Устойчивость дискретных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВ НИКОЛАЙ ВЛАДИМИРОВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

01.01.09 - дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-меха-иического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (г. Санкт-Петербург)

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физико-математических наук, профессор Леонов Геннадий Алексеевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор технических наук, профессор Фрадков Александр Львович

кандидат физико-математических наук, Кондратьева Наталия Васильевна

ВЕДУЩАЯ Санкт-Петербургский Государственный Архитектурно-

ОРГАНИЗАЦИЯ Строительный Университет

Зашита состоится « '/у, 2004 г. в /часов на заседании

диссертационного совета Д 212 232 29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Университетский пр., 28, математико-меха-нический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 232.29, доктор физико-математических наук,

профессор Нежинский В М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Метод первого приближения является одним из центральных в теории устойчивости движения. Эта методика широко используется для изучения непрерывных и дискретных систем (см. например монографии Г. Шустера [1], Ф. Муна [2], Ю.И. Неймарка и П.С. Ланда [3], а также публикации [4-7]).

Для непрерывных систем дифференциальных уравнений хорошо известны критерии устойчивости по первому приближению Ляпунова [8]. Персидского [9], Малкина [10], Четаева [11], Массера [12], Крал совского [13] и различные их обобщения.

Некоторые аналоги и развитие этих результатов для дискретных систем приведены в монографиях П.В. Бромберга [14], И.В. Гайшуна [15], ХР. ЬаБаПе [16], в. Е1уасИ [17] и других авторов.

При исследовании устойчивости по первому приближению наряду с методом построения функций Ляпунова широко используется метод характеристических показателей. Для непрерывных систем А.М. Ляпуновым показано, что если линейная система первого приближения является правильной и все ее ляпуновские показатели отрицательны, то нулевое решение исходной системы асимптотически устойчиво.

В 1930 году О. Перрон [18] показал, что требование правильности системы первого приближения является существенным. Он привел пример системы с неустойчивым по Ляпунову решением, линеаризация вдоль которого является неправильной и имеет отрицательные ляпуновские показатели.

Существуют также критерии неустойчивости, использующие ме-

РОС " Ь

(

з 1 АЛЬНАЯ ЬКА

>и_ург

тод характеристических показателей Ляпунова. Такие критерии были получены Н.Г. Четаевем [11].

Для дискретных систем развитие аппарата характеристических показателей и критериев устойчивости по первому приближению подробно изложено в диссертации В.Б. Демидовича.

Цель работы. Целью работы является обобщение критериев устойчивости и получение новых критериев неустойчивости дискретных систем в терминах характеристических показателей системы первого приближения.

Методы исследований. При доказательстве критериев устойчивости и неустойчивости по первому приближению в работе используются метод триангуляции Перрона-Винограда, метод функций Ляпунова и методы Малкина и характеристических показателей.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, однако полученные результаты имеют применение при исследовании конкретных физических моделей.

Апробация диссертации. Результаты данной работы докладывались на Международной конференции "Nonlinear sciences on the border of millenniums" (Санкт-Петербург 1999), на Всероссийской конференции " Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения" (Рязань 2001) и на Шестой Крымской Международной Математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Алушта - 2002).

Работа выполнялась при поддержке "Гранта для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Минобразования России" АОЗ-2.8-104.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых, приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 90 страниц состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы.

Основные результаты.

Для правильных дискретных систем обобщен критерий устойчивости по первому приближению В.Б. Демидовича [19]. Построены системы, обладающие эффектом Перрона инверсии знаков характеристических показателей решений исходной системы и системы первого приближения при одних и тех же начальных данных. Получен критерий устойчивости потоков решений. Доказаны критерии неустойчивости по Красовскому и Ляпунову для дискретных систем.

Содержание диссертации

Первая глава посвящена проблеме устойчивости по первому приближению для правильных систем.

Определение. Число (или символ —оо, +эо), определяемое формулой

*[/] = жфц 1/(01).

будем называть характеристическим показателем функции /(/).

Рассмотрим линейную систему ж(/ + 1) = А{1)х{1) с возмущением

Теорема. Пусть для матрицы А(Ь) выполнены условия:

(1) вирИ(<)|<£7<+эо,

< ^

(2) -оо<НшфпП|с1егЛа)|).

а

(3) линейная система является правильной и ее характеристические показатели отрицательны.

