Представления функциональными интегралами решений начально-краевых задач для эволюционных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Бутко, Яна Анатольевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи УДК 517.987.4
Бутко Яна Анатольевна
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫМИ
ИНТЕГРАЛАМИ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
Специальность 01.01.01 — математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени канди дата физико-математических наук
Москва — 2006
Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор О. Г. Смоляное
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор А. И. Кириллов
доктор физико-математических наук, профессор Е. Т. Шавгулидзе
Ведущая организация: Математический институт
им. В. А. Стеклова РАН
Защита диссертации состоится 3 марта 2006 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-матемаг тический факультет, аудитория 16-24.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан 3 февраля 2006 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ
доктор физико-математических наук, (ди\\1 I профессор V
Т. П. Лукашенко
1Р06 А ДО-f
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Диссертация посвящена представлению решений некоторых начальных и краевых задач для эволюционных уравнений с помощью функциональных интегралов.
Связь между дифференциальными уравнениями в частных производных и интегрированием по пространству траекторий была обнаружена Р. Фейнманом при разработке нового подхода к квантовой механике. В 1948 году вышла в свет ставшая в настоящее время классической статья Р. Фейнмана1, в которой была предложена конструкция, получившая название функционального интеграла. Как отметил Фейнман, эта конструкция восходит к П.А.М. Дираку. Фей-нмановское определение основано на эвристическом понятии интеграла по траекториям, и хотя работа Фейнмана написана на физическом уровне строгости, благодаря своей интуитивности, элегантности, а главное - эффективности предложенного подхода, идея интегрирования по траекториям (функционального интегрирования) нашла множество последователей.
Процедура функционального интегрирования позволяет представлять решения эволюционных (псевдо)дифференциальных уравнений с помощью интегралов по бесконечномерным функциональным пространствам - пространствам траекторий. Исследование функциональных интеграле» и их применение к изучению дифференциальных и псевдодифференциальных операторов (а также и других математических объектов) в настоящее время является одним из центральных направлений бесконечномерного анализа. Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.
Научная новизна.
Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:
1. Получены представления решения задачи Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии в виде пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням
гЯ.Р. Реуптал, Space-time Approach to Nonrelativistic Quantum Mechanics, Rev. Mod. Phys., 20 (1948), 367-387
многообразия и в виде функциональных интегралов по некоторым мерам гауссовского типа на траекториях в многообразии.
2. Найдены представления решения задачи Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия в виде пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням области и в виде функциональных интегралов по некоторым мерам гауссовского типа на траекториях в многообразии.
3. Получены представления решения задачи Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия в виде пределов решений задач Коши для уравнений диффузии со сносом во всём многообразии при неограниченном возрастании абсолютных значений потенциалов вне области.
4. Найдены представления решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера в компактном римановом многообразии в виде функциональных интегралов по некоторым мерам гауссовского типа на траекториях в многообразии.
5. Доказано существование задаваемого формулой Фейнмана-Кацаг Ито локального решения уравнения Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве.
Методы исследования. В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Некоторые результаты диссертации могут быть использованы при исследовании квантовых систем с бесконечномерным конфигурационным пространством и с нелинейным конфигурационным пространством. Апробация диссертации.
Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Механико-математического факультета МГУ, в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, а также на следующих конференциях:
1) XXVI Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2004.
2) XXI Международная конференция "Дифференциальные уравне-
ния и смежные вопросы", посвященная 103-летию со дня рождения И.Г.Петровского, Москва, 2004.
3) XXVI Conference "Quantum Probability and Infinite Dimensional Analysis", Levico Terme, Italy, 2005.
4) XXVII Конференция Молодых Учёных МГУ им. M. В. Ломоносова, Москва, 2005.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх работах автора [1-4]. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации составляет 81 страницу. Список литературы включает 97 наименований.
Краткое содержание диссертации
Во введении приводится краткий исторический обзор работ по теме диссертации.
Оригинальный фейнмановский подход основан на определении функционального интеграла как предела конечнократных интегралов. Фейнман использовал такую конструкцию для представления решения уравнения Шредингера с потенциалом. Э. Нельсон заметил2, что доказательство формулы Фейнмана можно провести в этом случае путём применения теоремы Троттера3. Так было положено начало очень эффективному методу получения функциональных интегралов для эволюционных уравнений. Тем не менее, в некоторых важных для приложений случаях теорема Троттера не может быть применена. В работах О. Г. Смолянова, X. ф. Вайцзекке-ра и их соавторов4, б,6 было предложено вместо формулы Троттера
'Nelson Е., Peynman Integrals and the Schrödinger Equation, J. Math. Phyt., 6 (1964), no. 3, 332-343
31>otter H.F., On the Product of Semigroups of Operators, Proc. Amer. Math. Soc., 10 (1959),
545-551.
'Вайцзеккер Х.ф., Смоляне» О.Г., Виттих О., Диффузия на компактном римановом многообразии и поверхностные меры, Доклады Академии Наук, 371 (2000), N 4, 442-447
6Вайцзехкер Х.ф., Смоляное О.Г., Виттих О., Сидорова H.A., Поверхностные меры на траекториях в римановых многообразиях, порождаемые диффузиями, Доклады Академии Наук, 377 (2001), N 4,441-446
"Вайцзекхер Х.ф., Виттих О., Смоляное О.Г., Сидорова H.A., Поверхностные меры Винера
использовать значительно обобщающую её теорему Чернова7. Это существенно расширяет область применения предложенного подхода.
Метод этих авторов4'5,6 имеет важные преимущества при исследовании эволюционных уравнений на многообразиях. Он позволяет получать аппроксимации функциональных интегралов по мере Винера в виде конечнократных интегралов от элементарных функций, содержащих геометрические характеристики многообразия, тогда как при традиционном подходе аналогичные конечнократные интегралы содержат невыражающиеся через элементарные функции переходные вероятности меры Винера на траекториях в многообразии.
