Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференцированных уравнений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

СП

О

со

I_

О- I

I СГ) „

— ПАВЛИКОВ Сергеи Владимирович

МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА В ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 1997

Работа выполнена в Ульяновском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор A.C. Андреев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

доцент С.Д. Фурта

кандидат физико-математических науь B.C. Сергеев

Ведущая организация - Институт математики и

механики УНЦ РАН

Защита диссертации состоится " 13 " июня 1997 года в 16 часов на заседании диссертационного совета по механике N 1 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан "Л£я ,ХЛ(ХА 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук' Д.В. Трещев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Использование фупкштоналыго-дифферег'-циальных уравнений в качестве математических моделей многочисленных задач механики, техники, теории автоматического регулирования, экономики и т.д., определяет постоянное внимание ученых к проблемам теории устойчивости таких уравнений и ее приложениям.

Основным методом исследования устойчивости уравнений с запаздыванием является метод функционалов Ляпунова. Существенное развитие этот метод получил в трудах H.H. Красовского, В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца, Л. Хатвани, Дж. Хейла п других ученых. Частичная устойчивость функционально-дифференциального уравнения исследовалась в работах В.И. Воротникова, Калистратовой Т.А.

Огромное прикладное значение теории устойчивости способствовало интенсивному ее развитию по многим направлениям, в частности в направлении модификации и обобщения теорем об асимптотической устойчивости н неустойчивости путем ослабления знакоопределенности функционала Ляпунова и его производной. Л.Б. Княжище и В.А. Щеглов предложили использовать для исследования устойчивости уравнения запаздывающего типа знакопостоянные функционалы Ляпунова. В работах A.C. Андреева и Д~Х. Хусанова для функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа были получены новые способы исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости, основанные на использовании предельных уравнений и знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными.

Изучение проблемы асимптотической устойчивости имеет важное значение при исследовании стабилизации управляемых механических систем с запаздывающей обратной связью. Эта задача исследовалась в работах H.H. Красовского, Ю.С. Осипова, В.И. Воротникова

и др. ученых.

Цель работы. Разработка новых методов исследования устойчивости, притяженпя, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всем и части переменных для неавтономных функционально-дифференциальных уравнений на основе знакопостоянного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной.

Применение получаемых методов к решению задач о стабилизации движения управляемой механической системы с запаздыванием.

Научная новизна. Выведены новые методы исследования устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всем и части переменных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа на основе знакопостоянного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной. Получены новые методы исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости функ-ционально-дифференцнального уравнения нейтрального типа с помощью функционала Ляпунова со знакопостоянной производной. На базе этих методов решены задачи о стабилизации различных механических систем, управляемых на основе обратной связи с переменным запаздыванием.

Положения, выносимые на защиту. Автором защищаются следующие положения:

1. Новые методы исследования устойчивости, асимптотической устойчивости для неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа, основанные на применении предельных уравнений и существовании знакопостоянного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной.

2. Аналогичные методы исследования устойчивости, притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных для уравнения запаздывающего типа.

3. Новые методы исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости для неавтономного функцпонально-дифференциаль-ного уравнения нейтрального типа в предположении существования

функционала Ляпунова со знакопостоянной производной.

4. Результаты исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения механической системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа второго порядка.

5. Результаты исследования задач о стабилизации управляемой голономной механической системы с обратной связью с запаздыванием и о стабилизации одноосной ориентации твердого тела с неподвижной точкой.

6. Решение задачи о стабилизации трехосной ориентации твердого тела в пнерцпальной системе координат на основе управляющих моментов, формируемых с обратной запаздывающей связью.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе могут использованы при изучении устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений, для исследования устойчивости различных механических систем, для исследования методов стабилизации управляемых механических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк 1996 год); 11-й Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Ульяновск, 1996 год); Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1994, 1996 года); Региональной конференции "Фундаментальные проблемы математики и механики" (г. Ульяновск, 1996 г.); III-V ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета (1994, 1995, 1996 гг.). семинаре по аналитической механике и устойчивости в МГУ под руководством акад. РАН В.В. Румянцева и проф. A.B. Карапе-тяна (март 1997 г.)