Тогда существует к > 0 такое, что если jg(í,x)| < к\х\т, где т > 1, то решение x(t) = О возмущенной системы асимптотически устойчиво.

Аналогичный результат, но при более более сильных ограничениях на матриц>- A(t), получен ранее в работе В.П. Демидовича [19].

Далее на дискретном аналоге контрпримера, полученного Перроном для непрерывного случая

x(t, + 1) = e~ax(t), 1 < 2а < 1 + fe-* „И л. 1 ^ exp((t + 2) sin ln(t + 2) - 2a(t + 1)) 2

y(í + 1) = exp((í+ l)sinln(í + 1) — 2at) + *(«>.

показано, что если уравнения первого приближения зависят явно от Í, то отрицательность ляпуновских показателей не является достаточным условием для устойчивости решения исходной системы.

В главе II доказывается теорема об устойчивости потока решений. В этой главе приведены результаты, которые дают ответ на вопрос об устойчивости потока решений дискретной системы

x{t + l) = f{t.x(t)), x(t)€ К", í = 0,1,2, ....

где /(•,•) непрерывная функция, непрерывно дифференцируемая по второму аргументу; ,т(0) € П, где 0. — некоторое ограниченное, открытое множество в R".

Определение. Сингулярным числом n¿(X(t.)) матрицы X(t) называется квадратный корень из соответствующего собственного значения матрицы X(t)*X(t).

Определение. Ляпуновской экспонент,ой ц1 называется число

Пусть сингулярные числа фундаментальной матрицы системы

df{t,x)

V(t + 1) =

Vit)

x-x(tp о)

дх

удовлетворяют неравенствам a1 (t. х(0)) > q2(î,x(0)) > ■•• > an(t„x( 0)). и некоторая последовательность {c*(f)}^0 удовлетворяет соотношению

а^.я^О)) <a(t), Î = 0,1,2..... ж(0)еП.

Тогда верна следующая теорема.

Теорема. Если a(t) ограничена, то решение x(t,x(Ö)). а~(0) 6 П. устойчиво по Ляпунову.

Если, кроме того, lim ait) = 0, то решение асимптотически

t—* оо

устойчиво по Ляпунову.

Тем самым, показано, что внутри области Г2 перроновские эффекты не возникают.

В третьей главе построена система Перроновского типа:

x(t + 1) = exp[ft + 2)sinln(f + 2)-2g] 2

X(t+ > exp[(i + 1) sin ln(f +1)] + m y(t + l) = e-°y(t) z{t + l) = G{y(t),z(t)),

где

f e~2az(t) при 2 = у2 [ e-*°y(ty при г ф у2 На примере этой системы показано, что положительность ляпу новских показателей линеаризованной системы не является достаточным условием неустойчивости.

Второй параграф главы 3 носит вспомогательный характер. В нем изложен метод триангуляции Перрона-Винограда для дискретных

систем и получен ряд оценок для норм базисных векторов метода триангуляции. В конце параграфа рассмотрен метод приведения линейной части системы к диагональному виду. Результаты этого параграфа используется при доказательстве теорем о неустойчивости.

В третьем параграфе главы 3 вводится определение устойчивости по Красовскому и на основе метода триангуляции доказывается критерий неустойчивости по Красовскому.

Определение. Тривиальное решение x(t) = 0 приведенной системы назовем устойчивым по Красовскому, если существуют положительные числа Rus такие, что для любого решения x(t,xо) с начальными данными |хо| < е, для всех t выполняется оценка

|.r(í,x0)| < ЛЫ-

Здесь |х| — Евклидова норма вектора х, число R не зависит от выбора вектора Хо из шара {|з;| < е}. Рассматривается дискретная система

x(t + 1) = A(t)x(í) + f(t, x(t)), t = 0.1.....

Здесь A{l) ограниченная на [0, +эо) (n х п)-матрица; вектор-функция /(<, х) в некоторой окрестности П(0) точки х = 0 для всех í > 0 удовлетворяет неравенству

|/(¿,x)| < к\х\", где к > 0, V > 1.

Пусть Z(t) = (г1 (í)_____ zn(t)) фундаментальная матрица линейной

части системы. Тогда верна следующая теорема. Теорема. Если выполнено неравенство

sup üm¿(£ln|det.4(j)|-2>Hí)|) > 1,

0<k<n t—*oc 111 £ у j~0 tfk /

то решение х{1) = 0 неустойчиво по Красовскому.

