Численные методы решения обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи У/

Злотник Илья Александрович

Численные методы решения обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1" "4013

Москва - 2013

005059003

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, Амосов Андрей Авенирович Официальные оппоненты: Поляков Сергей Владимирович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, зав. сектором Федерального ~ государственного бюджетного учреждения

. ■ науки. Института прикладной математи-

ки им. М.В. Келдыша РАН Разгулин Александр Витальевич, доктор физико-математических наук, профессор каф. математической физики факультета ВМК Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Ведущая организация: Федеральное государственное автономное

. , образовательное учреждение высшего про-

фессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Защита состоится «27» мая 2013 г. в 16:30 на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте вычислительной математики Российской академии наук (ИВМ РАН), расположенном по адресу: 119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИВМ РАН. Автореферат разослан «25» апреля 2013 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.045.01,

доктор физико-математических наук

Г.А. Бочаров

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Линейное нестационарное уравнение Шрёдин-гера играет важную роль в квантовой механике, ядерной, атомной и молекулярной физике, волновой физике и акустике, микроэлектронике, нанотехно-логиях и др. Часто его необходимо решать в неограниченных по пространству областях. Это требует применения специальных численных методов, обычно связанных с постановкой на искусственных границах точных или приближенных неотражающих/прозрачных граничных условий (ПГУ). Используются также абсорбирующие граничные условия (ABC), идеально соответствующие слои (PML), комплексные абсорбирующие потенциалы (САР) и др.

Такие задачи привлекают большое внимание как в России, так и за рубежом. В этой и смежных областях работали: B.C. Рябенький, И.Л. Со-фронов, H.A. Зайцев, В.А. Гордин, В.А. Баскаков, A.B. Попов, Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский, В.А. Трофимов, М.Ю. Трофимов, A.A. Злотник, А. Arnold, M. Ehrhardt, A. Schädle, F. Schmidt, M. Schulte (Германия), X. Antoine, С. Besse, L. Di Menza, B. Ducomet, J. Szeftel (Франция), L. Greengard, B. Mayfield, C.A. Moyer (США), T. Fevens, D. Yevick (Канада), J. Jin, H. Han, X. Wu (Китай) и многие другие. Ряд аспектов численного решения уравнения Шрё-дингера отражен в недавних работах C.B. Полякова и A.B. Разгулина.

Среди существующих подходов выделяется подход, использующий дискретные ПГУ (ДПГУ), представляющие собой выводимые на дискретном уровне аналоги аналитических ПГУ, но не какую-либо их непосредственную аппроксимацию. Применение ДПГУ характеризуется полным отсутствием отражений от искусственных границ и устойчивостью вычислений. Четкая математическая основа ДПГУ позволяет построить строгую теорию устойчивости и обеспечить выполнение законов сохранения для использующих их методов. Для стандартных разностных схем для одномерного и двумерного уравнения Шрёдингера их впервые разработали A. Arnold, M. Ehrhardt, И.Л. Софронов в 1998-2003 гг.

Целью диссертационной работы является разработка и анализ эффективных численных методов решения одномерного и двумерного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях. Для этого выполняется построение и анализ устойчивости семейств разностных схем, метода конечных элементов (МКЭ) и схемы с расщеплением по потенциалу с

приближенными ПГУ для обобщенного уравнения Шрёдингера на полуоси и в полуполосе, вывод и исследование дискретных ПГУ, разработка эффективных алгоритмов реализации методов с ДПГУ, их программная реализации и выполнение численных экспериментов.

Научная новизна. В работе построены и изучены семейства разностных схем, МКЭ и схема с расщеплением по потенциалу. Для них предложен новый естественный способ записи общих приближенных ПГУ; для дискретного ПГУ он непосредственно приводит к вычислительно устойчивой форме записи. Для семейств схем выведены новые дискретные ПГУ; для МКЭ произвольного порядка дискретные ПГУ также новые и построены впервые. Развита новая методика исследования устойчивости методов с дискретными ПГУ и для них доказана абсолютная устойчивость как по начальным данным, так и по правой части. Соответствующие оценки решений установлены не только в норме но и в энергетической норме по пространству, и являются равномерными по времени. Значительно упрощен и сделан строгим вывод дискретных ПГУ. Выполнены численные эксперименты, результаты которых позволили сравнить свойства методов, дать практический анализ их погрешности и дополнить теоретические результаты.

Практическая значимость. Построенные и изученные в работе семейства разностных схем, МКЭ и схема с расщеплением по потенциалу с дискретными ПГУ могут быть эффективно использованы для решения различных прикладных задач. В качестве примера выполнены серии численных экспериментов по свободному распространению гауссовой волны и моделированию туннельного эффекта для потенциалов ступенчатой формы. В них наглядно видна эффективность применения дискретных ПГУ, включая полное отсутствие отражений от искусственных границ. Показано, что применение правильных усреднений в разностных схемах позволяет повысить качество численных решений. Продемонстрированы преимущества МКЭ высокого порядка даже в случае быстро осциллирующих решений и разрывных потенциалов. В двумерном случае проверено, что использование расщепления по потенциалу сохраняет хорошую точность результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на ХУ-ХУШ Международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергети-

ка» (Москва, 2009—2012); XIX и XX Международных научно-технических конференциях «Информационные средства и технологии» (Москва, 2011, 2012); XVII Международной конференции «Математическое моделирование и анализ» (Таллин, 2012); V Международной конференции «Вычислительные методы в прикладной математике» (Берлин, 2012); а также на научных семинарах: «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» в НИУ МЭИ (2011, 2012, рук. проф. Ю.А. Дубинский и проф. А.А. Амосов); им. К.И. Бабенко в ИПМ РАН им. М.В. Келдыша (2012); на каф. математики физфака МГУ им. М.В. Ломоносова (2012, рук. проф. А.Н. Боголюбов); «Вычислительная математика, математическая физика, управление» в ИВМ РАН (2012, рук. проф. Г.М. Кобельков и проф. А.В. Фурсиков).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 5 статей [1-4, 6] в журналах из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК, 2 статьи [8, 9] в зарубежных рецензируемых журналах и 2 статьи [5, 7] в трудах конференций, а также 6 тезисов докладов на конференциях. Общий объем статей 6,7 п.л. (147 стр.); из них лично автору принадлежат 4,25 п.л. (93,5 стр.).

