Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации движений механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

ПАВЛИКОВ Сергей Владимирович

МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01 02 01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

003166597'

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

ПАВЛИКОВ Сергей Владимирович

МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01 02 01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Камской государственной инженерно-экономической академии

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор А С Андреев

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

профессор В Г Вильке доктор физико-математических наук, профессор П С Красильников доктор физико-математических наук, профессор В С Сергеев

Ведущая организация - Институт проблем управления

Защита диссертации состоится 2008 года в 16 часов

на заседании диссертационного совета по механике N 1 при Московском государственном университете им М В Ломоносова по адресу 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан ^ЛЖ^/С^К 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент В А. Прошкин

Общая характеристика работы

Актуальность темы В качестве математических моделей в механике, теории управления, физике, биологии и экономике эффективно используются функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ)

Впервые в достаточно общей форме такие уравнения были представлены и исследованы в трудах В Вольтерра1 2

Наиболее полно метод функционалов Ляпунова был разработан в трудах Н Н Красовского 3 4, а затем получил развитие в работах В Б Колмановского, В Р Носова, С Н Шиманова, А А Щестакова, Дж Хейла и других ученых

Постановка новых задач об устойчивости и стабилизации движений и процессов (в том числе механических) с учетом запаздывания, отсутствие универсального способа построения функционалов Ляпунова, удовлетворяющих условиям тех или иных общих теорем об устойчивости приводит к необходимости изучения способов их модификации, развития и обобщения Активные исследования в этом направлении в последнее время проводились в работах И В Гайшуна и Л Б Княжище, А С Андреева, Т А Бартона, Л Хатвани и других ученых

К исследованию устойчивости ФДУ сводятся задачи об устойчивости эредитарных механических систем, о стабилизации регулируемых систем, о стабилизации движений механических систем с учетом запаздывания в структуре обратной связи Изучением этих задач, в том числе с использованием функционалов Ляпунова, занимались Н Н Красовский, Ю С Осипов, С М Белоцерковский, В В Колмановский, И М Ананьевский, Дж Хейл, В С Сергеев и другие ученые

Теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы ФДУ с конечным запаздыванием, при условии существования знакооцределенного функционала со знакопостоянной производной, позволили решить ряд интересных задач об устойчивости и стабилизации движения механической

вольтерра В Математическая теория борьбы за существование — М Наука, 1976 - 288 с 2Вольтерра В Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений -М Наука, 1982 - 302с

'Красовский Н Н О применении второго метода А М Ляпунова для уравнений с запаздыванием по времени // ПММ - 1956 - т 20 - № 3 - С 315-327

4Красовский Н Н Об асимптотической устойчивости систем с последействием // ПММ - 1956 -Т 20 - №4-С 513-518

системы с конечным запаздыванием 1 Эти результаты определили, по существу, новое направление в теории устойчивости ФДУ Однако многие проблемы этого направления до настоящего времени оставались малоисследованными или неисследованными

Цель работы Разработка новых методов исследования устойчивости функционально-дифференциальных уравнений на основе функционалов Ляпунова применительно к решению задач об устойчивости и стабилизации движений механических систем с запаздыванием

Научная новизна Получены новые методы исследования устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с конечным и бесконечным запаздыванием на основе функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными Разработаны новые методы решения общих и конкретных задач об устойчивости эредитарных механических систем, о стабилизации движений механических систем с запаздывающей обратной связью

Основные положения, выносимые на защиту Автором защищаются

следующие положения

1 Новые методы исследования устойчивости, асимптотической л устойчивости по всем и части переменных для неавтономных

функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с конечным и бесконечным запаздыванием, основанные на применении знакопостоянных и немонотонных функционалов Ляпунова

2 Решения задач об устойчивости положения равновесия и стационарного движения эредитарной механической системы

3 Новые методы исследования задач о стабилизации, в том числе, оптимальной и с гарантированной оценкой качества, регулируемых систем с запаздыванием

4 Решения задач о стабилизации вращательного движения твердого тела

5 Решение задачи о стабилизации трехосной ориентации твердого тела в инерциальной системе координат на основе управляющих

1 Андреев А С Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений -Ульяновск Ульяновский гас университет, 2005 328 с

моментов, формируемых с обратной запаздывающей связью

Практическая ценность Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в изучении устойчивости ФДУ, для исследования устойчивости движений эредитарных механических систем, для построения структуры управления в задачах о стабилизации движений управляемых механических систем

Апробация работы Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела"(Донецк, 1996 г, 2005 г), Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем"(Киев, 1994 г, 1996 г), 11-й Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Ульяновск, 1996 г), Региональной конференции "Фундаментальные проблемы математики и механики"(г Ульяновск, 1996 г); семинаре по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ под рук акад РАН В В Румянцева, проф А В Карапетяна и член-корр РАН В В. Белецкого (март 1997 г), Пятой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов "(Ульяновск, 2003 г), International Conference "Dynamical System Modeling and Stability Investigat"(KHeB, 2003 r, 2007 г), Шестой и Седьмой Крымской Международной Математической Школы "Метод функций Ляпунова и его приложений"(Крым, Алушта, 2002 г, 2004 г), IX международном семинаре им ЕС Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 2006 г), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г), Всероссийском семинаре по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ под рук акад РАН В,В Румянцева, член-корр РАН В В Белецкого и проф А В Карапетяна (14 марта 2007 г), Всероссийском семинаре по нелинейной динамики в ВЦ РАН (15 марта 2007 г)

Личный вклад автора Представленные на защиту результаты

получены автором лично

Публикации Основные результаты диссертации изложены в 26 работах

Структура работы Диссертация состоит из введения, 4 глав,

приложения, заключения и списка литературы Главы разбиты на разделы Общий объем работы составляет 248 страниц, библиография содержит 168 источника.

В первой главе рассматривается задача об устойчивости по всем и части переменных нулевого решения функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа с конечным запаздыванием

В первом разделе приводятся основные определения, теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных Излагаются предположения относительно правой части уравнения, позволяющие провести исследование

Пусть Д = ]—оо,+оо[ есть действительная ось, К+ = [0,-1-оо[, К1 есть действительное линейное пространство п-векторов х с нормой \х\, к > 0 - некоторое действительное число, С\ад - банахово пространство непрерывных функций ср [а, /3] —> Пп с нормой |М| = 8ар(\<р{а)\,а<а<0), Сн = {<р е С[-М1 1М1 < Я}> Для непрерывной функции х ]—оо, +оо[ —► ВР" и каждого Ь € Я функция XI 6 С[-й,о] определяется равенством xt (я) — х{Ь + в) для —к<в<0, под х({) будем понимать правостороннюю производную

Пусть дано функционально-дифференциальное уравнение запаздывающего типа

где / К4 х Сн —> й71 есть некоторое непрерывное отображение, удовлетворяющее условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решений (11) от начальных данных

Вводятся следующие предположения относительно правой части (11) Предположение 1.1 Для каждого числа г, 0 < г < Н, существует монотонно неубывающая функция = 0, такая, что для любой

непрерывной функции и [о, 6] —■> Ст, С~ ~ {ир € С ||'/>|| < г} при любых ¿1, ¿2 € [я, Ь] выполняется неравенство

Содержание работы

(11)

Предположение 1 2 Для каждого компактного множества if С Сн функция / = f{t,y>) ограничена и равномерно непрерывна по (t, ф) € х if, т е для любого К С С# имеется тп — т(К) и для произвольного малого г > 0 найдется 5 = ¿(г, if) > 0, такое, что для любых (t,<p), (ti,ip{), (i2, е R+ х К \t2 - ii| < J, ||<£>2 - Vill < вьшолняются неравенства

|/(t,v)| < rn, |/(t2, <p2) - /(ibVi)l < e

При этих предположениях семейство сдвигов {fT(t,<p) ~ f(r +1, ф)} предкомпактно в некотором метризуемом функциональном пространстве F непрерывных функций / х Г —► iin с компактно

открытой топологией, где Г С Ся ~ есть некоторая подобласть, содержащая семейство функций {xt[a,<p),t > а + h}, образуемое каждым решением (11) ж = x(t, а, <р), (а, ¡р) € В/ х Си, таких, что | x(t,a,(p)]<r<H,teR+1

Функция /* R+ х Г —> Rn называется предельной к /, если существует последовательность tn —► +оо, такая, что jp) = f(tn + } сходится к f*(t, tp) в F Уравнение

x{t) = f{t,xt) (12)

называется предельным к (11) Областью определения (12) по построению можно принять область R х Г

Далее в первом разделе приводятся теоремы о взаимосвязи решений уравнений (11) и (12), о квазиинвариантности положительного предельного множества fl+(xt(a, tp)) = {tp* € Сн Эtn —> +оо, п оо, х^(а,(р) —* <р* при п —> оо} решения (11) а; = x(tta,tp), ограниченного компактом К С Сц для всех t > а — h Свойство квазиинвариантности заключается в том, что для каждой предельной точки ip* 6 Cl+(x(t, a, tp)) существует предельное уравнение x{t) — f*{t,xt), такое, что для решения этого уравнения x(t, 0, tp*) выполняется соотношение {xt(0, <р*) t € i?+} С fi+(xt(a, tp))

Во втором разделе первой главы исследуется задача об устойчивости при существовании знакопостоянного и немонотонного функционала Ляпунова

1 Андреев А. С , Хусанов Д X Предельны© уразвения в задаче об устойчивости функцдонально-дифференциалыгого уравнения // Дифференц уравнения - 1998 - 34, № 4 - С 435-440

Для этого вводятся следующие определения.

Определение 1.1. Решение ж — 0 называется точкой равномерного притяжения решений всего семейства предельных уравнений {x{t) — f*(t, Xt)} относительно множества Л С Ся, если при некотором Д > 0 для любого е > О существует Т = Т(е) > 0, такое, что для любого решения x*(t, 0, <р), ip € Л П11М1 < Д} любого уравнения x(t) = f*(t, %t) для всех t >Т выполняется неравенство ||г|(0, (¿>)j| < е

Пусть V R+x Св —> R есть непрерывный функционал, х = x(t, a, ip) — некоторое решение (11), определенное для всех i > а — h Вдоль этого решения функционал V представляет собой непрерывную функцию времени V(t) = V(t, xt(a, <р)) Для этой функции определяется верхняя правосторонняя производная.