Аппроксимации в работах Смолянова и Вайцзеккера приводят естественным образом к поверхностным мерам8, отличным от меры Винера, соответствующей броуновскому движению в многообразии. В диссертации получены функциональные интегралы по таким мерам для некоторых эволюционных уравнений на римановом многообразии. В частности, показано, что метод Смолянова-Вайцзеккера может быть применён к краевым задачам и к исследованию псевдодифференциальных уравнений.
В первой главе найдены представления решения задачи Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии в виде пределов интегралов по конечным декартовым степеням многообразия. Также получены представления решения задачи Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия в виде пределов интегралов по конечным декартовым степеням области. В обоих случаях интегралы берутся от элементарных функций, зависящих от геометрических характеристик многообразия, коэффициентов уравнения и наг чальных условий. Найденные представления интерпретируются как функциональные интегралы по поверхностным мерам Смолянова8 и по мере Винера, соответствующей броуновскому движению в мно-
го траекториях в римановых многообразиях, Доклады Академии Наук, 383 (2002), JM, 458463
TChemoff R., A Note on Product Fbrmulas for Operator Semigroups, Journal of Functional Analysis, 2 (1968), 238-242.
8Sidorova N. A., The Smolyanov surface measure on trajectories in a Riemannian manifold, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 7, N3, September 2004, 461-472
гообразии.
Пусть К- компактное риманово многообразие размерности ш, изометрически вложенное в пространство Пусть Ф : К —► -изометрия, осуществляющая вложение. Обозначим символом р ри-манову метрику на К, уо1д- - борелевскую меру на К, порождаемую римановым объёмом.
Для t>0, х, г € К рассмотрим следующие выражения:
Еи \ 1 Ш ч 1
пВи ~ - р*(*,а;,*) I,
д 1крЕ(^х фо1к(^у ™х>*>- /кРг(ьх,
Для каждого п € N обозначим Кп = К х К х... х К. Рассмотрим временной интервал [0, £]. Тогда пусть П = : 0 = Ц < <1 < ... < = <} - разбиение временного интервала с диаметром |П| — тах^-— 0 при п —► оо.
Обозначим символом В([0,£], К) - множество функций из [0,4] в К, имеющих разрывы только первого рода.
Пусть / : б([0, К) —► К - ограниченная непрерывная функция. Тогда определим /п(хъ •••,*„) = /(<^(1Ь ...,хп)(<)), где ¥>п(хъ — - отображение множества Кп в В([0,{\,К) такое,
что^(ж1,...,хп)(<о) = х, ц%(хи...,хп)(з) = х^, при з € =
Определение 1. Пусть Ь > 0, х € К, / : В([0, <], К) —► К - ограниченная непрерывная функция. Интегралом от функции / по мере
* Р
называется
пно/
|п|
Кп
)уо\К{<1Х1)...УО\К{(1ХП).
Определение 2. Пусть £ > 0, х € .К", / : б([0, А") —» К - ограниченная непрерывная функция. Интегралом от функции / по мере У/Ъ1 называется
кя
)уо1к((1х1)...уо\к((1хп).
Определим Сд(£, п, х) следующим образом: Сп(*'п>х) —
= J РЕ(* 1. хи х2)...р^(гп-^1,хп-1,хп)уо1к(<1х1)...\о1к(<Ьп).
к»
Определение 3. Пусть t > 0, х € К, / : в([0, <], К") —► Ж - ограниченная непрерывная функция. Интегралом от функции / по мере р
называется
кп
хрЕ(1их,Х1)рЕ(12-Ь,Х1,Х2)...рЕ(гп-гп-1,хп-Ъх„)уо1к№1)...уо1к(Лхп). Определим Сп(£, п, х) следующим образом:
К"
Определение 4. Пусть Ь > 0, х е К, / : й([0, А') —» К - ограниченная непрерывная функция. Интегралом от функции / по мере
/(«ь х, Хх^Цг-Ц, хь Х2)...р1 , , х„)уо1а-(^1) • • .уо1*-(с&п) .
называется
Как показано в работах Смолянова, Вайцзеккера и их соавторов, для всякого х € К меры W^ и W^1 совпадают с мерой Винера порождённой броуновским движением в многообразии; мера Винера Wfr абсолютно непрерывна относительно поверхностной меры и относительно поверхностной меры S^1. Меры S%E и S^1 мы будем называть в дальнейшем внешней и внутренней поверхностными мерами Смолянова соответственно.
Пусть К- компактное риманово многообразие размерности m, изометрически вложенное в пространство В*. Символом С{К) обозначим банахово пространство непрерывных на К функций с нормой I! ' II» 11/11 = maxxetf |/(ж)|. Для любого fc € N символ Ск(К) обозначает пространство к раз непрерывно дифференцируемых на К функций.
Рассмотрим оператор Я на пространстве С (К), определённый следующим образом:
Г Dom(Я) = С2(К),
\ Hf(x) = (~\AKf)(x) + (а(я), V fix)) + V{x)f{x)
Здесь Ак — — tr V2 - оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии if, V - связность Леви-Чивита (при этом символом V/(x) € ТХК
- обозначается производная функции / в точке х). Предполагается, что а(-) : К —» ТК - векторное поле класса С1 (К), (u(x),v(x))
- скалярное произведение векторов и{х) и v(x) в ТХК, потенциал V : К —» R - непрерывная функция.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения диффузии со сносом:
Г §£(*, х) = H fit, х), t > 0, х € К, m
1/(0,х) = /о(®), х€К.
Для каждого вектора и{х) касательного пространства ТХК символом и<ь{х) обозначается этот же вектор как вектор в объемлющем пространстве. Символом г2 (а;) - обозначим квадрат нормы нормали средней кривизны в точке х, умноженной на размерность многообразия, scal(x) = trRicci {х) - скалярная кривизна многообразия К в точке х € К. Предположим, что функции scal(-) и г2(-) непрерывны на К.