Личный вклад автора. Утверждения 1.1, 1.4, 1.6, 1.7, 1.10 и их следствия в главе 1; все результаты главы 2 (см. [3, 4, 6]); утверждения 3.1-3.4 и их следствия и результаты раздела 3.5 в главе 3 (см. [5, 7]); утверждение 4.2 и его следствие и результаты раздела 4.3 в главе 4 получены автором самостоятельно. Остальные теоретические результаты, опубликованные в совместных работах [1, 2, 8, 9], принадлежат соавторам в равной степени. Программная реализация всех методов и все расчеты выполнены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 146 страниц, включая 29 рисунков и 8 таблиц. Библиография содержит 88 наименований. В приложения вынесена часть результатов численных экспериментов (их объем 29 страниц, включая 42 рисунка).

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана

практическая значимость полученных результатов, а также кратко изложено ее содержание.

Работа посвящена численным методам с использованием ДПГУ для решения обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях. Строятся и изучаются следующие методы:

1) семейство разностных схем с усреднением по пространству для одномерного уравнения Шрёдингера на полупрямой (или всей прямой);

2) семейство разностных схем с усреднением по пространству для двумерного уравнения Шрёдингера в полуполосе (или полосе);

3) МКЭ произвольного порядка для одномерного уравнения Шрёдингера на полупрямой (или всей прямой);

4) разностная схема с расщеплением по потенциалу для двумерного уравнения Шрёдингера в полуполосе (или полосе).

Аппроксимация по времени во всех этих схемах и МКЭ - двухслойная симметричная (т.е. типа Кранка-Никольсон).

Исследование всех методов проводится по следующему единому плану:

1) выводятся теоремы о равномерной по времени устойчивости методов в ¿2 и в энергетической норме по начальным данным и правой части при общем приближенном ЛГУ типа Dirichlet-to-Neumann тар (на конечной сетке);

2) изучаются варианты методов на бесконечной сетке по пространству, доказываются аналогичные теоремы о равномерной по времени устойчивости и выводятся законы сохранения;

3) на основе результатов, доказанных для бесконечной сетки, с помощью аналитического решения вспомогательных сеточных задач строго выводятся ДПГУ и обосновывается равномерная устойчивость методов с ДПГУ;

4) методы программно реализуются, проводятся серии численных экспериментов и делаются выводы о практических свойствах методов.

В главе 1 решается начально-краевая задача для обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера на полуоси

ihpDti> (BD-ф) + Уф при х > 0, t > О,

ф(0, i) = 0 и ф(х, t) 0 при 1-юо и всех t > 0, (1)

ф{х, 0) = ф°(х) при х > 0. Коэффициенты В(х) ^ и > 0, р(х) > р > 0 и потенциал V{x) вещественны, h > 0 - постоянная, Dt = d/dt и D — д/дх. Предполагается, что В(х) =

Boo > 0, p{x) = Poo > 0, F(x) = Voo при X > Xq и ф°{х) = О при X ^ Х0, при некотором Хо > 0.

Известное интегро-дифференциальное ПГУ

Di>{X,t) = - ,

y/nhBoo/Poo Jo y/t-T

при t > 0 и любых X > Хо позволяет заменить задачу на полуоси на задачу на конечном отрезке [0, X]. Но любая дискретизация таких ПГУ ведет к появлению отражений от искусственных границ, поэтому в работе используются не они, а выводимые на дискретном уровне их аналоги - дискретные ПГУ.

Для задачи (1) строится новое семейство разностных схем с усреднениями по пространству с параметром в. Это делается с целью единообразного изучения различных по способу построения схем: наиболее стандартной схемы без усреднений (в = 0); линейного МКЭ с различными способами численного интегрирования (в = 1/6,1/4); векторной мультисимплектической схемы (в = 1/4); схемы типа Нумерова повышенного порядка точности (в = 1/12).

Семейство схем исследуется по указанному выше плану, в том числе, доказываются утверждения 1.1, 1.2, 1.4 и 1.5 о равномерной по времени устойчивости по начальным данным и правой части, строго выводятся новые ДПГУ и выполняется практическое сравнение перечисленных схем. Эти результаты здесь опускаются, поскольку ниже они переносятся на более сложный двумерный случай, а соответствующие формулировки аналогичны и подробно приводятся. Результаты главы 1 опубликованы в работах [1,8].

В главе 2 решается начально-краевая задача для обобщенного уравнения Шрёдингера в полуполосе

ihpDt4> = Нф при (х, у) € П := (0, оо) х (0, Y) и t > 0, <А|дЛх(о,оо) = 0, || ф(х, •, i)|U,(o,y) -»О при хчоо для всех t > 0, (2) ф\1=0 = ф°(х,у) при (х,у) € П,

содержащее двумерный оператор Гамильтона (эллиптический оператор)

Нф := -f [Dx (BuDxr!>) + Dx (В12Пуф) + Dy (В21Охф) + Dy {В22Оуф)\ + Уф

с вещественными матрицей В = {Врд(х,у)}р^=х, В = Вг ^ ul и функциями р(х,у) ^ р > 0 и V(x, у) (потенциалом). Предполагается, что Ви(х,у) =

Bloo, B12{x,y) = B2\(x,y) = 0, вп(х,у) = В2оо, р{х,у) = Poo, V{x,y) = Vx и ф°[х, у) = 0 при (х, у) е pfo, со) х [О, У], при некотором Х0 > 0.

При t > 0 и любых X ^ Хо можно записать интегро-дифференциальное ПГУ, разложив решение в ряд Фурье по синусам по переменной у. В работе аналогичным образом применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ) по синусам по переменной у при выводе двумерных дискретных ПГУ.

Вводятся неравномерные сетки: äJ/tiQO по х на [0, оо) с узлами 0 = xq < ■ ■• < xj = X < ... и шагами hj := Xj — xj- ь где hj = h при j ^ J; Ujj по у на [0, У] с узлами 0 = у0 < ■ ■ ■ < ук = Y п шагами ök := yk - Ук-\\ по t на [0, оо) с узлами 0 = to < • • • < tm < ... и шагами тт := tm — im_i. Нам потребуются сетки := шн,<х\ {0}, ши := {xj}j=0, wh := {zj}/=i и wT := ÜJr\{0}, := {¿i}^! и сетки-произведения wh,oo := w/,i00 x wh := Wh x w^, wh := ojh x Wi. Пусть Xj-i/2 := (xj-1 + Xj)/2, yfc-i/2 := (2/*-i + 2Afc)/2-Вводятся разностные отношения dxWj := (Wj — Wj-\)/hj, dxWj := (Wj+\ — Wj)/hj+i/2 по x и операторы усреднения

:= 0 + (1 - 20) (?**„,) Wj + в Wj+l,

se := Ae[ 1] = + 4 по а:, где sjWj := (hj/hj+J/2){eWj-i + (1/2 - 0)1^), s+ := sg — Sq. Будем использовать также их аналоги по переменной у. Пусть, кроме того, dtYm := {Ym-Ym~1)/Tm, stYm := (Г-ЧИ/2 и Ут := Ут_1.

