Об устойчивости показателей Ляпунова трехмерного дифференциального уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

_РГБ ОД

Механико-математический факультет ^ ^ НОЯ /¡'ПО

На правах рукописи УДК 517.926.4

СЕРГЕЕВ Игорь Николаевич

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА ТРЕХМЕРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный консультант

доктор физико-математических наук профессор В. М. Миллионщиков.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

Защита диссертации состоится 15 декабря 2000г. в 16ч Обмин на заседании диссертационного совета по математике №1 (Д.053.05.04) при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 15 ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

профессор Е. А. Гребеников,

доктор физико-математических наук профессор Е. П. Долженко,

доктор физико-математических наук профессор Е.Л.Тонков.

Ведущая организация

Институт математики НАН Беларуси.

Д.053.05.04 при МГУ профессор

Т. П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из основных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые были введены А.М.Ляпуновым1' в связи с изучением устойчивости по первому приближению. Бурное развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда новых характеристик асимптотического поведения решений, так или иначе связанных с показателями Ляпунова или с исследованием решений на устойчивость. Библиография в обзорах Н. А. Изобова2''3' по теории показателей Ляпунова насчитывает несколько сотен наименований.

Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос об их зависимости от правых частей системы. О. Перроном впервые был приведен пример4', показывающий, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве линейных однородных систем с топологией равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, имеет точки разрыва. Таким образом, была открыта содержательная ветвь этой теории, состоящая в изучении устойчивости самих показателен Ляпунова относительно малых возмущений системы.

Напомним5''6', что каждая линейная однородная система, состоящая из п линейных дифференциальных уравнений первого порядка и называемая ниже п-.иерным уравнением, характеризуется набором из п показателей Ляпунова, расположенных в порядке нестрогого возрастания. Отрицательность старшего из них означает экспоненциальную устойчивость нулевого решения, а положительность — соответственно, неустойчивость. Аналогично, А--Й показатель отвечает за условную устойчивость относительно

1) Ляпунов Л. AI. Общая задача об устойчивости движения // М.-Л.: Гостехиэдат. 1950.

2) Изобоъ Н. Л. Линейны^ системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71 — 146.

3) Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, Л*«12. С. 2034 — 2055.

4) Perron О. Die Ordnungzahlen der Differentialgleichungen // Math. Z. 1930. Bd. 32. S. 703 — 728

5) Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий B.B. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: «Наука». 1966.

6) Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: «Наука». 1967.

^-мерного подпространства.

Для исследования непрерывности какого-либо показателя как функционала на пространстве линейных уравнений с равномерной топологией рассмотрим максимальную полунепрерывную снизу миноранту и минимальную полунепрерывную сверху мажоранту этого показателя, связанные с полунепрерывностью показателя снизу и сверху в отдельности и именуемые ниже просто минорантой и мажорантой соответственно (эти функционалы называются также минимальным7' и максимальным8' показателями).

Практический смысл минорант и мажорант показателей основан наследующем соображении. Если миноранта старшего показателя Ляпунова для данного уравнения принимает неположительное значение, то уравнение стабилизируемо равномерно малыми возмущениями, т.е. в сколь угодно малой, в смысле равномерной топологии, окрестности этого уравнения существует уравнение с устойчивым нулевым решением. Если же значение миноранты для данного уравнения положительно, то уравнение не стабилизируемо в указанном смысле. С другой стороны, если мажоранта старшего показателя Ляпунова принимает неотрицательное значение, то уравнение дестабилизируемо равномерно малыми возмущениями, а если отрицательное — то не дестабилизируемо. Аналогичную роль, но по отношению к условной устойчивости, играют миноранты и мажоранты остальных показателей Ляпунова.

Р. Э. Виноградом9' была дана оценка сверху мажоранты старшего показателя и оценка снизу минораты младшего показателя с помощью введенных им верхнего и нижнего центральных показателей. В. М. Миллионщиков10', используя свой метод поворотов, доказал неулучшаемость этих оценок, или, что то же, достижимость центральных показателей старшим и младшим показателями Ляпунова под действием равномерно малых возмущений. С помощью того же метода он получил11' (см. также работы

7) Изобоо И. А. Минимальный показатель двумерной диагональной системы // Дифферент уравнения. 1976. Т. 12, №1. С. 1954 — 1966.

8) Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №3. С. 438 — 448.

9) Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1957. Т. 42. С. 207 — 222.

10) Миллионщиков В.М. Доказательство достижимости центральных показателей // Сибирск. матем. журнал. 1969. Т. 10, К«1. С. 99 — 104.

11) Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравне-

Б.Ф.Былова, А.Н.Изобова12''13') критерий устойчивости сразу всех показателей Ляпунова и доказал14', что в пространстве всех уравнений всюду плотны точки непрерывности и даже грубой непрерывности всех показателей Ляпунова — точки, соответствующие уравнениям с так называемой экспоненциальной (интегральной) разделенностъю1^'ь\

Н. А. Изобовым в случае двумерного уравнения16' была выведена формула, выражающая миноранту старшего показателя Ляпунова через оператор Коши исходного уравнения, а в случае уравнения произвольной размерности1'' была найдена оценка этого показателя снизу. Эти результаты были получены отчасти благодаря введенной Н. А. Изобовым минимальной функции, призванной ограничивать снизу наибольший рост решений возмущенных уравнений.

Формулы для вычисления мажорант показателей Ляпунова, причем сразу для любого из показателей и для уравнения произвольной размерности, были получены в работе8'. Вычисление мажорант оказалось сравнительно более простой задачей, связанной с разбиеннем пространства решений исходного уравнения в прямую сумму экспоненциально отделенных друг от друга подпространств и с нахождением в этих подпространствах уже известных к тому времени центральных показателей.

Для вывода указанных формул в той же работе активно применялись бесконечно малые возмущения, и была доказана достижимость мажорант всех показателен Ляпунова и миноранты младшего показателя в классе бесконечно малых возмущений. Заметим, что такие возмущения использовались еще О.Перроном в его примере4' точки разрыва старшего показате-

ний // Дифферент, уравнения. 1969. Т. 5, -Ч«10. С. 1775 — 1784.

12) Былое Б. Ф., Изобов Н. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, -Va 10. С 1785 — 1793.

13) Было в Б.Ф , Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, jY»10 С 1794 — 1803.

14) Миллионщиков В. Л/. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969 Т. 5, .N'¡7 С 1167 — 1170.

15) Perron О. Uber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhängige Variable reel ist // J reine und angew. Math. 1931. Bd. 142. S. 254 — 270.

16) Изобов H.A. Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №5. С. 848 — 858.

17) Изобов H.A. Оценка снизу для минимального показателя линейной системы //Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, К'9. С. 1576 — 1588.

ля. Особый интерес впоследствии вызывали возмущения, экспоненциально убывающие на бесконечности18'.