Личный вклад автора.

Теоретическая часть разделов 1.2 и 1.3 первой главы разработана совместно с A.C. Андреевым, разделов 2.3 и 2.6 второй главы - с

Д.Х. Хусановьш. Все леммы н теоремы диссертации, исследование приложений, анализ результатов и выводы из них получены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 10 работах [1-10].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 90 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем - 134 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении дается краткий обзор имеющихся работ по данной теме, краткое изложение полученных в диссертации результатов.

В первой главе исследуется задача об устойчивости и асимптотической устойчивости функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа при условии существования знакопостоянного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной; об асимптотической устойчивости и неустойчивости решений такого уравнения относительно части переменных.

В первом разделе рассматривается функционально-дифферснпи-адьное уравнение запаздывающего типа:

x(t) = f(t,xt), f(t, 0) = 0 (1)

где / : Е+ х Сц —> Rn, есть некоторое непрерывное отображение, удовлетворяющее условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решений (1) от начальных данных.

В первом разделе излагаются некоторые положения \ используемые в дальнейшем в диссертации.

Вводятся следующие предположения относительно правой части

(1)-

Предположение 1. Для каждого числа г, 0 < г < суще-

1Андреев A.C., Хусанов Д.Х. О притяжении решений неавтономного функционально-диффереициадьного ур&ьщенпя/Функц. анализ. - Ульяновск: УГПИ, 1992. - Вып. 33. С. 16-24

ствует монотонно неубывающая функция /.fr(0) = 0, такая, что для любой непрерывной функции и : [а,Ь] —> СГ,СГ = {<р £ С : < г} при любых ¿1, t-2 Е [a, b] выполняется неравенство:

I f2 f(r,u(r))dT\ <(1г(\Ь-Ь\) (2)

Jt i

Предположение 2. Для каждого компактного множества К С Си функция / = f(t, (р) ограничена и равномерно непрерывна по (t, <р) Е R+ х К. т.е. для любого К С С# имеется т = т(К) и для произвольного малого в > 0 найдется J = 5(е, К) > 0, такое, что для любых {t,p). (ii,v5i), (¿2,92) Е R+ х К : \t2 - < 5, \\<р2 - 9i|| < S, выполняются неравенства:

|/(i,^)|<m, \№,<p2)-f(tu<pl)\<£ (3)

При этих предположениях семейство сдвигов {fT(t,<p) — /(г + t,, <р)} прсдкомпактно в некотором метризуемом функциональном пространстве F непрерывных функций / : R+ х Г —> Rn с компактно открытой топологией, где Г С Сн ~ есть некоторая подобласть..'содержащее семейство функций {j>(a, <p),t > а + h} образуемое каждым решением (1) х = x(t,a,<p), (а,<р) Е R+ х Си, таких, что Ix(t,a,ip)\ < г < H,t Е R+.

Функция /* : R+ х Г —> Rn называется предельной к /, если существует последовательность fn —» +оо, такая что {f^"\t,<p) — f(tn + t. (р)} сходится к f*(t, ip) в F. Уравнение

x {t)--=f'(t,xt) (4)

называется предельным к (1). Областью определения (4) по построению можно принять область Л х Г.

В первом разделе также приводятся теоремы о взаимосвязи решений уравнений (1) и (4) и о квазиинвариантности положительного предельного множества П+(.т¡(а, р)) — {(р* Е Сн : 3tn -4 +оо. п —>• оо, xtu(a,p) >р* при тг —» со} решения (1) х = x(t,a,tp), определенного для всех t > or — ft. Свойство квазнинварнантностп заключается в том, что для каждого элемента <р* Е Г2+(ж(i, a, ip)) существует

предельное уравнение = /*(£,а'(), такое, что для решения этого уравнения х(Ь,0,1р") выполняется соотношение {х((0, <р*) : t £ Я+} С

Во втором разделе рассматривается задача об устойчивости при условии существования знакопостоянного функционала Ляпунова. Для этого вводятся следующие определения.