Для задачи (2) изучается семейство разностных схем с векторным параметром в = (в, г]) с общим приближенным ПГУ

ihAelphjdtФ = "Нье^Ф + F на wh х шТ, Ф|7=0 = 0, Ф|w = 0, Х>ге(Ф, Ф)|,=7 + | Fj = % Sioc на w, xu',

Ф° = Фь на wh. Здесь Hh» - сеточный оператор Гамильтона

-HMW := [Ö, (4,[jBiih]9«W) +flxsv (Яш^ДИ7) +

+sA (B21hdxsyW) + ду {Ae[B22b]dyW)) + A0[Vh]W,

a A0[xh] := - двумерный оператор, являющийся суперпозицией

одномерных операторов усреднения по х и у, где Xhjk = x{xj-i/2>Vk-i/2) Для

к = р, В, V. Функция F добавляется в (3) для исследования устойчивости и играет важную роль при обосновании устойчивости схем с ДПГУ.

Используются также сеточный оператор Неймана Vге(Ф, Ф):=

:= {у Blxdxs,,st4 - hsg [s„{ihp,J)t - У00?()Ф + f В2ооdydystV]}|jW

и Sm - произвольный линейный оператор в пространстве функций Ф: Us х < С, причем ®™|J=J := { при т>1.

Подобно одномерному случаю, семейство (3) включает немало разных по конструкции схем. Введем множество параметров © := {в = (в, г/); в ^ 1/4, Tj ^ 1/4}, для которых выводится абсолютная устойчивость. Нам потребуются разностные аналоги скалярных произведений в пространстве ¿2(0, X)

(U, := (U, W)Uh + UjW} f, (U, W)Sh := Ej=i UjWfr,

а также порожденные ими нормы ||-||и , ||-||~ . В пространствах £г(0, Y) и ¿2((0, X) х (0, У)) скалярные произведения и нормы вводятся аналогично. Утверждение 2.1. Пусть оператор S удовлетворяет неравенству

Im Em=l (£фт. Тт > 0 при любых М ^ 1 (4)

для всех функций Ф: ZDs х ШТ —> С таких, что Ф° = 0 и Ф|к=0 А^ = 0. Тогда для решения разностной схемы (3) при в G G и любых М ^ 1 верна оценка

отахд/ ||Фт||л9ы < 1|Ф°н1кы + ¿R Eli \\Fmhhrm,

где св := ^/(1 - 40+)(1 - 4т)+)р с в+ := max {в, 0}, г)+ := max {т/, 0}.

Здесь || • |U„[ph] _ энергетическая норма оператора Ae[pt^, эквивалентная сеточной норме ¿2 на шь при 0 6 0. Аналогичный результат справедлив и при в 6 90. Доказательства этой и других теорем устойчивости в работе проводятся методом энергетических неравенств.

Выведена устойчивость еще в одной норме. Пусть г; 6 К таково, что оператор Чье + йАв\ръ] положительно определен и || • — соответ-

ствующая энергетическая норма, а || • - двойственная к ней норма. Утверждение 2.2. Пусть оператор S удовлетворяет неравенству

Im J2m=i (£фт. + тт > 0 при любых М > 1 (5)

9

для всех функций Ф: uj х ит С таких, что Ф° = 0 и Ф^о.А" = О- Тогда для решения разностной схемы (3) при в 6 в и любых М ^ 1 верна оценка

omaxJ|*"||Hbe+w ^ 1|Ф°1к»+йЛ,Ы+

+2 Eli (! 11^т|1<_1) + 2 piF-H^1') тт + 4 ||F0]^ .

Далее изучается соответствующее семейство схем на бесконечной сетке для исходной начально-краевой задачи в полуполосе

ihA„[ph}dt4' = HhestФ + F на uhi00 х иТ, Фт 6 Яь при т > 1, Ф° = ф£ € Яь,

где 7/h - гильбертово пространство функций W: Whl00 -► С таких, что W\j_0 = W\k=0K — 0 и ||it/||Choo < оо. Схема (6) не реализуема на практике из-за бесконечности числа неизвестных на каждом слое по времени. Однако сужение решения схемы на конечную сетку на [О, X] х [О, К] можно найти с помощью вывода и применения ДПГУ с оператором S = «Sref при х = X.

Строгий вывод ДПГУ и обоснование устойчивости разностной схемы с ним требует анализа устойчивости схемы (6).

Утверждение 2.3. Пусть Fm € Hh при любом т ^ 1. Тогда при в € 0 разностная схема (6) имеет единственное решение и верна оценка

0S u*miUb,],oo ^ KILw,oc+А12-1 *

для всех М ^ 1. Более того, при F = 0 справедлив первый закон сохранения ЦФт1км,оо = 11фь1иЫ)00 при любом 1.

Здесь || • |Цв[рь],оо, II • 1Ьь,оо - сеточные аналоги нормы Ь2 наа7ь,оо- Аналогичный результат справедлив и при в 6 <96. Доказательство существования и единственности решения основано на теореме Лакса-Мильграма-Вишика. Следствие 2.1. Пусть Fm\j7)J = 0 при т ^ 1 и Ф?,!^ = 0 и решение Ф разностной схемы (6) удовлетворяет приблиоюенному ЛГУ из (3) с <S = <Sref. Тогда для любых в и М ^ 1 имеем

ft^r imEiL = :=

где so :— Ад[1].

Выведена устойчивость еще в одной норме. Пусть v е. R таково, что оператор Чье + ЪАв\ръ\ положительно определен и || • ||wh9+Me[ph],oo - соответствующая энергетическая норма, а || • Ц^1' - двойственная к ней норма.