Рассмотрим семейство операторов T(£),t > 0, действующих следующим образом: (T(t)/)(х) = /(7*(i))j гДе 7Х(") - геодезическая с началом в точке х и направляющим вектором а(х), длина её от начала до точки 7х (i) равна Ц\а(х)\\тгк = i||a$(x)||Rw, где |j • ||цлг - норма в объемлющем пространстве. Пусть многообразие К и векторное поле а(-) таковы, что T(t), для t > О корректно определённые операторы в пространстве С (К).
Рассмотрим следующие операторы, действующие в банаховом пространстве С (К): SE(t):
сS*{t)f)(x) = fe^f(z)gs(t,r(t),z)volK(dz),
Sf(t) :
(Sp(t)f)(x) = f -f(t), z)volK(dz)
Sfc) :
(S'mKx) = JetV^f(z)qI(t,nt),z)yolK(dz), к
S'{t) :
(^(t)/)(x) = f e^e^WV/iztfit,-f(t),z)vo\K(dz) к
С помощью теоремы Чернова доказывается следующее утверждение:
Теорема 1. Пусть etH - полугруппа операторов в С (К), разрешающая задачу Коши (I). Тогда
1) etH = s- lim (5f(i/n)n), 2) etH = s - lim {Sf (t/n)n),
»»—>00 n—>00 y
3) etH = s- lim (S'(t/n)*), 4) etH = s - lim(Sl(t/n)n),
n—>oo n—»oc
где s — lim обозначает предел в сильной операторной топологии на пространстве линейных непрерывных операторов в С (К).
Полученные пределы конечнократных интегралов позволяют представить решение задачи Коши в виде функциональных интегралов по мерам гауссовского типа.
Теорема 2. Пусть f(t, х) - решение задачи Коши (I) с начальным условием /о € С(К). Тогда f{t,x) может быть представлено с помощью функционального интеграла по внешней поверхностной мере Смолянова
\ Е/. \ [ 1П$(т))<1т }/вЫ(((т))с1т -¡}г>(((г))ат
/(¿,х) = сг(^х) I е° е о е 0 х
С([0,4],*О
хе° е о /о(£(<))^ №
где
<ли ЧЛ-1 /■ -¿М«(т))<1т £
(с®^,®)) * = Iе0 е 0 (¿0;
С([0,«],К)
и с помощью функционального интеграла по внутренней поверхностной мере Смолянова Б3^1
№,х)=СТ(1,х)х
х у е о ео е® (<*£),
С([о,«],к) где
№.))-. / е'Н'«'»^/**).
С([0,4],АГ)
Пусть А" - компактное риманово многообразие размерности т. Пусть С - область многообразия А" с гладкой границей ОС. Рассмотрим начально-краевую задачу Коши-Дирихле в области С для уравнения диффузии со сносом:
' = #/(*,*) * > 0,ж € С?
< /(0, я) = /„(*) х€С (//)
/(£, ж) — 0 ^О.хедС?
Мы предполагаем, что а(-) : К —► ТК - векторное поле класса С1 (К), - скалярное произведение векторов и(х) и ь(х) в
ТХК, потенциал V : G —► R - ограниченная непрерывная функция, /о € C0(G), / : [0, оо) х G R, /(t, •) G C0(Ü) для t > 0. Здесь Со(<2?) - банахово пространство функций, непрерывных на Ü := G U 8G и равных нулю на 8G, с нормой || • ||, ||/|| = supieG |/(х)|.
Пусть символ Cq(G) обозначает множество к раз непрерывно дифференцируемых в G функций, обращающихся на dG в нуль вместе со всеми своими частными производными до к-то порядка включительно. Зададим оператор (A,Dom(A)) на пространстве Со(2?) следующим образом: Dom(A) = Cq(G), Af(x) = Hf(x), x € G.
Рассмотрим множества Gs вида Gg = {x € G : p(x, dG) > 5}. Пусть e(-) : R+ —► R+ - функция, монотонно убывающая к нулю при стремлении аргумента к нулю. Например, можно рассматривать e(t) = carctg(t), с > 0.
Пусть ip£(t){x) - некоторое множество функций из Cq(G) таких, что = 1 при X 6 £?зе(ф = 0 при X € G \ Ge(t) и
0 < 4>e(t){x) < 1 при х € Ge(t)\Gze(t). Тогда <pe(t)(x) аппроксимируют в смысле поточечной сходимости индикатор Ig(x) области G при
Рассмотрим следующие операторы, действующие в банаховом пространстве Co(G): TqE(t) :
(TgBm(*) = <Р*(Ф) I etV^f(z)qE(t, "f(t), z)vo\K(dz),
ъ
TpE(t) :
(Tp(t)f)(x) = <р£ф) f e^ei^^e-l^^fiz)^,-f(t), z)volK(dz),
г?
(Xt(t)f)(x) = <pe(t)(z) f etvMf(z)q*(t,-f(t),z)volK(dz), T'(t):
(T/(i)/)(x) = <fieW(x) f eWe^WVfizyit,-f(t), z)vo\K{dz). ü
Теорема 3. Пусть etA - полугруппа операторов в Со (G), разрешающая задачу Коши-Дирихле (II). Тогда
1) etA = s - Um (Tf(t/n)n), 2) etA = s - lim {Tf(t/n)n).