Определение 1. Решение х = 0 устойчиво относительно множества Л С Г равномерно по {¿(¿) = /*(£,£<)}, если для любого £ > 0 и любого а € Я можно указать 5 = 5(е, а) > 0 такое, что из <р е ЛР|{|М1 < следует а, <р)\ < £ для каждого решения а, (р) любого уравнения = f*(t,x^) при всех £ > а. Определение 2. Решение х = 0 называется асимптотически устойчивым относительно множества Л С Г равномерно по {¿(¿) — /*(£,£;)}, если оно устойчиво относительно Л равномерно по {¿(£) = /*(£, £()} и для каждого а Е Я существует Д = Д(а), такое, что из у? € ЛП{|Ь|| < Д} следует, что решение каждого уравне-

ния (4) стремится к 0 при t —> оо, т.е. х*^,а,<р) —> 0, г —> оо.

Определение 3. Множество Л С Г содержит решения, асимптотически устойчивые равномерно по {¿(£) = если решение х = 0 асимптотически устойчиво относительно множества Л равномерно по {¿(£) = /*(#, £;)}, и, кроме того, х](а, <р) £ Л, (р € Л, £ Е

Для непрерывного функционала Ляпунова V : Я+ х Я

вдоль решения х(Ь,а,<р) (1) можно определить верхнюю правостороннюю производную

Для функционала У^.р) и некоторого числа с £ Я определим множество 1/-1(оо,с) = {(р Е С'ц : 3<рп £ Сц : <рп <р, 3£п -» +оо : У{ЬП, <Рп) с, п-> +оо}.

Доказана следующая теорема об устойчивости при существовании знакопостоянного функционала со знакопостоянной производной

Теорема 1. Предположим, что: 1) существует непрерывный функционал V : Я+хСц —> Я+. такой,

что:

V(t. <р) > 0, V(t, 0) = 0, V(t, <р) < 0, (t, <р) G Д+ х Сн\

2) решение х = 0 асимптотически устойчиво относительно множества До = Т/-1(оо,0) равномерно по {x(t) = f*{t,xt)};

Тогда решение х — 0 уравнения (1) устойчиво по Ляпунову. Если, дополнительно, выполняется V(t,ip) < ш(||у||), тогда решение х — 0 (1) равномерно устойчиво.

Пусть t„ —> +оо есть некоторая последовательность. Для каждого t G R и с G R определим множество V^l{t,c) С Си следующим образом: точка ip G с), естп сз^ществует последовательность

G Г, çn 9} такая, что: lim„_>+00 V(t + tn, (рп) = с.

Допустим, что для производной V имеет место следующая оценка:

V(t.. ç) < -W(t,ip) < 0,Щ<р) еЛхА.

Допустим, что непрерывная функция W = W(t, ф) ограничена и равномерно непрерывна на каждом множестве х К. Ii - компакт из Сн■ Как и в случае f(t,ip). при таком условии семейство сдвигов {Wr(t,(p), т G R+} предкомпактно в некотором функциональном пространстве непрерывных функций Fg = {G : R х Г G R} с метри-зуемой компактно открытой топологией.

Функция G Fg называется предельной к W, если существует последовательность tn —► +00, такая что {W^n\t,'>p) = W{tn + t,(p)} сходится к W*{t,tç) в Fq- При этом множество V'~!(i,c), определяемое той же последовательностью tn —» +00, определим как соответствующее W*.

При таком построении доказаны следующие теоремы об асимптотической устойчивости.

Теорема 2. Предположим, что:

1) существует непрерывный функционал V : R+xCh R+, такой, что:

V{t,i?) > 0,V(t,0) = 0fV(1)(t,<p) < -W(t,<p) < 0, (i, <р) G R+ x Сн;

2) решение x = 0 асимптотически устойчиво относительно множества Ао = V"_1(oo,0) равномерно по {¿(i) = f*(t,<p)};

3) существует предельная пара (f',W*) с множеством с),

такие, что для каждого значения со > 0 множество {t7^1^, с) : с = с0 > 0} — 0} не содержит решений уравнения х = /*(£, xt).

Тогда решение (1) х = 0 асимптотически устойчиво равномерно по (р.