Утверждение 2.4. Пусть Fm 6 #h при любом т ^ 1. Тогда при 0 € 0 разгюстная схема (6) имеет единственное решение и верна оценка

+2 Еш=1 (f Irt4 + 2 P^HL"1') + 4 \\F*\C

для всех M ^ 1. Более того, при F = 0 справедлив второй закон сохранения

Ифт|к,+^Ы,оо = ||Фь||%в+ггл9Ы,ос дЛЯ вСеХ Следствие 2.2. Пусть F"l\j^>j — 0 при т ^ 1 и = 0 и решение Ф

разностной схемы (6) удовлетворяет приближенному ПГУ из (3) cS = 5ref. Тогда для любых в и М ^ 1 имеем

h^ Im YZ.1 (Sä*™ itötn + vstn)Ui =

=i E^j+i {ь [ipwfi,+а - ч) Ii*ад,Ф^цу +

Для вывода ДПГУ аналитически решается вспомогательная задача на бесконечной сетке на [X,оо) х [О,У]. Пусть сетки чшТ - равномерные. Тогда при б€0 оператор двумерного ДПГУ <Srcf имеет вид

5ге£Ф = F-1 (aesSie„ГФЮ),

где Т и - операторы прямого и обратного ДПФ по синусам по у,

<Srcf/J> = (-1)*' e-iCarga')/2 (ßref,i * Ф), 1 ^ Щ К - 1

- операторы вспомогательных одномерных ДПГУ, а * обозначает дискретную свертку. Их ядра {Я™с Лт=о выражаются через полиномы Лежандра Р,п{р) (где Pm{ß) = 0 при m < 0):

= [РшЫ ~ Рш-аЫ], Xt = - не = fo,ai = 2ае + (1 - 46)h2a2, ße = 2Reae + {\- A9)h2\ae\2,

* = ndfk^ fe + А + A« = (! s'n w)2' = 1 - vä2xes > 0

11

и kg такое целое, что arg(l — 29h2ae) — argае 6 (2к(П,2(ке + 1)7г). Утверждение 2.5. Для оператора Siet двумерного ДПГУ при в € 0 выполнены операторные неравенства (4) и (5). Как следствие для схем с ДПГУ верны указанные выше оценки в норме L2 и в энергетической норме.

В случае Вц, В22, р, V зависящих только от х и Bi2 = В21 = 0 выполнена эффективная прямая реализация схем с применением быстрого ДПФ по у и прогонок по х. Результаты главы 2 опубликованы в работах [3, 4, 6].

В главе 3 снова рассматривается начально-краевая задача (1) для обобщенного уравнения Шрёдингера на полуоси, при прежних предположениях на коэффициенты. Практика расчетов показывает эффективность применения методов повышенного порядка точности. Однако ранее ДПГУ для МКЭ удалось построить только в простейшем случае линейных КЭ, см. главу 1.

Вводятся элементы Aj := [xj-i,xj], j ^ 1 такие, что Xj — Xj-i — h при j ^ J и соответствующее пространство конечных элементов Нн,оо := {<Р € С(К+), <¿>(0) = 0, (^¡д. € Р„|дя j ^ 1}, где Vn - пространство полиномов степени не выше п с комплексными коэффициентами.

Приближенное решение Фш 6 Нн,<», т ^ 0 начально-краевой задачи (1) с помощью дискретизации Кранка-Никольсон по времени и МКЭ по пространству определяется интегральным тождеством

iH(pdtym,<p)L2(R+) = %(BDstVm,D<p)L2(R+) + (VstVm,<p)L2( R+)

для всех ip е Hh.oo и т ¿t 1. Кроме того, Ф|<=о = Ф° € Hh<00. Этот метод не реализуем на практике из-за бесконечности числа неизвестных на каждом слое по времени. Тем не менее сужение решения на конечную сетку на Q = [О, X] можно найти с помощью вывода и применения ДПГУ при х = X.

Введем пространство конечных элементов Я/, {ip € C(ii), <¿>(0) = 0, V'Uj € Рп|д., 1 < j < J} на i2 и построим схему Кранка-Никольсон-МКЭ в Tl с Фт 6 #л, m ^ 0

ih(pdtФт, vhm = %(BDstФт, D<p)Lm + (Vstym, <р)ь2(п)~

-^В^ЩЫХ) + (Fm, <р)ЫП)

для всех tp 6 Hh и m ^ 1, с начальным условием Ф|<=о = Ф° 6 Щ. Здесь S™ _ оператор ДПГУ, действующий в пространстве функций Ф: —»• С, и Ф^ := {Ф5}&1- Его явное построение является основной задачей главы.

Слагаемое Рт € ¿г(^), тп ^ 1 снова добавляется для изучения устойчивости.

Утверждение 3.1. Пусть оператор 6ге[ удовлетворяет неравенству

1т Ет=1№Фт)(в(Ф"Тт ^ 0 при любых М > 1 (7)

и для всех функций Ф: ыТ —> С таких, что Ф° = 0. Тогда при любых М ^ 1 для МКЭ-решения Ф верна оценка

Аналогичная оценка в энергетической норме, эквивалентной норме Я1 (Л), дана в утверждении 3.2.

Для схемы Кранка-Никольсон-МКЭ на полуоси соответствующие оценки в нормах ¿2 и энергетической норме доказаны в утверждениях 3.3, 3.4. Для построения ДПГУ вводится вспомогательное ОДУ —ги"+2£ш = 0 на с параметром ( 6 С. Ищется его модельное МКЭ-решение

IV е н£> :=

{<р е С(К+) : е > 3 ^ удовлетворяющее интегральному

тождеству

для всех у? е Нж\<р(0) = 0, <р(х) = 0 при х > ^ (с некоторым ] ^ 1). Здесь IV(¿о) задано для некоторого ^ 0, и ищется решение со свойством Ж(х) —► 0 при х —>■ +00.

Необходимо решить данную МКЭ-задачу аналитически. Для этого изучаются матричные пучки Л + \ С и Л + | С и численно решаются две обобщенные задачи на собственные значения Ле = ^ Се и .Де = | Се. Здесь Л и С - бисимметричные матрицы жесткости и масс эталонного элемента [—1,1]:

Лы = 4(х) бК®) <^с> = 1-1 еи(х) е;(х) йх, 0 < I ^ п,

где {е;}"=0 - базис Лагранжа в ~Рп такой, что е; (—1 + = бы, причем бы -символ Кронекера, а Л — и С = {Сы}/.'7=1 ~~ их подматрицы.

Справедливы следующие свойства (утверждения 3.5 и 3.6)

А<п)еМ, о = л<")<А(1п)<...<л1п); А<"+1> < А<"> < Л^1' при о ^ к ^ п - 1;

д(п) > lim а1п) = ^ при фиксированном к ^ 0;

A<n)eR, 0 < Л("} < ... SS Л^; A^U^^A & ПРИ 1 < * < " - 1-

Кроме того, не менее п' = [(п +1)/2] из собственных значений {А^"',..., А,'"'} и {Aj"+1),..., Л^!4} совпадают.