В докладе В. М. Миллиошцикова19' на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества была поставлена задача об описании точек непрерывности данного (любого) показателя Ляпунова в терминах оператора Коши исходного уравнения. К этой задаче тесно примыкают работы М. И. Рахимбердиева20''21' и О.Г.Илларионовой22', в которых получены критерии непрерывности особых и центральных показателей соответственно.

В начале 80-х годов В. М. Миллионщиков открыл новое направление в качественной теории дифференциальных уравнений, предложив для описания зависимости различных характеристик асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений использовать классификацию Бэра разрывных функций23'. В частности, он установил24', что показатели Ляпунова как функционалы на пространстве уравнений с компактно-открытой топологией, т.е. топологией равномерной сходимости коэффициентов на любом компакте положительной полуоси, принадлежат второму классу Бэра. Это означает, что каждый из них представим в виде двойного поточечного предела по счетному множеству от непрерывных функций. Далее20', тому же классу (в той же топологии) принадлежат и мажоранты всех показателей, в то время как миноранта младшего показателя Ляпунова принадлежит третьему классу Бэра, т. е. она представима в виде тройного поточечного предела от непрерывных функций.

18) Иэобов И. А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР. 1982. Т. 26, N»1. С. 5 — 8.

19) Миллионщиков В.М. Некоторые задачи теории линейных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1985. Т.40, вып. 5. С. 241 — 242.

20) Рахимбердиев М. И. Об устойчивости особых показателей линейных систем и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией. I // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №4. С. 659 — 670.

21) Рахимбердиев М. И. Об устойчивости особых показателей линейных систем и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией. II // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №10. С. 1797 — 1807.

22) Илларионова О. Г. Об устойчивости центральных показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №9. С. 1492 — 1503.

23) Вэр Р. Теория разрывных функций // М.-Л.: ГТТИ. 1932.

24) Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №8. С. 1408— 1416.

25) Миллионщиков В. М. О мажорантах показателей Ляпунова линейных систем // Дифференц. уравнения 1992. Т. 28, Л'«6. С. 1090.

М.И.Рахимбердиевым было установлено26', что показатели Ляпунова не принадлежат первому классу Бэра на пространстве уравнений с равномерной, а тем более с компактно-открытой топологией. В дальнейшем это направление, как в части доказательства принадлежности, так и в части доказательства непринадлежности конкретных показателей тому или иному классу Бэра, развивалось в работах многих авторов27* 35К

В докладе В. М. Милдионщикова36' на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университете была поставлена задача о минимальном классе Бэра, которому принадлежат миноранты показателей Ляпунова в компактно-открытой топологии (в равномерной топологии они, будучи полунепрерывными функциями, принадлежат первому классу Бэра). Более точно, задача ставилась в связи с изучением показателей как функций параметра, от которого непрерывно зависят коэффициенты уравнения.

А.Н.Ветохин выделил31' простое свойство показателя, при отсутствии которого он не принадлежит первому классу Бэра. Он получил также необходимое условие принадлежности функционала второму классу Бэра и с его помощью доказал32', что миноранты всех показателей Ляпунова не принадлежат второму классу Бэра ни в одной из двух рассмотренных топологий.

26) Рахчмбердиев М. И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Матем. заметки. 1982. Т. 31, .У«6, с. 925 — 931.

27) Морозов О. Я. О бэровском классе показателей Ляпунова неоднородных линейных систем // Вестник Моск. ун-та- Сер 1. Математика. Механика. 1991, Х«6. С. 22 — 30.

28) Агафонов В. Г. К бэровской классификации показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения 1991. Т. 27, N«8. С. 1466.

29) Феклин В. Г. Классификация нижних вспомогательных показателей по Бэру // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, .У«11. С. 2009.

30) Ширяев К. В. О классе Бэра некоторых показателей линейных систем в компактно-открытой топологии // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, -N"=5. С. 905.

31) В&тохии А. И. О классах Бэра остаточных функционалов // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, С. 909 — 910.

32) Ветохин А.Н- О классе Бэра минимальных показателей // Дифференц. уравнения. 1995 Т 31, Х'12. С. 2090.

33) Быков В. В. Некоторые свойства минорант показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1996 Т. 51, вып. 5. С. 186.

34) Быков В. В. О связи классов Бэра остаточных функционалов в равномерной и компактно-открытой топологиях //Дифференц. уравнения. 1997. Т.33, С.855.

35) Салов Е. Е. О бэровском классе минорант промежуточных показателей Ляпунова // Дифференц уравнения. 1999. Т.35,>11. С. 1573.

36) Миллионщиков В. М- Задачи о минорантах показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения 1993 Т. 29, №11. С. 2014 — 2015.

Цель работы. Центральное место в настоящей диссертации занимает вопрос о нахождении формул для вычисления максимальных полунепрерывных снизу минорант показателей Ляпунова.

Подчеркнем, что речь идет о получении выражений, использующих информацию только об исходном уравнении и не требующих никаких сведений о близких возмущенных уравнениях.

При этом внимание автора сосредоточено прежде всего на случае трехмерного уравнения, поскольку он уже весьма содержателен, а с повышением размерности аккуратные формулировки и доказательства соответствующих утверждений резко усложняются.

В развитие результатов о формулах для минорант и об их достижимости при возмущениях специального вида в работе изучаются вопросы о классах Бэра показателей Ляпунова и их минорант.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие основные результаты автора:

1) получена формула, выражающая максимальную полунепрерывную снизу миноранту старшего показателя трехмерного уравнения через оператор Коши этого уравнения;

'2) получена формула, выражающая максимальную полунепрерывную снизу миноранту среднего показателя трехмерного уравнения через оператор Коши этого уравнения;

3) доказана достижимость максимальной полунепрерывной снизу миноранты среднего показателя трехмерного уравнения в классе бесконечно малых (на бесконечности) возмущений;

4) доказана принадлежность максимальных полунепрерывных снизу минорант старшего и среднего показателей трехмерного уравнения третьему классу Бэра в компактно-открытой топологии на полупрямой;

5) доказана локальная непринадлежность младшего и среднего показателей Ляпунова трехмерного уравнения в точности первому классу Бэра в равномерной топологии на полупрямой.

Таким образом, предлагаемое исследование представляет собой существенное продвижение в решении задач В. М. Миллионщикова19^36', а в случае трехмерного уравнения — окончательное решение обеих задач.

Методы исследования. При доказательстве утверждений в диссертации широко использовались методы теории линейных систем дифференциальных уравнений, линейной алгебры и теории операторов, комбинаторики и алгебры подстановок, математического анализа и бэровской теории разрывных функций. В качестве специальных методов отметим лишь следующие два:

— несколько усовершенствованный автором диссертации метод поворотов В. М. Миллионщикова10''11';

— метод оценки роста решений с помощью функций типа центральных функций Р. Э. Винограда9' и минимальной функции Н. А. Изобова'определяемых через сингулярные числа операторов Коши исходного уравнения.