V{t, xt(a, <р)) = lim sup (V(t + At, xt+At(a, ip)) - V{t, xt(a, ip))) Äi->0+ ¿\t

При t = а, в частности, имеем значение производной V(a, ip)

Будем применять определения определенной положительности и бесконечно малого высшего предела для функционала V из \ соответственно чему функционал Vif, <р) должен иметь оценки V(¿,<р) > w([<¿?(0)|) и \V(t,tp)\ < где и — функция типа Хана

Определение 12. Для непрерывного функционала

Vit, <р) и некоторого числа с € R множество У-1(оо,с) = = {<р € Сн 3ipn е Ся, in +оо <pn -> <р, V(tn, <pn) с}

На основе этих определений доказана следующая теорема

Теорема 1.1. Предположим, что

1) существует непрерывный функционал V R+ х С# —> R+, такой, что

V(t, ip) > 0, V(t, 0) = о, V(t,v) < о, (t,<p) е R+ X Сн,

2) решение х = 0 есть точка равномерного притяжения решений {х(t) = f*(t, xt)} относительно множества Л0 = V-1(oo, 0)

Тогда решение х = 0 уравнения (11) устойчиво по Ляпунову Если, дополнительно, выполняется V(t, ip) < тогда решение а; = 0 (11)

равномерно устойчиво

1Колмз£Ювскиг В Б , Носов В Р Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием - М Наука, 1981 - 448 с

Пусть t„ —> +00 есть некоторая последовательность Для каждого ¿ейисбй определим множество V^1 (t, с) с Сц следующим образом точка <р € если существует последовательность

{Ч>п S Г, <рп -»<р}, такая, что hm„_+00 V(t + tn, ¡рп) = с

Допустим, что для производной V имеет место следующая оценка

V(t, ч>) < -W{t, <р) < 0, V(i, tp) € R х Л,

где непрерывный функционал W — W{t,<p) ограничен и равномерно непрерывен на каждом множестве R+ х К, К - компакт из Сн Как и в случае f{t,ip), при таком условии семейство сдвигов {WT(t, <р), т е R+} предкомпактно в некотором функциональном пространстве непрерывных функций FG — {G R х Г 6 R} с метризуемой компактно открытой топологией

Функционал W* 6 Fq называется предельным к W, если существует последовательность tn -> +00, такая, что {W^(t,(p) — W(tn + t,<p)} сходится к W*(t, tp) в Fe При этом множество V^1 (i, с), определяемое той же последовательностью tn —* +00, определим как соответствующее W*

Определение 1.3. Решение х = О устойчиво относительно каждого множества Л = У^^О) f){W*(0,<p) = 0} равномерно по {x{t) = f*(t,xt)}, если для любого е > 0 можно указать 5 = 5(e) > 0, такое, что из tp 6 Af~|{IMI < следует1 ЦхЦ0,(р)\\ < е для каждого решения x*(t, 0, ip) уравнения x(t) = f*(t, xt) при всех t > 0

Определеюте 1.4 Решение х ~ 0 называется

асимптотически устойчивым относительно каждого множества Л = Vr-1(0,0)f!{^(0,^) = 0} равномерно по {x(t) = f*(t, xt)}, если оно устойчиво относительно Л равномерно по {x(t) — f*(t, xt)} и существует А, такое, что из tp £ Ар|{||у>|| < Д} следует, что решение х*(t, О, tp) уравнения (1 2) стремится к 0 при t —* 00

На основе этих построений выводится следующий результат Теорема 1.2. Теорема 11 останется верна, если условие 2) в ней будет иметь вид

2) решение х = 0 асимптотически устойчиво относительно каждого множества Ло = V^1 (0.0) у) = 0} равномерно по {¿(t) =/*(*, ®t)}

Различие теорем 1 1 и 1 2 состоит, прежде всего, в определении множеств V-^oo, 0) и V0) По определению V'1^, 0) С Vr~1(oo, 0) Поэтому условия теоремы 1 2 в примерах более точные, чем условия 11, но множество V^1(oo,0) определяется легче

Еще более удобной представляется модификация теоремы, условия которой предполагаются только относительно исходной системы (11) Для этого необходимо ввести следующие определения

Определение 1.5. Решение х = 0 уравнения (11) называется устойчивым относительно множества Л С С#, если для любого е > 0 можно указать 5 — 8(e) > 0, такое, что из ip € Л П^У ИИ1 < "О следует 11ж<(0> (¿>)|| < е при всех t > О

Определение 1.6. Решение х = 0 уравнения (11) называется равномерно асимптотически устойчивым относительно множества Л, если оно устойчиво относительно Л и существует Л > 0, такое, что для каждого е > 0 можно указать Т = Т(е) > 0, такое, что для всех ip е Л П{||у|| < А} следует ||ж4(0,<р)|| < е при t > Т(е)

Теорема 1.3. В теореме 1 1 условие 2) можно заменить на следующее решение х = 0 уравнения (1 1) равномерно асимптотически устойчиво относительно множества Ло = F_1(oo,0)

Далее в разделе выводятся две теоремы, в которых более существенно используются свойства множеств V^1^, с) и {W*(t,<p) = 0}

Доказана теорема о равномерной асимптотической устойчивости с использованием немонотонного функционала

Теорема 1.4. Предположим, что для системы (1 1) можно найти функционал V = V(t, <р) такой, что

1) \V(t,<f)\ < ai(UHI) ДО3 € ü+ х Св, V(t,<p) > 0 для каждого t & R+ и каждой функции <р € Ся такой, что = |ip(0)|,

2) производная функционала V в силу системы (1 1) V(t, if) < -W(t, <f) < 0 для всех (t, V) 6 Д+ х 6 Ся V(t, <р)0, М = 1^(0)1),

3) для каждой предельной пары (f*,W*) множество {V~\t,c) с = const > 0} = 0} не содержит решений x*(t,<p) уравнения (1 2),

4) решение х = 0 асимптотически устойчиво относительно множества

с) с < 0} равномерно по совокупности предельных уравнений

Тогда решение х — О уравнения (11) равномерно асимптотически устойчиво

Отличием этой теоремы от предыдущих состоит в том, что предполагается возможным значения функционала V(t, ф) < О Эффективность применения различных теорем показана в решении соответствующих математических примеров

Доказанные теоремы представляют собой развитие и обобщение теорем Н Н Красовского \ Дж Хейла 2, JI Б Княжище и В А Щеглова 3, АС Андреева и ДХ Хусанова 4. Оно состоит, в целом, в обосновании применимости в исследовании устойчивости ФДУ незнакоопределенных функционалов Ляпунова

В третьем разделе излагаются результаты решения задач о частичном притяжении решений, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа посредством функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную

Пусть i?m, RP есть линейные действительные пространства т- и р-векторов с нормами \у\, \z\, Rn есть линейное действительное пространство п-векторов X = (xhx2, ,Хп) ~ (У1,У2, ,Ут, Z1,Z2, , Zp) = {y,z) С НОрМОЙ \х\ — ¡yj + \z\,n = rn + р, h > 0 - некоторое действительное число, С^ - банахою пространство непрерывных функций ip [—h, 0] —*• И1 с нормой ||<р|| = sup (|y(s)|, -h < s < 0), (p = cp{3¡))

Предполагается, что правая часть (11), определенная на R+ х А, А = Ср х с№\ такова, что решения (11) г-продолжимы

Вначале проводится построение предельных к (11) систем, учитывая область определения правой части (построение аналогично построению из раздела (1 1)) Показано, что при определенных условиях асимптотическая устойчивость исходного уравнения является

'КрасовскийНН О применении второго метода А М Ляпунова для уравнений с запаздыванием по времени // ПММ - 1956 - Т 20 - № 3 - С 315-327

2Хейл Дж Фзория функционально-дифференциальных уравнений - М Мир, 1984 - 421 с

3Княжище Л Б , Щеглов BAO знакоопределенности функционала Ляпунова и устойчивости одного уравнения с запаздыванием - Минск, 1994 - 32 с

4Андреев А С , Хусанов Д X К методу функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости и неустойчивости // Двфференц уравнения - 1998 - 34, № 7 - С 876-885

следствием свойства равномерного притяжения предельных уравнений

Доказаны теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных на основе знакоопределенного по контролируемым переменным функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную

Теорема 1.5. Предположим, что

1) существует окрестность N точки х — 0, из которой решения уравнения (1 1) ограничены по z,

2) существует непрерывный функционал V R+ хА-» Д+, такой что

V(t, 0) = 0, V(t, <р) > ^(1^(0)1), V < -W(t, <р)<0

для всех t 6 R+, <Р 6 äjp х С%\

3) для каждой предельной пары (/*,W*) с множеством V'1^,^, множество {V~l(t, с) с = const > 0} {~\{W*{t, <р) = 0} не содержит решений уравнения x(t) = f*(t, xt), кроме решений х — x{t) = (y(t), z{t)) таких, что у = 0

Тогда решение (11) х = 0 асимптотически ^-устойчиво

Теорема 1.6. Предположим, что

1) существует окрестность N точки х — 0, из которой решения уравнения (11) равномерно ограничены по z,

2) существует непрерывный функционал V R+ х Л —* R+, ограниченный и равномерно непрерывный на каждом множествеЯ+ х К, где К С А есть компакт, и такой, что

wi(K)(o)|) < v&v) <o*(M)> W) = о, v(t,<p) < -w(t,<p) < 0, (t,ip) 6 R+ x Л,

3) каждая предельная совокупность (f*,V*,W*) такова, что множество (V*(t,ip) = с > Ü}p\{W*{t. ip) — 0} не содержит решений уравнения х — f*(t, xt)

Тогда решение (11) х = 0 равномерно асимптотически у-устойчиво

Условие ограниченности решений по г в этих теоремах может быть заменено условием относительно функционала Ляпунова, если ввести следующее определение

Определение 1.7, Пусть V — V(t,<p) - функционал Ляпунова, с € R - некоторое число Точка tp^ — (ipi, ,<рт) £ С¡¡У

принадлежит множеству А»(с), если существуют последовательности tk +00,<р\у] +°°> такие, что У{tkl<р{у),<р{г)) с

при & —* 00

Соответственно, имеет место следующая теорема

Теорема 1.7. Предположим, что существует непрерывный функционал V R1 х Л —> R+, такой, что

1) существует число Q > О, такое, что для каждого числа 5 > О bmV(t.. if(v), ip(z)) > Q при ip(z) —> oo равномерно по i € € {<* < Ы < < Я},

2) V(t,0) = 0, V(t,ip) > w(|(p{j,)(0)|), V{t,<p) < -W(t,v) < 0 для всех (t,<p) бй+хА,

3) для каждой предельной пары (/*, W*) максимально инвариантное подмножество множества с) с = Со = const}f){W*{t,ip) = 0} содержится во множестве {<р 6 Ca <Р{У) = 0}

Тогда решение (11) х — 0 асимптотически у-устойчиво

Далее выводятся теоремы об устойчивости по части переменных на основе знакопостоянного функционала Ляпунова Для этого используются результаты из раздела 2

Результаты третьего раздела развивают и обобщают результаты В И Воротникова ТА Калистратовой 2 и других ученых в направлении широкого использования знакопостоянных функционалов

В четвертом разделе формулируются следствия результатов второго и третьего разделов для случая автономного, периодического и почти периодического уравнений

Во второй главе рассматривается устойчивость функционально-дифференциального уравнения с бесконечным запаздыванием на основе знакоопределенных и знакопостоянных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной Для уравнений с неограниченным запаздыванием значительную роль в исследовании таких уравнений играет выбор подходящего фазового пространства В разделе 2 1 вводится определение фазового пространства на основе аксиоматического подхода, предложенного в работе Дж Хейла и

Воротников В И Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных -М Наука, 1991

гКалисгратова ТА Об устойчивости по части переменных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. - 1986 - № 5 - С 32-37

Дж Като 1 Этот подход позволяет провести построение предельных уравнений в форме, несколько более сложной, чем для функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием Пусть В — есть действительное векторное пространство либо

1) непрерывных функций, отображающих (—оо, 0] в i?1, и для ц>,ф е В считаем <p = if>, если <p(s) = ^(s) для всех s € (—оо, 0], либо

2) измеримых функций, отображающих (—оо,0] в Дп, и для (р,-ф € В считаем <р — ф, если tp{s) = tI>(s) для почти всех s € (—оо,0] и

m = m

Предположим, что в пространстве В определена норма || ¡¡в, такая, что пространство {В, || ||в) является банаховым В пространстве Rn, как и ранее, норму обозначим через j ]

Для функции х (—оо, А) —> Rn, 0 < А < +оо, определим функцию xt (—оо, 0] —» Ru формулой xt(s) = x(t + s), s < 0, для каждого

t е [0,Л)

Определение 2.1 Пространство В называется допустимым, если существуют постоянные К > 0, J > 0 и непрерывная функция M [0, оо) —* [0, оо), такие, что выполняются следующие условия Пусть 0 < а < А < оо Если х (—оо, А) —* R1 непрерывна на [а, А) и ха £ В, то для всех í 6 [а, А) справедливо