Затем с помощью прямого метода Ляпунова, метода Малкина и метода триангуляции доказывается теорема о неустойчивости по Ляпунову.

Теорема. Пусть для некоторых чисел С > О, 0 > 0, а\..., a„_i, где ,3 > а3 (j = 1. ..,п — 1), выполнены следующие неравенства:

1) \z>{t)\ < Cexp{a>(t - т))|^(т)| Vi,r: t > т > 0.

t n-1

2) — 1пСП | det Л0)! >/? + £<*», Vlr: t>r> 0,

]=T j=1

n i-1

3) если n > 2, mo П HOI < c П I det A(j)\, Vt > 1.

j^l j=0 Тогда решение x(t) — 0 неустойчиво no Ляпунову.

В четвертой главе приведены вспомогательные результаты, используемые при доказательстве теоремы о неустойчивости по Ляпунову. Получены оценки нормы матрицы Коши через характеристические показатели и коэффициент неправильности.

Теорема. Для любого числа г > 0 существует число С > 0 такое, что выполнены неравенства

|A"(i)X(r)_1| < Сехр[(Л + e)(t - г) + (Г + е)г]. Vi,r; t > т > 0, \X(t)X(T)~l\ < Cexp[A(i - т) + (Г + е)т).

v1,т: т >t > 0.

Vr>i>0

где Л и А - максимальный и минимальный характеристический показатель, Г - коэффициент неправильности.

Далее рассматривается матричное уравнение Ляпунова в дискретном случае

P{1)"H{t + 1 )P{t) - H{t) = -(7(0 0

относительно симметричной матрицы H(t). Получены оценки на норму матрицы H(t)

\H(t)\ < Re27t, Vi > 0.

В предположении |P(i)| < С, |P(i)~'| < С доказьшается также следующее утверждение.

Теорема. Пусть для некоторых положительных чисел а, 6 выполнены оценки

< Сехр[—q(s - i) + 7f]. Vs > t, > 0,

z*G(t)z>6\z\\ Vi>0,V*eRn.

Тогда существует число e > 0, для которого выполнено следунпцее неравенство

z'H{t)z>s\z\2. Vi > 0, VzeR".

in

Работы автора по теме диссертации

1. N. V. Kuznetsov, G.A. Leonov,

"On stability by the first approximation", International conference

"Nonlinear sciences on the border of millenniums", thesis, Saint-Petersburg, 1999, стр. 53.

2. Н.В. Кузнецов, Г.А. Леонов, "Контрпример Перрона в дискретном случае", тезизы докладов Всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения",

Известия российской академии естественных наук, "Дифференциальные уравнения" 2001 ,N5, стр. 71.

3. Н.В. Кузнецов, Г.А. Леонов,

"Устойчивость по первому приближению дискретных систем", Шестая Крымская международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения", Алушта 2002, тезисы, стр. 86.

4. Н.В. Кузнецов, Г.А. Леонов,

"Устойчивость по первому приближению дискретных систем", Вестник Санкт-Петербургского Государственного Университета Серия 1, 2003, N1, стр. 28-36.

5. Н.В. Кузнецов,

"Устойчивость дискретных и импульсных систем", Восьмая Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов, аннотации работ, 2003, стр. 21.

Цитируемая литература

1. Г. Шустер, Детерменированный хаос. 1988, М., Мир, 240 с.

2. Ф. Мун, Хаотические колебания. М., Мир, 1990, 312 с.

3. Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда, Стохастические и хаотические колебания. 1987, М., Наука, 423 с.

4. J.F. Heagy, S.M. Harnmel,

The birth of strange nonchaotic attractors. Physica D, 1994, V70, N1,2, p. 140-153.

5. D. Vassiliadis, Parametric adaptive control.

Physica D, 1994, V71, N3, p. 321-328.

6. X. Wu et al.,

Nonlinear dynamical behavior of the limited Explodator in a CSTR under square wave pertrubation of the flow rate. Physica D, 1994, V74, N1,2, p. 74-89.

7. V.B. Ryabov,

Using Lyapunov exponents to predict the onset of chaos in nonlinear oscillators. Physical Review E, 66, 2002, p. 16214-16231.