Приложения. Исследование носит теоретический характер. Его результаты и методы могут быть полезны специалистам, занимающимся качественной теорией дифференциальных уравнений, в частности, теорией показателей Ляпунова и ее приложениями к вопросам устойчивости.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители проф. В. А. Кондратьев, проф. В. М. Миллионщиков, проф. Н. X. Розов), на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций (под руководством проф. Е. П. Долженко) и на совместных заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах автора, список которых приведен в конце автореферата (ссылки на них даются ниже в квадратных скобках). В числе этих работ содержатся:

• серия из четырех статей [13, 16, 17, 19] в журнале «Дифференциальные уравнения»;

• серия из двух статей [12, 20] в журнале «Вестник Московского университета»;

• статья [18] в журнале «Труды Института математики НАН Беларуси»;

• ряд аннотаций докладов в журналах «Успехи математических наук» и «Дифференциальные уравнения».

Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения и шести глав (разбитых в общей сложности на 22 параграфа), а также списка цитированной литературы. Общий объем работы составляет 252 страницы, библиография содержит 65 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рассмотрим множество Mз линейных трехмерных уравнений, т.е. уравнений вида

х - A(t)x, xeR", п = 3,

с ограниченными кусочно-непрерывными по i g R+ = [0; оо) оператор-функциями

Л: R+ —> EndR3, (1)

которые считаем точками множества Мз и вообще отождествляем с соответствующими уравнениями. Множество Л4з наделим структурой линейного пространства с естественными для функций (1) операциями сложения и умножения на действительные числа.

Пространство .Мз превратим в линейное топологическое (даже нормированное) пространство, обозначаемое через Л43, введя в нем равномерную на полупрямой R+ норму

1ИН= sup |Л(*)|, teR+

где

|Л(<)| = sup\A(t)x\, M=i

N = УХ1 +Х1 + ХЬ Х - (ll.Ï2>l3)-

Через М.| обозначим линейное топологическое (метризуемое) пространство, получаемое введением в Л4з компактно-открытой топологии, которая задается счетным набором полунорм

||Л||*= sup 1л(г)|, ке N. te[fc-i,A]

Определение

1D.24).

Обозначив J3 = {1,2,3}, поставим в соответствие каждому уравнению A £ Мз его показатели (Ляпунова), задаваемые

формулами

Л,(Л) = inf Ш ilnLY|£(i,0)|, i£j3,

LeGi t-юо t 1 ''

где .Y|i (i, s) (l,s£ R+) — сужение оператора Коти X(t, s) уравнения А на подпространство L С R3, а через Qx обозначено множество всех г-мерных подпространств пространства R3. Таким образом, г-й показатель (Ляпунова) А, можно рассматривать как функционал, определенный либо на линейном пространстве Мз, либо на линейном топологическом пространстве Л^з или Показатель A3 назовем старшим, Ai —- младшим, а А2 — средним.

Определение 27'34'. Для каждого i € J3 назовем минимальным i-м показателем уравнения .4 6 Мз значение в точке А максимальной полунепрерывной снизу миноранты i-го показателя, рассматриваемого как функционал на пространстве М3, т.е. число, задаваемое формулой

А,-(Л) = lim Аг(В).

В-+Д

Понятие экспоненциальной отделенности подпространства решений от своего алгебраического дополнения возникло в работах О. Перрона15' и с тех пор широко используется (в частности, в монографии5'). В развитие этого понятия дадим следующее

Определение 3. Для оператора X 6 Aut R3 и вектора а 6 R3 положим

Г1п|Ха|-1п|а|, аф О, 1, —со, а = 0.

Назовем (логарифмическими) сингулярными числами оператора X величины

¿¿(Л") = inf шах l(a, X), i £ J3,

и для любого s > 0 обозначим

0)(Х,е) = {а е R3 | Ца,Х) sC ¿¡{X) +г}.

Пусть заданы уравнение .4 € Мз и числа е, Т > 0, к £ N. Тогда при каждом i £ З3 определим начальные и конечные множества

W\(e, /с) = Щ (x{(k + 1 )Т, kT), sT), 9

и, соответственно,

Vi(e,k) = UA-i{x(kT,{k- 1)Т), ет). Для любых множеств V, W С R3 введем обозначения

inf inf ¿(а, b), = sup inf ¿{a,b),

где ¿(a, b) — угол между ненулевыми векторами a, b £ R3. Скажем, что в к-й момент имеет место:

a) старшая отделенность, если

¿(V3{e,k),W3(e,k)) >е3,

b) младшая отделенность, если

¿(V2{e,k),W\{e,k))> е*,

c) слабая отделенность, если

¿(V3{£,k),W1(e,k)) >£,

d) условная отделенность, если для любых двумерных подпространств L С и M С W2{iie,k) выполнено неравенство

4(L,Af) > е.

При этом допускается сочетание сразу нескольких из перечисленных видов отделенности в к-к момент.

Первые три главы диссертации посвящены выводу формулы для вычисления минимального старшего показателя трехмерного уравнения. Формулировке этого, основного, результата предшествует определение так называемой минимальной допустимой функции, которая строится подобно минимальной функции Н. А. Изобова16': числовая ось разбивается на отрезки равной длины, и изучаются возможные варианты «склейки» решений при переходе с одного отрезка на другой в зависимости от взаимного расположения решений с разным ростом в точках разбиения.

Определение 4. Пусть заданы уравнение А £ М3 и числа е,Т > 0. Обозначив через Sz множество всех перестановок а — (с(1)> ст(2), с(3)) набора Jz, для каждого к £ N определим множество Se (к) С ¿>з допустимых перестановок а с помощью следующих ограничений (действующих независимо), а именно, если в к-й момент имеет место:

a) старшая отделенность, то <т(3) = 3,

b) младшая отделенность, то cr(l) = 1,

c) слабая отделенность, то сг(3) ф 1,

d) условная отделенность, то сг(1) ф 3.

Если же ни один из перечисленных видов отделенности не имеет места, то допустима любая перестановка а £ <S3. Для данных натуральных чисел mi ;> т-2 ^ гпз последовательно при j — 1, '2, 3 определим три серии индексов ij : N —> J3 следующим образом:

1) если > шо, то возьмем ¿i(mi) = ¿1(7713) = 2, а если т\ = то, то возьмем u(mi) = 3, а затем положим

min <7(21(1- -1)), k = mi + 1,77Ц + 2,..., ces<3){i--1)

h(k) = < min er-1 (^(Ar + 1)), к - mi - 1,. .., m2 + 1 (при mi > mi),

7712 — 1, mj — 2,..., 1,

далее, ооозначив

s^(k) = {ae S™(k) | а(п(к)) = h(k + 1)}, ke N,

положим

i2{k) =

' max{i e Jz | i Ф ¿i(^)}> к = m3,

(i2(A;-l)), к = m3 + 1, тз + 2,...,

1)

min <7 1 (io(k + 1)), к = m3 - 1, m3 — 2,..., 1,

причем серию ¿2 и все дальнейшие построения считаем определенными только в случае ¿2(7711) < 3,

3) наконец, серия ¿3 оставшихся индексов сама собой определится из неравенств

«з (к)ФЬ(к), = 1,2.