В1) xt 6 В и Xt непрерывно по t относительно || ||в,

В2) llalla < Ктвха&я |i(e)| + M(t - a)||®«||Bl

ВЗ) lv?(0)i < J\Mb для всех ip € В,

В4) M(í) —»■ 0 при í —> оо

Предположим, что если уз ограничена и непрерывна на (—оо,0], то <р € В и все функции t > О, ограничены по норме пространства В — А Для некоторого L > 0 (здесь <p-t(s) — <p(—t + s),

s e (-оо, о])

Пусть В есть допустимое сепарабельное пространство Для произвольного H > 0 определим множество Вд = {</? Ç В Ц95ЦВ < Н},

вн = {<рев. Мв < н}

'Hale J К , Kato J Phase space for letarded equations with infinite delay // Б\шк Ekv - 1978 - V 21 -P 11-41

Рассмотрим систему функционально-дифференциальных уравнений

Здесь / есть непрерывное отображение, определенное на множестве R+ х Вн —» RJ1 для некоторого 0 < Я < +оо, ограниченное на каждом множестве \f(t,ip)\ < m(h) для всех (t, ip) € Я+хД,, 0 <h <Н

При таких условиях для каждой начальной точки (а, <р) € R+ х -Вн существует непродолжаемое решение x(t,а, </з) уравнения (21), определенное для [а, /3) для некоторого ¡3 > а

Определение 2.2. Функция f(t, <р). определенная на R х В, имеет компактную оболочку, если для любого компактного множества К' С R х В существует последовательность {£„}, tn > 0, содержащая подпоследовательность {tm}, такую, что последовательность {f(t + tm, ip)} равномерно сходится при (i, tp) 6 К'

Оболочкой H+(f) является множество пар (/*, f2), Q С R+ х .£?#, таких, что существует последовательность {i„}, tn —» +оо, п —> оо, для которой {/(i + tn, ip)} сходится к f*(t, ip), (t, tp) € Q, при этом функция f* R+ x Вц —» Rn называется предельной к f

Предположение 2.1 Для каждого компактного множества К с В в функция f — f(t, tp) равномерно непрерывна по (t,<p) е R+x К Показано, что при условиях, наложенных на функцию /, и выполнения предположения 2 1 оболочка H+(f) будет компактной Для каждой пары (/*, О) е H+(f) определим предельное уравнение

В разделе 2 2 на основе знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной доказываются теоремы о локализации положительного предельного множества, об асимптотической устойчивости и неустойчивости

Теорема 2.1. Предположим, что

1) (р) R+ х Вн —> Я есть непрерывный функционал, ограниченный снизу на каждом компакте К С Вн

x(t) = f(t,xt)

(21)

x(t) = f*(t,xt)

(2 2)

V(t, tp) > m(K) V(i, ip)£R+x K,

его производная

—- < -W(t, ip)< 0 V(i, ip) € x £я

2) х — x(t,a,<p) -- решение (21), такое, что \x{t,o.,ip)\ < г < Н, для всех t > а

Тогда имеется с = Cq > т, при котором для каждой предельной точки <р* € Q+(xt(a,ip)) существуют предельная совокупность (f*,W*,tt) € Л+(/, W) с V~l{t, с) и решение x*(t, 0, <р*) уравнения х — f*(t,xt) такие, что множество {^¿(О, ip*) ■ t g R+} С ii+(xt(a, <р)) и {x*(0,ip") t<zR+}<Z{V~l{t,c) с = Co = const} C\\W*{t, <p) = 0}

Теорема 2.2. Предположим, что

1) существует непрерывный функционал V R+ х Вн * R+, такой, что

V(t, ч>) < -W{t, Ч>) < 0. (t, Ч>) 6 R+ х вв,

2) для каждой предельной совокупности (/*, W*) и каждого со > 0 множество {V^it, с) . с = со} D{W*(t, tp) = 0} не содержит решений предельного уравнения х = f*(t, xt), кроме нулевого х — 0

Тогда решение х — 0 уравнения (2 1) асимптотически устойчиво

Теорема 2.3. Предположим, что

1) существует ограниченный снизу непрерывный функционал V R+ х Вн —> [—т,+оо), такой, что

= <~W{t,tp) <0

для всех t G R+, ip £ Вв, и принимающий в любой малой окрестности х = 0 отрицательные значения,

2) для каждого значения со < 0 существуют предельная пара (f*,W*) с множеством V~l(t,c), такие, что множество {V^x(t, с) с — cq} fKW'fo <р) = 0} не содержит решений уравнения x(t) = f*(t,xt)

Тогда решение (2 1) х — 0 неустойчиво.

В разделе 2 3 эти результаты развиваются для получения достаточных условий со знакопостоянными функционалами Ляпунова

В разделе 2 4 излагаются результаты по решению задачи об устойчивости по части переменных Значимость различных теорем поясняется на примерах

>

Результаты второй главы представляют собой развитие и обобщение известных теорем Haie J К , Kato J.12

В третьей главе излагаются результаты применения теорем из глав 1 и 2 в решении задачи о стабилизации регулируемых систем с запаздыванием

Постановка новых задач о стабилизации движений механических систем, отсутствие универсального способа построения функционалов Ляпунова приводит к необходимости модификации и обобщения известных ранее теорем о стабилизации, в частности в направлении модификации и обобщения теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости путем ослабления знакоопределенности функционала Ляпунова и его производной В этой главе диссертации предлагаются такие модификации и обобщения

В первом разделе третьей главы рассматривается задача о стабилизации систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями Получены теоремы о стабилизации, в том числе частичной, с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной Задача решается для уравнений запаздывающего типа с конечным и бесконечным запаздыванием В этом разделе рассматривается также стабилизация систем, моделируемых функционально-дифференциальным уравнением второго порядка Управление строится только на основе информации, полученной в предыдущие моменты времени, и зависит от координаты и скорости, измеренных в предыдущие моменты Получены результаты для автономного случая, а также для случая переменного запаздывания и зависимости от времени коэффициентов в управлении Рассмотрим управляемую механическую систему с одной степенью свободы, описываемую уравнением второго порядка

q{t) = и,

где управление и определяется равенством

и = -b(t)q(t - r(í)) - a(t)q(t - r(t)).

'Hale J К, Kato J Phase враее for retarded equations with infinite delay // Punk Ekv -1978 - V 21 - P 11-41

2Kato 3 Stability problem ш functional differential equations with infinite delay / / Punk Ekv -1978 - V 21 - P 63-80

Находятся условия на функции a(t), b(t) и r(t) при которых положение равновесия такой системы равномерно асимптотически устойчиво

Во втором разделе третьей главы рассматривается задача об оптимальной стабилизации Предложено решать задачу об оптимальной стабилизации на основе знакоопределенных и знакопостоянных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной Получены теоремы об оптимальной стабилизации, в том числе частичной, с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной Предложено решение задачи об оптимальной стабилизации систем со стационарными связями

Рассматривается управляемая система, движение которой описывается функционально-дифференциальным уравнением запаздывающего типа

x{t) = f{t,xuu) (31)

Здесь xt 6 GH,x(t) е BP, и = u(t,xt) £ U С i?"\u(i,0) = О, где и есть управляющее воздействие, V - некоторый класс допустимых управлений, f(t xt, и) R+ х Сп х BP1 BP, f(t, 0,0) = 0 есть непрерывное отображение, удовлетворяющее в Д+ х Сц х BP1 условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решений (3 1) от начальных данных

Пусть и = u°(t,xt) € U есть некоторое выбранное управляющее воздействие, под действием которого уравнения управляемого движения (3 1) принимают вид

x(t) = f0(t, xt), f0(t, xt) = f{t, xt, u°(t, xt)) (3 2)

Предполагаем, что правая часть системы (3 2) удовлетворяет предположениям 1 1 и 1 2 главы 1 Тогда можно построить семейство предельных уравнений к (3 2)

x(t)=f5(t,xt), (3 3)

где /о (i, xt) = limin->+oo fo[tn +t,

Определение 3.1 Задача оптимальной стабилизации заключается в нахождении управляющего воздействия и = u°(t,xt) 6 U, обеспечивающего асимптотическую устойчивость невозмущенного

движения х — О уравнения (3 1) и такого, что по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями и — u(t, xt) е U, решающими задачу о стабилизации движения х = 0 уравнения (3 1), для всех {a,ip) € R+ х Сяо, 0 < Щ < H выполняется неравенство +00 +00 J W{t,x°t,u0{t,x°t))dt< J W(t,xt,u{t,xt))dt

a a

при условиях = tp

Теорема 3.1. Предположим, что в некоторой окрестности х — О для системы (3 1) можно найти непрерывный функционал Vo(i, у) и управляющее воздействие u°(t, ip) € U, удовлетворяющие условиям

1) wi(KO)|) < V0(t,V) < wi(M),V(f,p) 6 R+ x Он,

2) имеет место тождество

В%, t, xt, u°(t, xt)] = V0 + W{t, xt, u°) = 0,

3) для каждой предельной совокупности {/g, Wq) и каждого cq > О множество {У^1 (t, с) с = со} ¥>) — 0} не содержит решений предельного уравнения х = fo(t,xt), кроме нулевого х — О,

4) для всех (t,'p,u) G Д+ х Сд х U справедливо неравенство

B[V0,t,xuu(t,xt)} >0

Тогда управляющее воздействие u°(t,ip) решает задачу об оптимальной стабилизации невозмущенного движения (3 1), при этом +00 +00 V0(а,<р)= j W(t, Xf, u°(t, x®))dt = nun J W(t,xuu(t,xt))dt

a a

В третьем разделе получены теоремы о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления согласно следующему определению

Пусть W(t,xt,u(t, xt)) есть некоторый непрерывный неотрицательный функционал переменных (t,xt,u) £ i?+ х С а х Rm, характеризующий качество переходного процесса

Определение 3.2. Управляющее воздействие и = u°(t,xt) называется стабилизирующим с гарантированной оценкой качества

управления P(t,xt), если оно обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения х = 0 уравнения (31), и при этом на каждом управляемом движении х°(i),x° = <р, справедливо неравенство

+оо

I=* J W(t, xQt{a, <р), u°(t, X°t(a, <p)))dt < Р{а, ip) (3 4)

а

Приведенная выше постановка задачи позволяет существенно расширить класс решаемых задач по сравнению с задачей об оптимальной стабилизации

Теорема 3.2. Предположим, что для системы (3 1) с оценкой качества управления (3 4) можно найти непрерывный функционал Vo (i, V3) и управляющее воздействие vP(t, <р) 6 U, удовлетворяющие условиям 1), 3) теоремы 31, а также 2) имеет место неравенство

B[V0, t, xt, u°(t, Xt)] < 0

Тогда управляющее воздействие u°(t,tp) решает задачу о стабилизации иевозмущенного движения (31) с гарантированной оценкой качества управления Р(а,<р) — Vq(а, <р) При этом решение х — 0 равномерно асимптотически устойчиво с некоторой областью притяжения Сяо

На основе полученных результатов предложено решение задачи о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления систем со стационарными связями

В четвертой главе на основе предыдущих результатов исследуются задачи об устойчивости и стабилизации движений управляемых механических систем с запаздыванием стабилизация положения равновесия управляемых механических систем со стационарными, голономными идеальными связями, рассматриваются регуляторы с неограниченным запаздыванием, решается задача об устойчивости положения равновесия и стационарного движения эредитарной механической системы, решается задача о стабилизации неустойчивого положения относительного равновесия механической системы с голономными нестационарными связями, предложено решение задачи

о стабилизации программного движения голономной механической системы, решаются задачи о стабилизации маятника в верхнем неустойчивом положении равновесия, о стабилизации вращательного движения твердого тела, о стабилизации голономной системы по части переменных при ограниченности и неограниченности неконтролируемых координат, о стабилизации одноосной ориентации твердого тела, о стабилизации трехосной ориентации твердого тела в инерциальной системе координат

В первом разделе исследуется стабилизация положения равновесия управляемых механических систем со стационарными, голономными идеальными связями, описываемых следующими уравнениями Лагранжа

