоскости плоскости является режим стабилизации высоты безопасного полета над водной поверхностью.

Публикации.

1. Лазарева А. Б., Пакшн П. В. Решение матричных уравнений Лурье - Риккати и Ляпунова для дискретных систем // Автоматика и телемеханика, 1986. N12.

2. Лазарева А. Б., Пакшин П. В. Асимптотические свойства линейных дискретных управлений. Построение квадратичного критерия оптимальности и оптимальной системы на основе асимтотических модальных соотношений // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика. 1991. N6.

3. Гуицн 0. Г., Лазарева А. Б.. Пакшн П. В., Разработка тео-' рии и алгоритмов синтеза оптимального и квазиоптимального управления в дискретных системах со случайными параметрами и структурой // Отчет по НИР. N 01820092751. М.:ВНТИЦЕНТР, 1903.

4. Валков В. ЛГущин 0. Г., Лазарева А. В., Пакшин П. В., Разработка критериев устойчивости и стабилизации дискретных систем со случайными параметрами и структурой // Отчет. по НИР^ 01020092751. М. :ВНТИЦЕНТР, 1984.

.5- Волков В. Л., Гущин 0. Г., Лазарева А. Б., Пакшн П. В.,

Отчет по НИР. N 01820092751. М.:ВНТИЦЕНТР, 1986.

6. Волков В. Л., Гущин О.Г., Лазарева А. БМалышев В.В., Пакшин П. В., Разработка алгоритма и пакета программ синтеза линейных дискретных систем управления // Отчет по НИР. Тема 604. 01. К1, М.:МАИ, 1992.

Развитие прикладных методов анализа устойчивости в динамических системах со случайными и неопределенными параметрами и структурой //