Если дополнительно заданы натуральные числа к\ ^ ^ £з> то определим минимальную допустимую функцию

, з к,

= {к1+к2 + кз)т - 1)Г)).

Теорема I. Для любого уравнения А £ Л4з справедливо равенство А3М) = Ит 1т Ит Ф(,Ч АЬ

Доказательство этой теоремы в тексте работы разбито на три логически связанных друг с другом части, которые и составляют первые три главы диссертации.

В первой части получена оценка минимального старшего показателя снизу через минимальную допустимую функцию.

Вторая часть посвящена оценке этого же показателя сверху, правда, через другую функцию, названную в работе максимальной возможной функцией (отдаленно напоминающей верхнюю центральную функцию Р. Э. Винограда9'). При доказательстве этой оценки активно применяется метод поворотов В. М. Миллионщикова10', на основе которого разрабатывается аппарат, позволяющий с помощью равномерно малых возмущений коэффициентов уравнения строить фундаментальную систему решений, рост которых близок к заданным сингулярным числам операторов Кошн на отрезках разбиения.

Наконец, в третьей части доказывается совпадение полученных в первых двух частях оценок и, тем самым, равенство друг другу обоих выражений, оценивающих с двух сторон минимальный старший показатель. В результате этого совпадения появляются сразу несколько формул для минимального старшего показателя, из которых наиболее проста по описанию формула, порожденная оценкой снизу из первой части доказательства.

В четвертой главе диссертации найдена формула для вычисления минимального среднего показателя трехмерного уравнения. Автором получен и более общий результат [12] (не включенный в диссертацию), позволяющий в случае уравнения произвольной размерности вычислять минимальный показатель с номером г" = 2 (при расположении показателей Ляпунова в порядке нестрогого возрастания). Соответствующая этому показателю

минимальная допустимая функция определяется также во многом сходно с аналогичной функцией16', введенной для случая двумерного уравнения.

Определение 5. Пусть заданы уравнение А € Мз и числа е,Т > 0. Для данного к £ N скажем, что в к-й .момент имеет место: самая младшая отделенность, если начальные и конечные множества удовлетворяют условию

¿(V2{e,k),W1{s,k)) > г.

Обозначим через множество всех перестановок а = (ст(1), <г(2)) набора J2 = {1,2} и определим множество S;'\k) С S2 допустимых перестановок er с помощью единственного ограничения: если в к-й момент имеет место самая младшая отделенность, то <т(1) = 1. Для данного числа т Е N последовательно при j = 1,2 определим две серии индексов ij\ N —» J2 следующим образом:

'2, к = т,

min cr{ii[k — 1)), к = т + 1, m + 2,..., h{k) = *esl.2){k-1)

min <r_1 (ii{k + 1)), к = m — 1, m — 2,..., 1;

. <7 6 Si'Hk)

,i-2(k) = 3 — ¿1 (Л.-).

Если дополнительно заданы натуральные числа к 1 ^ к2, то определим минимальную допустимую функцию

1 2

Ф£1.Т(*1Д-2) = пГТТТг - 1 )Т)).

[kl + k2)l meN

Теорема II. Для любого уравнения А Е Мз справедливо равенство

Ао(Л) = lim Ilm lim Ф(2) (к,.,к-,).

—V ' МО T-tco ■ '

Для доказательства этой формулы в случае п = 3 потребовались существенные дополнительные усилия по сравнению со случаем п = 2 уже по тон причине, что в пространстве решений трехмерного уравнения оказалось невозможно, вообще говоря, выделить двумерное подпространство, отвечающее за минимальный средний показатель.

Кроме того, в четвертой же главе диссертации доказана достижимость минимального среднего показателя в классе бесконечно малых возмущений (этот результат также обобщен на случай уравнения произвольной размерности [20]), а именно, доказано, что для любого трехмерного уравнения существует такое возмущение, стремящееся к нулю при t -4 оо, что средний показатель Ляпунова возмущенного уравнения совпадает с минимальным средним показателем исходного уравнения.

Определение 6. Для всякого уравнения А е М3 обозначим через В{А) множество уравнений В 6 Мз, удовлетворяющих равенству

lim |В(<)= 0, (2)

а любое возмущение В — А уравнения А, удовлетворяющее равенству (2). назовем бесконечно малым.

Теорема III. Для любого уравнения А £ Мз справедливы равенства

inf Ап(В) = min Л,(С) = А,(Л). вев(а) сев(л) —

Можно заметить, что формулы для минимальных показателей трехмерного уравнения, полученные в теоремах I и II, внешне мало отличаются от формулы для минимального старшего показателя двумерного уравнения, найденной ранее Н. А. Изобовым16': все они содержат одинаковое количество предельных переходов от минимальной функции, значения которой полностью определяются решениями исходного уравнения на конечных участках временной полуоси.

Однако анализ этих результатов показывает, что сложность построения минимальной функции (при увеличении размерности фазовой переменной на единицу) резко возрастает. Так, если в случае п = 2 при исследовании возможных переходов от предыдущего отрезка временной шкалы к следующему рассматривается лишь один вид отделенности, запрещающий один из двух возможных вариантов «склейки» двух решений, то в случае п = 3 таких видов отделенности насчитывается целых четыре, и каждых из них накладывает свои собственные ограничения на множество из шести возможных вариантов «склейки» трех решений.

Указанный скачок сложности связан с объективно более сложной комбинаторной природой самого вычисляемого минимального показателя. В

подтверждение этого тезиса в пятой главе диссертации приводятся содержательные примеры [22] вычисления минимальных показателей, которые показывают, что все виды отделенности, перечисленные в определении 3, являются существенными, т.е. действительно могут оказывать свое независимое влияние на значение минимального показателя.

Говоря о примерах вычисления минимального показателя, стоит упомянуть, что для их реализации понадобилось усовершенствовать формулу для этого показателя в двух направлениях:

— приспособить ее к случаю диагонального уравнения [15, 18] (в указанном частном случае формула выглядит проще, и это обстоятельство уже использовалось ранее в работе7');

— распространить эту формулу на неравномерную шкалу времени [21] (интерес к неравномерным шкалам заметно возрос благодаря работе18').

В шестой главе диссертации, в качестве приложений результатов, полученных в предыдущих главах, доказаны два утверждения о классах Бэра показателей Ляпунова и их минорант.