йдТ дТ _ .

dtTq-Tq=Q{tM)> (41)

где Q(t, qt, qt) - матрица-столбец размерности их 1 обобщенных сил, действующих на систему

Показывается, что можно стабилизировать систему до равномерной асимптотической устойчивости на основе управлений, которые зависят только от координат системы

о

Qy(t, qt) = ~C(t)q(t) + J F(t, s)q(t + s)ds, (4 2)

-h

Qy(t, ft) = -F0(t)q(t) + C0(t)q(t - h) Рассматриваются также следующие управления

Qy(t, qt, qt) = -C(t)q(t - h) - F(t)q(t),

Q:

и

,{t, qt, q) = —F(t)q(t) - G{t) j q(t + s)ds

-h

0

q) = --^М*) -1 с(*)<?(* + а)<ь,

-н

Я »(*, qt, qt) = -Сд(г -К)- £><?(« - Ь)

Найдены условия, при которых указанные управления стабилизируют систему до равномерной асимптотической устойчивости Например, получена следующая теорема

Теорема 4.1 Пусть

1) матрицы C(t) и F(t, s) являются ограниченными симметричными матрицами размерностей п х п при t е R+, s ё [—h, 0],

2) матрица M(t) = C(f) - f\ F(t, s)d.s является положительно определенной матрицей, ограниченной и равномерно непрерывной при t 6 R+,

3) матрица F(t, s) непрерывно дифференцируема no tms, равномерно непрерывная при t е

F(t, а) > 0, " > °оБ>ао = const > 0,

os ot

M(t)< 0, teR+, s € [—h, 0]

Тогда управление вида (4 2) решает задачу о равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия g = q = 0 системы (41)

Во втором разделе рассматриваются регуляторы с неограниченным запаздыванием, когда управление имеет вид

t

Qy(t, qt) = ~C{t)q{t) + J F(t- s)q(s)ds (4 3)

о

Предполагая, что интеграл /0+о° F(s)ds сходится и полагая

t

M{t) = C{t) - J F(s)ds, о

имеем следующий результат Теорема 4.2 Пусть.

1) матрицы С и F являются симметричными размерностей п х п,

2) матрица M является положительно определенной матрицей и равномерно непрерывной при t € R+,

3) матрица F(s) непрерывно дифференцируема, F (s) > 0, F (s) < 0,

4) C{t) < F(t),

Тогда управление вида (4 3) есть стабилизирующее управление, при этом положение равновесия q — q — 0 системы (4 1) асимптотически устойчиво

В первом и во втором разделах выводятся также условия, при которых регуляторами обеспечивается асимптотическая устойчивость по части переменных

В третьем разделе исследуется устойчивость движений эредитарных механических систем Рассматривается механическая система с голономными стационарными связями, определяемая обобщенными координатами ,дп, причем первые т координат системы,

(Зъ ,1т)Т — Ч1 (т < п) позиционные, остальные (п — т) координат {Ят+1, 1 Чп)Т = 92 — циклические, и описываемая уравнениями

й (дТ\ дТ дЛ . , ,, л

+(4 4)

о

где Г — кинетическая энергия, П = П(д) — потенциальная энергия системы, дТ/дд2 — дИ/дд2 = 0, при этом Ф € ]Г'<Ш — симметричная матрица, пг < п, Ф' = Ф > 0 (/0°° Фсходится), выражающая свойство эредитарности или влияния предыстории системы (например, ее вязкоупругие свойства), <2 = <Э(д, д) — обобщенные гироскопические и диссипативные силы Система будет иметь циклические интегралы дТ/дд2 = с, и для нее можно определить приведенную потенциальную энергию системы

Пусть дШ/дд1 ~ 0 при д1 = 0 и с = со, так, что система (4 4) имеет стационарное движение

51 = 0, д1 = 0, = = ^(¿) = + - «о), (4 5)

отвечающее значению с = со циклических постоянных

Теорема 4.3. Предположим, что

1) измененная с учетом свойства эредитарности приведенная потенциальная энергия системы

Ф(з)с^ д1

имеет изолированный минимум в точке д1 = 0 при с = со и

2) матричная функция Ф, такова, что Ф(в) < О

^ос /

Тогда стационарное движение (4 5) устойчиво по (д1, д1, д2) и является притягивающим для возмущенных движений с циклическими постоянными с = со, а также каждое возмущенное движение из области устойчивости (4 5) неограниченно приближается при tn —> +оо к одному из предельных стационарных движений, отвечающему значению с = ci = со + Sc

В качестве примера исследуется устойчивость стационарных движений физического маятника

В четвертом разделе решается задача о стабилизации неустойчивого положения относительного равновесия механической системы с голономными нестационарными связями Решение задачи предлагается на основе регулятора, зависящего только от координат системы

В пятом разделе предложено решение задачи о стабилизации программного движения голономной механической системы Для этого исходная система заменой сводится к новой, так, что изучение поведения решений исходной системы в окрестности заданного программного движения сводится к изучению нулевого положения равновесия нестационарной механической системы

В шестом разделе рассматривается в линейной постановке задача о стабилизации математического маятника в верхнем, неустойчивом положении равновесия моментом, приложенным к нему на оси подвеса Уравнения линейного приближения можно привести к виду

dx 1 dx2 dx з

~dt=x» = + ^ !Г = и> (46)

где xi — ц> - угол отклонения маятника от вертикали, х2 = tp, и -управляющий момент, приложенный к маятнику

Допустим, что в системе управления маятником координаты хи х2, хз определяются с запаздыванием г = r(t), 0 < r(t) < h = const, r(t) есть равномерно непрерывная но i € R+ функция

Управляющий момент и определяется посредством равенства

и = -alxxdt - r(t)) + x2(t - r(i))) - bx3(t - r(t)) (4 7)

На основе знакопостоянного функционала со знакопостоянной производной определяются условия на значения а, Ь и г, при которых управление и будет стабилизирующим

В седьмом разделе рассматриваются задачи о стабилизации движений твердого тела о стабилизации вращательного движения твердого тела, о стабилизации одноосной ориентации твердого тела, о стабилизации трехосной ориентации твердого тела в инерциальной системе координат Решение достигается на основе знакопостоянных и знакоопределеиных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной

Для тела с неподвижной точкой О моменты инерции относительно главных осей Ох, Оу и Oz обозначим через А, В к С, &p,q,r - проекции угловой скорости на эти оси Предположим, что под действием момента

Мх = Му — 0, Мг = Mz(t) тело может совершать нестационарное вращательное движение вида

p — q — 0, г = r0(£), |r0(i)| < Яо = const >0 (48)

Показано, чта решение задачи о стабилизации движения (4 8) достигается на основе моментов

Мг = -6lXl(t - пф),

Ma = -b1x3(t-v,(t)) (4 9)

М3 = -b2xz{t - r3(i)),

причем вращение (4 8) вокруг наибольшей и наименьшей осей инерции под действием моментов (4 9) с коэффициентами усиления, удовлетворяющих определенным условиям, равномерно асимптотически устойчиво

Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки допускают стационарное вращательное движение вокруг главной оси (примем ее за ось Oz), неустойчивое, если эта ось средняя, В > С > А Рассматривается задача о стабилизации такого движения, а именно, движения вокруг оси Oz, р = q = 0, г — го — const > 0 Уравнения возмущенного движения под действием управляющих воздействий в линейном приближении могут быть записаны в виде

(В-С)

xi — ^-j-^nxi + щ,

Х2 = и2, (4 Ю)

, Хз = Из

Задача о стабилизации положения xi = х2 = xg = 0 этой системы решается управляющими воздействиями

Щ = — kixi(t - т(£)), и2 =-kix2(t~r(t)), и3 = -k2x3{i - r(i)),

(411)

где r(i), 0 < r(i) < /г, есть запаздывание в системе управления, и - коэффициенты усиления, выбираемые из некоторых условий Эти условия также определяются на основе знакопостоянного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной

В восьмом разделе решается задача о стабилизации управляемой механической системы с голономными стационарными связями по части переменных при допущении неограниченности неконотролируемых координат

Результаты этой главы развивают некоторые результаты работ H H Красовского, Ю С Осипова1, ИМ Ананьевского и В В Колмановско-го2

В приложении проводится развитие методов, полученных в первой главе, в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа (НФДУ)

Рассматривается НФДУ следующего вида

| [x{t)-G{t,xt)] = F(t,xt), (П1)

где F fi —* FC1, G 0, JRJ1 - заданные непрерывные функции, О, С Н+ х открыто

В первом разделе приводятся теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решений НФДУ от начальных данных

В разделе 2 рассмотрена задача о локализации положительного предельного множества автономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа с конечным запаздыванием на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную 3

1Красовски8 H H, Осипов ЮС О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием // Изв АН СССР, Техническая кибернетика. - 1963 - № 6 - С 3-15

2Аваньевскяй И M, Колмановский В В О стабилизации некоторых регулируемых систем с последействием // АиТ - 1989 -№9 С 34-^2

3Хейл Дж Теория функционально-дифференциальных уравнений - M Мир, 1984 - 421 с

В третьем разделе рассматривается неавтономное НФДУ, проводится построение предельных систем и выводится свойство квазиинвариантности положительного предельного множества решения этого уравнения В силу того, что в (П 1) содержатся значения производных функционала, построение предельных систем для НФДУ отлично от построения для уравнений запаздывающего типа

Определение П.1. Компактной оболочкой H+(F,G) функций F(t,(p) и G(t,ip), определенных на R+ х Сн, называется множество совокупностей (F*, G*, А), где F*, G* 6 С(Л, Rn), Л = R+ х Ль Л5 С Ся, таких, что существует последовательность tn —> +00, п —»■ оо, для которой {F(t + tn, ip]} равномерно сходится к F*(t, ip), а {G(t + tn, <¿>)} равномерно сходится к G*(t,(p) на каждом множестве [0,n] х К, где п — 1,2 , множество К - компакт из Ai Функции F* и G* R+ х Ai —^ f¿™ называются предельными к функциям F и G

Для каждой (F*,G*,A) е H+(F,G) определяется предельное уравнение

~[x{t)-G*{t,xt)} = F*{t,xt) (П2)

В разделе 4 получена теорема о локализации положительного предельного множества решения (П 1)

Пусть V{t,v,Z{t,<p)) R+ хСн R{Z{t,y) = у>(0) - G{t,ip) -ядро уравнения (П 1)) есть некоторый функционал, определенный и непрерывный по совокупности аргументов для всех (р € Си и t € Д+ и такой, что верхняя правосторонняя производная V(t, <р) вдоль решения х — x{t, а, iр) существует

Допустим, что для производной V(t,<p) имеет место следующая оценка

V{t,v,Z(t,v)) < -W(t,v) < 0,V(í, <р) eR+x Си,

где непрерывная функция W — W(t,(p) ограничена и равномерно непрерывна на каждом множестве R+ х К, К - компакт из Сд

Вводится определение H+(F, G, W, Л), аналогичное определению П 1 В пятом разделе получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе функционала Ляпунова со знакопостоянной производной, в предположении, что G(t, 0) = 0 и F{t, 0) = 0

В разделе 6 исследуется равномерная асимптотическая устойчивость неавтономного уравнения нейтрального типа в предположении свойства равностепенной непрерывности положительного предельного множества и получена следующая теорема

Теорема П.1. Предположим, что

1) существует непрерывный функционал V(t, xt, Z(t, Xi)) R+ x C# —y R, производная которого в силу системы (П 1) существует, при этом

WiflZ(t,xt)\) < V(t,xt,Z(t,xt))<u2(\\xt\\), ^<-W(t,v)< О,

2) для каждой предельной совокупности (F*, G*, W*, Л) множество {W*{t, <р) = 0} содержит из всех решений предельного уравнения ¿[у(^) — G*(i, yt)\ = F*(t, yt) только тривиальное у = 0