Выполняется редукция бесконечной алгебраической системы уравнений МКЭ к системе с трехдиагональной матрицей. Последняя система решается аналитически. В итоге оператор ДПГУ находится методом производящих функций и имеет вид дискретной свертки (утверждение 3.8)

= cn * Ф)т = сп

где ядро К^ (п - порядок КЭ) само представляет собой n-кратную свертку

к{п)_

Jirof -

ref

' R^ * ■ ■ ■ * * L[n) * ■ ■ ■ * при п = 2п'-1

Те! при п = 2п'.

Последовательности в ней выражаются через полиномы Лежандра Рт: д(п),т ^ ^ = [р^) _ рт_2(^)] при 1 < ^ п',

Ь^)'т = Ьт(щ,111) = 3<?Рт&1) при 1 < г «с [п/2],

д(»).'» = бт0 + е>>р-бт1,

где коэффициенты зависят от п и имеют вид

х1 = щ = оов У»-»-»«-' при 1 ^ £ ^ п',

щ = -ехр(г^'-'2+^), ре = соз при 1 ^ £ < [и/2],

с введенными выше собственными

значениями и А^ ^ — А^ ^ для четных 71. Явный вид постоянной Сп опускается.

Утверждение 3.9. Для оператора Б1е; ДПГУ для схемы МКЭ с любым п выполнено неравенство (7) и, следовательно, для МКЭ-решения верна выражающая устойчивость оценка в норме ¿2-

Справедлива также оценка МКЭ-решения в энергетической норме.

Для последовательностей Лт и Ьт верны рекуррентные равенства

дт = 2т=3 ^ дт-1 _ т=3 „2 дт-2 цт = х „ £771-1 _ х2 ¿т-2

т " т ' т г т

при т ^ 2, с начальными значениями = = 1 и Д1 = —Ь1 = —ус р.. Рис. 1 наглядно иллюстрирует эффективность применения МКЭ высокого порядка с ДПГУ (он соответствует Й = 1, р = 1 и В = 2). Результаты главы 3 опубликованы в работах [2, 5, 7, 9].

Рис. 1. Максимальные по 1 ^ т ^ 3000 абсолютные погрешности в норме для МКЭ в случае п = 1,..., 10 в зависимости от числа элементов 3 при т 2 ■ Ю-6. Потенциал V = 0, а начальная функция - гауссова волна с волновым числом к = 100

В главе 4 снова рассматривается начально-краевая задача (2) для обобщенного уравнения Шрёдингера в полуполосе. Запишем И в виде = "Нд+У. Используется разложение потенциала У(х, у) = У(х) + АУ(х, у), где У(х) = К» при х > АГо. В простейшем случае У(х) = Уа ДУ(х, у) = У(х, у) — К».

На основе схемы без усреднений (с в = (0,0)) из главы 2 строится трех-шаговая схема с симметризоваппым расщеплением по потенциалу (типа Стренга) второго порядка аппроксимации

гйръ = АУь*т+Г" на (шЛ и х}) х

Шрь^р = (Поъ + на ыъ,

гНръ = дуьФ'"+Ф" на у х и/,

с краевыми и начальным условиями

Фт|гн = 0, Фт|гь = о, Фт|гн =0,

Ф° = Ф£ на

для всех т>1. Здесь Пъв\в=(0,о) = + И,, £>Г(Ф, Ф) = Х>гб(Ф, Ф)|в=(0,о) и Д\4 := 14, — V/,. Функции Ф и Ф - вспомогательные, а Ф - основная искомая. Кроме того, Гь := {(0, у*). 1 < к < К - 1} и {(х,,0), 0 < ] < 7} -

часть границы о}), без искусственной части.

Утверждение 4.1. Пусть оператор £ удовлетворяет неравенству (4). Тогда для решения разностной схемы с расщеплением по потенциалу при любых М ^ 1 верна оценка

^Н^ФЧк ^ ШФ°ь1к + 1^11/-

Для схемы с расщеплением оператор ДПГУ ¿>гег совпадает с использованным в главе 2 при в = (0,0) и удовлетворяет неравенству (4). Шаги 1 и 3 реализуются по простым явным формулам

фт = ¿тфт-^ фт = £тут^ £т ,= на и X]) X Ш5.

Основной шаг 2 при Вц, В22, р зависящих только от х и Вп = В2\ = 0 реализуется следующим образом: применяется ДПФ по переменной у к уравнению шага 2 и ДПГУ. Для коэффициентов Фурье решения Фт(1) и Фт(,) получаются не связанные между собой одномерные разностные уравнения Шрёдингера с ДПГУ на 771-ом слое

= + на ин,

фт(,)и = °-

для всех т ^ 1, где — ..., Ф™(1)}, со вспомогательными потен-

циалами Ц := у В2оо\ц + V при 1 I ^ К — 1.

Такой алгоритм применим для любого потенциала V = У(х, у) и требует 0((./к^2/1Г + т)К) операций для вычисления решения на т-м временном слое и 0((Лс^2 К + М)КМ) операций для вычисления решения на М временных слоях т = 1,.. .,М. Здесь К = 2Р, р - целое. На рис. 2 представлен один из соответствующих численных примеров, где Й=1,р = 1и|В-единичная матрица.

(а) при Ь = О

(6) при 4 = 0.0162

Рис. 2. Пример В. Модуль и вещественная часть численного решения задачи с потенциалом V = <2X/. Я — 1500, / = (1.6,1.7) х (1.3125,1.4875) (характеристическая функция типа «колонны» изображена в центре) в моменты времени ¿о — 0 и Ьм ~ 0.0162. Начальная функция - гауссова волна с волновым числом к = 30

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты работы состоят в следующем. Для численного решения начально-краевых задач для обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях - на полупрямой и в полуполосе - изучены: 1) новые широкие семейства разностных схем с усреднением по пространству; 2) МКЭ произвольного порядка (в случае полупрямой); 3) разностная схема с расщеплением по потенциалу (в случае полуполосы). Для этих методов: 1) доказаны теоремы о равномерной по времени устойчивости как в ¿2, так и в энергетической норме, по начальным данным и правой части при общем приближенном ПГУ; 2) выведены новые дискретные ПГУ, доказана равномерная по времени устойчивость методов с дискретными ПГУ и получены соответствующие законы сохранения; 3) выполнена программная реализация и проведены серии численных экспериментов.