Теорема 3. Предположим, что:

1) существует непрерывный функционал V : R* х Сн —> R+. ограниченный и равномерно непрерывный на каждом множестве R+ х К, где К С Сц есть компакт, и такой, что:

)(t,v) < < 06 X Си:

2) решение x — 0 асимптотически устойчиво относительно множества Ло = V-1(oo,0) равномерно по {¿(f) = f{t,xt)}\

3) каждая предельная совокупность (f*,V*,W*) такова, что множество {V*(t,(p) — с > 0} = 0} не содержит решений уравнения х = f*(t, xt).

Тогда решение (1) х = 0 равномерно асимптотически устойчиво.

Теорема 4. Предположим, что:

1) существует непрерывный функционал V : R+xCh R+, такой, что:

0< v(i,^)<w(M|),K(i,0) = 0 V(t, <р) < -w(t, V?) < О, (f, vs») € R+ X Сн-

2) множество И*-1 (ос, 0) содержит из решений каждого предельного уравнения ¿(f) = f*(t,xt) только те, которые асимптотически устойчивы равномерно по {¿(f) = /*(f,J-«)}.

Тогда решение х = 0 уравнения (1) равномерно асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Теорема 5. Предположим, что:

1) существует непрерывный функционал V : R+xCh -» R, V(t, 0) = 0 такой, что найдется функция ß класса Хана, такая, что ß(s) > s и верно

wx(|y(0)|)<V(i,v?)

для таких t € R+ и ip, что ||<^|| < Н и maxse[_Ai0] < /3(|р(0)|), а

также

для всех (t,ip) Е R+ х Сц\

2) V{l){t,ip) < -W{t,<p) < 0 для t G R+ и <? таких, что Ц95Ц < Я и V{t,<p)> 0;

3) для каждой предельной пары (/*, IF*) множество {W*{t, <р) = 0} не содержит решений уравнения x(t) = f*(t. xt), кроме нулевого.

Тогда решение (1) х — 0 равномерно асимптотически устойчиво.

Доказанные теоремы представляют собой развитие и обобщение теорем H.H. Красовского, Дж. Хейла, Л.Б. Княжшце, В.А. Щеглова, A.C. Андреева и Д.Х. Хусанова.

В третьем разделе излагаются результаты об исследовании асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных нулевого решения функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа посредством предельного уравнения и функцнонаяа Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную. Так как построение предельного уравнения проводится в компактно-открытой топологии, то в исследовании существенна ограниченность решений по неконтролируемым координатам. Пусть Äm, Rp есть линейные действительные пространства т- и р-векторов с нормами |y|,|z|, Rn есть линейное действительное пространство гс-векторов X = (xi,x2,...,x„) = (уиУ2,-,Ут, ZU Z2, Zp) = (lj, z) С НОрМОЙ |х| = 4- \z\,n = т + р; h > 0 - некоторое действительное число,

- банахово пространство непрерывных функций <р : [—h, 0] —> Rn с нормой Hyjll = sup {\ф)\,-h < s < 0), ? = 9(г)).

Предполагается, что правая часть (1), определенная на R+ х А, А = Сjх С(р' такова, что решения (1) с-продолжимы.

В начале третьего раздела проводится построение предельных к (1) систем, учитывая область определения правой части (построение аналогично построению из раздела (1)). Здесь также доказаны теоремы, относящиеся к исследованиям асимптотической устойчивости

по части переменных посредством предапьных уравнении.

Далее доказаны теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную, в предположении ограниченности решений по остальным переменным, в частности, следующие теоремы.

Теорема 6. Предположим, что:

1) существует окрестность N точки х = 0, из которой решения уравнения (1) ограничены по г;

2) существует непрерывный функционал F : R+ х Л —» Я+, такой что:

F(i,0) = 0,V(t,(p) > ы,(|р,у,(0)|), V < -W{t,v) < О

для всех t€R+,<pe с£п) х CfJ.

3) для каждой предельной пары (/*, И7*) с множеством V^it,с), множество {V^ft, с) : с = const > 0} p|{H7*(i, = 0} не содержит решений уравнения i(t) = /*(/, xi), кроме решении х = x(t) = {y(t),z(t)) таких, что у = 0.

Тогда решение (1)2 = 0 асимптотически у-устойчиво.