Тогда решение х — 0 уравнения (П 1) равномерно асимптотически устойчиво

В разделе 7 исследуется задача об устойчивости и асимптотической устойчивости НФДУ на основе знакопостоянного по ядру функционала Ляпунова со знакопостоянной производной

Теорема П.2. Предположим что

1) существует непрерывный функционал V(t, xt, Z(t, Xtj), такой, что

0 < V(t, xt, Z(t,xt)) < й*(Ы), V(t, 0, Z(t, 0)) s 0, V(t, V, Z{t, v)) < 0, V(t, <p) в Я+ x CH,

2) решение x — 0 асимптотически устойчиво относительно множества V~1(oo, 0) равномерно по {^[x(l) — G*(t, xt)] = F*(t, xt)}

Тогда тривиальное решение (П 1) равномерно устойчиво

В разделе 8 исследуется задача об устойчивости НФДУ по части переменных

Полученные результаты разделов 3-8 приложения диссертации развивают результаты работ В Б Колмановского, В Р. Носова г, Дж Хейла 2, АС Андреева 3 по исследованию устойчивости

хКолмановскнй Б Б , Носов В Р Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием - M Наука, 1981 - 448 с

2Хейл Дж Теория функционально-дифференциальных уравнений - M Мир, 1984 - 421 с

3 Андреев А С Устойчивость неавтономных функционально-дифферевдиалъвъхх уравнений -Ульяновск Ульяновский roc университет, 2005 - 328 с

функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа Они могут применяться, например, в исследовании задачи об устойчивости неустановившегося движения тела, обтекаемого жидкостью

Таким образом, в диссертации представлены новые методы исследования устойчивости функционально-дифференциальных уравнений в приложении к исследованию задач об устойчивости и стабилизации движений неавтономных механических систем

Заключение

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем

1 Выводятся новые методы исследования устойчивости, асимптотической устойчивости по всем и части переменных для неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с конечным и бесконечным запаздываниями, обосновывающие широкое применение знакопостоянных функционалов Ляпунова 11-11, 13-16,18,19, 23]

2 Выводятся новые методы решения задач о стабилизации, в том числе, оптимальной и с гарантированной оценкой качества, регулируемых систем, управляемых регуляторами с переменным и бесконечным запаздыванием В основе этих методов лежит применение функционалов Ляпунова, имеющих знакопостоянную производную [ 4-12, 17, 19-22]

3 Решаются задачи об устойчивости положения равновесия и стационарного движения эредитарной механической системы, задачи о стабилизации по всем и части переменных управляемой голономчой механической системы с учетом запаздывания в структуре управления, в том числе, задачи о стабилизации вращательного движения твердого тела [1, 3, 4, 5-7, 9, 24-26]

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1 Андреев А С , Павликов С В Об устойчивости по части переменных неавтономного функционально-дифференциального уравнения // ПММ - 1999 - Т 63 - Вып 1-С 3-12

2 Андреев А С , Павликов С В К методу функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Математические заметки - 2000 - Т 68 - Вып 3 - С 323-331

3 Андреев А С , Павликов С В Незнакоопределенные функционалы

Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием // МТТ - 2004 - Вып 34 - С 112-118

4 Павликов С В О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием // МТТ - 2005 - Вып 35 - С 212-216

5 Павликов С В О стабилизации движений управляемых механических систем с запаздывающим регулятором // Доклады Академии наук - 2007 - Т 412 - № 2 - С 1-3

6 Павликов С В Знакопостоянные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения // ПММ - 2007 - Т 71 - Вып 3 - С 377-388

7 Павликов С В О стабилизации по части переменных управляемой механической системы с запаздывающей обратной связью // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия - 2007 - № 2(52) - С 115-123

8 Павликов С В К задаче о стабилизации управляемых механических систем // Автоматика и телемеханика - 2007 - № 9 - С 16-27

9 Павликов С В Об устойчивости движений эредитарных систем с бесконечным запаздыванием // Доклады Академии наук - 2007 - Т 416 -№2 -С 1-3

10 Павликов С В Метод знакопостоянных функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Вестник ОГУ - 2007 - № 3 - С 158-162

11 Павликов С В Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости - Набережные Челны Изд-во Института управления, 2006. - 264 с

12 Павликов С В Об управляемости и стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Обозрение прикладной и промышленной математики - 2003 - Т 10 - № 1 - С 201

13 Андреев А С, Павликов С В Исследование устойчивости функционально-дифференциальных уравнений на основе знакопостоянных функционалов Ляпунова // Труды Средневолжского математического общества - 1999. - Т 2(1) - С 74-75

14 Павликов С В Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Ученые записки Ульяновского государственного университета

"Фундаментальные проблемы математики и механики" - Ульяновск-Изд-во УлГУ, 1996 - Вып 1 - С 46-56

15 Павликов С В Об устойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения второго порядка / / Ученые записки УлГУ "Фундаментальные проблемы математики и механики" - Ульяновск Изд-во УлГУ, 1996 - Вып 2 - С 32-33

16 Павликов С В Знакопостоянные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием // Ученые записки УлГУ "Фундаментальные проблемы математики и механики" - Ульяновск Изд-во УлГУ, 2002 -Вып. 2 (12) - С 30-39

17 Павликов С В О стабилизации управляемых механических систем с обратной связью с запаздыванием // Ученые записки УлГУ "Фундаментальные проблемы математики и механики" - Ульяновск Изд-во УлГУ, 2002 - Вып 2 (12) - С 40-48

18. Павликов С В Предельные уравнения и функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости по части переменных // Ученые залиски УлГУ "Фундаментальные проблемы математики и механики" - Ульяновск Изд-во УлГУ, 2003 - Вып 1 (13) - С 63-74

19 Павликов С В О стабилизации систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями второго порядка /'/ Социально-экономические и технические системы - 2006 - 1(17) -Режим доступа http //kampi ru/sets/

20 Павликов С В О стабилизации положения равновесия управляемых механических систем // Социально-экономические и технические системы - 2006 - 1(17) - Режим доступа http //kampi ru/sets/

21 Павликов С В К задаче об оптимальной стабилизации // Социально-экономические и технические системы - 2006 - 2(18) -Режим доступа http //kampi ru/sets/

22 Павликов С В К задаче о стабилизации с гарантированной оценкой качества // Социально-экономические и технические системы - 2006 - 2(18) - Режим доступа http //kampi ru/sets/

23 Павликов С В К задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с бесконечным запаздыванием // Ученые

записки УлГУ "Фундаментальные проблемы математики и механики" -Ульяновск Изд-во УлГУ, 2006 - Вып 1 (13) - С. 28-42

24 Павликов С В О стабилизации движений механических систем с запаздывающим управлением // Девятый Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике Аннотации докладов - Нижний Новгород Изд-во Нижегородского ун-та - 2006 - С 93

25 Павликов С В О стабилизации движений механических систем управлением с запаздыванием // Девятый Международный семинар им Е С Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" Тезисы докладов - М , - 2006 - С 198

26 Павликов С В О моделировании устойчивости механических систем с запаздывающим управлением // International Conference "Dynamical System Modeling and Stability Investigat Thesis of conference reports - Киев Изд-во Киевск ун-та, 2007 - С 225

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты № 96-01-01067, 02-0106162, 02-01-00877, 05-01-00765) и НШ-6667 2006 1

Павликов Сергей Владимирович

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Лицензия № 0273 от 24 августа 1999 г Подписано в печать 18 января 2008 г Формат 84x108 Уел печ листов 2 Тираж 100 экз Заказ № 203

Отпечатано в издательско-полиграфическом отделе Института управления 423826, Республика Татарстан, г Набережные Челны, Новый город, ул Ш Усманова,д 122

Тел (8552)54-93-90 E-mail adm@im tbit ru

0.1. Введение

0.2. Список основных сокращений и обозначений.

1. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием

1.1. Постановка задачи. Предельные уравнения.

1.2. Знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова в задачах о полной устойчивости.

1.3. Устойчивость по части переменных

1.4. Случай автономного, периодического и почти периодического по времени уравнения.

2. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с бесконечным запаздыванием

2.1. Фазовое пространство.

2.2. Теоремы существования и единственности. Предельные уравнения

2.3. Знакоопределенные функционалы Ляпунова.

2.4. Знакопостоянные функционалы Ляпунова.

2.5. Исследование устойчивости по части переменных.

2.6. Следствия для периодического уравнения

3. Методы исследования задач о стабилизации движений управляемых механических систем

3.1. Стабилизация движений управляемых механических систем с обратной связью с запаздыванием.

3.2. Оптимальная стабилизация движений.

3.3. Стабилизация с гарантированной оценкой качества.

4. Некоторые задачи об устойчивости и стабилизации движений механических систем

4.1. Исследование стабилизации положения равновесия управляемых механических систем. Конечное запаздывание

4.2. Исследование стабилизации положения равновесия управляемых механических систем. Бесконечное запаздывание.

4.3. Устойчивость движений эредитарных механических систем

4.4. О стабилизации положения относительного равновесия

4.5. О стабилизации программного движения.

4.6. Задача о стабилизации маятника в верхнем неустойчивом положении.

4.7. Задачи о стабилизации твердого тела.

4.8. Стабилизация по части переменных при допущении неограниченности неконтролируемых координат.

А. Исследование устойчивости функциональнодифференциальных уравнений нейтрального типа с конечным запаздыванием

А.1. Основные определения.

А.2. Принцип инвариантности для автономных уравнений

А.З. Построение предельных систем.

А.4. Локализация положительного предельного множества . 211 А.5. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости

А.6. Равномерная асимптотическая устойчивость.

А.7. Знакопостоянный по ядру функционал Ляпунова.

А.8. Исследование устойчивости НФДУ по части переменных

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Простейшая гипотеза, принимаемая при математическом описании физических явлений предполагает, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности, т. е. будущее состояние не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим. Однако в многочисленных задачах механики, техники, теории автоматического регулирования, экономики, биологии, экологии и т. д., для адекватного описания реальных процессов необходим учет запаздывания, "предыстории" процесса. В этих случаях, в качестве математических моделей, используются функционально-дифференциальные уравнения. Согласно [114], функционально-дифференциальные уравнения — это уравнения относительно неизвестной функции x(t) и ее производных, вычисленных в различные моменты времени t.

Впервые в достаточно общей форме такие уравнения были представлены и исследованы в трудах В. Вольтерра [21].

Одним из важнейших разделов качественной теории функционально-дифференциальных уравнений является теория устойчивости. Метод функционалов Ляпунова, предложенный H.H. Красовским [58], является в настоящее время одним из основных в исследовании устойчивости систем с запаздыванием.

Многие ученые внесли существенный вклад в развитие теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. H.H. Красовским [58] доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости для уравнения запаздывающего типа. Теорему о неустойчивости получил С.Н. Шиманов [121]. Устойчивость решений уравнения нейтрального типа исследовалась в работах [46, 47, 115, 146]. Частичная устойчивость функционально-дифференциального уравнения исследовалась в работах [24]—[26], [35, 143, 156]. Функционально-дифференциальные уравнения Вольтерра, введенные в [21, 22], исследовались далее в работах [107, 108, 110, 109]. Другие значительные результаты классического типа при исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений вторым методом Ляпунова были получены в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, Дж. Хейла,

Л. Хатвани и других ученых [38]—[40], [44]—[50], [75, 114], [137]—[139], [144]—[147], [155]-[158], [164].

