Поведение показателей Ляпунова линейных систем при малых возмущениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

§1. Формулировки основных результатов

§2. Используемые обозначения

Глава I. Бесконечно малые возмущения

§3. Определения и свойства

§4. Вспомогательные утверждения

§5. Подвижность старшего показателя.

§6. Подвижность младших показателей

§7. Основные утверждения

Глава II. Частичные пределы показателей Ляпунова

§8. Множество частичных пределов.

§9. Достижимость частичных пределов на гладких кривых в окрестности данного уравнения

Глава III. Уравнения, зависящие от параметра.

§10. Ступенчатая зависимость от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности

§11. Классы Бэра старшего показателя Ляпунова уравнения, линейно зависящего от параметра

Одним из главных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые были введены А. М. Ляпуновым [18] в связи с изучением устойчивости по первому приближению.

Каждая система, состоящая из п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка и называемая п-мерным уравнением, имеет п показателей Ляпунова [2, 13], занумерованных в порядке нестрогого возрастания. Если старший (п-й) показатель Ляпунова отрицателен, то нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво, если положителен, то нулевое решение неустойчиво. Аналогично, г-й показатель характеризует условную устойчивость относительно г-мерного подпространства.

В обширных библиографических обзорах Н. А. Изобова [14, 16] отражено интенсивное развитие теории линейных систем, которое привело к созданию ряда новых характеристик асимптотического поведения решений, связанных с показателями Ляпунова или с исследованием решений на устойчивость.

Из результатов работы О. Перрона [39] следует, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве п-мерных уравнений с равномерной на положительной полуоси нормой, имеет точки разрыва. Вследствие этого в теории характеристических показателей появилось направление, состоящее в исследовании устойчивости показателей Ляпунова при малых возмущениях коэффициентов уравнения.

Р. Э. Виноградом были введены верхний и нижний центральные показатели [4], ограничивающие соответственно сверху и снизу подвижность показателей Ляпунова при малых возмущениях. В. М. Миллионщиковым с помощью разработанного им метода поворотов [21, 22] было установлено [22], что эти границы подвижности являются точными. Для каждого г = 1,. , п нижняя и верхняя границы подвижности г-го показателя Ляпунова называются соответственно минимальным и максимальным г-ми показателями.

Минимальные и максимальные показатели отвечают за стабилизиру-емость и дестабилизируемость уравнения. Например, если минимальный старший показатель неположителен, то уравнение стабилизируемо равномерно малыми возмущениями, то есть в сколь угодно малой (в смысле равномерной топологии) окрестности этого уравнения существует уравнение с устойчивым нулевым решением. Если же минимальный старший показатель положителен, то уравнение не стабилизируемо такими возмущениями. С другой стороны, если максимальный старший показатель уравнения неотрицателен, то уравнение дестабилизируемо равномерно малыми возмущениями, а если отрицателен — не дестабилизируемо. Аналогичную роль, но по отношению к условной устойчивости, играют минимальные и максимальные показатели остальных показателей Ляпунова.

Из результатов работ Р. Э. Винограда [4] и В. М. Миллионщикова [22] следует, что минимальный младший показатель совпадает с нижним центральным, а максимальный старший — с верхним центральным показателями уравнения.

В работе И. Н. Сергеева [37] показано, что множеством частичных пределов младшего показателя Ляпунова является множество всех значений, заключенных между минимальным и максимальным младшими показателями.

В теории показателей Ляпунова наряду с равномерно малыми возмущениями рассматриваются еще и бесконечно малые возмущения, то есть убывающие к нулю при неограниченном увеличении времени. Известно [2, 30, 31], что все минимальные и максимальные (следовательно, и центральные) показатели не меняются при бесконечно малых возмущениях. С точки зрения показателей Ляпунова любое бесконечно малое возмущение можно считать сколь угодно малым, но сколь угодно малое возмущение нельзя считать бесконечно малым. И. Н. Сергеевым установлено [29, 31, 32, 38], что во множестве бесконечно малых возмущений достижимы все максимальные, а также первый и второй минимальные показатели.

Другим направлением в теории показателей Ляпунова, начало которому положил В. М. Миллионщиков, является использование классификации Бэра разрывных функций [3, 24]. В. М. Миллионщиков доказал [23], что показатели Ляпунова, рассматриваемые как функционалы на пространстве уравнений с равномерной топологией, принадлежат второму классу Бэра, а М. И. Рахимбердиев установил [27], что показатели Ляпунова не принадлежат первому классу Бэра. Таким образом, показатели Ляпунова принадлежат в точности второму классу Бэра, рассматриваемые как функционалы на всем пространстве уравнений.