При этом существенно развита техника исследования устойчивости методов с приближенными и дискретными ПГУ. Разработана новая естественная форма записи дискретных ПГУ, значительно упрощен и сделан строгим их вывод. Вычислительные эксперименты позволили дополнить теоретические результаты, выполнить сравнение методов и дать подробный практический анализ их погрешности.

Основные публикации по теме диссертации

1. Злотник А.А., Злотник И.А. Об устойчивости семейства разностных схем с приближенными прозрачными граничными условиями для уравнения Шрёдингера на полуоси // Вестник МЭИ. 2008. № 6. С. 31-45.

2. Злотник А.А., Злотник И.А. Метод конечных элементов с дискретными прозрачными граничными условиями для одномерного нестационарного уравнения Шрёдингера // Докл. АН. 2012. Т. 447, № 2. С. 130-135.

3. Злотник И.А. Об устойчивости семейства разностных схем с приближенными прозрачными граничными условиями для нестационарного уравнения Шрёдингера в полуполосе // Вестник МЭИ. 2009. № 6. С. 127-144.

4. Злотник И. А. Компьютерное моделирование туннельного эффекта // Вестник МЭИ. 2010. № 6. С. 118-125.

5. Злотник И.А. О двухслойном методе Галёркина для уравнения Шрёдингера // Труды XIX Межд. научно-техн. конф. «Информационные средства и технологии». Т. 1. Изд. дом МЭИ, 2011. С. 215-223.

6. Злотник И.А. Семейство разностных схем с приближенными прозрачными граничными условиями для обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в полуполосе // ЖВМиМФ. 2011. Т. 51, № 3. С. 384-406.

7. Злотник И.А. О применении МКЭ с дискретными прозрачными граничными условиями для нестационарного уравнения Шрёдингера на полуоси // Труды XX Межд. научно-техн. конф. «Информационные средства и технологии». Т. 1. Изд. дом МЭИ, 2012. С. 172-178.

8. Ducomet В., Zlotnik A., Zlotnik I. On a family of finite-difference schemes with discrete transparent boundary conditions for a generalized Schrodinger equation // Kinetic and Related Models. 2009. V. 2, № 1. P. 151-180.

9. Zlotnik A., Zlotnik I. Finite element method with discrete transparent boundary conditions for the time-dependent ID Schrodinger equation // Kinetic and Related Models: 2012. V. 5, № 3. P. 639-667.

Подписано в печать: 24.04.2013 Объем 1,0 п. л Тираж 80 экз. Заказ № 832 Отпечатано в типографии «Реглет» 119606, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru '

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»

На правах рукописи

04201356413

Злотник Илья Александрович

Численные методы решения обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера в неограниченных областях

01.01.07 - вычислительная математика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. п.. проф. А.А. Амосов

Москва - 2013

Содержание

Введение ......................................................................4

Глава 1. Семейство разностных схем с приближенным ПГУ

для нестационарного уравнения Шрёдингера на полуоси . . 14

1.1. Одномерная начально-краевая задача и семейство разностных схем с общим приближенным ПГУ ................14

1.2. Устойчивость семейства разностных схем с общим ПГУ .... 20

1.3. Семейство разностных схем па бесконечной сетке на полуоси . 28

1.4. Дискретное ПГУ для семейства разностных схем........33

Глава 2. Семейство разностных схем с приближенным ПГУ

для нестационарного уравнения Шрёдингера в полуполосе . 45

2.1. Двумерная начально-краевая задача и семейство разностных схем с общим приближенным ПГУ ................45

2.2. Устойчивость семейства разностных схем с общим ПГУ .... 52

2.3. Семейство разностных схем на бесконечной сетке в полуполосе 60

2.4. Дискретное ПГУ для семейства разностных схем и его реализация .................................66

2.5. Численные эксперименты......................70

Глава 3. Метод конечных элементов с приближенным ПГУ для

нестационарного одномерного уравнения Шрёдингера .... 78

3.1. Начально-краевая задача и симметричный двухслойный модифицированный метод Галёркина с общим приближенным ПГУ 78

3.2. Симметричный двухслойный метод типа Галеркипа для исходной задачи на полуоси .......................83

3.3. Модельный метод конечных элементов для вспомогательного ОДУ на полуоси...........................87

3.4. Построение дискретного ПГУ для МКЭ .............98

3.5. Численные эксперименты......................106

Глава 4. Схема типа Кранка-Никольсон с расщеплением по потенциалу и дискретным ПГУ для уравнения Шрёдингера в

/

полуполосе................................116

4.1. Уравнение Шрёдингера в полуиолосе и схема Кранка-Николь-

соп с расщеплением по потенциалу с общим приближенным ПГУ 116

4.2. Схема Кранка-Никольсон с расщеплением по потенциалу на бесконечной по пространству сетке и дискретное ПГУ.....123

4.3. Численные эксперименты......................127

Заключение..................................137

Литература..................................138

Приложение А. Поведение ядер одномерных дискретных ПГУ 147

Приложение Б. Свободное распространение гауссовой волны 151

Приложение В. Прохождение одномерного волнового пакета через прямоугольный барьер ....................159

Приложение Г. Прохождение одномерного волнового пакета через двойной потенциальный барьер................167

Введение

Линейное нестационарное уравнение Шрёдингера и его обобщения играют важнейшую роль во многих областях физики: квантовой механике, ядерной, атомной и молекулярной физике, волновой физике и акустике, микроэлектронике, нанотехнологиях и других, см. [1, 2, 17, 19, 20, 77]. В задачах ядерной физики возникает обобщенное нестационарное двумерное уравнение Шрёдингера с переменными коэффициентами в полуполосе, см. [38, 58]. Уравнение Шрёдингера часто необходимо решать в неограниченных по пространству областях.