Во-первых, исходя из полученных формул для минимальных показателей, сделан вывод о принадлежности минорант старшего и среднего показателей третьему классу Бэра, если рассматривать их как функционалы на пространстве трехмерных уравнений, наделенном компактно-открытой топологией.

Определение 723'. Пусть М — топологическое пространство. Для каждого числа п € No = N U {0} определим (индуктивно) класс функций }\М —> R, называемый п-м классом Бэра, следующим образом:

1) нулевой (п = 0) класс Бэра состоит из непрерывных функционалов,

2) для любого n S N 71-й класс Бэра состоит из функционалов /, допускающих представление вида

f[A) - lim fk{A), А еМ,

к-+оо

где каждый из функционалов Д. (к 6 N) принадлежит (п — 1)-му классу Бэра.

Теорема IV. Каждый из показателей Аз и Ат, рассматриваемый как функционал на пространстве Mcz, принадлежит третьему классу Бэра.

Во-вторых, из достижимости минимального среднего показателя в классе бесконечно малых возмущений и доказанной автором ранее8' достижимости в этом классе минимального младшего показателя, а также всех максимальных показателей делается вывод о том, что и младший, и средний показатель как функционал на пространстве трехмерных уравнений, наделенном равномерной топологией, ни в какой окрестности какой-либо точки не может иметь в точности первый класс Бэра, т. е. если его сужение на некоторую окрестность принадлежит первому классу, то оно просто непрерывно.

Определение 8. Пусть Л4 — топологическое пространство. Скажем, что функция /: М —* К локально по отношению к точке А 6 М. принадлежит:

1) п-му классу Бэра (п £ N0), если существует такая окрестность Ы[А) этой точки, что сужение функции / на топологическое пространство и (А) (с индуцированной топологией) принадлежит п-му классу Бэра,

2) в точности п-му классу Бэра (п 6 К), если функция / локально по отношению к точке А принадлежит п-му классу Бэра, но не принадлежит (п - 1)-му.

Теорема V. Каждый из показателей А1 и Аг, рассматриваемый как функционал на пространстве локально по отношению к любой точке А £ Л^з либо принадлежит нулевому классу Бэра, либо не принадлежит и первому.

Заметим, тем не менее, что показатели Ляпунова, рассматриваемые как функции параметра, от которого непрерывно зависят коэффициенты уравнения, могут быть и в точности второго класса Бэра (что следует из примера М. И. Рахимбердиева26'), и в точности первого [10], не говоря уже о нулевом.

* * *

В заключение автор выражает свою глубокую признательность профессору В. М. Миллионщикову за постановку задач и полезное обсуждение работы, а также В.В.Быкову и П.А.Бородину за помощь в наборе текста диссертации.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Сергеев И. Н. Минимальный показатель трехмерной линейной системы // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №6. С. 1096 — 1097.

[2] Сергеев И. II. Критерий полунепрерывности снизу одного из показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №11. С. 2016 — 2017.

[3] Сергеев И. Н. Критерий полунепрерывности снизу показателей Ляпунова трехмерных линейных систем // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49, вып. 4. С. 142.

[4] Сергеев И. Н. Вопросы подвижности показателей Ляпунова при бесконечно малых возмущениях // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, №6. С. 1095.

[5] Сергеев И. II. Класс Бэра минимальных показателей трехмерных линейных систем // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50, вып. 4. С. 109.

[6] Сергеев II. Н. К задаче о классе Бэра минорант показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №9. С. 1600 — 1601.

[7] Сергеев И. II. Бэровские классы формул для показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. Т.31, №12. С.2092 — 2093.

[8] Сергеев II. II. Уточнение определения минимальной функции трехмерной линейной системы // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №6. С. 858.

[9] Сергеев И. Н. О локальных классах Бэра показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1996. Т.32, №11. С. 1577.

[10] Сергеев И. Н. Пример ступенчатой зависимости от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности системы // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №6. С. 854 — 855.

[11] Сергеев И. Н. Доказательство формулы для минимального показателя трехмерной линейной системы // Деп. в ВИНИТИ РАН 31.07.98 №2452-В98. 163 С.

[12] Сергеев И. Н. Формула для миноранты одного из показателей Ляпунова // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1999, №4. С. 22 — 29.

[13] Сергеев И. Н. Оценка снизу для минимального показателя трехмерной системы // Диффереиц. уравнения. 1999. Т.35, №10. С. 1387 — 1397.

[14] Сергеев И. Н. О классе Бэра миноранты одного из промежуточных показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №11. С. 1572.

[15] Сергеев И. Н. Формула для минимального показателя диагональной трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №11. С. 1576.

[16] Сергеев И.Н. Метод поворотов и сингулярные числа трехмерных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №12. С. 1630 — 1639.

[17] Сергеев И. Н. Оценка сверху для минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №1. С. 114 — 123.

[18] Сергеев И. Н. Минимальный показатель диагональной трехмерной системы // Тр. Ин-та матем. HAH Беларуси. 2000. Т. 4. С. 140 — 145.

[19] Сергеев И. Н. Формула для вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №3. С. 345 — 354.

[20] Сергеев И. Н. О достижимости минимальных показателей в классе бесконечно малых возмущений // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2000, №3. С. 61 — 63.

[21] Сергеев И. Н. Формула для минимального показателя в неравномерной шкале времени // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6. С. 853.

[22] Сергеев И. Н. Примеры вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6. С. 856 — 857.

Введение

1. Формулировки основных результатов.

2. Список обозначений.

I. Оценка миноранты старшего показателя снизу

3. Допустимые перестановки.

4. Подпространства решений.

5. Допустимые функции.

6. Оценки роста решений.

II. Оценка миноранты старшего показателя сверху

7. Повороты и базисы.

8. Реализация перестановок.

9. Закрепление конечных подпространств.

10. Переключения.

11. Возможные функции.

12. Реализация возможных функций.

III. Доказательство совпадения полученных оценок

13. Мажоранта возможных функций.

14. Формулы для миноранты старшего показателя.

IV. Миноранта среднего показателя

15. Оценка миноранты снизу.

16. Оценка миноранты сверху.

17. Совпадение оценок миноранты.

18. Достижимость миноранты в классе бесконечно малых возмущений

V. Примеры вычисления минорант

19. Диагональные неравномерные функции.

20. Примеры.

VI. О классах Бэра показателей Ляпунова и их минорант

21. Класс Бэра минорант.

22. О локальных классах Бэра показателей Ляпунова.

Одним из основных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые были введены А. М. Ляпуновым [24] в связи с изучением устойчивости по первому приближению. Бурное развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда новых характеристик асимптотического поведения решений, так или иначе связанных с показателями Ляпунова или с исследованием решений на устойчивость. Библиография в обзорах Н. А. Изобова [16, 21] по теории показателей Ляпунова насчитывает несколько сотен наименований.