Кроме того, из работы И. Н. Сергеева [33] следует, что два младших показателя не могут иметь локально в точности первый класс Бэра, то есть в любой окрестности каждой точки они либо принадлежат нулевому классу Бэра (то есть непрерывны), либо в точности второму. Однако, как функции параметра, от которого непрерывно зависят коэффициенты уравнения, показатели Ляпунова могут принадлежать любому (нулевому, первому или второму) классу Бэра, что установлено в работах [34, 27].

Зависимость от параметра различных функционалов является предметом исследований многих авторов. Например, Н. А. Изобовым и Е. К. Макаровым [15, 19, 20] изучалось свойство правильности уравнения. В этих статьях приведены семейства уравнений с линейной зависимостью от параметра, на которых характеристическая функция множества правильных уравнений (как функция параметра) принадлежит в точности первому классу Бэра и в точности второму классу Бэра.

И. Н. Сергеев построил семейства уравнений с одинаковой зависимостью от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности [34, 35]. В его докладе [34] приведено семейство уравнений со ступенчатой зависимостью от параметра всех показателей Ляпунова и характеристической функции множества правильных уравнений, а в работе [35] — семейство уравнений с разрывной во всех точках зависимостью от параметра тех же функционалов. Оба эти семейства являются непрерывными по параметру в смысле равномерной на полупрямой нормы. В статье [36] построены две подобные лучу кривые с общим началом. Вдоль одной кривой зависимости от параметра, порожденные любым из показателей Ляпунова и характеристической функцией множества правильных уравнений, носят ступенчатый характер, а вдоль другой кривой — разрывны в каждой точке.

Основные результаты диссертации.

В первой главе настоящей работы представлены результаты о поведении показателей Ляпунова под действием бесконечно малых возмущений.

Установлено, что каждый (¿-й) показатель Ляпунова подвижен вверх на любое наперед заданное число вплоть до максимального (¿-го) показателя. В доказательстве этого факта использован метод поворотов В. М. Милли-онщикова [21, 22] и идеи, заимствованные из работы [31].

Сдвиги вверх старшего и младших показателей основаны на разных соображениях. Увеличение старшего показателя достигается за счет поворотов некоторого решения на другое — быстрое решение. Увеличение младших показателей обеспечивается отсутствием интегральной разделенности между пространством ¿-го показателя и каким-то подпространством решений старших показателей. Сложность построения возмущенного уравнения заключается в том, что надо следить за ростом не одного решения, а целого ¿-мерного подпространства решений.

Другим результатом, изложенным в первой главе, является доказательство того, что два младших показателя под действием бесконечно малых возмущений могут принимать любые значения, заключенные между соответствующими минимальным и максимальным показателями. Из последнего утверждения следует, что множество значений, принимаемых двумя младшими показателями под действием сколь угодно малых возмущений, совпадает с множеством значений, принимаемых этими показателями под действием бесконечно малых возмущений. При доказательстве использовались результаты И. Н. Сергеева о достижимости во множестве бесконечно малых возмущений двух младших показателей [31, 38].

Во второй главе диссертационной работы представлены результаты исследования множества частичных пределов показателей Ляпунова.

В докладе И. Н. Сергеева [37] поставлены две задачи.

Первая. Верно ли, что для каждого г — 2,. , п в любой окрестности любого уравнения существует такое уравнение, у которого г-й показатель Ляпунова равен любому наперед заданному числу между минимальным и максимальным ¿-ми показателями исходного уравнения?

Вторая. Верно ли, что для каждого г = 1,. , п в любой окрестности любого уравнения существует такая непрерывная (гладкая) кривая, проходящая через данную точку, что г-й показатель Ляпунова, рассматриваемый как функция параметра кривой, монотонно пробегает все значения между минимальным и максимальным ¿-ми показателями исходного уравнения?

Отметим, что случай г = 1 для первой задачи разобран в упомянутой работе [37].

В диссертационной работе получен утвердительный ответ на первую задачу в случаях г = 2 и г = п, получен частичный ответ на первую задачу для остальных г и частично решена вторая задача для старшего (г = п) и двух младших (г = 1, 2) показателей (требование монотонности обеспечить не удалось).

В третьей главе данной работы строятся семейства уравнений с различными зависимостями от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности.

Доказано существование бесконечно-дифференцируемого по параметру (в смысле равномерной на положительной полуоси нормы) семейства уравнений со ступенчатой зависимостью от параметра всех показателей Ляпунова и характеристической функции множества правильных уравнений. Для каждых двух уравнений построенного семейства одно получается бесконечно малым возмущением другого.