Теорема 7. Предположим, что:

1) выполняются условия 1) и 2) теоремы б;

2) существует предельная пара (/*, ТГ*) с множеством V^1^, с), такие, что для каждого значения со > 0 множество {V"1^, с) : с = с о > 0}fW(M = 0} не содержит решений уравнения x(t) — f*(t,xt).

Тогда решение (1) х = 0 асимптотически у-устойчиво равномерно по ¡р.

Теорема 8. Предположим, что:

1) существует окрестность N точки х = 0, из которой решения уравнения (1) равномерно ограничены по г;

2) существует непрерывный функционал V : R+ х Л —> R+, ограниченный и равномерно непрерывный на каждом множестве R+ х К, где К С А есть компакт, и такой, что:

wi(Iv?m(0)|) < V{t,<p) < wa(lbllM'M) = о,

V(i)(i,p) < < 0G H7 x A;

3) каждая предельная совокупность (/*, V*, W*) такова, что множество {V*(t,ip) — с > 0} f) — 0} не содержит решений уравнения х = f*(t,xt).

Тогда решение (1) х = 0 равномерно асимптотически у-устойчиво.

Показано, что указанное условие ограниченности решений по 2 может быть заменено условием относительно функционала Ляпунова. В частности получен следующий результат.

Теорема 9. Предположим, что в теореме 5 вместо условия 1) функционал V(t, <р>) удовлетворяет дополнительному условию: существует число Q > 0, такое, что lim V(t, <p(tji, 'P(:j) > Q при ip^j —» oo равномерно по i 6 R+,(p^ 6 < H. Тогда решение (1) x = 0

асимптотически ¿/-устойчиво.

Теоремы о равномерной асимптотической ^-устойчивости сохраняются, если условие ограниченности решений по г заменить условием: lim V(t, -> 0 при (¿>(.) ос равномерно по t € 7?+, ip^ 6

В конце третьего раздела применяются результаты раздела 2 для получения критериев устойчивости по части переменных в предположении существования знакопостоянного функционала Ляпунова и ограниченности решений по неконтролируемым координатам. Для этого вводятся определения, аналогичные определениям 1-3, об у-устойчпвостп относительно множества До- Заменив в условии 2) теорем 2 и 3 требование устойчивости на «/-устойчивость относительно множества V~] (оо, 0), получаем результаты об асимптотической у-устойчивости.

Результаты третьего раздела развивают и обобщают результаты В.И. Воротникова, Т.А. Калнстратовой, полученных для функционально-дифференциальных уравнений, а также результаты В.В. Румянцева, A.C. Озиранера, A.C. Андреева, полученных ранее для обыкновенных дифференциальных уравнении.

Во второй главе исследуется устойчивость функционально-диф-

ференциального уравнения нейтрального типа (НФДУ).

Рассматривается НФДУ следующего вида:

±[x(t)-G(t,xt)] = F{t,xt) (5)

где F : Q —» Rn, G : ft —» Rn - заданные непрерывные функции, Г2 С R+ х С[-л,о] открыто.

В первом разделе приводятся теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решений НФДУ от начальных данных. Выводится следующий результат.

Если функции F и G удовлетворяют условиям Липшица вида:

\F(t,p)-F(t,il>)\<L\\<p-1,\\

(где L - константа, {t,ip), (t,i}>) 6Й+ х С'ц;)

|G(i2: 9) - G(tL,iP)| < N 11-2 - + A||p - 4>[\

(где (ii, ip), (t-2- ip) £ R+ x С'я, A1*, A - константы, 0 < A < 1), тогда для каждого начального условия (а, ф) € R+ х С# существует единственное решение x(t,a,tp) (5), определенное на [а — /г, а + А) (А > 0) и непрерывно зависящее от начальных данных.

Во втором разделе рассмотрена задача о локализации положительного предельного множества автономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную.

В третьем разделе рассматривается неавтономное НФДУ, проводится построение предельных систем и выводится свойство ква-зшшвариантности положительного предельного множества решения этого уравнения . В силу того, что в (5) содержатся значения производных функционала, построение предельных систем для НФДУ отлично от построения для уравнений запаздывающего типа. Это построение проводится при следующих дополнительных предположениях относительно функций F и G.