Постановка новых задач об устойчивости и стабилизации движений различных систем и процессов (в том числе механических), отсутствие универсального способа построения функционалов Ляпунова, удовлетворяющих условиям тех или иных общих теорем об устойчивости, приводит к необходимости модификации и обобщения известных ранее таких теорем, в частности в направлении модификации и обобщения теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости путем ослабления знакоопределенности функционала Ляпунова и его производной. В работах [29, 43, 44, 52] было предложено использовать для исследования устойчивости уравнения запаздывающего типа знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова. Для автономных функционально-дифференциальных уравнений теорему Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости [19] с использованием функционала Ляпунова со знакопостоянной производной обобщил Дж. Хейл [146]. Исследование устойчивости неавтономных уравнений представляет собой большую трудность. Один из методов исследования опирается на идею построения предельной системы для заданного уравнения с последующим использованием качественных свойств решений предельной системы. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений эта задача решалась в работах [3]-[6], [130]—[134, 166], то для функционально-дифференциальных уравнений она исследовалась в [12]—[15, 69], [80]—[86, 117, 118, 119]. В работах [106, 143, 144, 145, 148, 156, 157, 161] с помощью метода предельных уравнений исследовались уравнения запаздывающего типа с бесконечным запаздыванием, для чего вводилось особое фазовое пространство начальных функций. В работах A.C. Андреева и Д.Х. Хусанова [14, 15] для функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа были получены методы исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости, предельного поведения решений неавтономной системы, основанные на использовании предельных уравнений и знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости из [14] есть обобщение теоремы Барбашина-Красовского для неавтономного функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа.

К исследованию устойчивости ФДУ сводятся задачи об устойчивости эредитарных механических систем, о стабилизации регулируемых систем, о стабилизации движений механических систем с учетом запаздывания в структуре обратной связи. Изучением этих задач, в том числе с использованием функционалов Ляпунова, занимались H.H. Красовский, Ю.С. Осипов, С.М. Белоцерковский, В.Б. Колмановский, И.М. Ананьевский, Дж. Хейл, B.C. Сергеев, A.A. Ким и другие ученые.

Теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы ФДУ с конечным запаздыванием, при условии существования знакоопределенного функционала со знакопостоянной производной, позволили решить ряд интересных задач об устойчивости и стабилизации движения механической системы с запаздыванием [7]. Эти результаты определили, по существу, новое направление в теории устойчивости ФДУ- Однако многие проблемы этого направления до настоящего времени оставались малоисследованными или неисследованными.

Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию новых методов исследования устойчивости и стабилизации механических систем.

Целью диссертации является:

1) разработка новых методов исследования устойчивости, притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости по всем и части переменных для неавтономного функционально-дифференциального уравнения на основе знакопостоянных, немонотонных и знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными;

2) применение получаемых методов к решению ряда конкретных и прикладных задач, к решению задач о стабилизации движений управляемых механических систем при помощи управлений с обратной запаздывающей связью.

Научная новизна.

Получены новые методы исследования устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с конечным и бесконечным запаздыванием на основе функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными. Разработаны новые методы решения общих и конкретных задач об устойчивости эредитарных механических систем, о стабилизации движений механических систем с запаздывающей обратной связью.

Теоретическая и практическая ценность.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы в изучении устойчивости ФДУ, для исследования устойчивости движений эредитарных механических систем, для построения структуры управления в задачах о стабилизации движений управляемых механических систем.

Первый круг вопросов, рассматриваемых в диссертации, связан с разработкой новых методов исследования устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием по всем и части переменным. Эти методы основаны на применении знакопостоянных, знакоопределенных и немонотонных функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными и используют метод предельных уравнений. Эти вопросы рассматриваются в первой главе диссертации.

Первая глава

В первом разделе первой главы приводятся основные определения, теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных данных. Излагаются предположения относительно правой части уравнения, позволяющие провести построение предельных систем.

Во втором разделе первой главы рассматривается задача об устойчивости при условии существования знакопостоянного и немонотонного функционала Ляпунова. Получены теоремы об устойчивости, асимптотической устойчивости, в том числе эквиасимптотической и равномерно асимптотической. Новизна теорем заключается в том, что были получены условия устойчивости и асимптотической устойчивости при существовании знакопостоянного функционала Ляпунова со знакопостоянной производной. Результаты второго раздела развивают и обобщают результаты работ [14, 15, 18, 19, 29, 43, 44, 52, 66, 67, 114, 116, 121, 146] и представлены в работах [13, 80, 84, 88, 89, 96].

В третьем разделе излагаются результаты об исследовании частичного притяжения решений, частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа посредством предельных уравнений и функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную.

Так как построение предельного уравнения проводится в компактно-открытой топологии, то в исследовании существенна ограниченность решений rio неконтролируемым координатам. Доказаны теоремы, относящиеся к исследованиям асимптотической устойчивости по части переменных, посредством предельных систем. Получены теоремы о притяжении решений, об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения по части переменных на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную, в предположении ограниченности решений по остальным переменным. На основе результатов из раздела 2 выведены критерии устойчивости по части переменных в предположении существования знакопостоянного функционала Ляпунова и ограниченности решений по неконтролируемым координатам. Также в третьем разделе получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости в предположении неограниченности решений по неконтролируемым координатам. Результаты третьего раздела развивают и обобщают результаты работ [24, 25, 26, 35, 78, 79, 105] и представлены в работах [10, 86, 89, 96].

В четвертом разделе формулируются следствия результатов второго и третьего разделов для случая автономного, периодического и почти периодического уравнений, которые представлены в работах [89, 96].

Второй круг вопросов связан с разработкой новых методов исследования устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с бесконечным и запаздыванием по всем и части переменным. Эти вопросы рассматриваются во второй главе диссертации.

Вторая глава

Во второй главе исследуется устойчивость функционально-дифференциального уравнения с бесконечным запаздыванием на основе метода предельных уравнений с использованием знакоопределенных и знакопостоянных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Для уравнений с неограниченным запаздыванием значительную роль в построении теории играет выбор подходящего фазового пространства. Фазовое пространство такого уравнения определяется в первом разделе на основе аксиоматического подхода, разработанного в [148]. Такой подход позволяет определить условия, при которых возможно построение предельных уравнений со свойствами, аналогичными полученным для обыкновенных [166] и функционально-дифференциальных уравнений, приведенных в первом разделе первой главы.

В разделе 2.2 приводятся теоремы существования, единственности и проводится построение предельных систем.

В третьем разделе на основе знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости.

В разделе 2.4 исследование устойчивости проводится на основе знакопостоянных функционалов Ляпунова.

В пятом разделе проводится исследование по части переменных.

В шестом разделе формулируются следствия результатов разделов 2.3— 2.5 для случая периодического уравнения.

Результаты второй главы развивают и обобщают результаты работ [12]— [15, 106, 143, 144, 145, 148, 156, 157, 161] и представлены в работах [89, 94, 95, 98].

Третий круг вопросов, исследованных в диссертации, связан с получением условий стабилизации, в том числе оптимальной и с гарантированной оценкой качества управления, систем с обратной запаздывающей связью. Эти вопросы рассматриваются в третьей главе диссертации.

Третья глава

В первом разделе третьей главы рассматривается задача о стабилизации систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями. Здесь получены теоремы о стабилизации, в том числе частичной, с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Предложено решение задачи стабилизации для систем, описываемых уравнениями запаздывающего типа с конечным и бесконечным запаздыванием. Здесь также рассматривается стабилизация систем, моделируемых функционально-дифференциальным уравнением второго порядка. Управление строится только на основе информации, полученной в предыдущие моменты времени и зависит от координаты и скорости, измеренных в предыдущие моменты. Получены результаты для автономного случая, а также для случая переменного запаздывания и случая зависимости от времени коэффициентов в управлении. Результаты этого раздела представлены в работах [90, 88].

Во втором разделе третьей главы рассматривается задача об оптимальной стабилизации. Здесь получены теоремы об оптимальной стабилизации, в том числе частичной, с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Предложено решение задачи об оптимальной стабилизации систем со стационарными связями. Здесь следует отметить, что структура функционала качества и выбор его коэффициентов не являются фиксированными и могут, вообще говоря, выбираться с определенным произволом, так как основная задача состоит не в минимизации конкретного функционала, а в построении стабилизирующего управления.

В третьем разделе третьей главы получены теоремы о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления с использованием функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. В теоремах об оптимальной стабилизации, доказанных во втором разделе этой главы диссертации, требуется, чтобы функционал B[t,Vo,Xt,u] принимал минимальное значение на управляющем воздействии •и°(£, х^. С практической точки зрения указанное условие является довольно ограничительным. В ряде случаев, удобным и эффективным представляется постановка задачи о стабилизации с гарантированной оценкой качества управления [8]. В указанной задаче ослаблено требование к функционалу качества I, а именно: не требуется его минимизация, необходимо лишь, чтобы он не превосходил некоторой оценки.

Результаты главы 3 развивают некоторые результаты работ [40, 63, 77] и представлены в работах [85, 87, 88, 89, 91, 92, 93].

Четвертая глава

В четвертой главе рассматриваются примеры о стабилизации управляемых механических систем.

В первом разделе исследуется стабилизация положения равновесия управляемых механических систем со стационарными, голономными идеальными связями. Управление строится на основе информации о предыдущих значениях фазовых координат. Движения рассматриваемой системы определяются уравнениями Лагранжа с? дТ дТ где ~ матрица-столбец размерности и х 1 обобщенных сил, действующих на систему.

Предложены различные типы регуляторов. Показывается, что можно стабилизировать систему до равномерной асимптотической устойчивости на основе управлений, которые зависят только от координат системы: о

Q„(i, qt) = -C(t)q(t) + J F(t, s)q(t + s)ds,

-h

Qy(t, qt) = -F0(t)q(t) + C0(t)q{t - h).

Рассматриваются также следующие управления:

Qy(t, qt, qt) = -C(t)q(t - h) - F(t)q(t): о

Qy(t, qt, a = -F(t)q{t) - C(i) J q(t +

-h 0

Qy(f, a = -F{t)q{t) - J C(t)q{t + s)ds,

-h

Qy(t, qt, &) = -Cg(t - h) - Dq(t - h).

Показаны условия, при которых указанные управления стабилизируют систему до равномерной асимптотической устойчивости. Полученные в разделе 3.2 результаты представлены в работе [95].

Во втором разделе рассматриваются регуляторы с неограниченным запаздыванием. Результаты раздела 3 представлены в работах [89, 98].

В третьем разделе исследуется устойчивость эредитарных механических систем. Результаты этого раздела представлены в работе [99].

В четвертом разделе решается задача о стабилизации неустойчивого положения относительного равновесия механической системы с голономными нестационарными связями. Решение задачи предлагается на основе регулятора, зависящего только от координат системы.

В пятом разделе предложено решение задачи о стабилизации программного движения голономной механической системы. Исходная система заменой сводится к новой таким образом, что изучение поведения решений исходной системы в окрестности заданного программного движения сводится к изучению поведения нулевого решения полученной системы в отклонениях.

В шестом разделе решается задача о стабилизации маятника в верхнем неустойчивом положении равновесия. Результаты этого раздела представлены в работах [13, 89, 96].

В седьмом разделе рассматриваются задачи о стабилизации движений твердого тела: о стабилизации вращательного движения твердого тела, о стабилизации одноосной ориентации твердого тела, о стабилизации трехосной ориентации твердого тела в инерциальной системе координат. Результаты этого раздела представлены в работах [10, 13, 89, 96].

В восьмом разделе решается задача о стабилизации голономной системы по части переменных при неограниченности неконтролируемых координат. Результаты этого раздела представлены в работе [97, 89].

Решение всех представленных задач достигается на основе знакопостоянных и знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной.

Результаты четвертой главы развивают и обобщают результаты работ [63, 77, 111].

Приложение

В приложении проводится развитие методов, полученных в первой главе, в задаче исследования устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа (НФДУ).