Подобные задачи привлекают большое внимание как в России, так и за рубежом. В этой и смежных областях в России работали: B.C. Рябенький, И.Л. Софронов, H.A. Зайцев, В.А. Гордин, В.А. Баскаков, A.B. Попов, Р.З. Даутов, Е.М. Карчевский, В.А. Трофимов, М.Ю. Трофимов, A.A. Злот-ник, см. в частности [3, 16, 23, 25, 26, 36, 45]. Ряд аспектов численного решения уравнения Шрёдингера отражен в недавних работах C.B. Полякова и А^.В. Разгул и на, см. [21, 22]. За рубежом тематикой, связанной с решением уравнения Шрёдингера в неограниченных областях, занимались: А. Arnold, M. Ehrhardt, A. Schädle, F. Schmidt, M. Schulte (Германия), X. Antoine, С. Besse, L. Di Menza, B. Ducomet, J. Szeftel (Франция). L. Greengard, B. Mayfield, C.A. Mover (США), T. Fevens, D. Yevick (Канада), J. Jin, H. Han, X. Wu (Китай), см., в частности [31, 32, 46, 47, 54, 57, 63, 70, 75, 79, 83, 84], и многие другие.

Эффективное решение указанных задач требует применения специальных численных методов, обычно связанных с постановкой на искусственных границах точных или приближенных неотражающих/прозрачных граничных условий (ПГУ). Известны также абсорбирующие граничные условия (ABC) [29, 66, 76], идеально соответствующие слои (PML) [37, 42-44], комплексные абсорбирующие потенциалы (САР) [67, 73, 78] и др. Следует отметить, что существующие методы отнюдь не равноценны. Для некоторых из них в расчетах присутствуют заметные отражения от искусственных границ, вопросы лучшего выбора параметров и/или устойчивости методов не решены удовлетворительным образом, а иногда возникают проблемы с вычислительно устойчивой реализацией приближенных ПГУ, см. недавние обзоры [30, 41, 59]. Лучшие

из подходов так или иначе используют аналитические интегро-дифференци-альные ПГУ.

Среди всех существующих выделяется подход, связанный с так называемыми дискретными ПГУ (ДПГУ), представляющими собой выводимые на дискретном уровне аналоги аналитических ПГУ, но не какую-либо их непосредственную аппроксимацию. Применение ДПГУ позволяет в точном математическом смысле сузить на конечную сетку решения схем на бесконечных по пространству сетках, которые непосредственно неприменимы на практике из-за бесконечности числа неизвестных на каждом слое по времени. Оно характеризуется полным отсутствием отражений от искусственных границ и устойчивостью вычислений. Четкая математическая основа ДПГУ позволяет построить строгую теорию устойчивости и обеспечить выполнение законов сохранения для использующих их методов (последнему придается особое значение в физической литературе). ДПГУ представляют собой нелокальные по времени (в двумерном случае - и по пространству) уравнения вдоль искусственных границ. Их реализация не сложнее, чем реализация дискретного третьего краевого условия, с точностью до вычисления дискретных сверток по времени в одномерном случае и дополнительно применения одномерного дискретного преобразования Фурье в двумерном случае. Для наиболее стандартной разностной схемы для одно- и двумерного уравнения Шрёдин-

грпя nnrv тзгтртлтэктр пячпя^птя пи А Ärnolrl ДА Т-ГЪ гЪ я rrl f ТА TT Г^АгЬг^пигпз тэ

1 <_Aj ^_Л. Л. Л. t/ 1JJ.1 1J 1 J А \_ЛЛ_I -А. L4U X Л. i А Д. • А LI IJ. V_/ А ^ » X . ' ' 1Л1 А А 1ДУ1 V4 V • 1 1 .1/ Л • V^ ^ A A ' ^

1998-2003 |33, 34. 52]. Дополнительный вклад в их теоретический анализ был выполнен В. Ducomet и A.A. Злотником [4, 48, 49]. Отметим, что на самом деле ранее подобный подход был предложен в довольно общем виде В.А. Гординым [3], с приложениями к другим уравнениям. Применение ДПГУ для систем уравнений, более сложных областей и родственных уравнений можно найти в работах [35, 51, 53, 71, 80].

Настоящая диссертация связана с развитием и дальнейшим применением последнего подхода. В ней рассматриваются начально-краевые задачи для обобщенного нестационарного уравнения Шрёдингера с переменными коэффициентами на полупрямой и в полуполосе. (Отметим, что чаще фигурирующие в литературе случаи всей прямой или полосы отличаются несущественно, но формально требуют более длинного анализа). Для их численного решения строятся и изучаются следующие методы:

• семейство разностных схем с усреднением по пространству для одномерного уравнения Шрёдингера на полупрямой;

• семейство разностных схем с усреднением по пространству для двумерного уравнения Шрёдингера в полуполосе;

• метод конечных элементов (МКЭ) произвольного порядка для одномерного уравнения Шрёдингера на полупрямой;

• разностная схема с расщеплением по потенциалу для двумерного уравнения Шрёдингера в полуполосе.

Строгое построение и анализ методов с дискретными ПГУ представляет собой непростую математическую задачу. Чтобы не решать ее каждый раз заново для различных, но в чем-то родственных схем, в работе строятся новые семейства двухслойных симметричных разностных схем с трехточечным усреднением по каждой из пространственных переменных. Они охватывают богатый набор довольно разных по способу построения схем: стандартную схему без усреднений, изученную в [4, 34, 48, 49, 52]; метод линейных/билинейных конечных элементов (с различными способами численного интегрирования), в одномерном случае рассмотренный в [31, 80] с некоторыми приближенными ПГУ1; четырех/восьми-точечную векторную мультисимплектическую ч схему, в одномерном варианте представленную в [60] с некоторым прибли-

женным ПГУ, см. также [61, 62, 65]; кроме того, схему, в случае постоянных коэффициентов связанную со схемой повышенного порядка точности типа Нумерова, рассмотренную с ДПГУ в одномерном случае в [72] и в двумерном - в [81]. Как представители одного семейства, все перечисленные схемы анализируются единым образом и для них доказываются новые результаты об устойчивости при общих приближенных ПГУ; а также строго выводятся и анализируются дискретные ПГУ, в том числе являющиеся новыми.

Отметим, что аппроксимация по времени как в семействах схем, так и в МКЭ - консервативная двухслойная симметричная (т.е. типа Кранка-Николь-сон), весьма популярная для уравнения Шрёдингера, т.е. различия касаются именно аппроксимации по пространственным переменным. Дальнейшее введение расщепления по потенциалу в двумерном случае позволяет построить

1 приближенными ПГУ будем называть разнообразные аппроксимации аналитических или дискретных ПГУ, включая и сами дискретные ПГУ

эффективный прямой метод реализации схемы (с использованием быстрого дискретного преобразования Фурье (ДПФ)) для общего потенциала, не нарушая свойств консервативности схемы.