»00 * n—»oo
3) etA = s- Ит(Г/(i/n)n), 4) eiA = s- lim(Tl(i/n)n).
fi*4öo ti im •
Теорема 4. Пусть f(t, х) - решение задачи Коши-Дирихле (II) с начальным условием /о € Со (С?). Тогда f(t,x) может быть представлено с помощью функционального интеграла по мере Винера
Щ:
fit, я) =
Г 1 V№)dТ /(o»(i(r)),di»(T)> -J f |Mi(T))|£„<iT
= J e° e° e о
с QMfi)
(1)
с помощью функционального интеграла по внешней поверхностной мере Смолянова Sff1:
tu . JJ/j. \ f fmr))dr i/«al(«r))dr -иЛЦт))*г
f{t,x) = cr(t,x) I &> e о e о x
C([o,t],<?)
хе» e • /о
где
(c*(t,s))l = J e 0 e о ££ (¿0;
« с помощью функционального интеграла по внутренней поверхностной мере Смолянова S^f:
/(t,x) = </(£, ®)х
f £/8cal(f(r))dr f(at(((r)),dit(r)) f(V(((T))-|t|e»(«r))||^)<ir .
x J e 0 e° e°
C([0,t],G) г<?е
сл.))-- / еЧ^^вГт-
С([о ,г\,к)
В формуле (1) фактически используется сужение меры Винера на С([0, £], С), которое можно интерпретировать как меру, соответствующую броуновскому движению в области (7 с поглощением на границе.
Сопоставим заданному потенциалу У : й -* К — функции непрерывной и ограниченной на С — функцию V : К —> Ш,
ЩХ) = / П«), х € С У{х) \ -оо, хек\в
Рассмотрим последовательность функций Уп(х) € С (К), п € таких что Уп(х) —► У(х), п —* оо для любого х € К, причём при всяком натуральном п вирс Уп(х) < зирс У(х) = V.
Рассмотрим семейство уравнений диффузии со сносом на К:
9{it,x) = + (а(х), V/(i,x)) + Vn(x)/(i,x). (///)
Теорема 5. Решение задачи Коши-Дирихле (II) для уравнения диффузии со сносом в области G компактного риманова многообразия К с начальным условием /о € Со (G) С С (К) может быть получено как сужение на G предела решений задач Коши для соответствующего семейства уравнений (III) на К при Vn —* V, п —► оо. Таким образом, решение задачи (II) может быть представленно в виде предела функциональных интегралов по мере Винера
/(«,*) =
= 1ш1 / е» 0
п—»00 J
стт
в виде предела функциональных интегралов по внутренней поверхностной мере Смолянова
П-.00 ]
С([0 АЛ)
/<«*(«г))Л#(г)>-* /||0#«(г))||^Лг ,
X е» о /о(С(«))5*
и в виде предела функциональных интегралов по внешней поверхностной мере Смолянова :
*П \ -Ел, \ ,. f -U^(r))dr fvn(((r))dr
f(t, x) = crit, X) hm I e 0 e ° e° x
n—>oo J
C([0,t],K)
где c?(t,x) и c?(t,x) определены ранее.
Во второй главе диссертации получены представления решения задачи Копт для уравнения Шрёдингера в компактном римановом многообразии в виде функциональных интегралов по поверхностным мерам Смолянова и по мере Винера, порождённой броуновским движением в многообразии.
В доказательстве используются восходящий к Камерону и Дос-су метод перехода от уравнения Шрёдингера к уравнению теплопроводности и представления решения задачи Коши для уравнения диффузии, полученные в главе 1.
Пусть К - компактное риманово многообразие размерности т.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения Шрёдингера с потенциалом V : К -* €.
Г i%(t,x) = (\AKf)(t,x) + V(x)f(t,x) t > 0,V* € К , , l/(0,x) = /o(®) хек u
Предполагаем, что /0 € С (К), f : [0,оо) х К —► С, /(£,•) € С (К), Vf > 0. Здесь и далее С (К) - банахово пространство ком-плекснозначных функций, непрерывных на К с нормой || • || sup хеК\f(x)\.
Рассмотрим множество К = l>x€jc{x + \А{К — ж)}. Будем говорить, что функция д : К —* С принадлежит классу А, если выполнены следующие условия:
1) существует область Од некоторого комплексного многообразия, замыкание которой содержит К;
2) существует единственная аналитическая в Од, непрерывная на 09UK функция J такая, что её сужение на К совпадает с д.
Если в условии (2) функция д является также дважды непрерывно дифференцируемой на OfljjK, то мы будем говорить, что функция д принадлежит классу А2.
Теорема 6. Пусть К - компактное риманово многообразие размерности т, изометрически вложенное в пространство M.N с С* Пусть V и /о - функции класса А. Пусть f(t, х) - решение задачи Коши (2) с начальным условием /о и потенциалом V. Пусть f{t, х) является функцией класса А2 по переменной х. Тогда решение задачи Коши (2) f(t,x) может быть представлено с помощью функционального интеграла по мере W%:
f(t, х) = J е о /в(з + - *))W£(d£),
с помощью функционального интеграла по внешней поверхностной мере Смолянова S%E:
ж»)-«•<«.•) / ,Чтт~'х
С((о Д,к)
(с*(<,х))-= / С(№К)
и с помощью функционального интеграла по внутренней поверхностной мере Смолянова :
/(£, х) = (/(£, х) х х у е'о е о -*)№(«),
, г,. Г НвсаК^г))^ ,
(¿/(^х» = j е«
С([0,4],Я")
В третьей главе рассматривается уравнение Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве. Векторный потенциал играет ту же роль, что и магнитное поле в ко> нечномерном случае. Доказано существование решения задачи Копта для данного уравнения Шрёдингера. Решение является локальным по временной и пространственным переменным и представляется вероятностной формулой типа Фейнмана-Каца-Ито.