В первом разделе приложения приводятся теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных, несколько отличных от теорем, изложенных в [114]. Эти теоремы используются в последующих разделах главы и были доказаны в [83, 89].

Во втором разделе приводятся результаты исследования задачи о локализации положительного предельного множества автономного функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа на основе функционала Ляпунова, имеющего знакопостоянную производную.

В третьем разделе- проводится построение предельных систем и доказывается теорема о квазиинвариантности предельного множества.

В разделе 4 получена теорема о локализации положительного предельного множества.

В пятом разделе получены теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе функционала Ляпунова со знакопостоянной производной.

В разделе 6 исследуется равномерная асимптотическая устойчивость неавтономного уравнения нейтрального типа в предположении свойства равностепенной непрерывности положительного предельного множества.

В разделе 7 исследуется задача об устойчивости и асимптотической устойчивости НФДУ на основе знакопостоянного по ядру функционала

Ляпунова со знакопостоянной производной.

В разделе 8 исследуется задача об устойчивости НФДУ по части переменных.

В разделах 3—8 приложения проводится развитие метода предельных уравнений и предельных функционалов Ляпунова [3, 4, 5, 6, 14, 15, 69, 117, 119]. Результаты этих разделов развивают и обобщают результаты работ [46, 47, 115, 146] по исследованию устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа. Основные результаты главы представлены в работах [12, 82, 89].

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела"(Донецк, 1996 г., 2005 г.); Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем"(Киев, 1994 г., 1996 г.); 11-й Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Ульяновск, 1996 г.); Региональной конференции "Фундаментальные проблемы математики и механики" (г. Ульяновск, 1996 г.); семинаре по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ под рук. акад. РАН В.В. Румянцева, проф. А.В. Карапетяна и член-корр. РАН В.В. Белецкого (март 1997 г.); Пятой Международной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2003 г.); International Conference "Dynamical System Modeling and Stability Investigat"(KHeB, 2003 г., 2007 г.); Шестой и Седьмой Крымской Международной Математической Школы "Метод функций Ляпунова и его приложений"(Крым, Алушта, 2002 г., 2004 г.); IX международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления "(Москва, 2006 г.); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.); Всероссийском семинаре по аналитической механике и теории устойчивости в МГУ под рук. акад. РАН В.В. Румянцева, член-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. А.В. Карапетяна (14 марта 2007 г.); Всероссийском семинаре по нелинейной динамики в ВЦ РАН (15 марта 2007 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 26 работах, в том числе 1 монографии. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Выводятся новые методы исследования устойчивости, асимптотической устойчивости по всем и части переменных для неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с конечным и бесконечным запаздываниями, обосновывающие широкое применение знакопостоянных функционалов Ляпунова.

2. Выводятся новые методы решения задач о стабилизации, в том числе, оптимальной и с гарантированной оценкой качества, регулируемых систем, управляемых регуляторами с переменным и бесконечным запаздыванием. В основе этих методов лежит применение функционалов Ляпунова, имеющих знакопостоянную производную.

3. Решаются задачи о стабилизации по всем и части переменных правляемой голономной механической системы с учетом запаздывания в структуре управления, в том числе, задачи о стабилизации вращательного движения твердого тела.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллииа Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991.280 с.

2. Ананьевский И.М., Колмановский В.Б. О стабилизации некоторых регулируемых систем с последействием // АиТ. 1989. - № 9. - С. 34-42.

3. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. - Т. 48. - Вып. 2.

4. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // ПММ. 1984. - Т. 48. - Вып. 5. - С. 707-713.

5. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений // ПММ. 1987. - Т. 51. - Вып. 2. - С. 253-260.

6. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости // ПММ. 1991. - Т. 55. - Вып. 4. - С. 539-547.

7. Андреев A.C. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: Ульяновский гос. университет, 2005. - 328 е.

8. Андреев A.C., Безгласный С.П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // ПММ. 1997. -Т. 61. - Вып.1. - С. 44-51.

9. Андреев A.C., Бойкова Т.А. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости // МТТ.- 2002. Вып. 32. - С. 109-116.

10. Андреев A.C., Павликов C.B. Об устойчивости по части переменных неавтономного функционально-дифференциального уравнения // ПММ. 1999. - Т. 63. - Вып. 1. - С. 3 - 12.

11. И. Андреев A.C., Павликов C.B. Исследование устойчивости функционально-дифференциальных уравнений на основе знакопостоянных функционалов Ляпунова / / Труды Средневолжского математического общества. 1999. - Т. 2(1).- С. 74-75.

12. Андреев A.C., Павликов C.B. К методу функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Математические заметки. 2000. - Том 68. - Вып. 3.- С. 323-331.

13. Андреев A.C., Павликов C.B. Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием / / МТТ. 2004. - Вып. 34. - С. 112-118.

14. Андреев A.C., Хусанов Д.Х. К методу функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости и неустойчивости // Дифференц. уравнения.- 1998. 34. - № 7. - С. 876-885.

15. Андреев A.C., Хусанов Д.Х. Предельные уравнения в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. - 34. - № 4. - С. 435-440.

16. Андреева Е.А., Колмановский Е.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. - 336 с.

17. Астанов И.С., Белоцерковский С.М., Каганов Б.О., Кочетков Ю.А. О системах интегро-дифференциальных уравнений, описывающих неустановившееся движение тел в сплошной среде // Дифференц. уравнения. 1982. - 18. - № 9. - С. 1628-1637.

18. Билашевич И.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Стабилизация динамических систем при наличии запаздываний в канале обратной связи // Автоматика и телемеханика. 1996.- № 6 - С. 31-39.

19. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР, 1952,- Т. 86. № 3 - С. 453-546.

20. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. - 320 с.

21. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976. 288 с.

22. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. - 302 с.

23. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. - 335 с.

24. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991.

25. Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследования, результаты, особенности // Автоматика и телемеханика. 1993. - N 3. - С. 3-62.

26. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы, приложения М.: Научный мир, 2001 - 320 с.

27. Габриелян М.С. О стабилизации неустойчивых движений механических систем // ПММ. 1964. - Т. 28. - Вып. 3.

28. Габриелян М.С., Красовский H.H. К задаче о стабилизации механической системы // ПММ. 1964. - Т. 28. - Вып. 5.

29. Гайшун И.В., Княжище Л.Б. Немонотонные функционалы Ляпунова. Условия устойчивости уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1994. - 38. - № 3. - С. 5-8.

30. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ. 1957. 240 с.

31. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.

32. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.: Судостроение, 1966.

33. Илюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1979. - 431 с.

34. Каленова В.И., Морозов В.М., Салмина М.А. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации механических систем с циклическими координатами // ПММ. 1992. - Т. 56. - Вып. 6. — С. 959-967.

35. Калистратова Т.А. Об устойчивости по части переменных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика 1986. - N 5. - С. 32-37.

36. Каменский Г.А. Существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных условий решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Мат. сб. 1961. - Т. 55. - N 4. - С. 363-378.

37. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. - 168 с.

38. Ким A.B. Ко второму методу Ляпунова для систем с последствием // Дифференц. уравн. 1985. - Т. 21. - № 3. - С. 385-391.

39. Ким A.B. Об обратимости теорем метода функционалов Ляпунова для систем с последствием // Некоторые задачи управления и устойчивости. Свердловск, 1989 - С. 12-26.

40. Ким A.B. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последствием // Екатеринбург: Изд-во Уральского унив., 1992. 144 с.

41. Ким A.B. i-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: УрО РАН, 1996. 234 с.

42. Ким Е.Б. О моделировании нелинейной управляемой системы // Социально-экономические и технические системы. 2006. - № 3(19). http: // kampi.ru / sets /

43. Княжище Л.В., Щавель H.A. Немонотонные функционалы Ляпунова и оценки решений дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1997. - 33. - № 2. - С. 205-211.

44. Княжище Л.В., Щеглов В.А. О знакоопределенности функционала Ляпунова и устойчивости одного уравнения с запаздыванием. -Минск, 1994. 32 с.

45. Колмановский В.Б. Об одной задаче управления системами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1970. - N 10. - С. 47-53.

46. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // ПММ. 1979. -Т. 43. - Вып. 2. - С. 209-218.

47. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.- 448 с.

48. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Системы с последействием нейтрального типа // Автоматика и телемеханика. 1984. - N 1. - С. 5-35.

49. Колмановский В.Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием // Докл. РАН. 1993. - Т. 331.- N 4. С. 421-424.

50. Колмановский В.Б. Об устойчивости некоторых систем с последействием и переменными коэффициентами / / ПММ. -1995. Т. 59. - Вып. 1. - С. 71-81.

51. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. 543 с.

52. Косов A.A. К теории устойчивости неавтономных систем. JL: ВИНИТИ, 1995. - 11 с.

53. Комленко Ю.В., Тонков E.JL О мультипликаторах линейного периодического дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Сибирск. мат. ж. 1974. - Т. 15. - N 4. - С. 835-844.

54. Красильников П.С., Маркеев А.П. Об устойчивости резонансных решений вязко-упругого спутника // препринт No 479. M.: ИМП АН СССР. 1990. 33 с.

55. Красильников П.С. Об одной теореме Лагранжа-Имшенецкого // препринт No 548. M.: ИМП АН СССР. 1995. 14 с.

56. Красильников П.С. Об асимптотической устойчивости при резонансе 1:3 // ПММ. 1996. - Т. 60. - Вып. 1.

57. Красовский H.H. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздыванием по времени // ПММ. 1956. - Т. 20. - N 3. - С. 315-327.

58. Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием // ПММ. 1956. - Т. 20. - N 4. - С. 513-518.

59. Красовский H.H. Об одном свойстве гироскопической стабилизируемости управляемой консервативной механической системы. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1964. -№ 5.

60. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

61. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений. В кн.: Малкин И.Г. "Теория устойчивости движения", Дополнение 4. -М.: Наука, 1966. С. 475-515.

62. Красовский A.A., Буков В.Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными системами. — М.: Наука, 1977. 272 с.

63. Красовский H.H., Осипов Ю.С. О стабилизации движений управляемого объекта с запаздыванием / / Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1963. - N 6 - С. 3-15.

64. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов//АиТ. -1960. Т.21. - № 4-6.; 1961. - Т. 22. - № 4.; 1962. - Т.23. - № 11.

65. Лилов Л.К. О стабилизации стационарных движений механических систем по части переменных // ПММ. 1972. Т. 36. - Вып. 6. - С. 977-985.

66. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Л.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

67. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1966. - 530 с.

68. Мартынюк Д.И., Самойленко A.M. О периодических решениях нелинейных систем с запаздыванием // Математическая физика. -1967. Вып. 4. - С. 128-145.

69. Мартынюк A.A., Като Д., Шестаков A.A. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990. - С. 4656.

70. Матросов В.М. Об устойчивости движения // ПММ. 1962. - Т. 26.- Вып. 5. С. 885-895.

71. Матросов В.М. Об устойчивости движения // ПММ. 1962. - Т. 26.- Вып. 6. С. 992-1002.

72. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. 1987. - 304 с.

73. Мухаметзянов И.А. Построение систем асимптотически устойчивого в целом программного движения // Вестник Рос. унив-та дружбы народов. Сер. Прикл. мат. и инф. 1998. - № 1. - С. 16-21.

74. Мухаметзянов И.А. Построение систем с асимптотически устойчивыми программными связями // ПММ. 2001. - Т. 65.- Вып. 5. С. 822-830.

75. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

76. Норкин C.B. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. - 354 с.

77. Осипов Ю.С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1965. - Т. 1. - N 5. - С. 605-618.

78. Озиранер A.C., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // ПММ. -1974. Вып. 2.

79. Озиранер A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных // ПММ. 1973. - Т. 37. - Вып. 4. -С. 659-665.