Построено уравнение, в любой окрестности которого существуют три семейства уравнений, линейно зависящие от параметра и имеющие общую начальную точку: на одном семействе старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функция параметра семейства, является непрерывным, на другом — принадлежит в точности первому классу Бэра, на третьем семействе показатель разрывен в каждой точке и, следовательно, принадлежит в точности второму классу Бэра. Эти семейства объединяют все возможные зависимости от параметра показателя Ляпунова в смысле классификации Бэра.

Автор глубоко признателен доктору физико-математических наук Игорю Николаевичу Сергееву за научное руководство, ценные замечания и постоянное внимание к работе.

1. Былое Б.Ф. Приведение к блочно-треугольному виду и необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейных систем дифференциальных уравнений / / Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 2. С. 243 — 252.

2. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: "Наука". 1966.

3. Бэр Р. Теория разрывных функций // М.-Л.: ГТТИ. 1932.

4. Виноград Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Математический сборник. 1957. 42. С. 207 — 222.

5. Гришин С.А., Розов Н.Х. Метод поворотов решений в задаче стабилизации неустойчивых положений равновесия линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1975, № 12. С. 18 — 26.

6. Дементьев Ю.И. О классах Бэра показателей Ляпунова систем, линейно зависящих от параметра // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 11. С. 1579.

7. Дементьев Ю.И. Пример гладкого семейства линейных систем со скачком свойства правильности и всех показателей Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № И. С. 1580.

8. Дементьев Ю.И. О классах Бэра старшего показателя Ляпунова систем, линейно зависящих от параметра // Научный вестник МГТУ ГА. Серия Математика. 1999. № 16. С. 5 — 10.

9. Дементьев Ю.И. О значениях младшего показателя Ляпунова вдоль кривых в окрестности данной системы // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 6. С. 848.

10. Дементьев Ю.И. Пример ступенчатой зависимости от параметра показателей Ляпунова на бесконечно-дифференцируемом семействе кривых // Научный вестник МГТУ ГА. Серия Физика и математика. 2001. № 42. С. 25 — 30.

11. Дементьев Ю.И. Подвижность показателей Ляпунова под действием бесконечно малых возмущений // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 11. С. 1575.

12. Дементьев Ю.И. Частичные пределы показателей Ляпунова и их достижимость на кривых в окрестности данной системы / / Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 11. С. 1577.

13. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: Издательство Московского университета. 1998.

14. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71 — 146.

15. Изобов H.A., Макаров Е.К. О неправильных по Ляпунову линейных системах с параметром при производной // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 11. С. 1870 — 1880.

16. Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29, № 12. С. 2034 — 2055.

17. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: "Наука". 1981.

18. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения // Ч.: "Меркурий-Пресс" . 2000.

19. Макаров Е.К. О множествах неправильности линейных систем с параметром при производной // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 12. С. 2091 — 2098.

20. Макаров Е.К. О линейных системах с множествами неправильности полной меры // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 2. С. 209 — 212.

21. Миллионщиков В.М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Математические заметки. 1968. Т. 4, № 2. С. 173 — 180.

22. Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10, № 1. С. 99 — 104.

23. Миллионщиков В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 8. С. 1408 — 1416.

24. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной // СПб.: "Лань". 1999.

25. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // М.: "Наука". 1982.

26. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия // М.: "Наука". 1979.

27. Рахимбердиев М.И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Математические заметки. 1982. Т. 31, № 6. С. 925 — 931.

28. Рахимбердиев М.И. О центральных показателях линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 2. С. 253 — 259.

29. Сергеев И.Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 3. С. 438 — 448.

30. Сергеев И.Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 9. С. 1719.

31. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Выпуск 9. С. 111 — 166.

32. Сергеев И.Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1986. Выпуск 11. С. 32 — 73.

33. Сергеев И.Н. О локальных классах Бэра остаточных функционалов // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 11. С. 1574.

34. Сергеев И.Н. Пример ступенчатой зависимости от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности систем // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 6. С. 854 — 855.

35. Сергеев И.Н. Пример одновременной всюду разрывной зависимости от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности системы // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34, № 11. С. 1573.

36. Сергеев И.Н. О различной параметрической зависимости показателей вдоль кривых с общим началом // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 6. С. 854 — 855.

37. Сергеев И.Н. Частичные пределы показателей Ляпунова линейной системы и вопросы их достижимости // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 6. С. 858.

38. Сергеев И.Н. О достижимости минимальных показателей в классе бесконечно малых возмущений // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2000. № 3. С. 61 — 63.

39. Perron О. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen // Mathematische Zeitschrift. 1930. Bd. 32, Hft. 5. S. 703 — 728.