(Псевдо)дифференциальные уравнения для функций бесконечномерного аргумента встречаются в различных разделах теоретической физики, в том числе в квантовой теории поля (например, в связи с процедурой вторичного квантования) и в теории супер» струн. Систематическое математическое исследование таких уравнений было начато в 60-х годах. Параболические дифференциальные уравнения второго порядка в абстактном пространстве изучались Л. Гроссом, X. Го, М. И. Вишиком, Ю. Л. Далецким, О. Г. Смоляно-вым, С. В. Фоминым, Н. И. Фроловым, А. В. Углановым и многими другими. Существует множество работ, посвящённых формуле Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности (или в более общем случае для уравнения Колмогорова) в бесконечномерном пространстве. Бесконечномерное уравнение Шрёдингера изучалось различными методами в работах С.Альбеверио, Ж. Бжезняка, Ю. Л. Далецкого, О. Г. Смсшянова, А. Ю. Хренникова, Е. Т. Шавгулидзе и других авторов. Формула Фейнмана-Каца для уравнения Шрёдингера в бесконечномерном пространстве исследовалась в основном в
работах9,10,11. В этих работах был последовательно расширен класс потенциалов, для которых доказыйается формула Фейнмана-Каца. В диссертации результаты, аналогичные результатам С. Альбеверио, О.Г. Смолянова и А.Ю. Хренникова11, получены для бесконечномерного уравнения Шрёдингера, содержащего не только скалярный, но и векторный потенциал.
Пусть X - вещественное сепарабельное гильбертово пространство, (•, •) и || • || - скалярное произведение и норма в X. Пусть В - симметрический ядерный оператор в X; а : X —* X ~ векторное поле; V : X —► С - скалярная функция. Обозначим через Н - гаг мильтониан квантового поля в векторном потенциале а и скалярном потенциале V:
Hf(t,x)= '
= ~tr(Bf"{t,x))+2i(a(x)J'(t,x))+idWa(x)f(t,x)+V{x)f(t,x).
(3)
Символы /' и /" обозначают соответственно первую и вторую J
производные (по Фреше) функции / по переменной х € X.
Рассмотрим задачу Коши для бесконечномерного уравнения Шрёдингера: '
i^(t,x) = Hf{t,x), (4)
/(0,х) = /о(х). (5)
Введём следующие обозначения. Множества S(c, г) — {х 6 X : ||ж — с|| < г} и 5(с,г) = {х € X : ||х — с|| < г} - это соответственно открытый и замкнутый шары в X с центром в с € X и радиусом г > 0. Рассмотрим 6, г > 0, с € X. Обозначим символом C1,2([0,i) х
'Смоляное О.Г., Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование Шрёдингера, Доклады Акад. Наук, 263, 3 (1982), 558-562
'"Хренников А.Ю., Теорема существования решения бесконечномерного уравнения Шрёдингера с квадратичным потенциалом, Успехи Мат. Наук, 39 (1984), 163-164.
llAlbeverio S., Khrennikov A., Smolyanov О., The Probabilistic Feynman-Kac Fbrmula for an Infinite-Dimensional Schroedinger Equation with Exponential and Singular Potentials, Potential Analyti» vol.11, 1999, 157-181
S(c, г)) класс функций / : [0, <5) х 5(с, г) —► С один раз непрерывно дифференцируемых по t и дважды непрерывно дифференцируемых (по Фреше) по переменной х.
Локальным решением задачи Коши (4), (5) называется функция / € С^М х S(c,r)) для некоторых г, 6 > 0, с 6 X, которая удовлетворяет уравнению (4) и Ит*_о f(t, х) — /о(х) для любого х е Же,г).
Обозначим через Z комплексификацию X, то есть Z = X ф гХ. Это комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением, являющимся стандартным продолжением скалярного произведения в X. Символ \Д обозначает число е?*.
Пусть Kerf? = {0}. Рассмотрим ортонормированный базис {ej}j собственных векторов оператора В, Ве} = b2ej. Обозначим через Х+ подпространство X, порождённое векторами отвечающими положительным собственным значениям оператора В. Ортогональный проектор на подпространство Х+ будем обозначать П+. И аналогично Х- — подпространство X, порождённое векторами ßj, отвечающими отрицательным собственным значениям оператора В. Соответствующий ортогональный проектор: П_. Символ %Дв обозначает оператор, действующий следующим образом: для х = ^ZjXjZj € X выполняется уДв х = y/isgnbj х}е}, то есть у/Тв = \/Ш+ + V—(считаем, что » = е~Ь).
Рассмотрим множества D (с, г) = S(c,r) х у/ТЦХ — S(c, г) х \ДХ+ х у/^гХ-. Элементы таких множеств имеют вид: z — х + Viy+ + y/^гу-, где х G S(c,r), у+ € Х+, у- 6 Будем обозначать RißZ — х, = у+, I~/2z = Также будем рассматривать D(c, г) = 5(с, г) х у/ТЦХ.
Обозначим через Лг(В(с, г)) класс аналитических функций V : D(c, г) —> С, удовлетворящих следующим условиям на рост:
3 а > 0 : \V(*)\ < «\Щ2г\\* + ЩгА? + 1], * € D(с, г).
Обозначим через AEi(D(c,r)) класс аналитических функций /о : D(c, г) —► С, удовлетворящих следующим условиям на рост:
3 /3,7 > 0 : |/о(;г)| < z G D(C)s).
Введём операторы = П+ — П_ и \В\ — В&^аВ. Оператор \В\ является положительно определённым симметрическим ядерным оператором и, следовательно, мы можем построить соответствующий ему Винеровский процесс £(£). Математическое ожидание по мере, порождённой этим процессом, обозначим Ещ-
Теорема 7. Пусть В и С - коммутирующие симметрические ядерные операторы в X, причём КегВ = {0}, С - положительно определён и Р1ап(С) С Оот(|В|-1^2). Пусть для любого х € X а(х) = Сх, V € А2(В(с, г)) и /0 € АЕ^Щс, г)). Тогда существует & = 5(В, V, С, /о) > 0 такое, что функция /, заданная формулой Фейнмана-Каца-Ито
( -ifV(x+^i(r))dr /diva(x+v^i(r))dr
f(t,x) = ЕЩ I fo{x + y/iB^{t))e о eo
2t}{В-1а(х+^{т))Мх+^{г)))<1т 2/((у^ВГУх+^М^мД
• e 0 e 0 I ,
для t € [0,<5) u x € S(c, r) является локальным решением задачи Коши (4), (5).