8. A.M. Ляпунов,

Общая задача об устойчивости движения. Харьков. 1892. 250 с.

9. К. П. Персидский,

О характеристических числах дифференциальных уравнений. Изв. АН Казахской ССР, 1947, сер.мат.и мех., вып.1 .

10. И.Г. Малкин,

Теория устойчивости движения. М., Наука, 1966, 525 с.

11. Н.Г. Четаев,

Устойчивость движения. М., Гостехиздат, 1955 207 с.

12. X.JT. Массера,

К теории устойчивости. Сб. переводов "Математика", ИЛ, (1957), с. 81-101.

13. H.H. Краковский,

Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., Физматгиз, 1959, 211 с.

14. В.П. Вромберг,

Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. 1986. М., Наука, 321 с.

15. И.В. Гайшун,

Системы с дискретным временем.

Минск, Инст. мат-ки РАН Беларуси, 2001. 400 с.

16. J.P. LaSalle,

The Stability and Conirol of Discrete Processes. Springer-Verlag , 1980, 150 p.

17. S. Elyadi,

An introduction to difference equations. Berlin: Springer, 1996, 389 p.

18. O. Perron,

Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen. Mathematische Zeitschrift, 1930, bd.32, N5. p. 702-728.

19. В.Б. Дсмидович,

Об одном признаке устойчивости разностных уравнений. Дифференциальные уравнения. 1969. Т5, N7, с. 1247-1255.

JlPJfe 040815 от 22 05 97

Подписано в печать с оригинал-макета 05 02 2004 Ф-т 60x84/16 Уел печ. л. 1,0.Тираж 100 экз Заказ № 29

Отпечатано в информационно-издательском отделе НИИММ им. акад. В И Смирнова 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр, 28 428-46-72 E-rnatl: luhna@niimm.spbu ги

198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр, 28 Научно-исследовательский институт математики и механики им. акад. В.И. Смирнова 428-42-73 Факс (812) 428-69-98 E-mail: NUMM@niimm.spbu.ru URL http://ntimm.spburu

т

'J

í I

РНБ Русский фонд

2006-4 286

15 МАИ 2004

Введение.

Глава I. Устойчивость по первому приближению.

1. Характеристические показатели.

2. Спектр линенйной однородной системы.

3. Правильные системы.

4. Дискретный аналог теоремы Перрона.

5. Оценка матрицы Коши для правильной системы.

6. Дискретный аналог теоремы Ляпунова.

7. Дискретный аналог контрпримера Перрона.

Глава 11. Устойчивость потоков.

Глава 11 I. Неустойчивость.

1. Дополнение к контрпримеру Перрона.

2. Методы триангуляции.

3. Неустойчивость по Красовскому.

4. Неустойчивость по Ляпунову.

Глава V I. Вспомогательные результаты.

Метод первого приближения является одним из центральных в теории устойчивости движения. Эта методика широко используется для изучения непрерывных и дискретных систем (см. например монографии Г. Шустера [1], Ф. Муиа [2], Ю.И. Пеймарка и П.С. Ланда [3], а также публикации

4-7]).

Для непрерывных систем дифференциальных уравнений хорошо известны критерии устойчивости по первому приближению Ляпунова [8], Персидского [9], Малкина [10], Четаева [11], Массера [12], Красовского [13] и различные их обобщения.

Некоторые аналоги и развитие этих результатов для дискретных систем приведены в монографиях П.В. Бромберга [14], И.В. Гайшуна [15], J.P. LaSalle [16], S. Elyadi [17] и других авторов.

При исследовании устойчивости по первому приближению наряду с методом построения функций Ляпунова широко используется метод характеристических показателей. Для непрерывных систем A.M. Ляпуновым показано, что если линейная система первого приближения является правильной и все ее ляпуновские показатели отрицательны, то нулевое решение исходной системы асимптотически устойчиво.

В 1930 году О. Перрон [18] показал, что требование правильности системы первого приближения является существенным. Он привел пример системы с неустойчивым по Ляпунову решением, линеаризация вдоль которого является неправильной и имеет отрицательные ляпуновские показатели.

Существуют также критерии неустойчивости, использующие метод характеристических показателей Ляпунова. Такие критерии были получены Н.Г. Четаевем [11].

Для дискретных систем развитие аппарата характеристических показателей и критериев устойчивости по первому приближению подробно изложено в диссертации В.Б. Деми-довича.