Предположение 3. Функция F(t,<p) такова, что для каждого числа г, 0 < г < Я, существует число М(т), такое что \F(t, < М,

где t eR+,tp€ Cr.

Предположение 4. Функция F(t,<p) равномерно непрерывна, a G(t, <р) ограничена на каждом множестве R+ х К.

Эти предположения позволяют ввести следующее определение.

Определение 4. Компактной оболочкой H+(F,G) функций F(t,ip) и G(t,<p), определенных на х С# называется множество совокупностей (F*,G\ Л), где F\G* £ C{A,Rn),A = R+ х AbAi С Сц, таких, что существует последовательность tn +оо, п —> оо, для которой {F(t + i„. <р)} равномерно сходится к F*(t, (р), a {G(t + £„, ip)} равномерно сходится к G'(t,p) на каждом множестве [0,п] х К, где п = 1,2..., множество К - компакт из Ai. Функции F* и G*: R+ х Ai —> R" называются предельными к функциям F и G.

Для каждой (F*,G*, Л) £ H+(F,G) определяется предельное уравнение:

^[®(t)-G*(i,iO] = -P(Mi) (б)

В разделе 4 получена теорема о локализации положительного предельного множества решения (о).

Пусть V(t,^Z(t,p)) : х Сн -> R{Z{t,p) = <р(0) - G{t, <р) -ядро уравнения (5)) есть некоторый функционал, определенный и непрерывный по совокупности аргументов для всех <р £ Си и i E и такой, что верхняя правосторонняя производная V(t,ip) вдоль решения х = x(t,a,tp) существует.

Допустим, что для производной V(t, ф) имеет место следующая оценка:

V(t, р, Z(t, ip)) < -W(t, <р) < 0, V(t, ч>) £ R+ х Ся

где непрерывная функция W — W(t, ip) ограничена и равномерно непрерывна на каждом множестве R+ х К, Ii - компакт из С#.

Вводится определение H+(F, G, VF, Л), аналогичное определению 4. Доказана следующая теорема.

Теорема 10. Пусть: 1) V(t. 'р>, Z{t. р)) : R+ х Сн —> R есть непрерывный функционал, ограниченный снизу на каждом компакте К С Сц, т.е. V(t,<p) >

m(K) V{t,ip) € IV х Л, причем существует в силу уравнения (5).

2) V(t,<p) < -W(t,<p) < 0 V(i,v") 6 i?+ х Сц\

3) х = x(t,a,ip) - решение (5), такое что а,< т < Н Vi > a - h, где (а, <р) € R+ х Сн.

Тогда для любой гр € fi+(:r((a-, существует предельная совокупность (F*, G'*,.W7*, Л) е H+{F,G,W), т. ч. для решения уравнения — G*(i,j/<)] = F*(t,yt) выполняются соотношения

{yt{0,ф) :teR} С П+(яг*(«,и {yt(0,ф) : t В R} С {W*(t,*5) = 0}.

В пятом разделе получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе функционала Ляпунова со знакопостоянной производной, в предположении, что G(t, 0) = 0 и F(t, 0) = 0.

Теорема 11. Предположим, что:

1) существует непрерывный функционал V(t, Z(t. ;р)) : R+ х Сн —> R+, производная которого в силу системы (5) существует, при этом :

0Ji{\Z(t,9)\) < V{t,<p,Z{t,<p)) < W2(|M|);V(t,p) < -W(t,<p) < 0;

2) существует последовательность tn —> +00, такая что для любой предельной совокупности (F*,G",W*,Л), которая соответствует этой последовательности, множество {TI7*(i, <р) — 0} содержит из всех решений уравнения (6) только тривиальное у — 0.

Тогда решение х = 0 уравнения (5) асимптотически устойчиво.

В этом лее разделе доказываются теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости в предположении устойчивого ядра уравнения (5).

В разделе б исследуется равномерная асимптотическая устойчивость неавтономного уравнения нейтрального типа в предположении линейности ядра этого уравнения.

Теорема 12. Предположим, что:

1) выполняется условие 1) теоремы 11;

2) для каждой предельной совокупности {F*, G*, ТГ\ Л) множество {W*(t, ip) = 0} содержит из всех решений предельного уравнения

ji[y{t) — G*(t,yt)] = F*(t,yt) только тривиальное у = 0.