В заключении формулируются основные результаты диссертаг ции.
Я хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Список работ автора по теме диссертации
[1] Вутко Я.А., Функциональные интегралы для уравнения Шрё-дингера в компактном римановом многообразии, Математические Заметки, 79 N2 (2006), 194-200.
[2] Butko Ya. A., Representations of the Solution of the Cauchy-Dirichlet Problem for the Heat Equation in a Domain of a Compact Riemannian Manifold by Functional Integrals, Russian Journal of Mathematical Physics, 11 N 2 (2004), 1-9.
[3] Бутко Я.А., Функциональные интегралы, соответствующие задаче Коши-Дирихле для уравнения теплопроводности в области ри-манова многообразия, Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, 2004, 37-43.
[4] Бутко Я.А., Представления функциональными интегралами решения задачи Коши-Дирихле для уравнения теплопроводности в области компактного риманова многообразия, Сборник тезисов международной конференции 'Дифференциальные уравнения и смежные вопросы', посвященной 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского, 2004, 40-41.
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать ¿Ъ.й! Об Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,25
Тираж 100 экз. Заказ Рб
щ
¿ооьА
U O i
H2-2 6 О f
«
i
i
i«
?
i
Введение
1 Диффузия со сносом в многообразии
1.1 Поверхностные меры, соответствующие мере Винера на траекториях в многообразии.
1.2 Задача Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии.
1.3 Семейства операторов, эквивалентные по Чернову полугруппе, разрешающей задачу Коши.
1.4 Представления решения с помощью формул Фейнмана
1.5 Представления решений с помощью функциональных интегралов по поверхностным мёрам~Т . !.
1.6 Задача Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области многообразия.
1.7 Формулы Фейнмана для задачи Коши-Дирихле.
1.8 Функциональные интегралы для задачи Коши-Дирихле
1.9 Представления решения задачи Коши-Дирихле в виде пределов решений некоторых задач Коши.
2 Уравнение Шрёдингера на многообразии
2.1 Задача Коши для уравнения Шрёдингера на многообразии
2.2 Взаимосвязь уравнения Шрёдингера и уравнения теплопроводности
2.3 Представления решения с помощью функциональных интегралов по поверхностным мерам.
3 Формула Фейнмана-Каца-Ито для бесконечномерного уравнения Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами. ф 3.1 Уравнение Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве.
3.2 Формула Фейнмана-Каца-Ито для положительно определённого оператора В.
3.3 Формула Фейнмана-Каца-Ито для оператора В с неопределённым знаком.
Диссертация посвящена представлению решений некоторых начальных и краевых задач для эволюционных уравнений с помощью функциональных интегралов.
Связь между дифференциальными уравнениями в частных производных и интегрированием по пространству траекторий была обнаружена Р. Фейн-маном [56] при разработке нового подхода к квантовой механике. В 1948 году вышла в свет ставшая в настоящее время классической статья Р. Фейнмана, в которой была предложена конструкция, получившая название функционального интеграла. Как отметил Фейнман, эта конструкция восходит к П.А.М. Дираку. Фейнмановское определение основано на эвристическом понятии интеграла по траекториям, и хотя работа Фейнмана написана на физическом уровне строгости, благодаря своей интуитивности, элегантности, а главное -эффективности предложенного подхода, идея интегрирования по траекториям (функционального интегрирования) нашла множество последователей.
Процедура функционального интегрирования позволяет представлять решения эволюционных (псевдо)дифференциальных уравнений с помощью интегралов по бесконечномерным функциональным пространствам - пространствам траекторий. Исследование функциональных интегралов и их применение к изучению дифференциальных и псевдодифференциальных операторов (а также и других математических объектов) в настоящее время является одним из центральных направлений бесконечномерного анализа. Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.
Функциональные интегралы естественным образом возникают в теории марковских случайных процессов. Это обстоятельство позволило М. Кацу [64] получить представление решения уравнения теплопроводности с потенциалом в виде функционального интеграла по мере Винера, широко известное ныне как формула Фейнмана-Каца. На произвольные марковские процессы эта формула была обобщена Е. Б. Дынкинм.
Множество исследований посвящено диффузионным процессам на группах Ли и римановых многообразиях, а также представлениям решений уравнений Колмогорова с помощью функциональных интегралов по мерам, порождаемым диффузионными процессами, соответствующими входящим в уравнения дифференциальным операторам (см., например, работы С. Вата-набэ, Б. Драйвера, С. Де Витт-Моретт, Дж. Иилса, Н. Икеды, П. Малливена, О.Г. Смолянова, А. Трумана, К.Д. Элворси, Д.В. Штрука и др.).
Функциональные интегралы, содержащие геометрические характеристики многообразия, впервые появились в работе Онзагера и Маклупа [73] и содержали коэффициент Затем в литературе стали появляться и другие коэффициенты (| и В статье С. Де Витт-Моретт, К.Д. Элворси, Б.Л.Нельсона и Г.С. Заммельмана [48] был сделан обзор существующих к тому времени работ на эту тему и была поставлена задача выяснения условий, при которых надо использовать тот или иной коэффициент. Впервые в математической литературе строгое обоснование появления всех этих коэффициентов было дано в работах Смолянова, Вайцзеккера и их соавторов [85], [86], [87], [7], [89], [9], [88]. В этих работах было показано, что различные коэффициенты зависят от того, каким способом при аппроксимациях плотностей переходных вероятностей находится расстояние между объектами в многообразии: внутри многообразия, в объемлющем пространстве или внутри некоторого большего многообразия, подмногообразием которого является рассматриваемое. Математически строго коэффициент | был также выведен в работе Л. Андерссона и Б. Драйвера [40]. И несколько позднее Смолянова и Вайцзеккера коэффициент | был получен в работе [58].