В диссертации исследование перечисленных методов в основном проводится по следующему единому плану:

• выводятся теоремы о равномерной по времени устойчивости методов в ¿2 ив энергетической норме по начальным данным и правой части при общем приближенном ПГУ типа Dirichlet-to-Neumann тар (на конечной сетке);

• изучаются варианты методов на бесконечной сетке по пространству, доказываются аналогичные теоремы о равномерной устойчивости и выводятся законы сохранения;

• на основе результатов, доказанных для бесконечной сетки, с помощью аналитического решения вспомогательных сеточных задач строго выводятся дискретные ПГУ, а также обосновывается равномерная устойчивость методов с дискретными ПГУ;

• методы программно реализуются, проводятся серии численных экспериментов, которые позволяют дополнить теоретические результаты рядом важных практических выводов.

При этом развивается подход к анализу устойчивости схем с общими ПГУ и построению дискретных ПГУ, предложенный в [4, 48, 49]. Отметим, что в предшествующих работах по ДПГУ анализу устойчивости уделялось недостаточное внимание (в частности, не исследовалась устойчивость по правой части, которая - как оказалось - на самом деле имеет ключевое значение при анализе методов именно с ДПГУ), а сама техника требовала совершенствования. Выражающие устойчивость оценки доказывались только в сеточной норме L2. Вывод ДПГУ выполнялся формально, т.е. без строгого анализа сходимости возникающих рядов и аналитичности возникающих функций или их ветвей. Кроме того, в оригинальных работах сам вывод ДПГУ был довольно громоздким и двухэтапным, причем на первом этапе (в диссертации он отсутствует) возникала неустойчивая форма записи, которая затем корректировалась. При выводе ранее использовалось Z-преобразование, основанное

на рядах Лорана: в диссертации же применяется более простой метод производящих функций, основанный на разложении аналитических функций в ряды Тейлора. Сама форма записи ДПГУ в форме дискретного БтсЫеМо-Меитапп тар в диссертации является несколько иной и более адекватной (соответствующей конкретной схеме).

Перейдем к подробному описанию содержания диссертации. Ее текст написан таким образом, что отдельные главы могут в основном читаться независимо друг от друга. Глава 1 организована следующим образом. В разделе 1.1 формулируется начально-краевая задача для уравнения Шрёдингера на полуоси с переменными коэффициентами, выходящими на константу при больших х. Строится семейство разностных схем с усреднением по пространственным переменным. Предлагается такой новый естественный способ записи общих приближенных ПГУ, который в дальнейшем позволяет достаточно просто анализировать их устойчивость, а для дискретного ПГУ сразу приводит к вычислительно устойчивой форме записи.

В разделе 1.2 изучается устойчивость семейства разностных схем с общим приближенным ПГУ (что позволяет охватить как дискретные, так и некоторые другие ПГУ). Укажем, что анализ достаточно общих приближенных ПГУ может быть полезен, например, уже при переходе к различным упрощениям ДПГУ типа [34] и иных. Энергетическим методом доказываются две оценки решений, выражающие абсолютную устойчивость решения в сеточной норме ¿2 и в энергетической норме по отношению к начальным данным и свободным членам в уравнении и приближенном ПГУ. Оценки равномерны по времени и не предполагают никаких ограничений на шаги сеток; они даны при естественном ограничении на параметр семейства. (Для сравнения отметим, что добиться равномерности оценок по времени для отличных от ДПГУ подходов затруднительно - в них возникают экспоненциально растущие во времени множители). Для их вывода на оператор приближенного ПГУ накладываются те же условия, что и в [48, 49].

В разделе 1.3 для семейства разностных схем на бесконечной сетке на полуоси выводятся аналогичные установленным в разделе 1.2 оценки решений. Доказывается существование и единственность решений (с помощью теоремы Лакса-Мильграма-Вишика), а также справедливость для них законов сохранения. Поскольку сужения указанных решений на выбранную конечную

часть сетки являются решениями тех же разностных схем на конечной сетке с дискретным ПГУ на искусственной границе, то законы сохранения позволяют прояснить для оператора дискретного ПГУ 5ге( энергетический смысл неравенств, наложенных ранее на оператор приближенного ПГУ. В разделе 1.4 представлен подробный вывод (с помощью метода производящих функций) и анализ двух различных форм записи дискретного ПГУ, имеющих вид дискретной свертки. Приводятся два различных доказательства неравенств, накладываемых на оператор в утверждениях об устойчивости решений. Первое доказательство основано на результатах раздела 1.3 и в действительности выражает тот важный факт, что схема с дискретным ПГУ автоматически сохраняет свойства устойчивости соответствующей схемы на бесконечной сетке на полуоси. Второе доказательство более аналитично и основано на свойствах производящей функции, соответствующей (что может быть полезно при упрощении дискретного ПГУ). Кроме того, установлены свойства, связанные с вычислительно более удобной формой записи и устойчивостью 5гсг. Типичные графики поведения во времени ядер дискретных ПГУ для различных схем семейства приводятся в приложении А.

Численные эксперименты для семейства схем с дискретными ПГУ из главы 1 вынесены в приложения Б, В и Г. Они включают расчеты свободного распространения гауссовой волны и моделирование туннельного эффекта ^ для потенциалов (барьеров) ступенчатой формы, включая известный пример

прохождения волнового пакета через двойной потенциальный барьер из [30]. Все выполненные в работе расчеты относятся к подобным случаям. Как обычно, наглядно видно полное отсутствие отражений от искусственных границ, что весьма существенно, поскольку вещественные и мнимые части типичных решений сами представляют собой сильно осциллирующие функции, и наличие отражений могло бы резко исказить их поведение. Это в полной мере относится и к последующим численным результатам. Результаты расчетов позволяют дополнить теоретический анализ и сравнить между собой различные схемы семейства. В частности, оказывается, что самая популярная схема без усреднений вовсе не является лучшей; рекомендуемая в ряде теоретических работ так называемая мультисимплектическая схема дает, как правило, результаты хуже, а наилучшие результаты показывает схема типа Нумеро-ва, причем даже в случае кусочно-постоянных потенциалов (когда решение

не является достаточно гладким). Таким образом, применение правильных усреднений позволяет повысить качество численных решений. Другой вывод состоит в том, что погрешность в весьма интересной на практике сеточной норме С по пространству хотя обычно больше, чем в норме L2) н0 ведет себя аналогичным образом. Эти достаточно важные практические выводы затем подтверждаются и в двумерном случае.

Глава 2 имеет следующую структуру. В разделе 2.1 формулируется начально-краевая задача для обобщенного уравне