Тогда решение х = 0 уравнения (5) равномерно асимптотически устойчиво.

Далее приводится иллюстрирующий пример и решается задача синтеза самонастраивающихся систем.

Результаты 3-6 разделов второй главы развивают результаты работ В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, Дж. Хейла, A.C. Андреева по исследованию устойчивости функционатьно-дифференциалыюго уравнения нейтрального типа.

В третьей главе исследуются задачи об устойчивости эредитар-ной механической системы, о стабилизации управляемой механической системы с обратной связью с запаздыванием.

В первом разделе главы исследуется механическая система, движение которой описывается неавтономным функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа второго порядка:

x{t) + p(t,x{t - n(t)),x(t - r2(t)))x(t) + j(t,x(t - r3(t)) = 0 _ (7)

{f(t, 0) = 0, n{t) : 0 < n{t) <h= const)

Определяются условия относительно функций p. f, г,-, при которых положение равновесия (7) равномерно асимптотически устойчиво, асимптотически устойчиво по <р, неустойчиво.

Также рассматривается механическая система, описываемая уравнением вида:

x(t) + p{t, x{t - n(i), x(t - r2(t)))x(t) + b(t, x(t), i(t))f(t, x(t - r3(t)) = 0

(8)

Также определяются условия относительно функций b, р, /, г,, при которых положение равновесия (8) равномерно асимптотически устойчиво, асимптотически устойчиво по р, неустойчиво.

В этом же разделе исследуется устойчивость эредитарнон механической системы с одной степенью свободы, описываемой уравне-

нием Вольтерра:

хМ + сПхЮ) = -Р(№г) +I К(г-т)/{х(т))11т, (/(0) = 0) (9)

<-л

Определяются достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения (9).

Во втором разделе решается задача о стабилизации управляемых механических систем с обратной связью с запаздыванием. Получены теоремы о стабилизации, в том числе частичной, с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. В качестве примеров рассмотрена механическая система с одной степенью свободы, голономная механическая система со стационарными связями и задача о стабилизации одноосной ориентации твердого тела с неподвижной точкой.

В начале второго раздела рассматривается управляемая система, движение которой описывается функционально - дифференциальным уравнением запаздывающего типа:

¿(0 = /(*,*,, и) (10)

где XI € Сц,х^) € В.",и = £ и, 0) = 0, и есть упра-

вляющее воздействие, и - некоторый класс допустимых управлений;

0,0) = 0) есть непрерывное отображение, удовлетворяющее в Л — Я+ х Сц условиям существования и единственности решений (10).

Управляющее воздействие и = х^ называется стабилизирующим, если оно обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения х = 0 уравнения х{() = /0(£,а?г) = /(¿, г/°(£,

Доказана следующая теорема:

Теорема 13. Предположим, что существует функционал Ляпунова У{Ь,<р) : Я+ х Сц —» Я+ и управление .г*) £ 1Г, такие, что выполняются условия:

1) "1(Ы0)|) < У(г,'у>) < ^(МШ^) < < 0У(г,^ е

Я+ х Сц\

2) для любой предельной пары (/о,И'*) множество {Цг*(1;,<р) = 0} не содержит решений уравнения ¿(£) = /0*(£,:Г(), кроме нулевого х = 0.

шение х = 0 уравнения (10) равномерно асимптотически устойчиво.

В качестве примера рассмотривается голономная механическая система со стационарными связями, движение которой описывается уравнениями Лагранжа:

Показано, что управления и,- = — J2j=i cij4j{t—r»j —]Cj=i fii4j{t)i (Il/Il' llcll ~ положительно определенные матрицы), формируемые обратной связью с запаздыванием ( г,Д£) произвольные равномерно непрерывные функции, такие, что 0 < г у < h), обеспечивают стабилизацию нулевого положения равновесия системы (11) при условии

где ß - минимальное собственное значение матрицы ||/||.

Также показано, что управления щ = ~ r«v(0) —

fiAj[p) обеспечивают стабилизацию нулевого положения равновесия (11) по всем обобщенным скоростям qi, ...,qn и части обобщенных координат qm.