Оригинальный фейнмановский подход основан на определении функционального интеграла как предела конечнократных интегралов. Всюду далее представления функциональных интегралов с помощью пределов конечнократных иптегралов мы будем называть формулами Фейпмапа. Фейнман использовал такую конструкцию для представления решения уравнения Шре-дингера с потенциалом. Э. Нельсон заметил, что доказательство формулы Фейнмана можно провести в этом случае путём применения теоремы Трот-тера. Так было положено осповапие очень эффективному методу получения функциональных интегралов для эволюционных уравнений. Тем не менее, в некоторых важных для приложений случаях теорема Троттера не может быть применена. В работах О. Г. Смолянова, X. ф. Вайцзеккера и их соавторов было предложено вместо формулы Троттера использовать значительно обобщающую её теорему Чернова. Это существенно расширяет область применения предложенного подхода.
Метод этих авторов имеет важные преимущества при исследовании эволюционных уравнений на многообразиях. Он позволяет получать аппроксимации функциональных интегралов по мере Винера в виде конечнократных интегралов от элементарных функций, содержащих геометрические характеристики многообразия (с уже знакомыми нам коэффициентами | и тогда как при традиционном подходе аналогичные конечнократные интегралы содержат невыражающиеся через элементарные функции переходные вероятности меры Випера па траекториях в многообразии.
Аппроксимации в работах Смолянова и Вайцзеккера приводят естественным образом к поверхностным мерам, отличным от меры Винера, соответствующей броуновскому движению в многообразии. В диссертации получены функциональные интегралы по таким мерам для некоторых эволюционных уравнений на римановом многообразии. В частности, показано, что метод Смолянова-Вайцзеккера может быть применён к краевым задачам и к исследованию псевдодифференциальных уравнений.
В статье И. М. Гельфанда и А. М. Яглома [И] была поставлена задача об обобщении формулы Фейнмана-Каца на более широкий класс линейных эволюционных уравнений, в том числе шредингеровского типа. Существует множество методов представления решения уравнения Шрёдингера с помощью функциональных интегралов. Классический цодход, основанный на интерпретации функционального интеграла как предела конечнократных и применении формулы Троттера восходит к самому Фейнману. Такой подход используется в работах С. Альбеверио, Ф.А. Березина, Ю.Л.Далецкого, В.П. Маслова, Э. Нельсона, Б. Саймона, О.Г. Смолянова, А. Трумена, Р. Хег-Крона, А. Хибса, Е.Т. Шавгулидзе, П. Экснера и др.
Для аналитических потенциалов и начальных условий представления решения уравнения Шрёдингера для функций на конечномерном евклидовом пространстве могут быть получены из представлений решения уравнения теплопроводности различными методами аналитического продолжения. Метод аналитического продолжения в комплексную область по параметру, входящему в уравнение теплопроводности, был получен Р.Камероном [42]. Дос-сом [49] и независимо от него А. Ю. Хренниковым был предложен метод аналитического продолжения по переменному, входящему в уравнение теплопроводности. Наконец, в физической литературе с давних пор используется метод "перехода к комплексному времени". Для случая конечномерного евклидова пространства все три метода аналитического продолжения равносильны. Во второй главе настоящей диссертации получены представления решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера в компактном римано-вом многообразии с помощью перехода по Доссу и Хренникову к уравнению теплопроводности на многообразии и применения результатов первой главы.
Существует ещё один весьма успешный подход к получению функциональных интегралов, соответствующих решению уравнения Шрёдингера, -это непосредственное применение методов теории случайных процессов, в частности, формулы Ито (см. [60], [77], [35]). Такой подход реализован в третьей главе диссертации для получения формулы Фейнмана-Каца-Ито, представляющей решение уравнения Шрёдингера со скаларным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве.
Дифференциальные уравнения для функций бесконечномерного аргумента встречаются в различных разделах теоретической физики, в том числе в квантовой теории поля (например, в связи с процедурой вторичного квантования) и в теории суперструн. Систематическое математическое исследование таких уравнений было начато в 60-х годах. Параболические дифференциальные уравнения второго порядка в абстактном пространстве изучались JI. Гроссом, X. Го, М. И. Вишиком, Ю. JL Далецким, О. Г. Смоляновым, С. В. Фоминым, Н. И. Фроловым, А. В. Углановым и многими другими. Существует множество работ, посвященных формуле Фейнмана-Каца для уравнения теплопроводности (или в более общем случае для уравнения Колмогорова) в бесконечномерном пространстве (например, [14], [46]). Бесконечномерное уравнение Шрёдингера изучалось различными методами в работах С.Альбеверио, Ж. Бжезняка, Ю. JI. Далецкого, О. Г. Смолянова, А. Ю. Хренникова, Е. Т. Шавгулидзе и других авторов. Формула Фейнмана-Каца для уравнения Шрёдингера в бесконечномерном пространстве исследовалась в основном в работах [23], [65], [66], [35]. В этих работах был последовательно расширен класс потенциалов, для которых доказывается формула Фейнмана-Каца. В диссертации результаты, аналогичные результатам С. Альбеверио,
0.Г. Смолянова и А.Ю. Хренникова [35], получены для бесконечномерного уравнения Шрёдингера, содержащего не только скалярный, но и векторный потенциал.
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем:
1. Получены представления решения задачи Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии в виде пределов конечно-кратных интегралов по декартовым степеням многообразия и в виде функциональных интегралов по некоторым мерам гауссовского типа на траекториях в многообразии.