Важным вопросом теории показателей Ляпунова является вопрос об их зависимости от правых частей системы. О. Перроном впервые был приведен пример [64], показывающий, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве линейных однородных систем с топологией равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, имеет точки разрыва. Таким образом, была открыта содержательная ветвь этой теории, состоящая в изучении устойчивости самих показателей Ляпунова относительно малых возмущений системы.

Напомним [5, 14], что каждая система, состоящая из п линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка и называемая ниже п-мерным уравнением, характеризуется набором из п показателей Ляпунова, расположенных в порядке нестрогого возрастания. Отрицательность старшего из них означает экспоненциальную устойчивость нулевого решения, а положительность — соответственно, неустойчивость. Аналогично, к-й показатель отвечает за условную устойчивость относительно /¿-мерного подпространства.

Для исследования непрерывности какого-либо показателя как функционала на пространстве линейных уравнений с равномерной топологией рассмотрим максимальную полунепрерывную снизу миноранту и минимальную полунепрерывную сверху мажоранту этого показателя, связанные с полунепрерывностью показателя снизу и сверху в отдельности и именуемые ниже просто минорантой и мажорантой соответственно (эти функционалы называются также минимальным [17] и максимальным [39] показателями).

Практический смысл минорант и мажорант показателей основан наследующем соображении. Если миноранта старшего показателя Ляпунова для данного уравнения принимает неположительное значение, то уравнение стабилизируемо равномерно малыми возмущениями, т. е. в сколь угодно малой, в смысле равномерной топологии, окрестности этого уравнения существует уравнение с устойчивым нулевым решением. Если же значение миноранты для данного уравнения положительно, то уравнение не стабилизируемо в указанном смысле. С другой стороны, если мажоранта старшего показателя Ляпунова принимает неотрицательное значение, то уравнение дестабилизируемо равномерно малыми возмущениями, а если отрицательное — то не дестабилизируемо. Аналогичную роль, но по отношению к условной устойчивости, играют миноранты и мажоранты остальных показателей Ляпунова.

Р. Э. Виноградом [13] была дана оценка сверху мажоранты старшего показателя и оценка снизу минораты младшего показателя с помощью введенных им верхнего и нижнего центральных показателей. В. М. Миллионщиков [28], используя свой метод поворотов, доказал неулучшаемость этих оценок, или, что то же, достижимость центральных показателей старшим и младшим показателями Ляпунова под действием равномерно малых возмущений. С помощью того же метода он получил [27] (см. также работы Б. Ф. Былова, А.Н.Изобова [6, 7]) критерий устойчивости сразу всех показателей Ляпунова и доказал [26], что в пространстве всех уравнений всюду плотны точки непрерывности и даже грубой непрерывности всех показателей Ляпунова — точки, соответствующие уравнениям с так называемой экспоненциальной (интегральной) разделенно стью [65, 5].

Н. А. Изобовым в случае двумерного уравнения была выведена формула [17, 18], выражающая миноранту старшего показателя Ляпунова через оператор Коши исходного уравнения, а в случае уравнения произвольной размерности была найдена оценка этого показателя снизу [19]. Эти результаты были получены отчасти благодаря введенной Н. А. Изобовым минимальной функции, призванной ограничивать снизу наибольший рост решений возмущенных уравнений.

Формулы для вычисления мажорант показателей Ляпунова, причем сразу для любого из показателей и для уравнения произвольной размерности, были получены в работе [37]. Вычисление мажорант оказалось сравнительно более простой задачей, связанной с разбиением пространства решений исходного уравнения в прямую сумму экспоненциально отделенных друг от друга подпространств и с нахождением в этих подпространствах уже известных к тому времени центральных показателей.

Кроме того, для вывода указанных формул в той же работе активно применялись бесконечно малые возмущения, и была доказана достижимость мажорант всех показателей Ляпунова и миноранты младшего показателя в классе бесконечно малых возмущений. Заметим, что такие возмущения использовались еще О. Перроном в его примере [64] точки разрыва старшего показателя.

В докладе В. М. Миллионщикова [30] была поставлена задача об описании точек непрерывности данного (любого) показателя Ляпунова в терминах оператора Коши исходного уравнения.

В докладах [40, 41, 47] были сообщены формулы, выражающие через оператор Коши исходного уравнения миноранту старшего показателя Ляпунова трехмерного уравнения и миноранту второго по счету показателя Ляпунова уравнения произвольной размерности. Эти результаты, доказательства которых опубликованы в работах [52, 55, 56, 58, 51], и составляют основу настоящей диссертации.

К указанным исследованиям тесно примыкают работы М. И. Рахим-бердиева [33, 34] и О. Г. Илларионовой [22], в которых получены формулы для минорант особых и центральных показателей соответственно.

В. М. Миллионщиков открыл новое направление в качественной теории дифференциальных уравнений, предложив для описания зависимости различных характеристик асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений использовать классификацию Бэра, разрывных функций [8]. В частности, он установил [29], что показатели Ляпунова как функционалы на пространстве уравнений с компактно-открытой топологией, т. е. топологией равномерной сходимости коэффициентов на любом компакте положительной полуоси, принадлежат второму классу Бэра. Это означает, что каждый из них представим в виде двойного поточечного предела по счетному множеству от непрерывных функций (без ограничения общности можно считать [46, 4], что для вычисления значений этих функций достаточно иметь информацию об уравнении лишь на некотором конечном участке временной полуоси, своем для каждой функции). Далее [31], тому же классу (в той же топологии) принадлежат и мажоранты всех показателей, в то время как миноранта младшего показателя Ляпунова принадлежит третьему классу Бэра, т. е. она пред-ставима в виде тройного поточечного предела от непрерывных функций.

М. И. Рахимбердиевым было установлено [35], что показатели Ляпунова не принадлежат первому классу Бэра на пространстве уравнений с равномерной, а тем более с компактно-открытой топологией. В дальнейшем это направление, как в части доказательства принадлежности, так и в части доказательства непринадлежности конкретных показателей тому или иному классу Бэра, развивалось в работах многих авторов, например, [1, 25, 62, 63].

В докладе В. М. Миллионщикова [32] была поставлена задача о минимальном классе Бэра, которому принадлежат миноранты показателей Ляпунова в компактно-открытой топологии (в равномерной топологии они, будучи полунепрерывными функциями, принадлежат первому классу Бэра). Более точно, задача ставилась в связи с изучением показателей как фзшкций параметра, от которого непрерывно зависят коэффициенты уравнения.

А. Н. Ветохин выделил [9] простое свойство показателя, при отсутствии которого он не принадлежит первому классу Бэра. Он получил также необходимое условие принадлежности функционала второму классу Бэра и с его помощью доказал [10, 12], что миноранты всех показателей Ляпунова не принадлежат второму классу Бэра ни в одной из двух рассмотренных топологий.