В этом разделе также предложено решение задачи о стабилизации одноосной ориентации твердого тела с неподвижной точкой на основе управления с обратной связью с запаздыванием.

Результаты второго раздела развивают некоторые результаты работ H.H. Красовского, Ю.С. Осипова и В.И. Воротникова.

В третьем разделе третьей главы исследуется задача о стабилизации трехосной ориентации твердого тела в инерциальной системе координат. Показано, что теоремы из раздела 2 этой главы могут служить основой для получения методов стабилизации вращательного движения твердого тела, имеющего переменную структуру, под

Тогда uQ(t.,Xi) есть стабилизирующее управление. При этом ре-

(И)

I I Р

с0 = тах с,-,- < — i,j hn

действием моментов с обратной связью с запаздыванием.

Таким образом, в диссертации представлены новые методы исследования устойчивости неавтономных функцнонально-дифферен-циальных уравнений с их приложением к задачам об асимптотической устойчивости и неустойчивости движений неавтономных механических систем.

Заключение.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Выводятся новые методы исследования устойчивости, асимптотической устойчивости для неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа, основанные на применении предельных уравнений и существовании знакопостоянного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной.

2. Выводятся аналогичные методы исследования устойчивости, притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных для уравнения запаздывающего типа.

3. Выводятся новые методы исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости для неавтономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа в предположении существования функционала Ляпунова со знакопостоянной производной.

4. Определяются достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа второго порядка. Исследуется эредитарная механическая система, описываемая уравнением Вольтерра.

5. Исследуется задача о стабилизации управляемых механических систем с обратной связью с запаздыванием. Рассматривается в качестве примера стабилизация голономной механической системы и стабилизация одноосной ориентации твердого тела с неподвижной точкой.

6. Исследуется задача о стабилизации трехосной ориентации

твердого тела в инерциальной системе координат на основе управляющих моментов, формируемых с обратной запаздывающей связью.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Андреев A.C., Лысяков В.Н., Павликов C.B. Об исследовании устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа// Тез. докл. Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев: Киевский унив., 1994, С. 4-5

2. Павликов C.B. Метод функционалов в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа// Тез. докл. третьей ежегодной научно-практической конференции студентов и аспирантов Уф МГУ. - Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске, 1994. С. 18

3. Павликов C.B. Метод функционалов в задаче об устойчивости функционально- дифференциальных уравнений нейтрального типа// Тез. докл. Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев: Киевский унив., 1995, С. 80

4. Павликов C.B. О притяжении решений уравнения нейтрального типа с бесконечным запаздыванием//' Тез. докл. четвертой ежегодной научно-практической конференции студентов л аспирантов Уф МГУ. - Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске, 1995, С. 26

5. Павликов C.B. Об исследовании устойчивости неавтономного функционально-дифференциального уравнения//Тез. Докл. пятой ежегодной научно-практической конференции студентов и аспирантов Уф МГУ. - Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске, 1996, С. 15-16

6. Павликов C.B. Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Ученые записки Ульяновского государственного университета "Фундаментальные проблемы математики и механики". - Ульяновск: Ульян, гос. унив., 1996, Вып. 1, с. 46-56

7. Павликов C.B. Об устойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения второго порядка// Ученые за-

писки Ульяновского государственного университета " Фундаментальные проблемы математики и механики". - Ульяновск: Ульян, гос. уннв., 1996, Вып. 2, С. 32-33

8. Павликов C.B. Об устойчивости самонастраивающихся систем с запаздыванием//Тез. докл. 11-й Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики. - Ульяновск: Ульян, гос. унив., 1996, С. 156-157

9. Павликов C.B. Об устойчивости неавтономного функционально-дифференциального уравнения по части переменных// Тез. докл. украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев: Киевский уннв., 1996, С. 101

10. Павликов C.B., Хусанов Д.Х. Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа// Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске, 1996, 42 с. Деп. в ВИНИТИ, N 881-В96

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант N 96-01-01067).

Подписано в печать с оригинал-макета 23..04.97. Формат 84x108/32. Усл. печ. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ № 40/3/£?

Подразделение оперативной полиграфии УлГУ. 432700, г.Ульяновск, ул. Л.Толстого, 42, УлГУ.