2. Найдены представления решения задачи Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия в виде пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням области и в виде функциональных интегралов по некоторым мерам гауссовского типа на траекториях в многообразии.
3. Получены представления решения задачи Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия в виде пределов решений задач Коши для уравнений диффузии со сносом во всём многообразии при неограниченном возрастании абсолютных значений потенциалов вне области.
4. Найдены представления решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера в компактном римановом многообразии в виде функциональных интегралов по некоторым мерам гауссовского типа на траекториях в многообразии.
5. Доказано существование задаваемого формулой Фейнмана-Каца-Ито локального решения уравнения Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве.
Методы исследования
В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа и ряд специальных конструкций.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Некоторые результаты диссертации могут быть использованы при исследовании квантовых систем с бесконечномерным конфигурационным пространством и с нелинейным конфигурационным пространством.
Апробация диссертации
Результаты, изложенные в диссертации, прошли апробацию на следующих конференциях:
1) XXVI Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2004.
2) XXI Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвящённая 103-летию со дня рождения И.Г.Петровского, Москва, 2004.
3) XXVI Conference "Quantum Probability and Infinite Dimensional Analysis", Levico Terme, Italy, 2005.
4) XXVII Конференция Молодых Учёных МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 2005.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в четырёх работах автора: [94], [95], [96], [97].
Структура и объём работы
Диссертация состоит из трёх глав, введения и заключения. Во введении проводится обзор работ по теме диссертации. В главе 1 представлены основные теоретические сведения, необходимые для дальнейшего изложения. Далее рассматривается задача Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии. Находятся семейства операторов, эквивалентные по Чернову разрешающей полугруппе операторов. С помощью теоремы Чернова решение задачи представляется в виде пределов конечнократных интегралов. При этом интегралы берутся от элементарных функций, зависящих от геометрических характеристик многообразия, коэффициентов уравнения и начальных данных. Получившиеся формулы (формулы Фейнмана) интерпретируются как функциональные интегралы по некоторым счётно-аддитивным мерам гауссовского типа. Одна из этих мер совпадает с мерой Винера, соответствующей броуновскому движению в многообразии. Другие являются поверхностными мерами Смолянова, введёными в работах [85], [7], [8], [9], [75].
Далее в главе 1 рассматривается краевая задача Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия с гладкой границей. Для решения задачи Коши-Дирихле находятся соответствующие формулы Фейнмана и функциональные интегралы по поверхностным мерам Смолянова и по сужению меры Винера на множество траекторий в области; данное сужение меры соответствует броуновскому движению в области с поглощением на границе. Кроме того, решение краевой задачи Коши-Дирихле в данной области многообразия представляется как предел решений задач Коши для семейства уравнений диффузии со сносом на всём многообразии при неограниченном возрастании абсолютных значений потенциалов вне области.
В главе 2 рассматривается уравнение Шрёдингера на компактном рима-новом многообразии. Для аналитических на некотором множестве потенциала и начального условия находятся представления решения задачи Коши в виде функциональных интегралов по поверхностным мерам Смолянова и по мере Винера, порождённой броуновским движением в многообразии. В доказательстве используются восходящий к Доссу метод перехода от уравнения Шрёдингера к уравнению теплопроводности и представления решений задачи Коши для уравнения диффузии, полученные в главе 1.
В главе 3 рассматривается уравнение Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве. Векторный потенциал играет ту же роль, что и магнитное поле в конечномерном случае. Доказывается существование решения задачи Коши для данного уравнения Шрёдингера. Решение является локальным по временной и пространственным переменным и представляется вероятностной формулой типа Фейнмана-Каца-Ито.
В заключении формулируются основные результаты диссертации.
Пользуясь предоставленной возможностью, я хочу выразить чувство глубокой признательности моему научному руководителю профессору Олегу Георгиевичу Смолянову за постоянные поддержку и внимание к моей работе.
Заключение
В диссертации получены представления решений начально-краевых задач для некоторых эволюционных уравнений с помощью функциональных интегралов по мерам гауссовского типа.
В главе 1 получены представления решения задачи Коши для уравнения диффузии со сносом в компактном римановом многообразии в виде пределов конечнократных интегралов по декартовым степеням многообразия; при этом интегралы берутся от элементарных функций, зависящих от геометрических характеристик многообразия, коэффициентов уравнения и начальных данных. Подобные представления называются формулами Фейнмана. Найденные представления интерпретируются как функциональные интегралы по поверхностным мерам Смолянова и по мере Винера, соответствующей броуновскому движению в многообразии. Также в главе 1 рассмотрена задача Коши-Дирихле для уравнения диффузии со сносом в области компактного риманова многообразия с гладкой границей. Найдены соответствующие формулы Фейнмана и функциональные интегралы по поверхностным мерам Смолянова и по сужению меры Винера на множество траекторий в области; данное сужение меры соответствует броуновскому движению в области с поглощением на границе. Кроме того, решение краевой задачи Коши-Дирихле в данной области многообразия представлено как предел решений задач Коши для уравнений теплопроводности на всём многообразии при неограниченном возрастании абсолютных значений потенциалов вне области.
В главе 2 получены представления решения задачи Коши для уравнения Шрёдингера в компактном римановом многообразии в виде функциональных интегралов по поверхностным мерам Смолянова и по мере Винера, порождённой броуновским движением в многообразии.
В главе 3 рассмотрено уравнение Шрёдингера со скалярным и векторным потенциалами в гильбертовом пространстве. Векторный потенциал является бесконечномерным аналогом магнитного поля. Доказано существование локального по временной и пространственным переменным решения задачи Коши для данного уравнения Шрёдингера. Решение представлено вероятностной формулой типа Фейнмана-Каца-Ито.
1. Quantum H. v.. Change of measures and their logarithmic derivatives under smooth transformations, C.R.Acad.Sci.Paris, 79