Из вида формул [42] для минорант в случае трехмерного уравнения был сделан вывод [44] об их принадлежности третьему классу Бэра в компактно-открытой топологии. Этот вывод впоследствии, с помощью других соображений, был перенесен В. В. Быковым [3] на миноранту пока только старшего показателя уравнения произвольной размерности (см. уточнение [36]).

Наконец, было обнаружено [48] одно свойство локального поведения показателей Ляпунова (доказанное, правда, лишь для некоторых из них), а именно: они не могут иметь локально в точности первый класс Бэра, т. е. в окрестности любой точки каждый из них либо непрерывен, либо не имеет и первого класса Бэра (а сразу второй). С другой стороны, как функции от параметра показатели Ляпунова могут быть и в точности второго класса Бэра (что следует из примера М. И. Рахимбердиева [35]), и в точности первого [49], не говоря уже нулевом.

Теперь подробнее остановимся на основных результатах, включенных в настоящую диссертацию.

Центральное место в предлагаемом исследовании занимает вопрос о нахождении формул для вычисления максимальных полунепрерывных снизу минорант показателей Ляпунова. Подчеркнем, что речь идет о получении выражений, использующих информацию только об исходном, невозмущенном, уравнении и не требующих никаких сведений о близких возмущенных уравнениях.

Автору удалось, во-первых, найти формулу указанного типа для миноранты старшего показателя трехмерного уравнения. Доказательство этой формулы занимает первые три главы диссертации и состоит, соответственно, из трех логически связанных друг с другом частей.

В первой части получена оценка миноранты снизу, использующая так называемую минимальную допустимую функцию. Для ее описания числовая ось разбивается на отрезки равной длины, и изучаются возможные варианты склейки решений при переходе с одного отрезка на другой в зависимости от поведения решений на отрезках разбиения и от взаимного расположения решений с разным ростом в точках разбиения.

Вторая часть посвящена оценке миноранты сверху, правда, через другую функцию, названн}чо в работе минимальной возможной функцией. При доказательстве этой оценки активно применяется метод поворотов В. М. Миллионщикова [28] и разрабатывается аппарат, позволяющий с помощью равномерно малых возмущений коэффициентов уравнения строить фундаментальную систему решений, рост которых близок к заданным сингулярным числам операторов Коши на отрезках разбиения.

Наконец, в третьей части доказывается совпадение полученных в первых двух частях оценок и, тем самым, равенство соответствующих выражений значению оцениваемой миноранты. В результате этого совпадения появляются сразу несколько формул для миноранты старшего показателя, из которых наиболее проста по описанию формула, порожденная оценкой снизу из первой части доказательства.

Как оказалось, структура формулы, выражающей миноранту через минимальную функцию, практически не отличается от структуры найденной ранее Н. А. Изобовым [18] формулы для миноранты старшего показателя двумерного уравнения: обе они содержат одинаковое количество предельных переходов от минимальной (допустимой) функции, значения которой полностью определяются решениями исходного уравнения на конечных участках временной полуоси.

Однако сложность построения минимальной функции (при увеличении размерности фазовой переменной на единицу) резко возрастает. Так, если ранее при исследовании возможных переходов от предыдущего отрезка временной шкалы к следующему требовалось рассмотреть лишь один вид отделенности (запрещающий один из двух возможных вариантов склейки двух решений), то теперь таких видов отделенности насчитывается целых четыре, не считая их комбинаций друг с другом (и каждых из них накладывает свои собственные ограничения на множество из шести возможных вариантов склейки трех решений).

Указанный скачок сложности связан со значительно более сложной комбинаторной природой самой вычисляемой миноранты. В подтверждение этого в пятой главе диссертации приводятся примеры [61] вычисления миноранты, которые показывают, что все отмеченные выше виды отделенности, участвующие в описании переходов при построении минимальной фз'нкции, являются существенными, т. е. действительно могут оказывать свое независимое влияние на численное значение миноранты.

Говоря о примерах вычисления миноранты, стоит упомянз^ть, что для их реализации понадобилось усовершенствовать формулу для миноранты в двух направлениях: приспособить ее к случаю диагонального уравнения [54, 57] (в указанном частном случае формула выглядит проще, и это обстоятельство использовалось ранее в работе [17]) и распространить эту формулу на неравномерную шкалу времени [60] (интерес к неравномерным шкалам, восходящий к работам [15, 20], не иссякает и поныне [2]).

Во-вторых, в четвертой главе диссертации найдена формула для вычисления миноранты среднего показателя трехмерного уравнения. При этом минимальная допустимая функция определяется во многом сходно с аналогичной функцией Н. А. Изобова [18] для миноранты старшего показателя двумерного уравнения, а доказательство формулы усложняется в связи с тем, что в трехмерном пространстве решений нельзя, вообще говоря, выделить двумерное подпространство, отвечающее за миноранту среднего показателя. Автором получен [51] и более общий результат (не включенный в диссертацию), позволяющий в случае уравнения произвольной размерности вычислять миноранту второго из показателей Ляпунова, расположенных в порядке нестрогого возрастания.

Более того, в четвертой главе доказана достижимость миноранты среднего показателя в классе бесконечно малых возмущений (некоторое обобщение этого результата см. в [43, 59]), а именно, доказано, что для любого трехмерного уравнения существует такое возмущение, стремящееся к нулю на бесконечности, что средний показатель Ляпунова возмущенного уравнения численно совпадает со значением миноранты этого показателя, соответствующим исходному уравнению.

Таким образом, предлагаемое исследование представляет собой определенное продвижение в решении поставленной В. М. Миллионщиковым задачи [30], а в случае трехмерного уравнения решает ее полностью [42].

В качестве приложений полученных результатов о минорантах можно рассматривать утверждения о классах Бэра показателей Ляпунова и их минорант, доказанные в шестой главе диссертации.

Исходя из полученных формул, сделан вывод о принадлежности минорант старшего и среднего показателей третьему классу Бэра, если рассматривать их как функционалы на пространстве трехмерных уравнений, наделенном компактно-открытой топологией. Тем самым, задача [32] о классах Бэра минорант показателей в случае трехмерного уравнения решена полностью [44, 45].

Другой результат использует достижимость миноранты среднего показателя в классе бесконечно малых возмущений и доказанную ранее [39] достижимость в этом классе миноранты младшего показателя, а также мажорант всех показателей Ляпунова. Он состоит в том, что и младший, и средний показатель как функционал на пространстве трехмерных уравнений, наделенном равномерной топологией, ни в какой окрестности какой-либо точки не может иметь в точности первый класс Бэра, т. е. если его сужение на некоторую окрестность принадлежит первому классу, то оно просто непрерывно. Доказательство опирается на идею из работы [11] об инвариантности так называемых остаточных функционалов первого класса Бэра относительно бесконечно малых возмущений, высказанную ранее для остаточных полунепрерывных функционалов [38].

Автор глубоко признателен профессору В. М. Миллионщикову за постановки задач и полезное обсуждение работы.