80. Павликов C.B., Хусанов Д.Х. Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциального уравнения нейтрального типа // Ульяновск: филиал МГУ в г. Ульяновске, 1996. 42 с. Деп. в ВИНИТИ, N 881-В96.

81. Павликов C.B. Метод функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений / / Диссертация на соискание уч. степени к. ф.-м. н. Ульяновск. - 1997.- 134 с.

82. Павликов C.B. О стабилизации управляемых механических систем с обратной связью с запаздыванием // Ученые записки Ульяновского гос. университета. "Фундаментальные проблемы математики и механики".- Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2002. Вып. 2 (12). - С. 4048.

83. Павликов C.B. Предельные уравнения и функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости по части переменных // Ученые записки Ульяновского гос. ун. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2003. - Вып. 1 (13). - С. 63-74.

84. Павликов C.B. Об управляемости и стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Обозрение и промышленной математики.- 2003. Т. 10. - Вып. 1. - С. 201.

85. Павликов C.B. О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием // МТТ. 2005. - Вып. 35. - С. 212-216.

86. Павликов C.B. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости. Набережные Челны: Институт управления, 2006. — 264 с.

87. Павликов C.B. О стабилизации систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями второго порядка // Социально-экономические и технические системы. 2006. - № 1(17). http://kampi.ru/sets/.

88. Павликов C.B. О стабилизации положения равновесия управляемых механических систем // Социально-экономические и технические системы. 2006. - № 1(17). http://kampi.ru/sets/.

89. Павликов C.B. К задаче об оптимальной стабилизации // Социально-экономические и технические системы. 2006. - № 2(18). http://kampi.ru/sets/.

90. Павликов C.B. К задаче о стабилизации с гарантированной оценкой качества // Социально-экономические и технические системы. 2006. - № 2(18). http://kampi.ru/sets/.

91. Павликов C.B. О стабилизации движений управляемых механических систем с запаздывающим регулятором // Доклады Академии наук. -2007. Т. 412. - № 2. - С. 1-3.

92. Павликов C.B. Знакопостоянные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения // ПММ. 2007. - Том 71. - Вып. 3. - С. 377-388.

93. Павликов C.B. О стабилизации по части переменных управляемой механической системы с запаздывающей обратной связью // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. - № 2(52) - С. 115-123.

94. Павликов C.B. К задаче о стабилизации управляемых механических систем // Автоматика и телемеханика. 2007. - № 9. - С. 16-27.

95. Павликов C.B. Об устойчивости движений эредитарных систем с бесконечным запаздыванием // Доклады Академии наук. 2007. -Т. 416. - № 2. - С. 1-3.

96. Павликов C.B. Метод знакопостоянных функционалов Ляпунова в исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Вестник ОГУ. 2007. - № 3. - С. 158-162.

97. Разумихин B.C. Об устойчивости систем с запаздыванием // ПММ.- 1956. Т. 20. - Вып. 4. - С. 500-512.

98. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников.- М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1967. 276 с.

99. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ. 1970. - Т. 34. Вып. 3. - С. 440-456.

100. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифф. уравнения. 1983. - Т. 19. - N2 5. - С. 739-776.

101. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. - 253 с.

102. Седова Н.О. К методу Ляпунова-Разумихина для уравнений с бесконечным запаздыванием // Дифференциальные уравнения. -2002. Т. 38. - № 10. - С. 1338-1347.

103. Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости движений в некоторых классах с последствием // ПММ. 1993. - Т. 57. - Вып. 5.- С. 166-174.

104. Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости и оценке области притяжения в некоторых системах с последействием // ПММ. 1996.- Т. 60. Вып. 5. - С. 744-751.

105. Сергеев B.C. Об устойчивости равновесия крыла в нестационарном потоке // ПММ. 2007. - Т. 64. - Вып. 2. - С. 227-236.

106. Сергеев B.C. О кручении вязкоупругой пластины в нестационаркгом потоке // ПММ. 2007. - Т. 71. - Вып. 3. - С. 483-495.

107. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков A.B. Управление движением механических систем. JL: Изд-во ЛГУ, 1985.- 316 с.

108. Тереки Й., Хатвани Л. Функция Ляпунова типа механической энергии // ПММ. 1985. - Т. 49. - Выи. 6. - С. 894-899.

109. Фурта С.Д. Об асимптотических решениях систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в некоторых критических случаях // Математ. сборник. 1993. - Т. 184. - N 2. - С. 43-56.

110. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1984. 421 с.

111. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. - 207 с.

112. Шестаков A.A. О локализации предельных множеств неавтономной системы с помощью функций Ляпунова // Дифференц. уравнения. -1979. Т. 15. - № 10.

113. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990. - 320 с.

114. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных систем с последствием // Дифференц. уравнения. 1965. - Т. 1. - N 1. - С. 102-116.

115. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения систем с запаздыванием по времени // ПММ. 1960. - Т. 24. - Вып. 1. - С. 55-63.

116. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздываниями времени // ПММ. 1963. - Т. 27. - Вып. 3.

117. Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // Успехи матем. наук. 1954. - Т. 9. -№ 4. - С. 95-112.

118. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1964. - 127 с.

119. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. - 296 с.

120. Akinyele О. On partial stability of differential equations with time delay // Ann. Mat. Pure Appl. 1979a. IV. - Vol. 121. - P. 351-372.

121. Akinyele 0. Necessary conditions for the non-uniform partial stability for delay systems // Rend. Acc. Naz. del Lincei. CI. Sci. Fis. Mat. Natur.(8). 1979b. - Vol. 66. - № 3-4. - P. 509-515.

122. Akinyele 0. On the partial stability of the nonlinear abstract Chauchy problem // Riv. Mat. Univ. Parma.(IV). 1980. - V. 6 - P. 81-88.

123. Akinyele 0. On partial boundedness of differential equations with time delay // Riv. Mat. Univ. Parma.(IV). 1982. - V. 7. - P. 9-21.

124. Artstein A. Uniform asymptotic stability via the limiting equations //J. Differ. Equat. 1978. - V. 27. - P. 172-189.

125. Artstein Z. Topological dynamics of an ordinary equation //J. Differ. Equat. 1977. - V. 23. - N 2. - P. 216-223.

126. Artstein Z. On the limiting equations and invariance of time-dependent difference equations // Stability of dynamical systems (Theory and Applications) Proceedings of NSF Conference, Mississippi State University, 1978. P. 3-9.

127. Artstein Z. The limiting equations of ordinary differential equations //J. Differ. Equat. 1977. - V. 25. - N 2. - P. 184-202.

128. Artstein Z. Stability, observability and invariance// J. Differ. Equat. -1982. V. 44. - P. 224-248.

129. Aubin J. P., Cellina A., Nohel J. Monotone trajectories of multivalued dynamical system // Ann. Mat. Pure Appl. 1977. - Vol. 115 - P. 99117.

130. Aubin J. P., Clarce F. H. Monotone invariant solutions to differential inclusions //J. London Math. Soc. 1977. - V. 16. - P. 357-366.

131. Burton T.A. Stability theory for functional differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. - V. 255. - P. 263-275.

132. Burton T.A., Hatvani L. Stability teorems for nonautonomous functional differential equations by Liapunov functional // Tohoku Math. J. 1989.- V. 41 -N 1. -P. 65-104.

133. Burton T.A., Hatvani L. On nonuniform asymptotic stability for nonautonomous functional differential equations // Differential and Integral Equations. 1990. - N 3. - P. 285-293.

134. Cantarelli G. Criteria of a partial boundedness for the motion of holonomic scleronomic dissipative systems // Riv. Mat. Univ. Parma. (V). 1995.- V. 4. P. 69-78.

135. Cantarelli G. Global existence and boundedness for quasi-variational systems // Int. J. Math, and Math. Sci. 1999. - Vol. 22. - N 2. - P. 383-394.

136. Corduneanu C. On partial stability for delay systems // Ann. Polon. Math. 1975. - Vol. 29. - P. 357-362.

137. Corduneanu C., Lakshmikantham V. Equations with unbounded delay: a survey // Nonlinear Analysis: TMA. 1980. - Vol. 4. - N 5. - P. 831-877.

138. Haddock J., Terjeki J. On the location of positive limit sets for autonomous functional differential equations with infinite delay //J. Differential Equations. 1990. - V. 86. - P. 1-32.

139. Haddock J., Hornor W. // Funk. Ekv. 1988. - V. 31. - P. 349-361.

140. Hale J.K. Theory of functional-differential equations. New Jork: Springer, 1977. - 365 p.

141. Hale J.K., Cruz M.A. Existence, uniqueness and continuous dependce for hereditary sistems // Ann. math, pura ed appl. 1970. - Vol. 85. - P. 63-81.

142. Hale J.K,, Kato J. Phase space for retarded equations with infinite delay // Funk. Ekv. 1978. - V. 21. - P. 11-41.

143. Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to Functional Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 1993. - 447 p.

144. Hatvani L. A generalization of the Barbashin-Krasovskij theorems to the partial stability in non-autonomous systems // Colloquia Math. Soc. J. Bolyai, 30. Qualitative Theory of Differential Equations. Szeged. Hungary 1979. - P. 381-409.

145. Hatvani L. On partial asymptotic stability and instability. I. (Autonomous systems) // Acta Sci. Math. 1983a. - Vol. 45. - № 1-4. - P. 219-231.

146. Hatvani L. On partial asymptotic stability and instability. II. (The method of limiting equations) // Acta Sci. Math. 1983a. - Vol. 46. - № 1-4. -P. 143-156.

147. Hatvani L. On partial asymptotic stability and instability. III. (Energylike Ljapunov functions) // Acta Sci. Math. 1985a. - Vol. - 49. - № 1-4. - P. 157-167.

148. Hatvani L. On partial asymptotic stability by the method of limiting equation // Ann. Mat. Pura Appl. (IV). 1985b. - Vol. 139. - P. 65-82.

149. Hatvani L. On the asymptotic stability of the solutions of functional differential equations // Colloq. Math. Soc. J.Bolyai. Qualitative theory of differential equations. Szeged (Hungary). 1988. - P. 227-238.

150. Hino Y., Murakami S., Naito T. Functional Differential Equations with Infinite Delay. Berlin: Springer-Verlag, 1991. - 317 p.

151. Kato J. Stability problem in functional differential equations with infinite delay // Funk. Ekv. 1978. - V. 21. - P. 63-80.

152. Kato J. Uniform asymptotic stability and total stability // Tohoku Math. Journ. 1970. - V. 22. - P. 254-269.

153. Kato J. On Liapunov-Razumikhin type theorems for functional differential equations // Funkc. Evkac. 1973. - Vol. 16. - N 3. - P. 225-239.

154. Kato J. Liapunovs second method in functional differential equations // Tohoku Math. J. 1980. - Vol. 32. - N 4. - P. 487-497.

155. Kato J. and Yoshizawa T. Remarks on global properties in limiting equations // Funk. Ekv. 1981. - V. 24. - P. 363-371.

156. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. Boston: Acad. Press, 1993. - 398 p.

157. Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A.A. Stability Analysis of Nonlinear Systems. New York: Marcel Dekker, Inc., 1989. - 315 p.

158. Lakshmikantham V., Rama Mohana Rao M. Theory of Integro-Differential Equations. Lausanne: Gordon and Breach Sci. Publ., 1995. - 362 p.

159. Salvadori L. Famiglie ad un parametro di funzioni di Liapunov nello studia della stabilita // Symp. math. V.6 Meccanika non-lineare e stabilita, 2326 febbraio, 1970. L.- N.Y.: Acad. Press., 1971. - P. 310-330.

160. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1,2// Trans. Amer. Math. Soc. 1967. - V. 22. - P. 254-269.

161. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokio: The Math. Soc. of Japan, 1966. - 223 p.

162. Yoshizawa T. Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost-Periodic Solutions // Applied Math. Sciences. 1975. - Vol. 14. 233 h.