1. Агафонов В. Г. К бэровской классификации показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, №8. С. 1466.

2. Барабанов Е. А. О вычислении показателей линейных дифференциальных систем по временным геометрическим прогрессиям // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №11. С. 1592 — 1600.

3. Быков В. В. Некоторые свойства минорант показателей Ляпунова // Успехи матем. наук. 1996. Т. 51, вып. 5. С. 186.

4. Быков В. В. О связи классов Бэра функционалов и формул // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №6. С. 852.

5. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости // М.: «Наука». 1966.

6. Былое Б.Ф., Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №10. С. 1785 — 1793.

7. Былое Б.Ф., Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №10. С. 1794 — 1803.

8. Бэр Р. Теория разрывных функций // М.-Л.: ГТТИ. 1932.

9. Ветохин А. Н. О классах Бэра остаточных функционалов // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №5. С. 909 — 910.

10. Ветохин А.Н. О классе Бэра минимальных показателей // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №12. С. 2090.

11. Ветохин А. Н. К бэровской классификации остаточных показателей // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №8. С. 1039 — 1042.

12. Ветохин А. Н. Класс Бэра минимальных полунепрерывных снизу минорант показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №10. С. 1313 — 1317.

13. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Матем. сборник. 1957. Т. 42. С. 207 — 222.

14. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости // М.: «Наука». 1967.

15. Изобов Н. А. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1, №4. С. 469 — 477.

16. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71 — 146.

17. Изобов H.A. Минимальный показатель двумерной диагональной системы // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, №1. С. 1954 — 1966.

18. Изобов H.A. Минимальный показатель двумерной линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №5. С. 848 — 858.

19. Изобов H.A. Оценка снизу для минимального показателя линейной системы // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, №9. С. 1576 — 1588.

20. Изобов H.A. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докд. АН БССР. 1982. Т. 26, №1. С. 5 — 8.

21. Изобов H.A. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №12. С. 2034 — 2055.

22. Илларионова О. Г. Об устойчивости центральных показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №9. С. 1492 — 1503.

23. Куратовский К. Топология. Т. 1 // М.: «Мир». 1966.

24. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // M.-JL: Гостехиздат. 1950.

25. Морозов О. И. О бэровском классе показателей Ляпунова неоднородных линейных систем // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1991, №6. С. 22 — 30.

26. Миллионщиков В. М. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №7. С. 1167 — 1170.

27. Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №10. С. 1775 — 1784.

28. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей // Сибирск. матем. журнал. 1969. Т. 10, №1. С. 99 — 104.

29. Миллионщиков В. М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. I // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №8. С. 1408 — 1416.

30. Миллионщиков В. М. Некоторые задачи теории линейных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1985. Т. 40, вып. 5. С. 241 — 242.

31. Миллионщиков В. М. О мажорантах показателей Ляпунова линейных систем // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №6. С. 1090.

32. Миллионщиков В. М. Задачи о минорантах показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №11. С. 2014 — 2015.

33. Рахимбердиев М. И. Об устойчивости особых показателей линейных систем и замыкании множества линейных систем с экспоненциальнойдихотомией. I // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №4. С. 659 — 670.

34. Рахимбердиев М. И. Об устойчивости особых показателей линейных систем и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией. II // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №10. С. 1797 — 1807.

35. Рахимбердиев М.И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Матем. заметки. 1982. Т. 31, №6, С. 925 — 931.

36. Салов Е. Е. О бэровском классе минорант промежуточных показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №11. С. 1573.

37. Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №3. С. 438 — 448.

38. Сергеев И. Н. Инвариантность центральных показателей относительно возмущений, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №9. С. 1719.

39. Сергеев И. Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111 — 166.

40. Сергеев И. Н. Минимальный показатель трехмерной линейной системы // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №6. С. 1096 — 1097.

41. Сергеев И. Н. Критерий полунепрерывности снизу одного из показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №11. С. 2016 — 2017.

42. Сергеев И. Н. Критерий полунепрерывности снизу показателей Ляпунова трехмерных линейных систем // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49, вып. 4. С. 142.

43. Сергеев И. Н. Вопросы подвижности показателей Ляпунова при бесконечно малых возмущениях // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, №6. С. 1095.

44. Сергеев И. Н. Класс Бэра минимальных показателей трехмерных линейных систем // Успехи матем. наук. 1995. Т. 50, вып. 4. С. 109.

45. Сергеев И. Н. К задаче о классе Бэра минорант показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №9. С. 1600 — 1601.

46. Сергеев И. Н. Бэровские классы формул для показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №12. С. 2092 — 2093.

47. Сергеев И. Н. Уточнение определения минимальной функции трехмерной линейной системы // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №6. С.858.

48. Сергеев И. Н. О локальных классах Бэра показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №11. С. 1577.

49. Сергеев И. Н. Пример ступенчатой зависимости от параметра показателей Ляпунова и свойства правильности системы // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №6. С. 854 — 855.

50. Сергеев И. Н. Доказательство формулы для минимального показателя трехмерной линейной системы // Деп. в ВИНИТИ РАН 31.07.98 №2452-В98. 163 С.

51. Сергеев И. Н. Формула для миноранты одного из показателей Ляпунова // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1999, №4. С. 22 — 29.

52. Сергеев И. Н. Оценка снизу для минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №10. С. 1387 — 1397.

53. Сергеев И. Н. О классе Бэра миноранты одного из промежуточных показателей Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №11. С. 1572.

54. Сергеев И. Н. Формула для минимального показателя диагональной трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №11. С. 1576.

55. Сергеев И. Н. Метод поворотов и сингулярные числа трехмерных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №12. С. 1630 — 1639.

56. Сергеев И. Н. Оценка сверху для минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №1. С. 114 — 123.

57. Сергеев И. Н. Минимальный показатель диагональной трехмерной системы // Тр. Ин-та матем. HAH Беларуси. 2000. Т. 4. С. 140 — 145.

58. Сергеев И. Н. Формула для вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №3. С. 345 — 354.

59. Сергеев И. Н. О достижимости минимальных показателей в классе бесконечно малых возмущений // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2000, №3. С. 61 — 63.

60. Сергеев И. Н. Формула для минимального показателя в неравномерной шкале времени // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6. С. 853.

61. Сергеев И. Н. Примеры вычисления минимального показателя трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6. С. 856 — 857.

62. Феклин В. Г. Классификация нижних вспомогательных показателей по Бэру // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №11. С. 2009.

63. Ширяев К. Е. О классе Бэра некоторых показателей линейных систем в компактно-открытой топологии // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №5. С. 905.

64. Perron О. Die Ordnungzahlen der Differentialgleichungen // Math. Z. 1930. Bd. 32. S. 703 ^ 728.

65. Perron O. Uber lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhängige Variable reel ist // J. reine und angew. Math. 1931. Bd. 142. S. 254 — 270.